3. Poisson Dağılımı

1. Bernoulli Dağılımı
• Bernoulli dağılımı rassal bir deneyin sadece iyi- kötü, olumluolumsuz, başarılı-başarısız, kusurlu-kusursuz gibi sadece iki
sonucu varsa kullanılan bir dağılımdır. Bir deneyin sadece iki
sonucu varsa bu deneye Bernoulli deneyi adı verilir.
• Bernoulli deneyinde iki sonuç vardır. Deneyin sonuçlarından
biri uygun durum olup başarı olarak ifade edilir ve x=1 olarak
gösterilir. Diğer hal uygun olmayan durum olup başarısızlık
olarak adlandırılır ve x=0 ile gösterilir. Deneyin başarılı
sonuçlanma olasılığı p ile gösterildiğinde Bernoulli dağılımı
şöyle formüle edilir.
f ( x)  p x (1  p)1 x
x  0,1
• Bernoulli dağılımının tek bir parametresi p başarı olasılığıdır.
Bernoulli Dağılımının beklenen değer ve varyansı
• Bernoulli dağılımının beklenen değeri (aritmetik ortalaması)
f ( x)  p x (1  p)1 x
x  0,1
1
E ( X )   xpx (1  p)1 x  0  p 0  (1  p)1  1 p1  (1  p) 0
E( X )  p
x 0
• Bernoulli dağılımının varyansı
1
E ( X )   x 2 p x (1  p)1 x  0 2  p 0  (1  p)1  12  p1  (1  p) 0 E ( X 2 )  p
2
x 0
Var ( X )  E ( X 2 )  [( E ( X )]2  Var ( X )  p  p 2
Var ( X )  p(1  p)  pq
1. Bernoulli Dağılımı
Örnek: Bir sporcunun yaptığı müsabakada kazanma olasılığı
0,8 kaybetme olasılığı ise 0,2 olarak verilmiştir. Bu sporcu
için
• Olasılık fonksiyonunu yazınız,
• Sporcunun beklenen (ortalama) kazanma olasılığı ve
varyansını bulunuz.
• Çözüm a)
x0
0,2

f ( x)  0,8
x 1
0
diger

• b)
E ( X )  X  p  0,8
Var ( X )  p(1  p)  0,8  0,2  0,16
2. Binom Dağılımı
•
•
•
•
•
Olasılık dağılımları içersinde en yaygın kullanılan dağılımlardan
biridir. Bernoulli deneylerin tekrarlanabilirliğine dayanmaktadır.
Bir deney n kez tekrarlandığında belli bir olay x defa meydana
geliyorsa bu olayın olasılığı BİNOM dağılımı yardımı ile bulunur.
Binom dağılımı aşağıdaki varsayımlara dayanmaktadır.
1) Her deney birbirlerinin karşılıklı olarak engelleyen iki
mümkün halden sadece birinde meydana gelmektedir. Mümkün
hallerden biri uygun hal (x) diğeri uygun olmayan hal (n-x)
olarak ifade edilir.
2) Bir uygun halin olasılığı (p) her deneyde aynıdır. Uygun
olmayan halin olasılığı (q=1-p)
içinde aynı durum söz
konusudur.(seçim iadeli)
3) Deneyler bağımsızdır. Yani bir deneyde ister uygun ister
uygun olmayan hal meydana gelsin bu durum diğer deneydeki
uygun bir halin olasılığına etki etmez.
2. Binom Dağılımı
Binom dağılımının olasılık fonksiyonu
N deneyde uygun halin x defa meydana gelme olasılığı
n x
P( X  x)  f ( x)  b( x ; n ; p)    p (1  p) n x burada x  0,1,2,3,....n
 x
Binom dağılımı n (deney sayısı) ve p (uygun hal olasılığı) olmak üzere iki
parametreye dayanmaktadır.
Örnek: a) Bir para ile yapılan 5 atışta 2 yazı gelmesi olasılığı ne olur?
5
P( x  2)    0,52.0,53  10.0, 25.0,125  0,3125
 2
b) En az 2 yazı gelmesi olasılığı ne olur?
P( x  2) P( x  3)  P( x  4)  P( x  5)  1 - P(x  0)  P(x  1)
 5  0 5  5  1 4 
 1   f ( x  0)  f ( x  1)  1   .0,5 .0,5   .0,5 .0,5   1  0,1875  0,8125
1 
 0 

2. Binom Dağılımı
Örnek: Herhangi bir öğrencinin bir dersten geçme olasılığı
0,7 dir. Rasgele seçilen 10 öğrenciden
a) 4 ünün dersini geçmesi olasılığı
b) En az 3 ünün dersi geçmesi olasılığı
c) En fazla 8’inin dersten geçmesi olasılığı ne olur?
d) X: Başarılı öğrenci sayısı olmak üzere X in olasılıklarını
P(X=x)=f(x) bularak olasılık fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
10 
a) P( X  4)  f (4)   .0,7 4.0,36
4 
b) P( X  3)  P( X  3)  P( X  4)  P( X  5)  P( X  6)  P( X  7)  P( X  8)  P( X  9)  P( X  10)
2. Binom Dağılımı
10  9 1 10  10 0 
c) 1 - P(X  9)  P(X  10)  1   .0,7 .0,3   .0,9 .0,3   1  0,1875  0,8125
10 
 9 

10 

10 
10 
 1  P( X  0)  P( X  1)  ( P( X  2)  1   .0,70.0,310   .0,71.0,39   .0,7 2.0,38 
1 
2 
 0 

Olasılık
0
5,9E-06
1
0,000138
2
0,001447
3
0,009002
4
0,036757
5
0,102919
6
0,200121
7
0,266828
8
0,233474
9
0,121061
10
0,028248
Binom olasılık fonksiyonu
0,3
0,25
Olasılık
d)
Başarılı öğrenci say
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
Başarılı öğrenci sayısı
7
8
9
10
3. Poisson Dağılımı
4.
p  0 , n   ve n.p    sabit olduğu zaman binom dağılımı,
Poisson dağılımına yaklaşır. Bir olayın meydana gelme olasılığı
(p) sıfıra, dolayısıyla q=1-p ; 1’e yaklaşırsa (terside mümkün ) ve n
çok büyük olursa böyle olaylara nadir meydana gelen olaylar
denir. Poisson dağılımı nadir meydana gelen olayların dağılımı
olarak ta bilinir. Pratik olarak eğer bir olaydaki deney sayısı en az
50 (n>50) ve np<5 oluyorsa böyle olaylar nadir olaylar olarak
düşünülebilir.
Poisson olasılık fonksiyonu şöyle yazılır:
e  x
f ( x) 
x!
x  0,1,2,...., n
Dağılımın tek parametresi λ olup ortalamasıdır.
3. Poisson Dağılımı
• Poisson dağılımında X rassal değişkeni 0,1,2,...... gibi
negatif olmayan tam sayı değerler alır, Değişkenin
aldığı değerlerin olasılıkları toplamı olasılık fonksiyonu
olması sebebiyle 1’e eşittir.

x e - 
x 0
x!

 e 
Çünkü 1   
2
2!

x
x 0
x!


3
3!
 e -  e   1 olur.
 ..........  e  dir.
3. Poisson Dağılımı
λ=np olup dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri
E(X)=λ) ve dağılımın tek parametresidir. Poisson
dağılımının vayansı da λ ya eşittir. Var(x)= λ
Poisson dağılımı da Binom dağılımı gibi bağımsız
olaylarda kullanılır. Ancak kütle sınırsız olduğu
zaman olayların bağımsızlığına bakmaksızın bu
dağılımı kullanmak mümkündür.
Poisson
dağılımı
mamul
muayenesinde,
sigortacılıkta, matbaacılıkta,iş kazalarında, telefon
santrallerinde,
az
rastlanır
hastalıkların
olasılıklarının tahmininde kullanılır.
Poisson dağılımın beklenen değeri
• Poisson dağılımının beklenen değeri:
e   x
f ( x) 
x!
x  0,1,2,3....
e  x
e    x 1
E( X )   x
 x
x!
x( x  1)!
e  x 1
E( X )   
( x  1)!
e y
 y!
e  y
( x  1)  y dersek E ( X )   
y!
olasılık dağılımının toplamı olduğundan 1’eşittir.
E ( X )   olur.
Poisson dağılımının varyansı
Bunun için önce E(X2) hesaplanır.
 x
  x 1
  x 1
e

e

e

E( X 2 )   x2
  x
   ( x  1  1)
x!
( x  1)!
( x  1)!

x2
  x 1
e



e

E ( X 2 )    [( x  1)

]
( x  1)( x  2)! ( x  1)!
 x 2
e

2
E ( X )    [
 1]  E (X 2 )  2  
( x  2)!
• Varyans
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X ) 2 ]  2    2
Var ( X )   olur.
3. Poisson Dağılımı
Örnek: Bir fabrikada iş kazalarının dağılımının Poisson’a uygunluğu tespit
edilmiştir. Yıllık kişi başına düşen ortalama iş kazası 0,5 olarak
bulunmuştur. Tesadüfen seçilen bir kişinin;
a)
Hiç Kaza geçirmemesi,
b)
Bir kaza geçirmesi,
c)
En az bir kaza geçirmesi olasılıklarını bulunuz?
Çözüm:
  0,5
e    x
e 0,5  0,50
a ) f ( x;  )  P( X  0) 

 e 0,5  0,607
x!
0!
e 0,5  0,51
b) f(1;0,5)  P( X  1) 
 0,5.e 0,5  0,5.0,607  0,3035
1!
c) P(X  1)  1 - P(X  0)  1 - 0,607  0,393
Örnek: Bir fabrikada üretilen malların 0,03’ü kusurludur.Muayene için 25 birimlik bir
örnek çekildiğinde;
a)
4 kusurlu mal çıkması
b)
3 veya daha fazla kusurlu mal çıkması,
c)
En fazla 2 kusurlu mal çıkması olasılığı ne olur?
d)
Bu örnek için poisson olasılıklarını bulup grafikte gösteriniz.
Çözüm:
a )   n. p
  25.0,03  0,75
x 4
e    x
e 0, 75  0,754 0,316.0,472
f(x;  ) 
 f(4 : 0,75)  P( X  4) 

 0,006
x!
4!
4.3.2.1
b)   0,75
x3
e 0, 75  0,750 e 0,75  0,751 e 0, 75  0,752
f(X  3)  1 - (


)
0!
1!
2!
 1 - (0,472  0,75.0,472  0,28.0,472)
 1 - (0,472  0,3540  0,1321)
 1 - 0,9601  0,04
e 0, 75  0,750 e 0, 75  0,751 0,752.e 0, 75  0,752
c) f(X  2) 


0!
1!
2!
 0,9601
3. Poisson Dağılımı
Kusurlu
sayısı
Olasılık
f(x)
0
0,4723666
1
0,3542749
2
0,1328531
3
0,0332133
4
0,0062275
5
0,0009341
6
0,0001168
7
1,251E-05
8
1,173E-06
9
9,774E-08
10
7,33E-09
11
4,998E-10
12
3,124E-11
13
1,802E-12
14
9,654E-14
15
4,827E-15
Poisson Dağılımı Örnek
• Örnek: Bir üretim hattında 100 parça seçilip test edilmesi
halinde en az 1 kusurlu mamulle karşılaşma olasılığı %70
olduğu biliniyor. Bu üretim hattında beklenen kusurlu parça
sayısı ve kusurlu oranını hesaplayınız.
• Çözüm: P(X  1)  0,7  P( X  0)  0,3 olur.
• Olay Poisson dağılımına uyum gösterir. Buna göre
•
e-λ  λ 0
P(X  0)  0,3 
 0,3 olup e   0,3
0!
logaritmaları alınırsa;
• ln(e - )  ln( 0,3)    1,2
• λ=1,2 bulunur. Buna göre;
λ  n  p idi  1,2  100  p  p 
ifadesinin her iki tarafının
olup ortalama kusurlu sayısı
1,2
100
• Hattın kusurlu oranı p=0,012 olur.