olasılık teorısı

BÖLÜM I
OLASILIK
Küme teorisi, matematiğin geliştirilmesi ve öğretiminde gittikçe daha fazla yararlanılan
konulardan biridir. Ayrıca olasılıkla ilgili birinci bölümün temel aracıdır. Bu kısımda amaç,
olasılık konusunda kullanılacağı kadarı ile, kümelerle ilgili kavramların ve küme işlemlerinin
açıklanmasıdır.
1.1 KÜME KAVRAMLARI
Tanım (Küme): Kendisine ait olan elemanları ayırt eden bir kural ile birlikte tanımlanmış
herhangi bir nesneler topluluğuna küme adı verilir.
Küme kavramına pek çok örnek herkes tarafından verilebilir. Siyasal Bilgiler Fakültesinde
okuyan öğrenciler, kitaplığın en üst rafında yer alan kitaplar, nüfus sıklığı gelir düzeyi
Türkiye ortalamasının üzerinde olan iller, alfabedeki sesli harfler, 1 ile 2 arasındaki reel
sayılar, bir çember üzerindeki noktalar ..vb birer küme teşkil ederler. Bunların her birinde
küme tarifinin iki unsuru açıkça görülebilir:
i) Bir araya gelmiş nesneler,
ii) Bunları başka nesnelerden kesin şekilde ayıran ve kümenin sınırlarını tayin eden
kural.
A bir küme olsun:
,
Eğer x, A kümesinin bir elemanı ise, x  A
şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x  A olarak
ifade edilir.
Yukarıda verilen küme örnekleriden bazıları sınırlı sayıda eleman içerir. Bu tip kümelere
sınırlı küme denir.
sınırlı kümeye örnektir. Buna karşılık son iki örnekte küme elemanlarını saymaya imkân
yoktur. Bu tip kümelere ise sınırsız elemanlı küme denir,
A  x : 1  x  2
kümesinde olduğu gibi.
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve  işareti ile gösterilir. Boş küme ancak
bir tanedir, yani birden çok boş küme düşünülemez.
Boş kümein tek oluşunu göstermek için,  ve 'nın birer boş küme olduğunu varsayılsın. 
'nun  içinde bulunmayan herhangi bir elemanı olmadığından    dır. Benzer şekilde
   da yazılabilir. Oysa bu iki ifadenin aynı anda sağlanması ancak    olması, yani
boş kümenin tekliği halinde mümkündür.
Kümelerle ilgili diğer önemli bir kavram, Evrensel Küme, “E” dir. Boş kümenin tekliğine
karşılık, evrensel küme, her konu veya örnek ile ilgili olarak ayrı ayrı düşünülmesi gereken
bir kavramdır. Meselâ sadece IIBF öğrencileri üzerinde yapılması düşünülen bir araştırma
bakımından IIBF öğrencileri evrensel kümeyi teşkil ederler. Hâlbuki konu meselâ Türkiye'deki bütün yüksekokul öğrencilerinin serbest zaman faaliyeti olsaydı evrensel kümeyi de ona
göre genişletmemiz gerekecekti. Herhangi bir konuda evrensel küme belli iken, aynı konuda
düşünülebilecek diğer bütün kümeler bir küme içinde kalırlar. Bu durum bir kümenin başka
bir kümeyi tamamen kapsaması veya başka bir kümenin tamamen içinde bulunması hallerinin
incelenmesini gerektirir.
Tanım: Eğer
ise
nin alt kümesidir1.
( A içeri B) şeklinde
gösterilir. Her küme kendi kendisinin alt kümesi olduğu için bunu
göstermeliyiz. Ayrıca her küme evrensel kümenin alt kümesidir.
kümenin bir alt kümesidir. bu yüzden
şeklinde
, boş küme ise her
olur
Kümeleri VENN diyagramları ile göstermek çoğu zaman faydalı olur ve küme
ilişkilerinin kolaylıkla kavranmasını, küme işlemlerinin sonuçlarının anlaşılmasını sağlar.
Venn diyagramları için belli bir şekil söz konusu değildir. Biz kolaylık olsun diye “
dikdörtgen,
” yi bir
içindeki diğer kümeleri de daire şeklinde göstereceğiz.
E
B
A
A
EŞİTLİK VE DENKLİK
1
" " işareti tek taraflı bir önermeyi ifade ediyor; yani sonraki ifadenin önceki ifadenin zorunlu bir sonucu
olduğunu gösteriyor.
A ve B gibi iki küme, tamamı ile aynı elemanları içeriyor ise eşit sayılırlar. Elemanların
sıralanış farkı küme eşitliğini bozmaz.
Örnek: 3 kardeş var, isimleri Ali, Ayşe, Ahmet. Orta okulda okuyan bu kardeşlerin İngilizce
dersinden karne ders notları sırasıyla 8, 7, 5. Matematik notları ise sırasıyla 5,8,7. A İngilizce
dersinden alınan notlar kümesini, B matematikten alınan notlar kümesini göstersin
Küme eşitliğinin özellikleri:
i)
Her küme kendisine eşittir ve bu bütün kümeler için doğrudur.
ii) Simetri;
iii) Geçişlilik;
Aynı özelliklerin alt kümeleri için varlığını incelersek;
i)
Her küme kendisinin bir alt kümesidir.
ii) Genel olarak
yazılamaz, yani simetri yoktur. Ancak A ve B
kümeleri eşit ise bu şart sağlanabilir.
iii) Geçişlilik;
Denklik: Elemanları arasında bire bir (1—1) eşleme (karşılama) olan kümeler
birbirlerine denktirler. Aynı sayıda elemana sahip olan kümeler denktir. Fakat bu, aynı sayıda
elemana sahip olmalarının iki kümenin denkliği için gerekli şart olduğu anlamına gelmez.
Bunu göstermek için her ikisi de sınırsız olan,
kümelerini göz önüne alalım.
R kümesindeki her doğal sayıya E kümesinde 2 misli bir sayı tekabül etmektedir,
bu sebeple R ve E kümeleri denktir. Halbuki eleman sayısının eşitliğini kriter olarak alsaydık
bu iki kümenin denk olduğunu gösteremezdik.
Kuvvet Kümesi: A, sınırlı sayıda elemanı içeren bir küme olsun. A'nın bütün alt kümelerinin
teşkil ettiği kümeye Kuvvet kümesi denir ve
şeklinde gösterilir.
olsun. Bu durumda,
Belli bir sınırlı kümeten kaç tane alt küme üretilebileceği aşağıdaki teoremden
anlaşılır:
Teorem:
eleman içeren sınırlı bir küme ise
ane alt kümesi vardır2.
'nın ne elemanı vardır, başka deyişle A'nın
Teoremi örneğimize uygularsak, A'nın 3 elemanı olduğuna göre (
kümesi akla gelecektir.
KÜME İŞLEMLERİ
i)
) 8 tane alt
Tümleyici küme:
Tanım:
biçiminde tanımlanır.
notasyonu ile ifade edilebilmektedir.
Tamamlayıcı küme, evrensel küme içinde A’nın elemanı olmayan bütün elemanları kapsayan
kümedir. A ve
birlikte evrensel kümeyi teşkil ederler.
in belirlenebilmesi için E’nin
tanımlanmış olması gerekir.
Siyasal Bilgiler Fakültesi öğrencileri E kümesini, üçüncü sınıftaki öğrenciler A
kümesini teşkil etsinler.
kümesi bu durumda SBF'nin 1,2, ve 4'üncü sınıflarındaki
öğrencilerden meydana gelecektir.
ii)
Kesişim:
Tanım:
ve
kümelerinin kesişimi
şeklinde gösterilir ve matematiksel
olarak aşağıdaki biçimde tanımlanır.
Küme kesişimi için önceki örneğe devam edelim. Üçüncü sınıf öğrencileri
ediyordu.
kümesi ise SBF'deki kız öğrenciler olsun.
kümesini temsil
kümesi, üçüncü sınıftaki kız
öğrencilerden meydana gelecektir. Bu kümenin elemanları, hem üçüncü sınıf öğrencisi
olmaları dolayısıyla
, hem de kız olmaları dolayısıyla
kümesinin elemanlarıdır. Eğer iki
küme hiç ortak eleman içermezse bu iki küme a y r ı k veya aynı anda imkânsızdır denir.
2
Teoremin ispatı için bakınız: S. H. Hymans, "Probability Theory With Applications to Econometrics and
Decision Making" Prentice Hail, 1967 syf. 311.
Böyle iki kümenin kesişimi hiç bir eleman içermediğinden boş kümeyi verir.
ve
,
nin ayrık oluşunun gerekli ve yeterli şartıdır.
Ayrık kümeler için SBF 1 ye 3'üncü sınıf öğrencileri birer örnek olabilir, çünkü bu
fakültede sınıf geçme usulü yürürlükte olduğundan bir öğrenci aynı anda iki sınıfın birden
öğrencisi olamaz.
iii)
Birleşim:
Tanım:
kümelerinin birleşimi
ve
şeklinde gösterilir ve matematiksel
olarak aşağıdaki biçimde tanımlanır.
kümesi üçüncü sınıf öğrencilerini ve diğer sınıflardaki kız
Önceki örnekte
öğrencileri kapsar.
iv)
Fark, simetrik fark:
Tanım:
ve
kümelerinin simetrik farkı
(veya
şeklinde gösterilir ve
matematiksel olarak aşağıdaki biçimde tanımlanır.
kümesinin elemanları A kümesinin elemanı olan ve B kümesinin elemanı olmayan
birimlerden kurulur. Başka şekilde ifade edersek, B kümesinin elemanı olmayan elemanlar
arasından A kümesine dahil olanlarının temsil ettiği kümedir. A kümesinden, her iki kümeye
ortak olan elemanları ayırt edersek geriye
erkek öğrenciler
kalacaktır. Önceki misâlde üçüncü sınıftaki
kümesini teşkil edecektir.
kümelerinin simetrik farkı:
olarak anlamı
biçiminde gösterilir. Matematiksel
kümelerinden sadece bir tanesinin elemanlarından meydana
gelecektir. Başka deyişle,
’den
’ nin çıkarılması işlemiyle bulunur. Matematik
diliyle ifade edersek;
Örneğimizde
kümesi; üçüncü sınıftaki erkek öğrencilerle diğer sınıflardaki kız
öğrencilerden meydana gelir. Yani ya üçüncü sınıftaki bir erkek öğrenci olmak veya diğer
sınıflarda bir kız öğrenci olmak bu kümenin elemanı olması için yeterlidir.
Şimdi, buraya kadar değindiğimiz küme işlemlerini Venn diyagramları yardımı ile
gösterelim. Her şekilde taralı alan söz konusu olan kümeyi göstersin.
E
1. OLASILIK TEORİSİ
İstatistiksel araştırmaların temel konularından biri sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen
bazı şansa bağlı olayların (denemelerin) olası tüm mümkün sonuçlarının hangi sıklıkla ortaya
çıktığını belirleyebilmektir. Bu sorun istatistikte olasılık problemi olarak adlandırılır ve
denemelerin benzer koşullarda tekrarlanabildiği durumlarda çözüm bulmak mümkündür.
Tanım: Olasılık, bir olayın ortaya çıkma şansını tanımlayan, 0 ile 1 arasında bir sayıdır.
Tanım (Rassal Deney): Sonuç gözleninceye kadar çıktısı bilinmeyen deneyler, rassal
deneylerdir.
Çözümün ilk aşaması rassal deneyin tüm mümkün çıktılarının belirlenmesidir. Örneğin bir
paranın iki kez atılması sonucunda üst yüze gelen sembollerin tüm mümkün durumları bir
kümenin elemanları olarak;
S  e : T , T , T , Y , Y , T , Y , Y 
tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.
1.1 KÜME TEORİSİ
Bu kısımda kümeler A, B gibi büyük harfler ile gösterileceklerdir.
Tanım (Örnek Uzayı): Bir rassal deneyin tüm mümkün çıktılarının kümesi S, bu deneyin
örnek uzayı olarak adlandırılır.
Örnek uzayı içerdiği eleman sayısı açısından iki sınıfa ayrılır:
a) Sayılabilir (sonlu/sonsuz) elemanlı
b) Sayılamaz (sonsuz) elemanlı
Eğer bir örnek uzayının elemanları, tam sayıların bir alt kümesi ile birebir ilişkili ise örnek
uzayı sayılabilir elemanlıdır. Ayrıca bir örnek uzayı sonlu sayıda elemana sahip ise
sayılabilirdir. Bir kümenin elemanları pozitif tam sayılar kümesi ile bire bir eşleşebiliyor ise
sayılabilir sonsuz elemanlı kümedir. Bir diğer örnek de pozitif rasyonel sayılar kümesidir. Bu
yapıdaki kümeler eleman sayısı sonlu ya da sonsuz olsa da genellikle sayılabilir kümeler
olarak adlandırılırlar. Sayılamayacak kadar çok (sonsuz) elemana sahip kümeler için
verilebilecek örnek, tüm gerçel sayıların tanımlandığı kümedir. Reel sayıları saymak mümkün
değildir. Bu tip kümeler daha sonra incelenecektir.
Sayılabilir ve sayılamaz elemanlı örnek uzayları arasındaki fark sadece atanacak olasılıkların
belirlenmesi açısından önemlidir.
İstatistiğin temeli olan fakat araştırmacının genellikle göz ardı ettiği şey yalnızca bir deneydir.
Bu bir adet deney birçok defa tekrarlanır. Örneğin, bir para iki kez havaya atılsın. Bu yeni
deneyle ilgili örnek uzayı aşağıdaki gibidir:
S  Y , T  Y , T   Y , Y , Y , T , T , Y , T , T 
Eğer orijinal deneyde para hilesiz ise, yani PY   PT  ise bu yeni deneyin 4 mümkün
durumu da eşit olasılıklı olacaktır:
PY , Y   PY , T   PT , Y   PT , T  
1
4
Daha genel bir ifadeyle, örnek uzayları S1 ve S2 olan iki deney göz önüne alındığında, bu iki
deneyin kombinasyonu olan bir deneyin örnek uzayı kümesi,
S  S1  S 2  1 , 2  : 1  S1 , 2  S 2 
olur. Eğer S1 ve S2’nin sırasıyla r ve s adet elemanları var ise, S1 x S2’nin eleman sayısı rs’dir.
Buraya kadar olan kısımda rassal bir deneyin tüm mümkün sonuçlarını gösteren örnek uzayı S
tanıtıldı. Fakat S bir kümedir ve küme teorisiyle rassallığın matematiksel formülasyonunu
ortaya koymaktadır.
Bu aşamadan sonra yapılması gereken bir şeyin rassal olarak mı ortaya çıktığı ya da bir olay
mı olduğunun formülize edilmesidir.
Tanım (Basit olay): S örnek uzayını oluşturan her bir e elemanına basit olay denir.
Tanım (Bileşik olay): Bir örnek uzayının herhangi bir alt kümesi (S ’nin kendiside dahil) bir
olay olarak adlandırılır.
Rassal olayların kümeler cinsinden ifade edilmesi, olayların tüm mümkün birleştirilme ya da
tahrif edilmesi durumlarını küme teorisinin yardımıyla belirlenebilmesine olanak sağlar.
Örneğin olaylar aynı zamanda meydana gelen, alternatif, karşıt vb gibi tanımlanabilir.
Örnek: Rassal bir deneyin sınıftaki bir kişinin seçilmesi ve kampüse nasıl geldiği sorusuna
verdiği cevap olduğu varsayılsın.
Yukarıdaki şekil örnek uzayı içerisindeki olayları göstermektedir ve Venn Diyagramı olarak
adlandırılır.
Bir örnek uzayı için tanımlanan iki uç durum vardır. Birincisi S kümesinin tanımladığı en
büyük alt küme kendisidir. İkinci uç durum ise boş kümedir.
Tanım (Boş Küme): Elemanı olmayan küme boş Ø kümedir. A= Ø.
Bir A kümesindeki eleman sayısı kümenin hacmi (size) olarak adlandırılır ve A ile
gösterilir. Burada A negatif olmayan bir tam sayıdır ve Ø=0 olarak tanımlanır.
Olasılıkla ilgili ifadelerde genellikle bir kümenin olasılığı yerine bir olayın olasılığından
bahsedilir.
İlk olarak kümelerin (olayların) sıralama ve denkliğini tanımlayan iki ilişki aşağıda
verilmiştir:
Tanım (Kapsama): Eğer A kümesinin her elemanı B kümesi tarafından içeriliyor ise B
kümesi A kümesini kapsar ve A kümesi B kümesinin bir alt kümesidir.
A  B  x A xB
Diğer bir gösterim ise A  B şeklindedir.
Tanım (Eşitlik): Eğer iki küme tamamen aynı elemanlara sahip ise eşittir.
A  B  A  B ve B  A
1.2 ELEMANTER KÜME İŞLEMLERİ
Herhangi iki olay (veya küme) A ve B verilmiş olsun.
Birleşme: A ve B kümelerinin birleşimi, A ya da B kümelerine ait elemanların kümesidir:
A  B  x : x  A veya x  B
Birkaç farklı alternatiften oluşan bir olay tanımlanmak istensin. Örneğin kampüse gelirken
kullanılan motorlu taşıt olayı ya araba ya otobüs ya da her ikisi birlikte kullanılarak
gerçekleştirilebilir. Bu seyahat kümesinin gösterilmesi için hem arabanın tüm mümkün
çıktılarını hem de otobüsün tüm mümkün çıktılarının işaretlenmesi gerekir.
Not: “ve” ve “ya da” ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır. Araba ve otobüsün birleşimi
göstermek için araba “ve” otobüsteki her yerin işaretlenmesi gerekir. Birleşimin “ve” mi “ya
da” mı ile ifade edildiğini hatırlamak için taralı alandaki bir olayın neleri sağlaması gerekir
sorunun göz önüne alınması gerekir.
Kesişim: A ve B kümelerinin kesişimi, hem A hem de B kümelerine ait elemanların
kümesidir:
A  B  x : x  A ve x  B
Kesişim iki ya da daha fazla olayın hepsinin birlikte meydana gelmesiyle oluşan bir olaydır.
Örneğin, kampüse yapılan seyahatin hem araba hem de tren ile gerçekleştiği varsayılsın. Bu
olayın gösterilmesi için araba ve tren olaylarının çakıştığı bölgedeki tüm çıktıların
işaretlenmesi gerekir.
Tümleyen: A kümesinin tümleyeni, A kümesinde olmayan tüm elemanların kümesidir:
Ac  x : x  A
Bir olayın tümleyeni, o olayın tersidir. Olay neyi temsil ediyorsa, tümleyeni o olayın
gerçekleşmemesidir. Örneğin kampüse yapılan seyahat yürümeyi içermiyor olsun. Bu olayı
göstermek için S’de yürüme haricindeki tüm çıktıların işaretlenmesi gerekir.
Ayrıca Sc=Ø ve Øc=S olup (Ac)c =A özdeşlikleri geçerlidir.
Kesişim ve tümleyen işlemlerinin bir kombinasyonu olan Fark işlemi ise ileride açıklanmıştır.
Örnekler:
Deney: Sınıftan bir kişinin rassal olarak seçilmesi
Örnek Uzayı: S = { Sınıftaki tüm kişiler }
A olayı A = “kişinin erkek olması” ve B olayı B = “kişinin bisikletle kampüse gelmiş olması”
olsun.
Okula bisiklet ile gelmemiş olan bir erkeğin seçildiği varsayılsın. Buna göre aşağıdaki olaylar
gerçekleşip gerçekleşmemelerine göre incelenmiştir.
1) A
evet
2) B
hayır
3) A
hayır
4) B
evet
5) A  B = {kadın veya bisiklet kullanıcısı ya da her ikisi}
hayır
6) A  B = {erkek ve bisiklet kullanmayan}
evet
7) A  B = {erkek ve bisiklet kullanan}
hayır
8)  A  B  = A  B dışındaki herşey.
A B
c
gerçekleşmediği için
 A  B c
gerçekleşmiştir.
Venn diyagramları genellikle üç olaya kadar kullanışlıdır. Bu yüzden ispatlarda
kullanılmazlar. Üçten daha fazla olaylar için bu diyagram çakışmaları göstermede yetersiz
olabilir. Örneğin,
S
S
Bazı önemli küme işlemleri aşağıdaki teorem ile tanımlanmıştır.
S
S
Teorem: Örnek uzayı S üzerinde üç olay (küme) A, B, C tanımlanmış olsun. Burada
parantezler işlem sırasını tanımlar ve oldukça önemlidir. Örneğin (AB)C kümesi
A(BC) kümesinden farklıdır.
Değişme (Commutativity):
AB= BA
AB= BA
Birleşme (Associativity) :
A(BC)=(AB)C
A(BC)=(AB)C
Dağılma (Distributive)
:
A(BC)=(AB)(AC)
A(BC)=(AB)(AC)
De Morgan
:
(AB)c=AcBc
(AB)c=AcBc
İspat. Sadece De Morgan Kuralların ilki ispatlanacaktır. İspat iki aşamalıdır. İlk adımda
 A  B c  Ac  B c
olduğu gösterilsin:
x   A  B  olsun. Bu durumda x   A  B olmalıdır. Sonuç olarak; x  A ve
c
x  B . Bu nedenle x  A c ve x  B c , diğer bir deyişle; x  A c  B c bulunur. İlk adımın
sonucu:
 A  B c  Ac  B c
İkinci adımda A c  B c   A  B  olduğu gösterilsin:
c
x  A c  B c olsun. Bu durumda x  A c ve x  B c olmalıdır. Sonuç olarak; x  A ve
xB.
Bu nedenle x   A  B , diğer bir deyişle; x   A  B  bulunur. İkinci adımın
c
sonucu:
Ac  B c   A  B 
c
Her iki adımın sonucu birlikte değerlendirildiğinde:
Ac  B c   A  B  .
c
Küme teorisi üzerine tanımlanan olaylar genel olarak iki gruba ayrılırlar: Ayrık olaylar ve
eşanlı olaylar olmak üzere, tümleyen olaylar ayrık olayların özel bir durumudur.
Eşanlı olaylar ise kendi içinde bağımsız ve bağımlı olaylar olarak ikiye ayrılırlar.
Tanım (Eşanlı olaylar): Herhangi iki olay A ve B eğer AB ise eşanlı olaylardır.
Tanım (Tümleyen olaylar): Herhangi iki olay A ve B eğer AB=S ise tümleyen olaylardır.
Tanım (Ayrık olaylar): İki olay A ve B eğer AB= ise ayrık olaylardır. Bunun anlamı: A
ve B olayları birlikte ortaya çıkamazlar. Eğer A ortaya çıkarsa B olayını dışlar ve tam tersi de
geçerlidir.
S
Verilen A1, A2,… olayları eğer tüm i≠j için AiAj= ise ikişerli olarak ayrık olaylardır.
İkiden fazla kümenin, örneğin A, B, C çifterli olarak ayrık olmaları,
AB=
AC=
BC=
durumunda onların hepsinin de ayrık olduğu
ABC=
söylenebilir. Bunun tersi geçerli değildir.
S
Tanım (Kümenin bölümlenmesi): Eğer A1, A2,… çifterli olarak ayrık ise ve


i 1
A1  S ise A1,
A2,… kümeleri S kümesinin bir bölümlenmesini tanımlar.
Bir örnek uzayının birbirinden ayrık kümelere ayrıştırılması bölümleme olarak adlandırılır.
Herhangi bir A kümesi için,
S= A  A c
S’nin bölünmesiyle elde edilen B1 , B2 , B3 , B4
S
S’nin bölümleri B1 ,..., B5
S
Not: Herhangi bir B olayı için B ve B , S’nin bölümleridir.
Herhangi ayrık A ve B kümeleri için,
S=(AAc)(BBc)
=(AB)(ABc)(AcB)(AcBc)
ve herhangi bir iki yönlü sınıflama, iki ayrık olayın tanımlanması, üzerine üçüncü bir C
olayının tanımlanması ile,
S=(AAc)(BBc)(CCc)
=(ABC)(ABCc)(ABcC)(AcBC)(AcBcC)(AcBCc)
(ABcCc)(AcBcCc)
olarak elde edilir. Böyle bir ayrışımın bileşenleri atom olarak adlandırılır. Yukarıdaki
örneklerde sırası ile 2, 4, 8 adet atom vardır. Genel olarak n adet küme için 2n adet atom
vardır. Bu örnek uzayı üzerine tanımlanan herhangi bir küme bazı atomların birleşimi olarak
yazılabilir.
Fark (Difference): A\B kümesi A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanların
kümesidir.
A\B=ABc=x: xA ve xB
Bu işlem değişme ve birleşme özelliklerine sahip değildir. Örneğin birleşme özelliğinin
geçerli olmadığı,
(A\B)\CA\(B\C)
ifadesinden görülebilir.
Tanım (Sigma Cebri): S ’nin alt kümelerinin bir koleksiyonu eğer aşağıdaki üç özelliği
sağlıyorsa sigma cebri olarak adlandırılır ve β ile gösterilir.
a) 
(boş küme β’nin elemanıdır)
b) Eğer A ise Ac
(tümleyen işlemine göre kapalılık)
c) Eğer A1 , A 2 ,...   ise


i 1
A i   olur (sayılabilir sayıda birleşim işlemine göre
kapalılık).
Boş küme Ø, herhangi bir kümenin alt kümesidir. Bu nedenle ØS. Özellik (a) bu alt setin
daima sigma cebrine dahil olduğunu belirtir. S=Øc olduğundan özellik (a) ve (b) S kümesinin
de daima β’ye dahil olduğunu belirtir. Ayrıca De Morgan kanunları kullanılarak β’nin
sayılabilir kesişimler altında kapalı olduğu görülebilir. Eğer A1 , A 2 ,...   ise bu durumda
A1C , A C2 ,...   ’dir, (özellik b ile) ve


i 1
A i   olur. Bununla birlikte De Morgan kanunu
C
kullanılarak,


A iC
i 1

C

 i 1 A i
bulunur ve özellik (b) ile


i 1
A i   bulunur.
Örnek uzayı S’ye ait birçok farklı sigma cebri tanımlanabilir. Örneğin {Ø, S} şeklindeki iki
adet kümenin koleksiyonu bir sigma cebridir ve trivial sigma cebri olarak adlandırılır.
Eğer S sonlu ya da sayılabilir ise bu örnek uzayı üzerinde bir sigma cebri oldukça kolay bir
şekilde tanımlanır:
=S’nin tüm alt kümeleri, S’nin kendisi
Eğer S kümesi n adet elemana sahip ise β’deki küme sayısı 2n adettir. Örneğin eğer S={1,2,3}
ise β, 23=8 kümenin koleksiyonundan,
={1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}, Ø
oluşur.
Eğer S kümesinin elemanları sayılamıyor ise bu durumda β’yi tanımlamak zor olabilir.
Bununla birlikte β, ilgilenilen herhangi bir kümeyi içerecek şekilde seçilebilir. Örneğin
,) gerçel sayılar kümesi olarak tanımlanmış ise β cebri,
[a,b], (a,b], [a,b), (a,b)
S=(-
şeklindeki tüm kümeleri içerecek şekilde seçilebilir. Burada a ve b tüm gerçel sayıları
tanımlar. Bu durumda β, yukarıda tanımlanan kümelerin, mümkün sayılabilir sonsuz, birleşim
ve kesişim işlemleri ile elde edilebilecek tüm kümeleri içerir.
1.3 OLASILIK TEORİSİNİN TEMELLERİ
Bir rassal deneyin çıktısı örnek uzayındaki bir elemandır. Rassal deneyin tekrarlı olarak
uygulanması durumunda bir çıktının “oluşum sıklığı” örnek uzayındaki elemanın (alt
kümenin) olasılığı olarak düşünülebilir. Örnek uzayındaki her bir A olayı için, bu olayla sıfır
ile bir arasındaki bir sayının eşleştirilmesi amaçlanır. Sıfır ile bir arasındaki bu sayı A olayının
olasılığı olarak adlandırılır ve P(A) ile gösterilir.
Basit anlamda olasılık, bir kümeyi ölçümlemek amacıyla bu kümeye atanan (ya da ait olan)
bir sayıdır. Diğer bir ifadeyle olasılık kelime anlamı olarak şansın ölçümlenmesidir. Bir
kümenin ya da bir olayın büyüklüğünün ölçülmesi için bazı yöntemler mevcuttur. Aynı
yöntemler bunların içerisindeki elemanları saymak için kullanılabilir mi? Aslında olasılık
hesaplanırken yapılacak işlem budur. Fakat bunun uygun olmadığı bir takım durumlar
mevcuttur. Örneğin bir kümenin ortaya çıkma ihtimalinin diğerinden daha fazla olduğu fakat
ikisinin de eleman sayılarının eşit olduğu durumda ne olur? Aynı olasılığa mı sahip
olmalıdırlar?
İlk küme: {Fenerbahçe kazanır}
İkinci küme: {Galatasaray kazanır}
İki kümenin de birer elemanı vardır. Fakat şüphesiz ki bunlara farklı olasılıklar verilmelidir.
Bununla birlikte, aynı anda çalışılacak küme sayısı birden fazla olabileceği ve her birine ait
olasılıkların belirlenmesi istendiği için olasılık “kümelerin bir fonksiyonudur”.
Olasılık belirli bir fonksiyona göre tanımlandığı için ilk olarak fonksiyon kavramı ele
alınmalıdır.
Bir fonksiyon, f(.), bir noktalar kümesindeki her bir noktayı bir diğer noktalar kümesindeki
bir ve yalnız bir nokta ile ilişkilendiren bir kuraldır (kanun, formül,vs). İlk küme tanım
kümesi A, ikinci küme B ise görüntü kümesidir.
Bir fonksiyon:
ƒ: xƒ(x)
ve olasılık kümelerin bir fonksiyonu olduğundan:
P: S P(S)
Örnek uzayının tüm alt kümelerinin tanımlandığı kümeler ailesi P fonksiyonunun tanım
kümesi olarak kullanılabilir.
Bu aşamada, eğer S sayılamayacak kadar çok eleman içeriyorsa problem oluşabilir. Ortaya
çıkan problem, S kümesinin sayılamayacak kadar çok alt küme içermesi ve bu nedenle her
bir alt kümeye bir olasılık atanmasında sıkıntı oluşmasıdır. Bu sorunun nasıl aşıldığı ileride
açıklanacaktır. Bununla birlikte, S sonlu elemana sahip ise her bir alt kümesine bir olasılık
atanmasında problem ortaya çıkmaz.
Olasılığın en basit yapıdaki tanımını verebilmek için, ilk aşamada örnek uzayının sayılabilir
olduğu varsayılacaktır.
Tanım (Klasik Olasılık): Eğer bir rassal deneyin örnek uzayı sonlu sayıda n adet ayrık
S  e1 , e2 ,, en 
ve eşit olasılıklı elemana sahip ise
P ei  
1
n
i  1, n
ve nA, örnek uzayı üzerinde tanımlanan A olayındaki basit olayların (ei) sayısı ise A olayının
gerçekleşme olasılığı P(A);
P A 
nA
n
olarak belirlenir. Klasik olasılığın yetersiz kaldığı iki durum:
a) Olayların eşit olasılıkla oluşmadığı durumlar
b) Örnek uzayının sonsuz elemanlı olduğu durumlar.
Bir örnek uzayındaki elemanların eşit olabilirliğe sahip olması bazı ideal koşulların
oluşmasına bağlıdır. Ayrıca şans oyunlarının aksine doğadaki örnek uzayındaki elemanlar
genellikle eşit olasılığa sahip değildir. İnsanların kan grupları bir örnek olarak verilebilir.
Böyle bir durumda bir herhangi bir A olayının oluşum sıklığı nasıl belirlenir? Cevap açıktır;
anakütle üzerinde benzer koşullarda denemeler yapılmalıdır.
Tanım (Göreli frekans): Bir rassal deneyin örnek uzayı üzerine tanımlanmış olay A olsun.
Deney benzer koşullarda N adet tekrarlansın ve ortaya çıkan A olaylarının sayısı n olsun. A
olayının göreli frekansı:
f(A)=n/N
Örneğin hilesiz olduğu düşünülen bir para atıldığında üst yüze yazı gelmesi A olayı olarak
tanımlansın. Değişik deneme sayılarında gerçekleşen A olayı sayıları ve göreli frekansları:
N=10
n=4
f(A)=0.4
N=100
n=47
f(A)=0.47
N=1000
n=488
f(A)=0.488
Şüphesiz f(A) değeri gerçekleştirilen deney sayısı N ile bağımlıdır ve küçük N değerleri için
çok büyük dalgalanmalara sahiptir. Burada cevaplanması gereken soru, “N değeri sonsuza
gittiğinde f(A) oranlarının dizisi kararlı bir değere yakınsıyor mu?” olacaktır. Böyle bir
soruya deneysel olarak asla cevap verilemez. Çünkü limitin doğası gereği deneylere son
verilemez. Böyle bir limitin var olduğunu kabul etmek matematiksel bir yaklaşımdır:
 istenildiği kadar küçük olabilen pozitif bir sayı olmak üzere, N>m() koşulunu altında,
n
 P(A)  
N
Eşitsizliğini sağlayan bir m() sayısı bulunabiliyorsa,
n
 P(A)
N  N
lim
Elde edilen bu sonuç A olayının deneysel limit frekansıdır ve P(A) değeri A olayının
gerçekleşme olasılığıdır.
Fakat P(A) limit değeri hala gerçekleştirilen deney dizisi sonuçlarına bağımlıdır. Deneyler
aynı koşullarda geçekleştirilse dahi bir sonraki deney dizisinin aynı sonuçları vereceğinin
garantisi yoktur. Bu frekanslar üzerine oluşturulan geçerli bir teori, yukarıda tanımlanan P(A)
değerinin tüm benzer deney dizileri için aynı olduğunu varsaymak zorundadır. Bu teorem ile
modern olasılığın temeli olan aksiyom olasılığını ele almak da mümkün olmuştur.
Tanım (Olasılık Küme Fonksiyonu): Rassal bir deneyin örnek uzayı S ve bu kümenin üzerine
tanımlı çifterli ayrık AiAj=, ij olaylar A1, A2,… olsun. Eğer P(.) fonksiyonu;
1) P(A)0
2) P(S)=1
3) P(A1A2…)=P(A1)+P(A2)+…

P



A 
i 1 i 


 P( Ai )
i 1
koşullarını sağlıyor ise bu rassal deneyin çıktılarının olasılık küme fonksiyonu olarak
adlandırılır. S örnek uzayının her bir A alt kümesi için P(A) sayısına da A olayının olasılığı
denir.
Yukarıdaki tanımda verilen üç özellik “olasılık aksiyomları” olarak ya da Kolmogorov
aksiyomları olarak bilinir.
Olasılığın bu tanımı matematiksel bir tanım olup, hangi küme fonksiyonunun olasılık
fonksiyonu olarak adlandırılabileceğini açıklamaktadır.
Olasılığın bu tanımı, verilen bir A olayı için olasılık fonksiyonunun P(.) alacağı değer ile ilgili
bilgi vermez.
Olaylara ait olasılık değerlerinin elde edilmesi için rassal deneyin modelinin tanımlanması
gereklidir.
Örneğin, sonuçları 1 (başarı) ve 0 (başarısızlık) olan bir deneyin 5 kez tekrarlandığı ve bir A
olayının “deneyin sonucunda bir başarı elde edilmesi” olduğu varsayılsın. O halde bu olay,
A  0,0,0,0,1, 0,0,0,1,0, 0,0,1,0,0, 0,1,0,0,0, 1,0,0,0,0
S  0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 kümesinden elde edilir.
Genel olarak bir deney n kez tekrarlanırsa, buna karşılık gelen örnek uzayı,
S  S1  S 2  ...  S n ’dir.
Bir diğer durum da örnek uzayının sonsuz elemana sahip olmasıdır. Örneğin, bir paranın üst
yüze tura gelene kadar atıldığı varsayılsın. Buna göre deneyin çıktısı, ilk kez tura gelene kadar
yapılan atış sayısıdır. Örnek uzayı tüm pozitif doğal sayılardır:
S  1,2,3,...
Bu deney için olasılık fonksiyonu P nedir?
Bu para atışının sonucunda üst yüze yazı gelmesinin olasılığının p ve tura gelmesinin
olasılığının da 1-p olduğu varsayılsın. Her bir n için P(n) olasılığı belirlenmektedir. P(1) = p
olasılığı ilk atışta yazı geldiğini göstermektedir. {2} olayı Y , T  Y , T  örnek uzayındaki
(T,Y) çıktısına karşılık gelmektedir. Böylece,
P2  1  p p
Benzer bir şekilde {n} olayı Y , T  Y , T  uzayındaki T , T ,..., T , T , Y  çıktısına karşılık
gelmektedir. Genel bir ifadeyle,
Pn   1  p 
n 1
n  1,2,3,...
p,
Elde edilen bu ifade S  1,2,3,... için bir olasılık fonksiyonu tanımlar mı?
Öyle olması için PS   1 olmalıdır. Fakat örnek uzayı sonlu olmadığı için PS  ’nin nasıl
hesaplanacağı açık değildir. Bu yüzden olasılık fonksiyonunun tanımında bazı düzeltmeler
gereklidir.
Tanım (Olasılık Fonksiyonu): Sonsuz (ya da sonlu) bir örnek uzayı S’deki bir A olayını [0,1]
aralığındaki P(A)’ya atayan ve aşağıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyondur:
i) P(S) = 1 ve
ii) P A1  A2  A3  ...  P A1   P A2   P A3   
eğer A1 , A2 , A3 ,... ayrık ise
Böylelikle S’nin olasılığı hesaplanabilir:
PS   P1  P2    Pn  
 p  1  p  p    1  p 

 p 1  1  p     1  p 
n 1
Elde edilen 1  1  p     1  p 
n 1
1  1  p     1  p 
n 1
Böylece PS   p.
n 1
p 


  toplamı, bir geometrik seridir. 1  p  1 olduğunda,
 
1
1
 olur.
1  1  p  p
1
1
p
Aksiyom tanımı belirli bir P fonksiyonunun nasıl seçileceğini belirtmez. Herhangi bir örnek
uzayı için pek çok farklı olasılık fonksiyonu tanımlanabilir.
Olasılık
aksiyomları
kullanılarak,
daha
karmaşık
olasılıkların
hesaplanmasında
kullanılabilecek olan, olasılık fonksiyonunun pek çok özelliği tanımlanabilir.
Teorem: Eğer P(.) bir olasılık fonksiyonu ve A kümesi S’deki herhangi bir küme ise,
a. P(Ø) = 0
(Burada Ø boş kümedir)
b. P(Ac)=1-P(A)
c. P(A) ≤ 1
İspat: a) S=SØ ve S ile Ø ayrık, SØ= Ø, olduğundan
P(S)=P(SØ)=P(S)+P(Ø)
1=1+ P(Ø).
b) S=AAc ve A ile Ac ayrık, A  Ac = Ø, olduğundan
P(S)=P(AAc)=P(A)+P(Ac)
1= P(A)+P(Ac).
Aşağıda belirtilen her özellik hem kesikli hem de sürekli örnek uzayında tanımlı olaylar
(kümeler) için geçerlidir.
Birleşimin Olasılığı:
A ve B olayları S örnek uzayında tanımlı iki olay olsun. A  B birleşim olasılığı için iki
durum söz konusudur:
1. A ve B ayrık olaylardır (çakışma yoktur): yani A  B  ϕ
2. A ve B ayrık olaylar değildir. A  B  ϕ
Birinci durum için A  B ’nin olasılığı,
Eğer A  B  ϕ ise P A  B  P A  PB
İkinci durum için ise,
Herhangi bir A ve B olayları için P A  B  P A  PB  P A  B
Not: İkinci durum için tanımlanan formül aynı zamanda birinci durum için de kullanılabilir:
P A  B  P(ϕ) = 0
Üç ya da daha fazla olay için, örneğin A, B ve C olayları için
P A  B  C   P A  PB  PC 
 P A  B  P A  C   PB  C 
 P A  B  C 
Kesişimin Olasılığı:
P A  B için kolay bir formül yoktur. İstatistiksel bağımsızlığın kullanılabiliyor olması
gerekir.
S
Eğer A ve B istatistiksel olarak bağımsız değillerse, genellikle koşullu olasılık kullanılır.
Teorem: Eğer P(.) bir olasılık fonksiyonu ve A ile B kümeleri S ’deki herhangi iki küme ise ,


a. P A C  B  P(B)  P(A  B)
b. P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)
c. Eğer A  B ise P(A)  P(B) ’dir.
d. P(A-B)=P(A)-P(AB)
İspat: a. Herhangi iki A ve B kümesi için,
B=(AB)(AcB)
ve olasılık ifadesi olarak,
P(B)=P(AB)P(AcB)
ve eşitliğin sağındaki iki olay ayrık olduğundan,
P(B)=P(AB)+P(AcB)
b. Herhangi iki A ve B kümesi için A ve BAc kümeleri birbirinden ayrık olduğundan,
AB=A(AcB)
özdeşliği kullanılarak,
P(AB)=P(A)+P(AcB)
Ayrıca AB=A (AcB)
ve eşitliğin sağındaki iki olay ayrık olduğundan,
P(AB)=P(A)+P (AcB)
Elde edilen sonuçlar yerine konarak ispat tamamlanır.
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
c. B=A(AcB) ve eşitliğin sağındaki iki olay ayrık olduğundan Aksiyom 3 kullanılarak
P(B)=P(A)+P(AcB)
P(AcB)0 ve sonuç olarak P(B) P(A) bulunur.
Aksiyom 1 kullanılarak
d. A=(A-B)(AB) olup eşitliğin sağındaki kümeler ayrık olduğu için
P(A)=P(A-B)+P(AB) ispat tamamlanır.
Teoremin (b) formülü bir kesişim olasılığı için kullanılabilecek faydalı bir eşitsizliği
(Bonferroni eşitsizliği) tanımlar.
Tanım (Bole eşitsizliği): Herhangi iki A ve B olayı için A, BS olmak üzere AB için,
P(AB)P(A)+P(B)
ve eğer AB= ise
P(AB)=P(A)+P(B)
olarak tanımlanır. Bu sonuç aynı zamanda ayrık olayların olasılıklarının (ve eleman
sayılarının) toplama kuralına uyduğunu belirtir.
Bonferroni Eşitsizliği: Teoremin (b) formülünde P(A  B)  1 olduğundan,
1  P(A)  P(B)  P(A  B)
ve
P(A  B)  P(A)  P(B)  1
elde edilen sonuç Bonferroni eşitsizliğinin özel halidir.
Bonferroni
eşitsizliği
özellikle,
kesişim
olasılığının
belirlenmek
istendiği
fakat
hesaplanmasının zor ya da imkansız olduğu durumlarda oldukça faydalıdır. Örneğin her biri
0.95 olasılığa sahip A ve B olayları için her ikisinin de birlikte oluşma olasılığının sınırı,
P(AB)=P(A)+P(B)-1=0.90
olarak bulunabilir.
Bireysel olayların olasılıkları yeterince büyük olmadıkça Bonferroni sınırı negatif değer
verdiği için (fakat hala doğrudur) kullanışsızdır.
Teorem: Eğer P(.) bir olasılık fonksiyonu ise,

i 1 P( A  Ci ) ,
a. P( A) 


herhangi bir C1, C2,… bölümlenmesi (ayrık olayları) için.
b. P i 1 A i  i 1 P(A i ), herhangi A1, A2,… kümeleri için, (Boole’un eşitsizliği)


Boole’un eşitsizliği ile Bonferroni ’nin eşitsizliği arasında bir benzerlik vardır. Temelde
aynıdırlar. Eğer Boole’un eşitsizliğinde Ac kullanılsaydı,


 
P i 1 A ic  i 1 P A ic
n
n
burada  A ic   A i  ve P(A ic )  1  P(A i ) eşitlikleri kullanılarak
c


1  P i 1 A i  n  i 1 P(A i )

n

n
P i 1 A i  i 1 PA i   n  1
n
n
elde edilir ki bu sonucun Bonferroni eşitsizliğinin genel ifadesidir.
Tanım (Olasılık Uzayı): Bir olasılık uzayı üç elemanlıdır, [S, β, P(.)]. Burada S örnek uzayı, β
sigma cebri diğer bir deyişle bir olaylar koleksiyonu ve P(.) ise tanım kümesi β olan bir
olasılık fonksiyonudur.
1.4 SAYMA YÖNTEMLERİ
İstatistik problemlerinde belirli bir durumda
1) olanaklı bütün seçenekleri ortaya koymak
ya da en azından
2) kaç farklı olanak bulunduğunu belirlemek
gereklidir
Sayma yöntemlerinin en sık kullanıldığı problemler, sonlu örnek uzayları üzerine tanımlanan
olaylara bir olasılık atanması durumudur. Genelde sayma problemleri karmaşıktır bu nedenle
saymayı basitleştirmek üzere problem basit parçalara ayrılır. Eleman sayısı N olan bir kesikli
S örnek uzayının klasik olasılık aksiyomlarını (eşit olasılıklı ayrık olaylar) sağladığı
varsayılsın. Bir A olayının olasılığını belirlemek için her biri eşit olasılık ile ortaya çıkan ve
birbirinden ayrık olan mümkün durumların sayısına ve A özelliğini taşıyan elemanların
sayısına gereksinim vardır. Bu sayıların elde edilebilmesi için bazı kombinasyon
formüllerinin kullanılması gereklidir. Bu formüller iki temel prensip üzerine kurulmuştur:
Tanım (Toplama): A ve B ayrık olaylar olmak üzere, bir A olayı toplam m farklı şekilde ve B
olayı ise n farklı şekilde oluşuyor ise A ya da B (AB) olayı m+n farklı şekilde oluşabilir.
Tanım (Çarpma): A olayı toplam m farklı şekilde ve B olayı ise toplam n farklı şekilde eşanlı
olarak oluşabiliyor ise, A ve B (AB) olayı mn farklı şekilde oluşabilir.
Tanım (Faktöriyel): Bir pozitif tam sayı n için, n (n faktöriyel) n değerine eşit ve küçük tüm
tam sayıların çarpımıdır.
n=n(n-1)…321
Burada,
n  1! n!
n
olduğundan, n=1 için 0!=1 olduğu görülebilir.
Sayılar büyüdükçe faktöriyel değerini hesaplamak zorlaşır. Bu nedenle yaklaşık bir hesaplama
değeri Stirling tarafından verilmiştir:
n! 2 e n n
n
1
2
Daha güvenilir bir yaklaşım için e-n yerine
e-[n-(1/12n)] kullanılabilir.
Kullanılacak sayma yöntemleri gerçekleştirilen örnekleme yöntemine
a. İadeli örnekleme
b. İadesiz örnekleme
ve örneğe çıkış sırasına
c. Örneğe çıkış sırası önemsiz
d. Örneğe çıkış sırası önemli
bağımlıdır.
Tanım (İadeli Örnekleme): Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir
sonraki seçimde tekrar populasyona dahil ediliyorsa yani örneğe girme şansı yine varsa bu tip
örneklemeye iadeli örnekleme denir.
Tanım (İadesiz Örnekleme): Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer
bir sonraki seçimde tekrar populasyona dahil edilmiyorsa yani bir sonraki örnekte gözlenme
şansı yoksa bu tip örneklemeye iadesiz örnekleme denir.
Tanım (Permütasyon): Bir S kümesindeki elemanların iadesiz örneklemedeki tüm farklı
seçimleri için ortaya çıkan her bir farklı düzenlemelerine verilen isimdir.
Örneğin S  1,2,3 kümesi için permütasyonlarının oluşturduğu küme:
S p  1,2,3, 1,3,2, 2,1,3, 2,3,1, 3,2,1, 3,1,2
Kümenin her bir elemanı bir permütasyona karşılık gelmektedir. Kümenin elemanları
incelendiğinde örneğe çıkış sırasının önemli olduğu görülebilir.
Tanım (Kümenin permütasyon sayısı): Bir S kümesinde n adet eleman var ise farklı
düzenlemelerin (permütasyonların) sayısı:
n
Pn  n(n  1)...2.1  n!
Kümeden örneğe çekilen eleman sayısı r<n koşulu ile sadece r adet ise farklı düzenlemelerin
(permütasyonların) sayısı:
n
Nesneler
Pr  n(n  1)...n  r  1 
bir
dairenin
n!
n  r !
etrafında
sıralanınca
ortaya
çıkan
permütasyonlara
daire
permütasyonları denir.
Teorem: Bir daire çevresinde sıralanan n farklı nesnenin permütasyon sayısı (n-1)!=n!/n dir
Tanım (Kombinasyon): Bir S kümesindeki elemanların iadesiz örneklemedeki tüm farklı
seçimlerine verilen isimdir.
Örneğin S  1,2,3 kümesi için üç elemanlı farklı seçimlerin (kombinasyonların) oluşturduğu
küme:
S k  1,2,3
iki elemanlı farklı seçimlerin (kombinasyonların) oluşturduğu küme:
S k  1,2, 1,3, 2,3
Gerçekte kombinasyon, altküme ile aynı anlamı taşır.
Tanım (Kombinasyon sayısı): Bir S kümesinde n adet eleman var ise nr olmak üzere r adet
n
r
elemanın faklı seçimlerinin sayısı,   sembolü ile tanımlanır ve n içinden r adet seçim olarak
okunur:
n
P
n
n!
C r     n n 
 r  n  r ! n  r !r!
Bu sayılar aynı zamanda binom katsayıları olarak da adlandırılır.
Permütasyon tüm mümkün seçimlerin (kombinasyonların) kendi içindeki tüm mümkün farklı
düzenlemelerini de bir eleman olarak sayar. Örneğin abc ve acb aynı kombinasyon farklı bir
permütasyondur. Bununla birlikte abc ve abd farklı kombimasyonlardır.
1.4.1 Örnekleme ve Örnek Uzayındaki Eleman Sayısı Üzerine Etkisi
Önemli kombinasyon problemlerinde temel yapıyı oluşturan birkaç standart sapma metodu
vardır. Bu metotlar genellikle örnekleme ya da atama yöntemleri olarak incelenirler.
Bir torbada 1’den n’e kadar işaretlenmiş n adet top olduğu ve bunlardan m adedinin farklı
koşullar altında çekildiği varsayılsın. Her bir farklı koşul için tüm mümkün çıktıların sayısının
belirlenmesi aşağıda incelenmiştir:
Durum I. Yerine Konarak Örnekleme ve Sıralama Önemli
Torbadan m adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya
iade edilir. Topların üzerindeki sayılar çıkış sırasına göre kayıt edilir. Sonuç olarak her m
adetlik çekiliş için m adet sayıdan oluşan bir (a1,…,am) sıralaması elde edilir. Burada her bir
aj, 1 ile m arasındaki herhangi bir sayı olabilir. Sıralama içinde aynı sayı tekrar edebileceği
için bu sıralama bir permütasyon değildir. Tüm mümkün durumların sayısının elde edilmesi
için “Saymanın Temel Kuralı” uygulanarak nm bulunur. Torbadan topun çekilmesi ile altı
zarın atılması ya da tek bir zarın arka arkaya altı defa atılması arasında herhangi bir fark
yoktur.
Durum II. Yerine Koymadan Örnekleme ve Sıralama Önemli
Uygulanan örnekleme Durum I ile benzer olup tek fark çekilen topun torbaya iade
edilmemesidir. Bu durumda oluşan sıralı m adet (a1,…,am) sayıda her bir aj farklı sayıdan
oluşacaktır gibi kısıt konulmuştur. Sıralama içinde aynı sayı tekrar edemeyeceği için bu
sıralama bir permütasyondur. Diğer bir kısıt ise mn olmalıdır. Bu tip problemlere “Saymanın
Temel Kuralı” doğrudan uygulanmamakla birlikte çözüm,
nn  1n  m  1  n m
benzerdir. Bu eşitliğin sol tarafında m adet çarpan vardır. Eşitliğin sağındaki n m sembolü n
sayısından birer küçülerek giden m adet sürekli çarpımı belirtmektedir.
Durum II permütasyon problemi olarak adlandırılan problemin özel halinin tanımlamaktadır.
Durum III. Yerine Koymadan ve Sıralama Önemsiz
Bu örnekleme yapısında çekilen toplar torbaya iade edilmez ve çekiliş sırası önemsiz olup
kayıt edilmez. Sonuç olarak m adet top bir defada çekilmiş olarak düşünülebilir. Böyle bir
örnekleme yapısında n elemanlı bir kümeden elde edilen m elemanlı alt kümeler ile ilgilenilir.
Alt kümelerin sayısını bulabilmek amacıyla ilk olarak Durum II ile bir karşılaştırma yapılması
faydalı olacaktır. Eğer m adet top iade edilmeksizin birer birer çekilip sıralanır ise mümkün
sıralama sayısı m! olacaktır. Örneğin n=5, m=3 için 3,2,5 alt kümesi;
S p  2,3,5, 2,5,3, 3,2,5, 3,5,2, 5,2,3, 5,3,2
3!=6 farklı şekilde çekilebilir. Sırlama önemsiz olduğundan n adet eleman içinden m eleman;
n
n!
  
 m  m!n  m !
farklı şekilde çekilebilir.
Durum IIIa Gruplara Ayrılabilen n Elemanın Permütasyonu
Torbadaki toplardan n1 adedinin Renk 1, n2 adedinin Renk 2,…, nr adedinin Renk r ile
boyandığı varsayılsın. Renklerin ayırt edilebidiği fakat aynı renkli topların ayırt edilemediği
bilinmektedir. Renk gruplarındaki eleman sayılarının toplamı n1+n2+…+nr=n torbadaki top
sayısına eşittir. Bu n adet topun ayrıştırılabilir kaç düzenlemesi vardır?
Örnek olarak n1=2, n2=2, n=4 ve renkler de sarı ve lacivert olsun. Elde edilebilecek farklı
düzenlemelerin sayısı 6 olarak belirlenir:
Yukarıdaki soruyu analitik olarak cevaplamak için tüm topların ayrıştırılabildiği Durum II ile
bir karşılaştırma yapılabilir. Renklendirilen toplar aynı zamanda numaralandırılır ise hepsi
birbirinden ayrıştırılabilir hale gelir. Bu durumda tüm mümkün düzenlemelerin toplam sayısı,
Durum II kullanılarak, n! olarak belirlenir. Renk 1 ile boyanan n1 adet top numaralar yardımı
ile n1! adet farklı düzenlemeye, Renk 2 ile boyananlar ise n2 adet farklı düzenlemeye sahip
olacaktır. Bir renk için elde edilen her bir düzenleme bir diğer rengin herhangi bir
düzenlemesi için serbestçe birleştirilebileceği için “Saymanın Temel Kuralı” kullanılarak
birlikte oluşturabilecekleri düzenleme sayısı (işaretler dikkate alındığında) n!n2!... nr!
bulunabilir. Araştırılan konu işaretlerin olmadığı sadece renklerin olduğu bir durumdaki
düzenleme sayısı olduğundan bu sayı,
n!
n1!n 2 ! n k !
çok terimli katsayısı ile elde edilebilir. Eğer r=2 ise,
n  n
    
 n1   n2 
iki terimli (binom) katsayısı ile elde edilebilir.
Durum IV. Yerine Konarak ve Sıralama Önemsiz
Torbadan m adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya
iade edilir. Topların üzerindeki sayılar çıkış sırası dikkate alınmadan kayıt edilir.
Bu
problemin çözümü için farklı bir yaklaşın gereklidir. Aşağıda bu yaklaşım bir örnek üzerinde
açıklanacaktır.
Örnek için n=m=3 alınsın. Tüm mümkün durumlar aşağıdaki tabloda
listelenmiştir.
1
2
111

112

113

122


123


133

3

||

||

||
||

||

||
222

223


||
233


||

||
333
||

Her çekim işleminden sonra çekilen numara sütununa bir kontrol işareti () konur. İşaret
sayısı deneme sayısına (m) eşit olup bu değer top sayısından (n) fazla olabilir. Numaralara ait
kontrol işaretleri arasındaki boşlukları belirtmek amacıyla çubuklar (|) kullanılmıştır. Ortadaki
üç sütun son sütunda özetlenmiştir. Bu sütun incelendiğinde üç kontrol ve iki çubuk için tüm
mümkün durumların dikkate alındığı görülmektedir. Toplam sayı, Durum III n=5, m=3, ya da
Durum IIIa n=5, n1=3, n2=2 ile çözülebilir. Sonuç olarak 5!/3!2!=10.
Durum IV deki problem m adet kontrol ve n-1 adet çubuğun tüm mümkün düzenlemeleri
problemine dönüştürülerek çözülmüştür. Eğer n adet mümkün durum var ise ve bu mümkün
durumların her biri tabloda olduğu gibi bir kutu ile tanımlanmışlar ise kutular arasında n-1
adet çubuk vardır. Durum IIIa için tanımlanan formüller uygulandığında çıktıların mümkün
sayısı:
 n  m  1  n  m  1

  

 m   n 1 
ile elde edilebilir.
Yukarıda açıklandığı üzere kullanılacak sayma yöntemleri gerçekleştirilen örnekleme
yöntemine faklılık gösterebilir. Farklı örnekleme durumları için örnek uzayındaki eleman
sayıları aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.
İadesiz Örnekleme
İadeli Örnekleme
Sıra Önemli
n!
(n  m)!
nm
Sıra Önemsiz
n
 
m
 n  m  1


 m 
Tabloda verilen durumları açıklamak amacıyla aşağıda 44 adet sayı içinden çekilebilecek 6
adet sayı için karşılaşılabilecek farklı örnek uzaylarının eleman sayıları hesaplanmıştır:
a. İadesiz sıralama önemli: Temel sayma teoremine göre ilk sayı 44 farklı şekilde, iadesiz
olduğundan ikincisi 43 farklı şekilde seçilebileceğine göre altı adet sayı;
444342414039=(44!/38!)=5.082.517.440
farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,
n!
(n  x)!
bulunur.
b. İadeli sıralama önemli: Seçilen sayı tekrar iade edildiği için her bir çekiliş 44 farklı şekilde
yapılabileceğinden altı adet sayı,
444444444444=446=7.256.313.856
farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,
nx
bulunur.
c. İadesiz sıralama önemsiz: Sıralamanın önemsiz olduğu durumlarda, örnek uzayındaki
eleman sayısı azalır. Altı adet sayı 654321 farlı şekilde ortaya çıkabilir. Eğer sıralama
önemsiz ise bu durumların tümü örnek uzayındaki tek bir elemana karşılık geldiğinden, bu
sayı sıralamanın önemli olduğu durumda karşılaşılan örnek uzayından bölünerek düşülür ve
sonuç olarak sıralama önemsiz ise altı adet sayı,
44  43  42  41  40  39 44!

 7.059.052
6  5  4  3  2 1
38!6!
farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,
n
n!
  
 r  n  r ! r!
bulunur.
d. İadeli sıralama önemsiz: Örnek uzayı belirlemenin en zor olduğu durumdur. Cevap olarak
hemen 446/654321 olduğu söylenebilir, fakat bu sonuç yanlıştır. Bu durumu saymak
için 44 adet sayı yan yana yerleştirilmiş her biri bir diğerinden bir karton ile ayrılmış kutular
olarak düşünülebilir ve altı adet sayı kağıtlara yazılıp kutuların içine konulur. Mümkün
durumların sayısı, 44 kutu içine konacak 6 adet kağıdın farklı mümkün durumlarının sayısına
eşit olacaktır. Kutuları ayıran kartonlardan ilki ve sonuncusunun oynadığı bir rol yoktur. 44
adet kutu 45 adet kartona sahiptir fakat 43 adet karton dikkate alınır. Bunlara ilave olarak 6
adet kağıt mevcuttur. Sonuç olarak 43+6=49 adet nesne vardır ve bunlar 49! Kadar farklı
yerleşime sahiptir. Bununla birlikte sıralama önemli olmadığından kağıtlar için 6! ve kartonlar
için 43! kadar durum elenmelidir. Sonuç olarak sıralama önemsiz ise altı adet sayı,
49!
 13.983.816
6!43!
farklı şekilde belirlenebilir.
1.4.2 İki terimli (Binom) ve Çok terimli (Multinomial) Teoremleri
İki terimli (a+b)n ifadesinin açılımı basit kombinasyon metodu kullanılara gerçekleştirilip
daha sonra çok terimli durum için genelleştirilecektir. İki terimli ifade n adet terimin çarpımı
şeklinde yazılabilir:
(a+b) (a+b)… (a+b)
Burada problem çarpım sonucunda oluşacak olan an-rbr teriminin önündeki katsayıları
bulabilmektir. Gerçekte bu problem iki gruba bölünmüş (a ve b) n adet çarpanın ortaya çıkış
sayısını bulmak olarak da tanımlanabilir.
a  b 
n
 b
 a 1  
 a
n
n
Burada x=b/a alınarak
a  b n
 a n 1  x 
n
1  x m çarpanı m=1, 2, …,n için açılarak,
(1+x)=1+x
 1  1
      x
 0  1
(1+x)2=1+2x+x2
 2  2  2
      x    x 2
 0  1  2
(1+x)3=1+3x+3x2+ x3
 3   3  3 
 3
      x    x 2    x 3
 0 1  2
 3
 n  n  3
n
      x    x 2      x n
 0  1   2
n
(1+x)n= 1+nx+…+ xn
Sonuç olarak:
1  x n  nr0  x r
r
n
 
n n
n
a n 1  x   a n r 0  x r
r
n  n  b 
 b
a n 1    a n r 0   
 a
 r  a 
n
r
n
 n   n  b  n  b 2
 n bn 
 b
a 1    a n         2      n 
 a
n a 
 0   1  a  2  a
n
a  b n  nr0  a nr b r
r
n
 
elde edilir.
Yukarıda kullanılan yaklaşım n adet elemanın iki gruba ayrıldığı ve gruplardan birinin r adet
diğerinin n-r adet elemana sahip olduğu varsayımına uymaktadır. Bu n adet elemanın iki
kategori için r değiştikçe ortaya çıkabilecek farklı sıralamalarının sayısı kombinasyon
yaklaşımı ile;
n  n 
   

r  n  r
elde edildi. İki terim (kategori) için bulunan sonuçlar n eleman k adet kategori için
genellenebilir. Her bir kategorideki eleman sayısı ni, i=1,2,…,k ve n1    nk  n olsun.
n


n!
 
Farklı seçimlerin (kombinasyonların) sayısı: 
 n1 , n2 ,, nk  n1!n2 ! nk !
n


n!
 
İspat: 
 n1 , n2 ,, nk  n1!n2 ! nk !
 n  n  n1  n  n1  n2   n  n1  n2    nk 1 



  
n3
nk
 n1  n2 
 


n  n1  n2    nk 1 !
n  n1 !
n  n1  n2 !
n!

n1!n  n1 ! n2 !n  n1  n2 ! n3 !n  n1!  n2  n3 ! nk !n  n1  n2    nk 1  nk !

n!
n1!n2 ! nk !
Bu sonuç kullanılarak çok terimli açılım;
x1  x2    xk n
için elde edilen k adet çarpandan oluşan terimlerin,
cx1n1 x 2n2  x knk
önündeki c katsayısı bulunur. Çok terimli açılım:
x1  x2    xk n


n1 , n2 ,nk
n!
x1n1 x 2n2  x knk
n1!n2 ! nk !
1.5 MARJİNAL ve ŞARTLI OLASILIK
Koşul, olasılıkta kullanılan temel araçlardan birisidir. Özellikle bölümleme teorisi için kritik
olan P A  B kesişim olasılığının hesaplanmasında işe yarar. Ayrıca tüm stokastik süreçler
alanı koşullu olasılığa dayanmaktadır. Bir sonraki süreçte ne olacağı, öncesinde ne olduğuna
yani koşula bağlıdır.
Bağımlı olaylar:
A ve B aynı örnek uzayında tanımlı iki olay olsun. Genellikle A ve B arasında bir bağımlılık
olur. Bunun anlamı şudur: eğer B’nin gerçekleştiği biliniyorsa, A’nın gerçekleşme şansı
hakkındaki bilgileri değiştirir.
Örnek: Bir zar havaya atılıyor.
A olayı = “6 gelmesi”
B olayı = “çift sayı gelmesi” olsun.
Eğer zar hilesiz ise P  A 
1
1
ve P B   ’dir.
6
2
Eğer B’nin gerçekleştiği biliniyorsa, A’nın gerçekleşme şansında bir artış olur:
P(B’nin gerçekleştiği bilindiğinde, A’nın gerçekleşmesi) 
1
3


sonuc 6


 sonuc 2 veya 4 veya 6 
Bu durumda
PB verildigin de
A  P  A | B  
1
yazılabilir.
3
Soru: PB | A  ?
PB | A  P A verildigin de B
= P (6 geldiği bilindiğinde, çift sayı gelmesi)
=1
Eleman sayısı n olan S örnek uzayı üzerinde, r adet ayrık Ai olayı ve c adet ayrık Bj olayı
tanımlanmış olsun. S örnek uzayındaki her elemanın eşit olasılığa sahip olduğu (klasik
olasılık) varsayımı ile A ve B olayları için aşağıdaki iki yönlü tablo oluşturulabilir:
B1
B2

Bc
A1
n11
n12

n1c
A2
n21
n22

n2c





Ar
nr1
nr2

nrc
İlk satır ve ilk sütun hariç ablodaki hücrelere ait genel toplam:
r
c
 n
i 1 j 1
ij
n
olup bu hücrelerin her biri AiBj olayına karşılık olaylar eşit olasılıklı olduğundan:
PAi  B j  
nij
n
Herhangi bir Ai olayının gerçekleşme olasılığı:
P Ai  
c n
ni1  ni 2    nic
ij

n
n
j 1
ya da herhangi bir Bj olayının gerçekleşme olasılığı:
PB j  
n1 j  n2 j    nrj
n
r
nij
i 1
n

ile elde edilebilir. Bu olasılıklar sırası ile Ai ve Bj olaylarının marjinal olasılıkları olarak
adlandırılır.
Bir S örnek uzayı üzerine tanımlanan A ve B olayları için, B olayının oluşması durumunda A
olayının ortaya çıkma olasılığı şartlı olasılıktır ve P(A/B) ile gösterilir.
Tanım (Şartlı Olasılık): Verilen olasılık uzayında iki olay A ve B olsun. Verilen B olayı için
A olayının şartlı olasılığı P(B) > 0 için,
P(A / B) 
P(A  B)
P(B)
olup P(B)=0 için tanımsızdır.
Not: P A | B ile P (A ve B, sadece B’nin bulunduğu kümeden) elde edilebilir
P A  B ile P (A ve B, tüm örnek uzayı S’den) elde edilebilir
Örnek uzayını S’den B’ye çekmek için P sembolü yerine P
P
| B sembolü kullanılmalıdır.
| B sembolü de aynı P sembolü gibi ele alınmalıdır. Böylece,
PC  D | B  PC | B  PD | B  PC  D | B olur.
Benzer şekilde verilen A olayı için B olayının şartlı olasılığı P(A) > 0 için,
P( B / A) 
P( A  B)
P( A)
Yukarıdaki iki eşitlik kullanılarak;
P A  B  P A / BP( B)  P( B / A) P( A)
ifadesi olasılığın çarpım kuralı olarak adlandırılır.
Teorem (Çarpım Kuralı): Tanımlanan bir olasılık uzayı için, eğer A1,A2,…,An olayları
P[ A1  ...  An1 ]  0
koşulunu
sağlayan
S
üzerinde
tanımlanmış
olaylar
ise,
P[A1  A 2  ...  A n ]  P[A1 ].P[A 2 / A1 ].P[A 3 / A1  A 2 ]...P[A n / A1  ...  A n 1 ]
Çarpım kuralı aşamalı deneyler için oldukça faydalıdır. Deneyin n aşamalı olduğu ve Aj
olayının deneyin j-inci aşamasına göre tanımlanan bir olay olduğu varsayılsın. Bu durumda
P[A j / A1  ...  A j1 ] , deneyin ilk j-1 aşamasında oluşan durumlara göre j-inci aşamada ne
olabileceğini tanımlayan bir olayın şartlı olasılığıdır.
P[./B] bir olasılık fonksiyonu mudur? Olasılık fonksiyonu olabilmesi için üç aksiyomu
sağlaması gereklidir.
a. P[A / B]  P(A  B) P(B)  0
her A  S için
b. P[S / B]  P(S  B) P(B)  P(B) / P(B)  1
c. Eğer A1 , A2 ,...  S ’deki çifterli ayrık olayların dizisi ise
 P( P[AB])  B  P P[AB]  B


i 1
P  i 1 A i / B 
 PA


i 1

i 1
i
i
i
 B
P(B)
 i 1 P[A i / B]

Sonuç olarak verilen bir B, P(B)>0, olayı için P[./B] bir olasılık fonksiyonudur.
Teorem (Olasılıklar Toplamı Teoremi): Tanımlanan bir olasılık uzayı için, eğer B1,B2,…,Bn
n
olayları S   j1 B j ve P[Bj]>0, j=1,…,n için, koşullarını sağlayan S üzerinde tanımlanmış
ayrık olaylar ise, her A   için,
P[ A]   PA  B j   j 1 P[ A / B j ].P[ B j ]
n
n
j 1
İspat: A olayı ayrık Bj olaylarının her biri ile olan kesişimlerinin birleşimi
n
A   j1 A  B j
olarak tanımlanabilir çünkü A  B j ’ler de ayrıktır. Bu durumda


P[A]  P  j1 A  B j   j1 P[A  B j ]
n
n
  j1 P[A / B j ].P[B j ]
n
bulunur. Bu teorem n   için de geçerlidir.
Not: Yukarıda tanımlı B olayları ayrık değilse,
P[A]  P[A / B].P[B]  P[A / Bc ].P[Bc ]
Olasılıklar toplamı teoremi özellikle aşamalı olarak uygulanan deneylerde faydalıdır. Örneğin
her birinin içinde toplar bulunan torbalardan bir top çekilmek istendiği durum ele alındığında
ilk önce topun çekileceği torba seçilir daha sonra seçilen torbadan bir top çekilir. Bu tür
deneyler için Bj ilk aşamadaki olayı ve A ’da ikinci aşamadaki olayı tanımlar ise, P[B j] ve
P[A/Bj] olasılıklarını bulmak oldukça kolaydır. Aşamalar halinde uygulanan deneylerde
birinci adımda sonuca göre koşul tanımlamak oldukça uygundur.
P[./B] fonksiyonunun özellikleri aşağıdaki teoremler ile tanımlanmıştır.
Teorem: P[ / B]  0
Teorem: AB= ise P(A/B)=P(B/A)=0
Teorem: Eğer A ve B, S ’de tanımlı bir olaylar ise
P[A c / B]  1  P[A / B]
Teorem: Eğer A1 , A2  S ise
P[A1 / B]  P[A1  A 2 / B]  P[A1  A c2 / B]
Teorem: Eğer A1 , A2  S ise,
P[A1  A 2 / B]  P[A1 / B]  P[A 2 / B]  P[A1  A 2 / B]
Teorem: Eğer A, B  S ve A  B ise P(AB)= P(A)
P  B / A 
P A  B 
1
P  A
Teorem: Eğer A, B  S ve B  A ise P(AB)= P(B)
P  B / A 
P  A  B  P B 

P  A
P  A
Teorem: Eğer A1 , A2  S ve A1  A 2
P[A1 / B]  P[A 2 / B]
Şartlı olasılığın kullanıldığı önemli durumlardan biri aşağıdaki teorem ile açıklanmıştır.
Teorem (Bayes Formülü): Tanımlanan bir olasılık uzayı için, eğer B1,…,Bn olayları
n
S   j1 B j ve P[B j ]  0 , j=1,…,n için, koşullarını sağlayan S üzerinde tanımlanmış ayrık
olaylar ise her A   , P[A ]  0 , için
P[B k / A] 
P[A / B k ].P[B k ]

n
j1
P[A / B j ].P[B j ]
bulunur. Bu teorem n   için de geçerlidir. Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi
olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir. Olasılıklar toplamı teoreminde olduğu
gibi Bayes formülü de aşamalı olarak uygulanan deneyler için oldukça faydalıdır. Aradaki
fark koşul olarak ikinci aşamanın kullanılmasıdır. Diğer bir ifade ile A olayı gerçekleşmiştir
ve sebep olan Bk olayı için olasılık araştırılmaktadır.
Bayes teorimi ile koşullu olasılıklar tersine çevrilebilir. Yani, PB | A ifadesi P A | B
cinsinden ifade edilebilir. Bu çok kullanışlı bir özelliktir. Örneğin,
P (sonraki olay|önceki olay)
verilsin. Sonraki olayın gözlemlenip önceki olayın olasılığı hakkında çıkarsama yapılmak
istensin. Bu durumda
P (önceki olay|sonraki olay)
kullanılmalıdır.
Olaylar Zinciri ve Olasılık Ağaçları:
Olaylar birbiri ardına gerçekleştiğinde olasılığın hesaplanabilmesi için çarpım kuralı oldukça
kullanışlıdır.
Örnek: İçerisinde 4 adet beyaz ve 2 adet kırmızı top bulunan bir kutudan iki top iadesiz
olarak rastgele seçiliyor. Buna göre:
a) İkisinin de beyaz olması
b) İkinci topun kırmızı olması olasılıklarını bulunuz.
Çözüm:
Wi = “i-inci topun beyaz olması” ve Ri = “i-inci topun kırmızı olması” olsun.
a) PW1  W2   PW2  W1   PW2 | W1 PW1 
P W1  
4
3
ve P W2 | W1  
6
5
Böylece P (her ikisinin de beyaz olması) = PW1 W2  
3 4 2
 
5 6 5
b) P ( ikinci topun kırmızı olması) olasılığı araştırılmaktadır. Bu olasılık ilk çekilişte hangi
topun geldiği koşuluna dayandırılmadan bulunamaz.
W1 R2 , R1 R2   W1  R2   R1  R2  ’dir.
“ikinci topun kırmızı gelmesi” olayı aslında
Böylece,
P ( ikinci topun kırmızı olması) = PW1  R2   PR1  R2 
(ayrık olaylar)
 PR2 | W1 PW1   PR2 | R1 PR1 

2 4

5 6

1
3
Olasılık Ağaçları:
Çarpım kuralının grafiksel gösterimidir.
+
1 2

5 6
İlk çekiliş
İkinci çekiliş
Koşullu olasılıklar dallara yazılır. Kesişimin olasılığını bulmak için olasılıklar çarpılır.
Örneğin: PW1 W2  
2 4
4 3
 ya da PR1 W2   
6 5
6 5
İki ya da daha fazla olay olması durumu:
P A1  A2  A3  ’ü bulmak için çarpım kuralı dikkatlice uygulanmalıdır:
P A1  A2  A3   P A3   A1  A2 
 P A3 | A1  A2 P A1  A2 
 P A3 | A1  A2 P A2 | A1 P A1 
P A1  A2  A3   P A1 P A2 | A1 P A3 | A2  A1  olduğu hatırlanarak olasılık ağacında
Bu durum n adet A1 ,..., An olayı için genelleştirildiğinde,
P A1  A2    An   P A1 P A2 | A1 P A3 | A2  A1  P An | An1    A1  elde edilir.
Örnek: İçerisinde w adet beyaz ve r adet kırmızı top bulunan bir kutudan iadesiz olarak 3 top
çekiliyor. Buna göre sırasıyla beyaz-kırmızı-beyaz top çekilme olasılığı nedir?
Çözüm:
PW1  R2  W3   PW1 PR2 | W1 PW3 | R2  W1 
r
 w  
  w 1 




 w  r   w  r 1  w  r  2 
1.6 BAĞIMSIZ OLAYLAR
Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesi olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp
çıkmama olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. Eğer P[A/B] olasılığı B
olayına bağımlı değilse, diğer bir deyişle P[A/B]=P[A] ise A olayı B olayından bağımsızdır.
Tanım (Bağımsız Olaylar): Verilen bir (S, β, P[.]) olasılık uzayı için, A ve B olayları β
üzerinde tanımlı olsunlar. A ve B olayları, ancak ve ancak,
a. P[A  B]  P(A).P(B)
b. P[A / B]  P(A),
P[B]>0 ise
c. P[B / A]  P(B),
P[A]>0 ise
koşulları sağlanıyor ise bağımsız olaylardır.
İkiden fazla A1 ,..., An olayları sadece
P A1  A2  ...  An   P A1 P A2 ...P An 
ise bağımsızdır ve bu tanımlanan olaylar içerisinden seçilen alt olaylar için de geçerlidir.
Yani A1 , A2 , A3 , A4 olayları
i)
PAi  A j   P Ai PA j  i  j olmak üzere tüm i, j için
ii)
P Ai  A j  Ak   P Ai PA j P Ak 
iii)
P A1  A2  A3  A4   P A1 P A2 P A3 P A4 
ise bağımsızdır.
tüm birbirinden farklı i, j, k için
Teorem: Eğer A ve B olayları verilen bir (S, β, P[.]) olasılık uzayında tanımlı birbirinden
bağımsız olaylar iseler,
a. A ve Bc
b. Ac ve B
c. Ac ve Bc
olayları da birbirinden bağımsızdır.
İspat: Sadece a şıkkının ispatı yapılacaktır. Bu amaçla P[A  Bc ]  P(A).P(Bc ) olduğu
gösterilmelidir.
P[A  Bc ]  P(A)  P(A  B)
 P(A)  P(A).P(B)
 P(A).(1  P(B))
 P(A).P(Bc )
bulunur.
A ve B olaylarının bağımsızlık özelliği ile A ve B olaylarının ayrık olaylar olma özelliği
temelde ilişkili olmakla birlikte farklı özelliklerdir. Örneğin iki ayrık olay ancak ve ancak
P[A  B]  P(A).P(B)  0 ise bağımsızdırlar. Bu durum sadece A ya da B olaylarının
olasılıklarının sıfır olması durumunda gerçekleşir. Eğer P[A]≠0 ve P[B]≠0 ise A ve B
olaylarının bağımsız olmaları onların ayrık olaylar olmadıklarını belirtir. Bunun tersi de
söylenebilir A ve B ayrık olaylar ise bağımsız olaylar değildirler.
Keşisimin Olasılığının Hesaplanması İçin İstatistiksel Bağımsızlık:
Önceki bölümlerde P A  B ’nin doğrudan hesaplanmasının zor olduğu belirtilmişti. Bu
durumda iki seçenek mevcuttur:
1.
Eğer A ve B bağımsız ise
P A  B  P A  PB
2.
Eğer A ve B’nin bağımsız olup olmadıkları bilinmiyorsa, koşullu olasılık
ve çarpım kuralı kullanılır.
P A  B  P A | BPB
Bu yapının kullanılabilmesi için P A | B ’nin hesaplanabiliyor olması gerekir.
Not: Eğer olaylar fiziksel olarak bağımsız iseler istatistiksel olarak da bağımsızdırlar.
Önemli bir olasılık uzayı modeli tekrarlı bağımsız denemelerdir. Bu model bir zar atışı, para
atışı yada desteden kart çekme gibi olaylarda kullanılmaktadır. Aşağıdaki örnek bu konu ile
ilgilidir.
Örnek: İlk olarak bir zar daha sonra bir para atılmakta ve son olarak da desteden bir kart
çekilmektedir. Her bir deneme aşağıda verilen
A = Paranın tura gelmesi
B = Zarın 5 yada 6 gelmesi
C= Çekilen kartın sinek gelmesi
olayları oluşturmaktadır. Gerçekleştirilen her üç denemenin birbirinden bağımsız olduğu
varsayılsın. Diğer bir deyişle uygulanan bir deneyin sonucu bir diğer deneyin sonucunu
etkilememektedir. Bu durumda tüm mümkün durumların eşit olabilirliğe sahip olduğu kabul
edilebilir. Her bir deneme için mümkün durumların sayısı sırası ile 2, 6 ve 52’dir. Tüm
denemeler kümesi için mümkün durumların sayısı bu sayıların çarpılması ile bulunabilir. Bu
sonuç ileriki kısımda açıklanacak olan saymanın temel kuralı ile elde edilmiştir. Aynı kural A,
B, C, AB, AC, BC, ABC olaylarına ait durumların sayısını elde etmek için de
kullanılabilir:
A  1* 6 * 52 , B  2 * 2 * 52 , C  2 * 6 *13
A  B  1* 2 * 52 , A  C  1* 6 *13 , B  C  2 * 2 *13
A  B  C  1* 2 *13
Elde edilen sayıların S  2 * 6 * 52 ile bölünmesi ile
P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(C)=1/4
P(AB)=1/6, P(AC)=1/8, P(BC)=1/12
P(ABC)=1/24
Sonuçları bulunur. Sonuçlar incelendiğinde aşağıdaki eşitliklerin geçerli olduğu kolayca
doğrulanabilir:
P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C)
P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
Burada dikkat edilmesi gereken durum olaylar olduğu kadar deneylerin de bağımsız
olduğudur. Eğer
bağımsızdır.
P(AB)=P(A)P(B) özelliği sağlanıyor ise A ve B olayları birbirinden
Sonuç olarak bağımsızlık ifadesinin göreli olarak verilen olasılık ölçümüne
bağlı olduğu görülebilir.
Çiftlerli olarak bağımsızlık, ortak bağımsızlık anlamına gelmemektedir. Örneğin: bir
kavanozda bir adet kırmızı, bir adet beyaz, bir adet mavi ve bir adet de kırmızı-beyaz-mavi
olmak üzere 4 adet top bulunmaktadır.
A olayı = “topun üzerinde kırmızı olması”
B olayı = “topun üzerinde beyaz olması”
C olayı = “topun üzerinde mavi olması”
İki top A, B ve C olaylarını sağlamaktadır. Böylece P  A 
2 1
1
 ve PB   PC   ’dir.
4 2
2
Çiftlerli bağımsızlık:
P A  B  
1
1
ele alınsın. P A  PB   ’tür. Dolayısıyla P A  B  P APB ’dir. Aynı
4
4
şekilde P A  C   P APC  ve PB  C   PBPC  ’dir. Böylece A, B ve C ikişerli
olarak bağımsızdır.
P A  B  C  
1
4
ele
alınsın.
P APB PC  
1 1 1 1
    P A  B  C  ’dir.
2 2 2 8
Dolayısıyla A, B ve C ikişerli olarak bağımsız olmalarına karşın ortak olarak bağımsız
değillerdir.