(Microsoft PowerPoint - 1

Tanım:Matematik, istatistik, mekanik,… gibi çeşitli
bilim dallarında uzunluk, alan, hacim, yoğunluk,
kütle, elektriksel yük,… gibi büyüklükler, cebirsel
kurallara göre ifade edilirler.
1. BÖLÜM
Bu tür çokluklara
“Skaler”
büyüklükler denir.
VEKTÖRLER
1
2
Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı :
Tanım: hareket, hız,
kuvvet,… gibi hem yönü, hem
doğrultusu, hem de
büyüklüğü olan çokluklara
“Vektörel Büyüklükler” denir.
·B
• Yönlü doğru parçalarına
vektör denir.
u
• A : Başlangıç noktası,
• B : Bitim noktasıdır.
r
·
A
• u = AB yada u ile gösterilir.
3
4
GENEL TANIMLAR
GENEL TANIMLAR
Tanım: Başlangıç ve bitim noktaları çakışık olan vektöre
SIFIR vektörü denir.
r
r
AA ya da 0
Sıfır vektörü sonsuz sayıda doğrultu ve yöne sahiptir.
Tanım: Sabit bir başlangıç noktasına sahip olan vektöre
Tanım: u ile v gibi iki vektörün, yönleri aynı ve
büyüklükleri eşit ise EŞİT vektörlerdir.
u=v
Tanım: u ile yönü zıt fakat büyüklüğü eşit olan
vektör
-u
ile gösterilir.
KONUM/YER vektörü denir.
Tanım: Başlangıç noktası sabit bir doğru üzerinde değişen
vektöre KAYAN vektör denir.
u
v
u
-u
Tanım: Eğer başlangıç noktası üzerinde hiçbir kısıt yoksa
SERBEST vektör denir.
6
VEKTÖREL İŞLEMLER: Toplama
Tanım: u ve v gibi ili vektörün toplamı, v
vektörünün başlangıç noktasını u vektörünün bitim
noktasına yerleştirdikten sonra u vektörünün
başlangıç noktasını v vektörünün bitim noktasına
birleştiren vektördür.
u = ( u1 , u2 ) v = ( v1 , v2 ) ise
u + v = ( u1 + v1 , u2 + v2 )
Vektörlerin toplamı yine bir vektördür.
w
Paralelkenar Yöntemi
u+v toplam vektörü u ve v vektörlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın köşegenlerinden birine eşittir.
v
u
VEKTÖREL İŞLEMLER: Toplama
VEKTÖREL İŞLEMLER: n Adet
Vektörün Toplanması
Tanım: Vektörler sırası ile birinin başlangıç noktası
v2
v1
v3 v4
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektörün başlangıç noktasını son vektörün
bitim noktası ile birleştiren vektör TOPLAM ya da
VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektörün
Bir Skaler İle Çarpımı
V
BİLEŞKE vektör olarak adlandırılır.
Tanım: Bir u vektörü ve
vn
k∈
+
bir skaler olmak üzere ku
çarpımı, u vektörü ile aynı yönde ve uzunluğu u vektörün k
katı olan bir vektördür.
Bir vektörün bir skaler ile çarpım sonucu yine bir vektördür.
v = v1 + v 2 + L + v n
u
v = ( v11 + v21 + L + vn1 ,K , v1n + v2 n + L + vnn )
VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektörün
Bir Skaler İle Çarpımı
ku
VEKTÖREL İŞLEMLER:
Vektörlerin Farkı
Tanım: Bir u vektörünün ku çarpımında k=-1 ise, (-1)u
vektörüne, u vektörünün toplamaya göre tersi denir:
Eğer k ∈
−
ise elde edilen –ku vektörü u vektörü ile aynı
doğrultuda fakat zıt yöndedir.
u+(-u)=0
Tanım: u ve v her hangi iki vektör ise bunların farkı,
vektörlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
-ku
u
edilen vektördür:
u+(-v)=u-v=w
w = ( u1 − v1 ,K, un − vn )
w
-v
u
u+v
v
VEKTÖREL İŞLEMLER:
Vektörlerin Farkı
Paralelkenar Yöntemi
w fark vektörü u ve v vektörlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer köşegenidir.
İki Noktanın Tanımladığı Vektör
Tanım: İki boyutlu uzayda (düzlemde) A(a1,a2),
B(b1,b2) noktaları verilmiş olsun. Bu iki noktanın
tanımladığı
elemanları:
r
r
r vektörün
ABr = OBr − OA r
AB = OB + −OA
r
AB = ( b1 , b2 ) + ( − a1 , − a2 )
r
AB = ( b1 − a1 , b2 − a2 )
r
AB = B − A
(
İki Noktanın Tanımladığı Vektör
Tanım: İki boyutlu uzayda (düzlemde) A(a1,a2),
B(b1,b2) noktaları verilmiş olsun. Düzlemdeki her
K noktası
r
r için
r
KB − KA = AB
)
VEKTÖRÜN UZUNLUĞU
NORMU
Tanım: Bir u vektörünün uzunluğu vektör elemanlarının
karelerinin toplamının kareköküdür ve u ile tanımlanır:
u = u12 + u22 + L + un2
Uzunluk skaler bir değerdir.
VEKTÖRÜN UZUNLUĞU
NORMU: Geometrisi
BİRİM (NORMALİZE) VEKTÖR
Üç boyutlu konum vektörünün
Tanım: Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)’e eşit olan
uzunluğunun karesi;
r2
r2
r2
r2
r = OA = OC + CA
vektörlere BİRİM vektör denir. Bir u vektörü,
r2
r2
r2
= OB + BC + CA
2
2
=x +y +z
2
Uzunluk,
uN =
u
u
İşlemi ile birim vektöre dönüştürülebilir. Bir u vektörü birim
vektör ve uzunluğu cinsinden yazılabilir:
u = u uN
r
r = x2 + y 2 + z 2
NORMALİZE VEKTÖR
Tanım: Bir vektörün normalize edilmesi, uzunluğunun bir
birim olacak şekilde ölçeklenmesidir. Bu amaçla vektörün tüm
bileşenleri vektörün uzunluğuna bölünürler.
u = ( u1 , u2 ,K, un )
u = u12 + u22 + L + un2
ise
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım: Üç boyutlu uzayda iki nokta P1(x1,y1,z1) ve
P2(x2,y2,z2) verilmiş olsun. Bu iki nokta arasındaki
mesafe P1P2 vektörünün,
P1P2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile gösterilir.
d = P1P2 =
u u
u 
u N =  1 , 2 ,K , n 
u
u u
2
2
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
2
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTÖRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım: Üç boyutlu kartezyen sistemde başlangıç (orijin) O
(0,0,0) noktasını; (1,0,0), (0,1,0) ve (0,0,1) noktalarına
birleştiren vektörlere sırası ile ox, oy, oz eksenlerinin BİRİM
vektörleri denir. i, j, k ile gösterilirler:
i = (1,0,0 ) j = ( 0,1,0 )
k = ( 0,0,1)
Tanım: n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektörleri
e1, e2,…,en
VEKTÖRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Tanım: Üç boyutlu kartezyen sisteminde başlangıç O (0,0,0)
r
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektörüne A
noktasının KONUM vektörü adı verilir.
r
r
r
r
r = OA = OB + BC + CA
r
r
r
= OB + OD + OE
VEKTÖRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
VEKTÖRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem: Üç boyutlu uzaydaki her hangi bir u = ( u1 , u2 , u3 )
Teorem: n-boyutlu uzaydaki her hangi bir u = ( u1 , u2 ,K, un )
vektörü i, j, k birim vektörlerinin doğrusal derlemesi olarak
konum vektörü e1, e2,…,en birim vektörlerinin doğrusal
yazılabilir:
derlemesi olarak yazılabilir:
u = u1e1 + u2e 2 + L + une n
u = u1i + u2 j + u3k
Bu ifadeye u vektörünün ANALİTİK gösterimi denir.
VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ:
İki Boyut
VEKTÖRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
y
Teorem: u = u1i + u2 j + u3k = ( u1 , u2 , u3 )
v = v1i + v2 j + v3k = ( v1 , v2 , v3 ) ve k ∈
Bu ifadeye u konum vektörünün ANALİTİK gösterimi denir.
M(x,y)
olmak üzere,
u + v = ( u1 + v1 ) i + ( u2 + v2 ) j + ( u3 + v3 ) k
ku = ku1i + ku2 j + ku3k = ( ku1 , ku2 , ku3 )
r
j
O
r
i
P
x
M ( x, y )
r
r
r
OM = OP + PM
r
OP = xi
r
PM = yj
r
OM = xi + yj
28
VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ:
Üç Boyut
z
M(x,y,z)
r
k
r
i
x
r
j
O
Şekil.5
y
uuuur
OM =[ x y z]
Vektörlerin Çarpımı
1. Skaler Çarpım
2. Vektörel Çarpım
uuuur r r r
OM = xi + y j + zk
29
Skaler Çarpım
r
r
Tanım: u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektörün skaler çarpımı
rr
uv ile gösterilir:
rr r r
uv = u v Cosθ
0 <θ <π
θ vektörler arasındaki açıdır.
Önemli: Çarpım sonucu skaler bir büyüklüktür.
Skaler çarpım; İç (inner) Çarpım ya da Nokta (dot) Çarpım
olarak da adlandırılır.
Skaler
r r Çarpım:
rr
uv = OA.OB
r r
= OC.OB
r
r
= OC . OB
r
OC
Cosθ = r
OA
r
r
OC = OA Cosθ
r r
rr
uv = OB OA Cosθ
rr r r
uv = u v Cosθ
Geometrik Anlamı
Skaler Çarpım: Geometrik Anlamı
1.İki vektör birbirine dik (ortogonal) ise θ=π/2 olup skaler
çarpım:
rr r r
uv = u v Cosθ
Skaler Çarpım: Analitik Anlamı
Üç boyutlu iki vektörün;
r
r
u = ( u1 , u2 , u3 ) v = ( v1 , v2 , v3 )
Skaler çarpımının analitik ifadesi:
=0
2. İki vektörün yönleri aynı ise θ=0 olup skaler çarpım:
rr r r
uv = u v Cosθ
r r
=u v
3. İki vektörün yönleri zıt ise θ=π olup skaler çarpım:
rr r r
uv = u v Cosθ
r r
=−u v
Skaler Çarpım: Analitik Anlamı
Birim vektörlerin skaler çarpımı:
rr rr rr
rr rr r r
ii = jj = kk = 1 ve ij = ik = jk = 0
Skaler çarpım sonucu:
rr
uv = u1v1 + u2 v2 + u3v3
Genel durum: n-boyutlu vektörler için
rr
uv = u1v1 + u2 v2 + L + un vn
n
= ∑ ur vr
r =1
r
r
r
r
r
r
rr
uv = u1i + u2 j + u3 k v1i + v2 j + v3 k
rr
rr
rr
= u1v1ii + u1v2 ij + u1v3ik
rr
rr
rr
+u2 v1 ji + u2 v2 jj + u2 v3 jk
rr
rr
rr
+u3v1ki + u3v2 kj + u3v3kk
(
)(
)
İki Vektör Arasındaki Açı
rr
uv
Cosθ =
u v
u
u v + u v + L + un vn
Cosθ = 1 1 2 2
u v
v
Skaler Çarpımın Özellikleri
Ortogonal (Dik) Vektörler
r r r
u , v , w sıfır olmayan üç vektör olmak üzere;
rr rr
a ) u .v = v .u
n- boyutlu iki vektör;
rr r
r
r
b) u.u = u 2 , ( u 2 = u )
r
r
u = ( u1 , u2 ,K, un ) v = ( v1 , v2 ,K , vn )
r r r
rr r r
c ) u .( v + w ) = u .v + u .w
Birbirine Ortogonal (dik) ise
r r
r r
r
r
d ) m ( u .v ) = ( m u ). v = u .( m v ) (m : skaler)
rr
uv = u1v1 + u2 v2 + L + un vn = 0
r
r r
e ) u = 1 ⇒ u .u = 1
r r
rr
f ) u ⊥ v ⇔ u .v = 0
38
Vektörel Çarpım
r
vektörün vektörel çarpımı
r r
r r
u ∧ v ya da u × v
r r r r r r
w = u ∧ v = e u v Sinθ
Vektörel çarpımın sonucu bir vektördür.
r
r
Doğrultusu u ve v vektörlerinin
u ve v vektörleri düzlemde bir paralelkenar tanımlar.
Paralelkenarın alanı A olsun. Şekilden görülebileceği
gibi
u sin θ paralelkenarın yüksekliği
r r
u ∧v
ile gösterilir:
oluşturduğu düzleme diktir.
Vektörel Çarpım: Paralelkenarın Alanı
r
Tanım: Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
r
u
v
θ
paralelkenarı taban uzunluğunu
verir.
v
v
A = ( taban )( yükseklik )
= v u sin θ
Vektörel Çarpım: Sonuç
u ve v vektörlerinin vektörel çarpımından elde edilen
w = u ∧ v vektörünün uzunluğu u ve v vektörlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir.
Vektörel Çarpım: Analitik İfadesi
Üç boyutlu iki vektörün;
r
r
u = ( u1 , u2 , u3 ) v = ( v1 , v2 , v3 )
(
) (
Dairesel
Permütasyon
r r
i ∧i =0
r
r r
j ∧ i = −k
r r r
k ∧i = j
r r r
i ∧ j =k
r r
j∧ j =0
r r
r
k ∧ j = −i
r r
r
i ∧k =−j
r r r
j ∧k =i
r r
k ∧k =0
Vektörel Çarpım: Analitik İfadesi
Birim vektörlerin vektörel çarpımları kullanılarak:
Skaler çarpımının analitik ifadesi:
r
r
r
r
r
r
r r
u ∧ v = u1i + u2 j + u3 k ∧ v1i + v2 j + v3 k
r r
r r
r r
= u1v1i ∧ i + u1v2 i ∧ j + u1v3i ∧ k
r r
r r
r r
+u2 v1 j ∧ i + u2 v2 j ∧ j + u2 v3 j ∧ k
r r
r r
r r
+u3v1k ∧ i + u3v2 k ∧ j + u3v3 k ∧ k
Birim Vektörlerin Vektörel Çarpımı
)
r
r
r
r r
u ∧ v = ( u2 v3 − u3v2 ) i + ( u3v1 − u1v3 ) j + ( u1v2 − u2 v1 ) k
= ( u2v3 − u3v2 , u3v1 − u1v3 , u1v2 − u2v1 )
Not: Determinant konusu ile ilişkilidir.
Vektörel Çarpım
Vektörel Çarpım: Determinant İfadesi
Teorem: Eğer u ve v üç boyutlu uzaydaki iki vektör ise,
1. u. ( u ∧ v ) = 0
u ∧ v vektörü u vektörüne ortogonaldir.
2. v. ( u ∧ v ) = 0
u ∧ v vektörü v vektörüne ortogonaldir.
2
2
2
3. u ∧ v = u v − ( u.v )
Lagrange özdeşliği
r
i
r r
v1 ∧ v 2 = x1
x2
2
Üçlü Vektörel Çarpım
r r
r
Tanım: u , v ve w vektörlerinin üçlü vektörel çarpımı:
r r r
r r r rr r
u ∧ ( v ∧ w ) = ( uw ) v − ( uv ) w
Üçlü vektörel çarpımın sonucu yine bir vektördür.
r r r
u ∧ ( v ∧ w ) çarpım vektörü
r
r
v ve w vektörlerinin oluşturduğu düzleme paralel,
r r
v ∧ w ikili vektörel çarpım vektörüne dik bir vektördür.
r
j
r
k
y1
y2
z1
z2
Vektörel Çarpımın Özellikleri
r r r
u , v , w sıfır olmayan üç vektör olmak üzere;
r r
r r
a ) u ∧ v = −v ∧ u
r
r r
r r r r
b ) u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w
r r
r
r r
r
c ) m (u ∧ v ) = ( m u ) ∧ v = u ∧ ( m v )
(m : skaler)
r r r
r
r
d ) u ∧ v = 0 ⇔ u ile v paraleldir .
r
r
e) u ve v vektörlerinin vektörel çarpımının değeri
r
r
(skaler büyüklüğü) u ve v vektörleri üzerine
kurulan PARALELKENAR’ın alanını verir.
48
Karışık Çarpım
r r
r
Karışık Çarpım: Geometrik Anlamı
Tanım: u , v ve w aynı düzlemde bulunmayan üç vektör
olmak üzere,
r r r
r r r
u ( v ∧ w ) = u v ∧ w Cosθ
çarpımına karışık çarpım denir.
r
r
r
Karışık çarpım v ∧ w vektörü ile u vektörünün skaler çarpımı
olduğu için sonuç bir skalerdir.
Karışık Çarpım: Geometrik Anlamı
r r r
r r r
u ( v ∧ w ) = v ∧ w u Cosθ
r r
İlk bileşen v ∧ w : OBCD paralelkenarının alanı
r
İkinci bileşen u Cosθ : paralelyüzün yüksekliği
r r
r
Karışık Çarpım: u , v ve w vektörleri üzerine kurulan
Karışık Çarpım :Determinat İfadesi
x1
r r r
u.(v ∧ w) = x 2
x3
y1
z1
y2
y3
z2
z3
paralelyüzün hacmine eşittir.
52
Vektörlerin İzdüşümü
• Vektörel İzdüşüm
• Skaler İzdüşüm
Vektörlerin İzdüşümü
r
ox ekseni için birim vektör e olsun.
r
OA vektörünün ox ekseni üzerindeki vektörel izdüşümü:
r
r
izd .OA = OB
r
rr
OB = OB e
r
r
r
OB = OA Cosθ e
r
OA vektörünün ox ekseni üzerindeki skale izdüşümü:
r
r
OB = OA Cosθ ya da
rr
r
OB = OA.e
Vektörlerin İzdüşümü: Geometrik
BİRİNCİ
BÖLÜM
BİTTİİİİİİİ
56