ÖABT KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde 29. yıl 2015 KPSS’ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu kolaylıkla çözebildiğini açıkladı. Komisyon ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denklemler ISBN 978-605-318-188-0 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. © Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 2.Baskı: 2015, Ankara Proje-Yayın: Neslihan Gürsoy Türkçe Redaksiyon: Aylin Doğan Dizgi-Grafik Tasarım: Kezban Öztürk Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Korza Yay. Basım San. Tic. A.Ş. Yenice Mah. No: 3 Esenboğa-Ankara 0312 342 22 08 Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 30233 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz-Diferansiyal Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında emeği geçen Sayın Kerem Köker, Fikret Hemek, Ayşegül Eroğlu, Dizgicimiz Gülnur Öcalan ve Kezban Öztürk'e teşekkürü bir borç biliriz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz deerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar... MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Alan Bilgisi Testi Yaklaşık Yüzde % 80 1 - 40 a. Analiz % 28 b. Cebir % 18 c. Geometri % 18 d. Uygulamalı Matematik % 16 Alan Eğitimi Testi % 20 Soru Numarası 41 - 50 Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz. İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ııı 1. KISIM 1. BÖLÜM: ANALİZE GİRİŞ Sayılar������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������5 Doğal Sayılar�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5 Rasyonel Sayılar�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5 Tümevarım Yöntemi��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5 Lineer (Doğrusal) Nokta Kümeleri������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 6 Mutlak Değer�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7 Komşuluk�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7 Yığılma Noktası���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7 Tam Değer������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 8 Fonksiyonlar�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������8 Bazı Özel Fonksiyonlar���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 9 Fonksiyonun Grafiği������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 10 Trigonometri������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������12 Bazı Trigonometrik Değerler������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 12 Bazı Trigonometrik Bağıntılar����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 13 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 14 Hiperbolik Fonksiyonlar�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 15 2. BÖLÜM: LİMİT Limit�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������19 Bir Fonksiyonun Limiti���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 21 Tek Yönlü Limitler����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 23 Süreklilik�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������24 Bazı Sürekli Fonksiyon Örnekleri����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 24 Süreksizlik Çeşitleri�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 24 Sürekli Fonksiyonların Özellikleri����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 25 Düzgün Süreklilik������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 26 3. BÖLÜM: TÜREV Türev������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������29 Türev Almada Genel Kurallar����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 29 Trigonometrik Fonksiyonların Türevi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 30 Ters Fonksiyonun Türevi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 30 Logaritma Fonksiyonunun Türevi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 31 Üstel Fonksiyonların Türevi��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 32 Logaritmik Türev Alma���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 32 Hiperbolik Fonksiyonların Türevi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 32 vi Parametrik Fonksiyonların Türevi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 32 Kapalı Fonksiyonların Türevi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 33 Yüksek Mertebeden Türevler������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 33 Türevin Geometrik Anlamı���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 34 Türevle İlgili Teoremler��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 35 Belirsiz Şekiller��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 39 Diferansiyeller����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 40 Eğri Çizimleri������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 42 Düşey Asimptot��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 42 Yatay Asimptot����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 43 Eğri veya Eğik Asimptot�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 43 4. BÖLÜM: İNTEGRAL Belirsiz İntegral�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������47 Bazı Fonksiyonların İntegralleri�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 47 İntegral Alma Yöntemleri������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 47 Değişken Değiştirme������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 47 Kısmi İntegrasyon Yöntemi�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 51 İndirgeme Bağıntıları������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 52 Rasyonel Fonksiyonların İntegrali���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 56 Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 58 Binom İntegralleri����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 63 Çözümlü Sorular������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 64 Belirli İntegral���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������66 İntegralde Alan Hesabı��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 68 İntegralde Hacim Hesabı������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 71 Eğri Uzunluğunun Hesabı���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 73 Dönel Yüzeyin Alanı������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 74 5. BÖLÜM: GENELLEŞTİRİLMİŞ İNTEGRALLER Genelleştirilmiş İntegraller������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 79 1. Çeşit���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������79 Kararlaştırma Testi��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 79 Kararlaştırma Testinin Limit Formu��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 79 2. Çeşit���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������80 Kutupsal Koordinatlar����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 81 Kutupsal Koordinatlarda Eğri Çizimi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 83 Gül Eğrilerinin Çizimi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 86 Kutupsal Koordinatlarda Alan Hesabı���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 87 Seriler����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������87 Geometrik Seri��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 89 Seriler İçin Yakınsaklık Testleri��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 90 vii İntegral Testi�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 90 Oran Testi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 90 Kök Testi�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 91 Limit Testi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 91 Alterne Seriler������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 92 Kuvvet Serileri��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������92 Fonksiyonların Seriye Açılması�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 93 Analiz-Uygulama������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 94 Fonksiyon Dizi ve Serileri����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 97 Düzgün Yakınsaklık ve İntegral�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 99 Düzgün Yakınsaklık ve Türev��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 100 Fonksiyon Serilerinin Düzgün Yakınsaklığı������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 100 6. BÖLÜM: n - BOYUTLU UZAY n - Boyutlu Uzay���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������107 n R 'in Topolojisi�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 108 Vektör Değerli Fonksiyonlar�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 111 Vektör Değerli Fonksiyonların Limit ve Sürekliliği��������������������������������������������������������������������������������������������������� 112 n R 'de Eğriler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 113 Vektör Değerli Fonksiyonların Türev ve İntegrali���������������������������������������������������������������������������������������������������� 114 Eğri Uzunluğu��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 116 Çok Değişkenli Fonksiyonlar������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 118 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 120 Süreklilik���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������122 Kısmi Türevler������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������123 Yüksek Mertebeden Kısmi Türevler����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 125 Zincir Kuralı������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 126 Yönlü Türevler������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������128 Kapalı Fonksiyonların Türevi���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 129 Normal Doğrusunun Denklemini Bulma����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 132 Maksimum ve Minimum������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 132 Yan Şartlı Ekstremumlar����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 135 Bölge Dönüşümleri������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 138 Fonksiyonel Bağımlılık������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 140 Skaler ve Vektör Alanları���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 141 Çok Katlı İntegraller���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������145 İki Katlı İntegralin Hesabı��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 147 İntegral İşareti Altında Türev Alma������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 149 İki Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 153 İki Katlı İntegrallerin Uygulamaları�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 156 Çözümlü Test 1������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 161 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 163 Çözümlü Test 2������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 166 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 168 Çözümlü Test 3������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 170 viii Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 172 Çözümlü Test 4������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 175 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 177 Çözümlü Test 5������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 179 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 181 Çözümlü Test 6������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 183 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 185 Çözümlü Test 7������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 188 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 190 Çözümlü Test 8������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 192 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 194 Çözümlü Test 9������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 197 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 200 Çözümlü Test 10����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 203 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 206 Çözümlü Test 11����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 209 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 211 Çözümlü Test 12����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 214 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 216 Çözümlü Test 13����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 219 Çözümler ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 222 Çözümlü Test 14����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 225 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 228 Çözümlü Test 15����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 231 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 234 Çözümlü Test 16����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 236 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 238 Çözümlü Test 17����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 243 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 245 Çözümlü Test 18����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 247 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 249 Çözümlü Test 19����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 251 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 253 Çözümlü Test 20����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 257 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 261 ix 2. KISIM 1. BÖLÜM: DİFERANSİYEL DENKLEMLER Diferansiyel Denklemler��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 273 Giriş������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 273 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 274 Genel ve Özel Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 275 Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması������������������������������������������������������������������������������������� 277 2. BÖLÜM: DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 281 Değişkenlerine Ayrılabilir Hâle Getirilebilen Denklemler���������������������������������������������������������������������������������������� 283 Homojen Diferansiyel Denklemler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 284 Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 284 Homojen Hâle Dönüştürülebilir Diferansiyel Denklemler��������������������������������������������������������������������������������������� 285 Tam Diferansiyel Denklemler������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 287 İntegrasyon Çarpanı Yardımı ile Diferansiyel Denklem Çözümü��������������������������������������������������������������������������� 289 Lineer Denklemler������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������291 Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi����������������������������������������������������������������������������������������������������� 291 Bernoulli Denklemleri������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������293 Riccati Denklemi���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������294 3. BÖLÜM: BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Birinci Mertebeden n. Dereceden Diferansiyel Denklemler������������������������������������������������������������������������������������ 299 Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denklemler���������������������������������������������������������������������������������������������� 299 Türeve Göre Çözülebilen Denklemler�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 299 x'e Göre Çözülebilen Denklemler��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 300 y'ye Göre Çözülebilen Denklemler������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 300 Clairaut Denklemi�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������301 Lagrange Denklemi����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������302 İndirgenebilir İkinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler������������������������������������������������������������������������������������� 303 4. BÖLÜM: YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Yüksek Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler���������������������������������������������������������������������������������������������� 307 Mertebe İndirgeme�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������308 Sabit Katsayılı Denklemler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 309 Farklı Reel Kökler�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������309 Katlı Reel Kökler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������310 Kompleks Kök������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������310 x Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler�������������������������������������������������������������������������������� 313 Belirsiz Katsayılar Yöntemi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 313 Parametrelerin Değişim Yöntemi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 317 Cauchy-Euler Denklemi���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������319 Çözümlü Test 1������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 321 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 323 Çözümlü Test 2������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 327 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 330 Çözümlü Test 3������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 334 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 337 Çözümlü Test 4������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 341 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 344 Çözümlü Test 5������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 348 Çözümler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 351 1. KISIM ANALİZE GİRİŞ 5 SAYILAR Doğal Sayılar N = {1, 2, 3, .....} kümesine doğal sayılar kümesi denir. m, n ∈ N iken; x + m = n biçimindeki denklemlerin çözümlerini bulunduran sayılara tam sayılar kümesi denir. Z = & ... − 2, − 1, 0, 1, 2, ... 0 1 44 2 44 3 \ Z− Z+ = N = Z− , $ 0 . , Z+ Rasyonel Sayılar p, q ∈ Z ve q ≠ 0 olsun. q . x = p biçimindeki denklemlerin çözümlerini bulunduran kümeye rasyonel sayılar kümesi denir. p Q = ' : p, qd Z, q ! 0 1 (p ve q aralarında asal) q m ∀ m ∈ Z için m = ! Q olduğundan 1 ∀ n ∈ N için; 32n+2 – 2n+1 sayısı 7 ile bölünür, gösterelim. a) n = 1 için ifadenin doğruluğunu inceleyelim. 32.1+2 – 21+1 = 34 – 22 = 81 – 4 = 77 = 7.11 olup 7 ile bölünür. b) n = k değeri için ifadenin doğru olduğunu kabul edelim. n = k + 1 değeri için de doğru olup olmadığını inceleyelim. n = k için; 32.k+2 – 2k+1 = 7.p n = k + 1 için; H I ∪ Q = R – p ∈ Z olsun. 2k+1+1 = 7.pı olur mu? 32k+4 –2k+2 = 32k+2 . 9 – 2k+1 . 2 = 32k+2 . (7 + 2) – 2k+1 . 2 = 7 . 32k+2 + 2 . 32k+2 – 2 . 2k+1 2k + 2 − 2 k + 1 ) = 7 . 32k+2 + 2. (13444 4244443 7p Z 1 Q olur. H I : irrasyonel sayılar kümesi 32(k+1)+2 = 7 . 32k+2 + 2 . 7 . pı = 7. ( 3 2k + 2 + 2p ) = 7p' sağlanır. 144424443 p' d Z H Herhangi iki rasyonel, irrasyonel, reel sayı arasında sonsuz çoklukta hem rasyonel hem de irrasyonel sayı vardır. Tümevarım Yöntemi Doğal sayılarla ilgili önermelerin ispatında kullanılan bir yöntemdir. Teorem: D ⊂ N olsun a) 1 ∈ D n ∈ N ve n H 5 olsun. 3n–1 < n! olduğunu gösteriniz. a) n = 5 için ifadenin doğru olup olmadığını inceleyelim. 35–1 < 5! ⇒ 34 < 5! ⇒ 81 < 120 ifade doğrudur. b) n = k değeri için ifadenin doğru olduğunu kabul edelim. n = k + 1 değeri için doğru olup olmadığını inceleyelim. b) k ∈ D iken k + 1 ∈ D ise bu takdirde D = N’dir. n = k için; 3k–1 < k! ............. (I) Sonuç: n = k + 1 için; 3k+1–1 < (k + 1)! P(n) doğal sayılarla ilgili bir önerme; D de bu önermenin ⇒ 3k < (k + 1)! .......... (II) doğruluk değerinin kümesi yani; II eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığını göstermeliyiz. D = {n ∈ N| P(n) doğru} olsun. ⇒ Önerme n ≥ 5 için doğrudur. Eğer; H k ∈ N ve p ∈ R olmak üzere; a) 1 ∈ D (yani önerme n = 1 için doğru) p (p − 1) . (p − 2) ...(p − k + 1) p e o= k! k b) k ∈ D iken (k+1) ∈ D (yani n = k iken önerme doğru sayısına binom katsayısı denir. iken n = k + 1 için de önerme doğru ise D = N’dir. Yani önerme tüm n ∈ N için doğrudur. Bu ispat metoduna tümevarım denir. 1 1 3 1 1 1 3 . c - 1 mc - 2 m .c - m.c - m 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 f2p= = = 6 = · = 6 3! 6 6 6 12 3 6 Eğer p = n ∈ N ise kombinasyon olur. n. (n − 1) ... (n − k + 1) n n! b l= = olur. k! (n − k)!. k! k R’nin alt kümeleri H H n n b l=b l= 1 0 n H n n b l=b l n−k k H n n n+1 b l+b l=c m k−1 k k H k > n iken b l = 0 a, b ∈ R olmak üzere; {x ∈ R : a < x < b} = (a, b) = ]a, b[ n k a, b ∈ R Lineer (Doğrusal) Nokta Kümeleri H {x: a G x G b} = [a, b] H {x: x > a} = (a, ∞) H {x: a < x G b} = (a, b] H {x: –∞ < x < ∞} = R Tanım: n∈N n n n n n n n−1 n−1 .b + ... + e + e o . bn o. a . b ` a + b j = e o. a + e o. a n−1 0 1 n A bir lineer nokta kümesi olsun. Her x ∈ A için x H a olduğunu gösteriniz. olacak şekildeki a ∈ R sayısına A’nın bir alt sınırı denir. a) n = 1 için ifadenin doğru olup olmadığını inceleyelim. Eğer ∀ x ∈ A için x G b olacak şekildeki b ∈ R sayısına a + b = a + b olup doğrudur. b) n = k değeri için ifadenin doğru olduğunu kabul edelim. A’nın bir üst sınırı denir. Aksiyom: n = k + 1 değeri için ifadenin doğru olup olmadığına Üstten sınırlı bir kümenin üst sınırları arasında bir en kü- bakalım. çüğü, alttan sınırlı bir kümenin alt sınırları arasında bir (m ∈ Z ise m + 1 ∈ Z ifadesinden yararlanarak) en büyüğü vardır. n = k için; k 0 k 1 (a + b)k = c m .a k + c m .a k − 1 .b + ... + c k+1 m .a.b k − 1 + k−1 k c m .b k ... ^ I h k n = k + 1 için; (a + b)k+1 = c k + 1 m .a k + 1 + c k + 1 m .a k + 1 − 1 .b + ... 0 1 k+1 k+1 m .a.b k + 1 − 1 + c m . b k + 1 .... (II) +c k+1−1 k+1 I ve II denklemlerini eşitlemek için I. denklemin her iki tarafını da (a + b) ile çarpalım ve denklemlerin sağ taraflarının eşitliğini kontrol edelim. k k ^ I h = c m .a k . ^a + bh + c m .a k − 1 .b. ^a + bh + ... + 0 1 k k c m .a.b k − 1 . (a + b) + c m .b k . ^a + bh k−1 k k k k k = c m .a k + 1 + c m a k .b + c m .a k .b + c m .a k − 1 .b 2 + ... 0 0 1 1 k k k k c m .a 2 .b k − 1 + c m .a.b k + c m .b k .a + c m .b k + 1 k−1 k−1 k k ifadesini II nolu denkleme eşitleyelim. Denklem doğrulandığından n = k + 1 içinde doğrudur. A = (0, 1] alt ve üst sınırlarının kümesini bulalım. A nın alt sınırlannın kümesi: (–∞, 0] A nın üst sınırlarının kümesi: (1, ∞) Tanım: Hem alttan hem de üstten sınırlı kümelere sınırlı küme denir. A sınırlı bir küme olsun. A’nın üst sınırlarının en küçüğüne en küçük üst sınırı veya supremumu denir ve eküsA veya supA ile gösterilir. A’nın alt sınırlarının en büyüğüne de en büyük alt sınırı veya infimumu denir ve ebasA veya infA ile gösterilir. A = [0, 1) ise supA ve infA diğerlerini bulalım. supA = 1 g A infA = 0 ∈ A H sup ve inf değerleri kümeye ait olmak zorunda değildir. 7 Komşuluk B = { 1 : r ∈ Q, r > 0} olmak üzere varsa supB ve infB a ∈ R ve f > 0 olmak üzere; K = {x d R: x − a 1 f} = ` a − f, a + f j r nedir, bulalım. supB yoktur ve infB = 0 kümesine a’nın f komşuluğu denir. H Eğer; supA = a ∈ A ise a’ya A’nın maksimum elemanı K 1444442444443 denir. a–f H Eğer; infA = b ∈ A ise b’ye A’nın minimum elemanı denir. a+f a K–{a} kümesine a’nın delinmiş komşuluğu denir. H supA = a olsun. Bu durumda, 1. ∀ x ∈ A için x # a 2. ∀ ε > 0 için ∃ x ∈ A verir, öyle ki x + ε > a dır. Yığılma Noktası A ⊂ R, a ∈ R olsun. 1. ∀ x ∈ A için x $ b a noktasının ∀f, f > 0 komşuluğu, A’nın a’dan farklı en az bir elemanını bulunduruyorsa a’ya A’nın bir yığılma noktası denir. Buna göre a, A’nın yığılma noktasıdır. 2. ∀ ε > 0 için ∃ x ∈ A var, öyle ki x – ε < b dir. ⇔ ∀ f > 0, A « [(a – f, a + f ) – {a}] ≠ ∅ H infA = b olsun. Bu durumda H Doğal sayılar kümesinin yığılma noktası yoktur. İrrasyonel sayılar kümesinin yığılma noktaları reel sayılar kümesidir. H Mutlak Değer Bir a ∈ R sayısının orijine uzaklığına a sayısının mutlak değeri denir ve a = ) Açıktır ki; i) a $0 a; a $ 0 biçiminde tanımlanır. − a; a 1 0 iii) Çıkmış Sorular −a = a –a G OaK aGb −a G b 3& a Gb Rasyonel sayılar kümesinin yığılma noktaları reel sayılar kümesidir. a =0+a=0 ii) a G OaK H 3 | n=0 n n$x serisinin yakınsak olduğu en geniş aralık n+2 aşağıdakilerden hangisidir? A) ` − 1, 0 j B) ` − 1, 1 j D) ` − 2, 2 j E) 8− 2, 2B iv) a.b = a . b v) a a , (b ≠ 0) = b b lim xn + 1 1 1 olmalıdır. xn lim n + 1 n+1 n + 2 $x n 11 n+3 n$x n"3 Teorem: a, b ∈ R 1.–OaK G a G OaK 2. OKaK –ObKO G Oa + bK G KaK + KbK (üçgen eşitsizliği) OaK G b ⇔ –b G a G b OaK $ b ⇔ a $ b V a G –b Sonuç: a1, ...., an ∈ R olmak üzere; Oa1 + a2 + ... + anO G Oa1K + Oa2K + ..... OanK’dir. n"3 lim n"3 x $ `n + 1j $ `n + 2j n $ `n + 3j 11 lim x 1 1 n"3 & x 1 1 olup − 1 1 x 1 1 dir. Dolayısıyla ` − 1, 1 j aralığında seri yakınsaktır. Cevap B C) (0, 1) 8 FONKSİYONLAR 1 A = ' : n d N 1 kümesinin yığılma noktası sıfır (0)’dır. n (x, y) = {{x} , {x, y}} kümesine bir x ile y’nin sıralı ikilisi denir. (x, y) ≠ (y, x), (x = y) O halde A nın yığılma noktalarının kümesi {0} dır. (x, y) = (u, v) ⇒ x = u , y = v dir. Örnek Teorem: Bir kümenin supremumu (veya infimumu) kümeye ait değilse o kümenin yığılma noktasıdır. A ≠ ∅ ≠ B herhangi iki küme olmak üzere; AXB = {(a, b) : a ∈ A , b ∈ B} dir. H AXB ≠ BXA (A ≠ B) Tanım: Bir A kümesinin en sağdaki yığılma noktasına A’nın üst limiti, en soldaki yığılma noktasına da A’nın alt limiti denir. Sırasıyla limsup A liminf A veya veya lim A , lim A ile gösterilir. H AX ∅ = ∅ H AXB nin her bir alt kümesine A’dan B’ye bir bağıntı denir. H AXA nın her bir alt kümesine A’da bir bağıntı denir. Fonksiyon A ve B iki küme f A’dan B’ye bir bağıntı olsun (f ⊂ AXB). 1.x ∈ A için (x, y) ∈ f olacak şekilde y ∈ B var ve 2. 1. A = {(–1)n : n ∈ N} olsun. limsupA = 1 liminfA = –1 2. B = {sinn: n ∈ N} olsun lim B = 1 lim B = − 1 Tam Değer Bir a ∈ R’nin tam değeri diye a’dan büyük olmayan en büyük tam sayıya denir ve "a, ile gösterilir. Buna göre, "− π, = − 4, "e, = 2 dir. 1. ∀x ∈ R için x H "x, 2. ∀x ∈ R için x = "x, + t; olacak şekilde t ∈ [0, 1) vardır. 3. ∀ m ∈ Z için "m, = m dir. 4. a, b ∈ R için $a + b . $ $a . + $b . dır. (x, y) ∈ f ve (x, z) ∈ f iken y = z ise f’ye A’dan B’ye bir fonksiyon denir. f: A B ve A f B biçiminde göste- rilir. Buradan A’ya f’nin tanım kümesi B’ye değer kümesi denir. f: A " B x " y = f` x j Tanımından f’nin A’dan B’ye bir fonksiyon olması için A’nın bir elemanı B’de birden çok elemanla eşleşmemelidir. Tanım: f, g: A → B iki fonksiyon olsun. ∀ x∈A için f(x) = g(x) ise f ve g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir ve f = g ile gösterilir. f, g : R → R f(x) = x2 – 1 ; g(x) = (x – 1) . (x + 1) olmak ' x−1 1 = 1 denklemini çözelim. x üzere, f = g dır. x−1 12 1# x 1 −1 i. 1 G 1 − & 0 G &x10 x x 1 1 ii. 1 − 1 2 & > − 1 & x 1 − 1 x x (kökleri) denir. Ç.K = (–∞,–1 ) H f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerine f’nin sıfırları Tanım: f, g : A → B iki fonksiyon olsun. (f " g) (x) = f(x) " g(x) (f . g) (x) = f(x) . g(x) (f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0 (c . f) (x) = c . f(x) , c ∈ R şeklinde tanımlanır. 9 Tanım: f : X → Y bir fonksiyon ve A ⊂ X , B ⊂ Y olsun. f(A) = {f(x) | x ∈ A} kümesine A’nın f f: R → R, f(x) = 2x + 1 örten olduğunu gösteriniz. altındaki görüntüsü ve ∀ y ∈ R için; 2x + 1 = y ⇒ 2x = y–1 ⇒ x = f–1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B} kümesine B’nin f altındaki ters olduğu için f örtendir. y−1 dR 2 görüntüsü denir. H Ters fonksiyon olmadan da ters görüntü olabilir. Özdeşlik (Birim) Fonksiyonu Teorem: f: A → A f : X → Y bir fonksiyon A, B ⊂ X olsun. Bu durumda, ∀x ∈ A için f(x) = x ise f ye birim fonksiyon denir. a) A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B) b) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) c) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) Teorem: f : X → Y bir fonksiyon E, F ⊂ Y olsun. a) E ⊂ F ⇒ f–1 (E) ⊂ f–1(F) b) f–1 (E ∩ F) = f–1(E) ∩ f–1(F) c) f–1(E ∪ F) = f–1(E) ∪ f–1 (F) IA ile gösterilir. Bileşke Fonksiyon f: A → B, g: B → C fonksiyonları veriliyor. g fonksiyonu f(A)’nın her bir y = f(x) elemanını C’nin bir z = g (f(x))’e dönüştürür. Böylece A’nın her bir x elemanını C nin bir z = g(f(x)) elemanına dönüştüren yeni bir fonksiyon elde edilmiş olur. Bu fonksiyona f ile g nin bileşkesi denir ve gof ile gös- d) f–1(E =F) = f–1(E) = f–1 (F) terilir. e) f–1(Ft) = (f–1(F))t (Ft : F nin tümleyeni) Buna göre (gof) (x) = g (f(x)) olur. g ≠ f olmak üzere ge- f) f–1(∅) =∅ Bazı Özel Fonksiyonlar Tanım: f : A ⊂ R → R biçimindeki fonksiyona reel değişkenli ve reel değerli fonksiyon denir. Eğer; f: A → B fonksiyonu, nelde gof ≠ fog dir. Tanım: f : A Æ B bir fonksiyon olsun. “f bire–birdir ⇔ ∀x, y ∈ A x ] y ise f (x) ] f (y) " “f bire–birdir ⇔ ∀ x, y ∈ A f(x) = f(y) ⇒ x = y” ∀ x ∈ A için f(x) = c (c: sabit) ise f’ye sabit fonksiyon denir. Eğer ; f(A) = B ise f’ye örten fonksiyon denir. Buna göre, “f örtendir ⇔ ∀ y ∈ B için f(x) = y olacak şekilde en az bir x ∈ A vardır.” Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir. Yani f(A) ⊂ B dir. f : (–∞, 0] → [0, ∞) , f(x) = x2 fonksiyonunun 1 : 1 ve örten olduğunu gösterelim. 2 2 1 – 1 lik; ∀ x1, x2 ∈ (–∞,0] olsun f(x1) = f(x2) & x 1 = x 2 & x1 = x2 & f , 1: 1 dir. örtenlik : “ f örtendir ⇔ ∀ y ∈ [0, ∞) için f(x) = y olacak f: R → [0, ∞), f(x) = x2 örten olduğunu gösteriniz. şekilde en az bir x ∈ (–∞, 0] vardır. ∀ y ∈ [0,∞) için; f(x) = y ⇒ x2 = y x2 = y ⇒ x = " y ∈ R olduğu için f örtendir. ⇒ x = − y ∈ (–∞, 0] olup böylece f örtendir.