Buraya kadar, bir parçacığın veya katı cismin konum, yer değiştirme

MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ:
Buraya kadar, bir parçacığın veya katı cismin konum, yer değiştirme, hız ve ivmesi
arasındaki ilişkileri inceledik. Bu kısımdan itibaren bu kavramları bir parçacığa veya
katı cisme etkiyen kuvvetlerin sebep olduğu etkileri incelemek üzere Newton' un ikinci
kanununu,
=
uygularken kullanacağız. Yörüngenin geometrisine bağlı olarak
analizde, dik kartezyen ( , , ), normal ve teğetsel ( , , ) veya silindirik koordinatlar
( , , ) kullanılabilir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ:
Rijit cisimler mekaniğinde, karşılan tüm durumlar -hareket ve denge- deneysel
gözlemlerden elde edilen sonuçlara dayanır. Uzayda dönme ve ötelenmesi olmayan
sabit referans eksene göre yapılan ölçümlerle elde edilen değerlere hareket kanunları
uygulanabilir. Newton'un üç hareket kanunu şu şekilde ifade edilebilir.
Birinci kanun: Dengelenmiş kuvvetlere maruz maddesel nokta, başlangıçta duruyor
ise durmaya, hareket halinde ise sabit hızlı hareketine devam eder.
İkinci kanun: Dengelenmemiş bir kuvvet etkisi altındaki parçacık, uygulanan kuvvet
doğrultusunda ve kuvvetin büyüklüğü ile doğru orantılı ivme kazanır. Kuvvetin
üzerinde etkili olduğu parçacığın kütlesi
ise, Hareket denklemi olarak da anılan
matematiksel bağıntı elde edilir.
=
Üçüncü kanun: İki parçacık arasındaki karşılıklı etki ve tepki kuvvetleri aynı doğrultu
üzerinde, eşit büyüklükte ve zıt yöndedirler.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ:
Birinci ve üçüncü kanun statiğin kavramları açıklanırken yaygın olarak kullanılır.
Her ne kadar bu iki yasa dinamikte de kullanılsa da, üzerine etkiyen kuvvetleri
parçacığın ivmesiyle ilişkilendiren Newton'un ikinci hareket kanunu dinamiğin
temelini oluşturur. Burada statiğin, dinamiğin özel bir hali olduğu aşikârdır. Zira
ikinci kanunda hareketin ivmesi yok ise ( = ) veya hareket yok ise cisme etkiyen
eşdeğer kuvvet sıfıra eşit olur.
Kuvvet ve ivme laboratuvar ortamında ölçülebilir. Bir parçacığa bilinen bir
kuvveti etkidiğinde ivmesi ölçülebilir. Kuvvet ile ivme doğru orantılı olduğundan
orantı sabiti
= ⁄
şeklinde hesaplanabilir. Ölçümlerin birimleri arasındaki
uygunluğa dikkat edilerek başka bir dengelenmemiş
kuvveti uygulandığında
parçacığın ivmesi
olarak ölçülecektir ve böylece orantı sabiti = ⁄ olacaktır.
İki durumda da orantı sabiti eşit olacaktır ve birer vektörel büyüklük olan kuvvet ve
ivmenin aynı doğrultuda olduğu görülecektir.
orantı sabitine parçacığın kütlesi
denir. Her hangi bir ivmeli hareket aralığında sabit kalmak üzere kütle, parçacığın
hızındaki değişime direncinin bir ölçüsüdür.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ:
Hareket denklemi olarak bilinen bu denklem mekanikte önemli bir yer işgal eder.
Yukarıda ifade edildiği gibi bu kanunun geçerliliği deneysel verilere dayandırılmıştır.
Ancak 1905 te Albert Einstein rölativite teorisini geliştirmesiyle, parçacığın genel
hareketini tasvir eden Newton'un ikinci hareket kanununun kullanımına bazı
sınırlamalar getirdi. Newton'un varsayımının tersine deneyler zamanın mutlak bir
büyüklük olmadığını göstermiştir. Bu yüzden parçacığın hızı, ışık hızına ş =
⁄ yaklaştığında Newton'un hareket denklemi parçacığın gerçek
davranışını açıklamada yetersiz kalır. Kuantum mekaniğinin prensiplerini ortaya
koyan, Erwin Schrödinger ve diğer bilim adamları bu hareket denkleminin
parçacıkların atomik mesafe içindeki hareketlerinde de geçersiz olduğu sonucuna
varmışlardır. Bahsedilen teoriler uygulamalı mühendisliğin konuları dışında
olduğundan üzerlerinde çalışmayacaktır. Ancak mühendislik problemlerinin çok
büyük bir bölümü, atom üstü ile ışık hızının altındaki bölgede (norm alem) yer
aldığından Newton'un hareket kanunları geçerli kabul edilir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ:
Hareket Denklemi: Bir parçacığa eğer birden fazla kuvvet etki ederse bileşke kuvvet,
bütün kuvvetlerin vektörel toplamından
= ∑ elde edilir. Bu genel durumda,
hareket denklemi,
∑ =
Bu denklemin uygulamasını açıklamak üzere, şekilde görülen parçacığını göz önüne
alalım. Parçacığın serbest cisim diyagramını çizerek, parçacık üzerine etki eden her
bir kuvvetin büyüklük ve doğrultusunu grafiksel olarak gösterebiliriz. Bu kuvvetlerin
bileşkesi
vektörünü ürettiğinden, bileşkenin büyüklük ve doğrultusu, şekilde
gösterilen kinetik diyagramında grafiksel olarak gösterilebilir. Diyagramlar arasındaki
eşit işareti, serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagramı arasındaki denkliği, ∑ =
sembolize eder.
= ∑ = ise, ivmenin sıfır olduğuna ve parçacığın durağan
durumda kaldığına veya sabit bir hızla doğru boyunca hareket etmekte olduğunu ifade
eder.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ:
Kartezyen koordinatlar: Parçacık , , referans eksen sistemine göre hareket etmekteyse, etki
eden dış kuvvetler ivmeleriyle birlikte, , , bileşenleriyle ifade edilebilirler.
∑

+
+
=
=
∑
=
∑
=
∑
=
+
+
Hareket düzlemdeyse, bu denklemlerden sadece ikisi kullanılır.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ:
Normal ve teğetsel koordinatlar: Bir parçacık, belirli bir eğrisel yörünge üzerinde hareket
ettiğinde, hareket denklemleri normal ve teğet doğrultularda yazılabilir.
∑
∑
+∑
=
+∑
=
∑
=
∑
=
∑
+
=
Burada, ∑ , ∑ ve ∑
sırasıyla, normal, teğet ve binormal doğrultularda parçacık üzerine
etkiyen bütün kuvvet bileşenlerinin toplamını gösterir. Şekilde parçacık yörünge boyunca
harekete zorlandığı için parçacığın binormal doğrultuda herhangi bir hareketi olmadığını fark
⁄
ediniz.
=
nin zamana göre hızın büyüklüğündeki değişimi göstermekte olup ∑
hareket doğrultusunda etki ederse, parçacığın hızı artacak, aksi halde azalacaktır.
= ⁄
ise, zamana göre hızın doğrultusundaki değişimi ifade eder.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ:
Silindirik koordinatlar: Bir parçacık, belirli bir eğrisel yörünge üzerinde hareket ettiğinde,
hareket denklemleri silindirik koordinatlardaki bileşenleri cinsinden yazılabilir.
∑
∑
+∑
+∑
=
=
+
+
Burada, ∑ , ∑
ve ∑
sırasıyla, radyal, radyale dik
ve
doğrultularda parçacık üzerine etkiyen bütün
kuvvet bileşenlerinin toplamını gösterir. Bu denklemin
sağlanması için, sol taraftaki her bir , , bileşeni sağ
yandaki karşı gelen bileşene eşit olmalıdır.
∑
=
∑
=
∑
=
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: ÖRNEK
Kütlesi
olan C kayıcı burç, direngenliği =
/
ve uzamamış haldeki boyu .
olan yaya bağlanmıştır. Burç, A da durmaktayken serbest bırakılırsa, =
olduğu andaki
ivmesini ve çubuğun burca uyguladığı normal kuvveti hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
Serbest cisim diyagramı. Koordinat sistemi ve ivmenin yönü şekilde gösterilmiştir. Burcun
ağırlığı
.
, yay tarafından oluşturulan çekme kuvveti
ve normal tepki kuvveti
diyagramda gösterilir. İvmenin ve normal tepki kuvvetinin belirleneceği pozisyon =
için
ve geometriden belirlenirse, de oluşan kuvvet belirlenebilir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: ÖRNEK
=
;
=
.
=
.
= .
=
;
=
=
+
°
.
= .
− .
⁄
Yayın uzamış boyu
Yayın uzama miktarı
.
= .
Yayda oluşan çekme kuvveti
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: ÖRNEK
Hareket denklemleri. Burç kılavuz kolon üzerinde düşey hareket yaptığından,
hareket olmayacaktır. Düşey eksende ivmeli hareket olabilecektir.
+→ ∑
+↓ ∑
=
=
= ;
;
−
+
.
.
−
°
.
.
=
.
= .
=
= .
°
= .
=
⁄
↓
−ekseninde
⁄
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: ÖRNEK
10 kg kütleli top mermisi
/ hızla yerden yukarı doğru fırlatılıyor.
(a) Havanın direncini ihmal ederek
(b) herhangi bir anda / cinsinden hız olmak üzere, havanın direnci
= .
olarak ölçüldüğüne göre, top güllesinin çıkabileceği maksimum yüksekliği belirleyiniz.
(a)
ÇÖZÜM:
Her iki durum içinde hareket denklemleri kullanılarak gülleye uygulanan kuvvetle oluşan
ivmesi arasında kurulabilir.
Serbest cisim diyagramı. Cisme etki eden kuvvetler sadece ağırlığı olup
= .
dur.
Bilinmeyen
ivmesi yukarı doğru −ekseninde pozitif kabul edilebilir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ:
Hareket denklemi.
+↑ ∑ =
;
.
=
=− .
Kinematik. Başlangıçta, = da
=
da hız = olacaktır. İvme sabit
=
+
−
;
=
⁄
⁄ dir. Çıkabileceği maksimum yükseklik olan
⁄ ise,
=− .
+
=
− .
−
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ:
Serbest cisim diyagramı. Hava direnç kuvveti
= .
muhtemel harekete ters
yönde oluşacağından, aşağı doğru olacaktır. Ağırlık
= .
aşağı doğrudur.
Bilinmeyen ivmesi yukarı doğru −ekseninde pozitif kabul edilebilir.
Hareket denklemi.
+↑ ∑ =
;
− .
−
.
=
=− .
− .
Kinematik. İvme sabit olmayacağı için
=
hız, yer değiştirme ve ivme arasındaki
⁄ dir. Çıkabileceği maksimum
ilişki kurulabilir. Başlangıçta, =
da
=
yükseklik olan
da, hız = olacaktır.
−
.
−
=
+ .
(
+
=
)
=