dalıtz grafiği analizi ile hadronik bozunumların

advertisement
T.C.
İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DALITZ GRAFİĞİ ANALİZİ İLE HADRONİK
BOZUNUMLARIN İNCELENMESİ
MURAT BULDU
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
MALATYA
HAZİRAN 2013
Tezin Başlığı
: Dalitz Grafiği Analizi İle Hadronik Bozunumların İncelenmesi
Tezi Hazırlayan
: Murat BULDU
Sınav Tarihi
: 17/06/2013
Yukarıda adı geçen tez jürimizce değerlendirilerek Fizik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.
Sınav Jürisi Üyeleri
Doç. Dr. Tekin İZGİ
İnönü Üniversitesi (Başkan)
………………………..
Yrd. Dr. Tuncay ÖZDEMİR
İnönü Üniversitesi (Üye)
………………………..
Yrd. Doç Dr. Fatih BULUT
İnönü Üniversitesi (Üye)
………………………..
İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Onayı:
………………………..
Prof. Dr. Mehmet ALPASLAN
Enstitü Müdürü
ONUR SÖZÜ
Yüksek Lisans Tezi olarak sunduğum “Dalitz Grafiği Analizi ile Hadronik
Bozunumların İncelenmesi” başlıklı bu çalışmanın bilimsel ahlak ve geleneklere aykırı
düşecek bir yardıma başvurmaksızın tarafımdan yazıldığını ve yararlandığım bütün
kaynakların, hem metin içinde hem de kaynakçada yöntemine uygun biçimde gösterilenlerden
oluştuğunu belirtir, bunu onurumla doğrularım.
…………………...
Murat BULDU
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
Dalitz Grafiği Analizi İle Hadronik Bozunumların İncelenmesi
Murat BULDU
İnönü Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
65+Xii sayfa
2013
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Fatih BULUT
Bu tez çalışmasında yüksek enerjili parçacık bozunumlarının kuantum
mekaniksel ve kinematik özellikleri Dalitz grafikleri kullanılarak incelenmiştir. Son
durumunda üç parçacık bulunan bozunumlardaki rezonans süreçleri Dalitz grafikleri
sayesinde gözlenebilmektedir. Bozunum deneylerinden edinilen veriler kullanılarak
oluşturulan Dalitz grafikleri için farklı analiz metotları bulunmaktadır, bu metotlar
incelenerek birbirlerine olan üstünlükleri ve uygulanabilirlikleri tartışılmıştır. Madde
anti-madde arasındaki asimetriyi gösteren CP bozulumunu incelemede Dalitz grafiği
analizi yöntemi kullanılabilmektedir. Bozunumlardaki rezonans süreçlerinde CP
bozulumunun varlığının Dalitz grafiğinde gözlenebileceği gösterilmiştir.
i
Abstract
M. Sc. Thesis
Investigation of Hadronic Decays By Dalitz Plot Analysis
Murat BULDU
Inonu University, Graduate School of Natural and Applied Science
Department of Physics
65+Xii pages
2013
In this thesis we investigate the quantum mechanical and kinematical features of
the high energy particle decays via Dalitz Plot Analysis. Dalitz plot analysis can be used
to study the dynamics of three-body decays that expected to proceed through
intermediate resonant two-body modes. There has been various analysis methods
introduced to generate Dalitz Plots using the experimental results from the particle
decays, we have investigated these methods and discussed their properties. Dalitz Plot
Analysis can also be used to investigate the CP violation of the decays which shows the
asymmetry between matter and anti-matter. The existance CP violation at the resonant
decays can be shown using Dalitz Plot Analysis.
ii
TEŞEKKÜRLER
Yüksek lisans çalışmasının ders aşamasından itibaren tez aşamasının bitimine
kadar deneysel çalışmalarım boyunca bana yol gösteren ve bilgilerini benimle paylaşan
tez danışmanım Sayın Yrd. Doç. Dr. Fatih BULUT’a,
Yüksek lisans ders döneminden itibaren her zaman yanımda olan ve beni her
zaman destekleyen en yakın dostlarım Sayın Serkan DEMİREL ve Sayın Sema
KESMEN’e
Tüm eğitim hayatım boyunca maddi manevi desteklerini esirgemeyen her zaman
moral kaynağım olan ve bu aşamaya gelmemde en çok etkisi olan babam Miraç
BULDU, annem Nezahat BULDU, kardeşim Miray BULDU’ya, kuzenim Fatih
BULDU’ ya çocukluk arkadaşlarım Cihat ATAŞ ve Şeyh Yusuf HAŞMİT’e,
katkılarından dolayı Özüm Asya KAYNARCA’ya bana yol gösteren Nalan Yavuz
KOCABAŞ’a teşekkür ederim.
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET…………………………………………………………………………… i
ABSTRACT……………………………………………………………………
ii
TEŞEKKÜR……………………………………………………………………. iii
İÇİNDEKİLER……………………………………………………………….... iv
ŞEKİLLER DİZİNİ……………………………………………………………. vi
TABLOLAR DİZİNİ…………………………………………………………... ix
SEMBOLLER………………………………………………………………….. x
1. GİRİŞ…………………………………………………………………………. 1
2. TEMEL PARÇACIKLAR………………………………………………….. 2
2.1. Leptonlar………………………………………………………………… 2
2.2. Mezonlar…………………………………………………………………. 4
2.3. Baryonlar…………………………………………..…………………….. 9
2.5. Kuarklar………………………………………………………………….. 10
3. PARÇACIK ETKİLEŞİMLERİ…………………………………………… 13
3.1. Parçacık Etkileşim Teorileri……………………..……………………….. 13
3.1.1. Standart Model…………………………….......................................... 13
3.1.2. Feynman Diyagramları........................................................................... 14
3.1.3. Kuantum Elektrodinamiği…………………………………………….. 16
3.1.4. Kuantum Kromodinamiği……………………………………………... 18
3.2. Parçacık Bozunumları ve Saçılmalar……………………………………... 20
3.3. Parçacık Etkileşimlerinde Evrensel Simetri Yasaları…………………….. 21
4. DALITZ GRAFİKLERİ……………………….…………………………….. 25
4.1. Dalitz Grafikleri ve Kullanım Amacı…………………………………….. 25
4.2. Dalitz Grafikleri Analiz Teknikleri……………………………………….. 26
4.3. İzobar Model……………………………………………………………… 39
4.4. Modelden Bağımsız Analiz Teknikleri…………………………………… 37
4.4.1. K Matris Yaklaşımı………………………………………………….. 37
4.4.2. Flatte Dağılım Fonksiyonu…………….…………………………….. 43
4.4.3. Kısmi Dalga Analizi…………………………………………………. 44
4.4.4. Dalitz Grafikleri Sayesinde CP Bozulmasının İncelenmesi…………. 51
iv
5. TARTIŞMA VE SONUÇ…………………………………………………… 60
6. KAYNAKLAR……………………………………………………................. 62
7. ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………................... 65
v
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1. Mezonları yük ve gariplik sayılarına göre ayıran sekiz katlı sistem için
altıgen bir dizi örneği…………………………………………………. 5
Şekil 2.2. Baryon grubu parçacıkları için sekiz katlı sistemin altıgen bir dizisi..... 10
Şekil 2.3. Baryonlar için yük ve gariplik sayısı değerlerine göre kurulmuş olan
onluk sistem…………………………………………………………… 10
Şekil 3.1. Elektron – muon elastik saçılması için en basit Feynman diyagramı..... 15
Şekil 3.2. Elektron – muon elastik saçılması için daha karmaşık diyagramlar…... 15
Şekil 3.3. Verteks faktörü −g e olan elektromanyetik verteks…………………… 16
Şekil 3.4. İki elektronun birbirleriyle etkileşimini gösteren Feynman diyagramı.. 17
Şekil 3.5. Elektron-pozitron yok olması (e− + e+ → γγ) sürecini gösteren
Feynman diyagramı…………………………………………………… 17
Şekil 3.6. Feynman diyagramları kullanarak elektrozayıf etkileşimlerin
açıklanması…………………………………………………………… 17
Şekil 3.7. Başlangıçta kırmızı renk yüküne sahip up kuarkı ile son durumdaki mavi
renk yüküne sahip up kuarkının bir birim mavi yük ve bir birim anti
kırmızı yük taşıyan gluon sayesinde etkileşmesi………………............ 19
Şekil 3.8. ∆++ → p + π+ bozunum reaksiyonu.………………………………….. 19
Şekil 3.9. ρ+ → π+ π0 tepkimesini açıklayan Feynman diyagramı……………… 20
Şekil 3.10. Parçacıkların spini ve hızları paralel olan (a) helisiti değeri +1 olan
parçacık (b) spini ve hızları (a) parçacığına anti-paralel, helisiti değeri
-1 olan parçacık………………………………………………………. 22
Şekil 3.11. π− parçacığı bozunumunun yük konjügesi transformasyonu altındaki
Değişimi……………………………………………………………... 23
Şekil 3.12. Pion deneyi için C, P ve CP simetrilerinin uygulanması ve bu
dönüşümler altındaki parçacıkların değişim süreçleri………………. 23
Şekil 3.13. P, C ve CP simetrileri altındaki nötrinolar için ayna yansıması……… 24
Şekil 4.1. B+ → π+ π− K+bozunumunun Dalitz Plot üzerinde gösterimi………….. 26
Şekil 4.2. Düzenli bir dağılım gösteren etkileşim için farazi oluşturulmuş
DalitzPlot grafiği ve eksenleri………………………………………… 27
Şekil 4.3. Rezonans tepkimesini içeren üç parçacıklı bir bozunum sürecinin
gösterilmesi…………………………………………………………..... 28
vi
Şekil 4.4. Bozunum sürecinde oluşabilecek üç farklı rezonans tepkimesi için
Dalitz Plot grafikleri. Üç farklı grafik üç farklı rezonans tepkimesi
için oluşacak yan bantları göstermektedir……………………………. 28
Şekil 4.5. Spinleri 0, 1 ve 2 olan üç farklı tepkime için oluşacak Dalitz Plot grafikleri.
(a) Spini 0 olan rezonans durumu (b) Spini 1 olan rezonans durumu
(c) Spini 2 olan rezonans durumu……………………………………… 29
Şekil 4.6. Son durumunda üç parçacık bulunan bozunum için direkt bozunum ve
farklı oluşabilecek rezonansların toplamını göstermektedir…………… 29
Şekil 4.7. Başlangıç kütlesi M ve momentumu P olan bir parçacığın m1 , m2 , m3
kütleli ve p1 , p2 , p3 momentumlu parçacıklara bozunumu…………… 30
Şekil 4.8. Birden fazla rezonans durumunu içeren üç parçacıklı bir bozunum
diyagramı……………………………………………………………… 31
Şekil 4.9. Rezonansların büyüklükleri ve fazlarını gösteren diyagram………….. 34
Şekil 4.10. Rezonans tepkimesine sahip bir etkileşim için Dalitz grafiği ve
bu tepkimedeki yapıcı girişim fazı ve büyüklüğü……………………. 35
Şekil 4.11. Rezonans tepkimesine sahip bir etkileşim için Dalitz grafiği ve bu
tepkimedeki yıkıcı girişim fazı ve büyüklüğü………………………. 36
Şekil 4.12. Kesişim rezonanslarına sahip etkileşimler için Dalitz grafikleri…….. 36
Şekil 4.13. (a) D∗+ → D0 π+ etkileşiminden gelen D0 → K 0s π− π+ dağılımı ve (b) m2− ,
(c) m2+ ile (d)m2π+π− kütlelerin değerleri…………..………………… 42
Şekil 4.14. a) D∗+ → D0 π+ etkileşiminden gelen D0 → K 0s π− π+ dağılımı ve (b) m2− ,
(c) m2+ ile (d)m2π+π− kütlelerin değerleri………………………........... 43
Şekil 4.15. Eşik değeri bölgesindeki K + K − sisteminin ürünlerini tanımlayan
kinematikler………………………………………………………….. 46
Şekil 4.16. K + K − kütle dağılımlarının birer fonksiyonu olarak tanımlanan nomralize
edilmemiş < YL0 > küresel harmonik momentum değerleri………… 47
Şekil 4.17. Spini 1 olan relativistik Breit – Wigner fit işleminden gelen sonuçlar
ile K + K − etkin kütlesinin bir fonksiyonu olarak < Y20 > küresel
harmonik momentumu gösterilmesi………………………………….. 49
vii
Şekil 4.18. Faz uzayı için düzeltilmiş K + K − kısmi dalga analizinden gelen sonuçlar.
����0 K + ) dağılımı (d)
(a) P dalgası etkinliği. (b) S dalgası etkinliği. (c) m(K
ϕ(1020) bölgesi içerisindeki CosϕSP değeri. (e) Kıyı bölgesi içindeki
ϕSP çıkarıldıktan sonraki (d) içerisinde gösterilen ϕ(1020) faz
değişiminin fit edilmesi……………………………………………… 49
Şekil 4.19. B0 - ���
B0 osilasyonundan sorumlu kutu diyagramı……………………. 52
Şekil 4.20. CKM Üniterlik üçgeni……………………………………………….. 56
Şekil 4.21. ��
D��𝟎 → K 0s π+ π− etkileşimlerinin Dalitz grafiği. Soldaki grafik
3x3’ lük parçalara, ortadaki grafik 5x5’ lik parçalara ve sağdaki grafik
ise 7x7’ lik parçalara ayrılmıştır. Bu parçalar Dalitz grafiği üzerindeki
DCP
için kullanılır………………....................................................... 57
Şekil 4.22. Üstteki grafik𝐵 ± → 𝐾 ± 𝜋 ∓ 𝜋 ± etkileşimi için 𝜌0 modelinde DpS CP değer
grafiğidir. Alttaki grafik ise istatiksel olarak ayrılan üst grafikteki parçalar
için DpS CP değeridir. Bu fit birim genişliğe Gaussian olarak
merkezlenmiştir. Burada P1 niceliği normalizasyon parametresidir… 58
Şekil 4.23. 𝐵 ± → 𝐾 ± 𝜋 ∓ 𝜋 ± etkileşimi için 𝜌0 modelinin kullanılmasıyla Dalitz
grafiğinin bölgelere ayrılması…………………………………....
59
Şekil 4.24. Şekil 4.21. içerisindeki dağılımın Şekil 4.22 içerisinde gösterilen
bölgelere bölünmesi. Burada P1 niceliği normalizasyon sabitidir…… 59
viii
TABLOLAR DİZİNİ
Tablo 2.1. Lepton grubu parçacıklarının kuantumsal özelliklerine göre
Sınıflandırılması……………………………………………………… 3
Tablo 2.2. Lepton grubu parçacıklarının kütleleri ve etkileşime girme süreleri…. 3
Tablo 2.3. Mezonlar için spin, orbital açısal momentum, toplam açısal momentum
ve paritesine göre sınıflandırılması…………………………………... 6
Tablo 2.4. Mezon tiplerinin spin konfigürasyonlarına göre sınıflandırılması…… 7
Tablo 2.5. Çeşnisiz mezonları içeriklerine göre sınıflandırılması………………. 8
Tablo 2.6. Farklı çeşnilerdeki kuark ve antikuakların bir araya gelerek oluşturduğu
çeşni mezonlarının sınıflandırılması…………………………………. 8
Tablo 2.7. Kuarkları ve kuarkların sahip oldukları yük (Q), isospin (I), isospin
z bileşeni (I3 ), gariplik (S), tılsım (C), bottom (B), top (T) sayılarını
göstermektedir………………………………………………………… 11
Tablo 2.8. Aşağı ve yukarı tip kuarkların sahip oldukları kütle değeri aralıkları 12
Tablo 3.1. Etkileşim tiplerine göre C, P, T, CP ve CPT simetrilerinin korunma
durumlarını anlatmaktadır……………………………………………. 24
Tablo 4.1. Blatt – Weisskopf bariyer faktörü değerleri………………………….. 32
Tablo 4.2. Durgun çerçevedeki r rezonansının a ve c parçacıkları arasındaki θ
açısına sahip olduğu durumundaki L = 0, 1, 2 değerleri için açısal
dağılımı göstermektedir. ……………………………………………... 32
Tablo 4.3. K Matrisi parametreleri………………………………………………. 41
Tablo 4.4. Hafif mezonlar için isimlendirme ve spin değerleri ile birlikte bu
mezonların sahip olduğu dalga türleri………………………………… 45
ix
SEMBOLLER
SM
Standart Model
E
Enerji
m
Kütle
c
Işık hızı
P
Momentum
𝒆−
Elektron
𝝉−
Tau
𝝂µ
Müon nötrinosu
𝝁−
Müon
𝝂𝒆
Elektron nötrinosu
𝝂𝝉
Tau nötrinosu
Q
Elektriksel Yük
𝑳𝒆
Elektron leptonluk kat sayısı
𝑳𝝉
Tau leptonluk kat sayısı
𝑳𝝁
Müon leptonluk kat sayısı
QCD
Kuantum Kromodinamiği
QED
Kuantum Elektrodinamiği
BSM
Standart Model Ötesi
S
Spin
L
Orbital açısal momentumu
P
Parite
C
Yük konjügasyonu
I
İzospin
J
Toplam açısal momentum
𝒏𝒖
Up kuarkı sayısı
𝒏𝒖�
Anti up kuarkı sayısı
x
𝒏𝒅
Down kuarkı sayısı
𝒏𝒅�
Anti down kuarkı sayısı
S
Kuark Strangness sayısı
B'
Kuark Bottomness sayısı
C'
Kuark Charm sayısı
T'
Kuark topness sayısı
Q'
Kuark toplam yükü
Q
Kuark
�
𝒒
Anti-kuark
I3
İzospin z bileşeni
B
Baryonluk sayısı
𝑺𝑼(𝟑)𝒄
3x3 lük birim matris
𝑼(𝟏)𝜸
1x1 lik birim matris
𝑺𝑼(𝟐)𝒘
2x2 lik birim matris
µ𝒇𝒊
Feynman diyagramı saçılım genliği
Ψ
Dalga fonksiyonu
𝒈𝒆
Feynman diyagramı çiftlenim sabiti
𝑸𝒇
Feynman diyagramı verteks faktörü
𝒈𝒔
Kuark bileşenlerinin yük gücü
𝜶
İnce yapı sabiti
𝜶𝒔
Güçlü etkileşimler için çiftlenim sabiti
CKM
Cabibbo – Kobayashi – Maskawa 3x3 birim matrisi
T
Zaman simetrisi operatörü
η'
Yük konjügasyonu operatörünün faz faktörü
T
Zaman
𝒑𝒊
Dörtlü momentum
Γ
Bozunum oranı
𝒎𝒂𝒃
Çiftlenmiş kütle
xi
Σ
Bozunum dinamikleri
Λ
Sarmallık durumu
Z
Final durumu parçacıklarının açısal dağılımı
𝑩𝑳
Bariyer faktörü
𝑩𝑾𝒊
Breit – Wigner fonksiyonu
𝑻𝒓
Rezonans parçacığının dinamik fonksiyonu
𝜴𝒊
Açısal dağılım
A
Toplam bozunum genliği
Δ
Bozunum faz faktörü
𝑺𝒇𝒊
Saçılım matrisi
Ti
Dönüşüm matrisi
F
Final durumu
İ
İlk durum
K
Bozunum Matris operatörü
𝝆𝒊
Faz – uzay faktörü
𝑭𝟏
ππ – S dalgası genlik katkısı
𝓐𝑫
Dalitz grafik genliği
Ρ
Faz – uzay matrisi
𝒈𝜶𝒊
K matrisi çiftlenim sabiti
𝒔𝒔𝒄𝒂𝒕𝒕
𝟎
Saçılım kütlelerinin karesi
I
Göreli olay sayısı
Vα
Faz uzayındaki kompleks bozunum genliği
A α (σ)
Kompleks bozunum ürünü
𝓛
Olasılık
N Data
Toplam veri sayısı
ε(σ)
Dedektör etkinliği
𝑵𝑮𝒆𝒏
𝑴𝑪
Monte Carlo simülasyonu veri sayısı
θ
Bozunum tepkimesinde parçacıklar arasındaki açı değeri
xii
< 𝒀𝒎
𝑳 >
Küresel harmonik momentum değeri
S'
S dalgası genişliği.
P'
P dalgası genişliği
Fr
Blatt – Weisskopf sönümleme faktörü
qr
Rezonans durgun çerçevesindeki parçacıkların momentumu
PDG
Particle Data Group
𝑩𝑳
Ağır kütle öz durumu
𝓞
CP bozulması oranı
𝑩𝑯
Hafif kütle öz durumu
𝑫𝒑
CP bozulma genliği
� (𝒊)
𝑵
Dalitz grafiği üzerinde bulunan bozunum anti-madde miktarı
𝑺𝑪𝑷
𝑵(𝒊)
Dalitz grafiği üzerinde bulunan bozunum madde miktarı
xiii
1.GİRİŞ
Temel parçacık fiziğinin yaklaşık 100 yıl önce elektronun keşfiyle başladığını
söyleyebiliriz. Elektronun keşfinin ardından 50 yıl boyunca yeni parçacıklar kozmik
ışınlar kullanılarak keşfedilmiştir. Ancak asıl keşifler kozmik ışınlarda ortaya çıkan yeni
parçacıkların sonucunda geliştirilen parçacık hızlandırıcıları ile yapılmıştır.
Pratikte yüksek enerjili deneylerden elde edilen veriler ile parçacıklar ve
parçacık etkileşimlerinin adlandırıldığı Standart Model’e açıklama getirilir [1]. Standart
Model parçacıkların 6 lepton, 6 kuark ve bunların çeşnilerinden oluşabileceğini söyler
[2].
Parçacıklar arasındaki temel kuvvetlerin her biri fiziksel bir teori ile açıklanır.
İlk fiziksel teori; kütle çekimi kuvvetinin klasik ilk teorisi olan Newton tarafından
ortaya konulan evrensel kütle çekim teorisidir. İlerleyen zamanlarda bu teori Einstein
tarafından genişletilmiştir. Kütle çekim kuvvetleri çekirdek kuvvetlerine göre çok zayıf
olduğu için parçacık fiziği bünyesinde dikkate alınmaz.
Standart Model bilinen tüm parçacık fiziği fenomenlerini iyi bir biçimde
tanımlar. Bu model çok iyi bir teorik çatı sağlar ve %0,1’lik hata oranıyla parçacıkların
tanımlanmasındaki kesinliği oldukça başarılıdır [3]. Standart Model ile ilgili geniş
açıklamayı ilerleyen bölümde yapacağız.
Doğadaki temel parçacıklara baktığımızda kuarklar ve leptonlar noktasaldır yani
bu parçacıklar başka parçacıklardan oluşmazlar. Ayrıca kuarklar bir araya gelerek
hadronlar olarak bilinen bileşik parçacıkları oluşturulur. Bunların en kararlı olanları ise
proton ve nötrondur.
Parçacıkları kütlelerine göre sınıflandırdığımızda leptonlar (hafif parçacıklar),
mezonlar (orta siklet) ve baryonlar (ağır parçacıklar) olarak üç grupta toplarız. Mezon
ve baryonlar hadronlar olarak adlandırdığımız güçlü etkileşimlere giren parçacıklardır.
Leptonlar ise güçlü etkileşimler olarak adlandırdığımız çekirdek kuvvetlerinin
oluşturduğu etkileşimlere katılmazlar.
Kuarklar ise 3 nesil ve 12 parçacık tipinden oluşur. Bu parçacıklar 6 kuark ve 6
tane de bunların anti-parçacığıdır. Bu kuarklar; yukarı(up), aşağı (down), tılsım
(charm), tuhaf (strange), üst (top) ve alt (bottom) olarak bilinir.
1
Bahsettiğimiz tüm bu parçacıkların kütleleri klasik anlamda çok küçük ölçekte
olduklarından dolayı parçacık kütlelerini Einstein ‘ın enerji formülünden faydalanarak
aşağıdaki gibi elde ederiz.
E 2 = m2 c 4 + p2 c 2
(1.1)
Bu denklemde parçacığın durgun olduğunu düşünürsek cismin durgun kütle
enerjisi aşağıdaki denklemle ifade edilir.
E = mc 2
(1.2)
Buna göre bu ifadeden, kütleyi E/ c 2 cinsinden hesaplarız. Bu tezde işlem
kolaylığı açısından bazı sabitlerin değerlerini 1 olarak alacağız.
2. TEMEL PARÇACIKLAR
2.1. Leptonlar
Lepton grubu parçacıkları noktasal parçacıklardır ve düşük kütleye sahiplerdir.
Lepton grubu parçacıklarının spini ½ olduğundan fermiyonlardır ve Pauli dışarlama
ilkesine uyarlar. Lepton grubu parçacıkları kendisi gibi noktasal parçacık olan
kuarkların aksine güçlü etkileşimlere katılmazlar. İlk lepton olan elektron J.J Thomson
ve onun İngiliz fizikçi takımı tarafından 1897 yılında keşfedilerek tanımlanmıştır [4].
Lepton grubu parçacıkları doğada tek başına bulunabilir. Günümüzde
ispatlanmış lepton sayısı altıdır. Bunlar elektron (e− ), müon (µ− ),tau (τ− ) ve bunların
nötrinolarıdır. Ayrıca bunların anti parçacıkları da vardır [5]. Nötrinolaryüksüz ve
kütlesiz parçacıklardır.
Nötrinolar madde ile çok zayıfça etkileşime girdiğinden ayırt edilmesi zordur.
Leptonlar yük, leptonluk sayısı ve jenerasyon olarak birbirlerinden ayrılırlar. Tablo 2.1
içerisinde leptonların sınıflandırılması yapılmaktadır.
2
Tablo 2.1. Lepton grubu parçacıklarının kuantumsal özelliklerine göre sınıflandırılması.
1.nesil
2.nesil
3.nesil
Parçacık
Q (Yük)
e−
-1
Le
1
Lµ
0
Lτ
0
1
0
0
µ−
-1
0
1
0
0
0
1
0
τ−
-1
0
0
1
0
0
0
1
νe
νµ
ντ
0
Standart Model (SM)'de, maddenin temel yapıtaşları, leptonlar ve kuarklardır,
bozonlarise bunlar arasında kuvvet taşıyıcılarıdır[6]. Leptonlar bu özelliklerine göre
girdikleri etkileşimlerde korunum yasalarına uyarlar. Lepton grubu parçacıkları için
leptonluk sayıları, yükleri ve kütleleri korunum kanunlarını belirler ve bu yasalara uyan
tepkimeler gerçekleşirken bu kuantum sayılarının korunumunu sağlamayan tepkimler
gerçekleşmez. Tablo 2.1içindeki parçacıklara ek olarak her bir parçacığın anti parçacığı
vardır ki, bu parçacık ve anti parçacıkların kütleleri birbirlerine eşittir. Ancak Tablo
2.1içerisinde bahsedilen kuantumsal sayıları birbirlerinin tam tersidir. Tablo2.2.lepton
grubu parçacıklarının kütlelerinin ve etkileşim sürelerinin yaklaşık verilerini
göstermektedir.
Tablo 2.2.Lepton grubu parçacıklarının kütleleri ve etkileşime girme süreleri [7-10].
Parçacık-Antiparçacık
Kütle (MeV/c 2 )
Etkileşim Süreleri (sn)
e− e+
0,510998910±0,000000013
Sabit
µ− µ+
105,6583658±0,0000038
τ− τ+
1776,82±0,16
(2,1969811±0,0000022)x10−6
νe ν�e
<0,0000022
(290,6±1.0) x 10−15
νµ ���
νµ
<0,17
Bilinmiyor
ντ ν�τ
<18,2
Bilinmiyor
3
Bilinmiyor
2.2. Mezonlar
Mezon grubu parçacıklarının varlığı Yukawa tarafından 1934 yılında çekirdeği
bir arada tutan kuvvetlerin teorisinde ilk kez geçmiştir. Yukawa, elektronun çekirdeğe
elektriksel alanla çekilmesi ve ayın dünyaya yerçekimi alanıyla çekilmesi gibi proton ve
nötronların birbirlerine bir alan tarafından çekilmesi gerektiğini düşünmüştür. Bu alanın
kuantalı olması gerekir ve Yukawa güçlü kuvvetin bilinen özelliklerine bu alanın değiştokuş ettiği parçacığın yol açması gerektiğini düşünmüştür. Örneğin, etki mesafesinin
kısa olması değiş-tokuş parçacığının çok ağır olması gerektiğini işaret etmektedir.
Yukawa bu parçacığın ağırlığının elektronun ağırlığının yaklaşık 300 katı kadar ve
proton ağırlığının altıda biri kadar olması gerektiğini hesaplamıştır [11]. 1947 yılında
ise yapılan deneylerde ilk mezon grubu parçacıkları elde edilmiştir. Mezon grubu
parçacıkları
bu
kütlesel
özelliğinden
dolayı
orta
sıklet
parçacıklar
olarak
adlandırılmaktadırlar. Mezon grubu parçacıklarını kuarklardan oluşur ki bu içerdikleri
kuarkların özelliklerine göre kuantumsal özelliklerini kazanır.
Mezonların
içyapısı;
kuarkların
varlığının
bilinmesinin
ve
Kuantum
Kromodinamiği’nin (QCD) kurulmasının ardından belirlendi. Buna göre mezonlar bir
kuark ve bir anti-kuarkın çiftlenmesinden oluşur ki, bu tip kuarklar valans kuarkları
olarak adlandırılır. Valans kuarkları sanal kuark ile anti-kuarkçiftlenimi ve sanal
gluonların birlikte bağlanımını içeren bir yapıdır. Bir mezonun spini, sistemin toplam
açısal momentumu olacaktır ki, içerdiği kuarkların toplam spini (s) ve kuarkların orbital
açısal momentumunun (L) toplamıdır. Mezonlar için parite (P) ve yük konjügasyonu
(C) aşağıdaki gibidir [12];
C = (−1)L+s
(2.1)
P = (−1)L+1
(2.2)
Burada parite (P) niceliği fiziksel olarak evrensel bir simetri olan ayna
simetrisidir. Bu simetriye göre fiziksel kanunlar tüm referans sistemlerinde aynıdır ve
değişmez. Yük konjügasyonu (C) ise sistemdeki parçacıkların elektriksel veya daha
sonrada değineceğimiz renk yükünün simetrisidir. Bu simetriler ve bu simetrilerin
bozulmasını ilerleyen bölümlerde tekrar inceleyeceğiz.
4
Mezonların değerleri tam sayı olduğundan dolayı bozon grubu parçacıklarıdır.
Spinleri 0 veya 1 değerlerini alır. Mezon gurubu parçacıkları güçlü etkileşimlere
girerler. Mezonlar Murray Gell-Mann tarafından sekiz katlı sistem olarak bilinen bir
yöntemle sınıflandırılmışlardır. Bu sisteme göre mezonlar içerdikleri kuarklar sayesinde
edinmiş olduğu tuhaflık sayısı ve yük değerlerine göre altıgen bir dizi üzerinde
yerleştirilir.
Şekil 2.1. Mezonları yük ve tuhaflık sayılarına göre ayıran sekiz katlı sistem için altıgen
bir dizi örneği [11].
Burada da eğik çizgiler yükü, düz çizgiler de gariplik sayısını göstermektedir.
Bu yapıyı mezonlar için kurarken, buradaki mezonların içermiş olduğu kuarkların
kuantumsal özelliklerinden faydalanılır. Mezonlar bu kuarklar sayesinde çeşnilere
ayrılır. Buna ek olarak mezon grubu parçacıkları için izospin adını verdiğimiz hayali
spin özelliğini de içerdiği kuarklar sayesinde edinir.
Kısaca mezonlar için izospin değerleri aşağıdaki formül sayesinde bulunur.
1
I3 = 2 [(nu − nu� ) − (nd − nd� )]
(2.3)
Burada n sayıları alt indislerine göre yukarı veya aşağı kuarklarının sayılarını
göstermektedir. Bu sayılar sayesinde izospin değerlerini buluruz. Buna göre yukarı
5
kuark ve aşağı antikuarkı için izospin değeri olan I3 = +1/2 iken aşağı kuark ve yukarı
anti- kuark için izospin değeri I3 = −1/2 olarak alınır.
Mezonlar için spin (s), orbital açısal momentumu (L) ve toplam açısal
momentumu (J) arasındaki bağıntı aşağıdaki denklemle verilir.
|L-s| ≤ J ≤ |L+s|
(2.4)
Tablo 2.3 mezonlar için bu kuantum sayılarının alabileceği değerleri
göstermektedir.
Tablo 2.3. Mezonlar için spin, orbital açısal momentum, toplam açısal momentum ve
paritesine göre sınıflandırılması.
MEZON TİPLERİ İÇİN SPİN KONFİGÜRASYONU
s
L
J
0
0
0
0
1
1
0
2
2
0
3
3
1
0
1
1
1
2, 1, 0
1
2
3, 2, 1
1
3
4, 3, 2
P
Mezonlar içerdiği kuarklara göre çeşnilere ayrılır ki bunları çeşni kuantum
sayıları olarak adlandırırız. Bu sayıları tuhaflık (strangeness) (S), altlık (bottomness)
(B′), tılsım (charm) (C′), üstlük (topness) (T′) olarak kuarkların isimlerine göre
adlandırabiliriz. Bu çeşni kuantum sayılarını aşağıdaki bağıntıyla açıklarız;
S = −( ns − ns� )
6
(2.5)
Bʹ′ = −( nb − nb� )
(2.6)
T′ = (nt − nt̅ )
(2.8)
C′ = (nc − nc� )
(2.7)
Bu parçacıklar için yük ise Gell-Mann ve Nishijima tarafından ortaya konulan
formül tarafından hesaplanır [13].
1
Q′ = I3 + 2 (S + B′ + C′ + B′ʹ + T′)
(2.9)
Denklemde B olarak geçen kuantum sayısı ise parçacığın baryonluk
numarasıdır. Mezon tipi parçacıklarını Tablo 2.3 içinde verilen spin konfigürasyonuna
göre farklı tiplere ayırabiliriz. Tablo 2.4 içerisinde mezonlar bu özelliklerine göre
sınıflandırılıyor.
Tablo 2.4.Mezon tiplerinin spin konfigürasyonlarına göre sınıflandırılması [13].
Tip
s
L
P
J
Psödöskalar Mezon
0
0
0
Psödövektör Mezon
0
1
−
Vektörel Mezon
1
0
1
Skalar Mezon
1
1
−
Tensör Mezonu
1
1
+
2
+
1
+
0
JP
0−
1+
1−
0+
2+
Mezon grubu parçacıklarının önemli bir sınıflandırma şekli çeşnilere ayırmaktır.
Buna göre mezonlar çeşnili mezonları ve çeşnisiz mezonlar olmak üzere iki ad altında
toplanır. Çeşnisiz mezonlar özdeş çeşnili kuark ve antikuark çiftleniminden oluşan
mezonlardır. Bunların tüm çeşni kuantum sayıları sıfır olur yani S=0, B'=0, C'=0, T'=0
değerlerini alır. Tablo 2.5 bu nötr çeşniye sahip mezonları yani çeşnisiz mezonları
göstermektedir.
7
Tablo 2.5.Çeşnisiz mezonları içeriklerine göre sınıflandırılması [14]. Burada C
simetrisi yalnızca nötral mezonlarla ilgilidir. Ayrıca J PC = 1−− değerine sahip olan ψ
mezonuna; J/ψ denir. Bu mezon için bozunum şekli ve diğer kuantumsal bozunum
süreci farklıdır.
qq� içeriği
ud�
uu� − dd�
√2
du�
uu� , dd� , ss̅
karışımı
†
J PC →
I↓
,…
1± , 3± , 5±
π+
b+
1
0
cc�
0
tt̅
0
bb�
0∓ , 2∓ , 4∓
0
,…
π0
1−− , 2−− , 3−− 0++ , 1++ , 2++
,…
,…
ρ0
ρ−
a0
b0
π−
b−
η'
h'
ω
ηc
hc
ψ++
ht
θ
η
h
ηb
a−
F
φ
hb
ηt
a+
ρ+
f’
χc
Γ
χb
χt
Çeşni mezonları ise farklı çeşnilerdeki kuark ile antikuarkın çiftleniminden meydana
gelir. Tablo 2.6 bu tip mezonları içerdiği kuarklara göre sınıflandırmaktadır.
Tablo 2.6.[14] kaynağından alınan verilerle farklı çeşnilerdeki kuark ve antikuakların
bir araya gelerek oluşturduğu çeşni mezonlarının sınıflandırılması.
antikuark→
kuark ↓
Up
Down
Charm
Strange
Top
Bottom
Up
Down
Charm
Strange
Top
Bottom
−
π± , a± , b ± , ρ±
�0
D
K+
�0
T
B+
D0
D+
−
Ds +
Tc 0
Bc +
T0
T+
Tc 0
Ts +
−
Tb +
π± , a± , b ± , ρ±
K−
B−
−
D−
�0
K
Ds −
�0
B
Bc −
8
K0
T−
−
Ts −
0
���
Bs
Tb −
B0
Bs 0
−
2.3. Baryonlar
Baryon grubu parçacıkları tıpkı mezonlar gibi kuarklar tarafından oluşturulan
kompozit parçacıklardır. Ancak mezonların aksine üç valans kuarkı veya üç antikuarktan meydana gelirler [12]. Hadron grubu parçacığı olan baryonların spinleri
buçuklu değerler alır, bundan dolayı baryon grubu parçacıkları fermiyon özelliklidir.
İzospin değeri baryonlar için aynı mezonlarda olduğu gibi (2.9) denklemi ile hesaplanır.
Baryon grubu parçacıklarının sınıflandırılma kuralları Particle Data Group (PDG)
tarafından belirlenmiştir[15]. Bu kurallar aşağıda belirtilmektedir;
•
Üç tane u veya d kuarkı içeren ve I=1/2 değerine sahip olan baryonlara
Nükleonlar adı verilir ve I=3/2 durumunda ise Δ baryonları denir.
•
İki u veya iki d kuarkı içeren ve I=0 değerine sahip olan baryonlara Λ baryonları
adı verilir, I=1 değerine sahip olan baryonlara ise Σ baryonları denilir. Şayet
üçüncü kuark ağır ise bunun tanımı baryonun alt indisi tarafından yapılır.
•
Bir tane u veya d kuarkı içeren ve I=1/2 değerine sahip olanbaryonlara Ξ
baryonları denilir. Eğer içerdiği bir kuarkyada tüm kuarkları ağır ise bir yada iki
tane alt indis kullanılır.
•
Hiç u veya d kuarkı içermeyen ve I=0 değerine sahip olan baryonlara Ω
baryonları adı verilir ve alt indislerinde hiç ağır kuark içermedikleri belirtilir.
•
Güçlü etkileşimlerle bozunan baryonlar isimlerini kütlelerinden alırlar. Örnek
olarak, Σ 0 güçlü bir etkileşimle bozunmaz, ancak Δ++ (1232) baryonu güçlü
etkileşimle bozunur.
•
Toplam açısal momentumu J=3/2 ve J=1/2 konfigürasyonundaki baryonlar aynı
sembolle gösterilir. Bu baryonlar yıldız işareti (*) ile temsil edilirler.
Son zamanlara kadar yapılan deneylerde penta kuarkların yani dört kuark ve bir
anti kuarktan oluşan ekzotik baryonların varlığına inanılıyordu [16]. Ancak parçacık
fiziği komitesi 2006 yılında bir bütün olarak bu tip baryonların varlığını gözlemlemedi
ve 2008 yılında bu parçacıkların varlığını ezici bir çoğunlukla reddetti [17].
Baryonlarıda sekiz katlı sisteme göre sınıflandırabiliriz. Buna göre en hafif 8
baryonu altıgen bir diziye aşağıdaki şekilde olduğu gibi yerleştirilir.
9
Şekil 2.2. Baryon grubu parçacıkları için sekiz katlı sistemin altıgen bir dizisi [11].
Sekiz katlı sistem sadece altıgen diziler üzerinde oluşturulmamıştır. Sistemi daha
ağır on baryon için üçgen bir dizi şeklinde oluşturabiliriz.
Şekil 2.3. Baryonlar için yük ve gariplik sayısı değerlerine göre kurulmuş olan onluk
sistem [11].
2.4. Kuarklar
Kuarklar 1964 yılında Murray Gell-Mann ve George Zweig tarafından
birbirlerinden bağımsız çalışmalarla ilk kez ortaya çıkmıştır [18]. Kuarklar buçuklu
10
spinlere sahip olan fermiyon ailesinin parçacıklarıdır. Kuarklar, leptonlar gibi noktasal
parçacıklardır. Kuarklar bir araya gelerek hadron grubu parçacıkları olan mezonları ve
baryonları oluştururlar. Altı adet kuark vardır ve bunlar üç nesilden oluşurlar. Bu altı
kuarkın her birinin birer antikuarkı bulunmaktadır. Bu kuarklar yukarı (up), aşağı
(down), tılsım (charm), tuhaf (strange), üst (top) ve alt(bottom) olarak adlandırılır.
Kuarklar taşıdığı kütle, elektriksel yük, spin ve renk yüküne bağlı olarak oluşturduğu
parçacıkların özelliklerini belirler. Burada renk yükü kuarkların etkileşiminde önemli
rol oynayan hayali bir yüktür ve gerçek renklerle alakası yoktur. Kuarklar kırmızı, mavi
ve yeşil olmak üzere üç renk yükünü alabilir. Anti kuarklar için ise bu yükler antikırmızı, antimavi ve antiyeşil olacaktır. Kuarklar serbest halde bulunamazlar ancak
birleşerek baryonları veya mezonları oluştururlar. Tablo 2.7 kuarkları ve sahip oldukları
kuantumsal sayıları göstermektedir.
Tablo 2.7. Kuarkları ve kuarkların sahip oldukları yük (Q), izospin (I), izospin z
bileşeni (I3 ), tuhaflık (S), tılsım (C′), bottom (B′), top (T′) sayılarını göstermektedir.
Kuarklar sahip oldukları bu değerler, kuarkların bir araya gelerek oluşturmuş olduğu
hadronların özelliklerini belirler.
S
C′
B′
T′
1/2
I3
-1/2
0
0
0
0
2/3
½
½
0
0
0
0
2.nesil Strange
-1/3
0
0
-1
0
0
0
Charm
2/3
0
0
0
+1
0
0
Bottom
-1/3
0
0
0
0
-1
0
Top
2/3
0
0
0
0
0
+1
1.nesil
3.nesil
Q
I
Down
-1/3
Up
Kuarkların kütleleri ise Tablo 2.8 içinde belirtilmektedir. Kütlelerin net bir
değeri yoktur, kütle değerlerini belirli bir aralıkta alırlar.
11
Tablo 2.8. Aşağı ve yukarı tip kuarkların sahip oldukları kütle değeri aralıkları [19].
Kuark Kütleleri (MeV/ c 2 )
Aşağı Kuarklar
Yukarı Kuarklar
u: (1,5 - 4,5) x 10−3
d: (5 - 8,5) x 10−3
s: (80 – 155) x 10−3
c: 1,0 - 1,4
t: 174,3 ± 5,1
b: 4 – 4,5
Kuarklar dört tip kuvvetin etkisi altındadır. Bunlar çekirdek içi kuvvetleri olan
güçlü kuvvetler, çekirdek dışındaki nükleer kuvvetler olan zayıf kuvvetler,
elektromanyetik kuvvetler ve kütle çekim kuvvetleridir. Kütlelerinden dolayı kütle
çekim kuvvetleri ihmal ederiz. Kuarklar ve tüm diğer parçacıkların etkileşimi Standart
Model ile incelenir.
Standart Model tüm parçacıklar arasındaki etkileşimi parçacıklar arasındaki
bozon grubu parçacıklarının değiş-tokuş edilmesiyle açıklar. Buna göre elektromanyetik
kuvvetlerin oluşturduğu etkileşim spini s=1 olan foton tarafından sağlanır. Kuarklar
arasındaki güçlü etkileşim s=1 spin değerine sahip 8 adet gluon aracılığıyla sağlanır.
Zayıf etkileşimler ise spini s=1 olan W ± bozonları ile Z 0 bozonu sayesinde gerçekleşir.
12
3. PARÇACIK ETKİLEŞİMLERİ
3.1. PARÇACIK ETKİLEŞİM TEORİLERİ
Doğada fiziksel olayların açıklanması için farklı fiziksel yasalar kullanılır.
Düşük enerjili yani gözle görülür dünyadaki fiziksel olaylar klasik mekanik yasaları
yani Newton yasaları ile açıklanırken yüksek enerjili fiziksel süreçleri açıklamak için
kuantum mekaniği yasaları kullanılır.
Yüksek enerjili ve çok küçük boyuttaki parçacıkların açıklanması için kuantum
alan teorisi kullanılır ki bu teori 20. yüzyılın başlarında gelişmeye başlamıştır ve
Standart Model’ in ortaya çıkması ile birlikte bu tip etkileşim süreçleri daha başarılı bir
şekilde ele alınmıştır. Richard Feynman 1948 yılında parçacık etkileşim sürecini
açıklayan diyagramları ortaya koydu ve bu diyagramlar ile etkileşimler görsel olarak
kısmen açıklandı. Parçacık fiziği yasaları günümüzde henüz tamamen mükemmel
olmayan ancak çoğunlukla başarılı sonuçlar veren Standart Model teorilerine
dayanmaktadır.
3.1.1 Standart Model
Standart Model (SM) evrende gravitasyonel kuvvetler hariç tüm etkileşimleri ele
alabilmek için geliştirilmiştir. Standart Model maddenin temel taşlarının bozonlar ve
leptonlar olduğunu söyler ve bozonların bu parçacıklar arasındaki kuvvet taşıyıcıları
olduğunu söyler. Standart Model içerisinde doğadaki dört kuvvet mevcuttur. Bunlar
kuvvetli, elektromanyetik, zayıf ve kütle çekim kuvvetleridir. Bu modele göre
parçacıklar arasındaki elektromanyetik etkileşimler Kuantum Elektrodinamiği (QED)
kuramı ile açıklanır. Kurama göre elektromanyetik kuvvetler arasındaki etkileşim γ
sayesinde sağlanır. Standart Model kuarklar arasında gerçekleşen çekirdek içi güçlü
etkileşimleri Kuantum Renk Dinamiği (QCD) ile açıklar.
Standart Model parçacık etkileşimleri iyi bir biçimde açıklayabildiği halde
yetersiz kaldığı yerlerde vardır. Örnek olarak yüksek enerjilere çıkıldıkça gerçekleşen
etkileşimlerin hepsine Standart Model’in cevap veremeyeceği söylenir ve bunun için
Standart Model ötesinde (BSM) yeni fizik araştırılmaktadır. Buna ek olarak kuark ve
leptonların temel parçacık olup olmadığına ve neden üç jenerasyona sahip olduğuna, bu
parçacıkların dördüncü bir jenerasyonun var olma ihtimaline, evrendeki kayıp madde ve
13
evrendeki madde ve anti-madde arasındaki oran farkının fazla olmasına Standart Model
net bir yanıt veremez.
Standart Model elektromanyetik, zayıf ve kuvvetli etkileşimleri başarılı bir
şekilde açıklamaktadır. Teorik olarak SM, SU(3)c x SU(2)w x U(1)γ ayar simetrisine
dayalı bir kuantum alan teorisidir [19]. Burada SU(3)cgüçlü etkileşimleri tanımlayan ve
determinantı 1 olan 3x3 lük matristir. Bu matriste geçen C alt indisi renk yükünü temsil
etmektedir. Bu ayar grubunun bozonları 8 adet gluondan oluşmaktadır. Elektrozayıf
etkileşimleri ise SU(2)w x U(1)γ simetri ayar grubundan oluşur. SU(2)w ayar simetrisi
determinantı 1 olan 2x2’lik bir matrisdir. U(1)γ iseelektrozayıf etkileşimlerin bir alt
grubu olan elektromanyetik etkileşimleri açıklayan 1x1 liküniter bir matristir.
Parçacık etkileşimlerini açıklayan bu dinamik teorilerinde Richard Feynman’ın
oluşturduğu diyagramlar kullanılır.
3.1.2 Feynman Diyagramları
Feynman diyagramları rölativistik saçılma süreçlerini açıklamak için Richard
Feynman tarafından ileri sürülmüş bir tekniktir. Bunun için Lorentz invaryant saçılım
genliği olan µfi niceliğine ihtiyaç duyulur. Bu genlik momentumu iyi bir biçimde
tanımlanmış ilk durum |ψi > ile |ψf >final durumu momentumları tanımlanmış olan
bazı parçacıkları içerir [20].
Feynman diyagramları µfi genliğinin bileşenlerinin gösterildiği grafiklerdir.
Diyagramlar oluşturulan veya yok olan parçacıkları anlatan vertice olarak adlandırılan
noktalar ve verteks olarak adlandırılan çizgilerden oluşur. Buna göre fermiyon grubu bir
parçacık diyagramda düz çizgi ile temsil edilir. Bozon grubu parçacıkları ise kesikli,
dalgasal veya kıvrımlı çizgilerle belirtilir. Diyagramlar iki eksenden oluşur ki bu
eksenler zaman ve uzayı göstermektedir. Zaman ekseninde seçtiğimiz yöne göre
parçacıklar ve anti parçacıklar tanımlanır. Buna göre zaman ekseninde yukarı doğru
hareket eden parçacığın anti parçacığı zaman ekseninde aşağı doğru hareket eder.
Diyagramın içeriğine bakacak olursak ilk durum parçacığı vertekse doğru (→•) ile
temsil edilir. Son durumdaki parçacık ise noktadan dışarıya doğru olan çizgi (•→) ile
temsil edilir. Anti-parçacık için durum parçacığın tam tersidir. Anti parçacığı ilk
durumda ( ←•) ile gösterilir ve son durumdaki parçacık ( •← ) ile temsil edilir. İlk
14
durumdaki foton ( • ~ ) ile gösterilirken, son durumda açığa çıkan foton ( ~ • ) ile
gösterilir.
Diyagramlar dörtlü momentumlarda iyi tanımlanmış durumlar arasındaki
dönüşümleri gösterdiği için uzay ve zaman boyunca devam eden ara parçacıkların
bileşenlerini de kolayca açıklar.
Şekil3.1.Elektron - muon elastik saçılması için en basit Feynman diyagramı [20].
Şekil3.2.Elektron - muon elastik saçılması için daha karmaşık diyagramlar [20].
Diyagramları açıklarken Feynman kuralları olarak adlandırılan hesaplama
yöntemleri kullanılır.
µfi genlik katkısını hesaplamak için her verteksi bir verteks faktörü ile
birleştiririz. Fotonların elektronlarla etkileşimi için verteks faktörü −g e dir. Burada g e
boyutsuz yük veya çiftlenim sabitidir. Çiftlenim sabiti verteksteki kuvvet taşıyıcılarıyla
parçacıklar
arasındaki
etkileşimin
büyüklüğünü
gösterir.
Bundan
dolayı
elektromanyetik verteksler için yükle orantılı olarak boyutsuz bir niceliğe ihtiyaç
duyarız ki bu ince yapı sabitidir.
e2
α = (4πε
0 )ħc
≅ 1/137
Burada g e uygun bir nicelik seçilerek eşitlik aşağıdaki gibi yazılabilir;
15
(3.1)
αEM =
ge 2
(3.2)
4π
Başka bir deyişle çiftlenim sabiti e elektronik yükünün boyutsuz bir ölçümüdür.
Foton ve elektron arasındaki çiftlenim büyüklüğüne baktığımızda;
−g e = −�4παEM
(3.3)
Her yüklü final parçacığının verteks faktörü Qf olarak alınır. Proton için bu
değer g e Qf iken elektron için katsayı −g e değerindedir ve üst kuarklar ise
değerindedir. Elektron saçılması için Şekil 3.3 örnek bir vertekstir.
2
g
3 e
Şekil 3.3.Verteks faktörü −g e olan elektromanyetik verteks [20].
Feynman diyagramları kullanılarak parçacıkların etkileşim süreçleri açıklanırken
parçacıkların girmiş olduğu zayıf ve güçlü etkileşimler ayrı teorilerle ele alınır. Bu
teorilerin içerisinde bulunan bu diyagramlar teorilerin getirdiği şartlara göre farklı
düzenler almaktadır.
3.1.3 Kuantum Elektrodinamiği
Parçacıklar arasındaki elektrozayıf etkileşimleri açıklayan bu teori kuantum alan
teorisinin bir prototipidir. Teori Feynman diyagramlarını kullanarak elektro zayıf
etkileşimleri açıklar. Elektro zayıf etkileşimleri açıklayan SU(2)w x U(1)γ simetri
grubunun ayar bozonları ise γ, W ± ve Z 0 bozonudur. Burada teorinin matematiksel
ayrıntılarını
açıklamak
yerine
birkaç
örnek
inceleyebiliriz.
16
vererek
parçacık
etkileşimlerini
Şekil 3.4.İki elektronun birbirleriyle etkileşimlerini göstermektedir. Burada iki elektron
gelip bir elektronu paylaşır ve iki elektron tekrar çıkar. Klasik teoride Coulomb itmesi
olarak adlandırılan bu etkileşim Kuantum Elektrodinamiğine (QED) Moller saçılması
olarak adlandırılır [11].
Parçacıklar arasındaki elektro-zayıf etkileşimleri Feynman diyagramlarının farklı
kombinasyonları ile anlatabiliriz. Bhabba saçılması olarak adlandırılan elektronpozitron yok olması sürecini de Şekil 3.5 aracılığıyla açıklarız.
Şekil 3.5.Elektron-pozitron yok olması ( e− + e+ → γγ ) sürecini gösteren Feynman
diyagramı.
Yalnızca iki verteks kullanarak aşağıdaki diyagramlar sayesinde üç farklı
etkileşim sürecini açıklayabiliriz.
Şekil 3.6.Feynman diyagramları kullanarak elektrozayıf etkileşimlerin açıklanması [11].
17
Kuantum elektrodinamiğinde fotonlar ile elektronlar arasındaki etkileşimin
büyüklüğünü daha öncede bahsettiğimiz ince yapı sabiti α ile belirleriz.
Belirli fiziksel bir işlemi incelemek istediğinizde öncelikle uygun dış çizgilerden
oluşan diyagramların hepsini çizeriz, (iki köşeli (verticeli) olanları, 4 köşeli olanları vs.
) sonrada her bir diyagramın katkısını Feynman kurallarını kullanarak hesaplarız ve
hepsini toplarız. Verilen dış çizgilerin Feynman diyagramlarının toplamı asıl fiziksel
işlemi göstermektedir. Herhangi bir fiziksel işlem için sonsuz sayıda Feynman
diyagramı çizilebilse de fazla köşesi olan diyagramlarda her bir diyagramın katkısı
1/137 katsayısıyla olduğu için 4 köşe den fazla olan diyagramlarda köşeler ihmal
edilebilir.
3.1.4 Kuantum Kromodinamiği
Parçacıklar arasındaki güçlü etkileşimleri anlatan teoridir. Hadronları oluşturan
kuark ve gluonlar arasındaki etkileşimleri anlatır. Kuantum Kromodinamiği (QCD)
etkileşimleri kuark→kuark+gluon şeklinde tanımlar. Gluonlar çift renk yüküne sahip
kütlesiz parçacıklardır. Bir birim pozitif ve bir birim negatif yük taşıyan gluonlar için
3×3=9 farklı renk ihtimali vardır. Kuantum kromodinamiği matematiksel olarak SU(3)c
simetri grubu ile açıklanır. QED içerisinde geçen ince yapı sabitine benzer olarak güçlü
etkileşimleri αs olarak tanımladığımız çiftlenim sabiti ile açıklarız. İki sabiti birbirlerine
kabataslak oranlarsak;
αs
α
10−19
= �10−23 ~100
(3.4)
Ancak açık bir şekilde bu sabiti; g s 2 /(4π)~1 olarak yazabiliriz ki burada
g s kuark bileşenlerinin yük gücü olarak tanımlanır. QCD’ de gluonların kütlesiz
olmasından dolayı potansiyeli 1/r ile değişecek şekilde tanımlarız [1].
4 αs
Vs = − 3
r
+ kr
(3.5)
Güçlü etkileşimlerde renk yükü korunacak şekilde kuarklar birbirleriyle
tepkimeye girerler. Şekil 3.7 bu etkileşimi Feynman diyagramı ile açıklayan yapıdır.
18
Şekil 3.7. Başlangıçta kırmızı renk yüküne sahip üst kuark ile son durumdaki mavi renk
yüküne sahip üst kuarkın bir birim mavi yük ve bir birim anti kırmızı yük taşıyan gluon
sayesinde etkileşmesi [11].
Yüksek enerjili saçılımlar ve bozunumlar güçlü etkileşimlere örnektir. Şekil 3.8
yüksek enerjili ∆++ → p + π+ bozunumunu gösteren bir diyagramdır.
Şekil 3.8.∆++ → p + π+ bozunum reaksiyonu. Düz çizgiler kuarkları temsil ederken
spiral şeklindeki çizgi ile aracı parçacık olan gluon temsile edilir [1].
Kuantum Kromodinamiği renk hapsi denilen kuarkların yalnız başına
bulunamayacağı olgusunu söyler. Buna göre renk yüklü parçacıkları (kuarklar ve
gluonlar) birbirlerinden ayırmaya çalıştığımızda, aralarındaki renk kuvveti sabit bir
değere yaklaşır ve renk-kuvvet alanında depolanan enerji artar. Bu enerji, sonunda
fazladan kuark ve anti-kuark çiftlerine dönüşür. Sonunda ortaya çıkan bu parçacıklar
(mezonlar ve baryonlar), hadron olarak adlandırılan renk yükü olmayan parçacıklardır.
Kuantum kromodinamiği teorisi yalnızca kısa mesafelerde geçerlidir ve bu
teorinin ortaya koymuş olduğu çiftlenim sabiti etkileşim mesafesinin artmasıyla
değişkenlik gösterebilir. Uzun mesafelerdeki etkileşimleri bu teori ile ilişkilendirerek
açıklamak için String Teori kullanılır. Bu teori henüz tam olarak ideal bir seviyede
değildir.
QCD teorisini kullanarak yüksek enerjili etkileşimler olan bozunumlar ve
saçılma reaksiyonlarını açıklayabiliriz.
19
3.2. PARÇACIK BOZUNUMLARI VE SAÇILMALAR
Parçacık bozunumu bir veya birden çok parçacığın farklı parçacıklara dönüştüğü
yüksek enerjili bir süreçtir. Gerçekleşen bu süreçte ilk durumda bulunan parçacıklar
kendisinden daha düşük enerjideki parçacıklara dönüşür. Bu süreçte hadronları
oluşturan kuarklar birbirlerine dönüşerek yeni parçacıkları oluşturur. Saçılma ise bir
parçacığın başka bir parçacıkla çarpıştırılarak farklı parçacıklar elde edilmesi olayıdır.
Bozunum sürecine örnek olarak ρ+ → π+ π0 tepkimesini verebiliriz. Şekil 3.9 bu süreci
açıklayan Feynman diyagramını göstermektedir.
Şekil 3.9.ρ+ → π+ π0 tepkimesini açıklayan Feynman diyagramı. Diyagram kuarklar
arasındaki etkileşimleri göstererek bozunum sürecini açıklamaktadır [1].
Kuarklar yüklü W + veya W − bozonlarını soğurarak veya yayarak başka
kuarklara dönüşür. Enerji korunum yasasına uyacak şekilde kuarklar genel olarak
bulunduğu jenerasyonun kuarkına dönüşür. Ancak zayıf ve güçlü öz durumlarda ki
farklılığa bağlı olarak farklı jenerasyonların kuarklarına da dönüşebilir.
Kuark karışımı, CP ihlali için gerekli fazı sağlayan Cabibbo – Kobayashi Maskawa matrisiyle ifade edilir [21].
Cabibbo – Kobayashi – Maskawa tarafından oluşturulan (CKM)
matrisi
sayesinde aşağı tip kuarkların öz durumları (|d′ >, |s′ >, |b′ ) ile (|d>, |𝑠 >, |𝑏 >) güçlü
öz durumları arasında ilişki kurar [22].
Parçacık bozunumu ve parçacıkların saçılma deneyleri yüksek enerjilerdeki
etkileşimler olduğundan bu tür süreçleri izafi matematiksel hesaplamalarla buluruz.
Etkileşimlerin son durumunda açığa çıkan parçacık sayısına göre ve etkileşen
parçacıkların kuantumsal özelliklerine göre bu süreçlerin kinematiği bulunur ve bu
20
etkileşimlerin özellikleri incelenir. Şayet son durumda açığa iki parçacık çıkıyorsa bu
etkileşimin kinematiğin basit olarak momentum korunumu ve enerjinin korunumu
yasalarını kullanarak açıklayabiliriz. Ancak son durumda açığa üç parçacığın çıktığı
etkileşim
süreçlerini
daha
sonra
değineceğimiz
Dalitz
grafikleri
sayesinde
açıklayabiliriz.
3.3 PARÇACIK ETKİLEŞİMİNDEKİ EVRENSEL SİMETRİ YASALARI
Bu bölümde daha önce kısmen bahsetmiş olduğumuz C ve P simetrilerine ek
olarak T simetrisini ve bu simetrilerin parçacık etkileşimlerindeki korunmasını ve bu
simetrilerin bozulma durumlarını ele alacağız.
P simetrisi daha öncede bahsetmiş olduğumuz gibi parite simetrisi anlamına
gelir ve fiziksel yasaların tüm koordinat eksenleri için aynı kalacağını söyler. Buna göre
parite transformasyonu tüm koordinatlar için bir ayna görevi görür. Parite
transformasyonu altındaki bir dalga fonksiyonunu aşağıdaki gibi yazabiliriz.
Pψ(x�⃗) → ψ(−x�⃗)
(3.6)
Kuantum mekaniğinde parite değişmezliği etkileşim potansiyeli V(x) in parite
transformasyonu altında değişmediği bir özelliktir. Bu transformasyon altındaki
potansiyeli aşağıdaki denklemle ifade edebiliriz.
V(x�⃗) = V(−x�⃗)
(3.7)
Bu değişmezlik ile dalga fonksiyonunun ilk durumundan son durumuna geçiş
olasılığını aşağıdaki gibi yazabiliriz.
ψ(−x�⃗)ψ∗ (−x�⃗) = ψ(−x�⃗)ψ∗ (−x�⃗)
(3.8)
Bu denklem ilk durumdan son duruma geçişteki olasılığın Pi → Pf aynı olduğu
ortaya koymaktadır [23].
Parite simetrisi elektromanyetik, kütle çekimsel ve güçlü etkileşimlerde
korunmasına rağmen zayıf etkileşimlerde bu simetri korunmayabilir. Bu simetrinin
21
kırılmasına örnek olarak Co-60 çekirdeğinin beta bozunması deneyinin sonucunda
parite simetrisinin korunmadığı gözlemlendi. Bu simetri kırılmasının izahı bir takım
parçacıklara sarmalık dediğimiz spin yönelim değerlerinin verilmesiyle yapıldı. Buna
göre parçacıkların spin yönelimi sağ elde ve sol elde olarak ayrılır. Tüm nötrinolar sol
elli parçacık olarak adlandırılırken anti nötrinolara sağ elli parçacık olarak
adlandırılmaktadır.
Şekil 3.10. Parçacıkların spini ve hızları paralel olan (a) helisiti değeri +1 olan parçacık
(b) spini ve hızları (a) parçacığına anti-paralel, helisiti değeri -1 olan parçacık [11].
C ise yük eşleniği altında fiziksel kuvvetlerin bir simetrisidir. Yük eşleniği
transformasyonu parçacık anti-parçacığa dönüştürür. Elektromanyetizma, güçlü
kuvvetler ve yerçekimi bu simetriye uysa da zayıf kuvvetler bu simetriye
uymamaktadır. Yük eşleniği transformasyonu parçacığın spin ve momenti dışındaki tüm
kuantum sayılarının işaretini değiştirmektedir.
C|N, p
���⃗, s⃗ > = 𝜂′𝐶| − N, p
���⃗, s⃗ >
(3.9)
Eşitlikteki η'C değeri faz faktörüdür. Bu eşitlikten ek kuantum sayılarının
tümünün sıfır olması durumunda parçacığın yük konjügasyonunun öz değeri olduğunu
anlıyoruz. Örnek olarakπ0 ele alındığında aşağıdaki denklem elde edilir.
C|π0 > = +|π0 >
(3.10)
Bu özellik yarı konjüge durum olarak adlandırılır. Yük eşleniği simetrisi
parçacık fiziğinin önemli bir parçasıdır. Eğer π+ → µ+ νpion bozunum tepkimesine bu
transformasyon uygulanırsa π− → µ− ν� tüm parçacıklar anti parçacıklar ile değişir. Bu
dönüşüm durumunu Şekil 3.11 göstermektedir.
22
Şekil 3.11. π− parçacığı bozunumunun yük konjügesi transformasyonu altındaki
değişimi.
Şekilde görülen bu π− bozunumu doğada görülmemektedir. Bu zayıf kuvvetlerin
yük eşleniği altında değişmez olmadığını göstermektedir.
Bu simetrilerin dışında birde zamanı tersine götüren T (zaman) simetrisi vardır.
Zaman simetrisinde ise bir durum t → −t şeklinde bir duruma dönüşür.
C ve P simetrileri parçacık etkileşimleri için önemli bir yer tutmaktadır. Bu
simetrilerin birleşimini bir tepkimeye uyguladığımızda C veya P simetrisi altında farklı
davranış gösteren bir tepkimenin bu iki simetrinin birleşimi olan CP simetrisi altında
farklı sonuçlar verebilmektedir. Pion deneyine yeniden bakacak olursak π+ bozunumuna
yük konjugasyonu uygulandıktan sonra parite transformasyonunu da uygularsak π+
bozunumunun CP transformasyonunu elde ederiz. Şekil 3.12 bu simetri operatörlerinin
pion bozunumuna uygulanması gösterilmektedir.
Şekil 3.12.Pion deneyi için C, P ve CP simetrilerinin uygulanması ve bu dönüşümler
altındaki parçacıkların değişim süreçleri [24].
C-transformasyonu doğada görünmese de son durum görülmüştür. Bu zayıf
kuvvetlerin P altında yada C altında değişmez olmadığını ama CP transformasyonu
23
altında değişmez olduklarını göstermektedir. Şekil 3.13 ise sol elli parçacık olan
nötrinolar için C, P ve CP simetrileri altındaki değişimi göstermektedir.
Şekil 3.13.P, C ve CP simetrileri altındaki nötrinolar için ayna yansıması [25].
Doğadaki etkileşimlerin çoğunda bu simetriler korunurken zayıf etkileşimlerde
bu simetrilerin kırılmaları söz konusudur. Bu simetrilerin doğadaki etkileşimlerdeki
korunum durumu Tablo 3.1içerisinde verilmektedir.
Tablo 3.1. Etkileşim tiplerine göre C, P, T, CP ve CPT simetrilerinin korunma
durumlarını anlatmaktadır.
Etkileşim Tipi
C
P
T
CP
CPT
Güçlü Etkileşim
+
+
+
+
+
Elektromanyetizma
+
+
+
+
+
Yer Çekimi
+
+
+
+
+
Zayıf Etkileşim
-
-
?
?
+
CP simetrisi evrendeki madde ve anti-madde arasındaki ilişkiyi açıklaması
açısından etkileşimlerde bu simetrinin korunmasının önemi büyüktür. Standart Model
bu simetriyi ve bu simetrinin kırılmasını açıklamak için metotlar geliştirilmiştir. Bu
simetrileri ayrıca Dalitz grafiklerini kullanarak Bölüm 4’te tekrar inceleyeceğiz. Buna
göre etkileşimlerde CP simetrisini ve bu simetrinin kırılmasını grafikler üzerinde
gözlemleyeceğiz.
24
4. DALITZ GRAFİKLERİ
Parçacık bozunumlarını açıklamak için kullanılan Dalitz grafik metodu
sayesinde bozunum süreci iki boyutlu bir grafik üzerinde incelenir. Bu bölümde Dalitz
grafikleri analiz tekniğini ele alarak parçacık bozunum süreçlerine değineceğiz.
4.1 Dalitz Grafikleri ve Kullanım Amacı
Dalitz grafikleri son durumunda üç parçacık ve yalnızca spini sıfır olan
bozunumları görsel olarak göstermektedir [28]. Buna göre son durumunda üç parçacık
olan X → abc tipi bir bozunumu iki boyutlu bir grafik üzerinde incelenir. Eksenleri bu
parçacıklar için muhtemel çiftlenimler olan ab, ac ve bc ‘nin çiftlenmiş kütlelerinin
karesi oluşturur. Dalitz grafiği üzerine her bir bozunum olayı bir nokta olarak grafik
üzerine yerleştirilir ve son durumda açığa çıkan parçacıkların enerjilerini ve bozunum
genliğini temel alarak bozunum kinematiğini ve bozunum sürecini inceler.
Dalitz grafikleri Richard Dalitz tarafından ilk kez 1954 yılında ileri
sürüldüğünde günümüz grafiklerinden farklıydı. Dalitz grafiklerinin eski tipleri bozunan
parçacıkların spin ve paritesini belirlemeye yönelik kullanılmaktaydı. Günümüzde
kullanılan Dalitz grafikleri ise açığa çıkan parçacıkların spini, etkileşimdeki simetri
korunum yasalarının korunup korunmadığı, ara parçacıkların olup olmaması durumları
gibi soruları yanıtlayarak bozunum sürecini açıklamaktadır. Örnek olarak B + →
π+ π− K + bozunumunun Dalitz grafiği Şekil 4.1 içerisinde gösterilmektedir. Şekildeki
grafikte eksenleri son durumda açığa çıkan π+ π− parçacıkları ile K + π− parçacıklarının
çiftlenmiş kütlesinin karesi oluşturmaktadır. Meydana gelen bozunumları enerjilerine
göre eksen üzerine yerleştirilmektedir.
25
Şekil 4.1.B+ → π+ π− K+ bozunumunun Dalitz Plot üzerinde gösterimi.
4.2 Dalitz Grafikleri Analiz Teknikleri
Dalitz grafikleri X → abctipi bir etkileşim için bozunum sürecini açıklar. Buna
göre spini sıfır olan etkileşim için süreç her bir bozunum olayının enerjilerine göre
grafik eksenleri üzerine birer nokta olarak yerleştirilir. Grafik üzerindeki noktasal
dağılım incelenerek bozunum süreci açıklanır. Şekil 4.2Dalitz grafiğini ve eksenlerini
göstermektedir. Buna göre grafiğin eksenlerini aşağıdaki denklemlerle açıklayabiliriz.
x = mab 2
(4.1)
y = mac 2
(4.2)
mab 2 = (pa 𝑖 + pb i )2
(4.3)
Burada mab 2 ve mac 2 ifadeleri Dalitz grafiğinin eksenlerini oluşturan çiftlenmiş olan
parçacıkların invaryant kütlelerinin karesidir, pa i ve pb i ise a ve b parçacıkları için
dörtlü momentumlardır.
26
Şekil 4.2.Düzenli bir dağılım gösteren etkileşim için farazi oluşturulmuş Dalitz grafiği
ve eksenleri [26].
Dalitz grafiğini oluşturan noktaların her biri bozunumu temsil ettiğinden
etkileşime giren parçacıkların bozunum oranlarıyla grafikteki noktasal popülasyon
değişecektir. Bozunum oranı ve Dalitz grafiği analizinin temel aldığı formüllere daha
sonra değineceğiz. Dalitz grafikleri günümüzde esas olarak bozunum sürecinde
rezonans tepkimesinin olup olmadığını inceler. Üç parçalıklı bozunum sürecinde Dalitz
grafiklerinin temel aldığı modele göre bozunum direkt gerçekleşebileceği gibi ara
parçacığın bulunduğu rezonans tepkimesiyle de gerçekleşebilir. Rezonans tepkimesine
göre parçacık önce iki parçacığa bozunur ve ardından bir ara tepkime daha olur ve son
durumda üç parçacık gözlemlenir. Bu tip bir bozunum X → rc, r → ab ve son durumda
X → abc şeklinde gerçekleşir.Bu bozunum aşağıdaki bağıntının sağlanmasıyla
gerçekleşir [27].
mr 2 = mab 2
Şekil 4.3 bu bozunum sürecini anlatmaktadır.
27
(4.4)
Şekil 4.3.Rezonans tepkimesini içeren üç parçacıklı bir bozunum sürecinin gösterilmesi.
Bozunum yüksek enerjili bir tepkimedir ve çok hızlı gerçekleşir. Bu yüzden bu
tip bozunumlar direkt gözlemlenemez ve Dalitz grafiğinde bulunan noktaların
popülasyonu rezonans tepkimelerinin olup olmadığı hakkında bilgi verir. Buna göre
grafik üzerinde yan bantlar olarak adlandırılan grafik eksenlerinde noktasal yoğunluk
artışları gözlemlenir. Yoğunlukların arttığı eksenlerdeki çiftlenmiş parçacıklar rezonans
tepkimesi sonucu açığa çıkan parçacıklardır. Şekil 4.4 muhtemel rezonanslar için Dalitz
grafiklerinde oluşacak yan bantları göstermektedir.
Şekil 4.4.Bozunum sürecinde oluşabilecek üç farklı rezonans tepkimesi için Dalitz
grafikleri. Üç farklı grafik üç farklı rezonans tepkimesi için oluşacak yan bantları
göstermektedir.
Dalitz grafikleri spini sıfır olan tepkimeleri ele almaktadır. Tepkimenin toplam
spini sıfır olduğu halde rezonans tepkimelerinin spinleri sıfır yada sıfırdan farklı
olabilir. Buna göre rezonans tepkimeleri 0, 1, 2 spin değerlerine sahip olabilir. Rezonans
28
tepkimelerinin spinlerinin değerlerini Dalitz grafiklerinde oluşacak yan bantların
şekillerinden anlarız. Şekil 4.5 bu spin değerleri için oluşacak yan bantları
göstermektedir.
Şekil 4.5. Spinleri 0, 1 ve 2 olan üç farklı tepkime için oluşacak Dalitz grafikleri. (a)
Spini 0 olan rezonans durumu (b) Spini 1 olan rezonans durumu (c) Spini 2 olan
rezonans durumu [27].
Rezonans tepkimelerini ve bozunum sürecini açıklayan temel yaklaşım İzobar
Model tekniğidir. Ayrıca süreci açıklamak için modelden bağımsız olarak farklı
tekniklerde kullanılır. Bu modeller kullandığı formüllerle bozunum sürecinin
kinematiğini açıklayarak etkileşimin fiziksel özelliklerini ortaya çıkarır.
4.3. İzobar Model
İzobar Model rezonans tepkimelerine sahip olan etkileşimleri açıklar. Buna göre
bozunum direkt veya ara tepkimelerle gerçekleşebilir. Bu modele göre direkt
bozunumlar ve rezonans tepkimelerinin genliğin toplamı bozunum genliği dediğimiz
bozunum oranını oluşturmaktadır. Şekil 4.6 oluşabilecek bu tipteki bir etkileşimi
göstermektedir.
Şekil 4.6.Son durumunda üç parçacık bulunan bozunum için direkt bozunum ve farklı
oluşabilecek rezonansların toplamını göstermektedir.
29
İzobar Model içerisinde bozunumu açıklayabilmek için öncelikle bazı
parametrelere değineceğiz. Buna göre üç parçacıklı bir bozunumu ele alalım. Şekil 4.7
üç parçacığa bozunan bir parçacığı göstermektedir.
Şekil 4.7.Başlangıç kütlesi M ve momentumu P olan bir parçacığın m1 , m2 , m3 kütleli
ve p1 , p2 , p3 momentumlu parçacıklara bozunumunu anlatmaktadır.
Bu bozunumu ele aldığımızda oluşabilecek rezonans tepkimeleri için kütleleri
aşağıdaki gibi eşitleriz.
m12 2 + m13 2 + m23 2 = M 2 + m1 2 + m2 2 + m3 2
(4.5)
Bu denklemdeki M ifadesini bozunum oranında da kullanırız.
Γ=
1
(2π)3 32√s3
|ς|2 dmab 2 dmbc 2
(4.6)
Burada s = M 2 dir. Ayrıca denklemdeki m ab ifadesi a ve b parçacıklarının
invaryant kütlelerinin kareleridir. Genlik sabiti tüm kinematik faktörleri içerir ve |ς|2
ifadesi ise dinamikleri içerir. Eğer |ς|2 ifadesi sabit ise Dalitz Plot üzerindeki dağılım
düzenli olacaktır.
Rezonans tepkimesini içeren bir R → rc, r → ab tipi bozunumu ele aldığımızda
|µ| ifadesini aşağıdaki gibi yazabiliriz;
ςr (J, L, l, mab , mbc ) = � < 𝑎𝑏|rλ > Tr (mab ) < 𝑐rλ |R j >
λ
= Z(J, L, l, p
�⃗, q
�⃗)BLR (|p
�⃗|)BLr (|q
�⃗|)Tr (mab )
30
(4.7)
Buradaki toplam r’nin sarmallık durumları olan λ üzerinden alınır. J ise R
parçacığının toplam açısal momentumudur. L niceliği r ve c parçacıkları arasındaki
orbital açısal momentumdur, p
�⃗ ve q
�⃗ r durgun çerçevesindeki a ve c parçacığının
momentumudur, Z final durumu parçacıklarının açısal dağılımını tanımlar. BLR ve BLr
nicelikleri ab ve rc çiftlenimlerinin ürünleri için bariyer faktörleridir ve Tr ise r
rezonansının dinamik fonksiyonunu tanımlamaktadır. Genlik Dalitz grafik modeli için
fenomenolojik bir objedir. Z, BL ve Tr gibi parametrelerdeki farklılıklar ayrı
deneylerden gelen sonuçların karşılaştırılmasını zorlaştırmaktadır [28].
İzobar Model birden fazla rezonansın olması halinde bu rezonans genliklerinin
birbirlerini destekleyecek yönde toplanmasını öngörmüştür. Buna göre rezonansların
genlikleri tıpkı Young’ un çift yarık deneyinde olduğu gibi girişime neden olunabilir.
Bu tip bir bozunum Şekil 4.8içerisinde verilmektedir.
Şekil 4.8.Birden fazla rezonans durumunu içeren üç parçacıklı bir bozunumu gösteren
diyagram [27].
Bu tipte bir rezonans veya birden fazla içeren etkileşimleri İzobar Model
içerisinde Breit – Wigner formülü olarak adlandırılan denklemlerle ifade edilebilir.
Breit – Wigner formüllerine (4.7) denklemini ele alarak ulaşabiliriz. Buna göre (4.7)
denkleminde bariyer faktörü yani Blatt – Weisskopf fonksiyonu olarak adlandırdığımız
BL niceliği Tablo 4.1 içerisinde verilmektedir.
Güçlü bir etkileşimde maksimum açısal momentum olan L değeri lineer
momentum olan q tarafından sınırlandırılır. Yavaş bir şekilde hareket eden parçacıklar
ile bir mezonun yarı çapı olan 1 fm değerine eşit olan d etki parametresi rezonans
spininin korunumunda açısal momentumun elverişli olarak genelleştirilmesinde
zorluklar yaşar. Blatt – Weisskopf fonksiyonu ağırlıkla spine bağlı etkileşimlerin
31
reaksiyon genliklerini açıklar. Bu fonksiyonlar z = (|q|d)2 = 1 değeri için BL = 1
değerinde normalize edilir. Ayrıca tabloda mab = mr olduğu anda q = q 0 değerindeki
z = z0 = (|q0 |d)2=1 içinBL ′=1 olarak normalize edilir.
Tablo 4.1.Blatt – Weisskopf bariyer faktörü değerleri [28].
BL (q)
L
0
BL ʹ(q, q 0 )
1
�
1
�
2
1
2z
1+z
�
13z 2
(z − 3)2 + 9z
1 + z0
1+z
(z0 − 3)2 + 9z0
�
(z − 3)2 + 9z
Bozunum sürecini açıklayan denklemleri kurarken etkileşime giren parçacıkların
açısal dağılımı önemlidir. R → rc, r → ab şeklinde bozunum sürecine sahip ve ayrıca a,
b ve c parçacıklarının tamamının spinlerinin 0 olduğu bir etkileşim için Zemach
formülleri [29, 30] açısal dağılımın özdeş biçimde tanımını verir. L = 0, 1, 2 değerleri
için açısal dağılım Tablo 4.2 içinde verilmektedir.
Tablo 4.2. Durgun çerçevedeki r rezonansının a ve c parçacıkları arasındaki θ açısına
sahip olduğu durumundaki L = 0, 1, 2 değerleri için açısal dağılımı göstermektedir.
Tablo içerisinde bulunan ve açısal dağılımı belirleyen niceliklerden �1 + ξ2 = Er /mab
değeri relativistik katkıdır ve Er = (mR 2 + mab 2 − mc 2 )/2mR değerine eşittir.
J→L+l
Açısal Dağılım
0
Düzenli
1
(1 + ξ2 )Cos2 θ
2
3 2
�ξ2 + � (Cos2 θ − 1/3)2
2
32
Rezonans bozunumundaki spini 0 olan a ve b parçacıklarının yaygın Breit –
Wigner formülü aşağıdaki denklemde verilmektedir.
Tr (mab ) = m
1
(4.8)
2
2
r −mab −imr Γab (q)
Burada Γ ifadesi kütleye bağlı genişliktir ve aşağıdaki denklemle verilir.Ayrıca ifade
içerisinde
geçen mab ifadesi
oluşabilecek
mümkün
üç
rezonans
çiftlenmiş
parçacığından rastgele birisini göstermektedir.
q 2L+1
Γ = Γr �q �
r
m
�m r � BL ʹ(q, q 0 )2
ab
(4.9)
Breit - Wigner formülü ile izole, üst üste gelmemiş ve ek bozunum kanallarının
eşik değerlerinden uzak değerlerdeki rezonanslar en iyi bir biçimde tanımlanır.
Rezonans parçacıklarının ömürlerini ele alacak olursak Heisenberg belirsizliğini
kullanacak olursak (∆E). (∆t) ≈ ħ eşitliğinden kısa ömürlü rezonansların daha büyük
enerjilere dolayısıyla daha geniş bir tepeye sahip olacağını gözlemleriz. Bu yolla Γ
genişliğinin yarı ömürle ters orantılı olduğu gözlemlenir. Denklem (4.8)’ de verilen izafi
Breit – Wigner genlik hesabından faydalanarak genliğin şiddeti ve fazı arasındaki
bağıntı aşağıdaki gibidir.
Ai = BWi × Ωi
(4.10)
A = |A|ei∅
(4.11)
Burada BWi izafi Breit – Wigner ifadesini ve Ωi açısal dağılımı sembolize
etmektedir [31].
Şekil 4.9 elde etmiş olduğumuz genliğin şiddet ve faz grafiğini göstermektedir.
33
Şekil 4.9.Rezonansların büyüklükleri ve fazlarını gösteren diyagram.
İzobar Model ‘ in oluşan rezonans tepkimelerinin birbirlerini destekleyecek
yönde olduğunu söyler ve bu yaklaşımla rezonans tepkimesinin olmadığı ve rezonans
tepkimesinin var olduğu etkileşim genliklerini toplayarak toplam genliği bulur. Buna
göre toplam genlik ifadesi aşağıdaki denklemde olduğu gibi yazılır.
A = ao eiδ0 + ∑i ai eiδi Ai
(4.12)
Burada ilk terim rezonansın olmadığı durumdaki genlik ifadesidir. ai ve δi
maksimum olabilirlik yaklaşımı ile ölçülen sabitlerdir ve Ai her bir rezonans kanalının
genliğidir. δ0 rezonanssız durumdaki faz ifadesini gösterirken δi rezonanstaki zayıf ve
güçlü fazları içerir. Bu yol sayesinde farklı izobarların birbirleriyle bağımlı fazları
ölçülebilir. Şekil 4.10 ve Şekil 4.11rezonans tepkimelerini yapıcı ve yıkıcı girişim
şeklindeki durumlarını ve Şekil 4.12 ise kesişim rezonanslarının girişimini Dalitz
grafiğini kullanarak göstermektedir.
34
Şekil 4.10. Rezonans tepkimesine sahip bir etkileşim için Dalitz grafiği ve bu
tepkimedeki yapıcı girişim fazı ve büyüklüğü.
35
Şekil 4.11. Rezonans tepkimesine sahip bir etkileşim için Dalitz grafiği ve bu
tepkimedeki yıkıcı girişim fazı ve büyüklüğü.
Şekil 4.12. Kesişim rezonanslarına sahip etkileşimler için Dalitz grafikleri [30].
36
İzobar Model yaklaşımı Dalitz grafikleri analiz tekniği için temel bir modeldir
ancak bu yaklaşım bazı kompleks durumlardaki verilerin fit edilmesi için yetersiz
kalmaktadır. Bu tip durumlardaki verilerin fit edilmesi için ve bu durumların analizi için
modelden
bağımsız
teknikler
olarak
adlandırılan
veri
analizi
yöntemleri
kullanılmaktadır.
4.4. Modelden Bağımsız Analiz Teknikleri
İzobar Model yaklaşımı ile Dalitz grafiklerini tam anlamıyla kusursuz bir
biçimde analiz edilemez. Bu model dar ve izole edilmiş rezonans durumlarının
verilerinin fit edilmesini iyi bir biçimde açıkladığı halde geniş genliğe sahip ve üst üste
binmiş rezonans genliklerine sahip etkileşimlerin verilerini fit etmekte yetersiz
kalmaktadır. Modeldeki bu yetersizliklerden dolayı modelden bağımsız olarak metotlar
geliştirilmiştir ki bu metotlar ile farklı rezonans durumlarına sahip tepkimeler
açıklanabilmektedir.
4.4.1. K Matris Yaklaşımı
Dalitz grafiklerinin analizinde temel bir yaklaşım olan İzobar Model geniş
tepelere sahip ve üst üste binmiş rezonans durumlarını açıklamakta yetersiz kalır. Bu
tipte rezonans tepkimelerine sahip etkileşimler için elde edilen verileri K Matris
yaklaşımı ile fit edebiliriz. Bu yönteme göre toplam genlik ifadesini rezonans
kutuplarının toplamı şeklinde yazılabilen K matrisinin elemanları ve Breit – Wigner
ifadesinden gelen ifadelerinin toplamı şeklinde yazabiliriz. Bu yaklaşımın ilk adımı
olarak herhangi bir etkileşimdeki ilk durum ve son durum genlikleri arasında bağlantı
kuran S (Scattering Matrix) saçılım matrisini yazarak başlayalım.
Sfi =< f|S|i >
(4.13)
Saçılım operatörü olan S üniterdir ve SS † = I ifadesini sağlamaktadır. Bu
ifadeden yola çıkarak T i (Transition Operator) dönüşüm matrisini aşağıdaki gibi
yazabiliriz.
S = I + 2iTi
37
(4.14)
Bu denklem sayesinde aşağıdaki eşitlikleri yazmak mümkündür.
�Ti † �
−1
− Ti −1 = 2iI
(4.15)
†
�Ti −1 + iI� = (Ti −1 + iI)
(4.16)
Yukarıda verilen denklemlerde (Ti −1 + iI) ifadesinin Hermityen bir operatör
olduğunu görmekteyiz. Buradan yola çıkarak K matrisinin operatörünü aşağıdaki gibi
tanımlarız.
K −1 = (Ti −1 + iI)
(4.17)
Bu denklem bize K = K † bağıntısını vererek K matrisinin de Hermityen
olduğunu söylemekte ve ayrıca S ve T i matrislerinin zamanda dönüşümleri K
operatörünü simetrik yapar. K matrisi terimlerinden yola çıktığımızda sonuç olarak
aşağıdaki eşitlikleri elde ederiz ki bu denklemler sayesinde K matrisi olarak
adlandırdığımız operatör simetrik ve reel seçilebilmektedir [32].
Ti = K(I − iK)−1
K
matris
yaklaşımı
(4.18)
S = (I + iK)(I − iK)−1
farklı
rezonans
kanallarından
(4.19)
gelen
verileri
fit
edebilmektedir. Buna göre birden çok kutuplu ve kanallı rezonanslara sahip
etkileşimleri incelemekte bu yöntemi kullanırız. Bu yaklaşımla farklı etkileşimlerden
gelen sinyalleri toplam genlik ifadesi içerisinde yazabiliriz. Bu işlem yapılırken daha
sonra değineceğimiz kısmi dalga analizi sayesinde farklı ürün parçacıkları için gelen
farklı dalgalar kullanılmaktadır. Bahsedilen kutuplar rezonans durumlarını, kanallar ise
farklı çiftlenim ürünlerini anlatmaktadır. K matris formülünü en genel olarak aşağıdaki
denklemle ifade edebiliriz.
38
K ij = ∑α
�mα Γαi (m)mα Γαj (m)
(mα 2 −m2 )�ρi ρj
(4.20)
Denklem α rezonans kutupları üzerinden bir toplamdır. Etkileşimde birden
fazlarezonans durumu olması halinde toplam olarak denkleme ekleriz. Γαi ve Γαj
bozunum oranlarını i ve j kanalları için vermektedir. ρi ise faz – uzay faktörüdür. Bu
denklemden yola çıkarak tek kutup ve tek kanala sahip bir etkileşimde K matris
formülünü aşağıdaki gibi ifade ederiz.
m Γ(m)
K = m 02 −m2
(4.21)
0
Bu denklem ile T i relativistik Breit–Wigner formülünü aşağıdaki gibi ifade
edebiliriz.
Ti = K(I − iK)−1 = m
m0 Γ(m)
2 −m2 −im Γ(m)
0
0
(4.22)
Örnek olarak iki kutup ve tek kanala sahip bir etkileşimi ele aldığımızda K
matrisi aşağıdaki eşitlikle ifade edilir.
K=
mα Γα (m)
mα
2 −m2
+
mβ Γβ (m)
mβ 2 −m2
(4.23)
Bu formülasyon ab → cd tipi iki parçacıklı saçılım durumundaki S dalgası
ürünlerini sağlamaktadır. Charm içerikli mezonlar gibi bozunum süreçlerindeki
rezonansların ürünlerinin tanımlanması bu yaklaşım sayesinde genelleştirilebilir.
Buradaki anahtar yaklaşım K matrisi tarafından tanımlanmış iki parçacıklı sistemin
durgun final durumu ile etkileşmemesidir. Bu yaklaşımın geçerliliği π− p → π0 π0 n gibi
reaksiyonlar ve D → Kπℓν etkileşimi gibi yarı leptonik tepkimeler için geçerlidir [27].
Ek olarak Breit–Wigner modelinin garanti edemediği durumdaki üniterlik
cebirinin uygulanmasına direkt bir yol sağlar. Bundan dolayı K matris modeli çok
kanallı bozunumlardaki geniş ve üst üste binmiş rezonans durumları için ve Breit –
39
Wigner modelinin temel sınırlaması olan D0 → K s 0 π− π+ etkileşimindeki ππ S- dalgası
durumlarının parametrelerini çözümlemesi için uygundur.
Bu durumda Dalitz grafiğinin genliği 𝒜D (m− 2 , m+ 2 ) için spini 1, 2 ve 0 spinli
Kπ için iki parçacıklı bozunum matrisinin elemanlarının toplamı olarak yazılabilir
(Breit – Wigner modeli gibi) ve bu ππ spin 0 kısmı K matrisinin terimlerinde bulunan
F1 olarak yazılarak ifade edilir. Buna göre aşağıdaki denklemle K matrisi elemanlarını
kullanarak toplam genlik ifadesini yazabiliriz.
𝒜D (m− 2 , m+ 2 ) = F1 (s) + ∑r≠ππ S−dalgası ar eiΦr 𝒜r (m− 2 , m+ 2 ) (4.24)
Bu denklemdeki F1 ifadesi ππ S – dalga durumlarının katkısıdır ve aşağıdaki
eşitlikle ifade edilir.
−1
F1 (s) = ∑j[I − iK(s)ρ(s)]1j Pj (s)
Burada
s
niceliği
ππ
sisteminin
çiftlenmiş
(4.25)
kütlesinin
karesini
(mπ+π− )2 göstermektedir, I birim matristir, K niceliği S dalgası saçılım sürecini
tanımlayan matristir, ρ faz – uzay matrisidir ve P ise ilk durum üretim vektörüdür. P
vektörü ile açık kanallardaki rezonans ürünlerini belirli parametrelerle ifade ederiz.
β α gα
j
Pj (s) = ∑α m
α
scatt
prod 1−s0
scatt
s−s0
+ fij
2 −s
(4.26)
� , 3=multi
Bu denklemdeki j indeksi ile j ’inci kanalı gösteririz (1=ππ, 2=KK
mezon, 4=𝜂𝜂, 5=𝜂𝜂ʹ). K matrisi elemanları 1900 MeV/c2 eşik değeri civarındaki
uygun ππ saçılımının global fit değerlerinden elde edilir.
gα gα
j
K ij (s) = �∑α mi2 −s
+ fijscatt
α
(1−sA0 )
sA mπ 2
1.0−sscatt
0
�
(s
−
)
scatt
(s−sA0 )
s−s0
2
40
(4.27)
Tablo 4.3. [33, 34] kaynaklarından elde edilen K matris parametreleri. Kutup kütleleri
ve (mα ) ve çiftlenim sabitleri (g αi ) GeV/c2 boyutunda iken s0scatt ve sA0 ise GeV2/c4
boyutundadır [32].
𝑚𝛼
0,651
𝑔𝜋𝛼+𝜋−
0,229
𝛼
𝑔𝐾𝐾
�
-0,554
𝛼
𝑔4𝜋
0,000
𝛼
𝑔𝜂𝜂
-0,399
-0,346
1.204
0,941
0,551
0,000
0,391
0,315
1,558
0,369
0,239
0,556
0,183
0,187
1,210
0,337
0,409
0,857
0,199
-0,010
1,822
0,182
-0,176
-0,797
-0,004
0,224
𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡
𝑓11
0,234
𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡
𝑓12
0,150
𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡
𝑓13
-0,206
𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡
𝑓14
𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡
𝑓15
𝑠0𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡
𝑠𝐴0
𝑠𝐴
-3,926
-0,15
0,328
𝛼
𝑔𝜂𝜂ʹ
0,354
1
Buradaki g αi ile i kanalındaki mα K matris kutbunun çiftlenim sabiti ifade
edilmektedir. fijscatt ve s0scatt parametreleri ise K matris elemanlarının yavaş değişen
kısmını tanımlamaktadır. Adler zero faktörü dediğimiz(s − sA mπ 2 /2)(1 − sA0 )/(s −
sA0 ) ifadesi ile ππ eşik değeri yakınındaki s=0 fiziksel bölgesinde kinematik singülarite
hatalarını yok edilir.
Faz uzay vektör matrisi diyagonaldir ve ρij = δij ρi (s) şeklinde ifade edilir ki bu
ρi (s) ifadesi aşağıdaki gibi yazılır.
ρi (s) = �1 −
(m1i +m2i )2
s
(4.28)
Burada m1i ve m2i nicelikleri i kanalının birinci ve ikinci final durumu
parçacıklarının kütlelerini ifade etmektedir. Normalize edecek olursak ρi → 1
durumunda s → ∞ olacaktır.
41
Şekil 4.13. (a) D∗+ → D0 π+ etkileşiminden gelen D0 → K 0s π− π+ dağılımıdır ve (b) m2− ,
(c) m2+ ile (d)m2π+π− kütlelerin değerleri görülmektedir. Eğriler ππ S dalgası K matris
modeli fit projeksiyonudur [33].
Dalitz grafikleri için temel metot olan İzobar Model’ in öngördüğü Breit–
Wigner ifadesi ile K matris metodunu kıyasladığımızda Breit–Wigner ifadesi daha
basittir ve analitiktir. Bu yönleri İzobar Model’ i verileri fit etmek için daha avantajlı
kılmasına rağmen iki kutuplu ve daha geniş rezonans pik tepelerine sahip verilerin fit
edilmeleri için K matris yöntemi daha uygun görülmektedir. İki kutuplu bir bozunumu
örnek olarak ele alacak olursak Şekil 4.14 genliğin reel ve sanal kısımlarının birleşimi
ile meydana getirilen Argand diyagramı K matris metodunun fit yöntemi ile dairesel bir
yapı gösterirken Breit–Wigner analiz metodu ile yapılan fit sonucu düzenli bir sonuç
elde edilememektedir.
42
Şekil 4.14. İki kutuplu rezonans için Argand diyagramları. Breit – Wigner fit yöntemi
kırmızı eğrileri verirken K Matris mavi eğrileri vermektedir. Soldaki rezonans
f0 (1200, Г = 100) ve f0 (1800, Г = 100) değerlerindedir ve sağ kısımdaki rezonans
isef0 (1350, Г = 100) ve f0 (1500, Г = 100) değerlerini gösterir [33].
4.4.2 Flatte Dağılım Fonksiyonu
Flatte metodu rezonansa yakın ikinci bir kanal açılması durumunu tanımlamakta
kullanılabilir. Aşağıdaki eşitlikler bu formülasyonda genliği tarif etmektedir.
1
𝑇𝑖 = m2 −m2
(4.29)
2
2
ab −i(ρ1 g1 +ρ2 g2 )
r
g12 + g 22 = mr Гr
(4.30)
� eşik değeri civarı olan f0 (980) değerindeki ππ-S dalgasında
Bu durum KK
� eşik değeri yakınında bulunur.
görülür ve ayrıca πη kanalındaki a0 (980) değeri de KK
a0 (980) rezonansı için ilişkili çiftlenim sabiti g1 = g πη ve g 2 = g KK değerleridir ve faz
uzay terimi ise ρ1 = ρπη ve ρ2 = ρKK değerleridir. Buradaki faz uzay terimlerini
aşağıdaki denklemle ifade edebiliriz.
mα −mβ 2
ρab = ��1 − �
mab
mα +mβ 2
� � �1 − �
mab
� �
(4.31)
fo (980) değeri için ilişkili olan çiftlenim sabitleri g1 = g ππ ve g 2 = g KK ifadeleridir ve
faz uzay terimleri ise ρ1 = ρππ ve ρ2 = ρKK şeklindedir. Yüklü ve nötral K kanallarının
43
genellikle aynı çiftlenim sabitlerine sahip olduğu varsayılır ancak mK+ ≠ mK0
olduğundan dolayı faz uzay faktörleri ayrıdır [34].
2m
2
2m
2
1
±
0
ρKK = 2 ��1 − � m K � + �1 − � m K � �
KK
KK
(4.32)
4.4.3. Kısmi Dalga Analizi
Kısmi dalga analizinin amaçları; bir rezonansın spinini bulmak, durgun rezonans
çerçevesindeki final durumu parçacıklarının dörtlü momentumunu belirlemek, kısmi
dalgaların terimlerinde genliği tanımlamak, rezonansın kütle merkezi izotropik
bozunumunu üretmek ve bunları verilerde olduğu gibi kesip düzenleyerek yeniden
oluşturmak, yeniden düzenlenmiş Monte Carlo verisinden türetilmiş verilen genlikle
birlikte gerçek veriyi fit etmek ve rezonanslar, bu rezonansların göreli ürünleri, kütleleri
ve spinlerinin en iyi kombinasyonu için en iyi fiti belirlemektir [35].
Kısmi dalga analizi hadron spektrumlarının deneysel sonuçlarını analiz etmek
için etkili bir yöntemdir [36]. Tipik bir kısmi dalga analizinde çeşitli rezonanslardan
gelen katkıların eş fazlı bir toplam tarafından bozunum modellenir. Fit ve fit
sonuçlarında belirlenen bu rezonansların göreli büyüklükleri ve fazları verilerle
karşılaştırılır. Rezonanslar ve özellikleri bulunan verilerle uyumlu hale gelinceye kadar
değiştirilir [37].
Bu analiz yöntemi fit sürecindeki genişletilmiş bir logaritmik olabilirlik
fonksiyonunun maksimum değeri ve ayrı kısmi dalgaların tanımlanmasını esas alarak
kullanımını içermektedir.
Parçacıklar ve özellikleri kısmi dalga analizi ile belirlenen kuantumsal
özelliklerine göre isimlendirilir.
Bu
sayede etkileşimde bulunan
parçacıklar
birbirlerinden ayırt edilebilir. Tablo 4.4 içinde bu duruma örnek olarak hafif mezonlar
spin değerlerine göre isimlendirilmektedir. Buna göre Bölüm 2’ de bahsedilen J, S, P ve
C değerlerine göre mezonlar ve bu parçacıklardan gelen dalga tipleri tabloda
bulunmaktadır. Tabloda mezon tipleri için açığa çıkan dalga türlerini gösterilmektedir ki
bu değerler ile kısmi dalga analiz sonuçları elde edilmektedir.
44
Tablo 4.4. Hafif mezonlar için isimlendirme ve spin değerleri ile birlikte bu mezonların
sahip olduğu dalga türleri [38].
L=0
S=0
S=1
L=1
S=0
S=1
L=2
S=0
S=1
L=3
S=0
S=1
L=4
S=0
S=1
J PC
2s+1
I=1
0−+
1
1−−
I=0(ss̅ )
I=1
π
I=0(nn� )
η
η'
K
1
ρ
ω
Φ
K*
1+−
1
b1
h1
h1'
K1
0++
3
a0
f0
f0'
K0*
1++
3
a1
f1
f1'
K1
1++
3
P2
a2
f2
f2'
K2*
2−+
1
D2
π2
η2
η2'
K2
1−−
3
ρ
ω
Φ
K1*
2−−
3
ρ2
ω2
Φ2
K2
3−−
3
ρ3
ω3
Φ3
K3*
3+−
1
b3
h
h3'
K3
2++
3
a2
f2
f2'
K2*
3++
3
a3
f3
f3'
K3
4++
3
F4
a4
f4
f4'
K4*
4−+
1
G2
π4
η4
η4'
K4
3−−
3
ρ3
ω3
Φ3
K3*
4−−
3
ρ4
ω4
Φ4
K4
5−−
3
ρ5
ω5
Φ5
K3*
Lj
S0
S3
P1
P0
P1
D1
D2
D3
F3
F2
F3
G1
G2
G3
Göreli olay sayısı olan yoğunluk I, faz uzayındaki noktasal değeri σ aşağıdaki
denklemde olduğu gibi tanımlanabilir.
I(σ) = |∑α Vα Aα (σ)|2
(4.33)
Buradaki toplam tüm ara durum rezonansları α üzerinden alınmaktadır, V α
ifadesi faz uzayında bulunan belirli bir noktadaki kompleks bozunum genliği α ve A α (σ)
45
için kompleks bozunum ürünüdür. Belirlenmiş nokta modeli için olasılık aşağıdaki
ifadede belirtilmektedir.
N
Data
ℒ ∝ ∏i=1
I(𝜎i )
(4.34)
∫ ε(𝜎)I(σ)dσ
Burada çarpım örnekteki tüm N Data olayları üzerinden alınır ve integral toplam
tesir kesiti ile orantılıdır ve dedektör etkinliği ε(σ) için düzeltilmiştir. İntegral genellikle
faz uzayında aynı oranda genelleştirilmiş simülasyon olaylarının (Monte Carlo, MC)
Gen
büyük bir oranı olan NMC
üzerinden alınan toplam tarafından nümerik olarak
uygulatılır. Kısıtlı akseptans ve dedektörün etkinliği kısımların analizi ve yeniden
Acc
üzerinden alınan toplam tarafından
hesaplanması olan simülasyon olayları NMC
hesaplanabilir. Tekrarlı bir fitte olasılığın negatif logaritması olan minimum değer
kullanılan model için en iyi parametrelerin grubuna karşılık gelir.
NData
∗
−lnℒ ∝ − � ln �� � Vα Vαʹ
Aα (σi )A∗αʹ (σi )� +
i=1
α
αʹ
1
NAcc
∗
MC
ln �∑α ∑αʹ Vα Vαʹ
�NGen ∑j=1
Aα �σj �A∗αʹ (σj )��
MC
(4.35)
Birinci toplam tüm veri olayları üzerindendir ve ikinci toplam tüm MC verileri
üzerindendir. Eğer rezonansın genişliği ve kütlesi fitte sabit kalırsa (örneğin V α
değerleri yalnızca serbest parametrelerdir) en son iç parantez ve Aα (σi )A∗αʹ (σi ) terimleri
tüm veri olayları için önceden hesaplanabilecektir [37].
Örnek olarak 𝐾 + 𝐾 − sistemi ürünlerinin eşik değeri yakınlarını Şekil 4.15
içerisinde tanımlayabiliriz.
Şekil 4.15. Eşik değeri bölgesindeki K + K − sisteminin ürünlerini tanımlayan
kinematikler.
46
����0 )
Burada θK niceliği K + K − durgun çerçevesindeki K + ile D0 (yada K − ile D
���0� ) durgun çerçevesindeki K + K −
arasında bulunan sarmallık açısıdır ve D0 (yada K
yönelimidir. Bu K + K − kütle dağılımı onun (Dalitzgrafiğine bağlı olan) fit edilmiş
etkinliği tarafından bölünmüş küresel harmonikler YL0 (CosθK )(L=0-4) yoluyla aday tüm
D0 genişlikleri tarafından yeniden düzenlenmiştir. Şekil 4.16 içerisinde dağılımların
sonuçları < YL0 > değerleri gösterilmiştir ve bu değerler kütleye bağımlı K + K −
harmonik momentum değerleri ile orantılıdır.
Şekil 4.16.K + K − kütle dağılımlarının birer fonksiyonu olarak tanımlanan normalize
edilmemiş < YL0 > küresel harmonik momentum değerleri. Histogram Dalitz plot
analizinin tüm sonuçlarını göstermektedir.
< Y00 >, < Y10 > ve < Y20 > haricindeki tüm < YL0 > momentum değerleri ya
çok küçüktür ya da sıfıra eşittir. Bu dağılımları açıklamak amacıyla içerisinde S ve P
dalgalarının genliklerini içeren basit kısmi dalga analizleri uygulanmıştır. Bu sonuçları
aşağıdaki eşitlik içerisinde verebiliriz.
47
√4π < Y00 >= S′2 + P′2
√4π < Y10 >= 2|S′||P′|CosϕSP
√4π < Y20 >=
2
√5
(4.36)
P′2
Burada S' ve P' nicelikleri S ve P dalga dağılımlarının genişlikleri ile
değişmektedir ve ϕSP niceliği ise bunların göreli faz değeridir. Bu varsayım altında
< Y20 > momentumu P′2 ile orantılıdır. Bu dağılım relativistikP dalgası Breit – Wigner
ifadesini kullanarak fit edilmiştir. Bu ifadeyi r → AB rezonansı için BW(m) olarak
yazabiliriz.
BW(m) = m2 −m2
Fr
(4.37)
AB −iΓAB mr
r
Burada J=1 spinli parçacık için Fr Blatt – Weisskopf sönümleme faktörüdür ve
R=1.5 GeV-1 değerinde sabitlenmiştir.
Fr =
�1+(Rqr )2
�1+(RqAB )2
(4.38)
Denklem (4.37) içerisinde geçen ΓAB niceliği ise aşağıdaki gibi ifade edilir.
q
ΓAB = Γr � qAB �
r
2j+1
m
�m r � Fr2
AB
(4.39)
Burada q AB (qr ) niceliği AB(r) durgun çerçevesindeki tüm kız çocuk
parçacıkların momentumudur. Aşağıdaki parametreler fit sonuçlarını vermektedir.
mϕ = 1019.63 ± 0.07MeV/c 2 Γϕ = 4.28 ± 0.13 MeV/c 2
Bu değerler PDG verileri ile uyumludur. Verilerin fit işlemi Şekil 4.17 içerisinde
gösterilmiştir.
Şekil 4.16. içerisinde ϕ(1020) kütle bölgesindeki < Y10 > momentumunun ani
değişimleri tarafından güçlü bir S – P etkileşiminin varlığı kanıtlanmıştır.
48
Şekil 4.17. Spini 1 olan izafi Breit – Wignerfit işleminden gelen sonuçlar ile K + K − etkin
kütlesinin bir fonksiyonu olarak < Y20 > küresel harmonik momentumu gösterilmesi [40].
Yukarıda bulunan (4.36) denklem sistemi S 2 , P 2 ve CosϕSP değerleri için direkt
olarak çözülebilir. Ancak bu genlikler bir D0 bozunumunda tanımlı olduğundan dolayı
faz uzayı için düzeltmeye ihtiyaç vardır. Faz uzayına göre D0 → ��
K�0�K + K − bozunumunun
���0�K + ve K + K − kütle spektrumlarının
K
Monte Carlo üretiminde gözlemlenen
kullanılmasıyla bu düzeltme yapılır. 𝐷0 kütle dağılımı bu Monte Carlo içerisinde
deneysel kütle değerlerine ve kütle çözünürlüğüne sahip olan Gaussian olarak üretilir.
Şekil 4.18 içerisinde düzeltilmiş faz uzayı spektrumları gösterilmektedir.
Şekil 4.18. Faz uzayı için düzeltilmiş K + K − kısmi dalga analizinden gelen sonuçlar. (a)
���0�K + ) dağılımı (d) ϕ (1020) bölgesi
P dalgası etkinliği. (b) S dalgası etkinliği. (c) m(K
içerisindeki CosϕSP değeri. (e) Kıyı bölgesi içindeki ϕSP çıkarıldıktan sonraki (d)
içerisinde gösterilen ϕ (1020) faz değişiminin fit edilmesi [40].
49
Bu dağılım aşağıdaki model kullanılarak fit edilir.
•
•
P dalgası tamamen ϕ(1020) mezonuna bağlıdır (Şekil 4.18. (a)).
K + K − kütle dağılımındaki skaler katkı tamamıyla a0 (980)0parçacığına bağlıdır
(Şekil 4.18. (b)).
•
•
��
K��0 K + kütle dağılımı tamamıyla a0 (980)+ parçacığına bağlıdır (Şekil 4.18. (c)).
(Şekil 4.18. (d)) içerisindeki ϕSP açısı S, P dalgaları ve CosϕSP ile ca0 BWa0 +
cϕ BWϕ eiα niceliklerinin fit edilmesiyle elde edilir. Burada BWa0 ve BWϕ
nicelikleri sırasıyla a0 (980) ve ϕ(1020) rezonanslarını tanımlamaktadır.
� K eşik değerine çok yakındır ve çoğunlukla
Burada a0 (980) skaler rezonansı K
ηπ parçacığına bozunur. Bu durum Breit–Wigner ifadesinin çiftlenmiş kanalları ile
açıklanır.
BWch (a0 )(m) = m2 −m2 −i�ρ
0
gK
�K
2 �
2
� K gK
ηπ gηπ −ρK
�K
(4.40)
Burada ρ(m) = 2q/m iken g ηπ ve g K�K nicelikleri a0 (980) rezonansının
� K ile çiftlenmesini tanımlıyor.
sırasıyla ηπ ve K
pp� yok olmasındaki a0 (980) rezonansı parametrelerinin Cyrstal Barrel
deneylerinden [39] gelen en iyi tanım aşağıda verilmektedir.
2
1/2
m0 = 999 ± 2 MeV⁄c g ηπ = 324 ± 15(MeV)
g 2ηπ
g 2K�K
= 1.03 ± 0.14
Bu değerler g K�K = 329 ± 27 (MeV)1/2 değeri ile uyuşmaktadır.
� K projeksiyonu yapılabilir olduğundan dolayı,
Yaygın analizlerden yalnızca K
m0 ve g ηπ niceliklerinin değerlerinin belirlenmesi mümkün olmamaktadır. Bundan
dolayı bu iki nicelik Cyrstal Barrel deneyine sabitlenmiştir. Öte yandan g K�K parametresi
fit içerisinde serbest olarak alınmıştır. Buna göre bu nicelik; g K�K = 464 ± 29 (MeV)1/2
değerine eşit olup, (Şekil 4.18. (e)) içerisinde rezidü a0 (980) fazı olarak gösterilir. Bu
faz önce (0, π) bölgesinde ϕSP değerinin hesaplanır ve daha sonra ϕ (1020) rezonansına
50
bağlı olan faz değişiminin çıkarılmasıyla elde edilir. Fit sonucunda göreli fazın değerini
α = 2.12 ± 0.04 ve χ2 ⁄N DF = 167/92 olarak buluruz [40].
4.4.4 Dalitz Grafikleri Sayesinde CP Bozulmasının İncelenmesi
C, P ve T simetrilerine Bölüm 3 içerisinde değinmiştik. Bu simetri durumları
kütle çekimsel, elektromanyetik ve güçlü etkileşim türlerinde korunmakta iken zayıf
etkileşimler içerisinde bu simetrilerin korunmaması söz konusudur. Bu bölümde C ve P
simetrilerinin birlikte bozulduğu zayıf etkileşim türlerini ele alacağız. Buna göre Dalitz
grafiklerinden faydalanarak bu simetrinin korunup korunmadığını inceleyeceğiz.
CP bozulması ilk kez kaonlarda görülmesine rağmen bu bozulmayı açıklayan
CKM matrisindeki öğelerden dolayı B mezonlarının bozunumu bu simetri kırılmasını
daha iyi bir şekilde kanıtlar. BABAR deneylerinde iki tip B mezonu kullanılır. Bu
B0 mezonları ile yüklü olan B±
mezonlar nötral B0 veya anti parçacığı olan ���
mezonlarıdır.
Nötr B çeşni öz durumları olanB0 (b� ve d kuarklarından oluşur) ile ���
B0 (d� ve b
kuarklarından oluşur) birbirlerine salınım yapabilirler. Böylece kütle öz durumu B0 ile
���0 mezonlarının lineer kombinasyonudur.
B
���0
BL = p′B0 + q′B
���0
BH = p′B0 − q′B
Burada
(4.41)
BL hafif, BH ise ağır kütle öz durumlarını tanımlar. Bu kütle öz
durumlarındaki çeşni öz durumlarının karışımı ise B mezonu karışımı olarak bilinir. Bu
denklem içerisinde bulunan p′ ve q′ sayıları |p′|2 + |q′|2 = 1 olarak normalize edilen
kompleks sayılardır ve bunlar Standart Model içerisinde prensipte hesaplanabilir. Bu
���0 osilasyonu Δmd = mB − mB frekansında gözlemlenir.
B0 -B
H
L
51
Şekil 4.19. B0 - ���
B0 osilasyonundan sorumlu kutu diyagramı
���0 bozunumu sonucunda
BABAR deneylerinde B0 ve ���
B0 mezonları γ(4S) → B0 B
elde edilir. B mezonunun bozunum final durumunu f olarak ele alalım. B0 mezonunun
final durumu genliği Af ve ���
B0 mezonunun final durumu genliği A�f olsun. Uygun bir t tag
0
süresinde B mezonun bir çeşnisini “tag” olarak tanımlarız (Bunu daha sonra Btag
olarak
adlandıracağız). Ayrıca t sig zamanı içerisinde gerçekleşen diğer B mezonu bozunumunu
0
olarak alırız. Burada t tag niceliği t sig niceliğinden daha büyük veya daha küçüktür.
Bsig
0
Δt = t sig − t tag olarak tanımlanır. Daha sonra bu Bsig
→ fdurumu için zamana bağımlı
bozunum oranı aşağıdaki denklemle ifade edilir.
1 + |λf |2 − q tag (1 − |λf |2 )cosΔmd Δt
−|Δt|/τB0
2
∝
e
|A|
�
�
dΔt
+q tag 2Im(λf )sinΔmd Δt
dΓ
(4.42)
Burada τB0 niceliği B0 mezonunun yarı ömrüdür, B0 mezonu için q tag = +1
���0 mezonu için q tag = −1 olur ve denklem içerisindeki λf aşağıdaki gibi
iken B
tanımlanır.
q ���
A
λf = p A f
f
(4.43)
Bu gösterim geneldir ancak biz sıklıkla final değerinin ηCP öz değerli CP öz
durumları ile ilgilenmekteyiz. Bu durumda Af̅ = ηCP Af olarak tanımlanır ve böylece
aşağıdaki bağıntı elde edilir.
52
Af̅
q ���
λf = p
(4.44)
Af
Bu durumda zamana bağımlı CP bozulmasını aşağıdaki bağıntı ile ifade ederiz.
aCP (Δt) =
aCP (Δt) =
Γ�qtag =+1�−Γ(qtag =−1)
(4.45)
Γ�qtag =+1�+Γ(qtag =−1)
−�1−|λf |2 �
1+|λf |2
cosΔmd Δt +
2Im(λf )
sinΔmd Δt
1+|λf |2
(4.46)
Bu denklemleri bazen aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.
aCP (Δt) = −C ∗ cosΔmd Δt + S ∗ sinΔmd Δt
(4.47)
BABAR deneylerinin en büyük ilgisi birçok farklı final durumu olan CP öz
durumları için buradaki C* ve S* sabitlerini bulmak ve bu değerleri Standart Model ile
karşılaştırmaktır. CP bozulumunun olmadığı durumlarda C*=S*=0 değerlerini
almaktadır. Denklem (4.45) içerisindeki zamana bağlı CP bozulumuna ek olarak,
zamanı entegre edilmiş olan CP bozulması (4.42) denkleminin Δt üzerinden integrali
alınarak açıklanır. Basitçe B+ bozunumları için zaman integrali alınmış CP
bozulumlarını aşağıdaki denklemde olduğu gibi ifade edebiliriz.
Γ− −Γ+
ACP = Γ− +Γ+ =
���̅ �2 −|Af |2
�A
f
���̅ �2 +|Af |2
�A
f
(4.48)
Bu denklemde Γ + ≡ (B+ → f) ve Γ − ≡ (B− → f)̅ durumlarıdır.
B mezonlarında CP bozulumu iki gruba ayrılır ki bunlar direkt ve karışım
(mixing) durumlarının CP bozulumudur. Buna göre karışım CP kırılması | q⁄p | ≠ 1
durumunda gözlemlenmektedir ve endirekt CP bozulması olarak bilinir.
Bozunumlarda görülen CP bozulmasında anti - parçacık genliğinin, parçacık
genliğine oranı A�f̅ ⁄Af ≠ 1 şeklindedir. Bu simetri kırılması durumu hem B0 ve ���
B0
mezonlarında hem de B± mezonlarında gözlemlenir. Direkt CP bozulmasının
53
gözlemlenmesi için en az iki genliğin B → f genliğine katkıda bulunmalıdır ve bu
genliklerin hem zayıf fazlarının hem de güçlü fazlarının birbirlerinden farklı olması
gerekmektedir. Buradaki zayıf faz, CP altındaki sinyal kırılmasındaki fazı referans
almaktadır. Standart Model içerisinde zayıf fazlar yalnızca CKM matrisinin tanımladığı
zayıf etkileşimlerden doğmaktadır. Güçlü fazlar ise CP altında sinyalin değişmeden
kaldığı fazlardır ve temel olarak Kuantum Kromodinamiği (QCD) içerisinden
gelmektedir.
Direkt CP bozulmasını göstermek için B → fgenliğine katkıda bulunan a 1 ve a 2
genliklerini varsayalım.
Af = |a1 |ei(ϕ1 +δ1 ) + |a2 |ei(ϕ2 +δ2)
A�f̅ = |a1 |ei(ϕ1 −δ1 ) + |a2 |ei(ϕ2 −δ2)
(4.49)
(4.50)
Burada ϕj güçlü fazlardır ve δj ise zayıf fazlardır. (4.48) denklemini kullanarak
aşağıdaki bağıntıyı elde ederiz.
2|a1 ||a2 |Sin(δ1 −δ2 )Sin(ϕ1 −ϕ2 )
2
2
1 | +|a2 | +2|a1 ||a2 |Cos(δ1 −δ2 )Cos(ϕ1 −ϕ2 )
ACP = |a
(4.51)
Bu denklem sayesinde ACP ≠ 0 durumunun olması için zayıf fazların ve güçlü
fazların birbirlerinden farklı değerlerde olmasının gerektiğini görmekteyiz.
Direkt CP bozulması kaon bozunumlarında çok küçük orandadır ve değeri
𝒪=10−6 olarak hesaplanır, ancak B0 → K + π− gibi gerçek B mezonu bozunumlarında bu
değer büyür ve 𝒪=0,1 olarak bulunur.
CP bozulması bazen bozunum ve karışım durumları arasında girişim sonucu
oluşur. Bu durum Im(λf ) ≠ 0 durumunda gerçekleşir. Fiziksel olarak bu durum B0 → f
���0 → f süreçleri arasındaki girişimden kaynaklanır. Bu durum (4.47)
ve B0 → B
denklemindeki S sabitinin sıfırdan farklı olmasına neden olmaktadır ve bu nedenle
zamana bağımlı bir CP bozulum analizi gerekir [41].
Etkileşimler içerisindeki CP simetrisinin öz durumları hakkında Standart Model
CKM matrisi adı verilen 3x3 büyüklüğündeki üniter matris ile bilgi verir.
54
CP bozulmasının düzenli bir açıklamasını CKM (Cabibbo–Kobayashi Maskawa) matrisini kullanarak Standart Model yapmaktadır. Bu matris sayesinde
kuarkların anti parçacıklarına dönüşme oranını buluruz ve bu sayede etkileşimdeki
madde – anti madde oranını buluruz.
Vud
V = � Vcd
Vtd
Vus
Vcs
Vts
Vub
Vcb �
Vtb
(4.48)
Bu 3x3 lük üniter matris farklı kuark çeşnilerinin W ± bozonu ile nasıl
çiftleneceğini tanımlar. Yukarı (up) tipi bir kuark olan i kuarkı ile aşağı (down) tipi bir
kuark olan j kuarkının W bozonuyla V ij potansiyeli ile orantılı bir şekilde çiftlenir
(verteks içerisindeki Vij∗ potansiyeli ise W − bozonuyla çiftlenim yapmasıyla alakalıdır).
CKM matrisi V ≠ V ∗ durumunda CP bozulumunu gösterir.
CKM
matrisinin
parametrelerinin
tanımlanmasının
kullanışlı
bir
yolu
Wolfenstein yaklaşımı olarak adlandırılan bir yoldur.
1 − λ2 ⁄2
V=�
−λ
Aλ3 (1 − ρ − iη)
λ
Aλ3 (ρ − iη)
� + 𝒪(λ4 )
1 − λ2 ⁄2
Aλ2
−Aλ2
1
(4.49)
Burada genişleme olarak küçük parametrede λ ≈ 0.23 olarak yazılır. Diğer
parametreler ise A ≈ 0.81 , ρ� ≈ 0.13 , η� ≈ 0.34 olarak yazılır. Burada ρ� ve η�
niceliklerini ise
ρ� = ρ(1 − λ2 ⁄2) ve η� = η(1 − λ2 ⁄2) olarak ifade ederiz. Bu
parametre tanımlanması içerisinde CP bozulumu yalnız parametre olan η tarafından
açıklanır. Standart Model içerisindeki tüm CP bozulmaları için bu tek parametre
güvenilir olduğu için bu yöntem bir hayli makuldür. CKM matrisi üniter olduğundan
aşağıdaki bağıntıyı sağlamak durumundadır.
∗
∗
∗
Vud Vub
+ Vcd Vcb
+ Vtd Vtb
=0
55
(4.50)
Bu eşitlik kompleks düzlemde bir üçgen olarak gösterilebilir. Genellikle Şekil
4.20 içerisinde gösterildiği gibi üçgeni (0,0) noktası, (1,0) noktası ve (ρ� ,η� ) noktası
üzerinde oluştururuz. Bu üniterlik üçgeni olarak bilinir.
Şekil 4.20. CKM Üniterlik üçgeni.
Bu üçgen aşağıdaki denklemlerde olduğu gibi tanımlanabilir.
V V∗
α = arg �− V td Vtb
∗ �
V
ud ub
V∗
β = arg �− VcdVcb
∗ �
(4.51)
td tb
γ =π−α−β
İyi bir yaklaşım olarak; Vtd = |Vtd |e−iβ, Vub = |Vub |e−iγ
ve
matrisin
diğer
elemanları ise yalnızca reel olarak seçilir [41].
CP simetri kırılmasını Dalitz grafiği üzerinde bu yaklaşımlar ile inceleriz. Ancak
CP simetri kırılmasını Dalitz grafiğinin tümünde gözlemleyemeyebiliriz. Bunun için
Dalitz grafiği (binned) parçalara ayrılır.
Buna göre CP simetri kırılmasının incelenmesi için Dalitz grafiği parçalara
ayrılır ve grafik üzerindeki her parçada lokal asimetri parçacık ile anti – parçacık
oranından faydalanılarak bulunur. Buna göre aşağıdaki bağıntı bize lokal CP kırılımı
hakkında bilgi verir.
56
i
SCP
=
N
Ni �D+ �−αNi (D− )
(4.52)
(D+ )
(4.53)
�Ni (D+ )+α2 Ni (D− )
α = Ntot(D− )
tot
Burada Ni (D+ ) ve Ni (D− ) nicelikleri i numaralı parça içerisindeki aday D±
sayısıdır ve α niceliği ise D+ ile D− ürünlerinin ortalama sayısıdır. Bu α parametresi
ürün, dedekte etme veya CP asimetrilerinde Dalitz grafiği boyunca sabit olmaktadır ve
ihmal edilir [42].
Şekil 4.21. ��
D��𝟎 → K 0s π+ π− etkileşimlerinin Dalitz Plot grafiği. Soldaki grafik 3x3’ lük
parçalara, ortadaki grafik 5x5’ lik parçalara ve sağdaki grafik ise 7x7’ lik parçalara
ayrılmıştır. Bu parçalar Dalitz grafikleri üzerindeki DCP için kullanılır [43].
Her parça içerisinde parçacık popülasyonu N(i) ve anti – parçacık popülasyonu
� (i) olmak üzere CP bozulma genliği aşağıdaki gibidir.
N
𝐷𝑝
Örnek
𝑆𝐶𝑃 =
� (𝑖)
𝑁(𝑖)−𝑁
� (𝑖)
�𝑁(𝑖)+𝑁
olarak 𝐵 ± → 𝐾 ± 𝜋 + 𝜋 −
etkileşimini
(4.54)
ele
aldığımızda,
sarmallık
oranlarıCharm içermeyen final durumlarına göre nispeten daha geniştir ve bu 𝐵 ± →
𝐾 ± 𝜌0 (770) alt kanalları ile ilgili olan direkt CP bozulması için güçlü bir kanıttır [44].
CP bozulmasının analizi bozunum içerisindeki 𝐵 + ve 𝐵 − kanalları için ρ(770)
fazındaki farklılıklar CP bozulmasının direkt kanıtıdır. Bu faz farklılıklarını inceleyerek
57
CP bozulmasının analiz edilmesi 𝜌0 metodudur. Şekil 4.22 içerisinde bu yöntem baz
alınarak Dalitz grafiği parçalara ayrılmış ve CP simetri kırılması durumu incelenmiştir.
Şekil 4.22. Üstteki grafik 𝐵 ± → 𝐾 ± 𝜋 ∓ 𝜋 ± etkileşimi için 𝜌0 modelinde
Dp
S CP değer
grafiğidir. Alttaki grafik ise istatiksel olarak ayrılan üst grafikteki parçalar için
Dp
S CP
değeridir. Bu fit birim genişliğe Gaussian olarak merkezlenmiştir. Burada P1 niceliği
normalizasyon parametresidir.
Şekil 4.23 ve Şekil 4.24 içerisinde Dalitz grafiğinin bölgelere ayrılarak
incelenmesi gösterilmiştir.
58
Şekil 4.23. 𝐵 ± → 𝐾 ± 𝜋 ∓ 𝜋 ± etkileşimi için 𝜌0 modelinin kullanılmasıyla Dalitz Plot
grafiğinin bölgelere ayrılması.
Şekil 4.24. Şekil 4.21. içerisindeki dağılımın Şekil 4.22 içerisinde gösterilen bölgelere
bölünmesi. Burada P1 niceliği normalizasyon sabitidir [44].
59
5.TARTIŞMA VE SONUÇ
Bu tez içerisinde temel parçacıkları ve özelliklerini inceledikten sonra Dalitz
grafiklerini kullanarak yüksek enerjili bozunum reaksiyonlarını analiz ettik. Buna göre
son durumunda üç parçacığın bulunduğu mezon bozunumlarının bozunum süreçlerini
ve bu süreçler içerisinde gelişen fiziksel olayları farklı analiz teknikleri kullanarak
inceledik. Şekil 4.1 ile B+ → π+ π− K+ bozunumunu DalitzPlot üzerinde incelendi.
Bozunumun direkt olarak gerçekleşmesi veya bir süreç olarak gerçekleşmesi
durumunu Dalitz grafikleri üzerindeki dağılımın yoğunluğu kullanarak inceledik.
Özellikle bozunum süreci içerisinde bulunabilecek rezonanslar, rezonans parçacıkları,
rezonans spinleri ve bu rezonansların birbirleri ile etkileşimi farklı modellemeler
sayesinde incelendi. Şekil 4.5 ile spinleri farklı olarak oluşabilecek rezonans
durumlarının Dalitz grafiklerinin üzerine yansımalarını gösterdik. Şekil 4.11 ile
rezonans sürecine sahip bir etkileşimin faz durumları ve Dalitz grafiği incelendi.
Farklı analiz metotları kullanılarak eldeki verilerin en uygun bir şekilde fit
edilme süreçleri incelendi. Buna göre İzobar Model, K Matris yaklaşımı, Flatte
Dağılımı farklı durumlar için süreci inceleyen modeller olarak gösterildi ve bu
modellerin birbirlerine göre avantaj gösterdiği durumlar grafiklerle gösterilmiştir.
DalitzPlot analizinin genel modeli olan İzobar Model için ve bu modelden bağımsız
teknikler için gerekli matematiksel denklemler incelenmiştir ve örnek deneylerden gelen
veriler bu denklemlerde kullanılarak fit edildi. Burada elde edilen sonuçta verilerin fit
edilmesi için genel anlamda İzobar Model baskın ve kullanışlıdır ancak iki kutuplu
rezonans durumlarında K Matris yaklaşımının kullanılması daha avantajlıdır. Şekil 4.14
bu durumu açıklamaktadır.
Rezonans durumu parçacıklarının spinleri, dörtlü momentumları, kütle merkezi
bozunumlarını incelemek gibi rezonans sürecinin kuantum mekaniksel özellikleri kısmi
dalga analizi yoluyla incelendi. Tablo 4.4 içerisinde hafif mezon türleri için değişen
kuantum mekaniksel nicelikler ile bu mezonların dalga türleri gösterildi. Şekil 4.18
içerisinde Monte Carlo simülasyon deneylerinden elde edilen verilerin düzeltilmiş faz
uzayı spektrumları gösterilmektedir.
Son kısımda ise bozunumlardaki CP simetri kırılmasının Dalitz grafik analizi
kullanılarak incelenmesi yapıldı. CP simetri kırılmasının en çok gözlemlendiği 𝐵 0 ve
60
����0 tipi mezonlarının bozunumları temel olarak alındı. Bu bozunum türlerine ek olarak
𝐵
D tipi mezon bozunumları da grafiklerde gösterildi. Burada CP öz durumlarını CKM
matrisini kullanarak hesaplama teknikleri gösterildi. Dalitz grafiklerini parçalara ayrıldı
ve her bir parçadaki madde ile anti–madde popülasyonunun birbirlerine olan oranından
faydalanılarak CP bozulmaları irdelendi. Şekil 4.21 içerisinde Dalitz grafikleri 3x3, 5x5
ve 7x7 tane parçaya ayrıldı ve farklı yöntemler sayesinde buralardaki popülasyonlar
analiz edilerek madde ile anti–madde oranı yine incelendi ve bu oranın dağılımına göre
CP simetri kırılma durumları tespit edildi.
Sonuç olarak hadronik bozunum türleri için Dalitz grafikleri analiz tekniği son
durumlarında üç parçacığın bulunduğu etkileşimlerde elzemdir. Ancak Dalitz grafikleri
sayesinde süreç şeklinde gerçekleşen bozunumları analiz edebilir ve kuantumsal
özelliklerini
inceleyebiliriz.
Bundan
sonraki
çalışmalarda
farklı
hızlandırıcı
laboratuarları baz alınarak simülasyon deneyleri yapılarak veriler üretilebilir ve bu
analiz tekniği sayesinde bu veriler için kinematik incelemeler yapılabilir. Bu veriler
ışığında bu tip bozunumların süreci ve oluşan parçacıklar daha iyi anlaşılabilir.
61
6. KAYNAKLAR
[1]
Donald H. Perkins, Introduction to High Energy Physics, 4th Edition, University
of Oxford, Cambridge University Press.
[2]
Norman Andrew Lowrey, Analysis of theneutral D-meson decay to a neutral
kaon and two neutral pions, University of Illinois at Urbana-Champaign(2010).
[3]
M.Herrero, The Standart Model (1998).
[4]
S. Weinberg, The Discovery of Subatomic Particles. Cambridge University Press
(2003)
[5]
Gamze Kibar, Dördüncü Standart Model Ailesi Fermiyonlarının Üretimi ve
Modelleme Çalışmaları(2008).
[6]
Prof. Dr. Orhan Çakır, Standart Model ve Ötesi, 6. UPHDYO, Bodrum(2010).
[7]
J. Berringer et al. (Particle Data Group), PR D86, 010001 particle listings
electron (2012).
[8]
J. Berringer et al. (Particle Data Group), PR D86, 010001 particle listings muon
(2012).
[9]
J.Berringer et al. (Particle Data Group), PR D86, 010001 particle listings tau
(2012).
[10]
J.Berringer et al. (Particle Data Group), PR D86, 010001 particle listings
neutrino properties (2012).
[11]
Griffiths D.J.,Introduction to elementary particles (Wiley, 1987)(T)(405s)
[12]
İnanç Kanık, LightCone QCD Sum Rules and Meson Physics(2008).
[13]
W.E. Burcham, M. Jobes, Nuclear and Particle Physics, (2nd ed.).Longman
Publishing (1995).
[14]
C. Amsler et al (2008): Naming Scheme for Hadrons, Revised 2004 by M. Roos
(University of Finland) and C.G. Wohl (LBNL).
62
[15]
Particle Data Group, http://pdg.lbl.gov/2012/listings/contents_listings.html
[16]
K. Carter,The rise and fall of the penta quark, Fermilab and SLAC (2006).
[17]
C. Amsler et al., Pentaquarks (2008).
[18]
B. Carithers, P. Grannis, Discovery of the Top Quark,(1995).
[19]
Rena ÇİFTÇİ, Dördüncü Standart Model Ailesinin Lepton Çarpıştırıcılarında
İncelenmesi (2006).
[20]
http://www-pnp.physics.ox.ac.uk/~barra/teaching/feynman.pdf
[21]
Sinan Kuday, Üst Kuarkın FCNC Üretimi (2006).
[22]
Norman Andrew Lowrey, Analysis of The Neutral D-Meson Decay To A Kaon
and Two Neutral Pions(2010).
[23]
Yrd. Doç. Dr. Fatih BULUT, D-Mezon Bozunumlarında CP Bozulumu, İnönü
Üniversitesi, IX. THM YUUP Çalıştayı (2010).
[24]
Fatih Bulut, CP Violation, (2006).
[25]
Tim Gershon, Introduction to Dalitz Plot Analysis, 479.WE-Heraeus-Seminar
Physics at LHCb(2011)
[26]
B. Lindquist, Dalitz Plots, SLAC SASS Talk(2010).
[27]
F. Bulut, Dalitz Plot Analizi.
[28]
D. Asner, Dalitz Plot Analysis Formalism (2006).
[29]
C. Zemach, Phys. Rev. B 133, 1201 (1964).
[30]
V. Filippini, A. Fontana, and A. Rotondi, Phys. Rev. D51, 2247 (1995).
[31]
Antimo Palano, Dalitz Analysis of Heavy Flavor Decays (2006).
[32]
The BABAR Collaboration, Measurement of γ in 𝐵 ∓ → 𝐷(∗) 𝐾 ∓ and 𝐵 ∓ →
𝐷𝐾 (∗)∓ decays with a Dalitz Analysis of 𝐷 → 𝐾𝑠0 𝜋 + 𝜋 − (2008).
63
[33]
Curtis A. Meyer, A K Matrix Tutorial (2008).
[34]
Kuang Ta – Chao and Yifang Wang, Physics at BES – III.
[35]
Yrd. Doç. Dr. İsmail Uman, Light Quark Specctroskopy at Charm Factories,
TAC XI. Workshop (2012).
[36]
KANG Xian-Wei, LU Gong-Ru, LI Hai-Bo, ZOU Bing-Song, Partial wave
[37]
analysis of 𝛹ʹ → 𝛾𝜒𝑐0 → 𝛾𝜌𝐾 − 𝛬 used for searching for baryon resonance*.
[38]
Eberhard Klempt, GLUEBALLS, HYBRIDS, PENTAQUARKS: Introduction to
Niklaus Berger, Yuquan Lu, Partial wave analysis at BES III.
Hadron Spectroscopy and Review of Selected Topics (2003).
[39]
A. Abele et al., Phys. Rev. D57, 3860 (1998).
[40]
B. Aubert, R. Barate, D. Boutigny,et al., Dalitz Plot Analysis of 𝐷0 →
[41]
����
𝐾 0 𝐾 + 𝐾 − ,(2005).
Brian Lindsquit, Study of CP Violation in Dalitz – Plot Analyses of B – Meson
Decays To Three Kaons (2012).
[42]
Hamish Gordon, Search for CP Violation in 𝐷+ → 𝐾 − 𝐾 + 𝜋 + Decays at LHCb,
LHCb – PAPER – 2011 – 017 (2012).
[43]
A. Bondar, A. Poluektov, Feasibility study of model-independent approach to 𝜙3
measurement using Dalitz plot analysis, The European Physical Journal C47, p
347–353(2006)
[44]
I. Bediaga, I. I. Bigi, A. Gomes, G. Guerrer, J. Mirandaand A. C. dos Reis,On a
CP Anisotropy Measurement in the Dalitz Plot (2009).
64
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel bilgiler
Ad / Soyad
Doğum tarihi
e-posta
Murat BULDU
07.09.1986 - Malatya
muratbuldu44@gmail.com
Eğitim ve
öğretim
İlköğretim
Orta Öğretim
Yüksek Öğretim
Malatya – Rahmi Akıncı İlköğretim okulu (1993-2000)
Malatya – Hacı Ahmet Akıncı Lisesi (2000-2003)
Lisans
Malatya – İnönü Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü (2005-2009)
Yüksek Lisans
Malatya – İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı (2011- …)
Katıldığı 1- XI. THM YUUP Çalıştayı
Bilimsel
Toplantılar
65
Download