Makinaların Hareketi - SABİS

MKM 308 Makina Dinamiği
Makinaların Hareketi ve Hareket
Denklemlerinin Çıkarımı
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Makinaların Hareketi
Uzuvları katı cisimler olan düzlemsel hareketli
mekanizmalardan oluşan bir serbestlik dereceli
makinaların, sonlu bir zaman aralığı için yani
değişen konumları için, hareketi incelenecektir.
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Makinaların Hareketi
Bir makinada uzuvların geometrik ölçüleri yanında kütle ve kütle
dağılımları, ağırlık merkezleri ve kütlesel atalet momentleri verilmiş
veya tayin edilmiş ise, makinanın çeşitli uzuvlarına tesir eden aktif
kuvvetler de biliniyorsa makinanın nasıl hareket edeceği yani
dinamiğin Birinci Esas Problemi söz konusudur.
Bu problemin çözümü ile yol alma zamanı, rejim durumunda hareketin
düzgünsüzlüğü ve hareketten durma evresine geçiş şekil ve süresi
belirlenir.
Yol alma
Zamanı
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Rejim Hali
Durma
Zamanı
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Makinaların Hareketi
Bir makinada uzuvların geometrik ölçüleri ve kütlesel karakteristikleri
ve tahrik momenti dışında diğer aktif kuvvetler bilindiğine göre, belirli
bir hareket seyrinin elde edilebilmesi (örneğin kolun istenen bir açısal
hızla düzgün dönmesi) için gerekli tahrik momentinin tayini Dinamiğin
İkinci Esas Problemini oluşturur.
Böylece makinayı tahrik edecek motor seçilebilir.
Uygulamada önemli olan başka bir problem de, hareket seyrinin
belirli şartları gerçekleştirmesi, makinanın düzgün olarak çalışması,
örneğin düzgünsüzlük katsayısının öngörülen bir sınırı aşmaması için
yapılabilecek işlemlerin araştırılmasıdır. Bu konuda en uygun çözüm
yöntemi makinaya volan ilave etmektir.
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Makinaların Hareketi
Bahsedilen problemlerin incelenmesi ve çözümü için
makinanın hareketine ait diferansiyel denkleme
ihtiyaç vardır. Bu denklem yazılırken ‘makinanın
mile indirgenmiş atalet momenti’ ile makinaya etki
eden aktif kuvvet ve momentlere eşdeğer olarak
‘makinanın mile indirgenmiş eşdeğer moment’ e
ihtiyaç vardır.
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Makinaların Hareketi
Makina Kuvvet Alanı
Bir makinaya tesir eden aktif kuvvetlerin tümü
makinanın kuvvet alanını meydana getirir. Aktif
kuvvetler:
a) İşletme Kuvvetleri
b) Yardımcı Kuvvetler
c) Sürtünme Kuvvetleri
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Makinaların Hareketi
Makinanın görevini yapabilmesi için yenmek zorunda olduğu, makine
hareketine karşı koyan bazı kuvvetler vardır. Örneğin, bir kaldırma
makinası ağırlık kuvvetine karşı çalışır, bir takım tezgahı talaş kaldırırken
işlenen parçanın gösterdiği mukavemete karşı çalışır. Bu gibi kuvvetlere
‘faydalı kuvvetler’ denir. Makinanın bu işleri yapabilmesi için tahrik
uzvu (tahrik mili) tarafından tahrik edilmesi yani bu uzva ‘tahrik
kuvveti’ veya ‘tahrik momenti’ uygulanması gerekir. İşte bu faydalı
kuvvetler ve tahrik kuvvetleri makinanın işletme kuvvetlerini oluşturur.
Bu açıklama daha çok iş makinaları için geçerlidir.
Kuvvet makinası söz konusu ise, tahrik ettiği iş makinasının gösterdiği
mukavemet, yani iş makinasının tahrik momentinin ters yönlüsü bu
makina için faydalı momenttir. Örneğin içten yanmalı motorlardaki gaz
kuvvetleri gibi kuvvetler tahrik kuvvetleridir.
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Makinaların Hareketi
Kuvvet makinası ve iş makinasından oluşan sistem tek bir makine
olarak alınırsa iş makinası tarafına ait faydalı kuvvetler ile, kuvvet
makinası tarafına ait tahrik kuvvetleri makinanın işletme kuvvetlerini
oluşturur.
Bir iş makinasını ele alalım. Tahrik için seçilen kuvvet makinasının
(tahrik motorunun) cinsine göre değişik tipte tahrik momenti
karakteristikleri söz konusudur. Buna ‘motor döndürme momenti
karakteristiği’ denir. Tahrik momenti, örneğin içten yanmalı motorlarda
esasen krank milinin konumuna bağlıdır (Mm=Mm(ϕ)). Uygulamada çok
sık kullanılan asenkron motorlardan elde edilen tahrik momenti ise
devir sayısına yani açısal hıza bağlıdır. Bunların motor döndürme
momenti karakteristiği Mm=Mm(ω) şeklindedir. Milin dönme yönünde
pozitif alınan döndürme momentleri genel olarak Mm=Mm(ϕ,ω,t) dir.
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Makinaların Hareketi
Makinanın görevini yapabilmesi için faydalı kuvvetleri yenmesi gerekir.
Faydalı kuvvetler de yapılacak işe göre değişik karakterdedir. Çeşitli
uzuvlara etki eden faydalı kuvvetlerin eşdeğeri olarak mile indirgenmiş
moment makinanın ‘yük karakteristiği’ ni meydana getirir. Bu, milin
dönme yönünde negatif alınır.
Uygulamada rastlanan bazı yük karakteristikleri;
Yalnız konuma bağlı yük karakteristiği
Mf=Mf(ϕ)
Yalnız devir sayısına veya milin açısal hızına bağlı yük karakteristiği
Mf=Mf(ω)
Genel yük karakteristiği
Mf=Mf(ϕ,ω,t)
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Makinaların Hareketi
b) Yardımcı Kuvvetler: Makine uzuvlarının kendi ağırlıkları ve kütleleri
ihmal edilen yayların bağlandıkları uzuvlara uyguladıkları yay
kuvvetlerine ‘yardımcı kuvvetler’ denir.
c) Sürtünme Kuvvetleri: Genellikle istenmeyen, fakat makinaların
fiziksel özelliklerinden dolayı ortaya çıkan kuvvetlerdir.
Bir makinaya tesir eden aktif kuvvetlerin tümü makinanın kuvvet
alanını meydana getirir. Tüm aktif kuvvetlerin eşdeğer olarak mile
indirgenmesi ile elde edilen ve genel olarak konum, hız ve zamana
bağlı olan momenti ifade eden
M=M(ϕ,ω,t)
fonksiyonuna ‘makina kuvvet alanı fonksiyonu’ denir.
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Hareketin Diferansiyel Denklemi
Düzlemsel hareketli mekanizmalardan oluşan bir makina için
Lagrange Denklemleri uygulanabilir.
Tek serbestlik dereceli makinalar için tek genelleştirilmiş
koordinat vardır. ϕ konum parametresi genelleştirilmiş koordinat
olsun. (q1= ϕ, 𝑞1 =ω)
M=M(ϕ,ω,t) kuvvet alanı fonksiyonu ise, mile indirgenmiş
moment tanımı dikkate alındığında, ϕ genelleştirilmiş
koordinata karşılık gelen genelleştirilmiş kuvveti oluşturur.
Q1=M
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Hareketin Diferansiyel Denklemi
Buna göre Lagrange Denklemi;
Mile indirgenmiş kütlesel atalet momenti için kinetik enerji
şeklinde Lagrange Denkleminde yazılırsa
Hareket Denklemleri;
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Hareketin Diferansiyel Denklemi
İş ve enerji ilkesine dayanarak da hareket denklemleri yazılabilir.
𝑑𝐸𝑘 = 𝑑𝑊
𝐸𝑘 =
1
𝐼𝜑2
2
W: Makinaya etkiyen aktif dış kuvvetlerin işi
I=I(φ) Makinanın mile indirgenmiş Küt. At. Mom.
𝜑: Makina milinin açısal hızı
1 2
𝑑𝐸𝑘 = 𝑑 𝐼 𝜑
2
𝑑𝑊 = 𝑀𝑑𝜑
M: Aktif kuvvetlerin mile indirgenmiş eşdeğer momenti
M = -Mdenge
M=M(ϕ,t)
1 2
2
𝑑 𝐼𝜑
1
𝑑
𝜑
1 𝑑𝐼 2
2
= 𝐼
+
𝜑 = 𝑀 = −𝑀𝑑𝑒𝑛𝑔𝑒 = 𝑀 𝜑, 𝑡
𝑑𝜑
2 𝑑𝜑 2 𝑑𝜑
Lagrange denklemiyle elde edilen hareket denk. aynısıdır.
1 𝑑𝐼 2 1 𝑑𝜔2 1 𝑑𝐼 2
𝐼𝜑 +
𝜔 = 𝐼
+
𝜔
2 𝑑𝜑
2 𝑑𝜑 2 𝑑𝜑
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Hareketin Diferansiyel Denklemi
Makine kuvvet alanı fonksiyonu M=M(ϕ,ω,t) bazen tahrik
kuvvetlerinden gelen kısım ve diğer kuvvetlerden gelen kısım
olmak üzere ikiye ayrılarak yazılabilir.
𝑀 𝜑, 𝜔, 𝑡 = 𝑀𝑚 𝜑, 𝜔, 𝑡 − 𝑀𝑤 𝜑, 𝜔, 𝑡
Mm=Tahrik momenti veya motor momenti
Mw=Direnç momenti (Faydalı, yardımcı ve sürtünme kuv. momenti)
Burada Mw dönme yönünün tersi için pozitif olarak
değerlendirilmektedir.
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
Hareketin Diferansiyel Denklemi
UYGULAMA: Mekanizmanın hareket denklemini yazınız.
Mtah
Verilenler:
2 nolu uzuv; m2, is2 (dönme)
3 nolu uzuv; m3 (dairesel ve öteleme)
4 nolu uzuv; m4 (öteleme)
𝑋𝐴 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑋𝐴 = −𝑟. 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝜑
Sakarya Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki