07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 − x +2 ≡ (x − r) 2(x − s

07.10.2006
1. Kaç p asal sayısı için, x3 − x + 2 ≡ (x − r)2 (x − s) (mod p) denkliğinin
tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları
bulunabilir?
2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin 25 e bölünmesini sağlayan bir x tam
sayısı bulunur?
A) x3 − 3x2 + 8x − 1
D)x3 − 5x2 + x + 1
B)x3 + 3x2 − 2x + 1
E)Hiçbiri
C)x3 + 14x2 + 3x − 8
3. p2 + 23 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal
sayısı bulunur?
4. 103 < n < 106 koşulunu sağlayan bir n tam sayısına, son üç basamağındaki rakamların toplamı, daha önceki basamaklarındaki rakamların toplamına eşitse, dengeli sayı diyoruz. Tüm dengeli sayıların toplamının
13’e bölümünden kalan kaçtır?
5. x5 + 5x2 + x + 1 ≡ 0 (mod 121) ve 0 ≤ x < 121 koşullarını sağlayan
kaç x tam sayısı vardır?
6. Her n pozitif tam sayısı için, f (2n + 1) = 2f (2n); f (2n) = f (2n − 1) + 1
ve f (1) = 0 ise, f (2005) sayısının 5’e bölümünde elde edilen kalan
kaçtır?
7. Aşağıdakileri gösteriniz:
(a) 13 | (a + 4b) ⇒ 13 | (10a + b);
(b) 19 | (3x + 7y) ⇒ 19 | (43x + 75y);
(c) 17 | (3a + 2b) ⇒ 17 | (10a + b).
. . . 2} sayısının iki ardışık tam sayının çarpımına eşit olduğunu
8. 11
. . . 1} 22
| {z
| {z
100
100
kanıtlayınız.
9. b > 2 olmak üzere a, b pozitif tam sayılar olsun. 2a + 1 sayısının 2b − 1
sayısına bölünmediğini gösteriniz.
1
10. a1 , üç basamaklı bir sayı olsun. Her n ≥ 1 için an+1 = an − s(an ) ise
(burada s(an ) sayısı an ’in basamakları toplamını göstermektedir), a111
hangi değerleri alabilir?
11. 1’den n’e kadar olan tam sayıların toplamı 26’ya bölünüyorsa, n en az
kaç olur?
12. 2 ve 9’a bölünen ve
(a) tam 14 tane;
(b) tam 15 tane;
(c) tam 17 tane
pozitif tam böleni bulunan kaç tane pozitif tam sayı vardır?
r
. . . 1} − 22
. . . 2} = |33 {z
. . . 3} eşitliğinin
13. Her n pozitif tam sayısı için 11
| {z
| {z
2n
n
n
doğru olduğunu kanıtlayınız.
14. a pozitif tam sayısının basamakları toplamını s(a) ile gösterelim.
s(a) = s(2a) ise a sayısının 9’a bölündüğünü kanıtlayınız.
15. (aaabbbb)7 sayısı 5’e bölünüyorsa, a hangi değerler alabilir?
16. p ve q tek sayıları asal sayılar dizisinin ardışık iki terimi olsun. p + q
sayısının farklı pozitif bölenlerinin sayısı en az kaç olabilir?
17. (x1 x2 . . . x1998 ) ondalık sistemde 1998 basamaklı bir sayının gösterimi
olmak üzere, (x1 x2 . . . x1998 ) = 7·101996 (x1 +x2 +. . .+x1998 ) denklemini
sağlayan sağlayan kaç (x1 x2 . . . x1998 ) sayısı var?
18. Her k (1 ≤ k ≤ 6) için k basamaklı a1 a2 . . . ak sayısı k’ya bölünecek şekilde 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından oluşan tüm 6 basamaklı a1 a2 a3 a4 a5 a6
sayılarını bulunuz.
P200
19. r negatif olmayan tam sayı olmak üzere
n=1 n! ≡ r(mod 100) ise,
r’nin alabileceği en küçük değer nedir?
20. x3 + 3x2 − 2x + 4 ≡ 0 (mod 25) ve 0 ≤ x < 25 koşullarını sağlayan tam
sayıların toplamının 25’e bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır?
2
14.10.2006
1. 79999 sayısının son üç basamağını bulunuz.
100
2. 42 sayısının 3 tabanındaki yazılımının son iki rakamını bulunuz.
√
3. 20002002 sayısının onluk sayı sisteminde yazılışında sağdan sıfırdan
farklı ilk rakam nedir?
4. 1980 tane 2’den oluşan 222 . . . 22 sayısının 1982’ye bölündüğünü gösteriniz.
5. 271986 sayısının iki tabanındaki gösteriminde son sekiz basamağı bulunuz.
6. Aşağıdaki sayılardan hangisi
33n+1 + 53n+2 + 73n+3
sayısını her n pozitif tam sayısı için böler?
A) 3
B) 5
C) 7
D) 11
E) 53
7. Hiçbir n > 1 tam sayısı için 2n − 1 sayısının n’e bölünmediğini kanıtlayınız.
8. 3n + 1 sayısının n’e bölünmesini sağlayan tüm n > 1 tek pozitif tam
sayılarını bulunuz.
9. Her n tek pozitif tam sayısı için 2n! − 1 sayısının n’e bölündüğünü
kanıtlayınız.
10. 1, 31, 331, 3331, . . . dizisinde sonsuz sayıda bileşik sayı bulunduğunu
gösteriniz.
321
11. 1113
sayısının son iki basamağını bulunuz.
12. n · 2n − 1 sayısının 3’e bölünmesini sağlayan tüm n poziif tam sayılarını
bulunuz.
13. Verilen k pozitif tam sayısı için 5n − 1 sayısının 2k ’ya bölünmesini
sağlayan en küçük n sayısını bulunuz.
3
14. 2n + 1 sayısının n’e bölünmesini sağlayan sonsuz tane n pozitif tam
sayısının bulunduğunu gösteriniz.
15. n·2n +1 sayısının 3’e bölünmesini sağlayan tüm n pozitif tam sayılarını
bulunuz.
16. 2n − 3 (n = 2, 3, . . .) sonsuz dizisinin 5’e bölünen sonsuz sayıda teriminin; 13’e bölünen sonsuz tane teriminin bulunduğunu, fakat 65’e
bölünen hiçbir teriminin bulunmadığını kanıtlayınız.
17. m, n pozitif tam sayılar ve p > 2 bir asal sayı olsun. m 6≡ 0 (mod p)
olmak üzere mn + nm ≡ 0 (mod p) denkliğini sağlayan (m, n) sıralı
ikililerinin oluşturduğu kümede kaç eleman vardır?
18. Aşağıdaki kümelerden hangisi {a ∈ Z | a7 ≡ a (mod 63)} kümesinin alt
kümesi değildir?
A) {a ∈ Z | a ≡ 0 (mod 21)}
C) {a ∈ Z | a ≡ 2 (mod 63)}
E) Hiçbiri
B) {a ∈ Z | a ≡ 0 (mod 9)}
D) {a ∈ Z | a ≡ 1 (mod 3)}
19. x, y, z tam sayıları,
x − 3y + 2z = 1
2x + y − 5z = 7
denklem sistemini sağlıyorsa z aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 3111
B) 4111
C) 5111
D) 6111
E) Hiçbiri
20. 9, 99, 999, . . . dizisi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Öyle bir n tam sayısı vardır ki, n’den büyük her asal sayı, bu dizinin
sonsuz çoklukta terimini böler.
B) Her n pozitif tamsayısı için, bu dizinin n den çok sayıda farklı asal
sayı ile bölünen bir terimi vardır.
C) Sonsuz çoklukta asal sayı, bu dizinin sonsuz çoklukta terimini böler
D) Bu dizinin hiç bir terimini bölmeyen asal sayılar sonlu sayıdadır
E) Hiçbiri
4
28.10.2006
1.
3n − 2
kesrinin tam sayı olmasını sağlayan tüm n tam sayılarını bun−3
lunuz.
2. n 6= 1, 2 pozitif tam sayı olmak üzere [n2 − 3n + 2, n − 1]’i bulunuz.
3. Her p asal sayısı için
1 1
1
+ =
x y
p
denkleminin pozitif tam sayılarla tam üç çözümü bulunduğunu, asal
olmayan p’ler için üçten fazla çözüm bulunduğunu kanıtlayınız.
4. n pozitif tam sayı olmak üzere [32n + 42, 38n + 50]’yi bulunuz.
5. 2n’den büyük olmayan her n + 1 pozitif tam sayıdan biri diğerine bölünen ikisinin bulunduğunu gösteriniz.
6.
(n + 1)(n + 2) . . . (2n)
çarpımı 2m ’ye bölünüyorsa, m en fazla kaç olabilir?
7.
x2 − 2y 2 + 8z = 3
denkleminin pozitif tam sayı köklerinin bulunmadığını gösteriniz.
8.
4xy − x − y = z 2
denkleminin pozitif tam sayı köklerinin bulunmadığını gösteriniz.
9.
y 2 = x3 + 7
denkleminin tam sayılarla çözümünün bulunmadığını kanıtlayınız.
10. n’in tüm pozitif tam değerlerinde 3n+4 ve 4n+5 sayılarının aralarında
asal olduğunu gösteriniz.
11. n > 3 tam sayı olmak üzere, (n2 − 4n + 7, n − 3)’ün alabileceği tüm
değerleri bulunuz.
5
12. x3 −3 sayısı x−3’e bölünecek şekilde kaç tane tam x 6= 3 sayısı bulunur?
13. n bir tam sayı olmak üzere
gösteriniz.
12n + 1
kesrinin sadeleştirilemeyeceğini
30n + 2
14. n pozitif tam sayı olmak üzere [2n − 1, 2n + 1]’i bulunuz.
15.
p2 − 2q 2 = 1
eşitliğini sağlayan tüm p, q asal sayılarını bulunuz.
16.
x2 + y 2 = x2 y 2
denkleminin x = y = 0 dişinda tamsayı çözümünün bulunmadığını
kanıtlayınız.
17.
x2 − 3y 2 = 17
denkleminin tüm tamsayı çözümlerini bulunuz.
18.
2xy + 3y 2 = 24
denkleminin tüm tamsayı çözümlerini bulunuz.
19.
x + y = x2 − xy + y 2
denkleminin tüm tamsayı çözümlerini bulunuz.
20.
4 · abcd = dcba
eşitliğini sağlayan dört basamaklı abcd sayısını bulunuz.
21. m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere,
n + (n + 1) + . . . + (n + m) = 1000
eşitliğini sağlayan kaç (m, n) sıralı ikilisi vardır?
6
04.11.2006
1.
1, 2, 3, . . . , 1986
sayıları herhangi sırayla yazılarak çok basamaklı bir sayı elde edilmiştir.
Bu sayının bir tam sayının küpü olamayacağını gösteriniz.
2.
n2 + 19n + 92
sayısının tamkare olmasını sağlayan tüm n tam sayılarını bulunuz.
3. 11 tane 1 ile başlayan 20 basamaklı bir sayının bir tamkare olamayacağını gösteriniz.
4. n pozitif tam sayısı için 2n + 1 ve 3n + 1 sayıları tamkare ise, n’in 40’a
bölündüğünü kanıtlayınız.
5. 3n sayısının sonuncudan bir önceki basamağının çift sayı olduğunu gösteriniz.
6. 3’den büyük olan her p ve q asal sayıları için p2 − q 2 farkının 24’e
bölündüğünü gösteriniz.
7.
x3 + 3 = 4y(y + 1)
denkleminin tamsayı çözümünün bulunmadığını gösteriniz.
8.
a2 + b 2 + c 2
toplamı 9’a bölünüyorsa, ya a2 − b2 ’nin, ya b2 − c2 ’nin, yada a2 − c2 ’nin
9’a bölündüğünü gösteriniz.
9.
a2 + ab + b2
sayısı 9’a bölünüyorsa, a ve b sayılarının ikisinin de 3’e bölündüğünü
gösteriniz.
10. a2 + b2 toplamı 3’e bölünüyorsa, a ve b’nin de 3’e bölündüğünü gösteriniz.
7
11. n ≡ 1 (mod 2) ise, n2 ≡ 1 (mod 8) olduğunu gösteriniz.
12.
3n − 1, 5n ± 2, 7n − 1, 7n − 2, 7n + 3
şeklinde yazılabilen sayıların tamkare olmadıklarını gösteriniz.
13. OBEB(6, n) = 1 ise, n2 − 1’in 24’e bölündüğünü gösteriniz.
14. n sayısı iki tamkarenin toplamı ise, 2n’in de iki tamkarenin toplamı
şeklinde yazılabileceğini gösteriniz.
15. x2 + 2y 2 bir tek asal sayı ise, bu sayının 8n + 1 veya 8n + 3 şeklinde
olduğunu gösteriniz.
16.
a5 + b5 + c5 + d5 + e5
sayısı 25’e bölünüyorsa, a · b · c · d · e çarpımının 5’e bölündüğünü gösteriniz.
17.
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = y 2
denkleminin pozitif tam sayı kökünün bulunmadığını kanıtlayınız.
18.
16, 1156, 111556, 11115556, . . .
şeklinde olan her sayının bir tam sayının karesi olduğunu gösteriniz.
19. 600 tane 6 ve herhangi sayıda 0’ların yardımıyla yazılmış bir sayının
hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız.
20. Aşağıdaki sayılardan hangisi
(a3 − 1)a3 (a3 + 1)
sayısını a’nın en az bir tamsayı değeri için bölmez?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) Hiçbiri
21.
y 2 = 1 + x + x2
denkleminin tüm tamsayı köklerini bulunuz.
8
11.11.2006B
1. 6’dan büyük her tam sayının aralarında asal olan 1’den büyük iki
sayının toplamı şeklnde yazılabileceğini gösteriniz.
2. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5’ tir. Bu
sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız.
3. Her n > 1 tam sayısı için n4 +4n sayısının bileşik olduğunu kanıtlayınız.
4. 1019 ’dan küçük olan ve nn + 1 şeklinde olan tüm asal sayıları bulunuz.
5. 2n ve 5n sayıları aynı rakamla başlıyor. Bu rakam nedir?
6. N sayısının basamakları toplamının 55 N sayısının basamakları toplamının 5 katından fazla olamayacağını kanıtlayınız.
7. n pozitif tam sayısının ondalık yazılımının basamakları toplamı 111,
7002 · n sayısınınki de 990 ise, 2003 · n sayısının ondalık yazılımının
basamkları toplamı en çok kaç olabilir?
8. m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere, m, m + 1, . . . , m + n sayılarından yalnızca m ve m + n’nin ondalık yazılımlarındaki basamakların
toplamları 8 ile bölünüyorsa, n en çok kaç olabilir?
9. Bir n ≥ 2 tam sayısı için n | (2n − 2) ise, m = 2n − 1 için de
m | (2m − 2)
olduğunu kanıtlayınız.
10. m > n olmak üzere her m, n ∈ N0 için
22 + 1 ve 22 + 1
m
n
sayılarının aralarında asal olduğunu kanıtlayınız.
11. Her m, n ∈ N için
2m − 1 ve2n − 1
sayılarının OKEK’ini bulunuz.
12. a > 4 bileşik sayı ise, a | (a − 1)! olduğunu kanıtlayınız.
9
13. p > 5 asal sayı ise,
(p − 1)! + 1 = pm
eşitliğini sağlayan hiçbir m pozitif tam sayısının bulunmadığını kanıtlayınız.
14. a, b ∈ Z sayıları için (a, b) = 1 ve 2 | (ab) ise,
(a + b, a2 + b2 ) = 1
olduğunu kanıtlayınız.
15. a, b, c, d tam sayılar olmak üzere ac, bd, bc + ad sayıları bir m pozitif tam sayısına bölünür. bc ve ad sayılarının da m’ye bölündüğünü
kanıtlayınız.
16. K sayısının basamakları toplamının 8K sayısının basamakları toplamının 8 katından fazla olamayacağını kanıtlayınız.
17. n pozitif tam sayısının basamakları toplamı 100, 44n sayısının basamakları toplamı 800’dür. 3n sayısının basamakları toplamı en fazla kaç olabilir?
18. a1 , a2 , . . . , a7 tam sayıları için
a31 + a32 + . . . + a37 ≡ 0
(mod 9)
ise,
olduğunu kanıtlayınız.
a1 a2 . . . a7 ≡ 0 (mod 3)
19.
a2 + 3a + 5 ≡ 0 (mod 121)
denkliğini sağlayan hiçbir a tam sayısının bulunmadığını kanıtlayınız.
20. 1, 2, 3, . . . 12 sayıları bir çember boyunca, art arda gelen her a, b, c sayısı
için b2 − ac farkı 13’e bölünecek şekilde dizilebilir. Kanıtlayınız.
10
18.11.2006B
1. x3 + 8x2 − 6x + 8 = y 3 denklemini sağlayan tüm negatif olmayan (x, y)
tam sayı ikililerini bulunuz.
2. Her n pozitif tam sayısı için 19 · 8n + 17 sayısının bileşik olduğunu
kanıtlayınız.
3. Her n pozitif tam sayısı için nn − n2 + n − 1 sayısının (n − 1)2 ’ye
bölündüğünü kanıtlayınız.
4. a ve b tam sayıları (a, 65) = (b, 65) eşitliğini sağlıyorsa, a12 −b12 farkının
65’e bölündüğünü kanıtlayınız.
5. Aşağıdaki denkliği sağlayan tüm p asal sayılarını bulunuz.
2
5p + 1 ≡ 0
(mod p2 )
6. m > 1 tek sayısı için 2φ(m)−1 sayısı m’ye bölindüğünde elde edilen kalanı
bulunuz.
7. m bir pozitif tam sayı ve a tam sayısı da m ile aralarında asal olsun.
an ≡ 1
(mod m)
denkliğini sağlayan en küçük n sayısının φ(m)’yi böldüğünü kanıtlayınız. Ayrıca negatif olmayan her r, s tam sayıları için aşağıdakileri
kanıtlayınız.
ar ≡ as
(mod m)
ar ≡ 1
ancak ve ancak
r≡s
ancak ve ancak
(mod m)
(mod n)
n | r.
8. Aşağıdaki a sayılarından hangisi için na ≡ n (mod a) bağıntısını sağlamayan en az bir n tamsayısı vardır?
A) 667
B) 561
C) 547
D) 503
E) 491
9. p ≡ 3 (mod 4) olmak üzere p bir asal sayı ise, her a ve b tam sayıları
için
a2 + b2 ≡ 0 (mod p)
denkliğinin sadece a ≡ b ≡ 0 durumunda sağlandığını kanıtlayınız
11
6n+2
10. Her n pozitif tam sayısı için 22
layınız.
+21 sayısının bileşik olduğunu kanıt-
11. n pozitif tam sayı olmak üzere 10n + 3 şeklinde yazılabilen tam sayılar
arasında sonsuz tane bileşik sayı bulunduğunu kanıtlayınız.
12. Tüm n pozitif tam tek sayıları için n | (2n! − 1) olduğunu kanıtlayınız.
13. Her p asal sayısı için, n pozitif tam sayı olmak üzere, p’ye bölünen
sonsuz tane
2n − n
şeklinde olan sayı bulunduğunu kanıtlayınız.
14. Birbirinden farklı her p ve q asal sayıları için aşağıdaki denkliğin sağlandığını kanıtlayınız.
pq−1 + q p−1 ≡ 1 (mod pq)
15. (ABC)7 = (CBA)9 ise, C kaçtır?
16. m, n tam sayılar olmak üzere |36m − 5n | sayısının alabileceği en küçük
değeri bulunuz.
17. 19x3 − 84y 2 = 1984 denkleminin tam sayı köklerini bulunuz.
18. Doğal sayılardan tamkarelerin atılması ile elde edilen
2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, . . .
dizisinin 1994’üncü terimi nedir?
A) 2036
B) 2037
C) 2038
D) 2039
E) 2040
19. p ve p2 + 2 asal sayılarsa, p3 + 3 sayısının en çok kaç asal böleni olabilir?
2
3
2006
20. 3+32 +32 +32 +. . .+32
21. 5n ’nin
toplamının, 11’e bölümünden kalan kaçtır?
2006!
sayısını bölmesini sağlayan en büyük n tam sayısı kaçtır?
(1003!)2
12