ısı transferi formülleri 2

EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ-MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ-ÖZET BİLGİLER: 02 (08.2006)
Hazırlayanlar: Yrd.Doç.Dr.Hüseyin GÜNERHAN-Ar.Gör.Mehmet ERKEK
1
EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ
2.BÖLÜM ÖZETİ
Bu bölümde ısı iletim denklemi ve çözümleri incelenmiştir. Bir ortamdaki ısı iletimi, sıcaklık,
zaman içerisinde değişmiyorsa sürekli (kararlı), değişiyorsa geçici (kararsız) ısı iletimi olarak
adlandırılır. Bir ortamdaki ısı iletimi yalnızca bir boyutta önemliyse ve diğer iki boyutta ihmal
edilebilir ise o ortamdaki ısı iletimi, bir boyutlu ısı iletimi olarak adlandırılır. Eğer ısı iletimi
iki boyutta önemli, üçüncü boyutta ihmal edilebilir ise iki boyutlu, üç boyutta da önemliyse üç
boyutlu ısı iletimi olarak adlandırılır. Isı transferi analizinde; elektriksel, kimyasal veya
nükleer enerjinin ısıya (veya ısıl enerjiye) dönüşümü ısı üretimi olarak belirtilir.
Isı iletim denklemi diferensiyel bir kontrol hacminde enerji dengesinin uygulanmasıyla elde
edilebilir. Sabit ısı iletim katsayısı için bir boyutlu ısı iletiminin sırasıyla kartezyen, silindirik
ve küresel koordinatlardaki ifadesi aşağıda verildiği gibidir:
∂ 2 T g 1 ∂T
+ =
∂x 2 k α ∂t
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ g 1 ∂T
⎜r
⎟+ =
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ k α ∂t
1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ g 1 ∂T
⎜r
⎟+ =
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ k α ∂t
Yukarıda verilen denklemlerde yer alan α, [= k/(ρC)] malzemenin ısıl yayınım katsayısıdır,
[m2s-1].
Bir ısı iletimi probleminin çözümü, yüzeydeki koşullara bağlıdır. Sınırlardaki ısıl koşulların
matematiksel ifadeleri sınır koşulları olarak adlandırılır. Zamana bağlı ısı iletim problemleri
aynı zamanda ortamın ısı iletim işleminin başındaki durumuna da bağlıdır. Genellikle t = 0
zamanı için ifade edilen koşul başlangıç koşulu olarak adlandırılır. Bu koşul ortamdaki ilk
sıcaklık dağılımının matematiksel ifadesidir. Bir ısı iletim probleminin matematiksel olarak
tam tanımlanması için ısı iletiminin önemli olduğu her boyut için iki sınır koşuluna, eğer
problem zamana bağlıysa (geçici durum) bir de başlangıç koşuluna gereksinim vardır. En
yaygın sınır koşulları yüzeyde sabit sıcaklık, yüzeyde sabit ısı akısı, taşınım ve ışınım sınır
koşullarıdır. Bir sınır yüzeyi en genel haliyle aynı anda belli bir ısı akısı, taşınım ve ışınım
koşullarını içerebilir. (Isı akısı, katı malzemenin yüzeyinde olur).
L kalınlığında bir düzlem duvar içinden geçen bir boyutlu, sürekli ısı iletiminde x = 0 ve x =
L sınır yüzeylerindeki çeşitli sınır koşulları aşağıda verildiği gibi ifade edilebilir:
Yüzeyde sabit sıcaklık:
T(0) = T1
ve T(L) = T2
Burada T1 ve T2, x = 0 ve x = L yüzeylerindeki sıcaklıklardır, [°C].
EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ-MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ-ÖZET BİLGİLER: 02 (08.2006)
Hazırlayanlar: Yrd.Doç.Dr.Hüseyin GÜNERHAN-Ar.Gör.Mehmet ERKEK
2
Yüzeyde sabit ısı akısı:
−k
dT(0)
= q 0
dx
−k
ve
dT(L)
= q L
dx
Burada q 0 ve q L , x = 0 ve x = L yüzeylerindeki belli ısı akısı değerleridir, [Wm-2].
Yalıtım veya ısıl simetri:
dT(0)
=0
dx
ve
dT(L)
=0
dx
Yalıtım yapılan yüzeylerde ve katı içinde ısıl simetrinin oluştuğu durumlarda, ısı akısı sıfır
değerinde kabul edilir.
Taşınım:
−k
dT(0)
= h1 [ T∞1 − T (0) ]
dx
ve
−k
dT(L)
= h 2 [ T(L) − T∞ 2 ]
dx
Burada, h1 ve h2 düzlem duvarın iki yüzeyini çevreleyen ortamların ısı taşınım katsayıları
[Wm-2K-1], T∞1 ve T∞2 ise bu ortamların sıcaklıklarıdır [°C].
Işınım:
−k
dT(0)
4
= ε1σ ⎡⎣ Tsurr,1
− T (0) 4 ⎤⎦
dx
ve
−k
dT(L)
= ε1σ ⎡⎣ T(L) 4 − Ts4urr,2 ⎤⎦
dx
Burada, ε1 ve ε2 sınır yüzeylerinin ışınım yayma katsayıları (-), σ = 5.67 x 10-8 Wm-2K-4
(Stefan-Boltzmann sabiti), Tsurr,1 ve Tsurr,2 düzlem duvarın iki yüzünü çevreleyen yüzeylerin
ortalama sıcaklıklarıdır [K]. Işınım hesaplamalarında sıcaklıkların mutlaka [K] olması
gerekmektedir.
x=x0’da ideal temas halinde olan A ve B cisimlerinin arayüzü:
TA (x 0 ) = TB (x 0 )
ve
−k A
dTA (x 0 )
dT (x )
= −k B B 0
dx
dx
Burada, kA ve kB, Ave B tabakalarının ısıl iletim katsayılarıdır [Wm-1K-1].
Isı üretimi, katı malzemenin içinde olur, malzemenin birim hacmi için ifade edilir ve g ile
gösterilir. Birimi [W/m3]’dür. Sürekli koşullar altında içinde birim hacimde sabit bir g ısı
üretim hızı olan 2L kalınlığında düzlemsel bir duvarın, r0 dış yarıçapına sahip bir silindir ve
r0 yarıçapına sahip bir kürenin T∞ sıcaklığındaki bir ortam içindeki Ts yüzey sıcaklıkları
aşağıda verildiği gibi ifade edilebilir:
Ts,duvar = T∞ +
gr
gr
gL
, Ts,silindir = T∞ + 0 , Ts,küre = T∞ + 0
h
2h
3h
3
EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ-MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ-ÖZET BİLGİLER: 02 (08.2006)
Hazırlayanlar: Yrd.Doç.Dr.Hüseyin GÜNERHAN-Ar.Gör.Mehmet ERKEK
Burada, h ısı taşınım katsayısıdır [Wm-2K-1]. Yüzey ve ortamın orta kısmı arasındaki
maksimum sıcaklık artışı aşağıda verildiği gibi ifade edilebilir:
∆Tmax,duvar =
g r 2
g r 2
g L2
, ∆Tmax,silindir = 0 , ∆Tmax,küre = 0
2k
4k
6k
Isıl iletkenliğin sıcaklıkla değişimi k(T) biliniyorsa, T1 ve T2 sıcaklık aralığındaki ortalama k
değeri aşağıda verilen denklemden bulunabilir:
T2
k ort =
∫ k(T)dT
T1
T2 − T1
Böylece sürekli rejimde düzlemsel bir duvar, silindirik bir tabaka veya küresel bir tabakadan
geçen ısı transferi aşağıda verildiği gibi ifade edilebilir:
T
T
T1 − T2 A 1
T1 − T2
2πL 1
Qdüzlemdu var = k ort A
k(T)dT
= ∫ k(T)dT, Qsilindir = 2πk ort L
=
L
L T2
ln(r2 / r1 ) ln(r2 / r1 ) T∫2
T1 − T2 4πr1r2
Q
=
küre = 4πk ort r1r2
r2 − r1
r2 − r1
T1
∫ k(T)dT
T2
Bir malzemenin ısıl iletkenliğinin sıcaklıkla değişimi çoğunlukla doğrusal bir fonksiyon
olarak tahminlenebilir:
k(T) = k 0 (1 + β T)
Burada, β ısıl iletkenliğin sıcaklık katsayısı [K-1] olarak adlandırılır.
Çizelge 3.Temel Eşitlikler
∂ ⎛ ∂T ⎞
∂T
⎜k
⎟ + g = ρC p
∂x ⎝ ∂x ⎠
∂t
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞
∂T
⎜ rk
⎟ + g = ρC p
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
∂t
1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞
∂T
⎜r k
⎟ + g = ρC p
2
r ∂r ⎝
∂r ⎠
∂t
Kartezyen koordinatlarda zamana bağlı bir
boyutlu ısı iletim denklemi
Silindirik koordinatlarda zamana bağlı bir
boyutlu ısı iletim denklemi
Küresel koordinatlarda zamana bağlı bir
boyutlu ısı iletim denklemi
Üç koordinat sistemi için zamana bağlı bir
1 ∂ ⎛ n ∂T ⎞
∂T
⎜r k
⎟ + g = ρC p
n
r ∂r ⎝
∂r ⎠
∂t
boyutlu ısı iletim denklemi
⎧0 Kartezyen kordinatlar
⎪
n = ⎨1 Silindirik kordinatlar
⎪2 Küresel kordinatlar
⎩
EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ-MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ-ÖZET BİLGİLER: 02 (08.2006)
Hazırlayanlar: Yrd.Doç.Dr.Hüseyin GÜNERHAN-Ar.Gör.Mehmet ERKEK
1 ∂ ⎛ n ∂T ⎞ 1
1 ∂T
⎜r
⎟ + g =
n
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ k
α ∂t
1 d ⎛ n dT ⎞ 1
⎜r
⎟ + g = 0
r n dr ⎝ dr ⎠ k
1 ∂T
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T 1
+ 2 + 2 + g =
2
k
∂x
∂y
∂z
α ∂t
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ 2 T ∂ 2 T 1
1 ∂T
⎜r
⎟ + 2 2 + 2 + g =
∂z
α ∂t
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂φ
k
∂ ⎛
∂T ⎞
1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞
1
⎜r
⎟+ 2
⎜ sin θ ⎟
2
∂θ ⎠
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝
2
∂T 1
1
1 ∂T
+ 2 2
+ g =
2
α ∂t
r sin θ ∂φ
k
−k
k
∂T
= q0
∂x x =0
∂T
= qL
∂x x = L
Sabit ısı iletim katsayısı için zamana bağlı
bir boyutlu ısı iletim denklemi
Sabit ısı iletim katsayısı için kararlı bir
boyutlu ısı iletim denklemi
Üç boyutlu, kartezyen koordinatlarda sabit
ısı iletim katsayılı zamana bağlı ısı iletim
denklemi
Üç boyutlu, silindirik koordinatlarda sabit
ısı iletim katsayılı zamana bağlı ısı iletim
denklemi
Üç boyutlu, küresel koordinatlarda sabit ısı
iletim katsayılı zamana bağlı ısı iletim
denklemi
x = 0 için ısı akısı sınır koşulları
x = L için ısı akısı sınır koşulları
⎡ ∂T
⎤
⎢⎣ −k ∂x + h1T ⎥⎦ = h1T1
x =0
x = 0 için taşınım sınır koşulları
⎡ ∂T
⎤
⎢⎣ + k ∂x + h 2T ⎥⎦ = h 2T2
x =L
x = L için taşınım sınır koşulları
4
EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ-MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ-ÖZET BİLGİLER: 02 (08.2006)
Hazırlayanlar: Yrd.Doç.Dr.Hüseyin GÜNERHAN-Ar.Gör.Mehmet ERKEK
Sınır Şartlarına Ait Örnek Gösterimler:
1.Birinci çeşit sınır şartı: Yüzeyde sabit sıcaklık (Ts = sabit), [Dirichlet sınır şartı]
T(0,t) = Ts
T x = L = Ts
2A.İkinci çeşit sınır şartı: Yüzeyde sabit ısı akısı (qs = sabit), [Neumann sınır şartı]
−k
∂T(0, t)
= q s
∂x
−k
∂T
= q s
∂x x = L
2B.İkinci çeşit sınır şartı: Yalıtılmış yüzey (qs = 0), [Adiabatic sınır şartı]
∂T(0, t)
=0
∂x
3.Üçüncü çeşit sınır şartı: Yüzeyde taşınım, [Robin veya Karma (Mixed) sınır şartı]
−k
∂T(0, t)
= h[T∞ − T(0, t )]
∂x
−k
∂T
= h(T x = L − Te )
∂x x = L
5
EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ-MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ-ÖZET BİLGİLER: 02 (08.2006)
Hazırlayanlar: Yrd.Doç.Dr.Hüseyin GÜNERHAN-Ar.Gör.Mehmet ERKEK
6
4.Dördüncü çeşit sınır şartı: Yüzeyde ışınım, [Işınım sınır şartı]
−k
∂T
= σε(T4
− Te4 )
x
L
=
∂x x = L
5.Faz değişimi sınır şartı
−k
∂T
∂T
= −k
∂x u
∂x s
Kaynaklar:
1.Çengel YA, Heat Transfer A Practical Approach, Second Edition, ISBN 0-07-1151508,
McGraw-Hill, 2003, New York.
2.Incropera FP, DeWitt DP, Introduction to Heat Transfer, Fourth Edition, ISBN 0-47138649-9, Wiley, 2002, NY.
3.Mills AF, Heat Transfer, Second Edition, ISBN 0-13-947624-5, Pretice Hall, NJ.
4.Özışık, MN, Heat Transfer A Basic Approach, ISBN 0-07-066460-9, McGraw-Hill, 1985,
Singapore.
HG-ITÖB02-14.08.2006