OLASILIK TEORİSİ: Temel Kavramlar, Teoremler ve Örnek
advertisement
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ ...................................................................................................................................... 4
1.................................................................................................................................................. 5
OLASILIK TEORİSİ: Temel Kavramlar, Teoremler ve Örnek Uygulamalar .......................... 5
I - Temel Kavramlar ............................................................................................................... 5
a)
Olasılık..................................................................................................................... 5
b)
Olay ......................................................................................................................... 5
c)
Deneme .................................................................................................................... 6
d)
Örneklem Uzayı ....................................................................................................... 6
e)
Bağdaşmayan Olaylar (Karşılıklı Birbirini Dışlayan Olaylar) ................................ 7
II – Olasılık Teorisinde Alternatif Yaklaşımlar ..................................................................... 8
a)
Klasik Yaklaşım ...................................................................................................... 8
b)
Göreceli Sıklık Oranı Yaklaşımı ............................................................................. 9
c)
Sübjektif (Öznel) Yaklaşım ..................................................................................... 9
III – Olasılık Kuralları .......................................................................................................... 10
a)
Tekil (Koşulsuz) Olasılık veya Kenar Olasılık...................................................... 10
b)
Toplamlar Kuralı ................................................................................................... 10
IV – İstatistik Bakımından Olayların Sınıflandırılması ....................................................... 13
a)
İstatistik Bakımından Bağımsız Olaylar ................................................................ 13
b)
İstatistik Bakımından Bağımsız Olmayan Olaylar ................................................ 13
V – Olasılıkların Sınıflandırılması ....................................................................................... 14
a)
Kenar Olasılık (Koşulsuz Olasılık)........................................................................ 14
b)
Birleşik Olasılık ..................................................................................................... 14
c)
Koşullu Olasılık ..................................................................................................... 14
VI – Bağımsız Olaylar Bağlamında Olasılıkların Hesaplanması ......................................... 14
a)
Kenar Olasılık ........................................................................................................ 14
b)
Birleşik Olasılık ..................................................................................................... 14
c)
Koşullu Olasılık ..................................................................................................... 15
VII – Bağımsız Olmayan Olaylar Bağlamında Olasılıkların Hesaplanması ........................ 15
a)
Kenar Olasılık ........................................................................................................ 15
b)
Birleşik Olasılık ..................................................................................................... 15
c)
Koşullu Olasılık ..................................................................................................... 15
1
VIII – Bayes Teoremi ........................................................................................................... 16
IX – Olasılık Dağılımları...................................................................................................... 20
a)
Rastgele Değişkenler ............................................................................................. 20
b)
Kesikli Rastgele Değişkenler: ............................................................................... 20
c)
Sürekli Rastgele Değişkenler: ............................................................................... 20
d)
Rastgele Değişkenlerin Olasılık Dağılımları ......................................................... 20
e)
BİNOM Olasılık Dağılımı: .................................................................................... 23
f)
Normal Olasılık Dağılımı: ......................................................................................... 28
2................................................................................................................................................ 33
Tahminleme: ............................................................................................................................ 33
Tahminleme Uygulamasında Temel Aşamalar .................................................................... 35
HKO’YA İlişkin Özet Bilgi ................................................................................................. 35
Satış Paternlerine Göre Ürün Tipleri:................................................................................... 36
A) Mevsimsel Olmayan Ürünlerin Satış Paternleri ......................................................... 36
B) Mevsimsel Ürünlerin Satış Paternleri ......................................................................... 39
H.K.O.’nun Hesaplanması Yönteminin Unsurları ............................................................... 43
Mevsimsel Olmayan Sabit Miktarlı Ürünler İçin Tahminleme Modelleri ........................... 43
1.
Naif (Deneyimsiz) Model ...................................................................................... 43
2.
Hareketli Ortalamalar (H.O.) ................................................................................. 46
3.
Basit Eksponensiyal Düzeltme Modeli.................................................................. 48
Mevsimsel Olmayan ve Doğrusal Trende Sahip Ürünler İçin Tahminleme Modelleri ....... 51
1.
Naif (Deneyimsiz) Model ...................................................................................... 51
2.
Zaman Serili Regresyon Modeli ............................................................................ 51
Modelin Uygulanmasında Önemli Unsurlar ........................................................................ 52
3.
Doğrusal Trendi Düzeltme Modeli ........................................................................ 53
Modelin Uygulanmasında 3 Önemli Aşama ........................................................................ 54
3................................................................................................................................................ 56
Belirsizlik ve Risk Altında Karar Verme: ................................................................................ 56
Karar Vermede Temel Aşamalar.......................................................................................... 56
Doğa Durumları Nedir? ................................................................................................... 56
Fayda Matriksi (Tablosu) ................................................................................................. 56
Alternatif Karar Verme Ortamları ........................................................................................ 57
2
Belirsizlik Ortamında Kullanılabilecek Stratejiler ............................................................... 57
Risk Ortamında Kullanılabilecek Stratejiler ........................................................................ 57
Belirsizlik Ortamına İlişkin Stratejilerin Uygulanması ................................................... 57
1.
Maksi – Maks ........................................................................................................ 59
2.
Maksi – Min........................................................................................................... 59
3.
Gerçekçilik............................................................................................................. 59
4.
Maksi – Maks Pişmanlık ....................................................................................... 60
Risk Ortamında Kullanılabilecek Stratejilerin Uygulamaları .............................................. 62
Aşama 1.
Beklenilen Değer Stratejisi ......................................................................... 62
Aşama 2.
Rasyonalite Stratejisi .................................................................................. 62
Aşama 3.
Maksimum Olasılık Stratejisi ..................................................................... 62
ÖDEVLER ............................................................................................................................... 67
ÖDEV 1 ................................................................................................................................ 67
ÖDEV 2 ................................................................................................................................ 68
ÖDEV 3 ................................................................................................................................ 69
ÖDEV 4 ................................................................................................................................ 71
ÖDEV 5 ................................................................................................................................ 72
ÖDEV 6 ................................................................................................................................ 73
ÖDEV 7 ................................................................................................................................ 74
ÖDEV 8 ................................................................................................................................ 75
ÖDEV 9 ................................................................................................................................ 76
KAYNAKÇA ........................................................................................................................... 77
3
ÖNSÖZ
Elinizde bulunan kitapçığı 2012 yılında 4-5 aylık bir çalışma sonucunda Doğu Akdeniz
Üniversitesi Türkçe İşletme Bölümünde verilen YÖNT 322 kodlu SAYISAL YÖNTEMLER
dersinin ana ders materyali olmak üzere hazırlamış bulunmaktayım. Bu dersin içerdiği
konular ve bu konuların işlenmesine yönelik verilen örneklerin çoğu özellikle Türkiye ve
Kuzey Kıbrıs bağlamında reel, hizmetler ve finans sektörlerine yönelik olarak geliştirilmiştir.
Bu ders notlarının bilgisayarda yazılıp şu anki haline dönüşmesinde özveriyle çalışmış olan
Finans Bölümü doktora öğrencisi ve İşletme ve Ekonomi Fakültesi Dekanlığı Araştırma
Görevlisi Alex Zabolotnov’a hem şahsım adına, hem de bu materyallerden faydalanacak tüm
öğrencilerim adına teşekkür etmek isterim.
Prof. Dr. Serhan Çiftçioğlu
4
1
OLASILIK TEORİSİ:
TEMEL KAVRAMLAR, TEOREMLER VE ÖRNEK UYGULAMALAR
I - Temel Kavramlar
a) Olasılık
Olasılık kısaca bir şeyin gerçekleşme ihtimali veya şansıdır. Olasılık ya “oran” ya da
“yüzdelik” olarak ifade edilebilir. Örneğin H olayının gerçekleşme olasılığı (ki sembolik
P(H) olarak ifade edilir) aşağıda belirtildiği gibi iki farklı şekilde ifade edilebilir.
P(H) = 0.9 veya P (H)
Olasılıkla ilgili bir diğer önemli gerçek ise hiç bir şeyin gerçekleşme olasılığı 0’dan az ve
1’den büyük olamaz. Bir başka deyişle herhangi bir şeyin (örneğin olay A’nın) gerçekleşme
olasılığı kesinlikle aşağıda belirtilen sayısal aralık sınırları içerisinde yer alır:
→ 0
P(A)
1
1 = 100%
0 = 0%
b) Olay
İstatistiksel anlamda “olay” olacak bir şeyin veya aktivitenin olası tüm sonuçlarından sadece
bir veya birden fazlası anlamına gelecek şekilde tanımlanır.
Örnek:
2018 yılında Türkiye ekonomisindeki tüm gelişmeler.
Yukarıda sözü edilen AKTİVİTE’nin 2018 yılında ortaya çıkarabileceği olası enflasyon
oranlarına ilişkin olarak bir finansal analist (veya işletmeci veya ekonomist) aşağıda
belirtilmiş olan A, B ve C olaylarını tanımlayabilir.
Olaylar:
A: 2018 yılında enflasyon oranını 10% olması
B: 2018 yılında enflasyon oranının 8%’den az olması
C: 2018 yılında enflasyon oranının 5% ile 7% aralığında olması.
5
c) Deneme
Yukarıda sözü edilen OLAY’lara yok açan aktiviteye istatistikte kısaca DENEME denir. Her
türlü fiziki, biyolojik, ekonomik, mekanik, politik, sportif ve benzeri aktivite deneme olarak
tanımlanabilir.
Örnek:
1: Bir metalik parayı iki kez (rastgele bir şekilde) havaya atmak.
2: İstanbul borsasında haftaya Salı günü gerçekleşecek olan her türlü hisse senedi alım ve
satımı.
3: Bu derse kayıtlı bir öğrencinin sömestr sonunda final sınavını alması.
d) Örneklem Uzayı
Bir denemenin ÖRNEKLEM UZAYI o denemenin tüm olası sonuçlarını içeren listedir.
İstatistikte örneklem uzayı “S” ile sembolize edilir.
Örnek 1:
Deneme: Metalik bir paranın rastgele bir şekilde iki kez havaya atılması.
S : {YY, TT, YT, TY}
Y : Yazı gelmesi
T : Tura gelmesi
Örnek 2:
Deneme: Bir zarın tesadüfî bir şekilde havaya atılması.
S : {1,2,3,4,5,6}
Bu deneye ilişkin olarak birisi aşağıdaki OLAY’ları tanımlayabilir.
Olaylar:
A: Çift sayı gelmesi.
B: Tek sayı gelmesi
C: 5 gelmesi
Not: A ve B olayları birden fazla olası sonucun herhangi birinin gelmesi sonucunda
gerçekleşebilecekken, C olayı sadece bir olası sonucun yani 5’in gelmesi sonucunda
gerçekleşebilir.
6
e) Bağdaşmayan Olaylar (Karşılıklı Birbirini Dışlayan Olaylar)
Bir deney sonucunda hepsinin birden gerçekleşmesinin olası olmadığı olayları anlatır. Bir
başka deyişle ilgili deney sonucunda bir defada ancak söz konusu ‘olaylar grubunun’
arasından ancak tek bir tanesinin gerçekleşebileceği durumda bu olaylar grubuna Karşılıklı
Birbirini Dışlayan Olaylar” veya “Bağdaşmayan Olaylar” denir.
Örnek 1:
Deney: Bir metalik paranın tesadüfî bir şekilde iki kez havaya atılması.
S : {YY, TT, YT, TY}
Olaylar:
X : Her iki kez YAZI gelmesi.
Y : Ya iki kez YAZI gelmesi yada iki kez TURA gelmesi
Z : Bir kez YAZI, bir kez de TURA gelmesi
M : En azından bir kez YAZI gelmesi
Z ve M olayları BAĞDAŞAN olaylardır. Yani her ikisinin deneme sonucunda hep beraber
gerçekleşmesi olasıdır. Ancak X ve Z BAĞDAŞMAYAN olaylardır. Aynı şekilde Y ve Z de
BAĞDAŞMAYAN olaylardır.
Örnek 2:
Deney: Sınıftan rastgele bir öğrencinin seçilmesi.
Olaylar:
A : Seçilen öğrenci 21 yaşındadır
B : Seçilen öğrenci ERKEK’tir
C : Seçilen öğrenci KIZ’dır
D : Seçilen öğrenci 22 yaşındadır
A ve B olayları BAĞDAŞAN olaylardır çünkü bu deneme sonucunda her ikisinin de
beraberce gerçekleşmesi olasıdır. Yani seçilen öğrenci hem “21 yaşında” hem de “Erkek”
olabilir.
A ve D olayları ise BAĞDAŞMAYAN olaylardır. Çünkü her ikisi bu deneme sonucunda
beraber gerçekleşemez. Yani seçilen öğrenci hem 21 yaşında hem de 22 yaşında olamaz.
A ve C olayları da (A ve B gibi) BAĞDAŞAN olaylardır.
7
B ve C ise BAĞDAŞMAYAN olaylardır. Çünkü seçilen öğrenci hem kız hem de erkek
olamaz.
II – Olasılık Teorisinde Alternatif Yaklaşımlar
İster işletmeci, ister ekonomist, ister fizikçi veya mühendis olun herhangi bir OLAY’ın
gerçekleşme olasılığını nasıl tahmin edebilir veya hesaplayabilirsiniz? Örneğin aşağıdaki
“olasılıkla” ilgili sorulara ilgili bireyler veya kurumlar hangi yöntemlerle cevap arayabilirler?
Gerçek hayattan OLASILIK soruları:
Soru 1 : Haftaya salı günü borsada Sabancı Holding’in hisselerinin değerinin artma olasılığı
nedir?
Soru 2 : Kuzey Kıbrıs’ta emlak fiyatlarının önümüzdeki yıl düşme olasılığı nedir?
Soru 3 : Türkiye’de bu yıl enflasyon oranının %10’dan fazla olma olasılığı nedir?
Soru 4 : Bu yıl ligde Galatasaray’ın şampiyon olma şansı nedir?
Soru 5 : TL’nin $ (dolar) karşısındaki değerinin yarın düşme olasılığı nedir?
Soru 6 : Bir zarı rastgele atarsam çift sayı gelme olasılığı nedir?
Soru 7 : Yarın havanın yağmurlu olma olasılığı nedir?
Yukarıda ifade edilmiş 7 soruya (ve herhangi bir ‘olasılık’ sorusuna cevap, verebilmek için
‘OLASILIK TEORİSİ’nde 3 ALTERNATİF YAKLAŞIM vardır. Bazı durumlarda bir tanesi
uygun olurken, bazen bir diğeri kullanılabilmektedir. Bu yaklaşımlar veya yöntemler aşağıda
sıralanmış ve örneklerle nasıl kullanıldıkları anlatılmıştır.
a) Klasik Yaklaşım
Bu yaklaşım aşağıdaki formülün kullanılabileceği durumlarda ‘olasılık’ hesaplamasında
kullanılabilir:
P(A) : A olayının rastgele bir deneme sonucunda gerçekleşme olasılığı.
P(A) =
Yukarıdaki formülden de görülebileceği gibi bu yaklaşım özellikle “mekanik” denemelere
ilişkin olarak ‘olasılık’ hesaplamasında kullanılmaya uygundur.
Örnek:
Deney: 10’u kız, 30’u erkek olan 40 kişilik bir sınıftan tesadüfi olarak bir öğrencinin
seçilmesi.
8
Olaylar: A: Seçilen öğrencinin kız olması
B: Seçilen öğrencinin erkek olması
P(A) =
P(B) =
b) Göreceli Sıklık Oranı Yaklaşımı
Bu yaklaşımda ilgilendiğimiz olayın geçmişte göreceli olarak hangi sıklık oranında (hangi
yüzde oranında) gerçekleştiği geçmiş veriler kullanılarak hesaplanır ve bu oran bu olayın
gelecekte gerçekleşme olasılığının tahmini değeri olarak alınır.
Örnek:
Bir finansal analistin gelecekte rastgele seçilmiş herhangi bir PAZARTESİ günü İstanbul
Borsa Endeksi’nin yükselme olasılığını tahmin etmek istediğini varsayalım.
Bu durumda söz konusu analist geçmişte Pazartesi günleri İstanbul Borsa Endeksi’nin
göreceli olarak hangi sıklıkta yükseldiğini oransal olarak hesaplayabilir. Eğer geçmiş veriler
Pazartesi günleri Borsa Endeksi’nin geçmişte %55 oranında yükseldiğini gösteriyorsa bu oran
benzer olayın gelecekte gerçekleşme olasılığı olarak kullanılabilir. Bir başka deyişle:
A: İstanbul Borsa Endeksi’nin rastgele seçilmiş gelecekteki herhangi bir PAZARTESİ günü
yükselmesi
Bu yaklaşıma göre:
P(A) = 0.55
c) Sübjektif (Öznel) Yaklaşım
Birçok kere işletmeciler, ekonomistler, politik analistler ve diğerleri bir olayın gerçekleşme
olasılığını yukarıda açıkladığımız iki yaklaşımı kullanarak elde edemeyebilirler. Veya elde
etseler bile aşağıda açıklayacağımız bir üçüncü yaklaşımı (yöntemi) kullanmayı tercih
edebilirler: Bu yaklaşımda bir olayın gerçekleşme olasılığı ilgili kişi tarafından kendi
sübjektif (öznel) deneyim, birikim ve sahip olduğu enformasyona bağlı olarak kişisel bir
tahmin olarak elde edilir.
Örnek:
A: Türk Lirası’nın dolar karşısında yarın değer kazanması.
Ben bir ekonomist olarak bugün elimdeki her türlü politik ve ekonomik bilgiye ve geçmiş
deneyimlerime dayanarak kişisel olarak A olayının gerçekleşme olasılığını tamamıyla
sübjektif (öznel) olarak %80 olarak tahmin ediyor olabilirim.
P(A) = 0.80
Bu tamamıyla benim kişisel tahminimdir. Bir başka kişi A’nın gerçekleşme olasılığını sadece
%10 olarak tahmin edebilir. O da kendisinin kişisel tahminidir.
9
III – Olasılık Kuralları
a) Tekil (Koşulsuz) Olasılık veya Kenar Olasılık
Eğer sadece tek bir olayın gerçekleşme olasılığı ile ilgileniyorsak bu o olayın Tekil
(koşulsuz) veya Kenar Olasılığı denir: P(A) = ?
b) Toplamlar Kuralı
Birden fazla olay söz konusu olduğunda bunlar arasından herhangi birinin gerçekleşme
olasılığını elde etmemize yardımcı olur.
Örnek:
1. P(A veya B) = ?
2. P(A veya B veya C) = ?
Yukarıdaki soruların cevaplarını TOPLAMLAR KURALI ile elde edebilmek için ilk önce A,
B ve C olaylarının “BAĞDAŞMAYAN OLAYLAR” mı “BAĞDAŞAN OLAYLAR” mı;
onu değerlendirmek gerekir. Çünkü her durumda Toplamlar Kuralı farklı bşr formül
içermektedir. Aşağıda Toplamlar Kuralı’nın her iki durum için (ayrı ayrı) uygulamasını
göstereceğiz:
Bağdaşmayan Olaylar İçin Toplamlar Kuralı: Eğer A, B ve C olayları
BAĞDAŞMAYAN OLAYLAR ise (yani söz konusu deneme sonucunda bir defada
hepsinin birden gerçekleşmesi söz konusu değilse), o zaman P(A veya B) ve P(A veya B
veya C) gibi soruların cevapları soruların içerdiği olayların TEKİL olasılıklarının
toplamına eşittir:
i.
P(A veya B)
= P(A) + P(B)
P(A veya B veya C) = P(A) + P(B) + P(C)
P(B veya C)
= P(B) + P(C)
Örnek:
Varsayım ki bu sınıfta toplam 23 öğrenci var ve bunların cinsiyetlerine ve yaşlarına göre
dağılımı aşağıdaki gibidir:
Yaş
Erkek
Kız
Toplam
20
0
2
2
21
1
3
4
22
6
3
9
23
3
1
4
24
4
0
4
Toplam
14
9
23
10
Deney: Rastgele bir öğrencinin seçilmesi
Bu denemeye ilişkin olarak ilgilendiğimiz olaylar aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım.
A: Seçilen öğrencinin 20 yaşında olması B : Seçilen öğrencinin 21yaşında olması
C: Seçilen öğrencinin 22 yaşında olması D : Seçilen öğrencinin 23 yaşında olması
A, B ve C olayları bağdaşmayan olaylardır. Çünkü seçilecek öğrencinin aynı zamanda hem
20, hem 21, hem 22, hem de 23 yaşında olması mümkün değildir. Dolayısı ile P(A veya B),
P(A veya C) ve P(A veya B veya C) sorularının cevapları aşağıdaki şekilde Toplamamlar
Kuralı’nın bu versiyonu ile elde edilebilir:
P(A veya B)
= P(A) + P(B)
= 2/23 + 4/23 = 6/23
P(A veya C)
= P(A) + P(C)
= 2/23 + 9/23 = 11/23
P(A veya B veya C veya D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 2/23 + 4/23 + 9/23 + 4/23
=19/23
ii.
Bağdaşan Olaylar İçin Toplamalar Kuralı: A, B ve C BAĞDAŞAN olaylar ise,
P(A veya B)
= P(A) + P(B) – P(A ve B)
P(A veya B veya C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ve B) – P(A ve C) – P(B ve C).
Not: P(A ve B) = A ve B’nin deneme sonucunda ikisinin beraber (eş zamanlı olarak)
gerçekleşme olasılığı.
Örnek 1:
Varsayalım ki 40 öğrencinin olduğu bir sınıfta öğrencilerin cinsiyete ve göz rengine göre
dağılımı aşağıdaki gibidir:
Siyah
Yeşil
Toplam
Erkek
13
9
22
Kız
8
10
18
Toplam
21
19
40
Deney: Tesadüfî olarak bir öğrencinin bu sınıftan seçilmesi.
A : Seçilen öğrencinin ERKEK olması
11
B : Seçilen öğrencinin KIZ olması
C : Seçilen öğrencinin SİYAH GÖZLÜ olması
D : Seçilen öğrencinin YEŞİL GÖZLÜ olması
P(A veya C)
= P(A) + P(C) – P(A ve C)
= 22/40 + 21/40 – 13/40
= 30/40
P(B veya C)
= P(B) + P(C) – P(B ve C)
= 18/40 + 21/46 – 8/40
= 31/40
Örnek 2:
Ford şirketi geçen yıl Türkiye’de üretip sattığı 3 ayrı modele ait toplam 700 aracın bazılarının
hatalı üretildiğini tespit etmiştir. Şirket her modele ilişkin hatalı ve hatasız üretim (ve satış)
sayısının aşağıdaki tabloda özetlemiştir.
MODEL
i.
ii.
iii.
A
B
C
Toplam
Hatalı
10
20
70
100
Hatasız
140
180
280
600
Toplam
150
200
350
700
Geçen yıl (yeni) Ford araç almış ve rastgele seçilmiş bir tüketicinin A veya C
modellerinden birini almış olması olasılığı nedir?
Geçen yıl (yeni) Ford araç almış olan (rastgele seçilmiş) bir tüketicinin bu arabasının
“B” modeli veya “HATALI” olma olasılığı nedir?
Geçen yıl (yeni) Ford araç almış olan (rastgele seçilmiş) bir tüketicinin kullandığı
arabanın “A” modeli veya “HATASIZ” olma olasılığı nedir?
Örnek 3:
İstanbul Borsası’nda kayıtlı bulunan 500 şirketin 3 temel sektörde faaliyet gösterdiğini
varsayalım: Sanayi, Hizmetler ve Madencilik. Geçen yılki bilançolarına göre kâr veya zarar
beyanında bulunan bu 500 şirketin sektörlerine göre sayısal dağılımı aşağıdaki tabloda
gösterilmiştir:
Sanayi
Hizmetler
Madencilik
Toplam
Kâr
150
240
30
420
Zarar
50
10
20
80
Toplam
200
250
50
500
12
i.
ii.
iii.
İstanbul Borsası’nda kayıtlı şirketler arasından rastgele seçilmiş bir şirketin geçen yıl
bilançosunda “KÂR” beyanında bulunmuş olması olasılığı nedir?
İstanbul Borsası’nda kayıtlı şirketler arasından rastgele seçilmiş bir şirketin
“MADENCİLİK” sektöründe faaliyet gösteriyor veya geçen yıl “ZARAR” beyanında
bulunmuş olması olasılığı nedir?
İstanbul Borsası’nda kayıtlı şirketler arasından rastgele seçilmiş bir şirketin
“SANAYİ” veya “HİZMETLER” sektöründe faaliyet göstermesi olasılığı nedir?
IV – İstatistik Bakımından Olayların Sınıflandırılması
a) İstatistik Bakımından Bağımsız Olaylar
Eğer iki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi diğerinin gerçekleşme
olasılığını etkilemiyorsa bu iki olay istatistik bakımından BAĞIMSIZ olaylardır.
Örnek:
Olaylar: A: Yarın Arjantin’de havanın yağmurlu olması
B: Yarın Türk Lirası’nın Amerikan Doları ($) karşısında değer kaybetmesi
A ve B olayları istatistik bakımından BAĞIMSIZ olaylardır. Çünkü A’nın gerçekleşmesi
B’nin gerçekleşme olasılını etkilemesi (mantıksal olarak) söz konusu değildir. Aynı şekilde
B’nin gerçekleşmesi, A’nın gerçekleşme olasılığını etkilemeyecektir.
b) İstatistik Bakımından Bağımsız Olmayan Olaylar
İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi durumunda diğer olayın gerçekleşme olasılığı
etkileniyorsa (değişiyorsa) bu iki olay BAĞIMSIZ OLMAYAN olaylardır.
Örnek 1:
Olaylar: A: Yarın İstanbul Borsa Endeksi’nin yükselmesi
B: Yarın Türkiye’de faiz oranlarının düşmesi
Eğer iki temel FİNANS ve İKTİSAT teorisini biliyorsak bu iki olayın “Bağımsız Olmayan”
olaylar olduğunu söyleyebiliriz. Temel finans teorisi bize faiz oranlarının düşmesinin Borsa
Endeksi’nin yükselme olasılığını artıracağını söyler. Yanı B olayının gerçekleşmesi A
olayının gerçekleşme olasılığını artırır.
Örnek 2:
Olaylar: A: Türkiye’de kullanılan araç sayısının artması
B: Türkiye’de tüketilen benzin miktarının artması
A ve B olayları İstatistik bakımından “Bağımsız Olmayan” olaylardır. Çünkü A olayının
gerçekleşmesi B olayının gerçekleşmesi olasılığını (mantık olarak) artıracaktır.
13
V – Olasılıkların Sınıflandırılması
a) Kenar Olasılık (Koşulsuz Olasılık)
Bir tekil olayın gerçekleşme olasılığı o olayın “Kenar Olasılığı” veya “Koşulsuz Olasılığı”
olarak tanımlanır.
Örnek:
P(A) : A olayının tek başına (koşulsuz olarak) gerçekleşme olasılığı. Bu olasılığa A’nın
“Kenar Olasılığı” denir.
b) Birleşik Olasılık
İki veya daha fazla olayın aynı anda hep beraber (veya birbiri ardına) gerçekleşme olasılığına
söz konusu olayların “Birleşik” olasılığı denir.
Örnek:
P(AB) : A ve B olaylarının “Birleşik Olasılığını” simgeler.
c) Koşullu Olasılık
Bir olayın başka bir olayın gerçekleşmesi koşuluna bağlı olarak gerçekleşmesi olasılına o
olayın “Koşullu Olasılığı” denir.
Örnek:
P(A|B) : B olayı veri olarak alındığında A olayının gerçekleşmesi olasılığının A’nın koşullu
olasılığı olarak tanımlanır.
VI – Bağımsız Olaylar Bağlamında Olasılıkların Hesaplanması
a) Kenar Olasılık
P(A) : Eğer sadece tekil bir olayın (örneğin A gibi) gerçekleşme olasılığı ile ilgileniyorsak ve
dolayısı ile başka bir olay söz konusu değilse A’nın bağımsız olması veya olmaması söz
konusu değildir.
b) Birleşik Olasılık
Eğer iki veya daha fazla olay “BAĞIMSIZ OLAYLAR” ise bunların “Birleşik Olasılığı”
kenar olasılıklarının çarpımı ile elde edilir:
A ve B Bağımsız Olaylar olsun. A ve B’nin “Birleşik Olasılığı” (yani aynı anda beraberce
gerçekleşme olasılığı) A ve B’nin kenar olasılıklarının çarpımı ile elde edilir:
P(AB) = P(A) x P(B)
14
Örnek:
A: Yarın Kıbrıs’ta yağmur yağması.
B: Doların Japon Yeni karşısında yarın değer kazanması
A ve B’nin “Kenar Olasılıkları” sırasıyla P(A) = 0.5 ve P(B) = 0.8 olsun.
Bu durumda P(AB) = P(A) x P(B)
P(AB) = 0.5 x 0.8 = 0.40
Yarın hem A, hem de B’nin beraberce gerçekleşmesi olasılığı %40’tır.
c) Koşullu Olasılık
A ve B “Bağımsız olaylar ise, P(A|B) = P(A) ve P(B|A) = P(B) olacaktır.
Örnek:
Varsayalım ki A ve B olayları yukarıda “Birleşik Olasılık” irdelenirken tanımlandığı gibi
olsun. Bu durumda, P(A|B) = 0.5 ve P(B|A) = 0.8 olacaktır.
Yarın Dolar’ın Japon Yeni karşısında değer kazanması koşuluna bağlı olarak “Yarın Kıbrıs’ta
Yağmur Yağması” olasılığı bu olayın “Kenar Olasılığı” olan 0.5’e eşit olacaktır.
VII – Bağımsız Olmayan Olaylar Bağlamında Olasılıkların Hesaplanması
a) Kenar Olasılık
P(A) sadece tekil bir olayın (A’nın) gerçekleşme olasılığını (koşulsuz olarak)
simgelemektedir. Dolayısı ile daha önce ifade edildiği gibi “Kenar Olasılık” hesaplanmasında
ikinci bir olay söz konusu olmadığı için ilgilendiğimiz olayın (yani A’nın) başka bir olaydan
bağımsız olması veya olmaması söz konusu değildir.
b) Birleşik Olasılık
Eğer A ve B olayları “Bağımsız Olmayan” olaylar ise bunların “Birleşik Olasılığı” aşağıda
gösterilen “Çarpım Kuralı” ile hesaplanır.
P(AB) = P(A|B) x P(B)
veya
P(BA) = P(B|A) x P(A)
Not: P(AB) = P(BA)
c) Koşullu Olasılık
P(A|B) =
15
P(B|A) =
Yukarıda ifade edilmiş olan BAĞIMSIZ OLMAYAN OLAYLAR bağlamında KOŞULLU
OLASILIK ve BİRLEŞİK OLASILIK hesaplamaları oldukça önemli bir teoremin altyapısını
oluştururlar. BAYES teoremi olarak bilinen bu teoremi ve nerede kullanılabileceğini aşağıda
açıkladıktan sonra çeşitli örneklerle uygulamasını göstereceğiz.
VIII – Bayes Teoremi
Bağımsız olmayan olaylar bağlamında ifade ettiğimiz KOŞULLU OLASILIK formülü
BAYES teoremi olarak bilinir:
P(A|B) =
Bu teoremin ana felsefesi bize yeni öğretilmiş bilgilere dayanarak, ilgilendiğimiz bir olayın
daha önce tahmin edilmiş olasılığını revize ederek güncellemektir. B olayının gerçekleştiğini
öğrenmeden önce A olayının gerçekleşme olasılığının P(A) olarak tahmin ediyor olalım.
Ancak B olayının gerçekleşmesinin A’nın gerçekleşebilirliği ile ilgili düşüncemizi veya
algımızı değiştirdiğini düşünelim. Bir başka deyişle A ve B’nin bağımsız olaylar olmadığını
varsayalım. Bu durumda, B veri olarak alındığı zaman A’nın gerçekleşme olasılığını yeniden
tahmin etmek isteyebiliriz. İşte bu durumda BAYES teoremini kullanabiliriz. Yani B veri
iken A’nın gerçekleşme olasılığını hesaplamamızı sağlayan KOŞULLU OLASILIK formülü
bize A’nın yeni, revize edilmiş gerçekleşme olasılığını verecektir.
Aşağıda ilk önce bu teoremin en zor sorularda bile uygulanmasını kolaylaştırabilecek 5
aşamalı bir metodu bir örnek yardımı ile göstereceğiz. Daha sonra ise ilave örnekler
vereceğiz.
Örnek 1:
Varsayalım ki bir torbada 100 tane zar olsun ve bu zarların yarısı bir tip, diğer yarısı ise ikinci
tip olsun; TİP 1 ve TİP 2. Her tipin özelliği bunların normal bir zara göre farklı oluşları. Bir
TİP 1 zarın rastgele atılması sonucu 1 gelmesi olasılığı 0.30 iken, herhangi bir TİP 2 zarın
rastgele atılması sonucu 1 gelme olasılığı 0.60’tır.
Diyelim ki bu torbadan rastgele bir zar seçtik ve attık. Eğer bu deneme sonucunda 1 gelmiş
ise, bu zarın TİP 1 olma olasılığı nedir?
Soruyu sembollerle ifade etmeden önce aşağıdaki OLAY tanımlarını yapalım:
Olaylar: TİP 1: Söz konusu zarın TİP 1 olması
TİP 2: Söz konusu zarın TİP 2 olması
1: Rastgele atılan zarın 1 gelmesi.
Soru: P(TİP 1/1) = ?
Sonucun 1 gelmesinin olasılığı TİP 1 veya TİP 2 zar atılmasına bağlı olarak değiştiğine göre
bu iki olay BAĞIMSIZ OLMAYAN olaylardır ve bu KOŞULLU olasılık sorusu BAYES
teoreminin uygulamasını gerektirmektedir.
16
P(TİP 1/1) =
5 aşamalı çözüm yöntemini uygulamadan önce sorudaki olayları aşağıdaki gibi tanımlamak
gerekir:
Sorunun ana konusu olan olayları TEMEL OLAYLAR olarak, bize veri olarak verilen diğer
olayı da İKİNCİL OLAY olarak tanımlarız:
Bu soruda TEMEL OLAYLAR ve İKİNCİL OLAY şöyledir:
Temel Olaylar:
1. Zarın TİP 1 olması – TİP1
2. Zarın TİP 2 olması – TİP2
İkincil Olay: Rastgele seçilen ve atılan zarın sonucunda 1 gelmesi (1).
Aşama 1: Aşağıdaki Tablo’yu hazırlayın.
Temel Olaylar
TİP 1
TİP 2
Temel Olayların
Kenar Olasılığı
P(TİP1) = 0.5
P(TİP2) = 0.5
İkincil Olay
1
İkinci Olayın
Koşullu Olasılığı
P(1/TİP1) = 0.3
P(1/TİP2) = 0.6
Aşama 2: İkincil Olayın Kenar Olasılığının hesaplanmasında kullanılacak formülü yazın.
Burada temel kural İkincil Olayın Kenar Olasılığının her zaman İkincil Olayın ayrı ayrı her
Temel Olayla “Birleşik Olasılıklarının” toplamına eşit olduğudur:
P(1) = P(TİP1, 1) + P(TİP2, 1)
Aşama 3: Bu aşamada yukarıda istenilen “Birleşik Olasılıkları” hesaplarız:
Aşama 1’de hazırladığımız Tablo bize hangi verileri kullanarak bu “Birleşik Olasılıkları
hesaplayabileceğimizi gösterir:
P(TİP1, 1) = P(1/TİP1) x P(TİP1)
P(TİP2, 1) = P(1/TİP2) x P(TİP2)
P(TİP1, 1) = 0.3 x 0.5 = 0.15
P(TİP2, 1) = 0.6 x 0.5 = 0.30
Aşama 4: İkincil olayın Kenar Olasılığının tahmini
P (1) = P(TİP1, 1) + P(TİP2, 1)
P (1) = 0.15 + 0.30 = 0.45
P (1) bize soruda sözü edilen torbadan rastgele seçilen ve atılan bir zarın 1 gelmesi olasılığını
söyler. Bu olasılık yukarıda 0.45 olarak hesaplanmıştır.
Aşama 5: BAYES teoremini kullanarak sorunun cevabının elde edilmesi:
17
P(TİP1/1) = 0.15/0.45 = 1/3
Örnek 2:
Ekonomistler, Türkiye’de yıllık enflasyon oranının petrol fiyatlarındaki değişikliklerden
etkilendiğini düşünmektedirler. 2015 yılında enflasyon oranının yükselme olasılığı 0.60,
petrol fiyatlarının artış olasılığı ise 0.40 olarak tahmin edilmektedir. Ekonomistler petrol
fiyatı ile Türkiye’de enflasyonun eş zamanlı olarak (2015 yılında) artmasın olasılığının ise
0.35 olarak değerlendirmektedirler. Buna karşın 2015’te eş zamanlı olarak enflasyon oranının
yükselmesi olayı ile petrol fiyatlarının yükselmemesi olayının beraber gerçekleşme olasılığı
ise sadece 0.20 olarak tahmin edilmektedir. Eğer 2015 yılında petrol fiyatları yükselmez ise,
Türkiye’de enflasyon oranının yükselme olasılığı nedir?
Olaylar: I : Enflasyonun 2015’te yükselmesi
P : Petrol fiyatının 2015’te yükselmesi
N : Petrol fiyatının 2015’te yükselmemesi
Soruda veri olarak verilenler:
P(I) = 0.6
P(P) = 0.4
P(IP) = 0.35
P(IN) = 0.2
Soru: P(I/N) =
P(N)
= 1 – P(P) = 1 – 0.4
P(I/N) = 0.2/0.6
= 0.6
= 0.333
Örnek 3:
İstanbul Borsa Endeksi’nin bu yıl sonuna kadar yükselme olasılığı 0.50 olarak tahmin
edilmektedir. Eğer endeks yükselirse Türk Lirası’nın Amerikan Doları ($) karşısında değer
kazanma olasılığı ise 0.70 olarak tahmin edilmektedir. Eğer endeks yükselmezse, TL’nin
dolar karşısında değer kazanması olasılığı sadece 0.40 olarak tahmin edilmiştir. Bu durumda
bu yıl sonuna kadar hem borsa endeksinin yükselmesi hem de TL’nin dolar karşısında değer
kazanması olasılığı nedir?
Olaylar: E : Borsa endeksinin bu yılsonuna kadar yükselmesi
T : Türk Lirası’nın Dolara karşı bu yılsonuna kadar değer kazanması
N : Borsa endeksinin yükselmemesi
Veriler:
P(E) = 0.50
P(T/E) = 0.70
P(T/N) = 0.40
Soru:
P(ET) = ?
Çözüm:
P(ET) = P(T/E) x P(E)
18
P(ET) = 0.70 x 0.50 = 0.35
Örnek 4:
Türkiye’de inşaat sektörünün yıllık kârları büyük ölçüde işçi ücretlerinin seviyesine bağlıdır.
Geçmiş veriler ve ‘göreceli sıklık yaklaşımı’ kullanılarak yapılan olasılık tahminleri inşaat
sektörüne ilişkin şu sonuçları vermiştir:
Rastgele seçilen bir yılda inşaat sektörünün kârlarının (bir önceki yıla göre) artış göstermesi
olasılığı 0.80, kârların azalma olasılığı ise 0.20’dir. Kârların arttığı yılların %60’ında
ücretlerin azaldığı, geri kalan %40’ında ise ücretlerin arttığı gözlemlenmiştir. Ancak kârların
azaldığı yılların toplamı analiz edildiğinde; bu yılların sadece %20’sinde işçi ücretlerinin
azaldığı, geri kalan %80’inde ise ücretlerin arttığı görülmüştür. Dünya ekonomisindeki
gelişmelere paralel olarak bu yılbaşından itibaren Türkiye’de de işçi ücretlerinin azalma
eğilimi içerisinde olduğu gözlenmektedir. Ücretlerdeki bu azalma eğilimi veri olarak
alındığında inşaat sektörünün bu yıl kârlarının artma olasılığı nedir?
Bu soru sınıfta 5 aşamalı çözüm yöntemiyle çözülecektir. Kısaca tablo hazırlamadan kısaca
çözümü aşağıda verilmiştir.
Olaylar: A : İnşaat sektörünün kârlarının yükselmesi
B : İnşaat sektörünün kârlarının azalması
C : İşçi ücretlerinin azalması
D : İşçi ücretlerinin yükselmesi
Veriler:
P(A)
= 0.80
P(B)
= 0.20
P(C/A) = 0.60
P(D/A)
= 0.40
P(D/B) = 0.80
P(C/B)
= 0.20
Soru: P(A/C) = ?
P(A/C) = P(AC) / P(C)
P(C)
= P(AC) + P(BC)
P(AC) = P(C/A) x P(A)
= 0.60 x 0.80 = 0.48
P(BC) = P(C/B) x P(B)
= 0.20 x 0.20 = 0.04
P(C)
= P(AC) + P(BC) = 0.48 + 0.04 = 0.52
P(A/C) = 0.48 / 0.52
= 0.92
19
IX – Olasılık Dağılımları
Bu konuyu detaylı inceleyebilmemiz için bazı temel kavramları kısaca açıklamamız gerekir.
a) Rastgele Değişkenler
Rastgele bir süreç veya deneme sonucunda hangi değeri alacağı tam bir kesinlikle önceden
bilinmeyen değişkenlere RASTGELE DEĞİŞKENLER denir. Bu tip değişkenler KESİKLİ
ve SÜREKLİ olmak üzere iki kategoriye ayrılırlar:
b)
Kesikli Rastgele Değişkenler:
Kesikli Rastgele Değişkenlerin en temel özelliği bir rastgele deneme sonucunda alabilecekleri
olası değerlerin sınırlı sayıda olmasıdır. Sınırlı sayıda olası sonucun anlamı olası değer
sayısının “sonsuz” olmamasıdır.
Örnek:
X: Rastgele bir zar atımı sonucundaki olası rakam (değer)
S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
X bir kesikli rastgele değişkendir, çünkü yukarıda S ile gösterilen örneklem uzayında
listelendiği gibi alabileceği olası değerlerin toplamı altıdır (yani sınırlı sayıdadır).
c)
Sürekli Rastgele Değişkenler:
Bu tip değişkenlerin özelliği ise rastgele bir deneme sonucunda alabilecekleri toplam olası
değer sayısının olası değer sayısının “sonsuz” sayıda olmasıdır. Sürekli rastgele değişkenler
prensip olarak belirli bir minimum ve maksimum değer aralığında herhangi bir değeri
sınırlama olmadan (rastgele bir deneme sonucunda) alabilecek değişkelerdir.
Örnek 1:
Y: Bu sınıftan rastgele seçilecek bir öğrencinin Kümülâtif Ortalaması (CGPA)
Y’nin alabileceği olası değerler (Minimum) 0.00 ile (Maksimum) 4.00 arasındaki (teorik
olarak) sonsuz sayıda olası değerlerden oluşur. Bundan dolayı Y bir sürekli değişkendir.
Örnek 2:
Z: Koç Holding’in gelecek yılki toplam kârı
Eğer ekonomistler Z’nin alabileceği en düşük ve en yüksek olası değerleri sırasıyla 2 milyar
TL ve 4 milyar TL olarak varsayarlar ise Z’nin olası değerleri bu aralıkta yer alan sonsuz
sayıdaki değerlerdir. Dolayısı ile Z bir rastgele sürekli değişkendir.
d) Rastgele Değişkenlerin Olasılık Dağılımları
Herhangi bir rastgele değişkenin OLASILIK DAĞILIMI bize o değişkenin rastgele bir
deneme sonucunda alabileceği tüm olası sonuçların (değerlerin) her birinin gerçekleşme
20
olasılığını belirten bir listedir. Bu liste ya TABLO olarak ya da GRAFİK olarak ifade
edilebilir.
Kesikli Rastgele Değişkenlerin olasılık dağılımlarına KESİKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI
denir. Sürekli Rastgele Değişkenlerin olasılık dağılımlarına ise SÜREKLİ OLASILIK
DAĞILIMLARI denir.
Bir Rastgele Değişkenin (X) Olasılık Dağılımını Elde Etmek için 2 Aşama’yı Tamamlamak
Gerekir:
Aşama 1: X’in alabileceği tüm olası değerlerin belirlenmesi.
Aşama 2: Bu olası değerlerin her birinin gerçekleşme olasılığının belirlenip, bunların liste
halinde TABLO veya GRAFİKSEL olarak ifade edilmesi.
Örnek:
X:
Bu sınıfta rastgele seçilecek bir öğrencinin olası yaşı.
X’in Olasılık Dağılımını elde etmek için yukarıda sözü edilen iki aşamayı uygulayalım.
X’in alabileceği olası değerler bu sınıftaki öğrencilerin yaşları ile sınırlıdır. Varsayalım ki bu
sınıftaki öğrencilerin yaşları ve her yaşa tekabül eden öğrenci sayısı aşağıdaki gibi olsun:
Yaş
20
21
22
23
24
25
Toplam
Öğrenci Sayısı
1
5
7
4
3
1
21
Aşama 1: Olası (X) değerleri 6 tane olup aşağıda sıralanmıştır.
X1
20
X2
21
X3
22
X4
23
X5
24
X6
25
Aşama 2: Her bir olası (X) değerinin “gerçekleşme olasılığı” aşağıdaki gibi “KLASİK
YAKLAŞIM” kullanılarak hesaplanmış ve TABLO halinde belirtilmiştir.
X1
X2
X3
X
20
21
22
P(X)
P(20) = 1/21
P(21) = 5/21
P(22) = 7/21
21
X4
X5
X6
23
24
25
P(23) = 4/21
P(24) = 3/21
P(25) = 1/21
Bir Rastgele Değişkenin Beklenilen Değeri
Sembolik olarak X’in beklenilen değerini E(X) ile ifade ederiz. Bir rastgele değişkenin
“Beklenilen Değeri” kısaca o değerin rastgele bir deneme sonucunda alması olası tüm
değerlerin AĞIRLIKLI ORTALAMASI’dır. Her bir olası değerin ağırlığı o değerin
“Gerçekleşme Olasılığı”dır.
Kesikli Rastgele Değişkenlerin Beklenilen Değerlerinin Hesaplanması
E(X) = ∑ P(X) X
Örnek 1:
Yukarıda verilen örneği kullanacak olursak bu sınıftan rastgele seçilecek bir öğrencinin olası
yaşının beklenen değeri [E(X)] aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
E(X) = (20) (1/21) + (21) (5/21) + (22) (7/21) + (23) (4/21) + (24) (3/21) + (25) (1/21)
E(X) = 0.95 + 5 + 7.33 + 4.38 + 3.43 +1.24
E(X) = 22
Örnek 2:
Aşağıdaki TABLO dünyadaki 200 kadar ülkenin geçen yıl G.S.Y.İ.H’ya ilişkin “Büyüme
Hızlarını” vermektedir.
Büyüme Hızı
8%
6%
4%
2%
Toplam:
Ülke Sayısı
20
30
50
100
200
Soru: Rastgele seçilen bir ülkenin geçen yılki beklenilen büyüme hızı nedir?
Çözüm: Daha önce gösterildiği gibi KLASİK YAKLAŞIM kullanılarak her bir olası büyüme
hızının gerçekleşme olasılığı elde edilir ve aşağıdaki gibi E(BÜYÜME HIZI) elde edilir.
E(BÜYÜME HIZI) = (0.08) (20/200) + (0.06) (30/200) + (0.04) (50/200) + (0.02) (100/200)
= 0.008 + 0.009 + 0.01 + 0.01
= 0.037 = 3.7%
22
Kesikli ve Sürekli Olasılık Dağılımları’nın İşletme, İktisat ve Finans alanındaki
uygulamalarında en fazla işimize yarayanlardan başlıcaları BİNOM ve NORMAL olasılık
dağılımlarıdır.
BİNOM olasılık dağılımı, BERNULİ adı verilen rastgele süreçler sonucunda değer alan ve
BİNOM RASTGELE DEĞİŞKENLER olarak bilinen (kesikli) rastgele değişkenlerin olasılık
dağılımlarına genel olarak verilen addır. Aşağıda her birinin ayrı ayrı özellikleri ve
uygulamaları örneklerlere anlatılmaktadır:
BİNOM Olasılık Dağılımı:
e)
BERNULİ adı verilen rastgele süreçler sonucunda değer alan ve BİNOM RASTGELE
DEĞİŞKENLER olarak bilinen (kesikli) rastgele değişkenlerin olasılık dağılımlarına genel
olarak verilen addır. Bu tip değişkenleri ancak olası değerlerini belirleyen süreçlerin
BERNULİ süreci olup olmamasından anlayabiliriz. Bu nedenle BERNULİ tip süreçlerin
temel özelliklerini anlamamız önemlidir:
Bernuli Tip Süreçlerin Özellikleri
Aynı aktivitenin “sınırlı sayıda” tekrarından oluşur.
Tekrarlanan her deneme sonucunda iki olası sonuç vardır. (Bu
sonuçlardan biri ilgilendiğimiz sonucun ne olduğuna bağlı olarak başarı, diğeri de
yenilgi olarak tanımlanır)
Her olası sonucun (başarı ve yenilgi) gerçekleşme olasılığı tekrarlanan
tüm denemeler boyunca sabittir.
Her tekrarlanan deneme İstatistik bakımından diğer denemelerden
BAĞIMSIZ’dır.
i.
ii.
iii.
iv.
BİNOM Formülü:
P(r) =
n:
Toplam tekrarlanan deneme sayısı
r:
Başarılı sonuçların sayısı
p:
Her bir denemede başarılı sonucun gerçekleşme olasılığı
q:
(1-p): Her bir denemede yenilgi olarak tanımlanan sonucun gerçekleşme olasılığı.
p(r): n defa tekrarlanan denemeden r defa başarılı sonuç elde etme olasılığı.
Binom formülünü kullanarak bir BİNOM rastgele değişkene (x) ilişkin olarak cevap
verebileceğimiz sorulardan bazıları şunlardır:
i. X’in olasılık dağılımını elde ediniz.
ii. n kadar tekrarlanan deneme sonucunda başarılı sonuç sayısının (X) EN AZ X* olması
olasılığı nedir? P(X≥X*) = ?
23
iii. n kadar tekrarlanan deneme sonucunda başarılı sonuç sayısının (X) EN FAZLA X*
olması olasılığı nedir? P(X≤X*) = ?
iv. n defa tekrarlanan deneme sonucunda TAM OLARAK X* sayısında başarılı sonuç elde
etme olasılığı nedir? P(X*) = ?
v. n defa tekrarlanan deneme sonucunda BEKLENİLEN BAŞARILI SONUÇ sayısı
nedir? E(X) = ?
Yukarıdaki soruların genel çözüm yöntemleri aşağıdaki gibidir:
i. BİNOM formülünü kullanarak X’in OLASILIK DAĞILIMINI elde edebiliriz. Yani her
bir olası x değerinin gerçekleşme olasılığı formül kullanılarak hesaplanır ve aşağıdaki
gibi TABLO (veya GRAFİK) olarak ifade edilir.
X
X1
X2
…
…
Xn-1
Xn
P(X)
P(X1)
P(X2)
…
…
P(Xn-1)
P(Xn)
ii. P(X≥X*) = P(X*) + P(X*+1) + ……….. + P(n)
iii. P(X≤X*) = P(0) + P(1) + ……….. + P(X*)
iv. Binom formülü kullanılarak P(X*) elde edilir.
Örnek 1:
Aktivite: Bir metalik parayı rastgele 4 kez havaya atmak
X:
Bu aktivite sonucunda YAZI ile sonuçlanan deneme sayısı
İlgilendiğimiz Sorular:
Soru 1: Bu aktivite sonucunda 2 kez YAZI gelme olasılığı nedir.
Çözüm: n=4
p=1/2 (her denemede yazı gelme olasılığı)
q=1/2 (her denemede tura gelme olasılığı)
P(2) =
=
Soru 2:
Bu aktivite sonucunda en az 3 kez YAZI gelme olasılığı nedir?
P(X≥3)
= P(3) + P(4)
P(3)
=
=
24
P(4)
=
=
r(X≥3)
= P(3) + P(4) =
+
=
Soru 3: Bu aktivite sonucunda en fazla 3 defa YAZI gelme olasılığı nedir?
P(X≤3)
= P(0) + P(1) + P(2) + P(3)
P(0)
=
=
P(1)
=
=
r(X≤3)
=
+
+
+
=
Soru 4: X’in olasılık dağılımını tablo ile belirtiniz.
X1
X2
X3
X4
X5
X
0
1
2
3
4
P(X)
P(0) = 1/16
P(1) = 4/16
P(2) = 6/16
P(3) = 4/16
P(4) = 1/16
Soru 5: YAZI ile sonuçlanması beklenilen deneme sayısı nedir? E(X) = ?
E(X) = ∑ P(X)
E(X) = (0)
+ (1)
E(X) = 0 +
+
E(X) =
+ (2)
+
+ (3)
+ (4)
+
=2
Örnek 2:
Sabancı Holding’in ekonomistleri Türkiye için yıllık enflasyon oranına ilişkin her yıl iki olası
sonuç öngörüyorlar: yüksek ve düşük enflasyon. Eğer enflasyon oranı %10’dan yüksek ise o
yılki enflasyon “yüksek enflasyon” olarak, eğer %10 veya daha düşük ise o yılki enflasyon
“düşük enflasyon” olarak tanımlanıyor. Geçmiş verilere dayanarak ekonomistler Sabancı
Holding’in enflasyonun yüksek olduğu her yıl için ortalama $50 milyon kâr ederken, düşük
enflasyon yıllarında ise ortalama $20 milyon zarar ettiğini hesaplamışlar. Önümüzdeki 4 yıl
25
için Türkiye’de yıllık enflasyonun yüksek olmasının olasılığı (her yıl için) 0.80 olarak tahmin
eden ekonomistlerin bu tahminlerine dayanarak aşağıdaki soruları hesaplayınız.
26
Önümüzdeki 4 yılda iki yıl Türkiye’de enflasyonun yüksek olması olasılığı nedir?
i.
n=4
P(2)
r=2
=
p = 0.8
= 0.1536
Önümüzdeki 4 yılda en az 3 yıl enflasyonun YÜKSEK olması olasılığı nedir?
ii.
P(r ≥ 3)
= P(3) + P(4)
P(3)
=
= 0.4096
P(4)
=
= 0.4096
P(r ≥ 3)
= 0.4096 + 0.4096
= 0.8192
iii.
Önümüzdeki 4 yılda en fazla 3 yıl enflasyonun düşük olması olasılığı nedir?
p = 0.2
q = 0.8
P(r≤3)
= P(3) + P(4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)
P(r≤3)
= 0.4096 + 0.4096 + 0.1536 + 0.0256
P(r≤3)
= 0.9984
iv.
q = 0.2
Sabancı Holding’in önümüzdeki 4 yılda “beklenen net kârı” nedir?
X = 4 yıllık toplam net kâr.
Y = 4 yılda enflasyonun yüksek olduğu yılların sayısı.
Y’nin olasılık dağılımı:
Y1 = 4
Y2 = 3
Y3 = 2
Y4 = 1
Y5 = 0
P(Y)
P(4) = 0.4096
P(3) = 0.4096
P(2) = 0.1536
P(1) = 0.0256
P(0) = 0.0016
27
P(1)
=
= 0.0256
P(0)
=
= 0.0016
X’in olası değerleri:
X’in olasılık dağılımı:
= $200m
X
P(X)
X1 = $200m P($200m) = 0.4096
X2 = $130m P($130m) = 0.4096
X3 = $60m
P($60m) = 0.1536
X4 = -$10m P(-$10m) = 0.0256
X5 = -$80m P(-$80m) = 0.0016
Y1 = 4 ise
X1 = (4x$50m)
Y2 = 3 ise
X2 = (3x$50m) – (1x$20m) = $130m
Y3 = 2 ise
X3 = (2x$50m) – (2x$20m) = $60m
Y4 = 1 ise
X4 = (1x$50m) – (3x$20m) = -$10m
Y5 = 0 ise
X5 = (0x$50m) – (4x$20m) = -$80m
E(X)
= ∑ P(X)X
E(Net Kâr)
= ($200m x 0.4096) + ($130m x 0.4096) + ($60m x 0.1536)
+ (-$10m x 0.0256) + (-$80m x 0.0016) = $144 milyon
f)
Normal Olasılık Dağılımı:
Normal dağılım sürekli rastgele değişkenlerin işletmeci, ekonomist ve finansçılar açısından
en önemlilerinden olan normal rastgele değişkenlerin olasılık dağılımına verilen addır ve
grafiksel olarak “ÇAN EĞRİSİ” ile gösterilir.
Normal Dağılım Eğrisinin Özellikleri:
i.
ii.
iii.
Çan eğrisi şeklindedir.
Tek bir tepe noktası vardır.
Ortalama (μ) dağılımın tam merkezinde yer alır ve popülâsyonun dağılımı ortalama
merkez alınarak çizilecek bir dikey çizgiye göre simetriktir. Yani popülâsyonun
yarısı ortalamadan daha büyük, diğer yarısı ise daha küçük değerlere sahiptir.
28
iv.
Eğrinin iki kuyruğu yatay “x” çizgisine hiç dokunmadan sonsuza uzanır.
Normal Dağılıma İlişkin İki Temel Parametre
μ = Ortalama: Popülâsyonun ortalaması olup tam merkezde yer alır.
σ = Standard Sapma: Popülâsyonun ortalamaya göre yayıklığı hakkında bilgi verir.
N = Popülâsyondaki data sayısı.
Sembolik olarak X’e ilişkin μ ve σ bilgilerini şöyle ifade ederiz:
X~N(μX, σX)
Normal Dağılıma İlişkin 3 Matematiksel Gerçek:
i.
ii.
iii.
Yaklaşık olarak popülâsyonun %68’i ortalamadan “1σ” kadar düşük ve “1σ” kadar
yüksek olan değerler arasında kalan aralıkta yer alır.
Popülâsyonun %95’i ortalamadan “2σ” kadar düşük ve “2σ” kadar yüksek olan
değerler arasında kalan aralıkta yer alır.
Popülâsyonun %99’u ortalamadan “3σ” kadar düşük ve “3σ” kadar yüksek olan
değerler arasında kalan aralıkta yer alır.
Standard Normal Dağılım (z)
Standard Normal Değişken “z” ile sembolize edilir ve “z” popülâsyonun ortalaması (μ) 0
(sıfır), standart sapması (σ) ise 1 (bir)’dir: Z~N (0, 1)
μ z = 0 σz = 1
Standard normal değerlere (z değerleri) ilişkin olasılık değerlerini veren “Standart Normal
Olasılık Tablosu”nu kullanarak farklı normal değişkenlere ilişkin olasılık sorularını
cevaplandırabiliriz. Ancak bu tabloyu kullanmadan önce söz konusu normal değişkenlere (x)
ilişkin kritik değerlere tekabül eden z değerlerini bulmamız gerekir. Bunu aşağıdaki formül
sayesinde kolayca yapabiliriz.
z=
Not: “z” tablosundaki ilgilendiğimiz “z*” değerine tekabül eden “olasılık” bize P(z ≤ z*)
verir.
Örnek 1:
Koç Holding’in İstanbul Borsası’ndaki hisse senedi fiyatı (geçmişteki günlük veriler
kullanılarak) ortalaması (μ) 100 TL, standart sapması (σ) ise 10 TL olarak tahmin edilen bir
normal dağılım olduğu varsayılmaktadır. Bunu veri alarak aşağıdaki soruları cevaplayınız.
29
a)
Gelecekte seçilen herhangi bir günde Koç holdingin hisse senedi fiyatını 120 TL’den
yüksek olması olasılığı nedir?
Çözüm:
P (x > 120 TL) = ?
X=120 TL’ye tekabül eden z değeri:
z=
=
=2
P (x > 120 TL) = P (z > 2) = 1 – P(z≤2)
= 1-0.97725
= 0.02275
b)
Koç Holding’in hisse senedi fiyatının rastgele
seçilen (gelecekteki) herhangi bir günde 90TL’den az olması olasılığı nedir?
z=
= -1
P (x < 90 TL) = P (z < -1)
P (x < 90 TL) = P (z < -1) = P (z > +1)
P (z > +1)
= 1 –P(z ≤ +1) = 1-0.84134
= 0.15866
P (x < 90 TL) = 0.15866
30
Örnek 2:
DAÜ İşletme Bölümü öğretim üyelerinden Yrd. Doç. Dr. Mehmet İslamoğlu Türkiye’deki
bankaların geçen yılki kârlarına göre dağılımının normal bir dağılım olduğunu düşünerek tüm
bankaların verilerini kullanarak (geçen yılki) ortalama kâr miktarının $600.000, dağılımın
standart sapmasının ise $100.000 olduğunu hesaplamıştır. Bu verileri kullanarak aşağıdaki
soruları cevaplayınız.
Eğer İslamoğlu hocamız özellikle geçen yılki kârları $500.000
ile $650.000 arasında yer alan bankaları analiz etmek istiyorsa ve Türkiye’deki toplam
banka sayısı (popülâsyon) 270 ise, bu hocamızın yaklaşık olarak kaç bankayı analız
edeceğini tahmin ediniz.
b)
Eğer İslamoğlu hocamız analiz etmek için rastgele bir banka
(Türkiye’de faaliyet gösteren) seçerse bu bankanın geçen yıl $400.000’dan fazla kâr
yapmış olma olasılığı nedir?
a)
Çözüm:
μ = $600.000 σ = $100.000
a)
1. Aşama: P($500.000 ≤ X ≤ 650.000)
Bu yüzdelik bize bu aralıklar arasında kâr etmiş olan bankaların toplan içindeki yüzdesini
verecektir.
A
$500.000
B
$600.000
$650.000
P($500.000 ≤ X ≤ 650.000) = P(z1 ≤ z ≤ z2)
z1 =
= -1
z2 =
= +0.5
“z” tablosunu kullanarak A ve B alanlarının ayrı ayrı toplam içindeki yüzdelerini
hesaplayabiliriz.
A Alanı = P(z ≤ +1) – 0.5 = 0.84134 – 0.5
= 0.34134
B Alanı = P(z ≤ 0.5) – 0.5 = 0.69146 – 0.5
= 0.19146
A+B
= 0.34134 + 0.19146 = 0.5328
P($500.000 ≤ X ≤ 650.000) = P(-1 ≤ z ≤ 0.5) = 0.5328
31
İslamoğlu’nun analiz edeceği banka sayısı
= 270 x 0.5328
= 143. 85
≈ 144
b)
400,000
z=
P(X > $400.000) = P(z > -2)
600,000
$
= -2
P(z ≥ -z) = P(z ≤ -z) = 0.97725
P(x > $400.000)
= 0.97725
32
2
TAHMİNLEME:
Her şirket, yatırımcı, üretici, tüketici, banka ve devlet kurumları için bir sürü farklı ekonomik
parametrenin gelecekte alabileceği değerlere ilişkin tahminler oluşturmak elzemdir. Bunun
başlıca nedeni ise yöneticilerin karar verme süreçlerinde bu tahminlere dayanarak karar
verdikleri gerçeğidir. Eğer bu tahminler gelecekte gerçekleşecek durumları büyük ölçüde az
bir hata payı ile öngörebilmiş ise alınan kararların özellikle kâr veya fayda maksimizasyonu
açısından optimal olması olasılığı artacaktır. Bugünün entegre olmuş global ekonomisinin
yol açtığı belirsizlikler enflasyon oranları, hisse senedi fiyatları, faiz oranları, ülkenin büyüme
hızı, emtia fiyatları ve altın fiyatı gibi parametrelerin gelecekteki değerlerine ilişkin
tahminleri elde etmek için bir çok banka, şirket, yatırımcı ve üreticinin zaman ve finansal
kaynak ayırmasını gerektirmektedir. Ancak çoğu şirket için geleceğe yönelik tahminlemede
en önemli unsur TALEP (Satış) tahminlemesidir. Bunun en önemli nedeni ise şirket
yöneticilerinin en önemli kararlarını alırken (çoğu zaman) en fazla ihtiyaç duydukları
bilgilerden birinin talebin gelecekte ne olacağına ilişkin tahminlerdir.
Özellikle aylık ve çeyrek dönemlik satış tahminlemesi çoğu şirket için karar verme
süreçlerinde elzemdir. Yani gelecek ay veya bir sonraki çeyrek dönemde satışların ne
olabileceği şirket yönetimlerinin belirli kararları alırken ve planlama yaparken ihtiyaç
duydukları bilgilerdir. Yıllık tahminler de önemlidir ancak bizim özellikle öğreneceğimiz
modeller aylık ve çeyrek dönemlik talep tahminlemesinde kullanılabilecek modellerdir.
Özellikle işletmelerin hangi kararlarında geleceğe yönelik talep (satış) tahminleri kullanmak
önemlidir?
İşletmelerin hemen hemen en önemli kararlarının, kâr maksimizasyonu açısından, hata payı
mümkün olduğunca en düşük olabilecek satış tahminleri temel alınarak alınması gerekir. Bu
kararların başlıca olanları şunlardır:
i.
ii.
iii.
Üretim Kararları: Önümüzdeki dönemde (ayda veya çeyrekte) ne kadar üretim
yapılacağına ilişkin kararlar.
Girdi Siparişlerine İlişkin Kararlar: Önümüzdeki dönemde ne kadar hammadde,
işgücü, ekipman, ara malı ve işletme sermayesine ihtiyaç duyulabileceğine ilişkin
kararlar.
Fiyatlandırmaya İlişkin Kararlar: Önümüzdeki dönemde ürün fiyatlarının ne
olması gerektiğine ilişkin kararlar.
33
iv.
v.
vi.
Reklam Politikasına İlişkin Kararlar: Önümüzdeki dönemde reklam ve
pazarlama bütçesinin ne olması gerektiğine ilişkin kararlar.
Stok Karaları: Stokların optimal seviyesinin ne olması gerektiğine ilişkin kararlar.
Kapasite Büyütmeye İlişkin Yatırım Kararları
Öğreneceğimiz Tahminleme Modellerinin Metodolojisi
Bizim bu derste öğreneceğimiz tahminleme modellerin en temel özelliği “Geçmiş (satış)
Verilerini” kullanarak “Geleceğe” ilişkin tahminler geliştirmeleridir. Bir başka deyişle
aşağıda gösterdiğimiz gibi bir sonraki döneme göre ilişkin satış tahmini (F t+1) o ürüne ilişkin
geçmiş satış verilerinin fonksiyonu olarak elde edilir.
Ft+1 = f(Xt, Xt-1, Xt-2 … Xt-n)
Xt = En son dönemde gerçekleşen satış miktarı.
Örnek:
34
Tahminleme Uygulamasında Temel Aşamalar
Satış tahminlemesi yapılacağında aşağıda özetlemiş her bir aşamanın nasıl uygulanacağını
bilmeniz gerekir:
Aşama 1 : İlgilendiğiniz ürünün geçmiş satışlara ilişkin verilerini kullanarak geçmişteki
“satış paternini” (eğilimini) elde ederek ürünün bu bağlamda tipini belirleyiniz.
Aşama 2 : Bu tip ürün için satış tahmini elde etmekte kullanabileceğiniz “tahminleme
modellerini” belirleyiniz.
Aşama 3 : Geçmiş satış verilerini kullanarak her modelin “hatalar karelerinin ortalamasını”
(H.K.O.) hesaplayınız.
Aşama 4 : Alternatif modeller arasında “minimum” (en küçük) HKO’ya sahip model “EN
İYİ MODEL”dir. Bu modeli kullanarak gelecek döneme ilişkin “satış tahminini”
elde ediniz.
HKO’YA İlişkin Özet Bilgi
HKO testi modellerin tahminleme kesinliğine ilişkin olarak kullanılan testlerden birisidir.
Geçmiş veriler kullanılarak her modelin geçmişteki tahminlemedeki hataları kullanarak söz
konusu modellerin HKO’su hesaplanır. Minimum HKO’ya sahip model o anda tahminleme
için (o ürüne ilişkin olarak) kullanılması gereken en iyi (en uygun) modeldir.
HKO =
et = Xt - Ft
et = t dönemindeki tahmin hatası
Ft = t dönemine ilişkin SATIŞ TAHMİNİ
xt = t dönemine ilişkin gerçekleşmiş olan SATIŞ veya TALEP miktarı.
n = HKO’nun hesaplanmasında kullanılan “tahminleme örneklemindeki” veri sayısı.
Aşama 1’in Uygulanması:
Ürünün satış paternine göre hangi tip olduğunu nasıl belirleyebiliriz?
Bunun için ilgilendiğimiz tahminin zaman boyutu olarak “aylık” veya “çeyrek dönem”
olmasına bağlı olarak geçmiş satış rakamlarını (verilerini) grafik üzerinde noktalar halinde
işaretler ve bu noktaları birbirine düz çizgilerle birleştirerek ortaya çıkan paternini elde
ederiz. Bu paternin bize ürünün aşağıda belirtilmiş 8 ayrı tipten olduğunu belli edecektir.
35
Satış Paternlerine Göre Ürün Tipleri:
A) Mevsimsel Olmayan Ürünler
B) Mevsimsel Ürünler
1. Sabit Miktarlı
1. Sabit Miktarlı
2. Doğrusal Trend
2. Doğrusal Trend
3. Eksponensiyal Trend
3. Eksponensiyal Trend
4. Baskılanmış Trend
4. Baskılanmış Trend
A) Mevsimsel Olmayan Ürünlerin Satış Paternleri
1. Sabit Miktarlı Ürünler
Bu ürünlerin her dönem için satış miktarları sabittir. Ancak gerçek hayatta her zaman bu
olmayabilir. Ortaya çıkan grafiksel paternin (eğilim) mükemmel olmasa bile yaklaşık bir
sabit miktar paterni izlenimi verebilir. Bu durumda da o ürünü bu tip kabul etmek gerekir.
36
2. Doğrusal Trend
Doğrusal Trend’e sahip mevsimsel olmayan ürünleri satışları zaman boyutunda sabit bir
oranda artan ürünlerdir. Bundan dolayı geçmiş satış verileri kullanılarak elde edilen paternin
pozitif eğilimi düz bir çizgi olarak kendisini gösterir.
3. Eksponensiyal Trend
Eksponensiyal Trend’e sahip mevsimsel olmayan ürünlerin özellikleri ise dönemlik (aylık
veya üçer aylık) satış miktarlarının zaman boyutunda artan oranda bir artış göstermesidir.
Yani dönemlik satış miktarı zaman boyutunda artmakla kalmıyor, artış miktarı da (trendin
kendisi de) giderek artmaktadır. Bu tür ürünlerin satış paterni aşağıdaki grafikte
gösterilmiştir.
37
4. Baskılanmış Trend
Bu tip mevsimsel olmayan ürünlerin dönemlik satışları zaman boyutunda azalan bir oranda
artan ürünlerdir. Yani satışlar artmakla beraber trendin kendisi azalmaktadır. Bu ürünlerin
satış paterni aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.
38
B) Mevsimsel Ürünlerin Satış Paternleri
Mevsimsel ürünler her yıl belirli aylarda veya çeyrek dönemlerde sistematik olarak (yani
düzenli olarak) artış veya azalış gösteren ürünlerdir. Buna paralel olarak her tip ürünün
mevsimsel dalgalanmalar göstermesi halinde satış paternleri aşağıdaki örneklerde
gösterilenlere benzer özellikler gösterilecektir.
39
1. Sabit Miktarlı Ürünler
2. Doğrusal Trend
40
3. Eksponensiyal Trend
4. Baskılanmış Trend
41
Aşama 2 : Bu tip ürün için satış tahmini elde etmekte kullanabileceğimiz elde etmekle
kullanabileceğiniz “tahminleme modellerini” belirleyiniz.
Ürün tipini belirledikten sonra bu tip için geliştirilmiş tahminleme modellerini belirlemeliyiz.
Genellikle her tip ürün için birden fazla tahminleme modeli söz konusu olabilir. Biz bu derste
sadece iki tip ürüne yönelik tahminleme modellerinin uygulamasını göreceğiz. Bu ürünler
“mevsimsel olmayan sabit miktarlı ve doğrusal trend”e sahip ürünlerdir. Bu ürünlerin satış
tahminlemelerinde kullanılmak üzere geliştirilmiş modeller aşağıda sıralanmıştır.
Mevsimsel Olmayan Sabit Miktarlı Ürünler İçin Tahminleme Modelleri
1. Naif (Deneyimsiz) Model
2. Hareketli Ortalamalar
3. Basit Eksponensiyal Düzeltme Modeli
Mevsimsel Olmayan Doğrusal Trende Sahip Ürünler İçin Tahminleme Modelleri
1. Naif (Deneyimsiz) Model
2. Zaman Serili Regresyon Modeli
3. Doğrusal Trendi Düzeltme Modeli
Yukarıda gösterildiği gibi her tip ürün için tahminlemede kullanılabilecek birden fazla model
vardır. Bu ise bir sorunu beraberinde getirmektedir. Belirli bir zaman kesitinde ilgilendiğimiz
ürünün satış tahminlemesinde kullanmamız gereken en iyi model alternatif 3 modelden
hangisidir? Bunun cevabını aşağıda açıkladığımız 3. Aşama ile nasıl elde edebileceğimizi ilk
önce teorik olarak, daha sonra ise modellerin uygulamaları gösterilirken öğreneceğiz.
Aşama 3 : Geçmiş satış verilerini kullanarak
ortalamasını” (H.K.O.) hesaplayınız.
her
modelin
“hatalar
karelerinin
Alternatif modellerden (tahminleme için) belirli bir zaman kesitinde en iyi modelin hangisi
olduğunu bulmak için bu modeller arasında geçmiş veriler bağlamında “en iyi tahmin
performansını” göstermiş olanın hangi model olduğunu bulmamız gerekir. Geçmiş tahmin
performansını değişik ölçütler kullanarak ölçebiliriz. Ancak biz bu derste bunlardan bir
tanesini kullanacağız. Bu ölçüt ise minimum H.K.O.’ya sahip model ölçütüdür. Bu aşamada
H.K.O.’nun nasıl hesaplanacağını genel olarak anlatacağız.
HKO =
et = Xt - Ft
42
H.K.O.’nun Hesaplanması Yönteminin Unsurları
1. Geçmiş satış verilerini elde ediniz.
2. Elinizde yeterli sayıda veri (aylık en az 12, çeyrek dönemlik olarak en az 8 tane veri)
varsa, bu verileri yani örneklemi iki yarım örnekleme bölünüz. Bu örneklemenin birincisine
alıştırma (veya ısınma) örneklemi, ikinci örnekleme ise tahminleme örneklemi denir. Eğer
yeterli sayıda veri yoksa tüm veri seti (tüm örneklem) tahminleme örneklemi olarak kabul
edilir.
3. Her modeli ayrı ayrı verilerin en başından itibaren uygulayın ve mümkün olan her dönem
için satış tahminlerini ve bunların tahmin hatalarını elde ediniz.
4. H.K.O.’yu sadece tahminleme örneklemine ilişkin tahmin hatalarını kullanarak
hesaplayınız.
Aşama 4 : Alternatif modeller arasında “minimum” (en küçük) HKO’ya sahip model
“EN İYİ MODEL”dir. Bu modeli kullanarak gelecek döneme ilişkin satış
tahminini elde ediniz.
Bu modelin geleceğe ilişkin satış tahminini temel alarak yönetsel kararınızı veriniz.
Mevsimsel Olmayan Sabit Miktarlı Ürünler İçin Tahminleme Modelleri
1. Naif (Deneyimsiz) Model
Bu modelin uygulaması basittir. Formül aşağıdaki gibidir:
Ft+1
= xt
Ft+1
: Gelecek döneme (aya veya çeyreğe) ilişkin tahmin
xt
: Şimdiki döneme ilişkin gerçekleşmiş satış miktarı
Örnek 1:
Eğer Şubat 2013’te gerçekleşmiş satış miktarı 305 ise naif modele göre Mart 2013’te de
satışlar 305 olacaktır.
FMart,2013 = FŞubat,2013
Örnek 2:
Eğer X2.çeyrek,2013 = 500, naif modelin 3. Çeyrek tahmini de 500 olacaktır.
F3.çeyrek,2013 = 500 = X2.çeyrek,2013
43
Şimdi de Naif Modelin hem uygulamasını hem de H.K.O.’nun hesaplanmasını gösterecek ve
daha sonra da diğer iki modelin uygulamasında da kullanacağımız bir tahminleme problemini
ele alacağız.
Problem 1:
Kuzey Kıbrıs Arçelik Bayiliği 2014 yılının Ocak ayında Televizyon talebine ilişkin tahmin
geliştirmek istemektedir. Ocak ayı öncesinde gerçekleşmiş olan TV satış miktarları (adet
olarak) geçmiş 12 ay için aşağıda gösterilmiştir. Naif modeli kullanılarak hem Ocak 2014 için
satış tahmini elde ediniz, hem de naif modelin H.K.O.’nı hesaplayınız.
Ay
2013 Ocak
Şubat
Mart
Nisan
Mayıs
Haziran
Temmuz
Ağustos
Eylül
Ekim
Kasım
Aralık
2014 Ocak
Alıştırma Örneklemi
T
Xt
1
28
2
27
3
33
4
25
5
34
6
33
7
35
8
30
9
33
10
35
11
27
12
29
13
Tahminleme Örneklemi
Ft
et
28
27
33
25
34
33
35
30
33
35
27
29
-1
+6
-8
+9
-1
+2
-5
+3
+2
-8
+2
Yukarıdaki örnekte toplam geçmiş veri sayısı 12 olduğu için ve bu da aylık tahminlemede
veri setinin iki yarım örnekleme bölünebilmesi için yeterlidir. Veri setinin ilk yarısı yani
Ocak – Haziran 2013 arasında kalan veri setinin ilk yarısı alıştırma (veya ısınma)
örneklemi, Temmuz – Aralık 2013 arasındaki ikinci yarımda yer alan veri seti ise
tahminleme örneklemi olarak alınır. Yukarıda görüldüğü gibi veri setinde yer alan birinci
aya (Ocak 2013) ilişkin bir tahmin (Ft) ve tahmin hatası et (naif modelle) elde edilememiştir.
Çünkü bu ay öncesine ilişkin gerçekleşmiş satış rakamı veri setinde yoktur. Daha sonraki
aylar için tahminler ve tahmin hataları aşağıdaki örneklerde olduğu gibi elde edilmiştir:
F2 = 28,
e2 = X2 – F2 = 27 – 28 = -1
F3 = 27,
e3 = X3 – F3 = 33 – 27 = +6
F4 = 33,
e4 = X4 – F4 = 25 – 33 = -8
44
a. Naif modele göre Ocak 2014’e ilişkin televizyon satış tahmini (F13) 29’dur.
b. Elimizde yeterli veri olduğu için ve dolayısı ile elimizdeki veri setini iki eşit örnekleme
böldüğümüz için yalnız bu vakada sadece ikinci yarımdaki verilerin oluşturduğu tahminleme
örneklemine ilişkin tahmin hataları (et) kullanılarak H.K.O hesaplanır:
12
H .K .O.
e
t 7
2
t
6
(2) 2 (5) 2 (3) 2 (2) 2 (8) 2 (2) 2
6
H.K.O. = 18.3
Problem 2:
İş Bankasının İstanbul merkezinde görevli bir portföy yöneticisi geçmiş verileri kullanarak
çeyrek dönemlik toplam tasarruf mevduat miktarının (TL olarak) mevsimsel olmayan sabit
miktarlı bir eğilim (patern) gösterdiğini tespit etmiştir. Bu yönetici gelecek çeyrek döneme
ilişkin bankanın izlemesi gereken optimal portföy yatırımı ve buna ilişkin faiz politikalarının
ne olması gerektiğini değerlendirebilmesi için gelecek çeyrek dönemde toplam tasarruf
mevduatlarının olası miktarına ilişkin bir tahmine ihtiyaç duymaktadır. Aşağıdaki tabloda
verilmiş geçmiş tasarruf mevduatlarına (milyon TL) ilişkin verileri ve naif modeli kullanarak
2013 yılının ikinci çeyreği için bir tahmin elde ediniz ve bu modelin H.K.O.’nı hesaplayınız.
Yıl-Çeyrek
T
2011 – 3
2011 – 4
2012 – 1
2012 – 2
2012 – 3
2012 – 4
2013 – 1
2013 – 2
1
2
3
4
5
6
7
8
Mevduat Ft
et
Miktarı
120
100
120
-20
110
100 +10
130
110 +20
90
130
-40
110
90 +20
100
110
-10
100
a) Naif Modelin 2013 2. Çeyrek için tahmini 100 milyon TL’dir. Çünkü bir önceki
çeyrekte (7. çeyrek) gerçekleşen mevduat miktarı 100 milyon TL olmuştur.
b) H.K.O. Elimizde yeterli veri olmadığı için elimizdeki tahmin hatalarını H.K.O.’nın
hesaplanmasında kullanmamız gerekir. Yani tüm örneklem tahmin örneklemidir.
H.K.O.
=
(20) 2 (10) 2 (20) 2 (40) 2 (20) 2 (10) 2
6
= 500
45
2. Hareketli Ortalamalar (H.O.)
Adından da anlaşılacağı gibi bu modelin birden fazla alternatif formülasyonu vardır. Tüm
formülasyonların mantığı aynıdır: geçmiş satış verilerinin ortalamasını gelecek dönemin satış
tahmini olarak kullanmak. Alternatif geçmiş verilerin ortalamasının nasıl hesaplanacağına
ilişkindir:
Aşağıdaki çizelge alternatif ortalama formülasyonlarının neler olabileceği hakkında bir fikir
verebilir.
Hareketli Ortalama Modelleri
A. Basit H.O. Modelleri
B. Ağırlıklı H.O. Modelleri
1. 2 dönemli basit H.O.
1. 2 dönemli ağırlıklı H.O.
2. 3 dönemli basit H.O.
2. 3 dönemli ağırlıklı H.O.
3. 4 dönemli basit H.O.
3. 4 dönemli ağırlıklı H.O.
.
.
.
.
.
.
11. 12 dönemli basit H.O.
11. 12 dönemli ağırlıklı H.O.
2-dönemli basit H.O. modeli
Ft+1 =
xt x t 1
2
3-dönemli basit H.O. modeli
Ft+1 =
xt xt 1 xt 2
3
2-dönemli ağırlıklı H.O. modeli
Ft+1
= wt xt wt 1 xt 1
wt + wt 1 = 1 & wt > wt 1
3-dönemli ağırlıklı H.O. modeli
Ft+1
= wt xt wt 1 xt 1 wt 2 xt 2
wt + wt 1 + wt 2 = 1 & wt > wt 1 > wt 2
46
Örnek:
wt = 0.5, wt 1 = 0.3, wt 2 = 0.2
Daha önce naif model için kullandığımız (problem 1) vakadaki verileri kullanarak 3-dönemli
(basit) H.O. Modeli uygulayarak hem Ocak 2014 için televizyon satışlarının ne olabileceğine
ilişkin tahminleme yapalım, hem de bu modelin H.K.O’nı hesaplayalım:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Xt
28
27
33
25
34
33
35
30
33
35
27
29
Ft
et
29.3
28.3
30.7
30.7
34.0
32.7
32.7
32.7
31.7
30.3
-4.3
+5.7
+2.3
+4.3
-4
+0.3
+2.3
-5.7
-2.7
Çözümün örnek uygulamaları:
Ft+1 =
xt xt 1 xt 2
3
Bu model ile ancak 4. dönemden itibaren tahmin elde edebiliriz:
F4 =
33 27 28
= 29.3
3
e4 = 25 - 29.3 = -4.3
F5 =
25 33 27
= 28.3
3
e5 = 34 - 28.3 = +5.7
F13 =
29 27 35
= 30.3
3
= Ocak 2014 ayı satış tahmini
47
Bu modelin H.K.O.’su
12
H .K .O.
e
t 7
2
t
6
12
H .K .O.
e
t 7
6
H.K.O. = 13.3
2
t
(4.3) 2 (4) 2 (0.3) 2 (2.3) 2 (5.7) 2 (2.7) 2
6
3. Basit Eksponensiyal Düzeltme Modeli
Bu modelin tahminleme formülü:
Ft+1
= Ft et
0< <1
= düzeltme parametresi
Bu modeli geçmiş veri setine uyarlayabilmek için 2 değere ihtiyaç vardır:
1) F1 değerine
2) En iyi değeri
Not: Olası değerleri:
α = 0.1, 0.2, 0.3, … , 0.9
Önemli Aşamalar
Aşama 1: Eğer yeterli sayıda veri var ise, F1 alıştırma örnekleminin ortalaması bulunarak
elde edilir. Eğer yeterli veri yoksa F1 tüm veri setinin ortalaması bulunarak elde
edilir.
Aşama 2: Eğer yeterli veri varsa, en iyi α değeri modelin alternatif 9 α değeri ile 9 defa ayrı
ayrı alıştırma örneklemine uygulanması ve her defasında H.K.O’nın hesaplanması
sonucunda elde edilir. Bunlar arasında en iyi α değeri en küçük H.K.O’ni veren
değerdir. Eğer yeterli sayıda veri yoksa en iyi α değeri aynı metot ile tüm
örneklem kullanılarak elde edilir.
Aşama 3: En iyi α değeri ile modeli kullanarak geleceğe yönelik tahmin ve modelin
H.K.O.’nı elde ederiz. Eğer yeterli veri yoksa 2. aşamada en iyi α değeri ile elde
edilen en küçük H.K.O. modelin H.K.O. olarak kabul edilir.
48
Örnek1:
Basit eksponensiyal düzeltme modelini kullanarak naif ve H.O. modellerinde 1. örnek olarak
kullandığımız aylık TV satış rakamlarını kullanarak 13. dönem olan 2014-ocak ayı için bir
satış tahmini elde ediniz.
Not: α değerini 0.1 olarak alınız.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Xt
28
27
33
25
34
33
35
30
33
35
27
29
Ft
30.0
29.8
29.5
29.9
29.4
29.9
30.2
30.7
30.6
30.8
31.2
30.8
30.6
et
-2
-2.8
3.5
-4.9
4.6
3.1
4.8
-0.7
2.4
4.2
-4.2
-1.8
Elimizde yeterli sayıda veri olduğu için daha önce olduğu için daha önce olduğu gibi veri
setinin ilk yarısı alıştırma örneklemi, ikinci yarısı ise tahminleme örneklemi olarak alınır.
28 27 33 25 34
6
= 30
F1 =
Ft+1
= Ft et
F2
= F1 + α (e1)
= 30 + 0.1(-2)
= 29.8
F3
= F1 + α (e2)
= 29.8 + 0.1(-2.8)
= 29.5
F13
= F12 + α (e12) = 30.8 + 0.1(-1.8)
= 30.6
α = 0.1
12
H .K .O.
e
t 7
2
t
6
(4.8) 2 (0.7) 2 (2.4) 2 (4.2) 2 (4.2) 2 (1.8) 2
6
H.K.O. = 11.3
Not: Her bir olası α değeri ile alıştırma örneklemine ilişkin H.K.O. hesaplanırsa, en küçük
H.K.O.’nın α = 0.1 ile elde edildiği görülebilir.
49
Örnek 2:
Aşağıdaki tabloda çeyrek dönemler itibarı ile VESTEL şirketinin geçmiş 5 dönemlik
buzdolabı satış miktarları (x) verilmiştir. Basit eksponensiyal uyarlama modelini kullanarak
2014 yılının 1 çeyreğindeki olası buzdolabı satış miktarını tahmin ediniz ve en iyi α değerini
0.5 varsayarak bu modelin H.K.O.’nı hesaplayınız.
Yıl – Çeyrek
2006 – 1
2006 – 2
2006 – 3
2006 – 4
2007 – 1
2007 – 2
t
1
2
3
4
5
6
Xt
5000
4800
5200
5100
4900
Ft
F1 = 5000
F2 = 5000
F3 = 4900
F4 = 5050
F5 = 5075
F6 = 4987.5
et
0
-200
300
50
-175
Çözüm:
F1 =
5000 + 4800 + 5200 + 5100 + 4900
= 5000
5
F2 = 5000 + 0.5(0)
= 5000
F3 = 5000 + 0.5(-200) = 4900
F4 = 4900 + 0.5(300) = 5050
F5 = 5050 + 0.5(50)
= 5075
F6 = 5075 + 0.5(-175) = 4987.5
5
H .K .O.
e
t 1
2
t
5
(0) 2 (200) 2 (300) 2 (50) 2 (175) 2
5
H.K.O. = 11.3
50
Mevsimsel Olmayan ve Doğrusal Trende Sahip Ürünler İçin Tahminleme Modelleri
1. Naif (Deneyimsiz) Model
Naif model bu tip ürünler için de kullanılabilir. Bu modelin uygulamasının sabit miktarlı
ürünlerin satış tahminlemesinde nasıl yapılacağını daha önce görmüştük. Bu nedenle bu
modeli tekrar etmemize gerek yok.
2. Zaman Serili Regresyon Modeli
Bu modelin temel varsayımı dönemlik satışların zamana bağlı olarak doğrusal (lineer) bir
şekilde artmış olduğudur. Bir başka deyişle bağımsız değişken olarak kabul edilen zamanın
dönemsel değerine paralel olarak satış miktarının sabit bir oranda artacağı öngörülür.
Ft = a+bt
t = zaman değişkeninin dönemsel değeri
Bu formülü kullanabilmemiz için a ve b değerlerini elde etmemiz gerekir. Bu değerler
istatistik biliminin temel araçlarından olan ve regresyon analizi’nin temelini oluşturan en
küçük kareler yöntemi ile elde edilir. Bu yöntemin ana unsuru biri bağımlı, diğeri bağımsız
olan iki değişken arasındaki lineer ilişkiyi simgeleyen a ve b değerlerinin aşağıdaki formüller
kullanılarak tahmin edilmesidir.
En Küçük Kareler Formülleri
b=
b=
a=
x=
t=
tx nt x
t nt
2
2
a = x bt
doğrusal (lineer) trendin çizgisinin eğimi
doğrusal trend çizgisinin dikey ekseni kestiği nokta
bağımlı değişkenin (satış miktarının) değerleri
bağımsız değişkenin (zaman) değerleri
x = x değerinin ortalaması
t = t değerinin ortalaması
51
Modelin Uygulanmasında Önemli Unsurlar
a. Eğer yeterli sayıda verimiz varsa a ve b formüllerinde sadece alıştırma örnekleminde
yer alan x ve t değerlerini kullanırız. Aksi takdirde (yani yeterli veri yoksa) tüm
veriler kullanılarak a ve b elde edilir.
b. İlk önce b değeri, sonra buna bağlı olarak a değeri hesaplanır.
c. a ve b değerleri elde edilince, F = a + bt formülü tahminleme örneklemi üzerinde
kullanılarak modelin H.K.O. hesaplanır ve geleceğe ilişkin tahminler yapılır.
Örnek:
Aşağıdaki tabloda verilen aylık satış rakamları Mercedes marka arabaların Kuzey Kıbrıs’taki
geçmiş satışlarını yansıtmaktadır. Bu verileri kullanarak zaman serili regresyon modeli ile
2014 yılı Ocak ve Şubat ayları için Mercedes talebinin ne olacağına ilişkin tahmin geliştiriniz
ve bu modelin H.K.O’nı hesaplayınız.
Ay
2013 Ocak
Şubat
Mart
Nisan
Mayıs
Haziran
Temmuz
Ağustos
Eylül
Ekim
Kasım
Aralık
2014 Ocak
2014 Şubat
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Xt
60
55
64
51
69
66
83
90
76
95
72
88
??
??
Ft
et
66.8
68.5
70.2
71.9
73.6
75.3
F13 = 77.0
F14 = 78.7
16.2
21.5
5.8
23.1
-1.6
12.7
Tahminleme Formülü: Ft = a+bt
A ve b en küçük kareler formülleri ile ve sadece alıştırma örnekleminde yer alan t ve x
değerleri kullanılarak elde edilir:
b
=
tx
= (1x60) + (2x55) + (3x64) + (4x51) + (5x69) + (6x66)
tx nt x
t
2
nt 2
= 1307
t
2
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52+ 62 = 91
52
t
2
x
b
=
t = 1 2 3 4 5 6 3.5
=
x=
n
6
60 55 64 51 69 66
60.8
6
n
(1307) (6)(3.5)(60.8)
1.7
=
(91) (6) (3.5) 2
a
= x bt
a
= 60.8 – (1.7)(3.5) = 54.9
Ft
= 54.9 + 1.7t
F1
= 54.9 + 1.7(1)
= 56.6
F7
= 54.9 + 1.7(7)
= 66.8
F13
= 54.9 + 1.7(13)
= 77
F14
= 54.9 + 1.7(14)
= 78.7
H.K.O’nı elde etmek için tahminleme örneklemini oluşturan ikinci yarıdaki verilere ilişkin
tahmin hatalarını kullanınız:
12
H .K .O.
e
t 7
2
t
6
(16.2) 2 (21.5) 2 (5.8) 2 (23.1) 2 (1.6) 2 (12.7) 2
6
H.K.O. = 242.6
3. Doğrusal Trendi Düzeltme Modeli
Bu model diğer modellere göre uygulaması daha fazla zaman ve dikkat gerektirir. Modelin 3
temel denklemi (eşitliği) vardır:
1. Ft+1 = St + Tt
2. St
= Ft + α1et
3. Tt = Tt-1 + α2et
0< α1<1
0< α1<1
St = t dönemi sonunda uyarlanmış seviye
Tt = t dönemi sonunda uyarlanmış trend
53
Modelin Uygulanmasında 3 Önemli Aşama
Aşama 1. Eğer yeterli sayıda veri varsa regresyon modeli alıştırma örneklemine
uygulanır, a ve b değerleri tahmin edilir. F1 = S0 + T0 = a + b kullanılarak F1
elde edilir. Eğer yeterli veri yoksa a ve b tüm veri seti kullanılarak tahmin
edilir. Yani a = S0 ve b = T0 olarak kabul edilir.
Aşama 2. En iyi α1 ve α2 rakamlarını elde etmek için model alternatif (α1 ve α2) değerleri
ile alıştırma örneklemine uygulanır ve en küçük H.K.O. sonucunu veren (α1 ve
α2) bileşimi en iyi (α1 ve α2) değerleri olarak seçilir. Eğer yeterli veri yoksa en
iyi (α1 ve α2) değerleri tüm veri seti kullanılarak elde edilir.
Aşama 3. Eğer yeterli veri varsa, modelin H.K.O. tahminleme örneklemine uygulanarak
elde edilir. Eğer yeterli veri yoksa Aşama 2’de en iyi (α1 ve α2) değerleri ile
elde edilen en küçük H.K.O. modelin H.K.O. olarak kabul edilir.
Örnek:
Bir önceki Regresyon modelinin uygulanmasında kullandığımız veri setini kullanarak bu
modelin nasıl kullanılabileceğini hem H.K.O.’nı hesaplayarak, hem de 2014 Ocak dönemi
için tahminleme yaparak kısaca gösterelim:
Ay
Ocak 2013
Şubat
Mart
Nisan
Mayıs
Haziran
Temmuz
Ağustos
Eylül
Ekim
Kasım
Aralık
Ocak 2014
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Xt
60
55
64
51
69
66
83
90
76
95
72
88
??
Ft
56.6
58.6
59.9
62
62.5
64.9
66.5
70.1
74.2
76.5
80.7
84
86.8
et
3.4
-3.6
4.1
-11
6.5
-1.1
16.5
19.9
1.8
18.5
8.7
4
Pratikte alternatif α1 ve α2 değerleri şöyledir:
α1 = 0.1, 0.2, 0.3, ..., 0.9
α2 = 0.01, 0.02, 0.03, ..., 0.09
Eğer alternatif α1 ve α2 değerlerini kullanarak modeli alıştırma örneklemi olan ilk 6 veriye
uygularsanız en iyi α değerinin α1 = 0.1 ve α2 = 0.01 olduğunu görürsünüz. α1 = 0.1 ve α2 =
0.01 olarak kabul edip modeli uygulayalım:
F1 = S0 + T0 = a + b = 54.9 + 1.7 = 56.6
F2 = S1 + T1 = 56.9 + 1.7
= 58.6
54
S1 = F0 + α1(e1)
T1 = T0 + α2(e1)
= 56.6 + 0.1(3.4) = 56.94 ≈ 56.9
= 1.7 + 0.01(3.4) =1.734 ≈ 1.7
F13 = S12 + T12
S12 = F12 + α1(e12) = 84 + 0.1(4)
T12 = T11 + α2(e12) = 2.4 + 0.01 (4)
F13 = 84.4 + 2.4 = 86.6
= 84.2
= 2.4
12
H .K .O.
e
t 7
6
2
t
(16.5) 2 (19.9) 2 (1.8) 2 (18.5) 2 (8.7) 2 (4) 2
6
H.K.O. = 184.2
55
3
BELİRSİZLİK VE RİSK ALTINDA KARAR VERME:
Gerek reel sektörde, gerekse finansal sektörde olsun yöneticilerin (karar vericilerin) her türlü
kararı verirken karşılaştıkları en önemli sorunlardan birisi de (çoğu zaman) verecekleri
kararların sonuçlarının (faydalarının) ne olacağını kesin bir şekilde bilememeleridir. Yani
yöneticiler gerek üretimle ilgili olsun gerekse yatırımla ilgili olsun her türlü kararın
gelecekteki faydasının (kâr, hâsılat veya getirisi) ne olacağını tam bir kesinlikte bilmeden
karar vermek zorundadırlar. Bu koşullar altında optimal (en iyi) kararı verebilmek için
uygulanabilecek analitik ve sayısal yöntemlerin en önemlilerinin neler olduğunu bu bölümde
inceleyeceğiz. Bu konular yönetsel bilimlerde karar alma teorisi bağlamında geliştirilmiştir.
Karar Vermede Temel Aşamalar
Aşama 1. Karşı karşıya olduğunuz karar verme problemini net bir şekilde tanımlayınız.
Aşama 2. Bu problemin çözümüne yönelik fizibilitesi olan olası karar alternatiflerini
sıralayın.
Aşama 3. Doğa durumlarını sıralayın.
Aşama 4. Fayda (getiri) matriksini hazırlayın.
Aşama 5. İçinde bulunulan karar verme ortamında kullanabileceğiniz stratejilerden
(kriter ya da ölçütlerden) uygun gördüğünüz bir tanesini kullanarak optimal
karar alternatifini belirleyiniz.
Doğa Durumları Nedir?
Karar verme sürecinde doğa durumları karar vericinin kontrolü altında olmayan ve söz
konusu olan alternatif kararların her birinin gelecekteki faydasının ne olacağını belirleyecek
olan kritik parametrelere veya olaylara ilişkin alternatif olası senaryolardır.
Fayda Matriksi (Tablosu)
Fayda matriksi her bir olası karar alternatifi ile doğa durumu bileşeninin gerçekleşmesi
durumunda elde edilmesi öngörülen fayda (kâr hâsılat veya getiri) miktarının tahmin
edilmesiyle oluşturulur.
56
Alternatif Karar Verme Ortamları
1.
2.
3.
Kesinlik: Bu durumda yönetici (karar verici) gelecekte hangi doğa
durumunun gerçekleşeceğini tam bir kesinlikle bilir. Bu oldukça az rastlanan bir
ortamdır.
Belirsizlik:
Karar verici sadece olası doğa durumlarının neler
olduğunu bilir.
Risk:
Karar verici hem olası doğa durumlarını, hem de her birinin
gerçekleşme olasılığını bilir.
Kesinlik ortamında en iyi (optimal) karar alternatifini belirleme oldukça kolaydır:
Gerçekleşeceği bilinen doğa durumunda en yüksek faydayı sağlayan karar alternatifi optimal
karardır.
Gerçek hayatta şirketler çoğu zaman ya belirsizlik, ya da risk ortamında karar verirler.
Bunların her birinde (ayrı ayrı) kullanılabilecek stratejiler (kriter veya ölçütler) aşağıda
sıralanmıştır:
Belirsizlik Ortamında Kullanılabilecek Stratejiler
1.
2.
3.
4.
Maksi – Maks
Maksi – Min
Gerçekçilik (realist)
Mini – Maks Pişmanlık
Risk Ortamında Kullanılabilecek Stratejiler
1. Beklenen Değer
2. Maksimum Olasılık
3. Rasyonalite (Akılcılık)
Belirsizlik Ortamına İlişkin Stratejilerin Uygulanması
Örnek Vaka:
İstanbul’da merkezi bulunana RAKS adlı firma iç pazara yönelik CD üretmektedir. Son
aylarda satışlar mevcut üretim kapasitesinin üzerinde gerçekleşmekte ve bu ilave talep hızla
stokları tüketmektedir. Firma yönetimi bu artan talebi optimal şekilde karşılayacak ürün arzı
artışının ne olduğuna karar vermek istemektedir.
Çözüm:
Firma yönetimi daha önce sözünü ettiğimiz karar vermeye ilişkin 5 aşamalı süreci aşağıdaki
gibi uygulamıştır.
Aşama 1. Piyasaya arzı artırmanın optimal (en iyi) yolu nedir?
Aşama 2. Fizibilitesi Olan Karar Alternatifleri: Firma yönetimi piyasaya CD arzını 3 farklı
alternatif yolla artırabileceklerine ve bunların üçünün de yapılabilir olduğuna karar
vermişlerdir. Bu 3 karar alternatifi aşağıda belirtilmiştir:
57
Fizibilitesi Olan Karar Alternatifleri
Mevcut fabrikanın üretim Yeni bir fabrika inşa etmek
kapasitesini artırmak
Başka firmalardan ihtiyaç
duyulan ilave miktarı satın
almak
Aşama 3. Doğa Durumları: Firma yönetimi bu karar verme probleminde yukarıda sıralanmış
karar alternatiflerinin gelecekte yaratabilecekleri toplam faydanın büyük ölçüde
kendilerinin tam olarak kontrolünde olmayan gelecekteki talebe bağlı olduğunu
düşünerek buna yönelik 4 ayrı doğa durumunu olası görmektedirler:
Doğa Durumları
a.
b.
c.
d.
Yüksek Talep
Orta Talep
Düşük Talep
Başarısızlık
- yaklaşık 2 milyon adet yıllık satış
- yaklaşık 1 milyon adet yıllık satış
- yaklaşık 0.5 milyon adet yıllık satış
- hiç satış olmaması
Aşama 4. Fayda Matriksi (Tablosu): Firma yönetimi bu vakada karar alternatiflerinin
geleceğe yönelik toplam faydasını önümüzdeki 5 yılda gerçekleşebilecek toplam
kâr olarak kabul etmektedir. Yönetim önümüzdeki 5 yıla yönelik olarak hammadde
fiyatları, ücretler, faiz oranları, döviz kuru, enerji fiyatları gibi maliyetleri
etkileyebilecek parametrelere ve piyasada CD fiyatlarının ne olabileceğine ilişkin
varsayım ve tahminlerde bulunduktan sonra aşağıdaki fayda matriksini
hazırlamıştır:
Fayda Matriksi
Karar Alternatifleri
Doğa Durumları
Mevcut Kapasiteyi
Artırmak
Yeni Fabrika İnşa
Etmek
Başka Firmalardan
Satın Almak
Yüksek Talep
500,000 TL
700,00 TL
300,000 TL
Orta Talep
250,000 TL
300,000 TL
150,000 TL
Düşük Talep
-250,000 TL
-400,000 TL
-10,000 TL
Başarısızlık
-450,000 TL
-800,000 TL
-100,000 TL
Aşama 5. Yönetim doğa durumlarının gerçekleşme olasılıklarını tahmin edememiştir.
Bundan dolayı optimal karar alternatifinin ne olduğuna ilişkin kararı belirsizlik
ortamında verecektir. Bu ortamda kullanılabilecek stratejilerin her birinin nasıl
kullanılabileceğini aşağıda göstereceğiz:
58
1. Maksi – Maks
Bu strateji (kriter veya ölçüt) karar verici yöneticinin geleceğe yönelik iyimser olması
durumunda tercih edilen bir stratejidir. Uygulaması 2 aşamalı bir yöntemden oluşur:
Aşama 1. Her karar alternatifi için elde edilebilecek maksimum faydayı belirleyiniz.
Karar Alternatifleri
Mevcut Kapasiteyi
Artırmak
Maksimum Fayda
500,000 TL
Yeni Fabrika İnşa
Etmek
700,00 TL
Başka Firmalardan
Satın Almak
300,000 TL
Aşama 2. Optimal karar 1. aşamada hazırlanmış listede maksimum fayda sağlayacak karar
alternatifidir. Buna göre optimal karar alternatifi yeni fabrika inşa etmektir.
Çünkü; 700,000 > 500,000 > 300,000
2. Maksi – Min
Bu strateji özellikle geleceğe yönelik kötümser düşünceler içinde olan yöneticiler tarafından
kullanılması tavsiye edilir. Bu stratejinin uygulanması yine 2 aşamadan oluşur:
Aşama 1. Her karar alternatifi için elde edilebilecek minimum faydayı belirleyiniz.
Karar Alternatifleri
Mevcut Kapasiteyi
Artırmak
Minimum Fayda
-450,000 TL
Yeni Fabrika İnşa
Etmek
-800,000 TL
Başka Firmalardan
Satın Almak
-100,000 TL
Aşama 2. Optimal karar alternatifi 1. aşamada (yukarıda) elde edilen listeden maksimum
faydayı sağlayan alternatiftir. Buna göre bu vakada arzı artırmanın optimal yolu
başka firmalardan satın almaktır.
Çünkü; -100,000 > - 450,000 > -800,000
3. Gerçekçilik
Aşama 1. Geleceğe yönelik en iyimser fayda senaryosunun ( yani maksimum fayda
senaryosunun) gerçekleşme olasılığını temsil edecek şekilde tanımlanabilecek ve
0 ile 1 arasında olan bir α değeri seçiniz. Bu değer (α) geleceğe ilişkin bir
iyimserlik endeksidir. Göreceli olarak daha yüksek α değerleri daha iyimser
beklentileri temsil eder.
59
Aşama 2. Her karar alternatifi için gerçekçilik değeri olarak tanımlanan yeni bir değeri
aşağıdaki formül ile hesaplarız:
Gerçekçilik Değeri = α (maksimum fayda) + (1- α) (minimum fayda)
Aşama 3. Optimal karar alternatifi maksimum gerçekçilik değerini sağlayan alternatiftir.
Örnek:
Bu vakada RAKS firması yukarıdaki aşamaları aşağıdaki gibi uygulanmıştır:
Aşama 1. Yönetim α değerini 0.7 olarak kabul etmiştir.
Aşama 2. Gerçekçilik değerleri (G.D)
1.
2.
3.
α = 0.7
G.D. (Kapasite Artırımı) = 0.7 x (500,000) + 0.3 x (-450,000)
G.D. (Yeni Fabrika İnşası) = 0.7 x (700,000) + 0.3 x (-800,000)
G.D. (Başka Firmalardan Satın Almak) = 0.7 (300,000) + 0.3 (-100,000)
= 215,000
= 250,000
= 180,000
Aşama 3. Yukarıdaki G.D. değerlerinden maksimum olanı 250,000 olduğundan bu değeri
sağlayan ikinci karar alternatifi, yeni fabrika inşa etmek arzı artırmanın en
optimal yoludur.
4. Maksi – Maks Pişmanlık
Bu stratejinin uygulaması 3 aşamadan oluşur:
Aşama 1. Fayda matriksindeki her bir fayda değerine tekabül eden pişmanlık değerini
hesaplayarak adına pişmanlık tablosu (matriksi) denilen tabloyu hazırlayınız.
Bir fayda değerine
tekabül eden
pişmanlık değeri
=
Aynı sırada yer alan
maksimum fayda değeri
-
Söz konusu fayda
değeri
Aşama 2. Her karar alternatifinin maksimum pişmanlık değerini belirleyiniz.
Aşama 3. Optimal karar alternatifi 2. Aşamada belirlenmiş listedeki minimum pişmanlık
değerine sahip alternatiftir.
Bu vakada yukarıdaki aşamaların uygulanması aşağıdaki gibidir:
1.
Pişmanlık değerinin fayda matriksindeki kâr (fayda) değerleri için hesaplanarak
pişmanlık matriksinin elde edilmesi aşağıda gösterilen şekilde yapılır:
Fayda matriksinde 1. sırada yer alan “kâr” değerlerine tekabül eden pişmanlık değerleri.
500,000 TL için pişmanlık değeri
= 700,000 – 500,000 = 200,000 TL
60
700,000 TL için pişmanlık değeri
= 700,000 – 700,000 = 0 TL
300,000 TL için pişmanlık değeri
= 700,000 –300,000 = 400,000 TL
2. sıradaki “kâr” değerlerine tekabül eden pişmanlık değerleri.
250,000 TL için pişmanlık değeri
= 300,000 –250,000 = 50,000 TL
300,000 TL için pişmanlık değeri
= 300,000 –300,000 = 0 TL
150,000 TL için pişmanlık değeri
= 300,000 –150,000 = 150,000 TL
Not:
3. ve 4. sıradaki kâr (fayda) değerlerine tekabül eden pişmanlık değerlerini yukarıdaki gibi
hesaplayınca aşağıdaki pişmanlık matriksi veya tablosunu elde ederiz:
Pişmanlık Tablosu
Karar Alternatifleri
Doğa Durumları
Yüksek Talep
Mevcut Kapasiteyi
Artırmak
Yeni Fabrika İnşa
Etmek
Başka Firmalardan
Satın Almak
200,000 TL
0 TL
400,000 TL
50,000 TL
0 TL
150,000 TL
Düşük Talep
240,000 TL
390,000 TL
0 TL
Başarısızlık
350,000 TL
700,000 TL
0 TL
Orta Talep
Not:
Pişmanlık değerlerinin ekonomik veya finansal mantığı sınıfta açıklanacaktır.
2.
Karar Alternatifleri
Mevcut Kapasiteyi
Artırmak
Maksimum Pişmanlık
3.
350,000 TL
Yeni Fabrika İnşa
Etmek
700,00 TL
Başka Firmalardan
Satın Almak
400,000 TL
Yukarıdaki listede elde edilen maksimum pişmanlık değerleri arasında minimum
değer 350,000 TL olduğundan, bu değeri sağlayan “Mevcut Kapasiteyi Artırmak”
alternatifi optimal karar alternatifidir.
61
Risk Ortamında Kullanılabilecek Stratejilerin Uygulamaları
Aşağıda önce her stratejinin genel uygulamasının ana ilkelerini açıkladıktan sonra özellikle
üretim ve stok yönetimine ilişkin bir karar verme probleminde her bir stratejinin (veya
kriterin) optimal üretim veya stok miktarının belirlenmesinde nasıl kullanılabileceğini
göstereceğiz.
Aşama 1. Beklenilen Değer Stratejisi
Bu stratejinin uygulaması 5 aşama ile özetlenebilir.
Aşama 1. Geçmişte gerçekleşmiş olan farklı talep (satış) miktarları baz alınarak doğa
durumlarına ilişkin miktarlar, üretim veya stok miktarına ilişkin fizibilitesi olan
karar alternatifleri olarak kabul edilir.
Aşama 2. Her doğa durumunun gelecekte gerçekleşme olasılığını geçmiş verileri ve
göreceli sıklık yaklaşımını kullanarak hesaplayınız.
Aşama 3. Maliyet ve satış fiyatına ilişkin verileri kullanarak üretim veya stok miktarına
ilişkin karar verme problemlerinde koşullu kâr tablosu olarak adlandırılan fayda
matriksini hazırlayınız.
Aşama 4. Doğa durumlarının gerçekleşme olasılıklarını kullanarak her karar alternatifi için
beklenilen kâr değerini hesaplayınız.
Aşama 5. Optimal karar alternatifi maksimum beklenen kâr değeri sağlayan alternatiftir.
Aşama 2. Rasyonalite Stratejisi
Bu stratejiyi özellikle doğa durumlarının gerçekleşme olasılıklarını hesaplamak için
kullandığımız geçmiş verilerin ya sınırlı, ya da güvenilmez olduğunu düşündüğümüz zaman
kullanabiliriz. Bu durumlarda doğa durumlarının gerçekleşme olasılıklarının eşit olduğunu
varsayarız. Örneğin 5 ayrı doğa durumu varsa her birinin gerçekleşme olasılığı 1/5 = 0.2
olarak kabul edilir.
Bu varsayımdan sonra bu stratejinin uygulaması daha önce gördüğümüz beklenilen değer
stratejisi ile aynıdır. Bir başka deyişle optimal karar alternatifi maksimum beklenilen kâr
sağlayan alternatiftir.
Aşama 3. Maksimum Olasılık Stratejisi
Bu strateji özellikle doğa durumlarından bir tanesinin olasılığının diğerlerinden anlamlı bir
şekilde çok daha yüksek olması durumunda kullanılabilir. Bu durumda uygulama 2 aşamadan
oluşur:
Aşama 1. En yüksek gerçekleşme olasılığına sahip doğa durumunun gelecekte
gerçekleşeceği varsayılır.
Aşama 2. Bu varsayım veri olarak alındığında maksimum koşullu kâr sağlayan karar
alternatifi optimal karar alternatifidir.
62
Örnek Problem ve Her Strateji ile Çözümü:
LEMAR Market Kuzey Kıbrıs’ta üretilmeyen kivi meyvesini haftalık olarak her Pazartesi
Türkiye’den getirerek stoklamakta ve hafta boyunca satışını yapmaktadır. Bu meyve
tazeliğini bir hafta koruduğundan 1 hafta içerisinde satılması gerekmektedir. Satılamayan
kiviler bozulmakta ve LEMAR’ın kârlarını olumsuz etkilemektedir. LEMAR yönetimi
geçmiş 100 haftaya ilişkin kivi satış miktarlarını (kg. olarak) incelediklerinde aşağıdaki
tabloda yer alan sonuçlar ortaya çıkmıştır:
Tüketicilerin Satın Aldığı
Miktarlar
20
25
40
60
Bu Miktarın Gerçekleştiği
Hafta Sayısı
10
30
50
10
Toplam = 100 hafta
LEMAR kivinin kilogramını Türkiye’deki toptancıdan 2 TL’ye alıp Kıbrıs’ta 4 TL’ye
(tüketiciye) satmaktadır. Bu veriler ışığında yönetim, önümüzdeki aylarda şirket kârları
açısından Türkiye’den getirilerek her hafta stoklanması gereken optimal kivi miktarını
belirlemek istemektedir. Şimdi bu problemin çözümünün her strateji ile ayrı ayrı nasıl
olacağını göreceğiz:
1. Beklenilen Değer Stratejisi ile Çözüm
Aşama 1. Bu problemde gelecekteki haftalık kivi talebine ilişkin alternatif doğa durumları
geçmiş satış miktarları ile özdeş (aynı) kabul edilir ve bu doğa durumları da bize
fizibilitesi olan karar alternatiflerinin ne olması gerektiğini gösterir.
Karar Alternatifleri
20
25
40
60
Bir başka deyişle LEMAR yukarıdaki 4 alternatif stok aksiyonundan hangisinin şirket kârları
açısından optimal olduğuna karar vermesi gerekmektedir.
63
Aşama 2. Geçmiş veriler kullanılarak doğa durumlarının gelecekte gerçekleşme
olasılıklarını göreceli sıklık yaklaşımını kullanarak tahmin edebiliriz:
Doğa Durumları
20
25
40
60
Olasılık
10/100 = 0.1
30/100 = 0.3
50/100 = 0.5
10/100 = 0.1
Aşama 3. Koşullu Kâr Tablosu’nun Hazırlanması: Satış fiyatı ve kivi maliyetlerini
kullanarak her bir olası doğa durumu (haftalık talep) ve karar alternatifi (stok
miktarı) için haftalık kâr değerini hesaplayarak koşullu kâr tablosu hazırlanır:
Kâr
= Hâsılat – Toplam Maliyet
Hâsılat
= Fiyat x Satış Miktarı
Toplam Maliyet = Birim Maliyet x Stoklanan Miktar
Fiyat = 4 TL, Birim Maliyet = 2 TL
Haftalık talep 20 kg. olduğunda her alternatif stok aksiyonu için haftalık kâr değerinin ne
olduğunu hesaplayalım:
a) Haftalık Stok = 20 kg. ve talep = 20 kg.
Kâr = (4x20) – (2x20) =40 TL
b) Haftalık Stok = 25 kg. ve talep = 20 kg.
Kâr = (4x20) – (2x25) =30 TL
c) Haftalık Stok = 40 kg. ve talep = 20 kg.
Kâr = (4x20) – (2x40) =0 TL
d) Haftalık Stok = 60 kg. ve talep = 20 kg.
Kâr = (4x20) – (2x60) = -40 TL
Doğa
Durumları
Geri kalan olası doğa durumu (haftalık talep) ve karar alternatiflerinin bileşenleri için haftalık
koşullu kâr değerlerini hesaplayınız ve aşağıdaki tabloyu elde ediniz:
Olasılık
0.1
0.3
0.5
0.1
Talep
20
25
40
60
Fizibilitesi olan Stok Aksiyonları
20
25
40
60
40 TL
30 TL
0 TL
40 TL
40 TL
50 TL
20 TL
20 TL
40 TL
50 TL
80 TL
40 TL
40 TL
50 TL
80 TL
120 TL
64
Aşama 4. Her bir (haftalık) stok aksiyonu için beklenen haftalık kâr değerinin
hesaplanması.
Gelecekte beklenen haftalık kâr değeri yukarıdaki koşullu kâr tablosundan da anlaşılacağı
gibi bir kesikli rastgele değişkendir. Bu durumda E(kâr) ile sembolize edeceğimiz
beklenilen kâr değeri aşağıda olduğu gibi hesaplanır.
E(kâr)20 = (0.1 x 40) + (0.3 x 40) + (0.5 x 40) + (0.1 x 40)
E(kâr)25 = (0.1 x 30) + (0.3 x 50) + (0.5 x 50) + (0.1 x 50)
E(kâr)40 = (0.1 x 0) + (0.3 x 20) + (0.5 x 80) + (0.1 x 80)
E(kâr)60 = (0.1 x -40) + (0.3 x -20) + (0.5 x 40) + (0.1 x 120)
= 40 TL
= 48 TL
= 54 TL
= 22 TL
Aşama 5. Maksimum beklenilen (haftalık) kâr değerini sağlayan stok aksiyonu (karar
alternatifi) 40 kg.’dir. Yani LEMAR eğer her hafta 40 kg. kivi stoklarsa uzun
vadede haftalık kârını maksimize etmeyi bekleyebilir. Dolayısı ile bu stratejiye
göre optimal karar alternatifi haftada 40 kg. kivi stoklamaktadır.
2. Rasyonalite Stratejisi ile Çözüm
Bu problemde 4 ayrı doğa durumu olduğundan bu stratejide hepsinin de gerçekleşme
olasılığının eşit olduğu varsayılır. Yani her doğa durumunun olasılığı ¼ = 0.25 olarak kabul
edilir. Bunun dışındaki tüm aşamalar beklenen değer stratejisi ile aynıdır:
Doğa
Durumları
Koşullu Kâr Tablosu
Olasılık
0.25
0.25
0.25
0.25
Talep
20
25
40
60
Fizibilitesi olan Stok Aksiyonları
20
25
40
60
40 TL
30 TL
0 TL
40 TL
40 TL
50 TL
20 TL
20 TL
40 TL
50 TL
80 TL
40 TL
40 TL
50 TL
80 TL
120 TL
Her alternatif stok aksiyonu için beklenen kâr:
E(kâr)20 = (0.25 x 40) + (0.25 x 40) + (0.25 x 40) + (0.25 x 40)
E(kâr)25 = (0.25 x 30) + (0.25 x 50) + (0.25 x 50) + (0.25 x 50)
E(kâr)40 = (0.25 x 0) + (0.25 x 20) + (0.25 x 80) + (0.25 x 80)
E(kâr)60 = (0.25 x -40) + (0.25 x -20) + (0.25 x 40) + (0.25 x 120)
= 40 TL
= 45 TL
= 45 TL
= 25 TL
65
Koşullu Kâr Tablosu
Bu stratejide yukarıda görüldüğü gibi 2 farklı stok aksiyonunda optimal karar alternatifidir:
Maksimum beklenen kâr hem haftada 25 kg. hem de haftada 40 kg. kivi stoklama ile elde
edilmektedir. Bu iki alternatif stok aksiyonunun ikisi de uzun vadede 45 TL ile maksimum
(haftalık) kâr beklentisini sağlamaktadır.
3. Maksimum Olasılık Stratejisi ile Çözüm
Bu stratejide maksimum olasılığa sahip doğa durumunun gerçekleşeceği varsayılır. Bu
problemde bu doğa durumu haftalık kivi talebinin 0.5 olasılıkla 40 kg. olacağını varsayan
doğa durumudur. Bu doğa durumunun gerçekleşmesi durumunda her karar alternatifi (stok
aksiyonu) ile elde edilebilecek haftalık kâr değerleri koşullu kâr tablosunda aşağıda
gösterildiği gibidir:
Koşullu Kâr Tablosu
Olasılık
0.5
Talep
40
Fizibilitesi olan Stok Aksiyonları
20
25
40
40 TL
50 TL
80 TL
60
40 TL
Optimal karar alternatifi haftada 40 kg. kivi stoklanmasını öneren stok aksiyonudur. Çünkü
bu stok tercihi uzun vadede maksimum haftalık kârı (yani 80 TL) sağlayacak karar
alternatifidir.
66
ÖDEVLER
ÖDEV 1
1. Bağdaşmayan (veya Karşılıklı Birbirini Dışlayan) Olayları tanımını açıklayınız ve bir
örnek veriniz.
2. Bağdaşık olan (veya Karşılıklı Birbirini Dışlamayan) Olaylar tanımını açıklayınız ve
bir örnek veriniz.
3. Bir olayın olasılığı hangi değerler aralığında yer alır?
4. Bir zarın rastgele atılması ile gerçekleştirilen bir denemenin örneklem uzayını
belirtiniz ve buna ilişkin iki bağdaşık olay tanımlayınız.
5. Olasılık Teorisinde olayların gerçekleşme olasılıklarını tahmin etmede
kullanabileceğimiz 3 farklı yaklaşımı tanımlayınız ve her birinin kullanılmasının
uygun olacağı birer farklı olasılık sorusu hazırlayınız.
6. Son bir yıl içinde İstanbul’da satılan Toyota otomobillerin sahiplerinden rastgele
örnekleme yöntemi ile seçilen 500 kişiye yeni Toyota arabalarından memnuniyet
dereceleri sorulmuştur.
Sonuçlar aşağıdaki gibidir:
Memnuniyet Derecesi
Kişi Sayısı
Çok yüksek
120
Yüksek
90
Orta
180
Az
70
Zayıf
40
Eğer geçmiş memnuniyet dereceleri geleceğe yönelik memnuniyet dereceleri ile ilgili
anlamlı tahminlerde bulunmamıza yardım ediyorsa, gelecek yıl Toyota satın alacak
bir tüketicinin Orta derecede memnun olma olasılığı nedir?
67
ÖDEV 2
1. Arçelik 3 ayrı model buzdolabı üretmektedir. Geçtiğimiz 2 yıl boyunca üretilen ve
satılan toplam 300,000 buzdolabının bazılarının HATALI, bazılarının da HATASIZ
olarak üretildiği tüketici şikâyetleri ile ortaya çıkmıştır. Bunlara ilişkin veriler
aşağıdaki tabloda verilmiştir:
MODEL
A
B
C
HATALI
20,000
10,000
20,000
HATASIZ
40,000
80,000
130,000
Yukarıdaki verilen geleceğe yönelik anlamlı tahminlerde bulunmamıza olanak sağladığını
varsayarsak gelecek yıl Arçelik buzdolabı satın alacak rastgele seçilmiş bir tüketiciye ilişkin
aşağıdaki olasılık sorularını cevaplayınız.
a) Bu tüketicinin satın aldığı buzdolabının A veya C modeli olma olasılığı nedir?
b) Bu tüketicinin satın aldığı buzdolabının B modeli veya HATALI olma olasılığı nedir?
c) Bu tüketicinin satın aldığı buzdolabının HATALI veya HATASIZ olma olasılığı
nedir?
d) Bu tüketicinin satın aldığı buzdolabının HATASIZ veya C modeli olma olasılığı
nedir?
2. ‘Bağımsız’ ve ‘Bağımsız Olmayan’ olayları tanımlayınız ve her ikisi için birer örnek
veriniz.
68
ÖDEV 3
1. Geçen yıl KOÇ holdingin İstanbul merkez ofislerinde çalışan 1000 personelden 200
tanesinin grip şikâyeti ile hasta raporu alarak ortalama 3 gün işe gelmemiştir. İnsan
Kaynakları departmanı personelin spor (eksersiz) yapma alışkanlıkları ile ilgili yaptığı
araştırmada 500 tane personelin spor yaptığını, hastalanan 200 personelin 150
tanesinin spor yapmayanlardan geri kalanının ise spor yapanlardan oluştuğunu tespit
etmiştir.
a) Gelecek yıl herhangi bir personelin grip olarak hastalanması olasılığı nedir?
Bu olasılığın olasılık teorisindeki adı nedir?
b) Spor yapan bir personelin gelecek yıl grip olma olasılığı nedir?
c) Spor yapmayan bir personelin gelecek yıl grip olma olasılığı nedir?
d) “Spor Yapma” ve “Grip Olma” olayları BAĞIMSIZ olaylar mı? Cevabınızın
mantığını iyice açıklayınız.
2. Geçmiş 3 yılın verileri incelendiğinde İstanbul Borsasında alım satımı yapılan Vestel
Holdingin hisse senetlerinin fiyatı ve (TL/$) döviz kuru ile ilgili aşağıdaki olasılık ve
göreceli sıklık tahminleri yapılmıştır:
Döviz kurunun arttığı günlerin 0.70 ‘inde Vestel Holdingin hisselerinin fiyatı
düşmüştür. Döviz kurunun rastgele seçilen bir günde yükselmesi olasılığı ise yine
0.50 olarak tahmin edilmiştir.
a) Döviz kurunun yükselmesi olayı ile Vestel Holdingin hisse fiyatının düşmesi
olayları finansal mantık açısından BAĞIMSIZ olayları mı, yoksa BAĞIMSIZ
OLMAYAN olaylar mı?
NOT: Vestel üretimde yoğun olarak ithal ara malı kullanan bir firmadır.
b) Eğer bu iki olay bağımsız olaylar değilse gelecek hafta Pazartesi günü bu iki
olayın eş zamanlı olarak gerçekleşme olasılığı (yani birleşik olasılığı) nedir?
3. İstanbul Borsa Endeksine ilişkin geçmiş 20 yılın verileri incelendiğinde bu yılların
%60’ında endeksin arttığı, %40’ında ise endeksin düştüğü görülmektedir. Ancak faiz
oranlarındaki değişikliklere bakıldığında, endeksin artmış olduğu yılların %80’ninde
faiz oranlarının düştüğü, geri kalan %20’sinde ise faiz oranlarının yükseldiği
görülmektedir. Endeksin düştüğü yılların %40’ında ise faiz oranlarının düştüğü
görülürken geri kalan %60’ında ise yükselmiştir. Son global gelişmelere bağlı olarak
Türkiye’de de faizler bu yılın başından itibaren yükselmeye başlamıştır. Eğer bu trend
yıl sonuna kadar devam ederse, Borsa Endeksinin bu yıl yükselme ve düşme
olasılıklarını hesaplayınız.
69
4. Konya’da lise eğitimi alan öğrencilerin %15’inin düşük gelirli ailelerden geldiği
tahmin edilmektedir. T.C Eğitim Bakanlığının yaptığı istatistik çalışmalar sonucunda
düşük gelirli öğrencilerin ancak %20’sinin üniversiteden mezun olduğunu
göstermiştir. Düşük gelirli olmayan öğrencilerde ise bu oran %40 olarak tespit
edilmiştir. Ziraat Bankası Konya şubesine iş başvurusunda bulunan kişilerin başvuru
dosyaları incelenmeye başlanmış ve ilk başvuru sahibinin üniversite mezunu olduğu
anlaşılmıştır. Bu kişinin düşük gelirli bir aileden gelme olasılığı nedir?
5. Ağaoğlu İnşaat Şirketi gelecek yıl faiz oranlarındaki potansiyel gelişmelerle
ilgilenmekte ve tahminler geliştirmeye çalışmaktadır. Bunun nedeni de faizlerdeki
artışın emlak piyasasındaki yeni ev satışlarını olumsuz etkileyebileceğini
düşünmeleridir. Şirketin finans uzmanı, Nuri Adıgüzel, gelecek yıl hem faizlerin hem
de yeni ev satışlarının %20 olasılıkla artacağını tahmin etmektedir. Ancak Adıgüzel
gelecek yıl faiz oranlarının düşmesi ve yeni ev satışlarının artmasının birleşik
olasılığını %30 olarak tahmin etmiştir. Faiz oranlarının gelecek yıl artma olasılığını
ise %60 olarak değerlendirmektedir. Bu tahminlere dayanarak, eğer gelecek yıl faiz
oranları artmazsa, yeni ev satışlarının artma olasılığını hesaplayınız.
6. Yatırım amaçlı olarak altın almayı düşünüyorsunuz. Gelecek yıl Amerikan
Ekonomisinin büyüme hızı artarsa, altın fiyatının 0.95 olasılıkla artacağını tahmin
ediyorsunuz. Gelecek yıl Amerika’da ekonomik büyüme hızının yükselmesi
olasılığının 0.50 olduğuna inanıyorsunuz. Bunlara bağlı olarak gelecek yıl hem altın
fiyatlarının, hem de Amerika’da ekonomik büyüme hızının artma olasılığı nedir?
7. İzmir merkezli ve sanayi için iş makineleri üreten HACI SALİH adlı şirket yeni
üretildiği iki farklı makinenin promosyonu için potansiyel müşterilere tanıtım
broşürleri göndermiştir. Şirket herhangi bir müşterinin A makinesinin tanıtım
broşürünü gördükten sonra sipariş verme olasılığını 0.20, B makinesinin tanıtım
broşürünü gördükten sonra B makinesi için sipariş verme olasılığını ise 0.30 olarak
tahmin etmektedirler. Herhangi bir müşterinin her iki makineyi (A ve B) da satın alma
olasılığını ise 0.15 olduğu tahmin edilmiştir. ENKA şirketi yetkilileri A makinesinin
tanıtım broşürünü gördükten sonra ENKA şirketi A makinesinden bir adet sipariş
vermiştir. Bu veri olarak alındığında, ENKA şirketinin B’nin broşürünü de gördükten
sonra B makinesinden da sipariş verme olasılığı nedir?
70
ÖDEV 4
1. D.A.Ü ‘de öğretim üyelerinin %20’sinin maaşı 3000 TL, %30’unun 4000 TL,
%40’nın 5000 TL, %10’nun ise 6000 TL’dir. Rastgele bir öğretim üyesinin seçilip
maaşının ne olduğunun sorulacağı bir deneme düşünelim. Bu denemeye ilişkin
aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Bu öğretim üyesinin maaşına ilişkin olasılık dağılımını Tablo veya grafiksel
olarak gösteriniz.
b) Bu öğretim üyesinin BEKLENİLEN MAAŞ’ı nedir?
2. Prof. X at yarışlarında zaman zaman şansını denemektedir. Bu hafta sonu İstanbul
hipodromunda gerçekleşecek 3 farklı yarıştaki birer at için 2‘şer TL’lik para yatırmış,
yani bahis oynamıştır. Seçtiği her atın koşacağı yarışı kazanmasının 0.2 olasılığı
olduğuna inanmaktadır. Kazanan her at Prof. X’e 40 TL kazandıracaktır. Yarışların ve
bahis sürecinin bir Bernuli tipi deneme olduğunu varsayarak aşağıdaki soruları
cevaplayınız:
a) Prof. X’in seçtiği ve üzerlerine bahis oynadığı 3 attan en az 2’sinin yarışlarını
kazanması olasılığı nedir?
b) Prof. X’in seçtiği ve üzerlerine bahis oynadığı 3 attan en fazla 1 tanesinin
yarışlarını kazanması olasılığı nedir?
c) Prof. X’in seçtiği atlardan yarış kazanabilecek olanların sayısına ilişkin
olasılık dağılımını tablo halinde ifade ediniz.
d) (c) şıkkında elde ettiğiniz olasılık dağılımını kullanarak Prof X’in (seçtiği 3
attan) kazanmasını bekleyeceği at sayısını hesaplayınız.
e) Prof X’in bu at yarışları sonucunda beklenilen net kârı (veya kazancı) nedir?
71
ÖDEV 5
1. Geçmiş satış rakamları kullanarak İstanbul’da aylık MERCEDES marka (yeni)
otomobil satışlarının (normal dağılım olduğu varsayılarak) ortalamasının 2000 adet,
standart sapmasının ise 500 adet olduğu hesaplanmıştır. Gelecekte rastgele seçilen bir
ayda;
a) Satışların 1700 adetin altında olma olasılığı nedir?
b) Satışların 2600 adetin üzerinde olma olasılığı nedir?
c) Satışların 1750 ile 2250 adet arasında olma olasılığı nedir?
2. Bir inşaat projesinin tamamlanma süresinin (hafta olarak) bir rastgele normal
değişken olduğu ve dağılımının ortalamasının 100 hafta standart sapmasının ise 8
hafta olduğu benzer projelere ilişkin geçmiş veriler kullanarak hesaplanmıştır.
a) Bu projenin 108 haftadan önce tamamlanması olasılığı nedir?
b) Bu projenin 96 haftadan önce tamamlanması olasılığı nedir?
c) Bu projenin 104 haftadan daha fazla süre içerisinde tamamlanması olasılığı
nedir?
d) ENKA şirketi bu projeye ilişkin teklif vermek istemektedir. Şirket politikası,
vereceği teklifte belirteceği bitiş süresinin projenin 0.80 olasılıkla bu süre
içerisinde tamamlanabilecek şekilde olmasıdır. ENKA’nın bu politikası
bağlamında ihale teklifinde projeye ilişkin hangi tamamlanma süresini (hafta
olarak) belirtmesi gerekir?
3. Yrd. Doç. Dr. İlhan Dalcı İstanbul Borsasında kayıtlı 800 kadar şirketin hisselerine
yatırım yapanların son 1 yıldaki getiri oranlarını (her şirket için) hesaplanmıştır. Tüm
popülâsyonun (800 şirketin) getiri oranlarının normal dağılım olduğu varsayılarak,
dağılımın ortalama getiri oranı %10, standart sapmasının ise %5 olduğu
hesaplanmıştır. İlhan hoca özellikle getiri oranları %16 ile %22 arasında olan
şirketlerin bilançolarını incelemek istemektedir. Acaba İlhan hoca yaklaşık kaç
şirketin bilançosunu analiz edecektir?
72
ÖDEV 6
1. İstanbul’da yayınlanmakta olan Ekonomist adlı aylık derginin editörü Serap Koç
önümüzdeki ayın baskı sayısını planlamak için tahminleme yöntemini kullanmak
istemektedir. Derginin ilk 8 ayki satışları aşağıdaki gibi olmuştur.
Ay
Talep
Ocak
50
Şubat
45
Mart
60
Nisan
52
Mayıs
69
Haziran
60
Temmuz
47
Ağustos
53
Serap Koç satışlarında mevsimsel bir eğilim (patern) olmadığını düşünmektedir. Aşağıdaki
modelleri kullanarak Eylül ayındaki toplam taleple ilgili bir tahmin elde ediniz ve her
modelin H.K.O (Hatalar Karelerinin Ortalaması)’nı hesaplayınız.
a) NAİF (Deneyimsiz) Model
b) 2 dönemli Basit Hareketli Ortalama Modeli
c) 3 dönemli Ağırlıklı Hareketli Ortalama Modeli
NOT: Ağırlıkları Wt = 0.5 , Wt-1= 0.3 ve Wt-2= 0.2 olarak alınız.
d) Bu 3 modellerden hangisinin Eylül tahminini kullanmaya karar verdiniz?
Neden?
e) Basit Eksponensiyal Düzeltme Modeli uygularsanız bu modelin Eylül satış
tahmini ne olurdu?
NOT: α değerini 0.5 olarak alınız.
73
ÖDEV 7
1. Kuzey Kıbrıs REMAX adlı emlak şirketinde yönetici olan Necati Vatansever
önümüzdeki çeyrek dönemler için konut talebindeki talebi takip etmek istemektedir.
Son 8 çeyreklik satış rakamları aşağıdaki gibidir:
Yıl
Çeyrek
Satışlar
2011
1.
138
2011
2.
132
2011
3.
147
2011
4.
152
2012
1.
160
2012
2.
158
2012
3.
170
2012
4.
173
Aşağıdaki modelleri kullanarak 2013 yılının 1. Çeyreği için konut talebini tahmin ediniz
ve her modelin H.K.O’nı hesaplayınız.
a) NAİF model
b) Zaman Serili Regresyon Modeli
c) Doğrusal Trendi Düzeltme Modeli
NOT: α1=0.5 , α2=0.05 olarak kabul ediniz.
d) Zaman Serili Regresyon Modelini kullanarak 2013 yılının 2. Ve 3. Çeyrekleri için
de olası konut talebine ilişkin tahminler elde ediniz.
74
ÖDEV 8
1. İş Bankası portföy yönetiminde görevli olan üst düzey bir yönetici olan Serdar
Eliaçık’ın 10 m. TL’lik bir fon un önümüzdeki 1 yıl için optimal yatırım enstrümanın
ne olabileceğine karar vermesi gerekmektedir. Serdar alternatif yatırım araçlarının
ALTIN, EMLAK ve HİSSE SENETLERİ olduğuna ve bunların önümüzdeki 1 yıldaki
getiri oranlarını belirleyecek ve kontrollerinde olmayan en kritik parametrenin
Enflasyon Oranı olduğunu düşünmektedir. Enflasyon oranına ilişkin 3 farklı Doğa
Durumu (yani senaryo) olduğunu değerlendirmektedir. Ekibiyle yaptığı çalışmada
Doğa Durumlarına ilişkin olarak olasılık tahmini yapmalarının mümkün olmadığına
karar vermişler ve her alternatif yatırım aracı (yani karar alternatif) ve doğa durumu
bileşeni için aşağıdaki GETİRİ MATRİSİNDE belirtilen olası getiri değerlerini
tahmin etmişlerdir.
GETİRİ MATRİKSİ
YATIRIM ALTERNATİFLERİ
ALTIN
EMLAK
BORSA
Yüksek Enflasyon
2M. TL
-2M. TL
-3M. TL
Orta Seviyede Enflasyon
1M. TL
1M. TL
0M. TL
-1M. TL
4M.TL
5M. TL
Düşük Enflasyon
Aşağıdaki stratejilerin her birini kullanarak optimal yatırım alternatiflerini belirleyiniz.
a)
b)
c)
d)
MAKSİ- MAKS
MAKSİ- MİN
MİNİ- MAKS PİŞMANLIK
GERÇEKÇİLİK
75
ÖDEV 9
1. İstanbul’daki MİGROS süpermarketler zincirinin stok yönetiminden sorumlu (ve
DAÜ İşletme bölümünden 1992 yılında mezun olmuş) Sibel Erkoç Pepsi-Cola
şirketinden her ay için kaç teneke Pepsi-Cola alınıp stoklanmasının optimal olduğu
konusunda karar vermesi gerekmektedir. Aldıkları karar önümüzdeki 1 yıl için
bağlayıcı olacak ve Pepsi-Cola şirketi ile imzalanacak sözleşmede belirtilecektir.
Migros her teneke Pepsi için Pepsi-Cola şirketine 5 TL ödemekte ve bunu tüketicilere
10 TL’den satmaktadır. Ay sonuna kadar satılmayan her teneke Pepsi-Cola şirketine
geri iade edilmekte ve karşılığında Migros’a 2 TL ödeme yapılmaktadır. Son 200
ayda Migros marketlerinde satılan aylık (teneke) Pepsi-Cola sayısı aşağıdaki tabloda
yer almıştır.
Talep Edilen Aylık Miktar
Bu Miktarın Gerçekleştiği Ay Sayısı
50000
30
35000
70
30000
60
25000
40
Aşağıda sıralanmış her bir strateji ile (ayrı ayrı) Sibel hanımın Pepsi-Cola Şirketinden
(önümüzdeki 1 yılda) her aybaşı satın alıp stoklaması gereken OPTİMAL Pepsi-Cola sayısı
(teneke olarak) nedir?
a) BEKLENİLEN DEĞER Stratejisi
b) RASYONALİTE Stratejisi
c) MAKSİMUM OLASILIK Stratejisi.
76
KAYNAKÇA
Albright, C., Zappe, C. ve Winston, W. (2011), Data Analysis Optimization and Simulation
Modeling, Canada: South-Western Cengage Leraning.
Quantitative Analysis for Management, (2009) London: Pearson Prentice Hall.
Levin, R., Rubin D., Stinsm, J. ve Gardner, E (1992) Quantitative Approaches to
Management, Singapore: McGraw-Hill.
77
