ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Dünya KARAPINAR
LİE CEBİRLERİNİN TEMSİLLERİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2012
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
LİE CEBİRLERİNİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu Tez
/ /2012 Tarihinde Aşağıdaki
Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir.
Jüri
Üyeleri
Tarafından
………………...............
……………………………
…........................................
Prof. Dr. Naime EKİCİ
Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN
Yrd. Doç. Dr. Cennet ESKAL
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. M. Rifat ULUSOY
Enstitü Müdürü
Bu Çalışma TÜBİTAK - BİDEB Tarafından Desteklenmiştir.
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların
kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere
tabidir.
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
LİE CEBİRLERİNİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman :Prof. Dr. Naime EKİCİ
Yıl: 2012, Sayfa: 71
Jüri
:Prof. Dr. Naime EKİCİ
:Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN
:Yrd. Doç. Dr. Cennet ESKAL
Lie cebirlerinin temsilleri teorisi cebirde en çok çalışılan alanlardan birisidir.
Basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin temsilleri bu cebirlerin yapılarının anlaşılmasında
önemli rol oynarlar. Bu tezde basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin sonlu boyutlu
temsilleri incelenmiştir. Çalışmada sl2( £ ) , sl3( £ ) , sl4( £ ) ve genel durum olan
sln( £ ) nin temsilleri üzerinde yoğunlaşılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Lie cebirleri, Temsiller, Özel lineer Lie cebirleri
I
ABSTRACT
MSc THESIS
REPRESENTATIONS OF LIE ALGEBRAS
Dünya KARAPINAR
ÇUKUROVA UNIVERSITY
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Supervisor :Prof. Dr. Naime EKİCİ
Year: 2012, Pages: 71
Jury
:Prof. Dr. Naime EKİCİ
:Asst. Prof. Dr. Ela AYDIN
:Asst. Prof. Dr. Cennet ESKAL
Representation theory of Lie algebras is one of the most studied area of
algebras. Representations of simple and semisimple Lie algebras play important role
in understanding the structure of these algebras. In this thesis we investigate the
representations of finite dimensional simple and semisimple Lie algebras. We
concenrate on the representations of the simple complex Lie algebras sl2( £ ) ,
sl3( £ ) , sl4( £ ) and the general case of sln( £ ).
Keywords: Lie algebras, Representations, Special linear Lie algebras
II
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübeleri ile beni aydınlatan,
yapıcı ve yönlendirici fikirleriyle bana daima yol gösteren, değerli zamanını ayırarak
çalışmamın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliği ile örnek aldığım danışman
hocam Sayın Prof. Dr. Naime EKİCİ’ye sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Başta Sayın Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ olmak üzere Çukurova Üniversitesi
Matematik bölümünün değerli hocalarına, lisans ve yüksek lisans eğitimim boyunca
yardım ve teşviklerinden dolayı sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Yüksek lisans eğitimim süresince verdiği burstan dolayı TÜBİTAK Bilim
İnsanı Destekleme Daire Başkanlığına sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan aileme sonsuz
teşekkürlerimi sunarım.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ ........................................................................................................................ I
ABSTRACT ........................................................................................................ II
TEŞEKKÜR ...................................................................................................... III
İÇİNDEKİLER .................................................................................................. IV
1. GİRİŞ .............................................................................................................. 1
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER ........................................................ 5
2.1. Lie Cebirleri ............................................................................................. 5
2.2. Özel Lineer Lie Cebirleri .......................................................................... 7
2.3. Lie Cebirlerinin Temsilleri ..................................................................... 13
2.4. Temsillerin Birleşimi .............................................................................. 14
2.5. İndirgenemezliğe Kısıtlama .................................................................... 19
3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ ........................................................... 21
3.1. Karakteristik Uzaylara Parçalanış ........................................................... 21
3.2. Karakteristik Uzaylar Arasındaki Etkileşim ............................................ 24
3.3. Genel Durum .......................................................................................... 26
4. GENEL TEMSİLLER ................................................................................... 29
4.1. Cartan Alt Cebiri Ve Genelleştirilmiş Özdeğerler ................................... 30
4.2. Temsillerin Ağırlık Uzaylarına Parçalanışı ............................................. 34
4.3. Kök Uzayları ve Ağırlık Uzayları Arasındaki İlişkiler ............................ 35
4.4. Parçaları Araştırmak ............................................................................... 37
4.5. Simetriler ............................................................................................... 39
4.6. Yüksek Ağırlıklar ................................................................................... 40
4.7. Sınıflandırma .......................................................................................... 43
4.8. Temsil Halkalarının Yapısı ..................................................................... 44
5. sl2( £ ) NİN TEMSİLLERİ ........................................................................... 47
6. sl3( £ ) NİN TEMSİLLERİ ........................................................................... 55
7. sl4( £ ) NİN TEMSİLLERİ ........................................................................... 65
8. sln( £ ) NİN TEMSİLLERİ ........................................................................... 67
IV
KAYNAKLAR .................................................................................................. 69
ÖZGEÇMİŞ ...................................................................................................... 71
V
1. GİRİŞ
Dünya KARAPINAR
1. GİRİŞ
Lie cebirleri yirminci yüzyılın en merkezi konularından biri olup
matematiğin, diferansiyel geometri, temsil teorisi, harmonik analiz ve matematiksel
fizik gibi birçok alanıyla güçlü bağlara sahiptir. Özellikle temsil teorisi ile olan yakın
ilişkisi Lie cebirlerinin yapısının anlaşılmasında önemli bir rol oynar. Temsil teorisi
matematiğin bir dalı olup soyut cebirsel yapıları, elemanlarını vektör uzaylarının
lineer dönüşümleri şeklinde temsil ederek inceler ve bu soyut cebirsel yapılar
üzerindeki modülleri çalışır. Temelde, bir temsil bir cebirsel yapıyı, elemanlarını
matrisler ve cebirsel işlemlerini de matris işlemleri cinsinden tanımlayarak daha
anlaşılır hale getirir. Gruplar, birleşmeli cebirler ve Lie cebirleri gibi cebirsel yapılar
bu şekildeki bir tanıma uygunluk gösterirler. Bu cebirsel yapıların ilki ve en çok göze
çarpanı grupların temsil teorisidir. Bu teoride grup işlemi matris çarpımı olmak üzere
grup elemanları tersinir matrislerle temsil edilir.
Temsil teorisi soyut cebirdeki problemleri lineer cebirdeki problemlere
dönüştürdüğünden bir cebirsel yapının anlaşılmasında güçlü bir araçtır. Temsil
teorisi fizikte de önemli bir rol oynar. Örneğin; bir fiziksel sistemin simetri grubunun
bu sistemi tanımlayan denklemlerin çözümü üzerine nasıl etki ettiğini tanımlar.
Temsil teorisinin çarpıcı bir özelliği de matematikteki yaygınlığıdır. Teorinin
uygulamalarının muhtelif oluşu ve uygulamalardaki yaklaşımların çeşitliliği
yaygınlığın önemli nedenlerindendir. Teorinin başarısı, cebirsel yapıları daha genel
yapılarla değiştirmek gibi genelleştirmeleri beraberinde getirmesinden kaynaklanır.
Temsil teorisinin en önemli uygulama alanlarından birisi de basit ve yarıbasit
Lie cebirleridir. Bu konuda birçok araştırmacı çalışmalar yapmıştır.( Adams (1982),
Samelson (1990), Santos ve Rittore (2005), Serre (2001; 2006), Wakimoto(2001),
Wallach ve Goodman(1998 ),Erdmann veWildon (2006), Billey ve Lakshmibai
(2000), Carter (2005), Cooperstein (1990), Conway ve Sloane (1991), Cooperstein
(1990), Coxeter (1973), Kac (1990), Green (2007;2008), Hartshorne (1977),
Humphreys (1990), Du Val, (1933), Kashiwara (1991), Manivel (2006), Stembridge
(2001), Wildberger (2003a;2003b).)
1
1. GİRİŞ
Dünya KARAPINAR
Löh (2006) da sonlu boyutlu yarı basit Lie cebirlerinin temsillerini
incelemiştir. Öncelikle sl2( £ ) nin örnekleri üzerinde çalışmış daha sonra sl3( £ )
nin temsilleri ile birlikte genel teoriye ulaşmıştır.
Bäuerle ve De Kerf (1990) de özel lineer Lie cebirlerinin genel yapısını
incelemiştir.
Banu (2006) da sl2( £ ), sl3( £ ), sl4( £ ) ve sln( £ ) Lie cebirlerinin
temsillerini incelemiştir.
Bu tezde, £ karmaşık cismi üzerindeki, izi sıfır olan tüm n´n matrislerin Lie
cebiri olan sln( £ ) cebirinin temsil teorisi incelenmiştir. Bu konuda (Fulton ve
Harris, 1991) , (Löh, 2006) ve (Banu, 2006) temel kaynaklar olarak gösterilebilir.
Tezin amacı basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin temsillerini inceleyerek
sonuçları araştırmak ve teorinin Lie cebirlerindeki önemini vurgulamaktır. Tez, Lie
cebirlerinin temsil teorisi ile ilgili birçok çalışmanın bir derlemesi olup örneklerle
zenginleştirilmiştir.
Lie cebirlerinin temsil teorisi konusundaki Türkçe kaynak eksikliğini
gidermek tezin amaçlarından biri olup konu ile ilgili çok sayıda kaynak taranmış ve
sl2( £ ), sl3( £ ) , sl4( £ ) ve sln( £ ) Lie cebirlerinin temsillerinin genel teorisi
incelenerek açık ve anlaşılır bir şekilde ortaya konmuştur.
Bu tez toplam sekiz bölümden meydana gelmiş olup her bir bölümün içeriği
aşağıda özetlenmiştir:
İkinci bölümde tezde kullanılacak olan temel tanımlar ve teoremlerden söz
edilmiştir.
Üçüncü bölümde temsil teorisinin temelleri incelenmiştir. sl2( £ ) Lie
cebirinin indirgenemez temsillerini analiz ederken H köşegen matrisinin bu temsiller
üzerindeki etkisi araştırılmıştır. Ayrıca karakteristik uzaylara parçalanışın nasıl
olduğu, karakteristik uzaylar arasındaki etkileşimi, Va+2j özdeğer uzayının ne kadar
büyük olduğu, özdeğerler kümesinin genelde nasıl göründüğü, verilen bir özdeğer
kümesinin kaç tane indirgenemez temsilinin bulunduğu incelenmiştir.
Dördüncü bölümde sl2( £ ) nin temsillerinin sınıflandırılması gözönüne
alınarak genel durum incelenmiştir. sl3( £ ) nin temsilleri incelenirken sl2( £ ) nin
2
1. GİRİŞ
Dünya KARAPINAR
temsillerinin yapısından esinlenilmiştir. Ayrıca Lie cebirlerinin Cartan parçalanışı ve
genelleştirilmiş özdeğerleri araştırılmıştır.
Beşinci bölümde sl2( £ ) nin temsillerinin örnekleri ve baz elemanları olan X
ve Y matrislerinin çeşitli Va uzayları üzerindeki etkisi incelenmiştir.
Altıncı bölümde sl2( £ ) nin temsillerini kullanarak sl3( £ ) nin temsilleri
araştırılmış ve sl3( £ ) nin bir kök uzayı parçalanışı ve h* da Li – Lj kökleri
tarafından üretilen bir kök kafesi verilmiştir.
Yedinci bölümde sl4( £ ) nin kök uzayı parçalanışı ve kök kafesi verilmiştir.
Sekizinci bölümde sln( £ ) nin kök uzayı parçalanışı ve h* da Li – Lj kökleri
tarafından üretilen bir kök kafesi verilmiştir.
3
1. GİRİŞ
Dünya KARAPINAR
4
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Bu bölümde, temel terminoloji ve kullandığımız notasyonları sunacağız.
Özellikle Lie cebirlerinin temsillerini ve bazı temel yapıları tanıtacağız.
2.1. Lie Cebirleri
F bir cisim olsun.
Tanım 2.1.1: g F üzerinde sonlu boyutlu vektör uzayı olsun. g nin üzerinde
aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde bir [.,.]:g × g ® g bilineer fonksiyon tanımlı
ise g ye bir Lie cebiri denir.
(L1) Her x Î g için [x,x] = 0 ,
(L2) Her x, y, z Î g için [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 veya
[[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0
Bundan sonra bir Lie cebiri denildiğinde F cismi üzerindeki Lie cebiri anlaşılacaktır.
Tanım 2.1.2: [x,[y,z]] + [y,[z,x]] +[z,[x,y]]=0 ( veya [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0 )
özdeşliğine Jacobi özdeşligi denir. Ayrıca [.,.] çarpımına Lie çarpımı veya Lie
braketi denir.
Not 2.1.3: g bir Lie cebiri olmak üzere her x, y, z Î g ve a, b Î F için
1. [x + ay , z] = [x , z] + a [y , z]
2. [x ,y + bz] = [x , y] + b[x , z]
5
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
olup Lie çarpımı bilineerdir.
Tanım 2.1.4: g ve h iki Lie cebiri ve Y: g ® h lineer bir fonksiyon olsun. Her
x,y Î g için
Y( [x,y] ) = [ Y(x),Y(y) ]
oluyorsa Y ye bir Lie cebiri homomorfizmi denir.
Örnek 2.1.5: g sonlu boyutlu bir kompleks vektör uzayı olsun. O zaman aşikar Lie
çarpımı olan [ . , . ] = 0 çarpımı ile birlikte g bir Lie cebiri olur. Bu tip Lie cebirlerine
abelyen Lie cebiri denir.
Örnek 2.1.6: Lie cebirlerinin asıl kaynağı matris cebiridir. g sonlu boyutlu bir vektör
uzayı olsun. g ® g olan endomorfizmlerin kümesi bileşke işlemiyle birlikte bir
vektör uzayıdır. Bu vektör uzayı üzerinde tanımlı
END g ´ END g ® END g
(A , B)
® AB - BA
çarpımı ile birlikte bir Lie cebiridir. Bu Lie cebiri gl(g) ile gösterilir.
Tanım 2.1.7: gl(g) nin matris versiyonu gln(F) veya gl(Fn) şeklinde gösterilir. gln(F),
[x,y]=xy - yx çarpımı ile bir Lie cebirdir. gln(F) nin vektör uzayı olarak bir bazı
{eij}1£ i, j
£n
dir. Burada eij ler (i,j) bileşeni 1 diğer bileşenleri 0 olan n´n tipindeki
matrislerdir.
Tanım 2.1.8: g bir Lie cebiri olsun. g nin alt merkezi serisi terimleri aşağıdaki
şekilde tanımlı olan bir seridir.
6
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
g 1= g ¢ =[ g , g ] , g 2= [ g , g ¢ ] = [g , [ g , g ] ] ,…, g k= [ g , g k-1 ] .
Tanım 2.1.9: g bir Lie cebiri olsun. Eğer bazı m³1 için g k= {0} ise g ye nilpotent
Lie cebiri denir.
2.2. Özel Lineer Lie Cebirleri
Tanım 2.2.1: Bir n´n matrisinin izi, köşegen üzerindeki elemanların toplamıdır.
Bunu bir X matrisi için TrX (trace) ile gösterelim. sln( £ ) özel lineer Lie cebiri
sln( £ )={XÎ gln( £ ): TrX=0}
kümesidir. Bu küme [x,y]=xy - yx çarpımı ile bir Lie cebirdir. Bu Lie cebirinin bir
bazı
B = {eij} i¹j È {eii-ei+1,i+1} 1£i<n
olup boyutu n2 – 1 dir. Yani,
dim sln( £ ) = n2 – 1
dir.
Dikkat 2.2.2: £ karmaşık cisim olmak üzere bu kısımda n ³ 2 durumuyla
ilgileneceğiz ve genellikle k ³ 1 olmak üzere n = k+1 yazıp özel lineer Lie cebirlerini
sl k+1( £ ) ile göstereceğiz. sl k+1( £ ) nin boyutunun
dim sl k+1( £ ) = k (k+2)
olduğu bazın tanımından kolaylıkla görülebilir.
7
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
sl
k+1(
Dünya KARAPINAR
£ ) nin bazını tanımlamak için öncelikle sl
k+1(
£ ) deki matrislerin
genel formunu düşünelim.
æ a 11
ç
ç a 21
ça
A = (aij) = ç . 31
ç .
ç
ç .
ça
è n1
a 12
a 22
a 32
.
.
a n2
a 13
a 23
a 33
.
.
a n3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a 1n ö
÷
a 2n ÷
a 3n ÷
÷
. ÷
÷
. ÷
a nn ÷ø
n
ve Tr A =
åa
i =1
ii
= 0 (n=k+1) dır.
A matrisini Ad köşegen matris , A - kesin alt üçgensel matris, A+ kesin üst üçgensel
kısım olmak üzere
A = A- + Ad + A+
olacak şekilde parçalayabiliriz.
1£ p < q £ k+1 için
(epq)ij = d pi d qj
olsun. A+ için baz olarak bu şekildeki (epq) matrislerini alalım.
1£ q < p £ k+1 için (epq) matrislerini A - için baz matrisleri olarak alabiliriz.
A+ ve
A - için düşündüğümüz baz matrislerinin sayısının
(k+1)2 –(k+1) = k(k+1)
tane olduğu basit bir hesapla bulunabilir. A nın köşegen matrisi için k tane izi sıfır
olan köşegen baz matrisine ihtiyacımız vardır. Bu matrisleri şöyle tanımlayabiliriz.
8
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
hp = epp – ep+1,p+1
Dünya KARAPINAR
(p=1,2,…,k)
Bu şekilde tanımlanan epq ve hp matrislerinin kümesine sl k+1( £ ) nin standart bazı
denir.
Tanım 2.2.3: p<q için kesin üst üçgensel matrisler olan epq matrisleri sl
k+1(
£ ) nin
k (k + 1) 2 boyutlu nilpotent bir alt cebirinin baz elemanlarını oluştururlar. Bu
cebiri N+ ile göstereceğiz.
Benzer şekilde p>q için bazı epq kesin alt üçgensel matrisler olan nilpotent alt
cebiri N- ile göstereceğiz. Ayrıca izi sıfır olan hp matrislerini baz kabul eden k
boyutlu abelyen alt cebiri H ile göstereceğiz. sl
k+1(
£ ) içindeki her A matrisi
A = A- + Ad + A+ formunda tek parçalanışa sahip olduğundan sl k+1( £ ) vektör uzayı
olarak
sl k+1( £ ) = N-Å H Å N+
şeklinde bir parçalanışa sahiptir. Bu parçalanışa Lie cebirin üçgensel parçalanışı
denir.
Örnek 2.2.4: 4´4 tipindeki A = diag(a11 , a22 , a33, a44) köşegen matrisini düşünelim.
İzi sıfır ise
a44= -( a11 + a22 + a33)
dir. İzi sıfır olan köşegen bir matrisin bazı
h1 = diag(1,-1,0,0) ,
h2 = diag(0,1,-1,0) ,
h3 = diag(0,0,1,-1)
dir. A matrisi bu baz matrisleri kullanarak aşağıdaki şekilde yazılabilir.
9
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
A = a11 h1 +( a11 + a22) h2 + (a11 + a22 +a33) h3
Tanım 2.2.5: e1 = e12 , e2 = e23 ,…, ek = ek,k+1
f1 = e21 , f2 = e32 ,…, fk = ek+1,k
h1 , h2 , … , hk
baz matrislerine sl
k+1(
£ ) nin Cartan – Chevalley üreteçleri denir. Bu matrisler
arasında i, j = 1,…,k olmak üzere aşağıdaki bağıntılar vardır.
[hi ,hj] = 0
[hi ,ei] = 2ei
[hi ,ei+1] = -ei+1
[hi ,ei-1 ] = -ei-1
[hi ,fi] = -2fi
[hi ,fi+1] = fi+1
[hi ,fi-1] = fi-1
[ei ,fj] = d ij hj
Yukarıdaki bağıntılar
[ hi , hj ] = 0
[ hi , ej ] = (2 d ij - d i-1,j - d i+1,j ) ej
[ hi , fj ]= -(2 d ij - d i-1,j - d i+1,j ) fj
şeklinde de ifade edilebilir. sl k+1( £ ) nin yukarıdaki üreteçler arasında olmayan baz
elemanlarının bu üreteçlerden elde edilebileceğini göstermek için [ep,ep+1 ]
komütatörünü düşüneceğiz. Basit bir hesapla
[ep,ep+1] = ep,p+2
10
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
olduğu gösterilebilir.
Örnek 2.2.6: sl 2( £ ) Lie cebirinin boyutu 3 tür. sl 2( £ ) nin standart baz matrisleri
æ0 1ö
÷÷ ,
e = çç
è0 0ø
æ1 0 ö
÷÷ ,
h = çç
è 0 - 1ø
æ0 0ö
÷÷
f = çç
è1 0ø
dir.
Örnek 2.2.7: sl 3( £ ) Lie cebirinin boyutu 8 dir. sl 3( £ ) nin standart baz matrisleri
æ1 0 0ö
÷
ç
h1 = ç 0 - 1 0 ÷ ,
ç0 0 0÷
ø
è
æ0 0 0 ö
÷
ç
h2 = ç 0 1 0 ÷
ç 0 0 -1÷
ø
è
æ0 1 0ö
÷
ç
e1 = ç 0 0 0 ÷ ,
ç0 0 0÷
ø
è
æ0 0 0ö
÷
ç
e2 = ç 0 0 1 ÷
ç0 0 0÷
ø
è
æ0 0 0ö
ç
÷
f1 = ç 1 0 0 ÷ ,
ç0 0 0÷
è
ø
æ0 0 0ö
÷
ç
f2 = ç 0 0 0 ÷
ç0 1 0÷
ø
è
æ0 0 1ö
ç
÷
e13 = ç 0 0 0 ÷ ,
ç0 0 0÷
è
ø
æ0 0 0ö
ç
÷
f13 = ç 0 0 0 ÷
ç1 0 0÷
è
ø
dir.
11
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
Tanım 2.2.8: g bir Lie cebiri olsun. g nin bir alt cebiri bir K alt vektör uzayıdır
öyleki her x , y Î K için [ x ,y] Î K dır.
Tanım 2.2.9: g bir Lie cebiri olsun. g nin bir I ideali bir alt vektör uzayıdır öyleki her
x Î g ve her y Î I için [ x ,y] Î I dır.
Tanım 2.2.10: Eğer bir Lie cebirinin {0} ve kendisinden başka ideali yoksa o Lie
cebirine basit Lie cebiri denir.
Lemma 2.2.11: I bir g Lie cebirinin bir ideali olsun. O zaman g I nın abelyen
olması için gerek ve yeter koşul g' Ì I olmasıdır.
İspat: g I nın abelyen olsun. Û Her x , y Î g için [ x + I , y + I ] = 0 + I
Û [ x ,y] + I = I
Û [ x ,y] Î I
Û g' = Sp { [ x ,y] | x ,y Î g } Ì I
Yukarıdaki lemma g' nün g I abelyen olacak şekildeki en küçük ideali
olduğunu gösterir. Aynı şekilde g' de g'/J abelyen olacak şekilde bir en küçük J
idealine sahiptir. Bu ideal [ g' , g' ] türetilmiş alt cebiridir. Bu alt cebiri g(2) ile
gösterelim. Bu şekilde devam edilerek g nin türetilmiş serisini elde ederiz.
Tanım 2.2.12: Bir g Lie cebirinin türetilmiş serisi
g(0) = g
g(1) = [ g , g ] , … , g(k) =[ g(k-1) , g(k-1) ]
olarak tanımlanır. Eğer bazı m ³ 0 için g(m) = {0} ise g ye çözülebilir Lie cebiri denir.
Tanım 2.2.13: g Lie cebirinin maksimal çözülebilir idealine g nin radikali denir ve
radg ile gösterilir.
12
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
Tanım 2.2.14: g ¹ {0} bir Lie cebiri olsun. Eğer g nin sıfırdan farklı çözülebilir
idealleri yoksa, yani radg = {0} ise g ye yarı basit Lie cebiri denir.
Örnek 2.2.15: sln( £ ) Lie cebirlerinin hepsi yarı basittir. ( Hatta hepsi basittir. )
2.3. Lie Cebirlerinin Temsilleri
Lie cebirleri vektör uzayları üzerinde temsil edilebilir. Vektör uzayı
üzerindeki etki aşağıdaki tanımda görüldüğü üzere Lie cebirinin yapısıyla uygun
olmalıdır.
Tanım 2.3.1: g bir Lie cebiri ve V sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. Bir
Y : g ® gl (V)
homomorfizmine g nin bir temsili denir .
Tanım 2.3.2: Y : g® gl (V) bir temsil olsun. Burada V vektör uzayına Y nin temsil
uzayı ve V nin boyutuna da Y temsilinin boyutu denir .
Tanım 2.3.3: F : g ® gl ( V ) g nin bir temsili ve W, V nin bir alt uzayı olsun. Her
x Î g için
( F(x) ) (W) Ì W
oluyorsa W ya bir alt temsil uzayı, F nin W ya kısıtlanışına alt temsil denir .
Tanım 2.3.4: Eğer bir temsilin kendisi ve {0} dışında alt temsili yoksa bu temsile
indirgenemez temsil denir .
13
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
Tanım 2.3.5: V ve W iki vektör uzayı F v= g ® gl (V) , Fw =g®gl (W) bir g Lie
cebirinin temsilleri olsun. Bu temsillerin bir homomorfizmi her x Î g için
Y(Fv (x) ) = (Fw(x)) Y
olacak şekilde bir Y:V ® W lineer dönüşümüdür .
Örnek 2.3.6: g bir Lie cebiri olsun. Her y Î g için ad x (y) = [x,y] olarak tanımlanan
ad : g ® gl (g)
x ® ad x
homomorfizmi bir Lie cebiri homomorfizmi olup “ad” dönüşümü g nin bir temsilidir.
Bu temsile adjoint temsil denir. Burada g temsil uzayıdır .
Örnek 2.3.7: g bir Lie cebiri olsun. Y : g ® gl( V ) dönüşümünü her x Î g için
Y(x) =x
olarak tanımlayalım. Bu dönüşüm bir homomorfizmdir . Y ye g nin standart temsili
denir .
2.4. Temsillerin Birleşimi
Lineer cebirsel yapıların inşasındaki alışılmış hesaplar Lie cebirlerinin
birleşik temsillerinin ortaya çıkmasına neden olur . Örneğin , temsillerin direkt
toplamını tanımlamak için oldukça açık bir yol vardır .
Tanım 2.4.1: g bir Lie cebiri ve Y
v
: g ® gl (V) ile Yw : g ® gl(W) g Lie
cebirinin iki temsili olsunlar. Bu temsillerin direkt toplamı
14
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
Yv Å Yw : g ® gl ( V Å W )
0 ö
æ Y (x)
÷
x ® çç V
YW ( x ) ÷ø
è 0
olarak tanımlanır.
Örnek 2.4.2: ( Yv Å Yw ) (x) (n+w) = Yv (x)×n+ Yw (x)×w olarak yazılabilir.
Yv(x) = adx ve Yw(x) = x temsillerini alalım. O zaman
( Yv Å Yw ) (x) (n+w) = Yv (x)×(n) + Yw (x)×(w)
= (adx)×n + x×w
= [ x , n ] + x×w
olur.
Tanım 2.4.3: R birim elemanlı değişmeli bir halka ve M de bir değişmeli grup olsun.
Eğer bir Y: R ´ M ® M (veya M ´ R ® M ) fonksiyonu ve her r , r1 , r2 Î R ,
m , m1 , m2Î M için
1. Y( r1 + r2 ,m) = Y( r1 , m ) + Y( r2 , m )
2. Y( r , m1 + m2 ) = Y( r , m1 ) + Y( r , m2 )
3. Y(1,m) = m
4. Y( r1 ,Y( r2 , m )) = Y( r1r2 , m )
koşulları sağlanıyorsa (R,M,Y) üçlüsüne bir sol R-modül denir. Kısacası M bir sol
R-modüldür. Ayrıca Y(r,m) yerine kısaca r×m ya da r m yazılır.
15
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
Tanım 2.4.4: R birim elemanlı bir halka, A bir sağ R - modül, B bir sol R –modül
ve C bir abelyen grup olsun. Bir f : A ´ B ® C fonksiyonu ve her a , a1 , a2 Î A,
b , b1 , b2Î B ve r Î R için
1. f(a1 + a2 , b) = f(a1 , b) + f(a2 , b)
f(a , b1 + b2) = f(a , b1) + f(a , b2)
ise f ye bilineer denir.
2. f(ar , b) = f(a , rb)
ise f ye dengeli denir.
Tanım 2.4.5: (Modüllerde tensör çarpım) R birim elemanlı bir halka, A bir sağ R modül ve B bir sol R –modül olsun. A ile B nin (R üzerindeki) tensör çarpımı
(A ÄR B , h) ikilisidir öyleki AÄRB bir abelyen grup, h:A´B ® A ÄR B bilineer ve
dengeli bir fonksiyon öyleki her D abelyen grubu ve her f: A´B ® D bilineer dengeli
fonksiyon için
A´B
f
D
h
f¢
A ÄR B
değişmeli olacak şekilde tek bir f¢ grup homomorfizmi vardır.
Not 2.4.6: g bir Lie cebiri olmak üzere g®gl(V) temsili ile, her x ,y Î g ve her n Î
V için
16
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
Y ( [ x , y ] Ä n) = Y ( x Ä Y (y Ä n) ) - Y( y Ä Y (x Ä n))
koşulunu sağlayan Y : g Ä V® V lineer dönüşümü aynıdır. Bu nedenle bazı
durumlarda bu tanımı kullanacağız ve x Î g , n Î V için x×n = n(x Ä n) yazacağız.
Şimdi iki Lie cebiri temsilinin tensör çarpımını tanımlayalım.
g Ä V® V ve g Ä W ® W g Lie cebirinin iki temsili olmak üzere
g ´ (V Ä W) ® V Ä W
( x ,(n Ä w)) ® x×n Ä x×w
tanımı g de lineer değildir. Gerçekten de (x+y , n Ä w) = (x , n Ä w) + (y , n Äw)
eşitliğinin sağlanmaz. Bunu gösterelim.
(x+y , (nÄw))= (x+y)×n Ä (x+y)×w
(1)
(x,(n Ä w)) +(y ,(n Ä w))=[(x×n) Ä (x×w)] + [(y×n) Ä (y×w)]
= (x+y)×n Ä (x+y)×w
= (xn+yn) Ä (xw+yw)
= (xn Ä (xw+yw)) + (yn Ä (xw+yw))
= (xn Ä xw) + (xw Ä yw) + (yn Ä xw) + (ynÄyw) (2)
Görüldüğü gibi (1) ve (2) numaralı eşitlikler birbirine denk değildir. O halde
yukarıdaki tanım g nin V Ä W üzerinde bir temsilini tanımlamak için uygun
değildir. Bunun için aşağıdaki tanımı yapabiliriz.
Tanım 2.4.7: g bir Lie cebiri ve Y
v
: g ® gl (V) ile Yw : g ®gl(W) g Lie cebirinin
iki temsili olsunlar. Bu temsillerin tensör çarpımı
17
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
Y vÄ Yw : g ® gl (V Ä W)
x ® (n Ä w®(Y v (x))(n) Ä w + n Ä (Yw(x))(w) )
şeklinde tanımlanır.
Örnek 2.4.8: (Y
v
Ä Yw)(x)(n Ä w) = (Y
v
(x)) (n) Ä w + n Ä (Yw(x)) (w).
eşitliğinde Y v (x) = adx ve Yw(x) = x olsun. O halde bu iki temsilin tensör çarpımı
(Y v Ä Yw)(x)(n Ä w) = (Y v (x)) (n) Ä w + n Ä (Yw(x)) (w)
= adx(n) Ä w + n Ä x(w)
= [x,n] Ä w + n Ä xw
olur.
Tanım 2.4.9: V, F cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. V den F cismine olan bütün
lineer dönüşümlerin kümesine V nin dual uzayı denir ve V* ile gösterilir. Yani,
V* = L(V , F) = {f : f: V®F lineer dönüşüm}
olup dimV* = dimV dir.
Tanım 2.4.10: g bir Lie cebiri ve Y : g ® gl (V) g Lie cebirinin bir temsili olsun. O
zaman
Y* : g ® gl(V*)
x ® -YT(x)
olarak tanımlanan temsile Y nin dual temsili denir. Burada YT(x), Y(x) in
transpozudur.
18
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
Dünya KARAPINAR
Tanım 2.4.11: g bir Lie cebiri olsun. g nin temsillerinin bütün izomorfizm sınıfları
kümesinin [ Y ] Å [ Y ¢ ] ~ [ Y Å Y¢ ] tarafından üretilen denklik bağıntısına
bölümüyle elde edilen ve g nin temsillerinin tensör çarpımı ve direkt toplamıyla
donatılan Z - modülüne g nin temsil halkası denir. Bunu R(g) ile göstereceğiz.
2.5. İndirgenemezliğe Kısıtlama
Bu kısımda yarı basit Lie cebirlerinin temsilleri ile ilgileneceğiz.
Teorem 2.5.1: (Tam İndirgeme) g yarı basit bir Lie cebiri olsun. g nin sonlu boyutlu
her temsili, g nin indirgenemez temsillerinin direkt toplamıdır.
Özellikle g nin temsil halkası indirgenemez g-temsilleri tarafından üretilir.
Önerme 2.5.2: ( Tümler alt modüllerin varlığı) V g yarı basit Lie cebirinin temsil
uzayı ve W V nin alt temsil uzayı olsun. O zaman g nin bir W¢ Ì V olacak şekilde
alt temsil uzayı vardır, öyleki V g nin W ve W¢ üzerindeki temsil uzaylarının direkt
toplamıdır.
19
2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
20
Dünya KARAPINAR
3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ
Dünya KARAPINAR
3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ
İndirgenemez temsillerin başarılı sınıflandırılmasının nasıl yapılabileceğinin
anlaşılması için, öncelikle sl2 ( £ ) cebirini inceleyelim. sl2( £ ) nin temsilleri bütün
yarı basit Lie cebirlerinin temsillerinin temel yapıtaşı olarak ortaya çıkar.
sl2( £ ) = {A Î gl2( £ ) êTrA = 0 }
dir. Bu Lie cebirinin bir bazı
æ1 0 ö
÷÷ ,
H = çç
è 0 - 1ø
æ0 1ö
÷÷ ,
X = çç
è0 0ø
æ0 0ö
÷÷
Y = çç
è1 0ø
olup bu baz elemanları arasındaki ilişki
[ H , X ] = 2X ,
[ H , Y ] = -2Y, [ X , Y ] = H
şeklindedir.
3.1. Karakteristik Uzaylara Parçalanış
H elemanının sl2( £ ) nin bir temsilinin üzerinde nasıl etki ettiğini bulmak
için, Lie cebirlerindeki Jordan parçalanışı kullanılır.
Tanım 3.1.1: V bir vektör uzayı A V üzerinde lineer bir dönüşüm olsun. Eğer A nın
matrisi köşegen olacak şekilde V de bir bazı varsa A ya köşegenleştirilebilir lineer
dönüşüm denir. Köşegenleştirilebilir lineer dönüşümlere yarı basit lineer dönüşüm de
denir.
21
3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ
Dünya KARAPINAR
Teorem 3.1.2: ( Jordan parçalanışı ) V sonlu boyutlu kompleks bir vektör uzayı ve A
V üzerinde lineer bir dönüşüm olsun. O zaman
A = As + An
olacak şekilde yarı basit bir As ve nilpotent bir An lineer dönüşümü vardır.
[As,An] = 0 olup bu şekildeki As ve An tek olarak bellidir. A nın bu şekildeki
parçalanışına Jordan parçalanışı denir.
æ1 1 ö
÷÷ matrisi A1 =
Örnek 3.1.3: A = çç
è 0 - 1ø
æ1 0 ö
÷÷ ve A2 =
çç
è 0 - 1ø
æ0 1ö
÷÷ olmak üzere
çç
è0 0ø
A = A1 + A2 şeklinde parçalanabilir. A1 köşegen matris olduğundan yarı basittir.
æ0 1ö æ0 1ö æ0 0ö
÷÷
÷÷ = çç
çç
÷÷ çç
è0 0ø è0 0ø è0 0ø
olup (A2)2=0 dır. O halde A2 nilpotenttir.
æ1 0 ö æ0 1ö æ0 1ö æ1 0 ö
÷÷
÷÷ çç
÷÷ - çç
÷÷ çç
[A1 , A2 ] = çç
è 0 - 1ø è 0 0 ø è 0 0 ø è 0 - 1ø
æ0 2ö
÷÷ ¹ 0
= çç
è0 0ø
O halde A = A1 + A2 Jordan parçalanışı değildir.
æ1 - 1ö
÷÷ , A1 =
Örnek 3.1.4: A = çç
1
3
è
ø
æ2 0ö
çç
÷÷ , A2 =
0
2
è
ø
A1 köşegen matris olup yarı basittir.
22
æ - 1 - 1ö
çç
÷÷ olsun.
1
1
è
ø
3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ
Dünya KARAPINAR
æ - 1 - 1ö æ - 1 - 1ö æ 0 0 ö
÷ ç
çç
÷ =ç
÷
1 ÷ø çè 1
1 ÷ø çè 0 0 ÷ø
è1
olup (A2)2=0 dır. O halde A2 nilpotenttir.
æ 2 0 ö æ - 1 - 1ö æ - 1 - 1ö æ 2 0 ö
÷÷ çç
÷ -ç
÷ ç
÷ =0
[A1 , A2 ] = çç
1 ÷ø çè 1
1 ÷ø çè 0 2 ÷ø
è 0 2ø è 1
O halde A = A1 + A2 Jordan parçalanışıdır.
Teorem 3.1.5: (Jordan Parçalanması) Y : g ® gl (V) bir g yarı basit Lie cebirinin
bir temsili ve x Î g olsun. Eğer xs , xn Î gl(g) için xs (adx) in yarı basit parçası ve
xn nilpotent parçası ise o zaman Y(xs) , Y(xn) Î gl(V) de Y(x) in sırasıyla yarı
basit ve nilpotent parçalarıdır.
Sonuç 3.1.6: ( Köşegenleştirilebilme) Y: g ® gl(V) bir g yarı basit Lie cebirinin bir
temsili ve x Î g olsun. Eğer ad(x) Î gl(g) köşegenleştirilebilir ise Y(x) Î gl(V) de
köşegenleştirilebilir.
Not 3.1.7: V sonlu boyutlu bir kompleks vektör uzayı ve g gl(V) nin bir alt cebiri
olsun. Eğer xÎg köşegenleştirilebilir ise ad(x) de köşegenleştirilebilir. Bunu
gösterelim.
x : V ®V köşegenleştirilebilir bir lineer dönüşüm ve {n1 ,n2 ,…, nn } V nin
özvektörlerden oluşan bir baz kümesi olsun. x(ni) = li ni diyelim. V den V ye olan
tüm lineer dönüşümlerin vektör uzayını End(V) ile gösterelim. Tij ÎEnd(V)
dönüşümlerini Tij (nk) = djk ni 1 £ i, j , k £ n olarak tanımlayalım. Burada
ì1 , j = k
djk = í
î0 , j ¹ k
23
3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ
Dünya KARAPINAR
olarak tanımlanan kronecker deltadır. {Tij}1 £ i, j £ n kümesi End(V) nin bir bazıdır.
Şimdi adx : g ® g dönüşümünün bu baza göre matrisi bulalım.
adx(Tij) (nk) = [ x , Tij] (nk)
= (x Tij - Tij x) (nk)
= x Tij (nk) - Tij x (nk)
= x djk ni - Tij lk nk
= x (ni) - lj Tij (nj)
= li n i - lj n i
= (li - lj ) ni = (li - lj ) Tij (nk)
olur. O halde ad x (Tij) = (li - lj ) Tij olup adx in matrisi köşegeni üzerinde (li - lj)
ler olan köşegen bir matristir.
sl2( £ ) nin sonlu boyutlu bir vektör uzayı olan V üzerindeki indirgenemez
temsillerini düşünelim. H nin V üzerindeki etkisi köşegenleştirilebilir olduğundan V
yi H nin karakteristik uzayları olan Va lara parçalayabiliriz. Yani A Ì £ H nin
özdeğerleri kümesi olmak üzere
V = Å Va
aÎA
olarak yazılabilir.
3.2. Karakteristik Uzaylar Arasındaki Etkileşim
Bu kısımda X ve Y matrislerin yukarıda sözü edilen parçalanışa nasıl etki
ettiğine dikkat çekeceğiz. a Î A, n Î Va olsun. O zaman
H ( X(n) ) = [ H , X] (n) + X ( H (n ) )
24
3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ
Dünya KARAPINAR
= 2 × X (n) + a ×X (n)
= (a + 2) × X(n)
olup X(n) Î Va+2 dir.
Benzer şekilde Y(n) Î Va-2 olduğunu gösterebiliriz.
H ( Y(n) ) = [ H , Y] (n) + Y ( H (n ) )
= -2 × Y (n) + a ×Y (n)
= (a - 2) × Y(n)
Ayrıca
Å Vb
bÎA
bº a mod2
direkt toplamı, V nin bir alt temsilidir. V indirgenemez olduğu için, bazı a
özdeğerleri ve bazı n Î ¥ için A ={a+ 2j | jÎ{0,1,…,n} } kümesi var olup.
V = Å Va +2× j
jÎ{0,
n}
dır. Bu durumu aşağıdaki şekilde açıklayabiliriz:
X
0
¬¾
¾¾
Va
Y
¾¾
¾®
¬¾
¾¾
X
Va+2
Y
H
¾¾
¾®
¬¾
¾¾
Y
L
H
X
X
¾¾
¾®
¬¾
¾¾
Va+2n-2
¬¾
¾¾
X
Va+2n
Y
Y
H
25
¾¾
¾®
H
¾¾
¾®
0
3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ
Dünya KARAPINAR
3.3. Genel Durum
Va+2j özdeğer uzayının ne kadar büyük olduğu, özdeğerler kümesinin genelde
nasıl göründüğü, verilen bir özdeğer kümesinin kaç tane indirgenemez temsilinin
bulunduğunu araştıracağız.
Önerme 3.3.1: (Löh, 2006) n Î Va+2n\ {0} olsun. O zaman
V=Å
£ × Y (n)
j
jÎ{0,…,n}
ve her j Î {1,…,n} için
X(Yj(n)) = j× (a + 2n – j + 1) × Yj-1 (n)
dir.
İspat:V nin yukarıdaki direkt toplamı içerdiği aşikardır. V indirgenemez olduğundan
W= Å
£ × Y (n)
j
jÎ{0,…,n}
alt uzayının H ve X in etkisi altında kapalı olduğunu gösterelim.
Her Yj(n) H nin Va +2× j özdeğer uzayında olduğu için H(W) Ì W dur.
Her j Î {0, 1,…, n} için
X(Yj(n)) = j× (a + 2n - j + 1)×Yj-1 (n) (ÎW)
olduğunu tümevarımla gösterelim.
26
3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ
Dünya KARAPINAR
X(Y0(n)) = X(n) = 0 ÎW
ve
X(Y(n)) = [ X , Y] (n) + Y ( X (n ) )
= H(n) + 0
= (a +2n) × n
dir.
jÎ{1,…,n-1} için eşitlik doğru olsun.
X(Yj+1(n)) = X (Y (Yj(n)) )
= [ X , Y] (Yj(n)) + Y ( X (Yj(n)) )
= H (Yj(n)) + Y (X (Yj(n))
= (a+2n-2j) × Yj(n) + Y( j × (a+2n-j+1) × Yj-1(n) )
= (j+1) ×(a+2n-j) ×Yj(n)
Böylece W X etkisi altında kapalıdır. O halde V = W olur.
Sonuç
3.3.2: (Löh, 2006)
özuzayları 1
Bir indirgenemez sl2 ( £ ) temsili için H nin tüm
boyutludur ve sl2 ( £ ) nin her bir indirgenemez temsili H nin
özdeğerlerinin kümesiyle tek olarak bellidir.
Ayrıca sl2 ( £ ) nın bir indirgenemez temsili üzerinde H nin özdeğerlerinin
kümesi sıfıra göre simetrik olan tamsayılar içerir :
n Î Va+2n \ {0} olsun. Önerme 3.3.1 den biliyoruz ki,
Yn+1(n) = 0 ve Yn¹0
dır. Önerme.3.3.1 in ikinci kısmından
27
3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ
Dünya KARAPINAR
0= X ( Yn+1(n) ) = (n+1) × (a-n) × Yn(n),
olup a = n dir. Buna göre a bir tamsayı ve {a , a+2 , … ,a+2n } kümesi sıfıra göre
simetriktir.
Diğer taraftan her n Î ¥ için (n+1) boyutlu bir indirgenemez sl2( £ ) temsili
vardır öyleki H bu temsil üzerinde {-n , -n+2 , … ,n} özdeğerler kümesiyle etki
eder. Yani, bu temsil Önerme 3.3.1. de verilen bağıntılar tarafından üretilen
temsildir.
28
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
4. GENEL TEMSİLLER
sl2( £ ) nin temsillerinin sınıflandırmasını gözönüne alarak genel durumu
inceleyeceğiz. Bunun için önce sl3( £ ) nin temsillerine bakacağız.
sl2( £ ) nin durumundan esinlenerek aşağıdaki strateji takip edilecektir:
1. sl2( £ ) nin H elemanının yerine konulacak eleman bulunacaktır.
2. Özdeğer fikri genellenecektir.
3. Özuzay parçalanışı üzerindeki etki incelenecektir.
4. sl2( £ ) nin verilen Lie cebiri içindeki kopyalarının yardımıyla özdeğerler
kümesinin geometrisi analiz edilecektir.
5. Farklı özdeğerler ve ilgili devirli temsiller ve doğru simetriler
bulunacaktır.
Tanım 4.1: F bir cisim ve g de F cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun.
K:g ´ g "F
K(x,y) = Tr (adx ady)
olarak tanımlanan dönüşüme g nin Cartan-Killing formu veya sadece Killing formu
denir.
Lemma 4.2: F bir cisim ve g de F cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. x, y, z Î g ve
a, b Î F olsun. g üzerindeki Cartan – Killing Formu aşağıdaki özelliklere sahiptir.
K1) K(ax + by , z) = a K(x , z) +b K(y , z)
K(x , ay + bz) = a K(x , y)+b K(x , z)
K2) K(x , y) = K(y , x)
29
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
K3) K( [x , y] , z) = K( x , [y , z] )
4.1. Cartan Alt Cebiri ve Genelleştirilmiş Özdeğerler
sl2( £ ) Lie cebirinin indirgenemez temsillerini analiz ederken H köşegen
matrisinin bu temsiller üzerindeki etkisini incelemiştik. Bu kısımda H yerine uygun
bir yapı, örneğin abelyen alt cebirler alınacaktır. Şüphesizki en büyük abelyen alt
cebirler temsiller üzerinde en büyük etkiyi yapacaktır. Bu nedenle maksimal abelyen
alt cebirleri düşüneceğiz. Bu bölümdeki sonuçlar (Löh, 2006) dan alınmıştır.
Tanım 4.1.1: g bir Lie cebiri olmak üzere bir x Î g için adx köşegenleştirilebiliyorsa
x e köşegenleştirilebilir eleman denir.
Tanım 4.1.2: g bir yarı basit Lie cebiri ve A g nin köşegenleştirilebilir elemanlarının
maksimal abelyen alt cebiri ise A ya g nin Cartan alt cebiri denir.
Örnek 4.1.3: sl2( £ ) nin £ × H alt cebiri Cartan alt cebiridir.
Daha genel olarak n Î ¥ olsun. sln ( £ ) içindeki köşegen matrislerin alt
cebirine h diyelim. h sln ( £ ) nin Cartan alt cebiridir. Yani h köşegenleştirilebilir
elemanların abelyen alt cebiridir. sln ( £ ) nin bütün köşegen matrislerle değişmeli
olan bir elemanı köşegen olmak zorundadır. Böylece h maksimal olup ve Cartan alt
cebiridir.
Teorem 4.1.4: ( Cartan alt cebirinin varlığı ) Herhangi bir yarı basit Lie cebiri
Cartan alt cebirine sahiptir.
sl2( £ ) de herhangi bir temsil H köşegen matrisinin özdeğer uzaylarının bir
toplamına parçalanır. Genel olarak şeçilen bir h Cartan alt cebirinin elemanları
verilen bir temsil üzerinde aynı özdeğer ile etki etmezler. Fakat h nin elemanlarının
30
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
özdeğerleri lineer bağımlı olup h* dual uzayındaki elemanların ortaya çıkmasına
neden olurlar.
Tanım 4.1.5: Y :g " gl(V) g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve h g nin Cartan
alt cebiri olsun.
1. Y nin bir ağırlığı bir a Î h* lineer fonksiyonelidir öyleki her x Î h için
(Y(x)) (n) = a (x) × n
koşulunu sağlayan bir nÎV\{0} vektörü vardır.
2. Yukarıdaki bağıntıyı sağlayan bütün n Î V lerin kümesine a ile ilişkili
ağırlık uzayı denir ve Va ile gösterilir. Va nın boyutu a nın Y deki
katlılığıdır.
3. g nin adjoint temsilinin sıfırdan farklı ağırlıklarına g nin kökleri denir.
4. Bir kök ile ilişkili ağırlık uzayına g nin bir kök uzayı denir.
5. h* da g nin kökleri tarafından üretilen ¢ - alt modülüne g nin kök
kafesi denir.
Örnek 4.1.6: sl2( £ ) nin köklerini bulalım. sl2( £ ) nin bazı {X ,Y ,H} olup
[ H , X ] = 2 × X , [ H , Y ] = - 2 ×Y , [ X , Y ] = H olduğundan ad H (X) = 2 × X
ad H (Y) = -2 × Y dir. O halde 2 ve -2 sl2( £ ) nin kökleridir.
Örnek 4.1.7: sl3 ( £ ) nin köklerini bulalım. j, k Î { 1 , 2 , 3 } için ejk Î £
3´3
(j, k)
bileşeni 1 , diğer bileşenleri 0 olan matristir. Ayrıca Hjk = ejj - ekk olsun. O halde
h = £ × H12 + £ × H13 + £ × H23
sl3 ( £ ) nin Cartan alt cebiridir.
31
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
h nin sl3 ( £ ) üzerindeki etkisine bakalım. j Î{ 1 , 2 , 3 } için
Lj : h " £
dönüşümü
æ x1
ç
ç0
ç0
è
0
x2
0
0ö
÷
0 ÷ ® xj
x 3 ÷ø
olarak tanımlansın. Her j , k , r ,s Î { 1 , 2 , 3 } j ¹ k ve r ¹ s için
[Hjk , ers ] = ((Lr - Ls) (Hjk)) × ers .
ad Hjk (ers) = ((Lr - Ls) (Hjk)) × ers .
olup Lj – Lk sl3 ( £ ) ün kökleridir.
Örnek 4.1.8: sl3 ( £ ) nin £
3
üzerindeki standart temsilinin ve dual temsilinin
ağırlıklarını hesaplayalım. j Î {1 , 2 , 3} için ej Î £
3
j-yinci birim vektör olsun.
Her k Î {1 , 2 , 3} için
Hjk ×er = djr ×er - dkr ×er = Lr (Hjk) × er .
dir. Yani, L1 , L2 , L3 standart temsilin ağırlıklarıdır . Önerme 4.1.9 dan
- L1 , - L2 , - L3 de sl3 ( £ ) nin standart temsilinin dualinin ağırlıklarıdır .
İndirgenemez temsillerin sınıflandırılmasında sl2( £ ) Lie cebirinde olduğu
gibi köklerin ve ağırlıkların analizi ilk adımı oluşturur .
32
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
Önerme 4.1.9: (Birleşik temsillerin ağırlığı) Yv : g ® gl(V) ve Yw :g ® gl(W) bir
g Lie cebirinin iki temsili olsunlar .
1. a ve b sırasıyla Yv ve Yw nun ağırlıkları ise a+b Yv Ä Yw nin
ağırlığıdır.
2. a hem Yv hem de Yw nun ağırlığı ise a aynı zamanda Yv Å Yw nun
ağırlığıdır.
3. a Yv nin ağırlığı ise -a Yv* ın ağırlığıdır.
İspat :
1. a ve b sırasıyla YV ve YW nun ağırlıkları olsun. Yani,
(Yv(x)) (n) = a (x) × n
ve
(Yw(x)) (w) = b (x) × w
olsun.
(YV Ä YW ) (x) (nÄw) = (YV(x)) (n) Ä w + n Ä (YW(x)) (w)
= ( a (x) × n ) Ä w + n Ä ( b (x) × w )
= a (x) ( n Ä w )+ b(x) ( n Ä w )
= ( a(x) + b(x) ) ( n Ä w )
= (a + b)(x) ( n Ä w )
olur. O halde Yv Ä Yw nin ağırlığı a+b dır.
2. a hem Yv hem de Yw nun ağırlığı olsun. Yani,
(Yv (x)) (n) = a (x) × n
ve
(Yw(x)) (w) = a (x) × w
olsun.
(Yv Å Yw)(x) (n+w) = Yv(x) n + Yw(x) (w)
33
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
= a (x) × n + a(x) × w
= a(x) ( n+w)
olur. O halde Yv Å Yw nun ağırlığı a dır.
3. a Yv nin ağırlığı olsun. Yani,
(Yv(x)) (n) = a (x) × n
olsun.
( YV*(x) ) (n) = (-YT(x) ) (n)
= -( a(x) ) (n)
olur. O zaman YV* ın ağırlığı -a olur.
4.2. Temsillerin Ağırlık Uzaylarına Parçalanışı
Bu kısımda bir Lie cebirinin Cartan parçalanışını inceleyeceğiz.
Teorem 4.2.1: (Cartan parçalanışı) g bir yarı basit Lie cebiri, h Cartan alt cebiri ve A
g nin köklerinin kümesi (h ye göre) olsun. O zaman g Lie cebiri
g = h Å Å ga
aÎA
olarak parçalanır. Burada ga a ya karşılık gelen kök uzayıdır.
Örnek 4.2.2: sl2 ( £ ) de [ H , X ] = 2X, [ H , Y ] = -2Y, [ X , Y ] = H olup sl2( £ )
nin kökleri 2 ve -2 dir. 2 ve -2 ye karşılık gelen kök uzayları sırasıyla £ ×X ve £ ×Y
ve sl2( £ ) nin Cartan alt cebiri £ ×H olup sl2( £ ) nin Cartan parçalanışı
34
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
sl2( £ ) = £ ×H Å £ ×X Å £ ×Y
şeklindedir.
Örnek 4.2.3: sl3( £ ) nin h = £ ×H12 Å £ × H23 Cartan alt cebirine göre Cartan
parçalanışı
sl3( £ ) = h Å
Å
Å
£ × ejk
jÎ{1,2,3} kÎ{1,2,3}\{j}
şeklindedir.
Herhangi bir temsil Teorem 4.2.1. dekine benzer şekilde ağırlık uzaylarına
parçalanabilir.
Teorem 4.2.4: (Ağırlık uzaylarına parçalama) y : g ® gl(V) bir g yarı basit Lie
cebirinin bir temsili ve Ay y nin ağırlıkları kümesi olsun. O halde
V = Å Va
aÎA
y
dır.(Yani ağırlık uzaylarının direkt toplamı şeklindedir.)
4.3. Kök Uzayları ve Ağırlık Uzayları Arasındaki İlişkiler
sl2( £ ) Lie cebirinde olduğu gibi, kök uzayları bir temsilin ağırlık uzaylarına
parçalanışı üzerinde güzel bir etkiye sahiptir.
Önerme 4.3.1: (Ağırlık uzaylarına parçalanış üzerindeki etki) Y: g ® gl(V) bir g
yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve h g nin bir Cartan alt cebiri olsun.Varsayalımki
g=h Å
35
Å ga
aÎA
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
Cartan parçalanışı ve
V = Å Va
aÎA
Y
V nin ağırlık uzaylarına parçalanışı olsun. O zaman
1. Bütün aÎA kökleri ve bütün bÎAY ağırlıkları için
ga ×Vb Ì Va+b
dır.
2. Eğer Y indirgenemez ise
V = Å Va+b
aÎA
olacak şekilde bir bÎh* vardır.
İspat: yÎga ve zÎVb olsun. Her xÎh için
Y (x) (Y(y)z ) = (a + b) (x) × Y(y)z
olduğunu göstermek yeterlidir. gl(V) üzerindeki Lie çarpımının tanımından her x Î h
için
Y(x) (Y(y)z ) = [ Y(x) , Y(y) ] gl(V) (z) + Y(y) (Y(x)z)
= Y ( [ x ,y ]g ) (z) + Y (y) (b(x) × z )
= Y (ad(x) y) z + b(x) × Y (y)z
= a(x) × Y (y)z + b(x) × Y (y)z
36
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
elde edilir.
Bu önerme temsillerle çalışırken , ağırlık uzaylarına parçalanış için önemli
bir araçtır.
Tanım 4.3.2: Y : g ® gl(V) g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve h g nin Cartan
alt cebiri olsun. Y nin h nin dual uzayı içerisinde olan ağırlıklarının kümesine Y nin
ağırlık diagramı denir.
Bundan sonra, indirgenemez temsillerin ağırlık diagramlarının temelinde
yatan geometrik yapıyı araştıracağız.
4.4. Parçaları Araştırmak
Verilen bir Lie cebirinin ağırlıklarının tüm konfigürasyonları bazı
indirgenemez temsillere ait olmayabilir. Hangi konfigürasyonların ait olduğunu
bilmek önemlidir. Bazı durumlarda her yarı basit Lie cebiri sl2( £ ) nin
kopyalarından inşa edilir ve sl2( £ ) nin temsil teorisi, olası ağırlık diagramının
geometrisinin kurallarından bazılarını bulmamız için bize yardım eder.
Önerme 4.4.1: ( sl2( £ ) nin kopyalarını belirleme ) g bir yarı basit Lie cebiri ve
g = h Å Å ga g nin Cartan parçalanışı olsun. Her a Î A kökü için
aÎA
sa = ga Å g-a Å [ ga , g-a ]
direkt toplamı Lie çarpımı ile birlikte g nin sl2( £ ) ye izomorf olan bir alt cebiridir.
İspat: a g nin bir kökü olsun. O halde -a da g nin bir köküdür. Ayrıca ga ve g-a kök
uzaylarının her ikisi de bir boyutludur ve [ ga , g-a ] ¹ 0 ve [ [ ga , g-a ] , ga ] ¹ 0 olur.
37
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
[ H , X ] = 2 × X, [ H , Y ] = -2 × Y ve [ X , Y ] = H koşulunu sağlayan X Î ga,
Y Î g-a ve H Î [ ga , g-a ] bulabiliriz. Böylece sa sl2( £ ) ye izomorfik olur.
Bu bölümün geri kalan kısmında genellikle aşağıdaki gösterimleri
kullanacağız.
Not 4.4.2: g bir yarı basit Lie cebiri, h g nin Cartan alt cebiri ve
g=h Å
Å ga
aÎA
g nin Cartan parçalanışı olsun. Her a Î A kökü için
sa = ga Å g-a Å [ ga , g-a ]
yazacağız ve
[ Ha , Xa ] = 2 × Xa , [ Ha , Ya ] = -2 × Ya ve [ Xa , Ya ] = Ha
eşitliklerini sağlayan Xa Î ga, Ya Î g-a ve Ha Î[ ga , g-a ] üreteçlerini şeçeceğiz.
Ha nın, sa @ sl2( £ ) cebirinin herhangi bir temsili üzerindeki özdeğerleri
tamsayılardır. Bu durum Y nin sa ya kısıtlaması olan bütün Y| sa kısıtlamaları için de
doğru olduğunu aşağıdaki önerme ile görülmektedir.
Önerme 4.4.3: Eğer b Î h* g yarı basit Lie cebirinin bir temsilinin bir ağırlığı ise o
zaman her a Î A için b(Ha) tamsayıdır.
Tanım 4.4.4: Her a Î A için b(Ha) Î ¢ koşulunu sağlayan b Î h*
fonksiyonellerinin kümesine g nin ağırlık kafesi denir.
Ayrıca, bir yarı basit Lie cebirinin bir temsilinin bütün ağırlıkları kendi
ağırlık kafesi tarafından içerilir.
38
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
4.5. Simetriler
sl2( £ ) nin ağırlık diyagramları sıfıra göre simetrik olup sa alt cebirleri bu
simetrileri genel duruma taşır. Bu durumda simetri grubu yansımalar tarafından
üretilir.
Tanım 4.5.1: Her a Î h* kökü için Wa a ya ortogonal olan hiperdüzlemde
Wa : h* ® h*
b ® b-
2 × b(H a )
× a = b - b(Ha) ×a
a(H a )
yansıması olsun. g nin W(g) ile gösterilen Weyl grubu End(h* ) ın (Wa)aÎA
yansımaları tarafından üretilen alt grubudur.
Yansıma kelimesi h* dual uzayı üzerinde uygun bir iç çarpım tanımlanarak
anlaşılır hale getirilebilir. Örneğin, böyle bir iç çarpım için killing formu örnek
verilebilir.
Öncelikle , Weyl grubunun tanımı bir Cartan alt cebirinin bir seçimine
bağlıdır fakat bu grup gerçekte şeçilen Cartan alt cebirinden bağımsızdır.
Önerme 4.5.2: (Ağırlıkların simetrileri) Bir g yarı basit Lie cebirinin herhangi bir
temsilinin ağırlıkları W(g) Weyl grubunun etkisi altında invaryantır. Ayrıca herhangi
bir temsilin ağırlıklarının katlılığı da Weyl grubu altında invaryantır.
İspat: Y : g ® gl(V) g nin bir temsili olsun. a Î h* g nin bir kökü, b Î h* Y nin
ağırlığı olsun. O zaman
V [b] = Å Vb+n.×a
nÎZ
39
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
V üzerinde sa - temsil olan res gsa temsilinin bir alt temsilidir. sl2( £ ) temsillerinin
sınıflandırılmasından dolayı Ha nın V [b] üzerindeki özdeğerlerini biliriz. Yani
S = { b+n×a | n Î ¢ , Vb+n×a ¹ 0 }
olmak üzere S(Ha) kümesi orjine göre simetriktir. Uygun bir n Î ¥ için b ya a nın
katları eklenerek oluşturulan
S = { b , b+a , …,b+n×a }
kümesini düşünebiliriz. a(Ha) = 2 ve S simetrik olduğundan
-b(Ha) = b(Ha) + 2 × n
elde edilir. Böylece n = -b(Ha) olur. Sonuç olarak
Wa × S = { Wa (b + j × a) | j Î { 0 ,…,n} }
= { b + j × a - (b + j × a) (Ha) × a | j Î { 0 ,…,n} }
= { b + (n – j) × a | j Î { 0 ,…,n} }
=S
dir. Buradan anlaşıldığı üzere V [b] nın ağırlıkları Wa nın etkisi altında invaryanttır.
Böylece V nin bütün ağırlıklarının kümesi de Wa altında invaryant olur. ( ve W(g)
altında ). Aynı hesaplarla kök katlılıklarının da Weyl grubunun etkisi altında
invaryant olduğu gösterilebilir.
4.6. Yüksek Ağırlıklar
sl2( £ ) nin indirgenemez temsillerini sınıflandırırken özdeğerlere bir
sıralama veririz. Genel durumda, ağırlıkların böyle bir lineer sıralaması söz konusu
40
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
olmayabilir. Fakat yine de en yüksek ağırlık olarak adlandırılan farklı ağırlıklar
vardır.
Tanım 4.6.1: l g Lie cebirinin kök kafesi üzerinde tanımlı, kök kafesine göre
irrasyonel olan bir fonksiyonel olsun.
1. Eğer l (a) > 0 ise g nin a Î h* olacak şekilde bir köküne pozitif kök
denir. Eğer bir kök pozitif değilse negatiftir. Kök uzayının böyle bir
parçalanışına g nin köklerinin bir sıralaması denir.
2. Bir Y : g ® gl(V) temsilinin bir en yüksek ağırlığı, Y nin bir en yüksek
ağırlık vektörünün ağırlığıdır.
3. Y temsilinin bir en yüksek ağırlık vektörü g nin her pozitif a kökü için
ga × n= 0
koşulunu sağlayan ve V nin bir ağırlık uzayında bulunan bir n Î V \ {0}
vektörüdür.
Önerme 4.6.2: (İndirgenemez temsillerin en yüksek ağırlıkları) g bir yarı basit Lie
cebiri ve A = A+ È A- g nin köklerinin bir sıralaması olsun.
1. g nin sonlu boyutlu herhangi bir temsili bir en yüksek ağırlık vektörüne
sahiptir.
2. Eğer n g nin bir temsilinin en yüksek ağırlık vektörü ise o zaman a Î Aolmak üzere ga kök uzaylarının n ye ardışık uygulanmasıyla üretilen W alt
uzayı g nin bir indirgenemez alt temsilidir.
3. g nin bir indirgenemez temsilinin en yüksek ağırlık vektörü sabitler göz
önüne alınmazsa tek olarak bellidir.
İspat: 1. Temsilin boyutunun sonlu oluşu ve Teorem 4.2.4. nedeniyle sonuç açıktır.
41
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
2. Y : g ® gl(V) g nin bir temsili ve n Y nin en yüksek ağırlık vektörü olsun. n Î ¥
için wn uzunluğu en çok n olan ve negatif kökleri kök uzaylarının elemanlarını içeren
bir kelime olmak üzere wn × n formundaki tüm vektörlerin ürettiği alt uzay Wn olsun.
O zaman
W=
UW
n
nÎN
olur. İlk olarak, W nun Y nin alt temsili olduğunu gösterelim. Bunun için W nun
pozitif kök uzaylarındaki bütün elemanların etkileri altında invaryant olduğunu
göstermek yeterlidir. ( Çünkü Cartan cebiri W üzerinde köşegen olarak etki eder) .
Her n Î ¥ ve her x Î ga ve a Î A+ olmak üzere
x × Wn Ì Wn+1
ifadesini tümevarımla gösterelim. n Y nin bir en yüksek ağırlık vektörü olduğu için
n = 0 durumunda ifade sağlanır. x Î ga , a Î A+ ve w Î Wn olsun. Wn in tanımından
w¢ Î Wn-1 , y Î gb ve b Î A- olmak üzere w = y × w¢ yazabiliriz. O halde [ x , y ] Î
ga+b olmak üzere
x × w = x × y × w¢
= [ x , y] × w¢ + y × x × w¢
olur. (Önerme 4.3.1) Eğer a + b Î A- ise, Wn in tanımından
[ x , y] × w¢ Î Wn Ì Wn+1
olur. Eğer a + b Î A- ise, o zaman tümevarımdan
[ x , y] × w¢ Î Wn Ì Wn+1
42
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
olur. Eğer a + b = 0 ise, o zaman [ x , y ] Cartan cebirindedir ve böylece
[ x , y] × w¢ Î Wn-1 Ì Wn+1
olur. Ayrıca, ikinci toplamdan Wn Ì Wn+1 dir. Yani y × x × w¢ Î Wn Ì Wn+1 dir.
Böylece W Y nin alt temsilidir. W nun en yüksek ağırlık uzayı, yani W0 bir boyutlu
olduğu için Önerme 4.1.9. dan W indirgenemezdir.
3. Önerme 4.3.1 ve ikinci kısımdan elde edilir.
Tanım 4.6.3: g bir yarı basit Lie cebiri, h Cartan alt cebiri ve A=A+ È A- köklerin
bir sıralaması olsun. Bu sıralamaya göre Weyl çemberi
her bÎA+ için a(Hb) ³ 0
koşulunu sağlayan tüm a Î h* elemanlarının kümesidir.
4.7. Sınıflandırma
Tanım 4.7.1: Kısmi sıralı bir kümenin tam sıralı bir alt kümesine bir zincir denir.
Tanım 4.7.2: Eğer bir zincirin herhangi iki a, b elemanı için zincire ait olacak
şekilde sonlu bir a = a0, a1,…, an =b dizisi varsa ve i =1,…,n için ai-1, ai mukayese
edilebiliyorsa zincire bağlantılı zincir denir.
Teorem 4.7.3: g bir yarı basit Lie cebiri, A = A+ È A- g nin köklerinin bir
sıralaması ve C bu sıralamaya karşılık gelen Weyl çemberi olsun. Ayrıca L g nin
ağırlık kafesi olsun. O zaman
43
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
1. Her a Î C Ç L için en yüksek ağırlığı a olan ( sonlu boyutlu ) bir tek Ga
temsili vardır.
2. Böylece C Ç L ile g nin (sonlu boyutlu ) indirgenemez temsillerinin
izomorfizm sınıflarının kümesi arasında bijeksiyon vardır.
3. Ga nın ağırlıklarının kümesi aşağıdaki anlamda konvekstir:
Eğer b Î h* ve g g nin herhangi bir kökü ise o zaman ağırlıkların kümesi ile
{b+n g | nÎ ¢ } doğrusunun kesişimi bağlantılı bir zincirdir.
4. g nin herhangi bir temsili ağırlıklarının katlılığı ile tek olarak bellidir.
İspat: Bu teoremin ispatı (Löh, 2006) da bulunabilir.
4.8. Temsil Halkalarının Yapısı
Yarı basit Lie cebirlerinin indirgenemez temsillerinin içindeki ağırlıklarının
katlılığını hesaplamak için genel teknikler vardır.
Tanım 4.8.1: g bir yarı basit Lie cebiri, L g nin ağırlık kafesi olsun. L abelyen
grubunun ¢ üzerindeki grup halkasını ¢ [L] ile gösterelim. O zaman Vl l ya
karşılık gelen ağırlık uzayı olmak üzere g Lie cebirinin karakter homomorfizmi
c : R(g) ® ¢ [L]
[V] ®
å dimV
lÎL
l
×l
olarak tanımlanır.
Bir temsilin karakteri ağırlık diagramı olarak değerlendirilebilir. Bu
bakımdan, ağırlık diagramlarının bütün resimleri temsillerin karakterlerinin resimleri
olarak yorumlanabilir.
44
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
Tanım 4.8.2: g bir yarı basit Lie cebiri olsun. g nin köklerinin bir sıralamasının
verilmiş olduğunu varsayalım. Bu sıralamaya göre g nin temel ağırlıkları, Weyl
çemberinin kenarları ile çakışan sıfırdan farklı ilk ağırlıklardır.
Teorem 4.8.3: (Yarı basit Lie cebirlerinin temsil halkaları) g, temel ağırlıkları
w1,…,wn olan yarı basit bir Lie cebiri ve G1 ,…, Gn karşılık gelen indirgenemez
temsiller olsun. O zaman R(g) temsil halkası G1 ,…, Gn değişkenleri üzerinde bir
polinom halkasıdır ve karakter homomorfizmi
R(g) @ ¢ [L]W(g)
izomorfizmini belirler.
45
4. GENEL TEMSİLLER
Dünya KARAPINAR
46
5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
ìæ a b ö
ü
÷÷ : a,b,c Î £ ý
sl2 ( £ ) = íçç
þ
îè c - a ø
cebirinin [A,B] = AB – BA işlemiyle birlikte bir Lie cebiri olduğunu hatırlayalım.
Öncelikle sl2 ( £ ) Lie cebirinin bir bazı
ì
æ1 0 ö
÷÷ ,
íH = çç
0
1
ø
è
î
æ0 1ö
÷÷ ,
X = çç
è0 0ø
æ 0 0 öü
÷÷ý
Y = çç
è 1 0 øþ
[ H , X ] = 2X ,
[ H , Y ] = - 2Y ,
[X,Y]=H
olup
bağıntıları sağlanır.
Bu bölümdeki tüm önermeler (Banu, 2006) dan alınmıştır.
Örnek 5.1: Aşağıda sl2 ( £ ) nin temsillerinin örnekleri verilmiştir.
1. sl2 ( £ ) den gl2 ( £ ) içine olan
l : sl2 ( £ ) ® gl2 ( £ )
monomorfizm ( gömme dönüşümü ) bir temsil tanımlar.
2. V = £ [ x,y ] polinom halkası olsun. Eğer
47
5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
X®x
Dünya KARAPINAR
¶
,
¶y
H®x
¶
¶
-y
,
¶x
¶y
Y®y
¶
¶x
ise o zaman bu homomorfizm £ [ x,y ] nın bir sl2 ( £ )- temsilini tanımlar. Derecesi
k olan homojen polinomları Sym k ( V ) ile gösterelim.
Örnek 5.2:
k = 3 olsun. Sym
kümesidir. sl2 ( £ ) cebiri Sym
3
3
( V ) derecesi 3 olan homojen polinomların
( V ) nin {x3 , x2 y , xy2 , y3 } baz kümesine
aşağıdaki şekilde etki eder.
X=x
¶
¶y
H=x
¶
¶
-y
¶x
¶y
Y=y
¶
¶x
x3
0
3 x3
3 x2 y
x2y
x3
x2 y
2 xy2
xy2
2 x2y
- xy2
y3
y3
3 xy2
-3 y3
0
Sym 3 ( V ) nin bu baz kümesine göre X, H ve Y nin matrisi
æ0
ç
ç0
X =ç
0
ç
ç0
è
1
0
0
0
0
2
0
0
0ö
÷
0÷
,
3÷
÷
0 ÷ø
æ3
ç
ç0
H= ç
0
ç
ç0
è
0 0
0 ö
÷
1 0
0 ÷
,
0 -1 0 ÷
÷
0 0 - 3 ÷ø
æ0
ç
ç3
Y= ç
0
ç
ç0
è
0
0
2
0
0
0
0
1
0ö
÷
0÷
0÷
÷
0 ÷ø
şeklindedir.
V, sl2 ( £ ) nin indirgenemez sonlu boyutlu bir temsili olsun. Jordan
Parçalanışının koruma teoremini kullanarak H nin V üzerindeki etkisinin
köşegenleştirilebilir olduğunu gösterebiliriz. a Î £ ve her n Î Va vektörü için
Hn = an olacak şekilde
48
5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
V = Å Va
parçalanışı vardır.
Şimdi X ve Y nin çeşitli Va uzayları üzerindeki etkisini inceleyeceğiz. X ve Y
nin Va alt uzaylarını diğer Vb alt uzaylarına taşıdığını göstereceğiz.
Önerme 5.3: n Î Va olsun. O zaman
1. Xn Î Va+2
2. Yn Î Va-2
dir.
İspat: 1. H X n = X H n + [ H , X ] n
=aXn+2Xn
= ( a +2 ) X n
Eğer n H için a özdeğerine karşılık gelen özvektör ise o zaman X n de H için a + 2
özdeğerine karşılık gelen özvektör olur. Tümevarımdan
H (Xk n ) = (a + 2k ) Xk n
olur.
2. Benzer şekilde
HYn=YHn+[Y,H]n
= ( a - 2) Y n
olur ve tümevarımdan
49
5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
H (Yk n ) = (a - 2k ) Yk n
elde edilir. Bu gerçeğin ve V nin indirgenemezliğinden dolayı bir a için
ÅkÎZ Va+2k
alt uzayı sl2 ( £ ) altında invaryant olup V ye eşittir.
Ayrıca H nin özdeğerlerinin kümesi bazı m Î ¢ için
a , a + 2 , … , a + 2m
formundadır. Biz bu dizinin en son elemanını n ile gösterelim. n nin kompleks sayı
olduğunu biliyoruz, fakat n nin tamsayı olduğunu kanıtlayacağız.
Bir 0¹n Î Vn vektörü şeçelim. Vn+2 = {0} olduğu için X n = 0 dır. sl2( £ )
nin V üzerindeki etkisini aşağıdaki diyagramla görebiliriz:
X
X
X
¬¾¾ V n-4 ¬¾¾ Vn-2 ¬¾¾ Vn
Y
Y
H
Y
H
H
Şimdi Y nin n vektörü üzerindeki etkisini inceleyelim.
Önerme 5.4: n Î Va için X n = 0 olsun. O zaman
X ( Ym n ) = m ( a - m + 1 ) Ym–1 n
dir.
İspat : m üzerinde tümevarımla gösterelim.
50
5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
m = 1 için
X Y n = Y X n + [ X ,Y ] n = 0 + H n = a n
m - 1 için doğru olsun. m için doğru olduğunu gösterelim.
X Ym n = Y X Ym-1 n + [ X ,Y ] Ym-1 n
= Y (m – 1) (a - m + 2) Ym-2 n + H Y m-1 n
= [m (a - m + 2) - a + m – 2 + a - 2m + 2] Ym-1 n
= m (a - m + 1) Ym-1 n
elde edilir.
Önerme 5.5: V indirgenemez sonlu boyutlu sl2 ( £ )– modül ve n Î Vn yani, X n = 0
olsun. O zaman
1. { n , Y n , Y2 n , Y3 n ,…} vektör kümesi V yi gerer.
2. H nin özuzayları 1-boyutlu alt uzaylardır.
3. H nin özdeğerleri tamsayılardır.
4. H nin özdeğerleri orjine göre simetrik tamsayılardır. Yani,
V = V-n Å V-n+2 Å … ÅVn-2 Å Vn
dır.
İspat: 1. V nin indirgenemezliğinden dolayı W = Sp { n , Y n , Y2 n , Y3 n ,…} alt
uzayının sl2 ( £ ) nin etkisi altında kendisine taşındığını göstermek yeterlidir. Ym n
Ym+1n ye taşındığından W uzayını invaryant bırakır. Benzer şekilde Ym n vektörü
Vn-2m içinde olduğu H ( Ym (n) ) = ( n – 2m ) Ym (n) dir ve H W alt uzayını korur.
Geriye X (W) Ì W olduğunu göstermek kalır. Yani, her m için X, Ym (n) yi Yi (n)
51
5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
nin lineer kombinasyonuna taşır. Bir önceki önermeden m üzerinde tümevarım
yapılarak sonuç elde edilir.
2. nk = Yk n diyelim. H nk = ( n – 2k ) nk olur. Böylece, nk ¹ 0 olmak üzere nk
özvektörleri farklı özdeğerlere karşılık gelirler. Çünkü V sonlu boyutlu olduğundan
Yk n = 0 olacak şekilde yeterince büyük bir k vardır. Böylece { n0 = n , n1 ,…, nm}
lineer olarak bağımsızdır ve bütün özdeğerler farklı olduğu için her özuzay 1 –
boyutludur.
3. m, Ym n ¹ 0 ve Ym+1 n = 0 koşulunu sağlayan en küçük sayı olsun. O zaman
0 = X Ym+1n = (m+1) (n – m – 1 + 1) Ym n Þ n – m = 0 Û n = m
olup bütün özdeğerler tamsayıdır.
4. 1 den dolayı V = Vn Å Vn-2 Å …Å Vn-2m olur. 3 ten dolayı n = m dir. O halde
V = Vn Å Vn-2 Å …Å V-n dir. Böylece H nin a özdeğerleri orjine göre simetrik
tamsayılardan oluşur.
Örnek 5.6: sl2 ( £ ) nin bazı standart temsillerini yukarıdaki anlamda tanımlayalım.
Öncelikle sl2 ( £ ) nin £
£
2
2
= V üzerindeki standart temsilini düşünelim. Eğer x ve y
için baz ise H(x) = x ve H(y) = -y dir. Böylece V = £ 2, V = V-1 Å V1 olacak
şekilde bir temsil tanımlar.
Benzer şekilde, W = Sym2 (V) için { x2 , xy , y2 } bazını seçelim. sl2 ( £ ) nin
etkisi
X=x
¶
,
¶y
Y=y
¶
,
¶x
H=x
¶
¶
-y
¶x
¶y
ile bellidir. Buna göre H(x2) = 2x2 , H(xy) = 0 , H(y2) = -2y2 olup temsil
52
5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
Sym2 (V) = W-2 Å W0 Å W2
şeklinde özuzaylarına parçalanabilir.
Önerme 5.7: n negatif olmayan bir tamsayı olsun. V { n0 , n1 ,…, nn} bazıyla
sl2 ( £ ) nin n+1 boyutlu temsili olsun öyleki H nin V üzerindeki etkisi k = 0 ,…,n
için
Hnk = (n – 2k) nk ,
Ynk = nk+1 ,
Xnk = k(n – k + 1) nk-1
ile köşegenleştirilebilir olsun. O zaman
1. V indirgenemezdir.
2. sl2 ( £ ) nin n+1 boyutlu her indirgenemez temsili V ye izomorfiktir.
Daha genel olarak, sl2 ( £ ) nin V = £
düşünelim ve eğer x ve y £
2
2
üzerindeki standart temsilini
için standart baz ise Symn (V) {xn , x
n-1
y , .., yn}
bazına sahip olup
H (xn-k yk) = (n – k) H(x) xn – k -1 yk + k H(y) xn-k yk-1 = (n – 2k) xn-k yk
eşitliği vardır. Böylece H nin Symn (V) üzerindeki özdeğerleri n , n-2 ,…,-n dir.
Önerme 5.7. den Symn (V) indirgenemez olduğu görülür.
53
5. sl2 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
54
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
sl2 ( £ ) nin temsillerini kullanarak sl3 ( £ ) nin temsillerini inceleyeceğiz.
Öncelikle sl3 ( £ ) nin vektör uzayı olarak
æ1 0 0ö
÷
ç
H1 = ç 0 - 1 0 ÷ ,
ç0 0 0÷
ø
è
æ0 0 0 ö
÷
ç
H2 = ç 0 1 0 ÷
ç 0 0 -1÷
ø
è
ve 1 £ i¹j £ 3 için 3 ´ 3 tipindeki eij matrislerinin bazını düşünelim. sl3 ( £ ) de
sl2 ( £ ) deki H matrisinin rolünü oynayan bir eleman bulmak istiyoruz. sl2 ( £ ) nin
H elemanı ile sl3 ( £ ) nin bir h alt uzayını yer değiştirelim. Örneğin, h yi izi sıfır
olan tüm köşegen matrislerin alt uzayı olarak alabiliriz. Bu durumda h uzayı verilen
H1 ve H2 bazıyla birlikte 2 boyutlu bir vektör uzayıdır.
Li : h ® £
lineer fonksiyonlarını
æa1
ç
Li ( ç 0
ç0
è
0
a2
0
0ö
÷
0 ÷ ) = ai
a 3 ÷ø
projeksiyonları olarak tanımlayalım. h nin h* dual uzayı bu Li fonksiyonları
tarafından gerilen uzay olup h* da L1 + L2 + L3 = 0 dır.
sl3( £ ) için H nin rolünü oynayan bir eleman bulduk. sl2( £ ) nin X ve Y
elemanlarının rolünü oynayan elemanları bulmak için
[ H , X ] = 2X ,
[ H , Y ] = - 2Y
bağıntıları önemli rol oynar.
55
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
Her H Î h için sl3 ( £ ) üzerindeki bütün adjoint temsillerin ortak
özvektörlerini araştıracağız. Bunu yapmak için ad(H1) ve ad(H2) nin ortak
özvektörlerini düşünmek yeterlidir. ad(H1) ve ad(H2) ile ilgili aşağıdaki bağıntıları
düşünelim.
[ H1 , e12] = 2 e12 ,
[ H2 , e12] = - e12
[ H1 , e21] = 2 e21 ,
[ H2 , e21] = e21
[ H1 , e23] = -e23 ,
[ H2 , e23] = 2e23
[ H1 , e13] = e13 ,
[ H2 , e13] = - 2e13
[ H1 , e32] = e32 ,
[ H2 , e32] = - 2e32
[ H1 , e31] = - e31 ,
[ H2 , e31] = - e13
Yukarıdaki bağıntılardan ad(H1) ve ad(H2) nin ortak özvektörlere sahip olduğu
görülür. O halde H Î h ve adH aynı anda köşegenleştirilebilir. Böylece sl3 ( £ ) için
H nin rolünü oynayan bir eleman bulmuş olduk.
Sonuç olarak sl3 ( £ ) nin (bir vektör uzayı olarak) bir kök uzayı parçalanışı
aşağıdaki şekilde elde edilir: a h* ın bir sonlu alt kümesine ait olmak üzere eğer ga a
özdeğerine karşılık özuzay ise yani
ga = {X Î g : [ H , X ] = a(H)X her H Î h}
ise
sl3 ( £ ) = g = Å a ga = h Å (Å a ¹ 0 ga )
(6.1)
parçalanışı elde edilir. Eğer a = 0 ise ga = h dır. h herbir ga uzayına skaler çarpma
olarak etki eder. Yani, her H Î h ve Y Î ga için
[ H , Y ] = ad(H) (Y) = a(H) Y
56
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
dir.
Bu bölümdeki önerme ve sonuçlar (Banu, 2006) dan alınmıştır.
Tanım 6.1: h* da ga ¹{0} koşulunu sağlayan aÎh* elemanına g nin h ye göre bir
kökü denir. Eğer a bir kök ise, o halde ga ya a nın kök uzayı denir ve ga nın
elemanlarına a kökünün bir kök vektörü denir.
3
H Î h ve H= å a i eii olsun. Her H Î h için
i =1
ad(H)eij = [ H ,eij ] = H eij - eij H = (ai – aj) eij
olduğundan bu eşitlik 1 £ i ¹ j £ 3 için oldukça önemli olan ve adjoint temsilin
özdeğerlerine karşılık gelen L i – L j elemanlarını tanımlamamızı sağlar.
1 £ i ¹ j £ 3 için L i – L j Î h*, h* içinde farklı lineer fonksiyonlardır. sl3 ( £ ),
8 boyutlu bir vektör uzayı ve h 2 boyutlu bir vektör uzayı olduğundan kök
parçalanışından dolayı hepsi 1 boyutlu olan ve eij tarafından gerilen
g
L - L
i
j
özuzaylarını elde ederiz.
sl3 ( £ ) de karşılık gelen kökleri bulmak için, aralarındaki açı p 3 olan, aynı
uzunluğa sahip olan ve i = 1 , 2 , 3 için
L1 + L2 + L3 = 0
olacak şekilde lineer bağımlı Li vektörlerini seçmeliyiz.
V sl3 ( £ ) nin sonlu boyutlu bir temsilinin temsil uzayı olsun. Jordan
korunum teoremi gereğince bir H Î h nin V üzerindeki etkisi köşegenseldir.
Değişmeli köşegenleştirilebilir matrislerin, aynı anda köşegenleştirilebilir olması
57
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
gerçeğinden ve Jordan korunum teoreminden dolayı sl3 ( £ ) nin herhangi bir sonlu
boyutlu temsilinin V temsil uzayı
V = Å Va
parçalanışına sahiptir. Burada her H Î h için her n Î Va vektörü bir özvektördür.
Tanım 6.2: h için bir özvektörle her H Î h için özvektör olan bir n Î V vektörü
anlaşılacaktır. Böyle bir n vektörü için a ( H ) H ye lineer olarak bağlı bir skaler yani
a Î h* olmak üzere
H(n) = a(H) n
dir.
Böylece yukarıdaki ifadeyi, sl3 ( £ ) nin herhangi bir sonlu boyutlu temsilinin
V temsil uzayı
V = Å Va
parçalanışına sahiptir şeklinde yeniden yazabiliriz. Burada a h* ın bir alt kümesinin
elemanı olmak üzere Va h için bir özuzayıdır.
Daha genel bir ifadeyle her g yarı basit Lie cebiri için, h Ì g olmak üzere bir
h maksimal abelyen alt cebirini bulabiliriz öyleki h nin herhangi bir g – temsilin
temsil uzayı olan V üzerindeki etkisi köşegenleştirilebilirdir. Böyle bir alt cebir
Cartan alt cebiridir.
X Î ga ve Y Î gb olsun. h nin herhangi bir H elemanını alalım. sl2 ( £ ) de
aşağıdaki hesaplamaya bakalım.
[H , [X , Y]] = [X , [H , Y]] + [[H , X] ,Y]
58
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
= [X , b(H) × Y] + [a(H) × X , Y]
= (a(H) + b(H) ) × [X ,Y]
Yani, [X ,Y] = ad (X) (Y) h için a + b özdeğerine karşılık gelen bir özvektördür.
Böylece,
ad (ga) : gb ® ga+b
dır. Özellikle, ad (ga) nın etkisi (6.1) kök parçalanışını her gb uzayını bir diğerine
taşıma anlamında korur.
Sonuç 6.3: sl3 ( £ ) nin bir indirgenemez temsilinin özdeğerleri L
i
– L
j
Î h*
vektörlerinin tamsayı katsayılı lineer toplamı oluşuyla diğerlerinden farklıdır.Yani,
sl3 ( £ ) nin bir indirgenemez temsilinin herhangi iki a ve b özdeğerleri için LR , h*
da i ¹ j için L i – L j vektörleri tarafından üretilen bir kafes yani
LR = { a(L1 – L2) + b(L2 – L3) + c(L1 – L3) | a , b , c Î ¢ }
olmak üzere
a º b (mod LR)
dir. Aksi taktirde, V nin herhangi bir a özdeğeri için
V¢ = Å bÎ L V a+b
R
alt uzayı V nin öz alt temsili olurdu.
Böylece L1 – L2 , L2 – L3 , L1 – L3 h* içinde lineer bağımlıdır. Çünkü
L1 – L3 - (L1 – L2) = L2 – L3 dir.
59
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
Tanım 6.4: L i – L j kökleri tarafından üretilen LR Ì h* kafesine kök kafesi denir. h
nin V temsil uzayı üzerindeki etkisinin a Î h* özdeğerlerine temsilin ağırlığı denir.
Va da bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörlere ağırlık vektörleri ve Va uzayına da
ağırlık uzayı denir.
h* düzleminde bir l doğrusunu düşünelim. Öyleki bu doğru kök kafesini
sadece orjinde, h* düzlemini de i < j için L i – L j sadece bir yarı düzlemde kalacak
şekilde, i > j için de L i – L j diğer yarı düzlemde kalacak şekilde iki yarı düzleme
bölecek şekilde kessin.
Kök kafesi içindeki ekstra nokta olarak, l çizgisinden uzaklığı maksimal
olan ve kök kafesi içinde bulunan pozitif nokta kastedilir. Bu nokta nedir? sl2 ( £ )
nin V temsil uzayında olduğu gibi burada X operatörünün çekirdeğinde olan ve aynı
zamanda H için özvektör olan n Î V bulunabilir. Burada X operatörü yerine e12,e13,
e23 aldığımızda h için özvektör ve aynı zamanda her b Î { L i – L j | 1 £ i < j £ 3 }
için gb nın etkisinin çekirdeğinde olan n Î V vektörü bulunabilir. Burada
g
L - L
i
j
= á eijñ
dir.
Önerme 6.5: V sl3 ( £ ) nin herhangi bir indirgenemez sonlu boyutlu temsilinin
uzayı olsun. Aşağıdaki özellikleri sağlayan bir n Î V vektörü vardır.
1. n h için bir özvektördür, yani bazı a lar için n Î Va dır.
2. e12 (n) = 0 , e13 (n) = 0 , e23 (n) = 0 dır. (Burada n ye en yüksek
ağırlık vektörü ve a da V nin en yüksek ağırlığıdır.)
60
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
Önerme 6.6: V sl3 ( £ ) nin herhangi bir indirgenemez temsilinin uzayı ve n Î V en
yüksek ağırlık vektörü olsun. O zaman V, e21 ,e31 , e32 operatörlerinin n ye ardışık
olarak uygulanmasıyla elde edilen görüntüler tarafından üretilir.
Önerme 6.7: V sl3 ( £ ) nin herhangi bir temsilinin uzayı ve n Î V en yüksek
ağırlık vektörü olsun. O zaman V nin e21 ,e31 , e32
operatörlerinin n ye ardışık
olarak uygulanmasıyla elde edilen görüntülerin ürettiği W alt uzayı indirgenemezdir.
İspat: a n nin ağırlığı olsun. W V nin alt temsil uzayı olup a özdeğerine karşılık
gelen Wa özuzayı 1 –boyutludur. W indirgenemez olmasaydı, bazı W¢ ve W¢¢ için
W = W¢ Å W¢¢ olurdu. Fakat
Wa = W¢a Å W¢¢a
olduğu için bu uzaylardan birisi sıfırdır. Yani burada n W¢ ye veya W¢¢ ye aittir.
Böylece W ya W¢ ya da W¢¢ uzayına eşittir.
Sonuç 6.8: V sl3 ( £ ) nin herhangi bir indirgenemez temsilinin uzayı, V = Å b V b
ve a en yüksek ağırlık olsun. O zaman
dim C Va = 1
dir
İspat: 0.¹ na ÎVa alalım.V nin e21 , e31 , e32 operatörlerinin na ya ardışık olarak
uygulanması sonucu elde edilen görüntüler tarafından üretildiğini gösterdik. Şimdi
n Î Va Ì V alalım ve n
c eİ2112 e32İ23 e31İ13 (na)
61
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
formunda olsun. Burada i12 , i32 ve i23 negatif olmayan tamsayılardır.
L2 – L3 = L1 – L3 – (L1 – L2) olduğundan
a = a - i12 (L1 – L2) – i13 (L1 – L3) – i23 (L2 – L3)
ifadesi
a = a - (i12 + i23) (L1 –L2) – (i13 + i23) (L1 – L2)
ifadesine denktir. L1 – L3 ve L1 – L2 lineer bağımsız olduğundan i12 + i23 = 0 ve
i13 + i23 = 0 dır. i12 , i32 , i23 pozitif tamsayılar olduğundan n = c na elde edilir.
Sonuç 6.9: dim Va
- (L 1 -L 2 )
= 1 dir.
İspat: Varsayalımki dim Va -(L 1 -L 2 ) ³ 2 olsun. (dim Va -(L 1 -L 2 ) = 0 olamaz. Çünkü
Va
-(L 1 -L 2 )
Va içinde bir en yüksek w ağırlık vektörü için e21(w) ¹ 0 vektörünü
içerir.). Va -(L 1
-L 2 )
içinde iki tane lineer bağımsız u ve n vektörlerini alalım.Bir
önceki sonuçtan Va 1- boyutludur. w vektörünü Va nın bir üreteci olarak alalım.
e12(n) Î Va Ì V dir. Önerme 6.6 ı kullanarak
k
u = a e i21 e 32j e 31
(w)
p
ve n = be m21 e n23 e 31
(w)
elde ederiz. Burada i, j, k, m, n, p negatif olmayan tamsayılardır. Böylece
k
p
a e 12 e i21 e 32j e 31
(w) Î Va ve b e 12 e m21 e n23 e 31
(w) Î Va
olur. Böylece
a = a + (i -1) (L2 – L1) + j (L3 – L2) + k (L3 – L1)
= a + (m-1) (L2 – L1) + n (L3 – L2) + p (L3 – L1)
62
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
dir. Buradan
(i – k-1) (L2 – L1) + (j + k) (L3 – L2) = (m -1 –n) (L2 – L1) + (n + p) (L3 – L2)
elde edilir. L2 – L1 ve L3 – L2 lineer bağımsız olduğu ve i, j, k, m, n, p ³ 0 gerçeğini
kullanarak j = k = 0 = n = p ve i = 1= m bulunur. Bunun anlamı
u = a e 21 ve n = b e 21
dir. Bu da bu = an varsayımıyla çelişir.
63
6. sl3 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
64
7. sl4 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
7. sl4( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Bu kısımda sl4( £ ) nin kök uzaylarına parçalanışını vereceğiz. Vektör uzayı
olarak, sl4( £ ) nin boyutu 42 – 1 = 15 dir. Öncelikle köşegen matrislerin h alt
cebirini belirlemeliyiz. Bu alt cebir vektör uzayı olarak boyutu 3 olan ve bazı
H1 = e11 – e22 , H2 = e22 – e33 ve H3 = e33 – e44 olarak verilen bir cebir olacaktır.
£ üzerinde H1
,
H2 , H3 tarafından gerilen h alt uzayını alalım. sl4( £ )
vektör uzayı olarak
sl4( £ ) = h Å Å i¹j £ eij
parçalanışına sahiptir. h nin h* dual vektör uzayı, h üzerinde
æ a1
ç
ç0
Li ( ç
0
ç
ç0
è
0
a2
0
0
0
0
a3
0
0ö
÷
0÷
) = ai
0÷
÷
a 4 ÷ø
projeksiyonları olarak tanımlanan lineer fonksiyonlar tarafından gerilir. Burada
L1 + L2 + L3 + L4 = 0 dır.
sl3( £ )
dekine
benzer
hesaplarla
ad(H1),
ad(H2)
ve
ad(H3)
ün
köşegenleştirilebildiği elde edilebilir, yani 1 £ i ¹ j £ 4 için eij ortak özvektör olup
her H Î h için ad(H) aynı anda köşegenleştirilebilirdir. sl4( £ ) nin kök parçalanışı
sl3( £ ) dekine benzer hesaplarla aşağıdaki şekilde elde edilir:
a h* ın bir sonlu alt kümesinin elemanı ve ga a özdeğerine karşılık gelen özuzay yani
ga = { X Î g | [H , X] = a(H) X her H Î h }
olmak üzere
65
7. sl4 ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
sl4( £ ) = g = Å a ga = h Å (Å a¹0 ga)
dır. sl4( £ ) nin kök kafesi
LR = { a(L1 – L2) + b(L2 – L3) + c(L3 – L4) + d(L1 – L4) | a, b, c,d Î ¢ }
ya da
LR = {
4
åa
i =1
i
Li | ai Î ¢,
olarak tanımlanır.
66
åa
i
i
=0}
8. sln ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
8. sln( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Vektör uzayı olarak sln( £ ) n2 – 1 boyutludur. sln( £ ) de tüm köşegen
matrislerin bazı
H1 = e11 – e22 , H2 = e22 – e33 , … , Hn-1 = en-1,n-1 - enn
olan n-1 boyutlu bir vektör uzayıdır. £ üzerinde H1, H2,…, Hn-1 tarafından gerilen h
alt uzayını alalım. h* dual vektör uzayı, i = 1,…,n için Li projeksiyon fonksiyonları
tarafından gerilir. Burada h* üzerinde
n
åL
i
= 0 dır.
i =1
ad(H1), ad(H2),…,ad(Hn) aynı anda köşegenleştirilebilirdir, yani 1 £ i ¹ j £ n
için eij , Li – Lj özdeğerlerine karşılık gelen ortak özvektördür. Böylece her H Î h
için ad(H) aynı anda köşegenleştirilebilir. sln( £ ) nin kökleri Li lerin ikişer ikişer
farklarından, yani 1 £ i ¹ j £ n için Li – Lj lerden oluşur.
a h* ın bir sonlu alt kümesinin bir elemanı ve ga a özdeğerine karşılık gelen
özuzay, yani
ga = {X Î g | [H,X] = a(H)X
her H Îh için}
olmak üzere sln( £ ) nin kök uzayı parçalanışı
sln( £ ) = g = Å a ga = h Å ( Åa ¹ 0 ga)
şeklindedir.
h* içinde Li – Lj tarafından gerilen kök kafesi
n
L R = { å a i Li | ai Î ¢,
i =1
67
n
åa
i =1
i
=0}
8. sln ( £ ) NİN TEMSİLLERİ
Dünya KARAPINAR
olarak tanımlanır.
Önerme 8.1: (Banu, 2006) V sln( £ ) nin indirgenemez sonlu boyutlu bir temsil
uzayı ve n Î V en yüksek ağırlık vektörü olsun. O zaman V n ³ i > j ³ 1 için eij
operatörlerinin n ye ardışık olarak uygulanmasıyla elde edilen görüntüler tarafından
üretilir.
68
KAYNAKLAR
ADAMS, J.F.,1982. Lectures on Lie Groups. Midway Reprint, The University of
Chicago Press.
BANU, L., 2006. Representation Theory of Lie Algebra sln( £ ). Queen’s
Unıversity, Department of Mathematics and Statistics Kingston, Ontario,
Canada, Master Tez 33s.
BÄUERLE, G.G.A., DE KERF, E.A., 1990. Lie Algebras Part 1 Finite and Infinite
Dimensional Lie Algebras and Applications in Physics(e. Van GROSEN,
E.M. de JAGER editör). Studies in Mathematical Physics,1. baskı, NorthHolland,s.20-25
BİLLEY, S.C., LAKSHMİBAİ, V., 2000. Singular Loci of Schubert Varieties. Progr.
Math. 182, Birkhäuser Boston,251s.
CARTER, R.W., 2005. Lie Algebras of Finite and Affine type. Cambridge
University Press, Cambridge, 632s.
CONWAY, J.H., SLOANE, N.J.A.,1991. The Cell Structures of Certain Lattices
(editors P. Hilton, F. Hirzebruch ve R. Remmert). Miscellanea Mathematica,
Springer-Verlag, New York, s.71–108.
COOPERSTEİN, B.N.,1990 A Note on the Weyl Group of Type E7. European
Journal of Combinatorics, 11: 415–419.
COXETER, H.S.M., 1973. Regular Polytopes. Dover Publications, New York, 321s.
DU VAL, P.,1933. On the Directrices of a Set of Points in a Plane. Proc. Lond.
Math. Soc., 35(2): 23–74.
ERDMANN, K.,WİLDON, M.J.,2006. Introduction to Lie Algebras. SpringerVerlag, London,251s.
FULTON, W., HARRİS, J., 1991. Representation Theory. A First Course. Graduate
Texts in Mathematics,129. Springer Verlag, New York, 551s.
GREEN, R.M.,2007. Full Heaps and Representations of Affine Kac–Moody
Algebras. International Electronic Journal of Algebra, 2: 138–188.
______, 2008a. Representations of Lie Algebras Arising From Polytopes.
International Electronic Journal of Algebra, 4: 27-52
69
______, 2008b. Full Heaps and Representations of Affine Weyl groups. Int.
Electron. J. Algebra, 3: 1–42.
HARTSHORNE, R.,1977.Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York,496s.
HUMPHREYS, J.E.,1990. Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge
University Press, Cambridge, 204s.
KAC, V.G., 1990. Infinite dimensional Lie algebras. Third edition. Cambridge
University Press, Cambridge,400s..
KASHİWARA, M.,1991. On Crystal Bases of the q-analogue of Universal
Enveloping Algebras. Duke Mathematical Journal., 63(2): 465–516.
LÖH, C., 2006. Representation Theory of Lie Algebras, clara.loeh@unimuenster.de. 25s.
MANİVEL, L., 2006. Configurations of Lines and Models of Lie Algebras. J.
Algebra, 304(1): 457–486.
SAMELSON, H., 1990. Notes on Lie Algebras. Springer-Verlag, New York,162s.
SANTOS, W., RİTTORE, A., 2005. Actions and Invariants of Algebraic Groups.
Chapman & Hall/CRC.
SERRE, J.P., 2001. Complex Semisimple Lie Algebras. Translated from the french
by G.A.Jones. Reprint of the 1987 edition.Springer Monographs in
Mathematics. Springer-Verlag,Berlin,74s.
______, 2006. Lie Algebras and Lie Groups. Lectures Notes in Mathematics,1500.
Springer-Verlag, Berlin, 168s.
STEMBRİDGE, J.R., 2001. Minuscule Elements of Weyl Groups. J. Algebra,
235(2):722–743.
WAKİMOTO,
M.,
2001.
Infinite-Dimensional
Lie
Algebras.
American
Mathematical Society.304s.
WALLACH, N., GOODMAN, R., 1998. Representations and Invariants of the
Classical Groups. Cambridge University Press, Cambridge, 685s.
WİLDBERGER, N.J., 2003a. A Combinatorial Construction for Simply-Laced Lie
Algebras. Adv. Appl. Math., 30: 385–396.
______,2003b. A Combinatorial Construction of G2. J. Lie Theory, 13(1): 155–165
70
ÖZGEÇMİŞ
1988 yılında Adana’da doğdu. Adana’da D.S.İ İlköğretim Okulunu
bitirdikten sonra Adana Ticaret Odası Anadolu Lisesi’nden mezun oldu. 2010
yılında Çukurova Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’nden
fakülte ve bölüm birincisi olarak mezun oldu. Ayrıca 2010 yılında Çukurova
Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi İstatistik Bölümü’nden çift anadal diploması
alarak mezun oldu. Daha sonra Çukurova Üniversitesi Matematik Bölümü’nde
yüksek lisansa başladı.
71