lġneer bağımlılık üzerġne bġrkaç söz

LĠNEER BAĞIMLILIK ÜZERĠNE BĠRKAÇ SÖZ
V bir K cismi üzerinde n boyutlu bir vektör uzayı olsun.
U={u1,u2,…,um} V kümesi verilsin.
c1.u1+ c2.u2+...+cm.um=0V
iken c1=c2=…=cm =0K oluyorsa
U kümesine lineer bağımsız küme ui vektörlerine de lineer bağımsız vektörler denir.
c1.u1+ c2.u2+...+cm.um=0V iken en az bir i değeri için ci 0K ise U kümesine lineer bağımlı
küme ui vektörlerine de lineer bağımlı vektörler denir.
Teorem: 0V vektörünü içeren her küme lineer bağımlıdır.
Teorem: n boyutlu bir uzayda n+1 vektör lineer bağımlıdır.
TANIM: n boyutlu bir uzayda lineer bağımsız n tane vektöre Vektör uzayının bir bazıdır
denir.(V vektör uzayını n tane lineer bağımsız vektör gerer ya da üretir.)
Teorem: n boyutlu bir V vektör uzayında m tane vektör V uzayını geriyorsa m ≥n dir.
Buna göre K=IR
V=IR2 alınırsa;
{(1,0),(0,1)} lineer bağımsız küme olup (1,0) ve (0,1) vektörleri IR2 yi üretir.
{(1,1),(0,1)} lineer bağımsız küme olup (1,1) ve (0,1) vektörleri IR2 yi üretir.
{(1,–2),(–2,4)} lineer bağımlı küme olup (1,–2),(–2,4) vektörleri bir boyutlu U={(x,y)| y=–2x}
uzayını üretir ama IR2 nin tamamını üretemez.
{(1,0),(0,1),(1,2)} lineer bağımlı kümedir ancak bu vektörler yinede IR2 yi üretir. Yani IR2
deki her vektör bu üç vektörün lineer birleşimi olarak yazılabilir.(ancak bu yazılış tek türlü
değildir)
K=IR
V=IR3 alınırsa;
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} lineer bağımsız küme olup (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) vektörleri IR3’ü
üretir.
{(1,–2,1),(2,–4,–2),(–3,6,–3)} lineer bağımlı küme olup (1,–2,1),(2,–4,–2),(–3,6,–3)
vektörleri bir boyutlu U={(x,y,z)| x=k , y=–2k z=k } uzayını(doğrusunu) üretir ama IR3’ü yada
IR2’yi üretemez.
{(1,–2,0),(1,4,–1),(2,2,–1)} lineer bağımlı küme olup (1,–2,0),(1,4,–1),(2,2,–1) vektörleri iki
boyutlu U={(x,y,z)| y+2x+6z=0 } uzayını(düzlemini) üretir ama IR3’ün tamamını üretemez.
İ:K(2010)