Mahmut KOÇAK

Kütle Merkezi
Örnek 1.
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
STATİK MOMENT VE KÜTLE MERKEZİ
Örnek
Not
Örnek
c 2008 mkocak@ogu.edu.tr
Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008
http://www2.ogu.edu.tr/~mkocak/
Sunum Tarihi: Nisan 17, 2008
2/19
Kütle Merkezi
Bir Boyutlu Kütlenin Statik Momenti ve Kütle Merkezi
I. Maddesel noktaların oluşturduğu sistemin statik momenti ve kütle merkezi:
Şekil .P? de görüldüğü gibi bir ince çelik metal üzerine 0 noktasına uzaklıkları x i ve kütleleri m i olan n tane
maddesel nokta yerleştirelim. Bu durumda bu sistemin toplam kütlesi m =
n
m i olur. Her bir kütle çelik
i =1
çubuğu aşağı doğru iter. Her bir i için x i m i değerine 0 noktasına göre m i kütlesinin momenti veya statik
momenti bazen de birinci momenti denir.
n
x i m i değerine sistemin (m nin ) 0 noktasına göre momenti
i =1
veya statik momenti bazen de birinci momenti denir. Böylece sistemin herhangi bir x noktasına göre statik
momenti
n
i =1
merkezi
n
i =1
(x − x i ) m i olur. Bu durumda
n
(x − x i ) m i = 0 ise çelik çubuk dengede olur. O halde kütlenin
i =1
(x − x i ) m i = 0 özelliğini sağlayan x noktasıdır. Bu nokta şu şekilde bulunur.
n
i =1
(x − x i ) m i = 0 ise
Kütle Merkezi
Örnek 1.
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
Kütle Merkezi
3/19
0=
n
(x − x i ) m i =
i =1
n
x mi −
i =1
olur. Böylece
mi −
n
i =1
yani
xi mi = x
i =1
n
x
n
i =1
i =1
xi mi
i =1
olur. Şekil .P? ye bakınız.
Örnek 1.
xi mi
=
mi
xi mi
i =1
Kütle Merkezi
n
i =1
n
mi −
n
xi mi = 0
n
x=
n
i =1
m
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
Kütle Merkezi
4/19
II. Değişken yoğunluklu maddesel çubuğun statik momenti ve kütle merkezi:
Şimdi değişken yoğunluklu bir boyutlu l uzunluğunda bir maddesel çubuğun (örneğin ince bir telin) statik momentini ve kütle merkezini bulalım. Şekil .P? de görüldüğü gibi reel eksen üzerine yerleştirelim. Maddesel çubuğun
yoğunluğu x in sürekli bir ρ : [0, l ] → fonksiyonu olarak verilsin. [0, l ] aralığının bir bölüntüsü
P = {0 = x 0 ,x 1 ,x 2 , · · · ,x i −1 ,x i , · · · ,x n −1 ,x n = l }
ve x i = x i − x i −1 olsun. Bu durumda maddesel çubuğun [x i −1 ,x i ] aralığındaki kütlesi yaklaşık olarak ρ(t i )Δx i
olur. Bu durumda maddesel çubuğun [x i −1 ,x i ] arasındaki parçasının x noktasına göre statik momenti t i ∈ [x i −1 ,x i ]
olmak üzere
ρ(t i ) (x − t i ) Δx i
olur. Bu durumda maddesel çubuğun x noktasına göre statik momenti yaklaşık olarak
n
ρ(t i ) (x − t i ) Δx i
i =1
olur. Böylece maddesel çubuğun dengede olması için
n
i =1
olmalıdır.
ρ(t i ) (x − t i ) Δx i = 0
Kütle Merkezi
Örnek 1.
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
Kütle Merkezi
5/19
Bu durumda
0=
n
ρ(t i ) (x − t i ) Δx i = x
i =1
n
ve dolayısıyla
n
x
ρ(t i )Δx i =
i =1
olur. O halde
P→0
x
n
ρ(t i )t i Δx i
ρ(t i )Δx i = lim
P→0
i =1
yani
ρ(t i )t i Δx i
i =1
i =1
n
x lim
l
ρ(x ) d x =
0
l
Kütle Merkezi
n
l
x=
0
ρ(t i )t i Δx i
x ρ(x ) d x
x ρ(x ) d x
0
l
Örnek 1.
i =1
0
olur. Buradan
elde edilir.
ρ(t i )Δx i −
i =1
n
ρ(x ) d x
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
Kütle Merkezi
6/19
Buna göre çubuğun 0 noktasına göre statik momenti
S0 =
l
x ρ(x ) d x
0
olur. Böylece çubuğun kütlesi
l
m=
ρ(x ) d x
Kütle Merkezi
Örnek 1.
0
olmak üzere kütle merkezi
l
x=
l
0
olur. Buradan S 0 = m x olur.
ρ(x )x d x
0
=
ρ(x ) d x
S0
m
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
7/19
Örnek 1.
Şekil .P? deki maddesel noktaların kütleleri sırasıyla 5, 8, 6, 12, 4, 2, 6, 3, 10 olduğuna göre bu dokuz maddesel noktanın oluşturduğu sistemin kütle merkezini bulalım.
9
xi mi
x=
i =1
9
mi
2 × 5 + 3 × 8 + 5 × 6 + 6 × 12 + 8 × 4 + 9 × 2 + 11 × 6 + 13 × 3 + 14 × 10 431
=
=
= 7.6964
5 + 8 + 6 + 12 + 4 + 2 + 6 + 3 + 10
56
i =1
olur.
Örnek 1.
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
Örnek 2.
Uzunluğu 2 metre ve yoğunluğu p (x ) =
Kütle Merkezi
x3
fonksiyonu ile verilen çubuğun kütle merkezini bulalım.
4
Örnek 2.
8/19
2
m=
x3
1
dx =
4
4
0
ve
2
S0 =
0
2
1 x 4 2
x dx =
=1
4 4 0
3
0
x3
1
x dx =
4
4
2
x4 dx =
1 x 5 2 8
=
4 5 0 5
0
8
dir. Bu durumda S 0 = m x olduğundan x = metre olur. Şekil .P? ye bakınız.
5
Kütle Merkezi
Örnek 1.
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
9/19
İki Boyutlu Kütlenin Statik Momenti ve Kütle Merkezi
I. Maddesel noktaların oluşturduğu sistemin statik momenti ve kütle merkezi:
Düzlemde (x i , y i ) noktalarına yerleştirilmiş kütleleri m i olan n tane maddesel noktaların oluşturduğu sistemi
düşünelim. Bu sistemin toplam kütlesi
m=
n
Kütle Merkezi
mi
Örnek 1.
i =1
dir. Bu durumda bu sistemin x -eksenine ve y -eksenine göre olmak üzere iki statik momenti vardır. Sistemin
x -eksenine göre statik momenti S x =
n
i =1
y i m i ve y -eksenine göre statik momenti S y =
n
i =1
x i m i dir. Dolayısıyla
sistemin dengede olması için her iki statik moment de 0 olmalıdır. Sistemin x = x doğrusuna göre statik momenti
Sx =
n
x − yi m i
i =1
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
I. Maddesel noktaların oluşturduğu sistemin statik momenti ve kütle merkezi:
10/19
ve sistemin y = y doğrusuna göre momenti
Sy =
n
y − xi mi
i =1
dir. Bu durumda
Sx =
ise S x =
n
i =1
n
x − yi m i = 0
Kütle Merkezi
i =1
Örnek 1.
y i m i olduğu göz önüne alınırsa
n
x=
yi m i
i =1
n
i =1
ve
Sy =
n
i =1
=
mi
Sx
m
y − xi mi = 0
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
11/19
ise S y =
n
x i m i olduğu göz önüne alınırsa
i =1
n
y=
xi mi
i =1
n
=
mi
Sy
m
i =1
Kütle Merkezi
olur. Bu durumda x = x ve y = y doğrularının arakesit noktası olan G = (x , y ) noktası sistemin kütle merkezidir.
Şekil .P? ye bakınız.
Örnek 1.
II. Fonksiyon grafikleri ile sınırlı sabit yoğunluklu maddesel düzlem levha
parçasının statik momenti ve kütle merkezi:
Örnek
Not
[a ,b ] aralığı üzerinde tanımlı sürekli f ve g gibi iki fonksiyonun grafikleri tarafından sınırlanan sabit yoğunluklu
homojen maddesel düzlem levha parçası C olsun. Her x ∈ [a ,b ] için f (x ) ≥ g (x ) ≥ 0 olduğunu varsayalım. Bu
durumda bu levha parçasının x -eksenine ve y -eksenine göre olmak üzere iki statik momenti vardır. Dolayısıyla
sistemin dengede olması için her iki moment de 0 olmalıdır. [a ,b ] aralığının bir bölüntüsü
P = {a = x 0 ,x 1 ,x 2 , · · · ,x i −1 ,x i , · · · ,x n −1 ,x n = b },
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
II. Fonksiyon grafikleri ile sınırlı sabit yoğunluklu maddesel düzlem levha parçasının statik momenti ve kütle merkezi:
12/19
ve x i = x i − x i −1 olsun. Bu durumda levhanın x = x i −1 ve x = x i aralığındaki parçasının x = x doğrusuna göre statik momenti
?
ye bakınız. Böylece x = x doğrusuna göre levhanın
yaklaşık olarak t i ∈ [x i −1 , x i ] olmak üzere ρ (x − t i ) f (t i ) − g (t i ) Δx olur. Şekil .P
statik momenti
Sx =
n
ρ (x − t i ) f (t i ) − g (t i ) Δx i
i =1
olur. Böylece
Sx =
n
ρ (x − t i ) f (t i ) − g (t i ) Δx i = 0
i =1
ise
n
ρx f (t i ) − g (t i ) Δx i =
i =1
yani
x
x lim
P→0
ve dolayısıyla
Örnek 1.
n
ρt i f (t i ) − g (t i ) Δx i
i =1
n
n
ρ f (t i ) − g (t i ) Δx i =
ρt i f (t i ) − g (t i ) Δx i
i =1
olur. Bu durumda
i =1
P→0
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
n
n
ρ f (t i ) − g (t i ) Δx i = lim
ρt i f (t i ) − g (t i ) Δx i
i =1
Kütle Merkezi
i =1
II. Fonksiyon grafikleri ile sınırlı sabit yoğunluklu maddesel düzlem levha parçasının statik momenti ve kütle merkezi:
b
x
ρ f (x ) − g (x ) dx =
a
b
olur. Böylece x = 0 alınırsa S y =
b
13/19
ρx f (x ) − g (x ) dx
a
ρx f (x ) − g (x ) dx olacağından m =
a
b
ρ f (x ) − g (x ) dx olduğuda göz önüne alınırsa
a
b
x=
Örnek 1.
ρx f (x ) − g (x ) dx
a
b
Kütle Merkezi
=
ρ f (x ) − g (x ) dx
Sy
m
a
Şimdi levhanın y = y doğrusuna göre statik momentini bulalım. Levhanın x = x i −1 ve x = x i doğruları arasında kalan parçasının y
?
olur. Şekil .P
ye bakınız.
Örnek
Not
Örnek
olur. Bu durumda S y = x m olur.
doğrusuna göre statik momenti,
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
f (t i ) + g (t i )
değeri f (t i ), g (t i ) noktalarının orta noktası olduğundan yaklaşık olarak
2
f (t i ) + g (t i ) ρ y−
f (t i ) − g (t i ) Δx i
2
II. Fonksiyon grafikleri ile sınırlı sabit yoğunluklu maddesel düzlem levha parçasının statik momenti ve kütle merkezi:
Böylece y = y doğrusuna göre statik moment
Sy =
olur. Böylece
Sy =
ise
n
n
f (t i ) + g (t i ) ρ y−
f (t i ) − g (t i ) Δx i
2
i =1
n
f (t i ) + g (t i ) ρ y−
f (t i ) − g (t i ) Δx i = 0
2
i =1
ρy f (t i ) − g (t i ) Δx i =
i =1
y
olur. Bu durumda
n
Kütle Merkezi
ρ
f (t i ) + g (t i ) 2
i =1
yani
f (t i ) − g (t i ) Δx i
n
n
ρ
lim
ρ f (t i ) − g (t i ) Δx i =
[ f (t i )]2 − [g (t i )]2 Δx i
P→0
P→0
2
i =1
i =1
y lim
ve dolayısıyla
y
a
olur. Böylece y = 0 ise
n
n
ρ ρ f (t i ) − g (t i ) Δx i =
[ f (t i )]2 − [g (t i )]2 Δx i
2
i =1
i =1
b
14/19
ρ
ρ f (x ) − g (x ) d x =
2
b
a
[ f (x )]2 − [g (x )]2 dx
Örnek 1.
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
II. Fonksiyon grafikleri ile sınırlı sabit yoğunluklu maddesel düzlem levha parçasının statik momenti ve kütle merkezi:
Sx =
ρ
2
b
a
[ f (x )]2 − [g (x )]2 dx olacağından m = ρ
b
15/19
f (x ) − g (x ) dx olduğuda göz önüne alınırsa
a
ρ
2
y=
b
[ f (x )]2 − [g (x )]2 dx
a
b
ρ
=
Sx
m
f (x ) − g (x ) dx
a
olur. Bu durumda S x = y m olur. Böylece kütle merkezi x = x ve y = y doğrularının arakesit noktası olan G = (x , y ) noktasıdır.
Kütle Merkezi
Örnek 1.
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
16/19
Örnek
Analitik düzlemde (3, 2), (2, −1), (−4, 3), (1, 4), (5, −3) noktalarına dağılmış ve kütleleri sırasıyla 5, 4, 8, 6, 2 olan 5
tane maddesel noktanın oluşturduğu sistemin koordinat eksenlerine göre statik momentlerini ve kütle merkezini
bulalım. Şekil .P? ye bakınız.
2 Sistemin toplam kütlesi m =
5
m i = 25 dir.
i =1
Sx
=
5
Örnek 1.
y i m i = 2 × 5 + (−1) × 4 + 3 × 8 + 4 × 6 + (−3) × 2 = 210 = 48
i =1
Sy
=
5
Kütle Merkezi
x i m i = 3 × 5 + 2 × 4 + (−4) × 8 + 1 × 6 + 5 × 2 = 245 = 7
i =1
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
ve
Sy
S x 48
7
= , y=
=
m 25 m 25
7 48
olur. Yani sistemin kütle merkezi G = (x , y ) =
dir.
,
25 25
x=
Not
17/19
Not
2 Levhanın yoğunluğu verilmemişse ρ = 1 alınır.
2 Yandaki Şekil .P? deki gibi bir levha için
d
Sx = ρ
ρ
y (f (y ) − g (y )) d y ve S y =
2
d
c
([ f (y )]2 − [g (y )]2 ) d y
ile hesaplanır. Bu durumda her y ∈ [c , d ] için g (y ) = 0 ise
d
Sx = ρ
ρ
y f (y ) d y ve S y =
2
c
d
(f (y ))2 d y
c
olur.
Örnek
y 2 = x + 9 parabolü, x -ekseni ve y -ekseni ile sınırlı homojen düzlem levhasının ikinci bölgede kalan parçasının
statik momentlerini bulalım. Şekil .P? ye bakınız.
Kütle Merkezi
Örnek 1.
c
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
Örnek
18/19
2 x
=y2
− 9 ve y ∈ [0, 3] için x ≤ 0 dır. Bu durumda
3
Sx =
y (−x ) d y = −
0
ve
1
Sy =
2
3
0
olur.
3
81 81
81
y y − 9 dy = −
−
=
4
2
4
2
0
1
x (−x ) d y = −
2
3
0
1
x2 dy = −
2
3
0
y2−9
2
dy = −
324
5
Kütle Merkezi
Örnek 1.
Örnek 2.
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
Örnek
Örnek
19/19
Örnek
y = 4 − x 2 parabolü, x -ekseni ve y -ekseni ile sınırlı homojen düzlem levhasının birinci bölgede kalan kısmının
statik momentlerini ve kütle merkezini bulalım. Şekil .P? ye bakınız.
2 Burada x =
4 − y olur.
4
4
Sx =
y x dy =
0
ve
Sy =
y
4 − y dy =
128
15
0
1
2
4
xx dy =
0
olur. Diğer yandan
1
2
m=
(4 − y ) d y = 4
16
4 − x2 dx =
3
0
3
Sx 8
olur. Bu durumda x = = ve y = = olur.
m 4
m 5
İki Boyutlu . . .
I. Maddesel . . .
II. Fonksiyon . . .
Örnek
Not
3
0
2
Sy
Örnek
Örnek