İSTATİSTİK VE OLASILIK I

İTİCÜ
Mühendislik ve Tasarım
Fakültesi
Endüstri Mühendisliği
Bölümü
İSTATİSTİK VE OLASILIK I
6. Hafta: Kesikli Olasılık Dağılımları
Öğr. Gör. Dr. Berk Ayvaz
2013
Kesikli Olasılık Dağılım Türleri
Kesikli Olasılık
Dağılımları
Binom Dağılımı
Poisson
Dağılımı
Hipergeometrik
Dağılım
1- Binom Dağılımı








Bir X olayının meydana gelmesinde iki durum söz konusu olduğu
zamanlarda bu olayın binom dağılımı gösterdiği söylenir.
Başarılı-başarısız, yazı-tura, kız-erkek vs. iki sonuçlu olaylar binom
dağılımına uyarlar.
Binom dağılımında başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı ise
q=1-p ‘dir.
Gerçekte başarı denilen kavram, üzerinde durulan olayın meydana
gelmesi, başarısızlık ise gelmemesi durumudur.
Mesela, bir para atıldığında yazı gelme olasılığı üzerinde duruyorsak yazı
gelme olasılığı p, gelmeme olasılığı ise 1-p=q olarak gösterilir.
Bu dağılım Bernoulli dağılımı diye tanınır.
Üzerinde durulan olayın n denemede x defa meydana gelme olasılığının
oluşturduğu dağılıma Binom dağılımı denir.
Binom dağılımının olasılık fonksiyonu şu şekildedir.
𝐏 𝐱 =
𝐧!
. 𝐩𝐱 . 𝐪𝐧−𝐱
𝐱!(𝐧−𝐱)!
1- Binom Dağılımı
𝐏 𝐱 =

𝐧!
. 𝐩𝐱 . 𝐪𝐧−𝐱
𝐱!(𝐧−𝐱)!
X değerleri 0, 1, 2,….. gibi kesikli değerler alabileceğinden ve sadece
bu değerler için nokta olasılıkları hesaplanabileceğinden binom
dağılımı kesikli bir dağılımdır.
Örnek 1

Bir sigortacı sigorta poliçesi satmak için farklı firmalarla görüşmeler
yapmaktadır. Satış yapma olasılığı 0,4 olduğunu düşünelim. Bu kişinin 5
farklı firma ile görüştüğü bilinmektedir. Bu görüşmelerden 2 tanesinin
başarılı geçme olasılığı nedir?
Çözüm 1
𝐏 𝐱 =
𝐧!
. 𝐩𝐱 . 𝐪𝐧−𝐱
𝐱!(𝐧−𝐱)!
𝐏 𝟐 =
𝟓!
. 𝟎, 𝟒𝟐 . 𝟎, 𝟔𝟑
𝟐!(𝟑)!
Binom Dağılımının Özellikleri

Binom dağılımının parametresi p’dir.
Ortalama = n.p
Varyans = n.p.q= n.p.(1-p)

Standart sapma = n.p.(1−p)


Örnek 2
1.
Bir proseste üretilen ürünlerin %15’inin kusurlu olduğu biliniyor.
Bu prosesten şansa bağlı olarak alınan 3 birimlik bir ürün
örneğinde;
a)
2 ürünün kusurlu olma olasılığı nedir?
b) En az 2 ürünün kusurlu olma olasılığı nedir?
Çözüm 2
𝐏 𝐱 =
𝐧!
. 𝐩𝐱 . 𝐪𝐧−𝐱
𝐱!(𝐧−𝐱)!
a) 𝐏 𝟐 =
𝟑!
. 𝟎, 𝟏𝟓𝟐 . 𝟎, 𝟖𝟓𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟕𝟒
𝟐!(𝟏)!
b) 𝐏 𝒙 ≥ 𝟐 = 𝐏 𝟐 + 𝐏 𝟑 =
𝟑!
𝟑!
. 𝟎, 𝟏𝟓𝟐 . 𝟎, 𝟖𝟓𝟏 +
. 𝟎, 𝟏𝟓𝟑 . 𝟎, 𝟖𝟓𝟎
𝟑!(𝟎)!
𝟐!(𝟏)!
= 𝟎, 𝟎𝟓𝟕𝟒 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟎𝟖
Örnek 3


Bir toplantıya katılan 20 katılımcıya akşam yemeği çağrıları
gönderilmiştir. Davet edilen her katılımcı için daveti kabul olasılığı 0,9
‘dur.
Bu daveti en çok 17 kişinin kabul etme olasılığı nedir?
Çözüm 3


Rassal değişken X daveti kabul sayısını göstersin.
O zaman X= 17 , n= 20 , ve p=0,9 olan bir binom dağılımına uyar.
𝐏 𝑿 ≤ 𝟏𝟕 = 𝐏 𝟏 + 𝐏 𝟐 + ⋯ + 𝐏 𝟏𝟕 = 𝟏 − [𝐏 𝐗 = 𝟏𝟖 + 𝐏 𝐗 = 𝟏𝟗 + 𝐏 𝐗 = 𝟐𝟎 ]
𝐏 𝑿 ≤ 𝟏𝟕 = 𝟏 − 𝐏 𝐗 = 𝟏𝟖 + 𝐏 𝐗 = 𝟏𝟗 + 𝐏 𝐗 = 𝟐𝟎
𝟐𝟎!
𝟐𝟎!
𝟐𝟎!
= 𝟏 − [ 𝟏𝟖!(𝟐)! . 𝟎, 𝟗𝟏𝟖 . 𝟎, 𝟏𝟐 + 𝟏𝟗!(𝟏)! . 𝟎, 𝟗𝟏𝟗 . 𝟎, 𝟏𝟏 + 𝟐𝟎!(𝟎)! . 𝟎, 𝟗𝟐𝟎 . 𝟎, 𝟏𝟎 ]
= 𝟏 − (𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟕𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟏𝟐𝟏𝟔) = 𝟎, 𝟑𝟐𝟑
Örnek 4

Cıvata üretimini yapan bir firmada kalite kontrol mühendisi
üretilen ürünlerin kalitesini denetlemektedir. 20 adetlik cıvata
kutusunda 5 adet civatanın kusurlu olduğu bilinmektedir. Bu
kutudan 4 adet cıvata çekildiğinde;
a)
Bir civatanın kusurlu olma olasılığı nedir?
b) En az bir civatanın kusurlu olma olasılığı nedir?
Çözüm 4
𝐧!
𝐱!(𝐧−𝐱)!
. 𝐩𝐱 . 𝐪𝐧−𝐱

𝐏 𝐱 =

P= 5/20= 0,25
a)
𝐏 𝐱=𝟏 =
b)
P(X≥ 𝟏) = 𝐏 𝐗 = 𝟏 + 𝐏 𝐗 = 𝟐 + 𝐏 𝐗 = 𝟑 + 𝐏 𝐗 = 𝟒 = 1 - 𝐏 𝐗 = 𝟎
𝟒!
𝟏!(𝟒−𝟏)!
𝟐𝟕
. 𝟎, 𝟐𝟓𝟏 . 𝟎, 𝟕𝟓𝟑 = 𝟔𝟒
𝟒!
𝟏𝟕𝟓
= 𝟏 − 𝐏 𝐱 = 𝟎 = 𝟏 − [ 𝟎!(𝟒−𝟎)! . 𝟎, 𝟐𝟓𝟎 . 𝟎, 𝟕𝟓𝟒 ] = 𝟐𝟓𝟔
Örnek 5
Yeni geliştirilen bir füze, hedefin 50 m yakınına
düştüğünde hedefi imha etmektedir. Füzenin
hedefi imha etme olasılığı 0.40’tır. Prototip
olarak üretilen 5 tane füze yapay bir hedefe
atılıyor. Buna göre, hedefe atılan
a) 5 füzeden 1 tanesinin hedefi imha etme
olasılığını bulunuz.
b) 5 füzeden en az 4 tanesinin hedefi imha etme
olasılığını bulunuz.
Çözüm 5
Bu örnekte,
p: Hedefin imha edilme sayısı p olarak tanımlanırsa, n=5 ve p=0.40 olduğu
görülür.
Poisson Dağılımı



Poisson dağılımı, olasılık ve istatistik teorisinde yaygın olarak kullanılan kesikli bir dağılımdır.
Bir olayın, belirlenen bir zaman ya da uzay (uzunluk, alan, hacim gibi) aralığında
gerçekleşme sayısını modellemek için kullanılır.
İlgilenilen aralık uzunluğu, bir “birim” olarak ifade edilirse zamanla ilgili aralıklar “birim zaman”,
uzayla ilgili aralıklar ise “birim uzay” olarak ifade edilir.




Birim zamana örnek olarak; Bir hafta, altı ay, bir yıl
Birim uzaya örnek olarak; Bir metre (uzunluk), bir dönüm (alan), 1/2 metre küp (hacim) v.b. verilebilir.
Aşağıda, Poisson dağılımı kullanılarak modelleme yapılabilecek bazı olaylara örnekler verilmiştir.
• Dünyaya, bir haftada (birim zaman) düşen göktaşı sayısı.
• Bir kavşakta, altı ayda (birim zaman) meydana gelen trafik kazası sayısı.
• Bir maden ocağında, bir yılda (birim zaman) meydana gelen ve yaralanmayla
sonuçlanan kaza sayısı.
• Bir metre (birim uzunluk) uzunluğunda, bir çelik halattaki üretimden kaynaklanan
hata sayısı.
• 2 dönüm (birim alan) büyüklüğünde bir domates serasındaki hastalıklı fide
sayısı.
• 1/2 metreküp (birim hacim) büyüklüğünde bir akvaryumdaki hasta Japon
balığı sayısı.
Örneklerden de anlaşılabileceği üzere, Poisson dağılımı nadir (seyrek) gerçekleşen olayların
modellenmesinde kullanılan bir dağılımdır.
Poisson Dağılımı




Binom dağılımı gibi kesikli bir olasılık dağılımıdır.
Bu dağılımda üzerinde durulan olayın meydana gelme ihtimali çok
düşüktür.
N ‘nin büyümesi, p’nin de küçülmesi halinde binom dağılımı yerine
poisson dağılımı kullanılır.
Daha net bir ifade ile n.p < 𝟓 olduğunda binom dağılımı poisson
dağılımına dönüştürülür.
𝐞−𝛌 . 𝛌𝐱
𝐏 𝐱 =
𝐱!




Burada 𝝀 = poisson dağılımının ortalamasıdır.
Bu dağılımın varyansı da 𝝀’ya eşittir.
Poisson dağılımının ortalaması 𝝀 = n.p ile
hesaplanır.
Poisson dağılımındaki e indisi yaklaşık olarak
2,71828 ‘e eşittir. e= 2,71828
𝝀 = 0’dan t’ye kadar
olan zaman diliminde
bir olayın ortalama
gerçekleşme sayısıdır.
Ortalama (𝜇) = λ
Varyans (𝜎 2 ) = λ
Standart sapma (𝜎)= λ
Örnek 6
Bir çağrı merkezinde her bir dakikada 4 çağrı alındığını düşünelim.
a)
2 dakikalık bir zaman aralığında 6 adet çağrı gelme olasılığı
nedir?
b) 3 dakika içinde en az 3 çağrı gelme olasılığını bulunuz.
Çözüm 6
a)
2 dakikalık bir zaman diliminde beklenen çağrı sayısı 𝛌=8 ‘dir. X
verilen sürede kabul edilen çağrı sayısı ise;
P x=6 =
b)
e−λ .λx
x!
=
e−8 .86
= 0,122138
6!
Süre 3 dakika olduğunda beklenen çağrı sayısı λ=12 ‘dir. X verilen
sürede kabul edilen çağrı sayısı ise;
P x ≥3 = 1− P 0 +P 1 +P 2
e−12 .120
=1−(
0!
+
e−12 .121 e−12 .122
+
1!
2!
)= 0,999478
Örnek 7


Bir araştırmaya göre İngiltere’de 2000 çalışanı olan bir fabrikada
bir yıl içinde yapılan grevlerin sayısı, ortalaması 𝛌 = 0.4 olan
poisson dağılımına uymaktadır.
Bu durumda bir yılda en çok 1 grev olma olasılığını bulunuz.
Çözüm 7
P(X≤ 𝟏) = 𝐏 𝐗 = 𝟏 + 𝐏 𝐗 = 𝟎
P x=0 =
e−λ .λx
x!
P x=1 =
e−λ .λx
x!
=
e−0,4 .0,40
= 0,6703
0!
=
e−0,4 .0,41
= 0,2681
1!
P(X≤ 𝟏) = 𝟎, 𝟔𝟕𝟎𝟑 + 𝟎, 𝟐𝟔𝟖𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟖𝟒
Örnek 8

Bir otomobil galerisine ayda ortalama 150 müşteri gelmektedir.
Herhangi bir günde dükkanını açmayan galeri sahibi % kaç
ihtimalle en az 3 müşteriyi kaçırmıştır?
Çözüm 8


Aylık λ değeri 150 olduğuna göre günlük λ=5 ‘tir.
3 veya daha fazla müşteriyi kaçırma olasılığı hesaplamak için;
𝐞−𝛌 . 𝛌𝐱
𝐏 𝐱 =
𝐱!
𝑃 𝑥 ≥ 3 = P(3)+P(4)+….+P(150)= 1- [P(0)+P(1)+P(2)]
P x≥3 =1−
e−5 .λ0
0!
+
e−5 .λ1
1!
+
e−5 .λ2
2!
=0,8754
Örnek 9
Çözüm 9
Binom Dağılımının Poisson Yakınsaması



Herbirinde başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede başarıların
sayısı X olsun. Başarı sayısı X’in dağılımı, np ortalama ile
binomdur.
Ancak deneme sayısı n büyük ve np orta büyüklükte (tercihen np≥ 𝟕)
iken bu dağılım, ortalaması λ=np olan poisson dağılımına yakınsar.
Bu durumda yakınsayan dağılımın olasılık fonksiyonu şu şekilde
bulunur:
𝐏 𝐱 =
𝐞−𝐧𝐩 .(𝐧𝐩) 𝐱
𝐱!
Örnek 10
Bir analist bütün küçük şirketlerin %3.5 ‘inin gelecek yıl işas
edeceğini tahmin etmektedir. Bu tahminin doğru olduğu
varsayımıyla 100 küçük şirketten oluşan rassal bir örneklemde
gelecek yıl en az 3 işas olması olasılığını tahmin ediniz.
Çözüm 10


İşas sayısı X’in dağılımı n=100 ve p=0,035 ile binomdur. Dağılımın
ortalaması:
μx = np = 100. 0,035 = 3,5
Binom dağılımını yakınsamak için ortalaması 𝜆= 3,5 olan Poisson dağılımını
kullanacağız. Bu durumda işas sayısı X’in olasılık fonksiyonu şöyle
yakınsayabilir.
𝑃 𝑥 ≥ 3 = 1- [P(0)+P(1)+P(2)]
𝐏 𝐱 =
𝐞−𝐧𝐩 .(𝐧𝐩)𝐱 𝐞−𝟑.𝟓 .(𝟑.𝟓)𝟎
=
𝐱!
𝟎!
= 0.0302
𝐏 𝐱 =
𝐞−𝐧𝐩 .(𝐧𝐩)𝐱 𝐞−𝟑.𝟓 .(𝟑.𝟓)𝟏
=
𝐱!
𝟏!
= 0.1057
𝐏 𝐱 =
𝐞−𝐧𝐩 .(𝐧𝐩)𝐱 𝐞−𝟑.𝟓 .(𝟑.𝟓)𝟐
=
𝐱!
𝟐!
= 0.1850
𝑷 𝒙 ≥ 𝟑 = 1- [P(0)+P(1)+P(2)]= 1-(0.032+0.1057+0.1850)= 0,679
Hipergeometrik Dağılım








Binom dağılımı ve hipergeometrik dağılım aynı tür olaylara uygulanır.
Fark örneklemenin şeklinde ortaya çıkar.
Binom dağılımında sınırsız anakütleden iadesiz çekilişler veya sınırlı
anakütleden iadeli çekilişler söz konusudur.
Bu yüzden binomdaki p değeri çekilişten çekilişe değişim göstermez.
Hipergeometrik denemede ise sınırlı anakütleden iadesiz çekilişler söz
konusudur.
Bir başka ifade ile binom olaylarında çekilişler birbirlerinden bağımsız
iken hipergeometrik olaylarda bir sonraki çekiliş bir öncekine bağımlıdır.
İstatistiki kalite kontrol çalışmalarında en elverişli olasılık dağılımı
hipergeometrik dağılımdır.
Hipergeometrik dağılım formülü yardımıyla bir X olayının olasılığı;
𝐏 𝐗 = 𝐱\n, 𝐍, 𝐀 =
𝑨 𝑵−𝑨
.
𝒙 𝒏−𝒙
𝑵
𝒏
n: örnekteki birim sayısı
N: anakütledeki birim sayısı
x: Örnekte üzerinde durulan birim sayısı
A: anakütlede üzerinde durulan birim sayısı
Hibir şekilde x değeri A’dan büyük olamaz.
Hipergeometrik Dağılımın Özellikleri
A
N

Dağılımın parametresi: p=

Ortalama: np

Varyans: np.(1-p).

Standart Sapma: np.(1−p).
N−n
N−1
N−n
N−1
Örnek 11
2 istatistik, 3 bilgisyar ve 4 yöneylem hocasından 3 kişilik sayısal
yöntemeler bilim jürisi seçilecektir. Jüride en az 1 istatistik hocası
bulunma ihtimalini hesaplayınız.
Çözüm 11
Jüriye girebilecek toplam hoca sayısı: N=9
Jüride yalnız 3 hoca olabileceği için n=3
İstatistik hocasının jüride bulunma ihtimali araştırıldığı için A=2
Buna göre 2 istatistik hocasından 1 veya 2 ‘sinin jüride bulunma ihtimali ;
𝑃 𝑥 ≥ 1 = [P(1)+P(2)]
𝐏
𝑥≥1
=
𝑨 𝑵−𝑨
𝟐 𝟗−𝟐
𝟐 𝟗−𝟐
.
.
.
𝒙 𝒏−𝒙
𝟏 𝟑−𝟏
𝟐 𝟑−𝟐
=
+
𝟗
𝟗
𝑵
𝟑
𝟑
𝒏
𝟕
=𝟒𝟐
+
= 𝟎, 𝟓𝟖𝟑𝟑
𝟖𝟒
𝟖𝟒
Örnek 12

Not ortalaması 85’in üzerinde olan 4 iktisat ve 7 işletme bölümü
öğrencisinden 3 kişilik bir temsilci grubu oluşturulacaktır. Grupta en fazla
bir iktisatçı bulunması ihtimali nedir?
Çözüm 12
ÇÖZÜM:
N=11
n=3
A=4
P(x≤1)= [ P(1) + P(2) ]
P
x≥1
=
A N−A
4 11−4
4 11−4
.
.
.
x n−x
0 3−0
1 3−1
=
+
11
11
N
3
3
n
119
=165
= 0,7212