T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C.
ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR
KONU: KARDİNAL SAYILAR
ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN
AR.GÖR. DİDEM YEŞİL
HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN
ELFİYE ESEN
Önsöz
Sonlu bir kümenin eleman sayısının ne demek olduğunu herkes bilir .
Örneğin , {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 elmanı vardır . Kardinal sayılar ile
sonsuz bir kümenin “eleman sayısı “ sözlerini anlamlandırıp sonsuzluğu
derecelendireceğiz . Örneğin “doğal sayılar kadar” tam sayılar olacak ama
“doğal sayılardan daha fazla” gerçel sayı olacak.
İlk aşamada bazı kümelerin “sonlu”, bazı kümelerinse “sonsuz”
olduklarını söyleyebiliriz . Örneğin {0, 2, 6, 7, 13} kümesi sonludur ama doğal
sayılar kümesi ℕ sonsuzdur.
Sonlu bir kümenin eleman sayısının ne demek olduğu belli: Kümenin
her elemanına 1 ’ den başlayarak ardışık numaralar verilir, verilen en son
numara kümenin eleman sayısıdır.
Peki, sonsuz bir kümenin eleman sayısı ne olabilir? Çoğu kişi bu soruya
“sonsuz” yanıtını verir. Doğru elbet, sonsuz bir kümede sonsuz sayıda eleman
vardır. Biz de Kardinaller ile doğal sayılardan daha fazla gerçel sayı olduğunu
ancak tamsayıların doğal sayılar kadar olduğunu da söyleyeceğiz.
Öte yandan tamsayıların doğal sayılar kadar olduğunu söylemek, yani ne
bir fazla ne bir eksik!
Bu biraz şaşırtıcı. Ne de olsa her doğal sayı bir tamsayıdır ama her
tamsayı (örneğin -1) bir doğal sayı değildir. Bariz biçimde daha fazla tam sayı
varken “doğal sayı kadar tamsayı vardır” demek saçma bulunabilir. Bunu ilk
olarak Galile farketmiştir. Galile , 0, 2, 4, 6 gibi çift sayıları ikiye bölerek 0, 1, 2,
3 gibi doğal sayılarla eşleştirmiş ve çift sayılarla doğal sayıların “aynı sayıda“
olmaları gerektiğini söylemiştir. Böylece galile sonsuzlukla yapılan aritmetiğin
bambaşka türden aritmetik olması gerektiği sonucuna varmıştır.
Uzun bir süre altkümelerin üstkümelerden daha az sayıda elemanı
olduğu düşünüldü. İlk kez Öklid tarafından yazılı olarak ifade edilen ve çok da
yanlış olmayan bu “parça bütünden küçüktür” düşüncesi, 19’uncu yüzyılın
sonunda Cantor bugün herkes tarafından değeri ve “doğruluğu “ kabul edilen
ama büyük tartışmalara neden olan “büyüklük/küçüklük” tanımını verdi.
KARDİNAL SAYILAR
Tanım 1.1 : A ve B kümeleri için bir A → B 1-1 ve örten dönüşüm varsa A ile B eşgüçlüdür
denir . Bu durum A ∼ B ile gösterilir .
Teorem 1.1 : Verilen bir küme ailesi üzerinde eşgüçlü olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır
.
İspat : S bir küme ailesi olsun . (S,∼) bir denklik bağıntısıdır .
(i)
𝐼𝐴 : 𝐴
𝑎
∀ A ∊ S için
O halde A ∼ A dır .
→
→
𝐴
birim dönüşümü 1-1 ve örtendir .
𝑎
(ii) A ∼ B ise f : A → B birebir , örten dönüşümü vardır . O zaman
𝑓 −1 : B → A dönüşümü vardır . Üstelik birebir ve örtendir .
O halde B ∼ A dır .
(iii) A ∼ B be B ∼ C olsun .
f : A → B ve g : B → C birebir ve örten dönüşümleri vardır . Dolayısıyla
gf : A → C dönüşümü yazılabilir . Üstelik bu dönüşüm birebir ve örtendir.
O halde A ∼ C dır .
−𝜋 𝜋
Örnek 1. 1 : ℝ nin ( 2 , 2 ) açık aralığı ile eşgüçlü olduğunu gösteriniz .
Çözüm 1.1 :
arctanx : ℝ → (
−𝜋 𝜋
2
, 2 ) dönüşümü birebir ve örtendir.O halde ℝ ∼ (
−𝜋 𝜋
2
, 2 ) dır .
Örnek 1.2 : (0,1) aralığı ile tüm reel sayılar kümesi ℝ eşgüçlüdür . Gösteriniz .
Çözüm 1.2 :
(0,1) aralığını bir yarı çember şeklinde bükerek tam orta noktasında sayı eksenine teğet
olacak biçimde yerleştirelim . O zaman yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi yarı çemberin
merkezinden çizilen ışınlar yarı çember üzerindeki noktalar ile sayı ekseni üzerindeki
noktalar arasında birebir , örten bir fonksiyon tanımlar . Böylece (0,1) ∼ ℝ olduğu görülür
.
Örnek 1.3 : 𝐶1 = { (x,y) | 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 } , 𝐶2 = { (x,y) | 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑏 2 } 0<a<b olmak üzere 𝐶2
∼ 𝐶1 dir . Gösteriniz .
Çözüm 1.3 :
Yarıçapları farklı iki çemberi merkezleri orjinde olacak şekilde dik koordinat sistemine
yerleştirelim . Merkezden çizilen ve 𝐶1 , 𝐶2 çemberlerini kesen ışınlar 𝐶2 çemberi
üzerindeki noktalar ile 𝐶1 çemberi üzerindeki noktalar arasında birebir ve örten bir
fonksiyon tanımlar . Yani ; x ∊ 𝐶2 için f : 𝐶2 → 𝐶1 dir .
Not 1.1 : ∅ ∼ ∅ dır.
Lemma 1. 1 : 𝐼0 = ∅ , 𝐼1 = { 1 } , 𝐼2 = { 1 , 2 } , ⋯ , 𝐼𝑛 = { 1 , 2 , 3 , ⋯ , n } olsun .
Buna göre 𝐼𝑛 ∼ 𝐼𝑚 ⟺ m =n dir .
İspat : ⤆ n = m olsun .
n = m ⟹ 𝐼𝑛 = 𝐼𝑚 ⟹ 𝐼𝑛 ∼ 𝐼𝑚 dır .
⤇ 𝐼𝑛 ∼ 𝐼𝑚 olsun .
f : 𝐼𝑛 → 𝐼𝑚 birebir , örten bir dönüşüm vardır . O halde n = m dir .
Tanım 1.2 : A ∼ 𝐼𝑛 ise A kümesinin n elemanı vardır . Böyle bir A kümesine sonlu küme
denir .
Tanım 1.3 : Bir A kümesinin |A| ile gösterilen kardinal sayısı eşgüçlülük bağıntısına göre A
nın içinde bulunduğu denklik sınıfıdır .
|B| = |C| ⟺ B ∼ C
Kardinal sayıları α , β , γ , … gibi harfler ile göstereceğiz .
Not 1.2 : B ∼ 𝐼𝑛 , 𝐼𝑛 = { 1 ,2 , ⋯ , n } olduğundan B sonlu n elemanlıdır . |B| ∊ |𝐼𝑛 | dir.
Bazı Özellikler
(i)
(ii)
(iii)
Her kümenin bir tek kardinal sayısı vardır .
|A| = |B| ⟺ A ∼ B
Sonlu bir kümenin kardinal sayısı , içindeki eleman sayısıdır .
B sonlu ⟹ B ∼ 𝐼𝑛
Not 1.3 : ℕ doğal sayılar kümesinin kardinali ℵ0 ( alef sıfır ) ile gösterilir.
Tanım 1.4 : ℕ ile eşgüçlü olan bir kümeye sayılabilir küme denir .
Örnek 1.4 : ℕ ∗ = { 1 , 2 , 3 , ⋯ } sayılabilir kümedir . Gösteriniz .
Çözüm 1. 4 :
ℕ ={0,1,2,⋯}
ℕ∗={1,2,3,⋯}
•
•
𝑓∶ℕ
𝑛
→
ℕ∗
dönüşümünü tanımalayalım .
→ 𝑛+1
f , 1-1 midir ?
m , n ∊ ℕ için
f(m) = f(n) ⟹ m+1 = n+1 ⟹ m = n olur . O halde f dönüşümü birebirdir .
f , örten midir ?
x ∊ ℕ ∗ için x = (x-1) + 1 = f(x-1) olacak biçimde x-1 ∊ ℕ vardır .
Bunu ∀ x ∊ ℕ ∗ için yapabiliriz . O halde f dönüşümü örtendir .
Yani , ℕ ∗ ∼ ℕ olur . Dolayısıyla ℕ ∗ sayılabilirdir .
Örnek 1.5 : ℤ , tamsayılar kümesi sayılabilir midir?
Çözüm 1.5 :
ℤ = { 0 , 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , ⋯ , 𝑛 , −𝑛 , ⋯ } olmak üzere
0 1
2 3 4
5 6
2n-1
-2n
0,
𝑘=0
2𝑛 − 1, 𝑘 = 𝑛 (𝑛 ∊ ℕ ∗ )
−2𝑛,
𝑘 = −𝑛 (𝑛 ∊ ℕ ∗ )
. O halde ℤ ∼ ℕ dır . Yani ℤ sayılabilirdir .
f :ℤ→ℕ
f(k) = �
fonksiyonu birebir ve örtendir
Tanım 1.5 : α ve β iki kardinal sayı olsun . A ile B iki ayrık küme ve |A| = α , |B| = β olsun.
Buna göre ; α + β = |A ∪ B| olarak tanımlanır .
α.β = |A x B| olarak tanımlanır. (Burada A ile B nin ayrık olması gerekmez )
Uyarı 1.1 : Kardinal sayılarda toplama işlemi iyi tanımlıdır .
İspat : |A| = α , |B| = β , A ∩ B = ∅ alalım .
A ∼ 𝐴′ ve B ∼ 𝐵 ′ olsun .Buna göre ;
Φ : A → 𝐴′
𝜃∶ A ∪ B
𝑥
𝑦
•
ve
γ : B → 𝐵 ′ birebir ve örten dönüşümleri vardır .
′
→
𝐴 ∪ 𝐵′
→ 𝜙(𝑥) , 𝑥 ∊ 𝐴
→ 𝛾(𝑦) , 𝑦 ∊ 𝐵
dönüşümünü tanımlayalım .
θ örtendir.
x’ ∊ 𝐴′ ∪ 𝐵 ′ ⟹ 𝑥 ∊ 𝐴′ veya x’ ∊ 𝐵 ′
x’ ∊ 𝐴′ ⟹ 𝑥′ = ϕ(x) olacak biçimde x ∊ A vardır . ( ϕ örtendir .)
x’ ∊ 𝐵 ′ ⟹ 𝑥′ = γ(y) olacak biçimde y ∊ Bvardır . ( γ örtendir .)
Yani 𝑥 ′ ∊ 𝐴′ ∪ 𝐵 ′ ise θ(z) = 𝑥 ′ olacak şekilde bir z ∊ A ∪ B vardır .
Dolayısıyla θ örtendir.
•
θ birebirdir.
x , 𝑥 ′ ∊ A ∪ B için
x , 𝑥 ′ ∊ A ⟹ ϕ(x) = ϕ(𝑥 ′ ) ⟹ x = 𝑥 ′ (ϕ , 1-1 dir.)
x , 𝑥 ′ ∊ B ⟹ γ(x) = γ(𝑥 ′ ) ⟹ x = 𝑥 ′
x ∊ A , 𝑥 ′ ∊ B ⟹ ϕ(x) ∊ 𝐴′
ve γ(𝑥 ′ ) ∊ 𝐵 ′ ,
ϕ(x) = γ (𝑥 ′ )
Dolayısıyla θ birebirdir .
(γ , 1- 1dir.)
olamaz .
𝐴′ ∩ 𝐵 ′ = ∅ olduğundan
O halde A ∪ B ∼ 𝐴′ ∪ 𝐵 ′ olur . Yani | A ∪ B| =|𝐴′ ∪ 𝐵 ′ | dır.
Uyarı 1.2 : Kardinal sayılarda çarpma işlemi iyi tanımlıdır .
İspat :
•
𝜃 ∶ 𝐴x𝐵
(𝑥, 𝑦)
θ örtendir.
→
𝐴′ x 𝐵 ′
→ (𝜙(𝑥), 𝛾(𝑥))
dönüşümünü tanımlayalım.
(x’ , y’) ∊ A’ x B’ ⟹ x’ ∊ A’ ve y’ ∊ B’ olur .
x’ ∊ A’ için ϕ örten olduğundan ϕ(x)=x’ olacak biçimde x ∊ A vardır .
y’ ∊ B’ için γ örten oluğundan γ(y) = y’ olacak biçimde y ∊ B vardır .
(x’ , y’) = ( ϕ(x) , γ(y)) = θ(x , y) olacak biçimde (x , y) ∊ A x B vardır .
Dolayısıyla θ dönüşümü örtendir .
•
θ birebirdir.
(x , y) , (z , t) ∊ A x B olsun .
θ(x , y)=θ(z , t) ⟹ ( ϕ(x) , γ(y) ) = ( ϕ(z) , γ(t) )
⟹ ϕ(x) = ϕ(z)
ve γ(y) = γ(t)
⟹ x=z (ϕ , 1-1) ve
y=t ( γ , 1-1 )
⟹ (x , y) = (z , t)
Dolayısıyla θ dönüşümü birebirdir .
O halde A x B ∼ A’ x B’ olur . Yani |A x B| = | A’ x B’| dır.
Lemma 1.2 : |𝐼𝑛 | = n ve |𝐼𝑚 | = m ise |𝐼𝑛 | + |𝐼𝑚 | = n + m dir.
İspat : 𝐼𝑛 = { 1 , 2 , ⋯ , n } , 𝐼𝑚 = { 1 , 2 , ⋯ , m }
B = { 𝑏1 , 𝑏2 , ⋯ , 𝑏𝑚 } ∊ | 𝐼𝑚 |
B ∩ 𝐼𝑛 = ∅ dir.
( 𝑏𝑖 ∉ ℕ ) olsun.
| 𝐼𝑛 ∪ B| = | 𝐼𝑛 | + |B| = |𝐼𝑛 | + | 𝐼𝑚 | yazabiliriz .
𝐼𝑛+𝑚 = { 1 , 2 , ⋯ , n , n+1 , n+2 , ⋯ , n+m }
𝑓 ∶ 𝐼𝑛 ∪ 𝐵
𝑘 ∊ 𝐼𝑛
𝑏𝑠 ∊ 𝐵
→
→
→
𝐼𝑛+𝑚
𝑘
𝑛+𝑠
dönüşümünü tanımlayalım .
𝐼𝑛 ∪ 𝐵= { 1 , 2 , ⋯ , n , 𝑏1 , 𝑏2 , ⋯ , 𝑏𝑚+𝑛 }
𝐼𝑛+𝑚 = { 1 , 2 , ⋯ , n , n+1 , n+2 , ⋯ , n+m } Bu dönüşüm birebir ve örtendir .
O halde 𝐼𝑛 ∪ 𝐵 ∼ 𝐼𝑛+𝑚 ⟹ | 𝐼𝑛 | + | 𝐼𝑚 | = |𝐼𝑛 ∪ 𝐵| = | 𝐼𝑛+𝑚 | = n+m olur .
Not 1.3 : 𝐼𝑛 ∩ 𝐼𝑚 ≠ ∅ olduğundan | 𝐼𝑛 | + | 𝐼𝑚 | = | 𝐼𝑛 ∪ 𝐼𝑚 | yazamayız .
Tanım 1.6 : A ve B kümeleri |A| = α , |B| = β biçiminde olsun . A kümesi B nin bir alt
kümesi ile eşgüçlü ise o zaman α kardinali β kardinalinden küçük veya eşittir . Bunu
α ≤ β ile göstereceğiz .
Teorem 1.2 (Cantor Teoremi) : A bir küme P(A) kuvvet kümesi için , |A| < |P(A)| dır .
İspat :
𝐴
𝑎
→
→
𝑃(𝐴)
içine dönüşümdür .
{𝑎}
A , P(A) nın bir alt kümesi ile eşgüçlü olduğundan tanımdan |A| ≤ |P(A)| dır .
Acaba |A| = |P(A)| olabilir mi ?
|A| = |P(A)| olsaydı f : A → P(A) 1-1 ve örten bir dönüşüm varolurdu.
B = { a ∊ A | a ∉ f (a) } ⊂ A kümesini tanımlayalım .
f örten olduğu için f (b) = B olacak şekilde b ∊ A vardır . (b ∊ B olabilir de olmayabilir de)
b ∊ B ⟹ b ∉ f (b) = B ⟹ b ∉ B ( Çelişki )
b ∉ B ⟹ b ∊ f(b) = B ⟹ b ∊ B ( Çelişki )
O halde |A| ≠ |P(A)| dır. (Böyle bir f 1-1 , örten fonksiyonu yoktur .)