Rassal Sayı ve Rassal Değer Üretimi

10.12.2014
1
Rassal Sayı ve Rassal Değer Üretimi
EME 3117
2
Girdi Analizi bölümünde gözlemlerden elde edilen
SİSTEM SİMÜLASYONU
verilere en uygun dağılımı uydurmuştuk. Bu günkü
derste bu dağılımlardan simulasyonda kullanmak için
nasıl rassal değişken üretileceği üzerinde durulacaktır.
Rassal Sayı ve Rassal Değer
Üretimi
Örneğin bir eczaneye müşteri gelişleri arasında geçen
sürenin
Ders 12
dağılımı
belirlenmiş
olsun.
Arena’da
Bu
EXPO(30
dağılımdan
dk.)
olarak
simulasyonda
kullanacağımız gelişler arası süreler nasıl üretilebilir?
Rassal Sayı Üretimi
Rassal Sayı ve Rassal Değer Üretimi
3
4
Herhangi
bir
dağılımdan
rassal
bir
değişken
Bir simulasyonda kullanılan
gerçekte rassal değildir!
rassal
sayılar,
üretebilmek için U(0,1) rassal değişkenleri gereklidir.
Rassal sayılar, birbirinden bağımsız ve görülme
olasılıkları eşit olan sayıların oluşturduğu dizilerdir.
Bu sayı dizileri eşit olasılık gereği, Düzgün
Tanım:
Bir sözde rassal sayılar dizisi U(i), gerçek rassal
sayılar dizisi U(0,1)’deki bazı ilgili istatistiksel
özelliklere sahip deterministik sayılar dizisidir.
(Uniform) olasılık dağılımı gösterir.
1
10.12.2014
√Rassal Sayıların Özellikleri
Rassal Sayıların Dağılımı
6
Düzgün ve bağımsızlık özelliğinin iki sonucu;
1)(0,1) aralığı, eşit uzunlukta k sınıfa bölünürse, N;
gözlemlerin toplam sayısı olmak üzere, her
aralıktaki gözlemlerin beklenen değeri:
B
N
k
2) Bir aralıkta bir değerin gözlemlenme olasılığı,
elde edilen bir önceki değerden bağımsızdır.
Rassal Sayı Üreteçlerinde İstenen Özellikler
7
1) Orta Kare Yöntemi
8
Bu yöntemde
i) (m) basamaklı ve genellikle tek olan bir sayı
başlangıç değeri (seed) olarak alınır.
ii) Bu sayının karesi alınarak bulunan sayının ortasındaki
m kadar basamaklı sayı alınır.
iii)Alınan bu sayı rassal sayı olarak kaydedilir.
iv)İstenen sayıda rassal sayı elde edene dek ii, iii, iv
tekrar edilir.
2
10.12.2014
Örnek
Dezavantajları
9
10
X 0  5497 (Seed)
2
0
1)İlk sayı ve dizinin uzunluğu arasındaki
periyodu önceden bilmek mümkün değildir.
Çogu kez peryot kısadır.
2
X  ( 5497 )  30217009 ise X 1  2170
U1  0.2170
2
X 12  ( 2170 )  04708900 ise X 2  7089
1)Elde edien sayılar rassal olmayabilir. Yani
dizide dejenerasyon (bozulma) söz konusu
olabilir.
U 2  0.7089
.
.
.
2) Doğrusal Eşlik Üreteci
(Linear Congruential Generator)
LCG Örnek
11
Tanım: Bir LCG aşağıda verilen tekrarlanan ilişkiye göre
belirlenen 0 ve m-1 arasındaki ( R0 , R1 , ) tam sayılar dizisi tanımlar:
Ri +1  ( aRi + c ) mod m
(m  8, a  5, c  1, R0  5) parametreli Doğrusal Eşlik Üreteç
(LCG) düsünün. Tanımlanan diziden ilk 9 Ri ve U i değerlerini
hesaplayın.
i  0,1, 2,...
R0 :
dizinin başlangıc değeri
: sabit çarpan katsayısı
: artış miktarı
m :modulus
M od operatorü:
a
c
ê yú
z  y mod m Û z  y - mê ú
ë mû
(m, a, c, R0 ) tamsayı ve a > 0 ,
c ³ 0,
m > 0,
0 £ Ri £ m - 1
U i  Ri m
m>a,
m>c
m > R0 ,
ëxû , en büyük tamsayı
£x
17
Örneğin, z  17 mod 3 Û z  17 - 3êê úú  17 - 3  5  2 .
ë3û
3
10.12.2014
Çözüm
Ri +1  ( aRi + c) mod m
Rassal Sayı Dizileri
i  0,1, 2,
( m  8,a  5,c  1, R0  5 )
13
14
R1  (5R0 + 1) mod 8  26 mod 8  2  U 1  0.25
• Rassal sayıların Ui=Ri/m R2  (5R1 + 1) mod 8  11 mod 8  3  U 2  0.375
olduğuna dikkat edin.
R3  (5R2 + 1) mod 8  16 mod 8  0  U 3  0.0
R4  (5R3 + 1) mod 8  1 mod 8  1  U 4  0.125
• Sayıların
çevrim
dizilerinde tekrarlanıp R5  6  U 5  0.75
tekrarlanmadığına
R6  7  U 6  0.875
dikkat edin.
R7  4  U 7  0.5
R0  5  R8
• Örneğin R1 =2 gibi bir çekirdek
(seed), bir rassal dizisinde
başlangıç yerini tanımlar.
• Rassal sayı dizisi, farklı
çekirdeklerle tanımlanan dizileri
gösterir.
R7  4
R1  2
R6  7
R2  3
R  5  U  0.625
8
• Uzun cevrim periyoduna 8
sahip a, m ve c R9  2  U 9  0.25
belirlenmesi amaçlanır.
• Farklı görevlerde bağımsız rassal
sayıları kullanabilmek için çevrimi
ayrı dizilere bölmek isteriz.
Rassal Sayılar Tablosu
15
R3  0
R5  6
R4  1
Rassal Sayı Üreteçlerinin Testleri
16
• Kolmogorov-Smirnov Testi
• Ki-Kare Testi
• Bagimsizlik testleri
 Koşu
(run) testi
 Otokorlasyon
 Poker
4
testi
(Autocorrelation) testi
10.12.2014
Rassal Değer Üretimi
AMAÇ:
• Bir simulasyon modelinde girdi olarak
kullanılmak üzere belirli bir dağılımdan
örneklem üretilmesi
• Yaygın olarak kullanılan rassal değer üretim
yöntemlerinin öğrenilmesi
Ters dönüşüm tekniği
 Kabul-ret tekniği

Dağılımlardan Örneklem Alınması
• Tahmin edilemeyen yada belirsiz faaliyetlerin
modellenmesinde istatistiksel dağılımlar kullanılır.
• Gerçek yaşam problemlerindeki gelişler arası süre,
servis süreleri, talep vb. değişkenler genellikle
tahmin edilemezdir.
• Bu tür değişkenler, belli bir istatistiksel dağılıma
sahip rassal değişkenler olarak modellenebilir.
Rassal Değer Üretme Teknikleri
Ters Dönüşüm Tekniği
• Rassal değer üretme tekniklerinin tümü [0,1]
aralığında Düzgün dağılmış rassal sayıların elimizde
mevcut olduğunu varsayar.
Üstel, Düzgün, Weibull ve deneysel sürekli
Her bir Ri rassal sayı için:
dağılımların yanı sıra bir çok kesikli dağılımdan
örneklem almaya uygun bir yöntemdir.
Hesaplama yönünden basit ve direk bir yöntem
olmasına karşın, her zaman etkin değildir.
5
10.12.2014
Deneysel Kesikli Dağılım
Ters Dönüsüm Tekniği (Devam)
(Ters Dönüşüm)
• Tekniğin temel mantığı:
r = F(x) birikimli dağılım fonksiyonu için
[0,1] düzgün dağılımından r rassal sayısını üret
 x’i hesapla.


F(x)
r = F(x)
x=
F-1(r)
r1
x1
Eğer
Ri aralıktaysa
0 £ Ri £ 0.4
0.4 < Ri £ 0.7
0.7 < Ri £ 0.9
0.9 < Ri £ 1.0
Xi
1
2
3
4
1
2
3
f ( xi ) 0.4 0.3 0.2
F (x i )
0.4 0.7 0.9
4
0.1
1.0
if x < 1
ì0
ï0.4 if 1 £ x < 2
ïï
F ( x)  í0.7 if 2 £ x < 3
ï0.9 if 3 £ x < 4
ï
if 4 £ x
îï 1
x
Deneysel Kesikli Dağılım (Devam)
(Ters Dönüşüm)
xi
Uygulamalar
• [a,b] aralığında Düzgün Değer Üretimi
• Üstel Değer Üretimi
Kesikli Ters Dönüşüm Algoritması
Üret ri  uniform(0,1)
for i=1 to n
If ri £ F(xi ) then return x
Loop
i
24
6
10.12.2014
[a,b] Aralığında Düzgün Değer Üretimi
[a,b] Aralığında Düzgün Değer Üretimi (Devam)
(Ters Dönüşüm)
(Ters Dönüşüm)
• Düzgün dağılmış X rassal değişkenine ait f(x) olasılık
yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir.
ì 1
ï
f(x)  í b - a
ïî0
• X rassal değişkeninin Birikimli Dağılım Fonksiyonu
F(x), Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu f(x)’in integrali
alınarak bulunur.
a£ x£b
Aksi Halde
F(x)  ò
f(x): Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (Probability density function, pdf):
a£ x£b
x>b
F(x): Birikimli (Olasılık) Dağılım Fonksiyonu (Cumulative density function, cdf)
[a,b] Aralığında Düzgün Değer Üretimi
(Devam)
x<a
ì0
ïï x - a
f(x)dx  í
ïb - a
ïî1
Üstel Dağılım (Ters Dönüşüm)
(Ters Dönüşüm)
28
• Düzgün dağılımdan değerler üretmede ters dönüşüm
metodunu kullanmak için Fx(x) = R alınır ve x aşağıdaki
gibi çözülür:
x-a
 R ise x  F -1 ( x)  (b - a)  R + a
b-a
ìl e- l x
f (x)  í
î0
ì0
F(x)  í
-lx
î1- e
• Artık, [a,b] aralığında Düzgün rassal değer üretebiliriz:
 [0,1] aralığında Düzgün R üret
 x = a + R (b -a)
E[X] 
27
7
1
l
x³0
A ksi Halde
x<0
0 £ x£¥
l
1
E[X]
10.12.2014
Üstel Dağılım (Devam)
Üstel Dağılım (Devam)
(Ters Dönüşüm)
(Ters Dönüşüm)
29
30
1- İstenilen X rassal değişkeni için kümülatif yoğunluk
fonksiyonu hesaplanır.
31
Üstel Dağılım (Devam)
Üstel Dağılım (Devam)
(Ters Dönüşüm)
(Ters Dönüşüm)
32
8
10.12.2014
Rassal Normal Değer Üretme
Üstel Dağılım (Devam)
(0,5<Rassal Sayı<1)
(Ters Dönüşüm)
33

r = F(x) birikimli dağılım fonksiyonu için

[0,1] düzgün dağılımından r rassal sayısını üret

x’i hesapla.
s 2  100
Örnegin m =25,s 2  100 parametreli
Normal Dagilimdan rassal deger uretelim.
R=0.919 olsun.
F(x)  0,919
m  25
x
z
x- m
s
x  m + zs
F(z)  0, 919
z
Rassal Normal Değer Üretme
Rassal Normal Değer Üretme
(0,5<Rassal Sayı<1)
P ( Z £ 1, 4 )  0,919
(0<Rassal Sayı<0,5)
f(z)
Üretilen rassal sayının 0.5’ten küçük olması normal dağılımdan üretilecek
değerin ortalamadan küçük olduğunu gösterir.
z  1, 4
z
s 2  100
Örnegin m =25,s 2  100 parametreli
Normal Dagılımdan rassal deger uretelim.
x  m + zs
 25 + 1, 4.10
 39
R=0.35 olsun.
m  25
x
z
x- m
s
F(x)  RS  0,35
s2 1
F(z)  RS  0,35
x  m - zs
-z
9
0
10.12.2014
Rassal Normal Değer Üretme
Rassal Normal Değer Üretme
(0<Rassal Sayı<0,5)
(0<Rassal Sayı<0,5)
P ( Z £ 0.39 )  0, 65
f(z)
P(Z £ -0.39)  0, 35
s 2 1
-z
0
z
0
z
z  0, 39
s 2 1
x  m - zs
 25 - 0, 39.10
z
 21,1
P(Z < -z)  P(Z > z)  0, 35
P(Z < z)  1- 0, 35
 0,65
0, 35
10