(Microsoft PowerPoint - 6

6. BÖLÜM
n-BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI
Tanım: Eğer n pozitif bir tam sayı ise sıralı n-sayı, gerçel
sayılar kümesindeki n adet sayının (a1, a2,…, an) bir
dizisidir. Tüm sıralı n-sayılarının kümesi n-boyutlu
VEKTÖR UZAYLARI
VEKTÖR UZAYI
Tanım: V boş olmayan bir küme ve n n-boyutlu uzay
(cisim) olsun. Aşağıdaki önermeler doğru ise V
kümesi n uzayı üstünde bir vektör uzayıdır.
uzay olarak adlandırılır ve
n
n
ile gösterilir.
= {( a1 , a2 ,K, an ) :1 ≤ i ≤ n için ai ∈
}
VEKTÖR UZAYI
1. V kümesinde + ile gösterilen ve adına toplama denilen
bir işlem tanımlanmıştır. Bu işlemin aşağıdaki özellikleri
vardır.
a. Her u,v∈V için u+v tanımlıdır ve u+v∈V.
V kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
b. Her u,v,w∈V için (u+v)+w=u+(v+w)
V kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği
vardır.
c. 0∈V ve her u∈V için u+0=0+u
V kümesinde toplama işleminin birim elemanı
vardır 0 ile gösterilir.
d. her u∈V için V kümesinde –u ile gösterilen ve
u+(-u)=0 ve (-u)+u=0
eşitliklerini sağlayan bir –u elemanı vardır ve V
kümesinde toplamaya göre ters elemanı temsil eder.
e. Her u,v∈V için u+v=v+u özelliği vardır.
V kümesinde toplama işleminin değişme özelliği
vardır.
1
VEKTÖR UZAYI
× V → V , (a,u)→au biçiminde, adına skalerle çarpma
işlemi denilen bir fonksiyon tanımlanmıştır ve bu
fonksiyon aşağıdaki önermeleri doğrular:
a. Her a ∈ ve her u,v∈V için a(u+v)=au+av.
b. Her a, b ∈ ve her u∈V için (a+b)u=au+bu.
c. Her a, b ∈ ve her u∈V için (ab)u=a(bu).
d. nin çarpmaya göre birim elemanı 1 olduğuna
göre V nin her elemanı için 1u=u.
ALT VEKTÖR UZAYI
n
Tanım: V kümesi,
uzayı üstünde bir vektör uzayı ve H
kümesi ise, V nin boş olmayan bir alt kümesi olsun.
Aşağıdaki iki önerme doğru ise H kümesi V
kümesinin bir alt vektör uzayıdır denir.
1. Her u,v∈H için u+v∈H
H kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Her a ∈ ve her u∈H için au∈H
H kümesi skalerle çarpma işlemine göre kapalıdır.
VEKTÖR UZAYI
Not: Verilen tanımda 1a-1d önermeleri (V,+) ikilisinin bir
grup olduğunu gösterir.
1e önermesi ise (V,+) grubunun değişmeli grup
olduğunu gösterir.
Tanım: Bir vektör uzayının her bir elemanına vektör denir.
VEKTÖRLERİN DOĞRUSAL
KOMBİNASYONU
n
Tanım: V kümesi,
uzayı üstünde bir vektör uzayı ve E
kümesi, E = { v1 , v 2 ,K, v n } ise, V nin boş olmayan
sonlu bir alt kümesi olsun.
uzayından (cisminden)
herhangi c1 , c2 ,K , cn elemanları alınarak elde edilen,
w = c1 v1 + c2 v 2 + K + cn v n
vektörüne v1 , v 2 ,K , v n vektörlerinin doğrusal
kombinasyonu denir.
Bkz. Soru 1
2
DOĞURAN VEKTÖRLER
DOĞRULMUŞ UZAY
Tanım: V vektör uzayının her v vektörü, yine bu uzayın
v1 , v 2 ,K, v n gibi n tane vektörünün doğrusal
kombinasyonu olarak;
v = c1v1 + c2 v 2 + K + cn v n = ∑ ci v i
şeklinde ifade edilebiliyorsa, bu vektörler kümesine,
v1 , v 2 ,K, v n vektörleri tarafından türetilmiş (gerilmiş)
bir vektör uzayı denir. v1 , v 2 ,K, v n vektörlerine
uzayın türeten (gergi) vektörleri denir.
Tanım: S = { v1 , v 2 ,K, v n } vektörler kümesi ile türetilmiş bir
W doğrusal uzayı,
lin ( S ) ya da lin { v1 , v 2 ,K, v n }
ile gösterilir.
Bkz. Soru 2
DOĞRULMUŞ UZAY
EN KÜÇÜK ALT UZAY
Teorem:
{α1 , α 2 ,K, α n }
ve {β1 , β 2 ,K, β k } kümeleri bir V
vektör uzayının alt kümeleri olsun. 1 ≤ j ≤ n
olacak şekilde her j doğal sayısı için α j vektörü,
{β1, β 2 ,K, β k }
kombinasyonu,
kümesinin
bir
k
α j = c1 j β1 + c2 jβ 2 + K + ckj β k = ∑ cij β j
i =1
doğrusal
Teorem: v1 , v 2 ,K, v n , V vektör uzayındaki vektörler olsun.
a. v1 , v 2 ,K, v n
vektörlerinin
tüm
doğrusal
kombinasyonlarının oluşturduğu W kümesi V vektör
uzayının bir alt kümesidir.
b.Eğer v1 , v 2 ,K, v n vektörlerini içeren V vektör
uzayının en küçük alt uzayı W ise v1 , v 2 ,K, v n
vektörlerini içeren V vektör uzayının tüm diğer alt
uzayları W kümesini içerir.
ise
lin {α1 , α 2 ,K, α n } ⊆ lin {β1 , β 2 ,K, β k }
3
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
Teorem:
Tanım: Eğer S = { v1 , v 2 ,K , v n } boş olmayan bir vektörler
kümesi ise,
c1 v1 + c2 v 2 + K + cn v n = 0
vektör denkleminin,
c1 = c2 = K = cn = 0
ile tanımlanan en az bir çözümü vardır. Tek çözüm
bu sıfır çözümü ise vektörler doğrusal
bağımsızdırlar. En az bir ci ≠ 0 olacak şekilde
çözüm var ise vektörler doğrusal bağımlıdır.
Bkz. Soru 3
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
Teorem: İki ya da daha fazla vektör içeren bir S kümesi,
a. ancak ve ancak S kümesindeki vektörlerden en az
biri bu kümedeki diğer vektörlerin doğrusal
kombinasyonu olarak ifade edilebiliyor ise
doğrusal bağımlıdır.
b. ancak ve ancak S kümesindeki vektörlerin hiç biri
bu kümedeki diğer vektörlerin doğrusal
kombinasyonu olarak ifade edilemiyor ise
doğrusal bağımsızdır.
m
uzayında,
v1 = ( v11 , v21, K, vm1 ) ,
v m = ( v1m , v2 m , K, vmm )
v 2 = ( v12 , v22, K, vm 2 ) ,
…,
vektörleri verilmiş olsun.
{ v1 ,K , v m } vektör kümesinin doğrusal bağımsız
olması için,
v11 v12 L v1m
v21 v22 L v2 m
≠0
M
M
M
M
vm1 vm 2 L vmm
olması gerekli ve yeterlidir.
Bkz. Soru 3
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN
GEOMETRİK YORUMU
2
ya da 3 boyutlu uzayda başlangıç noktaları orijine
yerleştirilmiş iki vektör ancak ve ancak, aynı doğru üzerinde
yer almıyor ise bağımsızdırlar.
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımsız
4
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN
GEOMETRİK YORUMU
3
boyutlu uzayda başlangıç noktaları orijine yerleştirilmiş
üç vektör ancak ve ancak, aynı düzlem üzerinde yer almıyor
ise bağımsızdırlar.
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK
Teorem:
m
uzayında, v1 ,K , v n vektörleri verilsin. m<n ise
kümesi doğrusal bağımlıdır.
{ v1 ,K, v n }
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımlı
Doğrusal Bağımsız
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ
Düzlemsel analitik geometride, düzlemdeki bir P noktasına ait
(a,b) koordinatları, birbirine dik iki koordinat ekseni üzerine
P noktasının izdüşüm değerlerini belirtir.
Her bir koordinat çifti bu düzlemdeki bir ve yalnız bir noktaya
karşılık gelir.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
Birbirine dik eksenlerden oluşan koordinat sistemi en çok
kullanılan sistemdir.
Bununla birlikte bu düzlemde birbirine paralel olmayan her
hangi iki doğru da bir koordinat sistemi tanımlamak için
kullanılabilir.
Koordinat sistemi düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı
çiftleri arasında bire bir bir ilişki tanımlar.
5
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
Amaç; bir koordinat sistemi kavramını vektör uzayları
üzerinden genellemektir.
Başlangıç aşaması, bu koordinat sistemini oluşturan
eksenler yerine vektörlerin kullanılmasına imkan
tanıyan bir formülasyon tanımlamaktır.
Her bir koordinat ekseni uzunluğu 1 birim olan bir
vektör ile değiştirilir. Örneği v1 ve v2 gibi.
P düzlemdeki bir nokta ise OP vektörü, v1 ve v2 vektörlerinin
doğrusal kombinasyonu;
OP=av1+bv2
olarak yazılabilir.
Vektör formülünde yer alan a ve b sayıları P noktasının bu
koordinat sistemindeki koordinat değerleridir.
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT
SİSTEMİ
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ
Tanım: Bir koordinat sistemini belirleyen vektörlere baz
vektörler denir.
Birim uzunlukta olmaları şart değildir.
Bir koordinat sistemi baz vektörler kümesi ile
tanımlandığında, baz vektörlerin uzunlukları
koordinat eksenleri üzerindeki ardışık tam sayılar
arasındaki mesafeyi belirler.
6
BAZ: TABAN
BAZ: TABAN
Tanım:Eğer V her hangi bir vektör uzayı ise ve
S = {v1 , v 2 ,K, v n } , V vektör uzayındaki bir vektörler
kümesi ise, aşağıdaki iki şartı sağlaması durumunda
S kümesi baz olarak adlandırılır.
a. S kümesi doğrusal bağımsızdır.
b.S kümesi V vektör uzayını türetir.
Teorem 6.1: Eğer S = { v1 , v 2 ,K , v n } kümesi bir V vektör
uzayının bazı ise, V vektör uzayındaki her v
vektörü
v = c1v1 + c2 v 2 + L + cn v n
olacak şekilde tek bir doğrusal kombinasyonla
ifade edilebilir.
Bkz. Soru 4
Bkz. Soru 5
STANDART BAZ
BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR
Bir
Tanım: Eğer S = { v1 , v 2 ,K, v n } kümesi bir V vektör uzayının
bazı ise ve her hangi bir v vektörü
v = c1v1 + c2 v 2 + L + cn v n
ile tanımlanmış ise c1 , c2 ,K, cn skalerleri S bazına göre
v vektörünün koordinatlarıdır ve
( v )S = ( c1 , c2 ,K, cn )
ile gösterilir.
Bkz. Soru 6
n
uzayındaki birim vektörler
e1 = (1,0,K,0 ) , e 2 = ( 0,1,K,0 ) ,…, e n = ( 0,0,K ,1)
ise bu vektörlerin oluşturduğu küme,
S = {e1 , e 2 ,K, e n }
n
uzayında doğrusal bağımsız bir kümedir. n uzayındaki
her hangi bir v = ( v1 , v2 ,K, vn ) vektörü
v = v1e1 + v2e 2 + L + vne n
şeklinde yazılabileceği için S kümesi aynı zamanda n vektör
uzayını türetir.
Tanım: S = {v1 , v 2 ,K , v n } kümesi n vektör uzayı için bir
bazdır ve standart baz olarak adlandırılır:
( v ) S = ( v1 , v2 ,K, vn )
7
BAZ ve BOYUT
Tanım: Sıfırdan farklı bir vektör uzayı V, eğer baz vektörler
kümesi { v1 , v 2 ,K, v n } sonlu sayıda vektörü içeriyor
ise sonlu boyutlu olarak adlandırılır. Aksi halde
sonsuz boyutlu vektör uzayı denir.
BAZ ve BOYUT
Teorem: Eğer S = { v1 , v 2 ,K, v n } kümesi bir V vektör
uzayının bazı ise V vektör uzayındaki n adetten
fazla vektör içeren her küme doğrusal bağımlıdır.
Teorem: Sonlu boyutlu bir vektör uzayı için her hangi iki baz
küme aynı sayıda vektöre sahiptir.
Tanım: Sonlu boyutlu bir V vektör uzayının boyutu baz
vektör kümesindeki vektör sayıdır.
dim(v)
Bkz. Soru 7
BAZ ve BOYUT
Teorem: a. Eğer S = { v1 , v 2 ,K, v n } kümesi n-boyutlu bir V
vektör uzayındaki n adet doğrusal bağımsız
vektörlerin kümesi ise S kümesi V vektör uzayı
için bir bazdır.
b. Eğer S = { v1 , v 2 ,K, v n } kümesi n-boyutlu bir V
vektör uzayını türetiyor ise S kümesi V vektör
uzayı için bir bazdır.
BAZ ve BOYUT
Teorem: V boyutu n olan bir vektör uzayı olsun.
a. S = { v1 , v 2 ,K , v r } kümesi V vektör uzayındaki
doğrusal bağımsız vektörlerin oluşturduğu bir küme
ise ve eğer r<n ise, S kümesi V vektör uzayının bir
bazı olacak şekilde v r +1 , v r + 2 ,K , v n vektörleri dahil
edilerek genişletilebilir.
Burada V vektör uzayının baz kümesi;
S = { v1 , v 2 ,K , v r , v r +1 , v r + 2 ,K , v n }
b. Eğer W, V vektör uzayının bir alt uzayı ise;
dim (W ) ≤ dim (V ) .
Ancak ve ancak W=V ise dim (W ) = dim (V )
8
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAYI
Tanım: Boyutu m×n olan bir A matrisi
 a11 a12 K a1n 
a
a22 K a2 n 

A =  21
 M
M
M
M 


 am1 am 2 K amn 
olsun. A matrisinin satır vektörleri;
r1 = ( a11 , a12 , K a1n )
r2 = ( a21 , a22 , K a2 n )
M
M
rm = ( am1 , am 2 , K amn )
ve sütun vektörleri:
 a11 
 a12 
 a1n 
a 
a 
a 
21
22
c1 =   , c2 =   ,K , cn =  2 n 
 M 
 M 
 M 
 
 
 
 am1 
 am 2 
 amn 
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAYI
Sonuç olarak bir Ax doğrusal denklem sistemi;
 a11 x1 + a12 x2 + K + a1n xn 
a x + a x + K + a x 
22 2
2n n 
Ax =  21 1
 M
M
M
M K M
M 


a
x
+
a
x
+
L
+
a
 m1 1
m2 2
mn xn 
 a11 
 a12 
 a1n 
a 
a 
a 
= x1  21  + x2  22  + K + xn  2 n 
 M 
 M 
 M 
 
 
 
a
a
 m1 
 m2 
 amn 
ya da eşdeğer olarak:
Ax = x1c1 + x2c2 + K + xncn
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAYI
Boyutu m×n olan bir A matrisi sütun vektörlerine göre,
A = [c1 c 2 K c n ]
ya da satır vektörlerine göre,
 r1 
r 
A= 2
M
 
rm 
yazılabilir.
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
Tanım: A matrisi boyutu m×n olan bir matris olsun.
A matrisinin satır vektörlerinin türettiği n alt uzayı
A matrisinin satır uzayıdır.
m
A matrisinin sütun vektörlerinin türettiği
alt
uzayı A matrisinin sütun uzayıdır.
Ax=b homojen denklem sisteminin çözüm uzayı, ki
n
uzayının bir alt uzayıdır, A matrisinin boş uzayı
olarak adlandırılır.
9
CEVABI ARAŞTIRILACAK
SORULAR
SORULARA YANIT BULABİLMEK
İÇİN
1. Bir matrisin, satır uzayı, sütun uzayı ve boş uzayı
arasındaki ilişki nedir?
2. Bir A katsayı matrisinin satır uzayı ve boş uzayı ile
Ax=b doğrusal denklem sisteminin çözümleri
arasındaki ilişki nedir?
İlk aşamada bir matrisin
• satır uzayı,
• sütun uzayı ve
• boş uzayın
her biri için bazın (birbirinden bağımsız türeten vektörlerin)
bulunması gereklidir.
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
Teorem: Elemanter satır işlemleri bir matrisin satır uzayını
ya da boş uzayını değiştirmez.
Anlamı: Bir matris ve onun bütün satır echelon yapıları
(matrisleri) aynı satır uzayına sahiptirler.
Teorem: Bir A matrisinin her hangi bir satır echelon
yapısındaki sıfırdan farklı satır vektörleri A
matrisinin satır uzayı için bir baz oluşturur.
Anlamı: Satır echelon yapısındaki bir matrisin sıfırdan
farklı satır vektörleri doğrusal bağımsızdır. Bu
nedenle satır uzayı için bir baz oluştururlar.
Bkz. Soru 8
Teorem: Elemanter satır işlemleri bir matrisin satır uzayını
ve boş uzayını değiştirmez. Fakat sütun uzayını
değiştirebilir.
Değişikliğin anlamı: Elde edilecek baz vektörler
değişebilir.
Bununla birlikte sütun vektörleri arasındaki doğrusal
bağımlılık ya da doğrusal bağımsızlık ilişkisinde bir
farklılık oluşmaz.
10
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
Boyutu m×n olan bir A matrisinden elemanter satır
işlemleri ile elde edilen matris B olsun. Bu matrislerin
sütun vektörleri sırası ile,
c1 , c 2 ,K, c n
c1′ , c′2 ,K, c′n
olsun. İki matris için homojen doğrusal denklem sistemleri
Ax=0
Bx=0
ya da
x1c1 + x2c 2 + K + xnc n x1c1′ + x2c′2 + K + xnc′n
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
Teorem: Eğer A ve B satır denk matrisler ise
a. A matrisinin verilen bir sütun vektörü kümesi
ancak ve ancak B matrisinin karşılık gelen sütun
vektörü kümesi doğrusal bağımsız ise doğrusal
bağımsızdır.
b. A matrisinin verilen bir sütun vektörü kümesi
ancak ve ancak B matrisinin karşılık gelen sütun
vektörü kümesi B matrisinin sütun uzayı için bir
baz oluşturuyor ise A matrisinin sütun uzayı için
bir baz oluşturur.
Bkz. Soru 9
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
Teorem: Eğer bir matris satır echelon yapısında ise satırda
ilk 1 (pivot) elemana sahip sütun vektörleri bu
matrisin sütun uzayı için bir baz oluşturur.
Bkz. Soru 10
Satır uzayının orijinal matris vektörleri olarak elde
edilmesi:
a. Orjinal matrisin transpozunu al.
Bu işlem orijinal A matrisinin satır uzayını AT
matrisinin sütun uzayına dönüştürür.
b. AT matrisi için satır echelon matrisi elde et.
Bu işlem AT matrisinin sütun uzayı için baz vektörleri
bulacaktır.
c. Bulunan baz sütun vektörlerinin transpozunu al.
Bu işlem A matrisinin satır uzayını orijinal vektörler
cinsinden elde eder.
Bkz. Soru 11
Sütun uzayı için bulunan vektörler orijinal matrisin
vektörleridir. Bununla birlikte satır uzayı için yapılan
çalışmada bulunan baz vektörler orijinal matrisin vektörleri
değildir.
11
SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ
UZAY
Baz vektörler, vektör uzayındaki doğrusal bağımlılık (ya da
bağımsızlık) yapısının ortaya konmasında kullanılabilirler.
Bkz. Soru 12
RANK VE BOŞLUK (NULLİTY)
Teorem (Matrisler için boyut teoremi): A matrisinin sütun
sayısı n ise;
r(A)+n(A)=n
A matrisinin rankı r(A), Ax=0 homojen doğrusal denklem
sistemindeki asal değişken sayısı,
A matrisinin boş uzayı n(A), Ax=0 homojen doğrusal
denklem sistemindeki yapay değişken sayısıdır.
RANK VE BOŞLUK (NULLİTY)
Teorem: A her hangi bir matris olmak üzere, A matrisinin
satır uzayı ve sütun uzayı aynı boyuta sahiptir.
Tanım: Bir A matrisinin satır uzayı ve sütun uzayının
boyutu A matrisinin rankı olarak adlandırılır.
A matrisinin boş uzayı A matrisinin boşluğu
olarak adlandırılır n(A) ile gösterilir. A matrisinin
boş uzayı Ax=0 homojen denklem sisteminin
çözüm uzayının boyutuna eşittir.
Bkz. Soru 13
RANK VE BOŞLUK (NULLİTY)
Ax=b denklem sistemi ile A matrisinin rankı arasındaki
ilişki aşağıdaki teorem ile verilmiştir:
Teorem: Eğer A boyutu n×n olan bir matris ise aşağıdaki
ifadelerin hepsi eşdeğerdir:
1. A matrisi tersi alınabilirdir.
2. Ax=0 sadece sıfır çözüme sahiptir.
3. A matrisi In matrisine satır denktir.
4. A ≠ 0
5. Ax=b sistemi her n×1 boyutlu b vektörü için tutarlıdır.
6. Boş uzayın boyutu sıfırdır, n(A)=0.
7. A matrisi tam ranklıdır, r(A)=n.
8. A matrisinin satır vektörleri doğrusal bağımsızdır.
9. A matrisinin sütun vektörleri doğrusal bağımsızdır.
12
TUTARLI DENKLEM SİSTEMİ
Eğer Ax=b, m denklemli n bilinmeyenli (x1,…,xn) bir
doğrusal denklem sistemi ise ve c1,…,cn A matrisinin
sütun vektörleri ise sistem:
x1c1 + x2c2 + L + xnc n = b
Denklemin sol tarafı A matrisinin sütun vektörlerinin
doğrusal kombinasyonudur. Bu nedenle Ax=b sistemi
ancak ve ancak b vektörü A matrisinin sütun
vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu ise tutarlıdır.
GENEL VE ÖZEL ÇÖZÜMLER
Ax=b ve Ax=0 sistemlerinin çözümleri arasındaki ilişki
Teorem 6.2: Eğer x0 homojen olmayan doğrusal
denklem sisteminin bir çözümü ise ve
eğer v1,…,vk vektörleri Ax=0 homojen
denklem sistemi çözüm uzayının bir bazı
ise Ax=b için her çözüm:
x = x 0 + c1v1 + L + ck v k
şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadenin
tersi de doğrudur. c1,…,ck’ nın her değeri
için bu formüldeki x vektörü Ax=b
sisteminin bir çözümünü verir.
Bkz. Soru 15
TUTARLI DENKLEM SİSTEMİ
Teorem: Bir Ax=b doğrusal denklem sistemi ancak ve
ancak b vektörü A matrisinin sütun uzayında
ise tutarlıdır.
Bkz. Soru 14
Teorem: Bir Ax=b doğrusal denklem sistemi ancak ve
ancak A matrisinin rankı genişletilmiş [A:b]
matrisin rankına eşit ise tutarlıdır.
GENEL VE ÖZEL ÇÖZÜMLER
Not: Burada x0, Ax=b sisteminin özel çözümüdür.
x 0 + c1 v1 + L + ck v k ise Ax=b sisteminin genel
çözümüdür.
c1v1 + L + ck v k
ise Ax=0 sisteminin genel
çözümüdür.
Bkz. Soru 16
Teorem: Eğer Ax=b, m denklem ve n bilinmeyen içeren
bir tutarlı doğrusal sistem ise ve A matrisinin
rankı r ise sistemin genel çözümü n-r adet
parametre (yapay değişken) içerir.
13