14.12 Oyun Teorisi Ders Notları

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları
Muhamet Yıldız
Ders 7-9
Bu derste, (tam bilgili) dinamik oyunları inceleyeceğiz. Öncelikle, her bilgi
kümesinin tek elemanlı olduğu kusursuz bilgili oyunları analiz edeceğiz ve geriye
doğru tümevarım kavramını geliştireceğiz. Daha sonra ise, daha genel dinamik oyunları ele alıp, alt-oyunlu mükemmel denge kavramını irdeleyeceğiz. Bu kavramları,
Gibbons’da çoğunu bulabileceğiniz ekonomik problemler üzerinde açıklayacağız.
1
Geriye doğru tümevarım
Geriye doğru tümevarm kavramı her oyuncunun sırası geldiğinde karar noktasında
akılcı davranacağının ortak bilgi olduğu varsayımına denk gelir - oyuncunun akılcı
olması o karar noktasına ulaşılmasına engel olsa bile.1 Mekanik olarak, şöyle hesaplanır. Bir sonlu kusursuz bilgi oyunu düşünelim. Son noktalardan hemen önce
gelen bir karar noktası düşünelim, yani, bu karar noktasından çıkan her bir eylemden sonra oyun biter. Eğer böyle bir karar noktasında oynayacak olan bir oyuncu
akılcı davranırsa, kendisi için en iyi eylemi seçmelidir. Dolayısıyla, bu noktada bu
oyuncuya en yüksek kazancı getirecek eylemi seçiyoruz. Elimizdeki bu karar noktasına, seçtiğimiz eylemin getirdiği kazanç vektörünü atıyoruz ve bu noktadan çıkan
tüm eylemleri siliyoruz ve daha küçük bir oyun kalıyor elimizde, öyle ki, bu elimizdeki karar noktası artık bir son nokta oluyor. Bu prosedürü, oyunun başlangıcına
ulaşana kadar tekrarlayalım.
1
Daha açık olarak: her bir i karar noktasında, oyuncu, i’yi takip eden bütün diğer j karar noktalarında bütün diğer oyuncuların akılcı davranacağından emindir; ve her bir i noktasında, oyuncu,
i’yi takip eden bütün diğer j karar noktalarında oynayacak oyuncunun diğer tüm oyuncuların j’yi
takip eden tüm k karar noktalarında akılcı davranacağından emin olduğundan emindir,... sürgit.
1
Örnek İyi bilinen, kırkayak oyununu (the centipede game), düşünelim. Bu oyun,
tüm oyuncuların ilişki içinde kalmasının, her iki oyuncunun da yararına olduğu, an!"#$%&' !"#$%&'( )*' +",,"-%#. -',,/0#"-# .12'3 41,,'& 1$ !"# $#%!&'#(#) *+,#5 6*%$
cak bir oyunucunun diğer oyuncunun ertesi gün ilişkiden çıkacağını bildiği durumda
!"#$%&' )*'
!"#$%&'(
)*'-*'('
+",,"-%#.
.12'3 41,,'&
$#%!&'#(#)
*+,#5
.12' %,,7$)(1)'$
$%)71)%"#
%) %$-',,/0#"-#
27)71,,8 9'#'!4%1,
+"( 1$
1,,!"#
:,18'($
)" $)18
%# 6*%$
ilişkiden çıkmak isteyeceği bir durumu anlatmaktadır.
.12' %,,7$)(1)'$
)*' $%)71)%"#
-*'('
%$ )*'
27)71,,8
9'#'!4%1,
+"( 0#"-$
1,, :,18'($
1 (',1)%"#$*%:3
-*%,' 1 :,18'(
-"7,& ,%0'
)" %)
';%)
(',1)%"#$*%:3
%+ $*'
)*1) )"
)*'$)18 %#
1 (',1)%"#$*%:3
-*%,'
:,18'(
,%0' )" ';%) )*' (',1)%"#$*%:3 %+ $*' 0#"-$ )*1) )*'
")*'( :,18'(
-%,, ';%) %#
)*' 1#';)
&185-"7,&
ş
")*'( :,18'( -%,, ';%) %# )*' #';) &185
<
!
G
D
<
!
=
D!
g
G
><3<?
<
d!
d
=
!
g
>=3C?
>=3C?
>@3A?
><3<?
<
!
>B3B?
>@3A?
>B3B?
D# )*'
)*%(&
&183 :,18'(
< ve
2"E'$3
4*""$%#.
9')-''#
."%#. inmek
14("$$ (δ)
>?arasında
"( &"-# >?5 D+
Üçüncü
gün,
1. oyuncu
oynar
devam
etmek (α)
ile aşağıya
D# )*'*')*%(&
&183
< 2"E'$3
4*""$%#.
9')-''#
."%#.
>? "()*1)
&"-#
*'yapar.
."'$ 14("$$3
-"7,&
.'):,18'(
%+ *'
."'$
&"-#3
*' -%,,
.')3B5kazanır.
G'#4'314("$$
-' ('40"#
*' >?5 D+
seçim
Eğer devam
ederse,
2=Fkazanır,
eğer
aşağıya
inerse,
Dolayısıyla,
."'$ 6*'('+"('3
14("$$3 *' -"7,&
.') =F
%+ .12'
*' ."'$
*' -%,, .') B5 G'#4'3 -' ('40"# )*1) *'
-%,, inmelidir.
."*'
&"-#5
-'oyun
('&74'
)*'
1$&"-#3
+",,"-$H
aşağıya
İndirgenmiş
alttaki
gibidir:
-%,, ." &"-#5 6*'('+"('3 -' ('&74' )*' .12' 1$ +",,"-$H
<
!
G
D
<
!
=
D!
g
G
><3<?
d
=
!
d >B3B?
>B3B?
g
>@3A?
><3<?
>@3A?
D# )*' $'4"#& &183 :,18'( = 2"E'$3 4*""$%#. 9')-''# ."%#. 14("$$ >d? "( &"-# >g?5 D+
D# )*' $'4"#&
= 2"E'$3
4*""$%#.
9')-''#
14("$$
"( &"-#
$*' ."'$ 14("$$3
$*' -%,,&183
.') :,18'(
BF %+ $*'
."'$ &"-#3
$*' -%,,
.') A5."%#.
G'#4'3
-' >d?
('40"#
)*1) >g?5 D+
$*'
14("$$3
$*' -%,,
.')
BF %+ )*'
$*' ."'$ &"-#3
$*'
.') A5 G'#4'3 -' ('40"# )*1)
$*' -%,,
."."'$
&"-#5
6*'('+"('3
-'devam
('&74'
+7()*'(
1$ -%,,
+",,"-$H
İkinci
gün,
2.
oyuncu
oynar ve
etmek.12'
(a) ile
aşağıya
inmek (d) arasında
$*' -%,, ." &"-#5 6*'('+"('3 -' ('&74' )*' .12' +7()*'( 1$ +",,"-$H
seçim yapar. Devam ederse, 3 kazanır; aşağıya inerse, 4 kazanır. Dolayısıyla, aşağıya
inmelidir. Daha da indirgenmiş oyun alttaki gibidir:
2
=
=
D# )*' )*%(& &183 :,18'( < 2"E'$3 4*""$%#. 9')-''# ."%#. 14("$$ >? "( &"-# >?5 D+
*' ."'$ 14("$$3 *' -"7,& .') =F %+ *' ."'$ &"-#3 *' -%,, .') B5 G'#4'3 -' ('40"# )*1) *'
-%,, ." &"-#5 6*'('+"('3 -' ('&74' )*' .12' 1$ +",,"-$H
<
!
!G
!
D
=
!
d
>B3B?
g
"%#&$
D
G ><3<?
>@3A?
"!#!$
D# )*' $'4"#& &183 :,18'( = 2"E'$3 4*""$%#. 9')-''# ."%#. 14("$$ >d? "( &"-# >g?5 D+
$*' ."'$ 14("$$3 $*' -%,, .') BF %+ $*' ."'$ &"-#3 $*' -%,, .') A5 G'#4'3 -' ('40"# )*1)
Şimdi, 1. oyuncu eğer devam ederse (A), 0 kazanır; aşağıya inerse, 1 kazanır.
'()#
! 0.12
% 346*'('+"('3
5. 0(.2 ,6/(22
"D$# ,78
! 34+7()*'(
5. 0(.2
"G$9 :5./.4(/.#
$*'*+,-./
-%,, ."
&"-#5
-' ('&74'
)*'0.12
.12'
1$8()7
+",,"-$H
Dolayısıyla, aşağıya iner. Oluşturduğumuz denge alttaki gibidir:
5. 0(.2 8()79 :5. .;<3+3=/3<> 15,1 ). 5,?. 6(721/<61.8 32 ,2 4(++()2@
!
!
G
A
!
D
g
!
!
d
"A#C$
=
"!#!$
"%#&$
"B#B$
:5,1 32# ,1 .,65 7(8.# 15. *+,-./ )5( 32 1( >(?. 0(.2 8()7# .D31370 15. /.+,13(7253*9
E.1F2 0( (?./ 15. ,22<>*13(72 15,1 ). 5,?. >,8. 37 6(721/<61370 (</ .;<3+3=/3<>9
Başka bir deyişle, her karar noktasında, o noktada kim oynuyorsa, aşağıya inerek
G. ,22<>.8 15,1 *+,-./ ! )3++ ,61 /,13(7,++- ,1 15. +,21 8,1.# )5.7 ). /.6H(7.8 15,1 5.
ilişkiden çıkmış olur. 1. oyuncunun son gün akılcı davranacağını varsaydık, bu
0(.2 8()79 G5.7 ). /.6H(7.8 15,1 *+,-./ A 0(.2 8()7 37 15. 2.6(78 8,-# ). ,22<>.8
da aşağıya ineceği çıkarımında bulunmamızı sağladı. 2. oyuncunun ikinci gün
15,1 *+,-./ A ,22<>.2 15,1 *+,-./ ! )3++ ,61 /,13(7,++- (7 15. 153/8 8,-# ,78 ,+2( ,22<>.8
aşağıya ineceği çıkarımını yaparken de, 2. oyuncunu 1. oyuncunun üçüncü gün
15,1 25. 32 /,13(7,+# 1((9 I7 15. !/21 8,-# *+,-./ ! ,71363*,1.2 ,++ 15.2.9 :5,1 32# 5. 32
akılcı davranacağını varsaydığını ve kendisinin de akılcı olduğunu varsaydık. Birinci
1( tüm
H7()
15,1 *+,-./
A 32 varır.
/,13(7,+#
,78
25. )3++2.H..*
=.+3.?370akılcı
15,1 *+,-./
gün,,22<>.8
1. oyuncu
bunların
ayırdına
Yani,
1. 15,1
oyuncunun
oyuncunun
! )3++ bildiğini
,61 /,13(7,++15. 153/81.8,-9
olduğunu
ve 2. (7
oyuncunun
oyuncunun üçüncü gün akılcı davranacağına
:532
.D,>*+.
,+2( 3++<21/,1.2 ,7(15./ 7(13(7 ,22(63,1.8 )315 =,6H),/82 378<613(7 J
inandığını
bildiğini
varsayıyoruz.
6(>>31>.71
"(/ doğru
15. +,6H
(4 6(>>31>.71$9
'(1. 15,1
15. (<16(>.2
(7 15. 153/8 8,Bu
örnek geriye
tümevarımla
ilişkili başka
bir kavramı
da betimlemek"B#B$ ,78
,/. =(15
21/361+- =.11./
15,7 ki,
15.üçüncü
.;<3+3=/3<>
"!#%$9 K<1
tedir"39.9#
- taahhüt
(ya"A#C$$
da taahhüt
eksikliği).
Belirtelim
günkü(<16(>.
sonuçların
15.- 6,77(1 /.,65 15.2. (<16(>.2# =.6,<2. *+,-./ A 6,77(1 6(>>31 1( 0( ,6/(22# ,78
3 *+,-./ ! .D312 15. /.+,13(7253* 37 15. !/21 8,-9
,71363*,1370 15,1 *+,-./ A )3++ 0( 8()7#
:5./. 32 ,+2( , 4</15./ 6(>>31>.71 */(=+.> 37 1532 .D,>*+.9 L4 *+,-./ ! )5./. ,=+.
B
(yani, (3,3) ve (2,5)) ikisi de dengede çıkan (1,0) sonucundan kesin daha iyidir. Ancak, daha iyi olan bu sonuçlara ulaşamamaktadırlar, çünkü 2. oyuncu devam etme
taahhütü verememektedir ve 2. oyuncunun aşağıya ineceğini öngören 1. oyuncu da
ilk günden ilişkiden çıkar. Bu örnekte bir başka taahhüt problemi daha vardır. Eğer
1. oyuncu üçüncü gün devam etmeyi taahüt edebilseydi, o zaman 2. oyuncu ikinci
gün kesinlikle devam ederdi. Bu durumda, 1. oyuncu ilk gün devam etmeyi seçerdi.
Tabiki, 1. oyuncu üçüncü gün devam etmeyi taahhüt edemez ve oyun ilk gün sona
erer ve (1,0)’lık düşük kazançlar sağlanır.
Bir başka örnek olarak, geriye doğru tümevarımı kusursuz bilgili yazı-tura eşleştirme
oyununa uygulayalım:
Yazı
(-1,1)
2
Yazı
Tura
(1,-1)
1
Yazı
Tura
(1,-1)
2
Tura
(-1,1)
Eğer 1. oyuncu Yazıyı seçerse, 2. oyuncu da Yazıyı seçer; eğer 1 Turayı seçerse,
2 de Turayı seçer. Dolayısıyla, indirgenmiş oyun
(-1,1)
Yazı
1
Tura
(-1,1)
4
şeklindedir.
Bu durumda, 1. oyuncu Yazı ve Tura arasında kayıtsız olacaktır, bu iki seçenek
veya bu iki eylem arasında herhangi bir rastgele seçim arasından seçmek bize geriye
doğru tümevarım dengesini verir.
Bu noktada, durup Gibbons’daki Stackelberg duopolisini çalışmalısınız.
Ayrıca, bu oyunda, takip edenin, liderin ne ürettiğinden bağımsız olarak, Cournot
miktarını ürettiği ve liderin de Cournot miktarını ürettiği bir Nash dengesinin var
olduğunu kontrol ediniz. Tabiki, bu geriye doğru tümevarım ile tutarlı bir denge
değil: takip eden oyuncu liderin Stackelberg miktarını ürettiğini öğrendiği zaman,
fikrini değiştirip, geriye doğru tümevarım yoluyla hesaplanan daha düşük bir miktar üretecektir. Bu nedenle, bu Nash dengesi (takip edenin) güvenilir olmayan bir
tehdidi üzerine inşa edilmiştir.
Geriye doğru tümevarım sezgisel altyapısı güçlü bir çözüm yoludur. Maalesef, sonlu ve kusursuz bilgili oyunlar dışında uygulama alanı yoktur. Öte yandan, bu sezgisel altyapı, bu tip oyunlar dışında alt-oyun mükemmel dengesiyle
genelleştirilebilir.
2
Alt-oyun mükemmel Nash dengesi
Geriye doğru tümevarım yönteminin temel bir özelliği, oyunun bir alt-oyununa
baktığımızda, geriye doğru tümevarımla hesapladığımız dengenin bu alt-oyunda
da (yine geriye doğru tümevarmla hesaplanan) denge olarak kalmasıdır. Alt-oyun
mükemmel denge kavramı bu nosyonu genel dinamik oyunlara geneller:
Tanım 1 Bir Nash dengesi alt-oyun mükemmeldir, ancak ve ancak, oyunun her
alt-oyununda bir Nash dengesidir.
Alt-oyun nedir? Herhangi bir oyunun içine gömülmüş, daha küçük oyunlar mevcut olabilir ve bu tip gömülmüş oyunlara alt-oyun diyoruz. Mesela, kırkayak oyununu düşünelim (denge kalın çizgilerle çizilmiştir):
5
I"1! 2- 1 -+8=1>#J F/ 1/3 =24#/ =1>#5 !"#(# >13 8# -%># ->1&&#( =1>#- #>8#**#*K
'# ,1&& #1," -+," #>8#**#* =1># 1 -+8=1>#6 .%/-2*#(5 $%( 2/-!1/,#5 !"# ,#/!2)#*#=1># A'"#(# !"# #0+2&28(2+> 2- *(1'/ 2/ !"2,9 &2/#-B:
L
!
M
!
D
L
!
d
G
g
AL5LB
AN5OB
AP5PB
AM5QB
R"2- =1>#
"1- !"(##
-+8=1>#-6
2- %/# -+8=1>#:
Bu oyunun
üç tane
alt-oyunu
vardır.S#(#
Bunlardan
bir tanesi şöyledir:
Q
!
!
"&$'%
!
!
"#$#%
"&$'%
()*+ *+ ,-./)01 +234,506
"#$#%
& ise:d
Bir başka alt-oyun
!
!
!
()*+ *+ ,-./)01 +234,506
g
"7$8%
&
!
g
!
!
d
"#$#%
"&$'%
"&$'%
9-: /)0 /)*1: +234,50 *+ /)0 4,50 */+0;<=
/)0 !1+/ /@. +234,50+ "0A?;2:*-4
"7$8% >0 ?,;;"#$#%
/)0 4,50 */+0;<% B1.B01= C./0 /),/$ *- 0,?) +234,50$ /)0 0D2*;*31*25 ?.5B2/0: E*,
3,?F@,1:+ *-:2?/*.105,*-+
/. 30 ,-*+ 0D2*;*31*25
.< /)0
+234,50=
9-: /)0
/)*1: +234,50
/)0 4,50 */+0;<=
>0 ?,;;
/)0 !1+/ /@. +234,50+ "0A?;2:*-4
C.@ ?.-+*:01
/)0 5,/?)*-4
B0--G
4,50
@*/)
*-<.15,/*.-=
H- /)*+ 4,50$
@0 E*,
/)0 4,50
*/+0;<% B1.B01=
C./0
/),/$
*- B01<0?/
0,?) +234,50$
/)0 0D2*;*31*25
?.5B2/0:
3,?F@,1:+ *-:2?/*.30 ,- 0D2*;*31*25
/)0 +234,50=
),E0 /)100 +234,50+6
.-0 ,</01 105,*-+
B;,G01 !/.?)..+0+
I0,:$ .-0.<,</01
B;,G01 ! ?)..+0+ (,*;$
6/)1.24)
C.@ ?.-+*:01
B0--G
4,50 @*/)
B01<0?/ 3,?F@,1:+
*-<.15,/*.-=*-:2?/*.H- /)*+ 4,50$
,-: /)0 4,50 */+0;<=
94,*-$ /)0
/)0 5,/?)*-4
0D2*;*31*25
?.5B2/0:
*+ @0
),E0 /)100
+234,50+6
.-0 ,</01 B;,G01 ! ?)..+0+ I0,:$ .-0 ,</01 B;,G01 ! ?)..+0+ (,*;$
, C,+) 0D2*;*31*25
,/ 0,?)
+234,50=
,-: /)0
*/+0;<= 4,50=
94,*-$ /)0 0D2*;*31*25 ?.5B2/0: /)1.24) 3,?F@,1:+ *-:2?/*.- *+
C.@ ?.-+*:01
/)04,50
<.;;.@*-4
, C,+) 0D2*;*31*25 ,/ 0,?) +234,50=
C.@ ?.-+*:01 /)0 <.;;.@*-4 4,50=
dir.
Üçüncü alt-oyun ise oyunun kendisidir. İlk iki alt-oyuna (oyunun kendisi dışındaki
alt-oyunlara) öz alt-oyun diyoruz. Geriye doğru tümevarımla hesaplanan denge, her
bir alt-oyunda, o alt-oyunun dengesi olmaya devam eder.
Şimdi, kusursuz bilgili yazı-tura eşleştirme oyununu düşünelim. Bu oyunda, üç
alt-oyun vardır: 1. oyuncunun Yazı seçmesinden sonra gelen oyun, 1. oyuncunun
Tura seçmesinden sonra gelen oyun ve oyunun kendisi. Tekrarlarsak, geriye doğru
tümevarımla hesaplanan denge her bir alt-oyunda da Nash dengesidir.
Şimdi sıradaki oyunu düşünelim.
1
E
X
1
(2,6)
T
B
2
L
R
(0,1)
L
(3,2)
R
(-1,3)
(1,5)
!" #$%%&' $(()* +$#,-$./0 1%/2#'1&% 1% '310 4$5"6 +"#$20" 1' 10 %&' $ (".7"#' 1%8
7&.5$'1&% 4$5"9 :2' -" #$% #&5(2'" '3" 02+4$5" (".7"#' ";21)1+.1259 <310 4$5" 3$0
Bu oyunda geriye doğru tümevarım uygulayamayız, çünkü bu oyun kusursuz
'-& 02+4$5"0= &%" 0'$.'0 $7'". ()$*". > ()$*0 ?@ '3" 0"#&%/ &%" 10 '3" 4$5" 1'0")79 !"
bilgi oyunu değildir. Ama, alt-oyun mükemmel dengesini hesaplayabiliriz. Oyunda
#&5(2'" '3" 02+4$5" (".7"#' ";21)1+.1$ $0 7&))&-09 !" !.0' #&5(2'" $ A$03 ";21)1+.125
iki tane alt-oyun vardır: 1. oyuncunun E oynamasından sonra gelen oyun ve oyunun
&7 '3" 02+4$5"6 '3"% !B1%4 '3" ";21)1+.125 $#'1&%0 $0 '3"* $." C1% '310 02+4$5"D6 $%/
kendisi. Alt-oyun mükemmel dengesini şöyle hesaplıyoruz: Önce alt-oyunun bir
'$,1%4 '3" ";21)1+.125 ($*&0 1% '310 02+4$5" $0 '3" ($*&0 7&. "%'".1%4 1% '3" 02+4$5"6
Nash dengesini buluyoruz, sonra (bu alt-oyundaki) denge eylemlerini sabitleyerek
-"ve
#&5(2'"
$ A$03 ";21)1+.125
1% '3" ."5$1%1%4
bu alt-oyundaki
denge kazançlarını
alt-oyuna4$5"9
girmekten gelecek kazançlar olarak
<3" 02+4$5"
3$0 &%)*
&%" Nash
A$03 dengesini
";21)1+.1256
$0 < /&51%$'"0 := E)$*". > ()$*0 <
alarak,
geriye kalan
oyunda
hesaplıyoruz.
$%/ F Alt-oyunda
()$*0 G6 *1")/1%4
H"#'&.dengesi
CI6FD9 var, çünkü T, B’yi domine ediyor: 1.
sadece'3"
bir($*&
tane Nash
1
oyuncu T oynar ve 2. oyuncu da R oynar, kazanç vektörü de (3,2)’dir.
T
B
7
2
L
(0,1)
R
(3,2)
L
(-1,3)
R
(1,5)
'$,1%4 '3" ";21)1+.125 ($*&0 1% '310 02+4$5" $0 '3" ($*&0 7&. "%'".1%4 1% '3" 02+4$5"6
-" #&5(2'" $ A$03 ";21)1+.125 1% '3" ."5$1%1%4 4$5"9
<3" 02+4$5" 3$0 &%)* &%" A$03 ";21)1+.1256 $0 < /&51%$'"0 := E)$*". > ()$*0 <
$%/ F ()$*0 G6 *1")/1%4 '3" ($*& H"#'&. CI6FD9
1
T
B
2
L
R
(0,1)
L
(3,2)
R
(-1,3)
(1,5)
J1H"% '3106 '3" ."5$1%1%4 4$5" 10
Bu sayede, geriye kalan oyun
1
K
E
X
(3,2)
(2,6)
!"#$# %&'(#$ ) *"++,#, -. /"0,1 2"# ,034'5#6%#$7#*2 #809&93$905 9, ', 7+&&+!,.
1
1
EX
E
X
şeklindedir, öyle ki, 1. oyuncu E’yi seçer. Dolayısıyla, alt-oyun
mükemmel dengesi
1 (2,6)
(3,2)
alttaki gibidir.
(2,6)
!"#$# %&'(#$ ) *"++,#, -. /"0,1 2"# ,034'5#6%#$7#*2 #809&93$905 9, ', 7+&&+!,.
T
1 B
E
2
L
X
1
TR
(0,1)
L
(3,2)
(2,6)
B
(-1,3)
R
(1,5)
2
:+2# 2"'2 2"#$# '$# +2"#$ :'," -809&93$9'; +<# +7 2"#5 9, =#%9*2#= 3#&+!.
L
R
L
R
1
(0,1)
(-1,3)
E
(3,2)
(1,5)
X
:+2# 2"'2 2"#$# '$# +2"#$ :'," -809&93$9'; +<# +7 2"#5 9, =#%9*2#= 3#&+!.
1
1
(2,6)
E
T
B
81
2
L
(0,1)
L
(2,6)
T
B
R
2
X
(3,2)
R
L
L
(-1,3)
R
(1,5)
R
2
L
R
L
R
Belirtelim ki, başka Nash
(0,1) dengeleri
(3,2) de vardır;
(-1,3)bir tanesi
(1,5)altta çizilmiştir.
:+2# 2"'2 2"#$# '$# +2"#$ :'," -809&93$9'; +<# +7 2"#5 9, =#%9*2#= 3#&+!.
1
E
X
1
(2,6)
T
B
2
L
R
(0,1)
L
(3,2)
R
(-1,3)
(1,5)
>+0 ,"+0&= 3# '3&# 2+ *"#*? 2"'2 2"9, 9, ' :'," #809&93$905. @02 92 9, <+2 ,034'5#
%#$7#*21 7+$1 9< 2"# %$+%#$ ,034'5#1 A %&'(, ' ,2$9*2&( =+59<'2#= ,2$'2#4(.
:+!1 *+<,9=#$ 2"# 7+&&+!9<4 4'5#1 !"9*" 9, #,,#<29'&&( 2"# ,'5# 4'5# ', '3+B#1 !92"
Bunun Nash dengesi olduğunu kontrol edebiliyor olmalısınız. Ancak bu denge
' ,&94"2 =9#$#<*# 2"'2 "#$# %&'(#$ ) 5'?#, "9, *"+9*#, '2 +<*#C
alt-oyun mükemmel değildir, çünkü, öz alt-oyunda, 2. oyuncu kesin domine edilen
bir strateji oynamaktadır.
Şimdi, yukarıdaki oyuna aslen çok benzeyen ama 1. oyuncunun seçimini bir
kerede yapması gibi ufak bir farka sahip, sıradaki oyuna bakalım:
D
X
1
(2,6)
T
B
2
L
(0,1)
R
(3,2)
L
R
(-1,3)
(1,5)
!"#$ #%&# #%$ "'() *+,-&.$ "/ #%0* -&.$ 0* 0#*$(/1 %$'2$ &') !&*% $3+0(0,40+. 0* *+,-&.$
5$4/$2#6 7' 5&4#02+(&41 #%$ '"'8*+,-&.$85$4/$2# !&*% $3+0(0,40+. "/ #%$ -&.$ &,"9$ 0*
*+,-&.$ 5$4/$2#6 7' #%$ '$: -&.$ 0# #&;$* #%$ /"((":0'- /"4.<
9
X
1
(2,6)
T
B
B
2
L
R
L
R
Bu oyunun tek alt-oyunu
dolayısıyla
Nash dengeleri birer alt(0,1) kendisidir,
(3,2)
(-1,3) tüm
(1,5)
oyun mükemmeldir. Özellikle, yukarıdaki oyunda alt-oyun mükemmel Nash dengesi
!"#$
#%&# #%$
"'()
*+,-&.$
"/ #%0* mükemmeldir.
-&.$ 0* 0#*$(/1 %$'2$
&') !&*%
$3+0(0,40+.
*+,-&.$
olmayan
denge
burada
alt-oyun
Bu yeni
oyunda,
bu denge0* alttaki
5$4/$2#6
7' 5&4#02+(&41 #%$ '"'8*+,-&.$85$4/$2# !&*% $3+0(0,40+. "/ #%$ -&.$ &,"9$ 0*
şekildedir.
*+,-&.$ 5$4/$2#6 7' #%$ '$: -&.$ 0# #&;$* #%$ /"((":0'- /"4.<
X
1
(2,6)
T
B
2
L
(0,1)
R
L
(3,2)
(-1,3)
R
(1,5)
!" "#$% &'$(" )'* %#'*+, %"'& -./,$(0 /(, %"*,) 1"/-$% /(, $2&.-3.4"
$(".-(/"$'(/+ 4'2&."$"$'(56
Bu noktada okumayı bırakıp ”gümrük vergileri (tariffs) ve tam olmayan uluslararası rekabet” konusunu çalışmalısınız.
7
8.9*.("$/+ :/-0/$($(0
7.&-0'$
#%&# #:" 5(&)$4*
":' & ="((&41 :%02% #%$) 2&' +*$ "'() &/#$4 #%$) =$20=$ %": #"
3 Ardaşık
pazarlık
=090=$ 0#6 >&2% 5(&)$4 0* 40*;8'$+#4&( &'= =0*2"+'#* #%$ /+#+4$ $?5"'$'#0&(()6 @%&# 0*1 0/
edelim
iki oyuncunun,
karar
verdikten
&Farz
5(&)$4
-$#* {ki,="((&4
&# =&) w1 %0*ancak
5&)"nasıl
0* w {paylaşacaklarına
/"4 *".$ 5 !"> #$6
@%$
*$# "/ &(( sonra
/$&*0,($
!
"
!
kullanabilecekleri,
bir|$TL’si
olsun.
da risk-kayıtsız
olsun
ve geleceği
=090*0"'*
0* G % !{>
5 &"> #'
!{ ( |Her
#oyuncu
6 A"'*0=$4
#%$ /"((":0'*2$'&40"6
7' #%$
eksponensiyel
iskonto
bir deyişle,
eğer
t gününde,
TL
!4*#
=&) 5(&)$4 bir
"'$şekilde
.&;$* &'
"$4 etsin.
!{" > |" $ Başka
5 G6 @%$'1
;'":0':%&#
%&* ,$$' x"$4$=1
edinirse, bundan alacağı fayda δ t x’dir, bir δ ∈ (0, 1) için. Tüm olası paylaşımlar,
D = (x, y) ∈ [0, 1]2 |x + y ≤ 1 kümesidir. Şöyle bir senaryo düşünelim. İlk gün,
1. oyuncu bir teklifte bulunur, (x1 , y1 ) ∈ BD. Sonra, teklifi gören 2. oyuncu, teklifi
kabul eder ya da reddeder. Eğer teklifi kabul ederse, teklif hayat geçirilir ve kazançlar
(x1 , y1 ) şeklinde olur. Eğer teklifi reddederse, bir sonraki günü beklerler ve 2. oyuncu
bir telif yapar, (x2 , y2 ) ∈ D. 2. oyuncunun teklifini gören 1. oyuncu, teklifi kabul
eder ya da reddeder. Eğer 1. oyuncu teklifi kabul ederse, teklif hayata geçirilir
10
ve kazançlar (δx2 , δy2 ) şeklinde olur. Eğer oyuncu teklifi reddederse, oyun biter ve
TL’yi kaybederler ve herikisi de 0 alır.
Bu oyunu analiz edelim. İkinci gün, eğer 1. oyuncu teklifi reddederse, 0 alır.
Dolayısıyla, 0’dan yüksek herhangi bir teklifi kabul edecektir ve 0 veren bir teklifi
kabul etmek ve reddetmek arasında ise kayıtsızdır. Varsayalım ki, (0,1) teklifini
kabul etsin.2 O zaman, 2. oyuncu (0,1) teklif ederdi, ki bu 2. oyuncunun alabileceğinin en iyisidir. Dolayısıyla, eğer ilk gün bir anlaşmaya varamazlarsa, ikinci
gün 2. oyuncu bir TL’nin hepsini alır ve 1. oyuncuya hiçbir şey bırakmaz. TL’yi bir
sonraki gün almanın değeri 2. oyuncu için δ’dır. Dolayısıyla, ilk gün, 2. oyuncu kendisine δ’dan daha fazla veren tüm teklifleri kabul edecektir, δ’dan daha az veren tüm
teklifleri reddedecektir ve δ veren teklifleri de kabul etmek ve reddetmek arasında
kayıtsızdır. Yukarıdaki gibi, varsayalım ki, 2. oyuncu (1 − δ, δ) teklifini kabul etsin.
Bu durumda, 1. oyuncu (1 − δ, δ) teklifinde bulunur ve bu teklif kabul edilir. 1.
oyuncuya 1 − δ’dan daha fazla veren her paylaşım, 2. oyuncuya δ’dan daha az
verecektir ve reddedilecektir.
Şimdi, yukarıdaki oyunu n defa tekrarladığımızı düşünelim. Yani, eğer ikinci
günün sonunda bir anlaşmaya varmadılarsa, üçüncü gün 1. oyuncu bir teklifte bulunur, (x3 , y3 ) ∈ D. Bunu gören 2. oyuncu, kabul eder ya da etmez. Eğer kabul
ederse, teklif hayata geçirilir, kazançlar (δ 2 x3 , δ 2 y3 ) şeklinde olur. Eğer reddederse,
bir sonraki günü beklerler ve 2. oyuncu bir teklifte bulunur, (x4 , y4 ) ∈ D. Şimdi,
2. oyuncunun ne teklif ettiğini gören 1. oyuncu kabul eder ya da etmez. Eğer 1.
oyuncu kabul ederse, teklif hayata geçirilir ve kazançlar (δ 3 x4 , δ 3 y4 ) şeklinde olur.
Eğer 1. oyuncu reddederse, 5. günü beklerler... Bu böyle 2n’inci günün sonuna
kadar devam eder. Hala anlaşmaya varamazlarsa, oyun biter, TL’yi kaybederler ve
kazançlar (0, 0) olur.
Alt-oyun mükemmel denge şöyledir. Herhangi bir t = 2n − 2k gününde (k bir
negatif olmayan tam sayıdır), 1. oyuncu
δ 1 − δ 2k
x≥
1+δ
2
Aslında, dengede 1. oyuncu (0,1) teklifini kabul etmelidir. Eğer, (0,1)’i kabul etmezse, 2.
oyuncunun en iyi tepkisi boş küme olacaktır, bu da bir denge ile tutarlı değildir. (2. oyuncunun
herhangi bir (, 1−) teklifi kabul edilecektir. Ancak herhangi bir (, 1−) teklifi için kabul edilecek
daha iyi bir teklif her zaman vardır, (/2, 1 − /2).)
11
eşitsizliğini sağlayan herhangi bir (x, y) teklifini kabul eder ve
δ 1 − δ 2k
x<
1+δ
eşitsizliğini sağlayan herhangi bir (x, y) teklifini ise reddeder; ve 2. oyuncu
(xt , yt ) =
!
δ 1 − δ 2k
δ 1 − δ 2k
,1 −
≡
1+δ
1+δ
!
δ 1 − δ 2k 1 + δ 2k+1
,
1+δ
1+δ
teklifinde bulunur.
Herhangi bir t − 1 = 2n − 2k − 1 gününde ise, 2. oyuncu bir (x, y) teklifini kabul
eder, ancak ve ancak,
δ 1 + δ 2k+1
y≥
1+δ
ve 1. oyuncu
(xt−1 , yt−1 ) =
!
δ 1 + δ 2k+1 δ 1 + δ 2k+1
1−
,
≡
1+δ
1+δ
1 − δ 2k+2 δ 1 + δ 2k+1
,
1+δ
1+δ
!
teklifinde bulunur.
Bunun denge olduğunu k üzerine matematiksel tümevarım yoluyla gösterebiliriz.
(Yani, önce bunun k = 0 için doğru olduğunu göstereceğiz; sonra da k − 1 için doğru
olduğunu varsayıp, k için doğru olduğunu göstereceğiz.)
Ispat. k = 0 durumunda son iki periyot var sadece ve bu da yukarıda analizini yaptığımız 2-periyotluk oyuna denktir. k = 0 aldığımızda, burada betimlenen davranışın, 2-periyotluk oyundaki denge davranışıyla aynı olduğunu kolaylıkla
gösterebliriz. Şimdi, bir k −1 için yukarda betimlenenin denge olduğunu varsayalım.
Yani, t + 1 := 2n − 2 (k − 1) − 1 = 2n − 2k + 1 gününün başında, 1. oyuncu
(xt+1 , yt+1 ) =
1 − δ 2(k−1)+2 δ 1 + δ 2(k−1)+1
,
1+δ
1+δ
!
=
1 − δ 2k δ 1 + δ 2k−1
,
1+δ
1+δ
!
teklifini verir ve bu teklif kabul edilir. t = 2n − 2k gününde, 1. oyuncu bir teklifi
2k
kabul eder ancak ve ancak bu teklif bir sonraki gün en az 1−δ
edinmek kadar iyi
1+δ
δ (1−δ 2k )
olmalıdır, bu da 1+δ değerindedir. Dolayısıyla, 1. oyuncu bir (x, y) teklifini
12
kabul edecektir, ancak ve ancak,
δ 1 − δ 2k
x≥
.
1+δ
Bu durumda, 2. oyuncunun yapabileceği en iyi şey
(xt , yt ) =
!
δ 1 − δ 2k
δ 1 − δ 2k
,1 −
=
1+δ
1+δ
!
δ 1 − δ 2k 1 + δ 2k+1
,
1+δ
1+δ
teklifidir. 2. oyuncuya yt ’den daha fazla veren herhangi bir teklif reddedilecektir ve
2. oyuncu
δ 2 1 + δ 2k−1
< yt
δyt+1 =
1+δ
kazanacaktır. Yani, t gününde 2. oyuncu (xt , yt ) teklifinde bulunur; bu teklif kabul
edilir. Bu durumda, t − 1 gününde, 2. oyuncu bir (x, y) teklifini kabul eder ancak
ve ancak
δ 1 + δ 2k+1
y ≥ δyt =
.
1+δ
Bu durumda, t − 1 gününde, 1. oyuncu
(xt−1 , yt−1 ) ≡ (1 − δyt , δyt ) =
1 − δ 2k+2 δ 1 + δ 2k+1
,
1+δ
1+δ
!
teklifinde bulunur, bu da ispatı sonlandırır. Şimdi, n → ∞ olsun. Herhangi bir tek t gününde, 1. oyuncu
∞
(x∞
t , yt )
= lim
k→∞
1 − δ 2k+2 δ 1 + δ 2k+1
,
1+δ
1+δ
!
=
1
δ
,
1+δ 1+δ
teklifinde bulunur ve herhangi bir çift t gününde 2. oyuncu
∞
(x∞
t , yt ) = lim
k→∞
! δ 1 − δ 2k 1 + δ 2k+1
δ
1
,
=
,
1+δ
1+δ
1+δ 1+δ
teklifinde bulunur ve bu teklifler ancak kabul edilirler.
13