Vektör Uzayları(YENİ)

6. BÖLÜM
VEKTÖR UZAYLARI
Sıralı n-li
Tanım: n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre
düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye
sıralı n li denir.
Örnek:
:
Sıralı ikili :
Sıralı üçlü :
Sıralı n-li:
a1 
a1 , a2 
a1 , a2 , a3 
a1 , a2 , a3 ,..., an 
GEOMETRİK GÖSTERİM
Elimizde vektör uzayları olduğunu düşünelim . Geometrik
olarak nasıl göründüğüne bakalım.
V  v1 

1
v1 
v2 

V  v1 , v2 
0
v1 
2
GEOMETRİK GÖSTERİM
v3 
V  v1 , v2 , v3 
0
v1 

v2 
V  v1 , v2 , v3 ,..., vn 
Şekli yok

n
3
n-BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI
Tanım: Eğer n pozitif bir tam sayı ise sıralı n-sayı, gerçel sayılar
kümesindeki n adet sayının (a1, a2,…, an) bir dizisidir. Tüm
sıralı n-sayılarının kümesi n-boyutlu uzay olarak adlandırılır
n
ve  ile gösterilir.
n  a1 , a2 , a3 ..., an  : 1  i  n, ai  
VEKTÖR UZAYI
n
Tanım: V boş olmayan bir küme ve  n-boyutlu uzay
(cisim) olsun. Aşağıdaki önermeler doğru ise V
n

kümesi
uzayı üstünde bir vektör uzayıdır.
VEKTÖR UZAYI
1. V kümesinde + ile gösterilen ve adına toplama denilen
bir işlem tanımlanmıştır. Bu işlemin aşağıdaki özellikleri
vardır.
a. Her u,vV için u+v tanımlıdır ve u+vV.
V kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
b. Her u,v,wV için (u+v)+w=u+(v+w)
V kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği
vardır.
c. 0V ve her uV için u+0=0+u
V kümesinde toplama işleminin birim elemanı
vardır 0 ile gösterilir.
d. her uV için V kümesinde –u ile gösterilen ve
u+(-u)=0 ve (-u)+u=0
eşitliklerini sağlayan bir –u elemanı vardır ve V
kümesinde toplamaya göre ters elemanı temsil eder.
e. Her u,vV için u+v=v+u özelliği vardır.
V kümesinde toplama işleminin değişme özelliği
vardır.
VEKTÖR UZAYI
 V  V , (a,u)au biçiminde, adına skalerle çarpma
işlemi denilen bir fonksiyon tanımlanmıştır ve bu
fonksiyon için aşağıdaki önermeleri doğrular:
a. Her a   ve her u,vV için a(u+v)=au+av.
b. Her a, b   ve her uV için (a+b)u=au+bu.
c. Her a, b   ve her uV için (ab)u=a(bu).
d.  nin çarpmaya göre birim elemanı 1 olduğuna
göre V nin her elemanı için 1u=u.
VEKTÖR UZAYI
Not: Verilen tanımda 1a-1d önermeleri (V,+) ikilisinin bir
grup olduğunu gösterir.
1e önermesi ise (V,+) grubunun değişmeli grup
olduğunu gösterir.
Tanım: Bir vektör uzayının her bir elemanına vektör denir.
Teorem: Toplamada etkisiz eleman ve toplamaya göre ters
v ,  n uzayında bir vektör ve c ise bir skaler olsun. Bu durumda
aşağıdaki özellikler geçerlidir.
1. Toplamada etkisiz eleman tektir. Başka bir deyişle eğer,
v  u  v ise u  0 ’dır.
2. v’nin toplamaya göre tersi tektir. Başka bir deyişle eğer,
v  u  0 ise u  v ’dir.
3. 0v  0
4. c0  0
5. Eğer cv  0 ise, c  0 ya da v  0 ’dır.
6.
  v   v
Teorem: Skalerle Çarpımın Özellikleri
v vektörü V vektör uzayının herhangi bir elemanı ve
c ise bir skaler olsun.
Bu durumda aşağıdaki özellikler geçerlidir:
1. 0v  0
2. c0  0
3. Eğer cv  0 ise ya c  0 ya da v  0 ’dır.
4.
1v  v
VEKTÖR UZAYI
• İki vektör birbirleriyle çarpılabilir fakat
bölünemez.
• İç çarpım ve vektörel çarpım, çarpılan
vektörlerin tanımlı olduğu vektör uzayında yer
almaz.
ALT VEKTÖR UZAYI
Tanım: V vektör uzayının boş olmayan bir altkümesi olan W,
V’de
tanımlı toplama ve skalerle çarpma operatörleri altında bir vektör
uzayı olduğunda V’nin alt uzayı olur.
1) 0  W
2) v1 , v 2 W ve v1  v 2 W
3) c   , v1 W cv1 W
VEKTÖRLERİN DOĞRUSAL
KOMBİNASYONU
Tanım: V kümesi,  n uzayı üstünde bir vektör uzayı ve S
kümesi, S  v1 , v 2 ,..., v n  ise, V nin boş olmayan sonlu
n

uzayından (cisminden)
bir alt kümesi olsun.
herhangi c1 , c2 , , cn elemanları alınarak elde edilen,
w  c1v1  c2 v 2   cn v n
vektörüne v1 , v 2 , , v n vektörlerinin doğrusal
kombinasyonu denir.
Bkz. Soru 1
Örnek:  ’te tanımlı vektörler x   1,2,2 , u  0,1,4 ,
3
v   1,1,2 ve w  3,1,2 olsun. Aşağıdaki eşitliği sağlayan
a, b ve c skalerlerini bulunuz.
x  au  bv  cw
Çözüm:
 1,2,2
x
 a0,1,4  b 1,1,2  c3,1,2
u
  b  3c, a  b  c,4a  2b  2c 
v
w
Elde edilen eşitliğe denk olarak aşağıdaki lineer denklem
sistemi yazılabilir:
 b  3c  1
a  b  c  -2
4a  2b  2c  2
Bu denklem sistemi a, b ve c için çözüldüğünde elde edilen
sonuçlar:
a  1 , b  2 ve c  1 ’dir. Elde edilen bu sonuçlara göre,
x  u  2v  w
TÜRETEN (BAZ) VEKTÖRLER
Tanım: V vektör uzayının her v vektörü, yine bu uzayın
v1 , v 2 , , v n gibi n tane vektörünün doğrusal
kombinasyonu olarak;
v  c1v1  c2 v 2   cn v n   ci vi
şeklinde ifade edilebiliyorsa, bu vektörler kümesine,
v1 , v 2 , , v n vektörleri tarafından türetilmiş (gerilmiş)
bir vektör uzayı denir. v1 , v 2 , , v n vektörlerine
uzayın türeten (gergi) vektörleri ya da baz vektörler
denir.
TÜRETİLMİŞ UZAY
Tanım: S  v1 , v 2 , , v n  baz vektörler kümesi ile türetilmiş
bir W doğrusal uzayı,
lin  S  ya da lin v1 , v 2 , , v n 
ile gösterilir.
Bkz. Soru 2
TÜRETİLMİŞ UZAY
Teorem:
α1, α 2 ,
, α n  ve β1 , β2 , , βk  kümeleri bir V
vektör uzayının alt kümeleri olsun. 1  j  n
olacak şekilde her j doğal sayısı için α j vektörü,
kümesinin
bir
doğrusal
β1, β2 , , βk 
kombinasyonu,
α j  c1 j β1  c2 j β 2 
ise
lin α1 , α 2 ,
k
 ckj β k   cij β j
, α n   lin β1, β2 ,
i 1
, βk 
EN KÜÇÜK ALT UZAY
Teorem: v1 , v 2 , , v n , V vektör uzayındaki vektörler olsun.
a. v1 , v 2 , , v n
vektörlerinin
tüm
doğrusal
kombinasyonlarının oluşturduğu W kümesi V vektör
uzayının bir alt kümesidir.
b.Eğer v1 , v 2 , , v n vektörlerini içeren V vektör
uzayının en küçük alt uzayı W ise v1 , v 2 , , v n
vektörlerini içeren V vektör uzayının tüm diğer alt
uzayları W kümesini içerir.
DOĞRUSAL (Linear)
BAĞIMSIZLIK
Tanım: Eğer S  v1 , v 2 , , v n  boş olmayan bir vektörler
kümesi ise,
c1v1  c2 v 2   cn v n  0
vektör denkleminin,
c1  c2   cn  0
ile tanımlanan en az bir çözümü vardır. Tek çözüm
bu sıfır çözümü ise vektörler doğrusal
bağımsızdırlar. En az bir ci  0 olacak şekilde
çözüm var ise vektörler doğrusal bağımlıdır.
Bkz. Soru 3
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
Teorem:
 m uzayında,
v1   v11 , v21,
v m   v1m , v2 m,
v1,
, vm1  ,
v 2   v12 , v22,
, vm 2  ,
…,
, vmm  vektörleri verilmiş olsun.
, v m  vektör kümesinin doğrusal bağımsız
olması için,
v11 v12
v1m
v21 v22
v2 m
0
vm1 vm 2
vmm
olması gerekli ve yeterlidir.
Bkz. Soru 3
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
Teorem: İki ya da daha fazla vektör içeren bir S kümesi,
a. ancak ve ancak S kümesindeki vektörlerden en az
biri bu kümedeki diğer vektörlerin doğrusal
kombinasyonu olarak ifade edilebiliyor ise
doğrusal bağımlıdır.
b. ancak ve ancak S kümesindeki vektörlerin hiç biri
bu kümedeki diğer vektörlerin doğrusal
kombinasyonu olarak ifade edilemiyor ise
doğrusal bağımsızdır.
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
Teorem:  uzayında, v1 , , v n vektörleri verilsin.
m<n ise v1 , , v n  kümesi doğrusal
bağımlıdır.
m
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN
GEOMETRİK YORUMU
 2 ya da 3 boyutlu uzayda başlangıç noktaları orijine
yerleştirilmiş iki vektör ancak ve ancak, aynı doğru üzerinde
yer almıyor ise bağımsızdırlar.
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımsız
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN
GEOMETRİK YORUMU
3 boyutlu uzayda başlangıç noktaları orijine yerleştirilmiş
üç vektör ancak ve ancak, aynı düzlem üzerinde yer almıyor
ise bağımsızdırlar.
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımsız
BAZ: TABAN
Tanım:Eğer V her hangi bir vektör uzayı ise ve
S  v1 , v 2 , , v n , V vektör uzayındaki bir vektörler
kümesi ise, aşağıdaki iki şartı sağlaması durumunda
S kümesi baz olarak adlandırılır.
a. S kümesi doğrusal bağımsızdır.
b.S kümesi V vektör uzayını türetir.
Bazlar dörde ayrılır:
BAZ: TABAN
1) Standart Bazlar
Bu bazlar birbirlerine dik ve 1 birim uzunluktadır. Eksenlerde yer
almaktadırlar.
2) Ortagonal Bazlar
Bu bazlar birbirlerine diktirler ama uzunlukları 1 birim olmak
zorunda değillerdir.
3) Ortanormal Bazlar
Birbirlerine dik ve 1 birim uzunluktadırlar. Eksenlerde 1 birim olma
zorunlulukları yoktur.
4) Ordinary Bazlar
Bu türden bazlar eksenlerde olmak zorunda değillerdir ayrıca diklik
be birim olma özellliği göstermeyebilirler ama baz yapısındadırlar.
e2
q1
e1
q2
STANDART BAZ
Bir  n uzayındaki birim vektörler
e1  1,0, ,0  , e2   0,1, ,0  ,…, en   0,0, ,1
ise bu vektörlerin oluşturduğu küme,
S  e1 , e2 , , en 
 n uzayında doğrusal bağımsız bir kümedir.  n uzayındaki
her hangi bir v   v1 , v2 , , vn  vektörü
v  v1e1  v2e2   vnen
şeklinde yazılabileceği için S kümesi aynı zamanda  n vektör
uzayını türetir.
Tanım: S  e1 , e2 , , en  kümesi  n vektör uzayı için bir
bazdır ve standart baz olarak adlandırılır:
STANDART BAZ
Matematikte bir problem ilk kez oluşturulduğunda en çok bilinen
ve kullanılan standart koordinatlardır. Örneğin problem  3 uzayında
tanımlanmış ise x, y ve z ile tanımlanan kartezyen koordinatlar kullanılır.
Bu koordinat sisteminde tanımlı standart baz,
 x
1  0  0
 
     
 y   x 0   y 1   z 0   xe1  ye 2  ze 3
z
 0  0 1
 
     
eşitlikleri ile verilebilir.
S  e1 , e 2 , e 3 
kümesi  3 için standart baz vektörlerdir.
STANDART BAZ
 n uzayında tanımlı standart baz S  e1 ,..., e n vektörlerin önemli
iki özelliği:
 Standart baz vektörler birim uzunluğa sahiptir.
ei  ei .ei  eiT ei  1

Standart baz vektörler çifterli olarak ortogonaldir.
ei .e j  eiT ei  0 ,
i  j için
STANDART BAZ
Bu iki özellik,
1 , i  j
ei .e j   ij  
0 , i  j
şeklinde özetlenebilir. Burada  ij Kronecker deltadır
ve birim matrisin elemanlarını tanımlar.
STANDART BAZ
Yukarıdaki eşitliklerden görülebileceği gibi
Verilen v ve w gibi iki sütun vektörü için v.w
iç çarpımı ile v w matris çarpımı aynı sonucu
verir. Burada sonuç bir skalerdir. Bununla birlikte
T
vw T şeklinde tanımlanan dış çarpım sonucunda
bir kare matris elde edilir. Standart baz vektörlerin
dış çarpımı ile aşağıdaki ilginç matrisler elde edilir.
STANDART BAZ
π1  e1.e
T
1
 0
 
 0
  0 0  1

 
1
 
1 0  0


0 0  0


 


0 0  0



π n  e n eTn
 0
 
 0
  0 0  1

 
1
 
0 0  0


0 0  0


 


0 0  1


STANDART BAZ
π i matrislerinde i-inci köşegen eleman 1 olup,
diğer tüm elemanlar sıfırdır.
πi πl  e e e e
T
i i
T
j j
 eiδ e
T
ij j
olduğundan,
STANDART BAZ
π i i  j
πi π j  
0 i  j
olur.
Ayrıca köşegen elemanları 1 , 2 ,..., n olan
bir D köşegen matrisi,
D  1 π1  ...  n π n
şeklinde yazılabilir.
FARKLI BAZ YAPILARI
Bazı özel problemler için, problemi basitleştiren farklı bir
koordinat sistemi de olabilir. Örneğin; bir gezegenin güneş
çevresindeki hareketi ile ilgilenildiğinde güneş, orijin
noktasına konularak problemin çözümü kutupsal koordinatlarda
gerçekleştirilebilir.
Standart bazdan farklı vektörlerin tanımladığı vektör kümesi
genellikle,
S  v1 ,..., v n 
şeklinde tanımlanır.
BAZ ve BOYUT
Tanım: Sıfırdan farklı bir vektör uzayı V, eğer baz vektörler
kümesi v1 , v 2 , , v n  sonlu sayıda vektörü içeriyor
ise sonlu boyutlu olarak adlandırılır. Aksi halde
sonsuz boyutlu vektör uzayı denir.
BAZ ve BOYUT
Teorem: Eğer S  v1 , v 2 , , v n  kümesi bir V vektör
uzayının bazı ise V vektör uzayındaki n adetten
fazla vektör içeren her küme doğrusal bağımlıdır.
Teorem: Sonlu boyutlu bir vektör uzayı için her hangi iki baz
küme aynı sayıda vektöre sahiptir.
Tanım: Sonlu boyutlu bir V vektör uzayının boyutu baz
vektör kümesindeki vektör sayısıdır ve
dim(v)
ile gösterilir
BAZ ve BOYUT
Teorem: V boyutu n olan bir vektör uzayı olsun.
a. S  v1 , v 2 , , v r  kümesi V vektör uzayındaki
doğrusal bağımsız vektörlerin oluşturduğu bir küme
ise ve eğer r<n ise, S kümesi V vektör uzayının bir
bazı olacak şekilde v r 1 , v r  2 , , v n vektörleri dahil
edilerek genişletilebilir.
Burada V vektör uzayının baz kümesi;
S  v1 , v 2 , , v r , v r 1, v r  2 , , v n 
b. Eğer W, V vektör uzayının bir alt uzayı ise;
dim W   dim V  .
Ancak ve ancak W=V ise dim W   dim V 
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ
Düzlemsel analitik geometride, düzlemdeki bir P noktasına ait
(a,b) koordinatları, birbirine dik iki koordinat ekseni üzerine
P noktasının izdüşüm değerlerini belirtir.
Her bir koordinat çifti bu düzlemdeki bir ve yalnız bir noktaya
karşılık gelir.
Koordinat sistemi düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı
çiftleri arasında bire bir bir ilişki tanımlar.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
Birbirine dik eksenlerden oluşan koordinat sistemi en çok
kullanılan sistemdir.
Bununla birlikte bu düzlemde birbirine paralel olmayan her
hangi iki doğru da bir koordinat sistemi tanımlamak için
kullanılabilir.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
Amaç; bir koordinat sistemi kavramını vektör uzayları
üzerinden genellemektir.
Başlangıç aşaması, bu koordinat sistemini oluşturan
eksenler yerine vektörlerin kullanılmasına imkan
tanıyan bir formülasyon tanımlamaktır.
Her bir koordinat ekseni uzunluğu 1 birim olan bir
vektör ile değiştirilir. Örneği v1 ve v2 gibi.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
P düzlemdeki bir nokta ise OP vektörü, v1 ve v2 vektörlerinin
doğrusal kombinasyonu;
OP=av1+bv2
olarak yazılabilir.
Vektör formülünde yer alan a ve b sayıları P noktasının bu
koordinat sistemindeki koordinat değerleridir.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
Tanım: Bir koordinat sistemini belirleyen vektörlere baz
vektörler denir.
Birim uzunlukta olmaları şart değildir.
Bir koordinat sistemi baz vektörler kümesi ile
tanımlandığında, baz vektörlerin uzunlukları
koordinat eksenleri üzerindeki ardışık tam sayılar
arasındaki mesafeyi belirler.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ
r
r
P( r ,  )

Kutupsal koordinat
sistemi

BAZ: TABAN
Teorem 6.1: Eğer S  v1 , v 2 , , v n  kümesi bir V vektör
uzayının bazı ise, V vektör uzayındaki her v
vektörü
v  c1v1  c2 v 2   cn v n
olacak şekilde tek bir doğrusal kombinasyonla
ifade edilebilir.
Bkz. Soru 4
Bkz. Soru 5
BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR
Tanım: Eğer S  v1 , v 2 , , v n  kümesi bir V vektör uzayının
bazı ise ve herhangi bir v vektörü
v  c1v1  c2 v 2   cn v n
ile tanımlanmış ise c1 , c2 , , cn skalerleri S bazına göre
v vektörünün koordinatlarıdır ve
 v s
 c1 
 
c 
 2

 
c 
 n
ile gösterilir.
Bkz. Soru 6
BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR
Teorem:  n uzayında tanımlı bir v vektörünün herhangi bir
baza göre koordinatları eşsizdir.
İspat:  2 uzayında tanımlı bir v vektörü için iki koordinat
kümesinin olduğu varsayılsın:
v  c1 v1  c2 v 2
v  d1 v 1  d 2 v 2
BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR
Bu iki ifade birbirinden çıkarılarak,
0  c1  d1 v1  c2  d 2 v 2
v1 , v 2 baz vektörleri, doğrusal bağımsız olduğu
için c1  d1  0 ve c2  d 2  0 olmalıdır. Sonuç
olarak c1  d1 ve c2  d 2 bulunur. Bu sonuç
koordinatların eşsiz olduğunu kanıtlar.
Elde edilen sonuç  için genellenebilir.
n
BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR
Eğer bir  n uzayı için bir baz vektörler kümesi S  v1 ,..., v n 
tanımlanmış ise, bu vektör uzayındaki bir v vektörünün bu baza göre
koordinatları, baz vektörlerin oluşturduğu,
A  v1 ,..., v n 
matrisi ve bilinmeyen koordinat vektörünün
 c1 
 
vs    
c 
 n
oluşturduğu
Av s  v
doğrusal denklem sistemi çözülerek elde edilir.
BAZ DEĞİŞİMİ
Baz değişimi temel olarak vektör koordinatlarının başka bir
koordinat sistemine dönüştürülmesidir.
Aksi
belirtilmediği
sürece
koordinatları
değişecek
vektörünün koordinatları standart bazda tanımlanmıştır.
Örneğin  uzayında standart baz:
2
1 0 
S   ,   
0 1 
Bu uzaydaki bir v  c ,c  vektörü,
1
2
c , c   c 1,0  c 0,1
1
2
1
2
ya da matris gösterimi ile,
c

c
1
2

 0
1
  c    c  
1
 0

1
2
v
2
ÖRNEK: R de B  v1 , v 2   1,0, 1,2 standart
olmayan baza göre x in koordinat matrisi;
xB
 3
 
 2
olsun. Bu durumda B '  u1 , u 2   1,0, 0,1 standart bazına
göre x’in koordinat matrisini elde ediniz.
ÇÖZÜM:
xB  
3
x  3v1  2v 2  3(1,0)  2(1,2)  (5,4) yazılabilir.

2 olduğu için
Dahası;
(5,4)  5(1,0)  4(0,1)
'
Biçiminde yazmak mümkündür. Bu ise B bazına göre x’in koordinat
matrisidir.
xB
'
5 
 
 4
Standart Olmayan Bir Baz İçin
Koordinatlar
Standart olmayan bir B  u , u ,, u  bazına göre bir
1
x   x , x ,, x
1
2
n

vektörünün
x  c , c ,, c  vektörü,
Bx  x
B
1
2
n
B
c u  c u  c u  x
1
1
2
n
n
denklem sisteminin çözümünden,
x
B
B x
elde edilir.
1
2
n
koordinatlarını
tanımlayan
Geçiş Matrisi
x   x , x ,, x
Burada
1
2
n

vektörü
standart
baza
göre
koordinatları tanımladığı için,
x  x
S
olduğundan
Bx  x
B
S
şeklinde yazılabilir. Burada B matrisi B bazından S bazına
geçişi tanımlayan, geçiş matrisi olarak adlandırılır.
3


x

1
,
2
,

1
R
ÖRNEK:
in
de ;
B'  u1 , u 2 , u 3   1,0,1, 2,3,5, 0,1,2
standart olmayan bazına göre koordinat matrisini elde ediniz.
ÇÖZÜM: x u1 , u 2 , u 3 vektörlerinin doğrusal
kombinasyonu olarak yazılırsa;
x  c1u1  c2u 2  c3u 3
1,2,1  c1 1,0,1  c2 0,1,2  c3 2,3,5
Matris notasyonu ile doğrusal denklem sistemi;
2   c1   1 
1 0
0  1 3   c    2 
  2  

1 2  5 c3   1
Sistem çözülürse
c1  5, c2  8, c3  2
olarak bulunur.yani x
x  51,0,1  (8)0,1,2  (2)2,3,5
olup B’ bazına göre x ‘in koordinat matrisi;
xB
'
5
   8
 2
BAZ DEĞİŞİMİ
Eğer F  f1 ,f 2 matrisinin sütunları  2 uzayı için bir baz tanımlıyorsa, bu uzaydaki
bir v vektörü
v  F.v f
şeklinde tanımlanabilir.  2 uzayındaki bir diğer baz g1 ,g 2  ise aynı v vektörü, bu baz
vektörlerin bir doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir. Baz değiştiği için koordinarlar
da değişecektir. Yeni koordinat vektörü v g ise,
v  G.v g
şeklinde yazılabilir. Sonuç olarak,
v  F.v f  G.v g
eşitliğinin geçerli olduğu görülebilir.
 2 uzayı için tanımlanan bu ifadeler, F  f1 ,..., f n baz vektörleri içeren n×n boyutlu matris
ve v f ise n×1 boyutlu koordinat vektörleri olmak üzere,  n uzayı için genellenebilir.
BİR MATRİSİN TANIMLADIĞI
UZAYLAR
Herhangi bir A matrisi üzerinde,
• Satır uzayı
• Sütun uzayı
• Boş uzay
• Soldan boş uzay
tanımlanabilir.
SATIR SÜTUN UZAYI
Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisi
a1n 
 a11 a12
a

a
a
22
2n 
A   21




a
a
a
mn 
 m1 m 2
olsun. A matrisinin satır vektörleri;
r1   a11 , a12 ,
a1n 
r2   a21 , a22 ,
a2 n 
rm   am1 , am 2 ,
amn 
ve sütun vektörleri:
 a11 
 a12 
 a1n 
a 
a 
a 
c1   21  , c 2   22  , , c n   2 n 
 
 
 
 
 
 
a
a
 m1 
 m2 
 amn 
SATIR SÜTUN UZAYI
Boyutu mn olan bir A matrisi sütun vektörlerine göre,
A  c1 c2
cn 
ya da satır vektörlerine göre,
 r1 
r 
A 2
 
 
rm 
yazılabilir.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Tanım: Boyutu m×n olan bir A matrisi için,
1. A matrisinin satır uzayı, yine A matrisinin satır vektörleri olan
r1 ,..., rm  bazının tanımladığı bir uzaydır.
2. A matrisinin sütun uzayı, yine A matrisinin sütun vektörleri olan
c1 ,..., cn  bazının tanımladığı bir uzaydır.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Satır Uzayları.
Sütun Uzayları
Bir A matrisimiz olsun
1 0

A  0 1
0 0
7
2
3
0


 2
0 
5
2
BOŞ UZAY
SOL BOŞ UZAY
k m

m

İse satır ,
k
k n
İse sütun

n
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY
Doğrusal cebir uygulamalarında,  uzayının
alt uzayları genellikle şu iki şekilde ortaya çıkar:
1)doğrusal homojen denklem sisteminin çözüm
kümesi olarak Ax  0 (boş uzay) ya da
2) verilen vektörler kümesinin tüm doğrusal
kombinasyonlarının kümesi olarak, Ax  b
[rank(A)]
n
SATIR-SÜTUN UZAYI
Not: Bir A matrisinin satır uzayı  n uzayının bir alt uzayı,
sütun uzayı ise  m uzayının bir alt uzayıdır. Böylece
Boyut(satır uzayı(A))≤n
ve
Boyut(sütun uzayı(A))≤m olur.
Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü ile matrisler arasında
yakın bir ilişki olduğuna göre, bir A matrisinin ve Ax  b
denklem sisteminin boş uzayı, satır uzayı ve sütun uzayı arasında
bir ilişki mevcut mudur?
SATIR UZAYI
Bir matris ile bir vektör çarpıldığında sonuç olarak başka bir vektör
elde ederiz.
Ax=b
Çünkü,
Amxn xnx1  bmx1
Sonuç olarak elde edilebilecek tüm vektörlerin oluşturduğu kümeye
görüntü uzayı (range/column space) denir.
SÜTUN UZAYI
Bilinmeyen vektörü
 x1 
x 
x   2

 
 xn 
olmak üzere, denklem sistemi
Ax  x1c1  x2 c 2  ...  xn c n
şeklinde yazılabilir. Böylece x1c1  x2 c 2  ...  xn c n  b olur.
Bu sistemin bir çözümünün olabilmesi için b vektörü, c1 , c 2 ,..., c n 
kümesinin tanımladığı uzayda yer almalıdır.
SÜTUN UZAYI
sütun uzayı (row space) adında
AT y  c
yukarıdakilere benzer biçimde tanımlamak mümkündür.
SÜTUN UZAYI
A y c
T
T
A
y
nxm mx1
 cnx1
SATIR-SÜTUN UZAYI
Teorem: Ax  b denklem sistemi, sadece ve sadece
b vektörü A matrisinin sütun uzayında bulunduğunda
tutarlıdır.AT y=c denklem sistemi, sadece ve sadece c
vektörü AT matrisinin satır uzayında bulunduğunda
tutarlıdır.
Teorem: Bir A matrisi üzerinde yapılan elemanter satır
işlemleri satır uzayını değiştirmez.
Not: Tüm matrisler eşsiz bir satır-echelon yapıya
dönüştürülebilir
Not: Bu teorem bir A matrisinin sütun uzayı için
geçerli değildir.
BOŞ UZAY
Boş uzay (null space) kavramının matematiksel ifadesinden
önce birkaç örnek ile bu kavram açıklanmaya çalışılsın.
Varsayalım ki A matrisi fiziksel bir sistemi temsil etsin,
örneğin bu sistem bir uzay roketi olsun. A matrisi iticilere
dayalı yönleri temsil etsin. Peki bu durumda boş uzay ve
sütun(kolon) uzayı neyi temsil etmektedir?
BOŞ UZAY
Bir yön ile ilgilendiğimizi düşünürsek sütün uzayı bu yön olabilir mi?
İticiler yardımıyla her yöne gidebiliyorsak sütun uzayı, iticiler
yardımıyla gittiğimiz yönlerin bir kümesidir. Roketin çevresinde sütun
uzayına denk 3 adet itici olduğu düşünülsün ve bu iticilerin işlevsel
olduğu, herhangi bir yönde harekete imkan verdiği kabul edilsin.
BOŞ UZAY
Bu durumda sütun uzayı bütün bu yönler olacaktır. Peki iticilerden biri
aniden bozulursa? Böyle bir durumda sadece 2 adet itici kalacaktır.
Artık doğrusal sistem değişmiş olacaktır (A matrisi farklılaştığı için)
ve sütun uzayı indirgenmiş olacaktır. Peki Boş uzay nedir?
BOŞ UZAY
Boş uzay yakıtı tamamıyla boşa harcayan itici
talimatlarının kümesidir.
Yani bozulan itici nedeniyle artık sadece 2 iticinin
belirlediği yönde hareket mümkündür. Sonuç olarak bu iki
iticinin götürebileceği yer ve yöne kadar gidilebilmektedir
diğer üçüncü itici yönü değiştiremeyecektir.
BOŞ UZAY
Örnek 2 : A matrisi bir odada aydınlatılabilen bölgeyi temsil etsin. A’nın boş
uzayı
ampullere güç uygulandığında, odadaki ışıklandırmada hiçbir değişiklik
olmamasını
temsil eder.
Örnek 3 : Bir gözlemciye karşılık n tane konuşmacının farklı yön ve mesafeden
konuştuklarını düşünelim. Her bir konuşmacıdan ses için faz, frekans ve genlik
katkılarıyla
bir
denklemler
matrisi
olsun.
Boş
uzay
tüm
mümkün
kombinasyonlar
içinde toplamda gözlemcinin bulunduğu yerde sesin sıfır olmasıdır. Bunun
anlamı,
konuşmacılar konuşsalar bile gözlemci bulunduğu
duymayacaktır.
yerde hiç bir şey
Tanım :
BOŞ UZAY
En basit anlamda bir matris ile çarpıldığında özel olarak
sıfır sonucunu (görüntüsünü) veren (çarpan) vektörlerin
oluşturduğu kümeye bu matrisin sıfır uzayı (null space)
denir.
Ax  0
BOŞ UZAY
Boyutu m×n olan bir A matrisinin Null(A) ile gösterilen boş
uzayı, Ax  0 homojen denklem sisteminin tüm çözümlerinin
kümesidir.
Küme notasyonunda,


Null A  x : x   n ve Ax  0
A matrisinin boş uzayı ker(A) (çekirdek) olarak adlandırılır.
BOŞ UZAY
 r1   x1  0
 r   x  0 
 2  2   
 .  .   . 
Ax        
 .  .   . 
 .  .   . 
    
rm   xn  0
r1   a11 , a12 ,
r2   a21 , a22 ,
.
.
.
rm   am1 , am 2 ,
a1n 
a2 n 
amn 
BOŞ UZAY-SOL BOŞ UZAY
Tanım:
Matrisin transpozunu alınıp sağ tarafa atılabilir. Aynı mantıktan hareketle sol
sıfır uzay (left null space)
A y0
T
BOŞ UZAY-SOL BOŞ UZAY
AT y  c1 c 2
 a11 
a 
c1   21 
 
 
 am1 
 a12 
a 
c 2   22 
 
 
 am 2 
 y1  0
 y  0 
 2  
 .  .
. . . c n     
 .  .
 .  .
   
 yn  0
...
 a1n 
a 
cn   2n 
 
 
 amn 
BOŞ UZAY-SOL BOŞ UZAY
Sonuç olarak bir Ax doğrusal denklem sistemi;
 a1n xn 
 a11 x1  a12 x2 
a x  a x 


a
x
22 2
2n n 
Ax   21 1




 amn xn 
 am1 x1  am 2 x2 
 a11 
 a12 
 a1n 
a 
a 
a 
 x1  21   x2  22    xn  2 n 
 
 
 
 
 
 
 am1 
 am 2 
 amn 
ya da eşdeğer olarak:
Ax  x1c1  x2c2   xncn
BOŞ UZAY
Not-1: Belirtilen bu küme  n uzayının bir alt uzayıdır.
Eğer boyutu m×n olan bir matris
inceleniyorsa, Null(A) uzayının elemanları  n uzayında
tanımlı vektörlerdir.
Not-2: Null(A) uzayının elemanları(hangi vektör uzayına
ait oldukları), sadece A matrisinin
sütun sayısına bağlıdır.
.
BOŞ UZAY
Not-3: Homojen denklem sistemlerinde daima en az bir
sıfır çözüm (0 vektörü) olduğundan,
Null A  0 olur. Asıl soru sıfırdan farklı çözümün olup
olmadığıdır.
Eğer A matrisinin tersi alınabiliyorsa, Null A  0’dır.
Bunun anlamı:
Eğer A matrisinin tersi alınabiliyorsa, Ax  0 homojen
denklem sisteminin sadece sıfır çözümü vardır.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Örnek:
1 2 1
1 2 1


1 2 1
0
0
0

 R21( 1) 

İkinci matrisin sütun uzayının tüm ikinci elemanları sıfırken,
ilk matris için aynı durum söz konusu değildir.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Teorem: A ve B satır denk matrisler(birinde uygulanan
elemanter satır işlemleriyle diğeri elde edilebiliyorsa)
olmak üzere,
1. A matrisinin sütun vektörleri kümesi sadece ve sadece
B matrisinde bu vektörlere karşılık gelen sütun vektörleri
doğrusal bağımsız ise doğrusal bağımsızdır.
2. A matrisinin sütun vektörleri kümesi sadece ve sadece,
B matrisinde bu vektörlere karşılık gelen sütun vektörleri
B matrisinin sütun uzayı için bir baz tanımladığı durumda
A matrisinin sütun uzayı için bir baz tanımlar.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Not:


Satır-echelon formdaki bir matrisin sıfır olmayan
satırları bağımsızdır.
Satır-echelon formdaki bir matrisin sıfır olmayan
satırları, matrisin satır uzayı için bir baz tanımlar.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Teorem: Eğer bir A matrisi echelon formda ise,
1. Pivot elemanı 1 olan satır vektörleri A matrisinin
satır uzayı için birer baz tanımlar.
2. Pivot elemanı 1 olan sütun vektörleri A matrisinin
sütun uzayı için birer baz tanımlar.
Sütun uzayı için bulunan vektörler, orijinal matrisin vektörleridir.
Bununla birlikte, satır uzayı için yapılan çalışmada bulunan baz
vektörler, orijinal matrisin vektörleri değildir.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Yukarıdaki iki teoremden anlaşılabileceği üzere,
bir matrisin satır uzayı araştırılıyor ise ilk işlem,
matrisi satır echelon yapıya dönüştürmek ve pivot
elemana sahip satırları belirlemektir
SATIR - SÜTUN UZAYI
Satır uzayının orijinal matris vektörleri olarak elde
edilmesi:
a. Orjinal matrisin transpozunu al.
Bu işlem orijinal A matrisinin satır uzayını AT
matrisinin sütun uzayına dönüştürür.
b. AT matrisi için satır echelon matrisi elde et.
Bu işlem AT matrisinin sütun uzayı için baz vektörleri
bulacaktır.
c. Bulunan baz sütun vektörlerinin transpozunu al.
Bu işlem A matrisinin satır uzayını orijinal vektörler
cinsinden elde eder.
Bkz. Soru 11
SATIR-SÜTUN UZAYI
Elemanter satır işlemleri sonucunda sütun uzayı aynı
kalmadığı için, bir matrisin sütun uzayının belirlenmesi
kısmen daha zordur. Bir A matrisinin satır-echelon formdaki
yapısı B matrisi olsun. Belirtilen A matrisinin sütunları c1 ,..., c n ,
B matrisinin sütunları da c1' ,..., c 'n vektörleri olsun.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Bu durumda B matrisinin sütunlarında pivot elemanı 1
olan sütunlara bakılır. A matrisinin sütun uzayında baz
oluşturan c i vektörleri, B matrisinin sütunlarında pivot
elemanı 1 olan sütunlara karşılık gelen c i' vektörlerinin
indisi i değerlerine göre belirlenir.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Örnek: Echelon formdaki A matrisi ele alınsın.
1  2
0 1
A
0 0

0 0
5 0 3
3 0 0
0 1 0

0 0 0
Buna göre A matrisinin satır ve sütun uzayları için bir baz bulunuz.
SATIR-SÜTUN UZAYI
Çözüm: Verilen matris echelon formda olduğu için yukarıdaki teorem
doğrudan uygulanabilir.

Satır uzayı: 1’lerle başlayan satır vektörleri kümesi bir bazdır.
1
 2 5 0 3, 0 1 3 0 0, 0 0 0 1 0 Satır uzayı
3 boyutludur.

1  2 0 
      
 0   1  0  
,  Sütun uzayı 3 boyutludur.
Sütun uzayı:  ,
0  0  1 
0  0  0 


Not: Yukarıdaki örnekte satır ve sütun uzaylarının boyutlarının aynı olması tesadüf
değildir.
Her zaman satır ve sütun uzaylarının boyutları eşittir.
SATIR -SÜTUN UZAYI
Teorem: Eğer bir matris satır echelon yapısında ise satırda
ilk 1 (pivot) elemana sahip sütun vektörleri bu
matrisin sütun uzayı için bir baz oluşturur.
Bkz. Soru 10
Sütun uzayı için bulunan vektörler orijinal matrisin
vektörleridir. Bununla birlikte satır uzayı için yapılan
çalışmada bulunan baz vektörler orijinal matrisin vektörleri
değildir.
BOŞ UZAY
Bir uzay için herhangi bir alt uzay (bir matrisin
boş uzayı gibi) tanımlamanın en kolay yolu, o
uzay için bir baz tanımlamaktır.Bir denklem
sisteminin çözümünde A b genişletilmiş matrisi
üzerine elemanter satır işlemleri uygulanarak
çözüm elde edilmekteydi. Bu nedenle elemanter
satır işlemlerinin doğrusal denklem sisteminin
çözüm kümesini değiştirmediği açıktır.
BOŞ UZAY
Not-4: Bir matrisin bazı, elemanter işlemler ile matrisi
echelon matrise indirgeyerek belirlenir. Daha sonra
Ax  0 için çözüm kümesi bulunmalıdır.
Bir matrisin boş uzayı bulunmak istendiğinde, öncelikle
bunun için bir baz belirlenmelidir. Öncelikle Null(A)
uzayının elemanlarının,  n uzayının elemanları olduğu
belirlenmelidir.
BOŞ UZAY
1 1 1 1 
A  1 2 3 4
4 3 2 1 
Örnek:
Biçiminde bir A matrisi verilsin
bu matrisin boş uzayını bulalım.
ÇÖZÜM: x1,x2,x3,x4 bileşenli vektörümüzün boş uzayın elemanı
olduğunu söylersek , A matrisini bu vektörle çarptığımızda sıfır vektörünü
elde etmemiz gerekir. İşte boş uzayımız bu vektörlerin kümesidir. Özetle
Ax  0
durumunu sağlayan x vektörünü aramaktayız.
ÇÖZÜM:
 x1 
1 1 1 1    0
x


Ax  1 2 3 4  2   0
 x3 
4 3 2 1    0
 x4 
A
3
4
0
3
x  4


N  A  x   Ax  0
4
ÇÖZÜM:
x1  x2  x3  x4  0
x1  2 x2  3x3  4 x4  0
4 x1  3x2  2 x3  x4  0
1 1 1 1 : 0
1 2 3 4 : 0


4 3 2 1 : 0
Sistemin genişletilmiş matrisini echelon forma indirgersek
1 0  1  2 : 0
0 1 2

3 : 0

0 0 0
0 : 0
x1  x3  2 x4  0
x2  2 x3  3x4  0
ÇÖZÜM:
x1  x3  2 x4
Çözüm vektörünü yazmak istersek;
x2  2 x3  3x4
 x1   1   2 
 x   2  3
 2  x    x  
3
4
 x3   1   0 
     
 x4   0   1 

Buna göre çözüm kümemiz x3 ve x4
ün lineer kombinasyonu olarak
yazdığımız aşağıdaki iki vektör
olacaktır. x3 ve x4 reel sayı olduğu
için ve sistem her reel sayı için
gerçeklediğinden x3=x4=1 alabiliriz.
1
 2
 
1
 
0
Yani boş uzayımız;
2
 3
 
0
 
1
ÇÖZÜM:
 1   2  
    
 2  3 
N  A  span





1
0






 0   1  


Yani bu iki vektör Null(A) yı tanımlayan baz vektörlerdir.
BOŞ UZAY
Örnek:
 3 6  1 1  7 
A   1  2 2 3  1 matrisinin
 2  4 5 8  4
boş uzayı belirlensin.
Bu sistemin genişletilmiş matrisi,
  3 6  1 1  7  0
 1  2 2 3  1  0


 2  4 5 8  4 0
Sistemin
ve echelon
 x1  2r  s  3t

x2  r

çözümü  x3  2s  2t

x4  s


x5  t

1  2 0  1 3  0
yapısı 0 0 1 2  2 0
0 0 0 0
0  0
BOŞ UZAY
ya da
 x1 
 2
 1   3
x 
1 
 0  0
 2
 
   
 x3   r 0  s  2  t  2  şeklinde yazılabilir.
 
 
   
 x4 
0 
 1  0
 x5 
0
 0   1 
BOŞ UZAY
 2
1 
 3
1 
 0 
0
 
 
 
u  0  , v   2 ve w   2 
 
 
 
0 
1 
0
0 
 0 
 1 
olmak üzere, u, v, wkümesi Null(A) uzayını
tanımlayan baz vektörlerdir ve Null(A), u, v, w’nin
bir alt kümesidir.
BOŞ UZAY
Belirtilen bu küme doğrusal bağımsızdır ve Null(A) için
bir bazdır. Böylece
Null(A), 3 boyutludur ve
2  1   3 
      
 1   0   0  


 0  ,   2 ,  2  
 0   1   0  
      
0  0   1  
bazıyla  5 uzayının bir alt uzayıdır.
BOŞ UZAY
Teorem: Bir A matrisi üzerinde yapılan elemanter satır işlemleri
Null(A) uzayını değiştirmez.
Tanım: Bir A matrisi için boşluğun boyutu, nullity(A) ile gösterilir
ve boş uzayın boyutuna eşittir.
Örnek:
BOŞ UZAY
Aşağıda verilen bir A matrisi ele alınsın.
 3  1 1
A


1
1
1


Buna göre 1,2,1 vektörü,
1
 3  1 1   0
 1 1 1  2   0

  1  
 
Sağlanıyorsa A matrisinin boş uzayında yer alır.
BOŞ UZAY
Aynı şekilde 1,1,1 vektörü,
1
 3  1 1   3 0
 1 1 1 1  1  0

 1    

Eştiliğini sağlamadığı için A matrisinin boş uzayında yer almaz.
SATIR-SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY



A matrisinin görüntü kümesi, bu fonksiyonun tüm mümkün
çıktılarıdır.
A matrisinin satır uzayı, boş uzaya her zaman dik olan ve satır
vektörlerinin bir baz tanımladığı uzaydır.
A matrisinin sütun uzayı,görüntü kümesiyle her zaman aynı
olan ve sütun vektörlerinin bir baz tanımladığı uzaydır.
RANK VE BOŞLUK (NULLİTY)
Teorem: A herhangi bir matris olmak üzere, A matrisinin
satır uzayı ve sütun uzayı aynı boyuta sahiptir.
Tanım: Bir A matrisinin satır uzayı ve sütun uzayının
boyutu A matrisinin rankı olarak adlandırılır.
RANK VE BOŞLUK (NULLİTY)
Tanım: Bir matrisin rankı, satır/sütun uzayının boyutuna
eşittir.
Teorem: Boyutu m×n olan bir A matrisi için,
n  rank A  nullity A
BOŞ UZAY
A matrisi ile
çarpım
BOŞ UZAY
Yukarıdaki şekilde soldaki koyu düzlem boş uzaydır
ve bu düzlemdeki herhangi bir noktanın A matrisi ile
çarpımı sıfırdır. Sağdaki noktalar ise vektörler A matrisi
ile çarpıldığında ortaya çıkabilecek bazı mümkün
sonuçları göstermektedir. Yine sağdaki doğru ise sütun
uzayına eşit olan görüntü kümesini göstermektedir.
Soldaki doğru ise satır uzayını göstermektedir.
BOŞ UZAY
Boş uzay
x : Ax  0
BOŞ UZAY
Görüntü Kümesi
Ax : x   
n
SATIR UZAYI
Satır uzayı
A matrisinin satırlarını
kapsamaktadır
SÜTUN UZAYI
Sütun uzayı
A matrisinin sütunlarını
kapsamaktadır