olasılık

OLASILIK
• Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile
alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru
olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır.
• Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen
örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve
bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla
karşılaşılmasıdır.
• Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda
gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla
karşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkan
olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir.
1
• Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana
gelme şansının sayısal ifadesidir.
• 17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya
başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı
olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada
önemli uygulama alanı bulmuştur.
Örnekler:
• Madeni paranın atılması sonucu tura gelme
olasılığı,
• Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en
az birinin papaz olma olasılığı,
• Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.???
2
Temel Tanımlar ve Kavramlar• Olay: Birden fazla basit olayın bir araya
gelmesi sonucu oluşur.
Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal
sayı gelmesi,
içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2
top çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması.
3
• Örnek Uzayı: Bir deneyin sonucunda
elde edilen tüm mümkün basit olaylarının
oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile
tanımlanır.
• Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu
elde edilen örnek uzayı;
• x: zarın üst yüzünde gelen sayı
• S = { x; x = 1,2,3,4,5,6 }
4
Temel Tanımlar ve Kavramlar
• Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak
kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan
eylem, gözlem ya da süreçtir.
Örnek: madeni para atılması,
içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top
çekilmesi.
• Basit Olay: Tek bir deneyde tek bir sonuç olarak
gerçekleşen olaylardır.
Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu
2 gelmesi, bir deste iskambil kağıdından çekilen
kağıdın maça as olması.P(A)
5
• Bileşik olay:İki veya daha çok olayın birlikte
veya birbiri ardına meydana gelmesine denir.
P(A1 ve A2)
İki zar atılır ve 4 gelmesi
Bir zar arka arkaya iki defa atılır .Her iki atışta da 4
gelmesi.
52 lik desteden as ve aynı zamanda karo gelmesi.
6
Temel Tanımlar ve Kavramlar
• Ayrık (bağdaşmaz) olay: Eğer A ve B gibi iki olay
aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara
ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir
Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı
veya tura gelmesi ayrık olaylardır.
Bir sınavda geçilir veya kalınır.
7
• Bağdaşır olay:Bir olayın ortaya çıkması başka bir
olayın ortaya çıkmasını engellemiyorsa iki veya
daha çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa
bağdaşır olaydır.
• Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi.
Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler.
• 52 lik desteden çekilen kartın maça olması kız
olmasını engellemez.
8
• Bağımsız olay: Bir olayın ortaya çıkması
başka bir olayın ortaya çıkmasından ilişkisiz ise
P( A  B  P( A).P( B)
Ailede birinci çocuğun erkek olması ikincisinin de
erkek olacağı anlamına gelmez.
• Bağımlı olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir
olayın ortaya çıkmasını etkiliyorsa
• 52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart
çekiliyor. Kart sayısı önce 52 sonra 51.
• 6 beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor İade
edilirse bağımsız, iade edilmezse bağımlı
olaydır.
9
• Eşit Olasılıklı Olaylar: Bir örnek uzayındaki
tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit
ise bu olaylara eşit olasılıklı olaylar denir.
•
Örnek: Bir deste iskambil kağıdından bir adet
kağıt çekilmesi.
10
Olasılığın İki Temel Kuralı;
1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1
arasındadır.
2) Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların
ortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1’e eşittir.
DİKKAT!!!!
Hiç bir olayın OLASILIĞI 1’den büyük
olamaz!!!!
• Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı;
P(A)
şeklinde gösterilir.
11
Olasılığın Gelişim Aşamaları
• Klasik (A Priori) Olasılık
• Frekans (A Posteriori) Olasılığı
• Aksiyom Olasılığı
NOT:Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel
gelişimini tanımlamaktadır.
12
Klasik Olasılık
• Eğer bir örnek uzayı n(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya
çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit
olaylardan n(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın
olasılığı:
P(A) = n(A) / n(S) kesri ile elde edilir
n(S): Örnek uzayı eleman sayısı
n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı
• Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak
olasılığı bulur.
13
Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet
yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin
sarı olma olasılığı nedir?
A: Çekilen bir bilyenin sarı olması
n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15
n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5
n( A) 5 1
P( A) 
 
n( S ) 15 3
14
Frekans Olasılığı
• Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney
uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A
olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli
frekansı (yaklaşık olasılığı):
P(A) = n(A) / n olarak bulunur.
15
Örnek:
Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma
olasılığı p nedir?
Önce örnek uzayı oluşturulur:
S={sağlam,hatalı}
Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p=0.5
olup gerçeği yansıttığı şüphelidir.
Yapılması gereken örneklem alarak
p = n(H) / n
olasılığını hesaplamaktır.
16
• Bazı Temel Olasılık Aksiyomları
• Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir para
atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5 dir.
• Bir örnek uzayındaki tüm sonuçların olasılıklarının toplamı
1 e eşittir.
Örnek: İki para atılma olayında örnek uzayı:
s  (YY ),(TT ),(TY ),(YT )
Her sonucun gelme olasılığı ¼ dür. 4 sonuç olduğuna göre
¼+1/4+1/4+1/4=1.
• P(S)=1 örnek uzağının olasığı 1 dir.
• P (  ) = 0 boş kümenin olasılığı sıfırdır.
• A olayının tümleyeni A olarak gösterilir.
P( A )  1  P(A)
17
Örnek Uzayı ve Olay Sayısını
Belirleyen Sayma Yöntemleri
• Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı
olayların geçerli olduğu durumlarda:
– Örnek uzayının eleman sayısı,
– İlgilenilen olayın eleman sayısının
belirlenmesi gereklidir.
Kullanılan iki temel prensip;
1) Toplama Yöntemi
2) Çarpma Yöntemi
18
• Bağımlı olayda çarpma kuralı:
Bağımlı iki olaydan A2 olayı A1 olayından sonra ortaya
çıktığında olayların birlikte gerçekleşme olasılığıdır.
P( AveA
1
2 )  P( A1 ).P( A2 A1 )
A2 nin şartlı olasılığı
• 8 boş 2 ikramiyeli bilet var. Bir kişi 2 bilet almış her iki
biletinde ikramiye kazanma olasılığı nedir?
• 1.bilet: P(A1)=2/10
Geriye 8 boş ve 1 ikramiyeli bilet kaldı.
1
P ( A2 A1 ) 
9
2 1 1
P( A1veA2 )  P ( A1 ).P ( A2 A1 )  . 
10 9 45
19
• Bağımsız olayda çarpma kuralı:
Birbirinden bağımsız A1 ve A2 olaylarının birlikte gerçekleşmesi
olasılığı bu olayların basit olasılıklarının çarpımına eşittir.
P( AveA
1
2 )  P( A1 ).P( A2 )
• Aynı anda atılan iki zarın ikisinin de 2 gelmesi
1 1 1
P( A1veA2 )  P( A1 ).P( A2 )  . 
6 6 36
Alinin 25 yıl sonra hayatta olması olasılığının 0.60, kardeşli
Hasan’ın 25 yıl sonra hayatta olması olması olasılığının
0.50 olduğunu varsayarsak 25 yıl sonra ikisinin de hayatta
olma olasılığı nedir.
P( AveA
1
2 )  P( A1 ).P( A2 )  0.60.(0.50)  0.30
20
• Bağdaşır olayda toplama kuralı:
• İki olay bağdaşır olduğunda A1 olayının veya A2 olayının
ortaya çıkması, ya A1 olayının ya A2 olayının ya da A1 ve A2
olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi anlamına gelir.
P( AveyaA
1
2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( AveA
1
2)
P(A1 U A2 )  P(A1 )  P(A2 )-P(A1  A2 )
• 52 lik bir desteden bir kız veya bir maça
çekme olasılığı nedir?
P(A1 U A2 )  P(A1 )  P(A2 )-P(A1  A2 )
4 13 1
P( A1veyaA2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1veA2 )   
52 52 52
21
• Bağdaşmaz olaylarda toplama kuralı:
• A1 ve A2 bağdaşmaz olaylar ise A1 veya A2
olayının ortaya çıkması olasılığı
P( AveyaA
1
2 )  P( A1 )  P( A2 )
• Bir zarın 2 veya 6 gelmesi olasılığı nedir?
1 1 2 1
P( A1veyaA2 )  P( A1 )  P( A2 )    
6 6 6 3
22
Örnek Uzayı ve Olay Sayısının
Büyük Olduğu Durumlar
Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu
durumlarda kullanılan sayma yöntemleri;
– Permütasyon
– Kombinasyon
23
Permütasyon
• Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri
sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı
sıralama yapılabilir?
n
n-1
n-2
............ 2
1
n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı:
n(n-1)(n-2)...(2)(1)=n!
nPn
= n!
24
• n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin
permütasyon sayısı
n Px …..olarak ifade edilir.
• Toplam n tane nesne arasından x tane nesne
seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek
sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır:
n!
n Px 
n  x  !
• Kullanıldığı durumlar
– İadesiz örnekleme
– Örneğe çıkış sırası önemli
25
Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk
üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir ?
8!
 8 * 7 * 6  336
8 P3 
(8  3)!
Örnek: 2,3,5,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı
rakamları birbirinden farklı kaç sayı oluşturulur?
6!
 6 * 5 * 4 * 3  360
6 P4 
(6  4)!
6 5
4
3 =360
26
Kombinasyon
• n adet nesne arasından seçilen x tanesinin
kombinasyon sayısı n C x ile gösterilir. Sıralama
önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak
ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır:
n
n!
C 
n  x ! x!
x
• Kullanıldığı durumlar;
– İadesiz örnekleme
– Örneğe çıkış sırası önemsiz
27
Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir
komisyon kaç farklı şekilde seçilir ?
5!
5 * 4 * 3* 2

 10
5 C3 
(5  3)!3!
2 * 3* 2
Örnek: 10 bay ve 5 bayan arasından 2 bay ve 1
bayan üye içeren bir kurul kaç farklı şekilde
oluşturulur?
10!
10 * 9

 45
10 C2 
(10  2)! 2!
2
5!
5
5 C1 
(5  1)!1!
( 10 bay arasından 2 bay )
( 5 bayan arasından 1 bayan )
Çarpım kuralı uygulanarak 45 * 5 =225 farklı şekilde
28
oluşturulur.
Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir
komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda
çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir?
5 işletme 0 iktisat, 4 işletme 1 iktisat, 3 işletme 2 iktisat
10
C5 8 C0 10 C4 8 C1 10 C3 8 C2 5292



 0,62
8568
18 C 5
18 C 5
18 C 5
Örnek: Ali ve Can isimli iki arkadaş zar atarak oyun oynuyorlar.
Oyuna Ali başlıyor. Zar 1 veya 2 gelirse oyunu kazanıyor. 3,4 veya 5
gelirse oyuna devam etme hakkını kazanıyor. 6 gelirse zar atma
sırası Can’a geçiyor. Ali’nin bu oyunu kazanma olasılığı bulunuz.
Ali’nin oyunu kazanma olasılığı p olsun,
• Ali 1 veya 2 atar oyunu kazanır, olasılık : 2 / 6
• 3,4 ve 5 atar oyuna tekrar devam eder ve sonra oyunu kazanır olasılık: (3/6)p
• İlk atışta 6 atar oyun cana geçer ve can oyunu kaybeder olasılık (1/6)(1-p)
p = 2/6 + (3/6)p + (1/6)(1-p)
→ p = 3/4
29
Ağaç Diyagramı
• Her birinin sonucunun
sonlu sayıda olduğu
birden fazla deneyin tüm
mümkün
sonuçlarını
görsel bir şekilde ortaya
koymak için kullanılır.
30
Örnek: Ali ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set
kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm
mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz.
A
Olası Durumlar;
C
A
AAA,CCC
C
A
A
ACACC,CACAA
ACCAA,CAACC
ACCAC,CAACA
A
C
C
A
C
A
A
A
D
E
T
A
C
2
0
AACCA,CCAAC
AACCC,CCAAA
C
C
C
ACAA,CACC
ACACA,CACAC
A
A
AACA,CCAC
ACCC,CAAA
A
C
A
C
C
A
A
C
C
A
C
A
C
A
A
C
C
31
C
Şartlı Olasılık
• Bağımlı olaylardan birinin (A1) gerçekleştiği bilindiğine
göre , diğerine (A2) bağlı meydana olasılığıdır.
P( A2 A1 )
• A2 nin A1 e bağlı şartlı olasılığı.
P( A2 A1 )  P( A1veA2 ) / P( A1 )
 P( A1  A2) / P( A1 )
• A1 in gerçekleşmiş
gerçekleşme olasılığıdır.
olması
şartıyla
A2nin
32
• Bir öğrencinin iktisat dersinde başarılı olma
olasılığı P(A1)=0.25. Aynı öğrencinin hem iktisat
hem Matematikte başarılı olma olasılığı P(A1 ve
A2)=0.15. Öğrencinin İktisatta başarılı olması
şartıyla Matematikte de başarılı olma olasılığı
nedir?
P( A2 A1 )  0.15 / 0.25
33
Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya,
% 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.
a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi
duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma
olasılığı nedir?
b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir?
T:Tiyatroya ilgi duyma
S:Sinemaya ilgi duyma
P ( T ) = 0,70
P( S ) = 0,35
a) P ( T / S ) = 0,40 P (T ∩ S ) =?
P(T  S)
P(T/S) 
P(S)
P(T  S)  P(T/S) * P(S)  0,40 * 0,35  0,14
b)
P(T U S)  P(T)  P(S) - P(T  S)
 0,70  0,35 - 0,14  0,91
34
Bayes Teoremi
• Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi
olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir.
• Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir
ilacın bozuk çıkması
halinde 1.fabrikadan
gelmesinin
olasılığı
araştırıldığında
Bayes
Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır.
P( A  B )
P( A / B ) P( B )
P( B / A) 

P( A)
 P( A / B ) P( B )
i
i
i
i
k
i 1
i
i
35
Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir.
1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2
katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4
oranında bozuk ilaç üretmektedir. Depodan rasgele
seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci
fabrikadan gelmiş olma olasılığı;
A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı
Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi (0.50)
P(A/B1 )P(B1 )
P(B1/A) 
P(A/B1 )P(B1 )  P(A/B 2 )P(B 2 )  P(A/B 3 )P(B 3 )
(0.02)(0.5 )
P(B1/A) 
 0,40
(0.02)(0.5 )  (0.02)(0.2 5)  (0.04)(0.2 5)
36
Kesikli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları
X, şans değişkeni ve x1,x2,..,xn bu tesadüfi değişkenin
alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin
herhangi bir x değerini alma olasılığı
Pr{X=x}
şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da
olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin
hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren
fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Bir dağılımın
kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için
1. P(x)  0 , tüm x değerleri için
2.  P ( x )  1
Tümx
şartlarını sağlaması gerekir.
37
Sürekli Şans Değişkenlerinin
Olasılık Fonksiyonları
•Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuna
sürekli olasılık fonksiyonu, olasılık yoğunluk
fonksiyonu, veya sadece yoğunluk fonksiyonu
denir.
• Sürekli bir şans değişkenin olasılık yoğunluk
fonksiyonu
f(x) ile gösterilir. Herhangi bir
fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi
için;
1) X’in tanım aralığı için f(xi) ≥ 0 ,
2) 
tüm x
f  x  dx  1
şartlarını sağlaması gereklidir.38
Kesikli Olasılık Dağılımları
•Bernoulli
•Binom
•Hipergeometrik
•Geometrik
•Negatif Binom (Paskal)
•Kesikli Uniform
•Poisson
39
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN
OLASILIK DAĞILIMLARI
• Bernoulli Dağılımı
• Binom Dağılımı
• Poisson Dağılımı
40
Bernoulli Dağılımı
• Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için
ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının
sağlanması gereklidir.
Bernoulli Deneyinin Varsayımları:
1. Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine
sahip olmalıdır.
2. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.
3. Başarı
olasılığı
(p),
deneyden
deneye
değişmemelidir.
(Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)
4. Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır.
41
Örnekler:
• Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı veya
sağlam olması,
• Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya
tura gelmesi,
• Hilesiz bir zar atıldığında zarın tek veya çift
gelmesi,
•Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan
bir tanesi başarı durumu diğeri ise başarısızlık
olarak ifade edilir. Bernoulli şans değişkeninin
dağılımı ifade edilirken deneyin sadece 1 kez
tekrarlanması gereklidir.
42
Bernoulli dağılışında x şans değişkeni başarı
durumu için 1, başarısızlık durumu için ise 0 değerini
alır.
• S = { x / 0,1 }
Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu;
 p x (1  p)1 x
P( X  x)  
0

m=E(x)=p
x  0,1
d .d
s2= Var ( x ) = p (1-p) = pq
43
Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as
olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı
olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu
oluşturunuz.
x = 0 (as gelmemesi) x = 1 ( as gelmesi)
S = { x / 0,1 }
P( X = 0 ) = 48 / 52
P( X = 1 ) = 4 / 52
 p x (1  p)1 x
P( X  x)  
0

 4  x  48 1 x
   
P( X  x)   52   52 

0

x  0,1
d .d
x  0,1
d .d
44
Binom Dağılımı
• Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir
araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir.
• Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli
deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir.
• Binom şans değişkeni x, n adet denemedeki başarı
sayısını ifade etmektedir.
• n denemede en az 0, en fazla n adet başarı
gözlenebileceğinden
S = { x / 0,1,2,……,n }
45
Binom Olasılık Fonksiyonunun Elde
Edilmesi
Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden
bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu
P(x)  p . q
x
1 x
x  0,1
olarak ifde edilmiş idi. Bernoulli deneyi n defa
tekrarlandığında toplam x adet başarı olmasının
olasılığı, x adet başarı olasılığı (p) ile
n - x adet başarısızlık olasılığının (q=1-p)
çarpımını içermelidir.
46
Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani
n
sıralama önemsiz ise    n C x farklı şekilde ortaya
 x
çıktığı için ;
 n  x
n x
 .p .(1  p)
P( X  x)   x 

0

x  0,1,2,...., n
d .d
olarak elde edilir.
47
Örnekler:
• Bir fabrikanın deposundan seçilen 10 üründen
2’sinin hatalı olması ,
• Bir madeni para 5 kez atıldığında hiç tura
gelmemesi üst yüze yazı veya tura gelmesi,
• Hilesiz bir zar 4 kez atıldığında zarın en çok 1
kez çift gelmesi,
48
Binom Dağılımının Karakteristikleri
Aritmetik Ortalama
m  E ( X )  np
P(X)
.6
.4
.2
.0
s  np(1  p)  npq
2
X
0
Varyans
n = 5 p = 0.1
P(X)
.6
.4
.2
.0
1
2
3
4
5
n = 5 p = 0.5
X
0
1
2
3
4
5
49
Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının
hatalı olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak
seçilen 5 üründen,
a)1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını,
p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5
a)P ( X = 1 ) = ?
 5
P( X  1)   .(0,06)1 .(0,94) 4  0,23
1 
50
b)En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını
hesaplayınız.
b)P ( X ≥ 4 ) = ?
• P ( X ≥ 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 )
5
 5
4
1
5
0




  .(0,06) .(0,94)   .(0,06) .(0,94)
 4
 5
51
Poisson Dağılımı
• Kesikli
Şans
dağılımlarından en
Dağılımıdır.
değişkenlerinin
önemlilerinden biri
• Günlük hayatta ve uygulamada
kullanım alanı bulunmaktadır.
çok
olasılık
Poisson
sayıda
• Ünlü Fransız matematikçisi Poisson tarafından
bulunmuştur.
• Belirli bir alan içerisinde rasgele dağılan veya
zaman içerisinde rasgele gözlenen olayların
olasılıklarının
hesaplanabilmesi
için
çok
52
kullanışlı bir modeldir.
Poisson Sürecinin Varsayımları
1. Belirlenen periyotta
olay sayısı sabittir.
meydana gelen ortalama
2. Herhangi bir zaman diliminde bir olayın
meydana gelmesi bir önceki zaman diliminde
meydana
gelen
olay
sayısından
bağımsızdır.(periyotların
kesişimi
olmadığı
varsayımı ile)
3. Mümkün olabilecek en küçük zaman
aralığında en fazla bir olay gerçekleşebilir.
4. Ortaya çıkan olay sayısı ile periyodun uzunluğu
53
doğru orantılıdır.
Örnekler
• Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana
gelen hırsızlık olayların sayısı,
• Bir telefon santraline 1 dk. içerisinde gelen
telefon çağrılarının sayısı,
• Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı,
• İstanbul’da 100 m2’ye düşen kişi sayısı,
• Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden
büyük olarak gerçekleşen deprem sayısı.
54
Poisson Dağılımının
Olasılık Fonksiyonu
: belirlenen periyotta ortaya çıkan olay sayısı
x
: ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı
S = { x / 0,1, 2, 3, ….., }
 e   x

P( X  x)   x!
 0

x  0,1,2,...
diger durumlarda
55
Poisson Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
Beklenen Değer
Varyans
E (x)  m  
Var (x)  
• Beklenen değeri ve varyansı birbirine eşit olan tek
dağılıştır.
56

n = 1000
400
Frekans
300
200
100
0
0
1
2

3
x
4
5
6
n= 1000
140
120
Frekans
100
80
60
40
20
0
3
6
9
12
15
18
21
x
57
Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada
ortalama 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü
bu mağazaya,
a) 5 dakika içinde 1 müşteri gelmesi olasılığını,
 e   x

P( X  x)   x!
 0

a)   4 P ( x = 1 ) = ?
x  0,1,2,...
diger durumlarda
4 1
e 4
4
P( X  1) 
 4e
1!
58
a) Yarım saate 2’den fazla müşteri gelmesi olasılığını,
• 5dk
4 müşteri
• 30dk.
• X=24
X
b) 5 dk’da 4 müşteri gelirse, 30 dk’da 24 müşteri gelir.
24 P ( x > 2 ) = ?
P( x > 2 ) = 1 – [P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)]
 e 24 240 e 24 241 e 24 242 
  1  313e 24
1  


1!
2! 
 0!
ÖDEV: 1 saatte en çok 1 müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız.
59