TBİ-4 Dinamik
advertisement
DERSİN KODU: EBP103 DERSİN ADI:TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ BÖLÜM: DERS HOCASI: PROF.DR.HÜSEYİN ÜNVER BÖLÜM 4: DİNAMİK Bölüm Hedefi Kinematik ünitesinde, hareket olgusu, nedenleri düşünülmeksizin yer değiştirme, hız ve ivme cinsinden incelenmiştir. Bu ünitede ise, harekete neyin neden olduğu üzerinde durulacak; bir parçacığı ivmelendiren sebebin ne olduğuna, niçin bazı cisimlerin diğerlerinden daha fazla ivmelendiğine dair sorulara cevap aranacaktır. Bu kapsamda kuvvet, kütle ve ivme kavramları ve bu kavramlar arasındaki ilişkiler incelenecek; Newton’un Hareket Kanunları ve bu kanunların uygulamaları çeşitli örneklerle işlenecektir. Ağırlık, normal kuvvet ve sürtünme kuvveti kavramları tanımlanacaktır. Ayrıca düzgün dairesel hareketin dinamiği tartışılacak ve evrensel çekim yasası konusunda bilgi verilecektir. 4.1. Kuvvet Herkes günlük yaşamında gerçekleştirdiği gözlemler ve deneyimleri ışığında kuvvet kavramına ilişkin bir fikre sahiptir. Bir cisme vurduğunuzda, onu fırlattığınızda, çektiğinizde ya da ittiğinizde, cisme kuvvet uygularsınız. Bu kuvvet bazen cismi harekete geçirirken bazen de uyguladığınız kuvvet cismin hareketlenmesine yetmeyebilir. Yine bazı durumlarda kuvvet, üzerine uygulandığı cismin şeklinde değişimler meydana getirebilir. Cismin hızındaki değişmeye ancak bir kuvvet neden olabilir. Buna göre düzgün doğrusal hareket (sabit hızlı) yapan bir cisme, hareketinin devamı için bir kuvvet uygulanması gerekmez. Yerkürenin çevresinde dönen Ay’ın hızı sabit değildir. Ay’ın hızındaki bu değişmenin, Yerküre’nin Ay’a uyguladığı kuvvetten kaynakladığı uzun yıllardır bilinmektedir. Ancak bu kuvvetin, yukarıda bir cisme uygulanan kuvvetler için sıralanan etkilerin aksine, temas gerektirmediğine dikkat edilmelidir. Hepimiz günlük yaşamımızda pek çok kuvvetle karşılaşırız. Fakat orijin itibariyle bu kuvvetlerin çoğu aynı türdendir. Kuvvetleri; elektrik kuvvetleri, kütle çekimi kuvvetleri, magnetik kuvvetler, çekirdek kuvvetleri, zayıf etkileşim kuvvetleri olmak üzere beş sınıfta toplamak mümkündür. 1-Elektrik kuvvetleri: Bir cismi elimizle ittiğimiz zaman ortaya çıkan kuvvet elektrik kuvvetidir. Bu elektrik kuvveti elimizdeki atomlarda bulunan negatif elektronlar ile cismin atomlarındaki negatif elektronlar arasındaki etkileşmeden ortaya çıkar. Aynı şekilde otomobilin tekerlekleri ile yol arasındaki kuvvet de elektrik kuvvetidir. Karşılaştığımız kuvvetlerin pek çoğu elektrik kuvvetidir. Mekanik kuvvetler ve sürtünme kuvvetleri elektrik kuvvetleridir. 2-Kütle çekimi kuvvetleri: Kütleler arasında var olan çekim kuvvetleridir. Bu kuvvetler diğer kuvvetlerle kıyaslandığında oldukça küçüktür. Örneğin aralarında 1 metre mesafe bulunan iki tenis topu arasındaki kütle çekim i kuvveti 10~-12 newton mertebesindedir. 3-Magnetik kuvvetler: Hareketli elektrik yükleri tarafından oluşturulan bu kuvvetler kütle çekimi kuvvetleri ile kıyaslandığında çok büyüktür. Magnetik kuvvetler elektrik kuvvetleriyle çok yakından ilişkilidir. 4-Çekirdek kuvvetleri: Diğer bütün kuvvetlerden çok şiddetlidirler. Bu kuvvetler atom çekirdeğindeki protonları bir arada tutmaktan sorumludurlar. Atomların çekirdekleri bazen, bazı parçacıklar kazanarak veya kaybederek değişirler. O zaman çok büyük bir nükleer enerji açığa çıkar. Örneğin 1 gramlık nükleer yakıt, 16 ton kömürün verdiği enerjiyi vermektedir. Günümüzde nükleer enerji santralleri, elektrik gereksiniminin bir kısmını sağlamaktadırlar. 5-Zayıf etkileşim kuvvetleri: Günümüz fizikçileri çekirdeğin içinde ikinci bir kuvvetin var olduğuna inanmaktadırlar. Bu kuvvet zayıf etkileşim kuvveti olarak adlandırılmaktadır. Bu kuvvetin, bazı atomların çekirdeklerinin elektron salarak başka bir atomun çekirdeğine dönüşmesinden sorumlu olduğuna inanılmaktadır. Kaynağı itibariyle farklı olan bu kuvvetler arasındaki ilişki doğanın en gizemli olaylarından birisidir. Bu kuvvetleri tek bir yasa ile açıklamak günümüz teorik fizikçilerinin en büyük rüyalarından birisidir. a) b) c) Şekil 4.1. Temas kuvvetleri a) b) Alan kuvvetleri, a) Kütle çekim kuvveti, b) Elektrostatik kuvvet, c) Manyetik kuvvet c) 4.2. Kütle Size doğru fırlatılan bir topu yakalamaya çalıştığınızı düşünün. Yakalamaya çalıştığınız topun bir basketbol topu ya da bir tenis topu olması (topların aynı büyüklükte hızlarla ilerlediğini düşünelim) durumlarından hangisinde yakalanan topun hareketi daha kolay durdurulur? Basketbol topu, hız değişimine karşı daha büyük bir direnç gösterecektir. Bir cismin, hareketinde meydana gelecek değişmeye karşı koyma (direnme) eğilimine, ilgili cismin eylemsizliği denir. Kütle, bir cismin sahip olduğu eylemsizliğin bir ölçüsüdür. SI birim sisteminde kütle birimi kilogramdır. Kütle, cismin değişmeyen bir özelliğidir ve cismin şeklinden, kütle ölçümü için kullanılan yöntemlerden bağımsızdır. Kütle skaler bir büyüklüktür. Bir cismin ağırlığı, cisme etki eden kütle çekimi kuvveti olarak tanımlanır. Bu tanıma göre kütle ve ağırlık tamamen farklı niceliklerdir ve karıştırılmamaları oldukça önemlidir. Cismin ağırlığı konumuna bağlı olarak değişebilir. Örneğin Yerkürede ağırlığı 120 N olarak ölçülen bir cismin, Ay üzerindeki ağırlığı yaklaşık 20 N olarak ölçülür. Oysa cismin kütlesi her yerde aynı değere sahiptir. 4.2. Kütle Yerkürede g = 9.80 m/s2 w = mg = 9.80 N Ayda g = 1.62 m/s2 w = mg = 1.62 N Şekil 4.2. 1 kg kütlesindeki cismin Yerküre ve Aydaki ağırlıkları 4.3. Newton’un Hareket Yasaları Masanızın üzerinde bulunan bir kitaba herhangi bir kuvvet uygulanmadığı sürece kitabın masa üzerinde hareketsiz kalacağı açıktır. Pürüzlü bir yüzeyde ya da hava veya su gibi viskoz bir ortam içinde hareket eden bir cisim, çevresi ile etkileşiminden dolayı harekete karşı bir direnç etkisinde kalır. Bu direnç, sürtünme kuvveti olarak adlandırılır (Kesim 4.6 da ayrıntılı olarak işlenecektir). Kitabı masaya yüzeyine paralel doğrultuda, sürtünme kuvvetlerini yenebilecek büyüklükte bir kuvvetle ittiğinizde, kitap uygulanan kuvvetle aynı yönde ivmelenir. Kitap hareketli iken, uygulanan kuvvetin sürtünme kuvvetine eşit ve zıt yönlü olması durumunda kitap sabit bir hızla hareket edecektir. Uygulanan kuvvet ortadan kalktığında cisim, bir süre hareket ettikten sonra sürtünme kuvvetinin etkisi ile durur. Şimdi masa ve kitap yerine buz pisti üzerinde hareket eden bir diski göz önüne alalım. Bu durumda disk ile üzerinde hareket ettiği zemin arasındaki sürtünme yok denecek kadar azdır. Disk, bir önceki örnekte olduğu gibi diski harekete geçiren kuvvet ortadan kalksa da çabucak durmayacaktır. Sürtünme tamamen ortadan kaldırılabilirse disk bir kez harekete geçtikten sonra karşı duvara çarpıncaya kadar aynı hızla hareket edecektir. 4.3.1. Newton’un Birinci Hareket Yasası 16. yüzyıldan önce yaşamış bilim adamları, maddenin durgun halinin onun doğal hali olduğunu düşünmüşlerdir. İlk kez Galileo, maddenin doğal hal ve hareketine farklı bir yorumla yaklaşmıştır. Galileo, sürtünmesiz yüzeylerde hareket eden cisimlerle ilgili bir düşünce deneyi geliştirerek, hareket halindeki cismin durmasının onun doğal hali olmadığını, hiç durmadan yoluna devam etmesi gerektiğini söylemiştir. Bu yeni yaklaşım daha sonra Newton tarafından formülize edilerek, kendi adı ile anılan Newton’un birinci hareket yasası olarak anılmış ve aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. Bir cisme bir dış kuvvet etki etmiyorsa ya da etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise, cisim durgun ise durgun kalacak, hareketli ise sabit hızla doğrusal hareketine devam edecektir. Şekil 4.5. Hareketli bir cisme etki eden net kuvvet sıfır ise cisim sabit hızla hareketine devam eder. 4.3.2. Newton’un İkinci Hareket Yasası Çok düzgün, cilalı, parlatılmış yatay bir yüzey üzerinde, sürtünme kuvvetini ihmal ederek, bir buz bloğunu ittiğinizi düşünün. Blok üzerine yatay bir kuvveti uyguladığınızda blok herhangi bir ivmesi ile hareket edecektir. Kuvvet iki katına çıkarıldığında ivme de iki katına çıkacaktır. Benzer şekilde kuvvet üç katına çıkarıldığında ivme de üç katına çıkar ve bu hal böyle devam eder. Bu gözlemler, bir cismin ivmesinin, cisme etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı olduğu sonucunu ortaya koyar. Şekil 4.7. m kütleli cisme etki eden kuvvet ile ivme arasındaki ilişki Bir cismin ivmesi, cisme etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı, cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Eylemsizlik prensibi (Newton’un birinci yasası), ikinci yasanın özel bir hali olup, sadece bileşke kuvvetin “0 “olduğu durumları açıklamaktadır. Ayrıca bu prensibin yalnızca eylemsiz gözlem çerçevelerinde geçerli olduğu vurgulanmalıdır. Daha genel bir uygulama alanı olan Newton’un ikinci yasasına “Dinamiğin Temel Prensibi” de denir. 4.3.3. Newton’un Üçüncü Yasası Bir masanın yüzeyine parmak ucunuzla bastırdığınızda masa parmağınızı geri iter ve cildinizde bir yassılaşma meydana gelir. Daha şiddetli bastırdığınızda, masanın geri itme etkisi, kuvvetteki artışa uyum gösterir ve parmağınızda yassılaşan bölgenin yüzeyi genişler. Bu basit deney, Newton’un üçüncü yasası olarak bilinen önemli bir ilkeyi ortaya koyar. Newton’un üçüncü yasası, iki cisim etkileştiğinde, ikinci cismin birinci cisme uyguladığı kuvvetinin, birinci cismin ikinci cisme uyguladığı kuvvetine eşit büyüklükte fakat zıt yönlü olduğunu ifade eder. Bu kanun, yalıtılmış tek bir kuvvetin bulunamayacağını ifade eder. Şekil 4.8. Newton’un üçüncü yasası... 4.3.3. Newton’un Üçüncü Yasası Şekil 4.9 Bir topa vurulduğunda etki ve tepki kuvvetleri teşhis edilebilir. , A cisminin B cismine uyguladığı kuvveti, kuvveti temsil etmektedir. ise B cisminin A cismine uyguladığı İster temas kuvvetleri ister alan kuvvetleri ile etkileşiyor olsunlar, iki cismin birbirine uyguladıkları kuvvetler etki tepki kuvvetleri olarak adlandırılır. Kuvvetlerden herhangi biri etki veya tepki kuvveti olarak işaretlenebilir. Etki kuvveti, büyüklükçe tepki kuvvetine eşit ve onunla zıt yönlüdür. Bütün durumlarda etki ve tepki kuvvetleri farklı cisimlere etki eder. Uygulama noktaları aynı değildir. Yani Newton ‘ un Üçüncü yasasını özetleyecek olursak; şeklinde gösterilir. 4.3.3. Newton’un Üçüncü Yasası Alıştırma 40 N’luk bir kuvvet, sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan 4 kg kütleli bir valize, şekildeki gibi yatayla 370 açı yapacak biçimde, 6 saniye süresince uygulanmaktadır. Valizin bu süre içinde alacağı toplam yol kaç metredir? (cos 370 = 0.8 olup g = 10 m/s2 alınacaktır.) 4.4. Ağırlık ve Normal Kuvvet Yerkürenin bir cisme uyguladığı kuvvet, çekim (gravitasyon) kuvveti olarak adlandırılır ve 𝐹𝑔 ile gösterilir. Yerkürenin tam olarak küresel olduğu kabul edilirse, çekim kuvvetinin yerkürenin merkezine doğru yöneldiği söylenebilir. Bir cisme etki eden çekim kuvveti cismin ağırlığı olarak bilinir. Şekil 4.10. Masa üzerinde duran bir monitöre etki eden kuvvetler... Burada n: normal kuvveti, Fg: yerin monitöre uyguladığı çekim kuvvetini, Fmt: monitörün masaya uyguladığı kuvveti, FmE ise monitörün yerküreye uyguladığı kuvveti temsil etmektedir. Yerkürenin uyguladığı çekim kuvvetinin etkisinde olsa da masa üzerinde duran bir monitör, çekim kuvveti yönünde ivmelenmez. Monitör, masa tarafından tutulduğundan ivmelenemez. Masa, monitöre aşağıdan yukarıya doğru, masa düzlemine dik doğrultuda yönelen ve genellikle 𝑛 ile gösterilen bir etki kuvveti uygular. Bu kuvvet normal kuvvet olarak adlandırılır. Normal kuvvet bir temas kuvvetidir. Fg kuvveti ile n normal kuvveti bir etki-tepki çifti değildir. Çünkü bu kuvvetlerin her ikisi de aynı cisme yani monitöre etki ederler. Normal kuvvetin etki tepki çifti Şekil 4.10. daki Fmt kuvvetidir ve masa kırılıncaya kadar Fg ile aynı büyüklüğe sahip olurlar. 4.4. Çekim Kütlesi ve Eylemsizlik Kütlesi Bir cismin kütlesini ölçmenin iki farklı yolu vardır. Bunlardan birincisi bir eşit kollu terazi kullanmaktır. Bilinmeyen kütle terazinin kefelerinden birine yerleştirilir. Diğer kefeye ise bilinen kütleler konulur. Terazi dengeye geldiği zaman her iki kefeye etkiyen yerçekimi kuvveti aynı olur. O zaman her iki kefedeki kütleler aynı olmalıdır. Bu kütle ölçme yöntemi bir karşılaştırma yöntemidir. Eşit kollu terazi ile bir kütlenin farklı yerlerde ölçülmesiyle yerçekimi kuvveti değişmesine karşın ölçülen kütlenin değeri değişmez. Bu yöntemle ölçülen kütleye çekim kütlesi denir. Bir cismin kütlesini ölçmek için ikinci yöntem ilkinden tamamen farklıdır. Bilinmeyen bir kütle sürtünmesiz yatay bir yüzey üzerine yerleştirilir. Sonra bu cisim üzerine bilinen yatay bir kuvvet uygulanarak cismin kazanacağı ivme ölçülür. Daha sonra m = F/a bağıntısından cismin kütlesi hesaplanır. Bu yöntemle ölçülen kütleye eylemsizlik kütlesi denir. Bu ikinci yöntem sürtünmesiz yüzey temini ve ivme ölçmenin güçlüğü yüzünden pek tercih edilmez. Birinci yöntem daha kolay olması yüzünden daha sık kullanılır. Çekim kütlesi ve eylemsizlik kütlesi temelden farklı kavramlardır. Bununla beraber bunlar verilen bir cisim için eşit sayısal değere sahiptir. Böylece çekim kütlesi ve eylemsizlik kütlesi arasında önemli bir bağıntı mevcuttur. 4.5. Serbest Cisim Diyagramı Düzgün yatay bir zemin üzerinde sağ tarafa doğru çekilen bir bloğu göz önüne alalım. Bloğun ivmesinin sorulduğunu varsayalım. Bloğa etki eden kuvvetlerin gösterilmesi ile elde edilen şekle serbest cisim diyagramı denir. Serbest cisim diyagramı çizilmesi, Newton yasalarının uygulanmasında önemli bir adımdır. Serbest cisim diyagramlarında yalnızca incelenen cisme etki eden kuvvetler gösterilir. Dolayısıyla yukarıda bahsi geçen blok örneğinde bloğun zemine uyguladığı kuvvet serbest cisim diyagramında gösterilmez. Şekil 4.11(a) sürtünmesiz yüzeyde sağa doğru çekilen blok (b) bloğa etki eden dış kuvvetlerin gösterildiği serbest cisim diyagramı Kuvvet bloğa bir ip ile bloğun çekilmesi yoluyla uygulanmaktadır. Uygulanan T kuvveti ipin gerilmesine neden olur. T nin büyüklüğü ipteki gerilmeye eşittir. Sadece bloğun hareketi ile ilgilendiğimizde, bloğa etki eden tüm kuvvetlerin tanımlanabilmesi gerekir. Bu tanımlama yapıldıktan sonra, Newton’un ikinci yasasının bileşenlere ayrılmış şekli sisteme uygulanabilir. X ekseni doğrultusunda bloğa sadeceT kuvveti etki etmektedir. Bu etki bloğun ivmelenmesine neden olur. Y ekseni doğrultusunda bir ivme mevcut değildir. Buna göre normal kuvvet, bloğun ağırlığına eşit ve onunla zıt yönlüdür. 4.5. Serbest Cisim Diyagramı Alıştırma 4.4 Kütleleri sırasıyla 6 ve 4 kg olan A ve B cisimleri, eğim açısı 300 olan sürtünmesiz bir eğik düzlem üzerinde, sürtünmesiz bir makaradan geçirilen iple birbirine bağlıdır. İpteki gerilme kuvveti kaç N dur? (g = 10 m/s2 alınız.) 4.6. Sürtünme Kuvvetleri Pürüzlü bir yüzeyde ya da hava veya su gibi viskoz bir ortam içinde hareket eden bir cisim, çevresi ile etkileşiminden dolayı harekete karşı bir direnç etkisinde kalır. Bu direnç, sürtünme kuvveti olarak adlandırılır. Bu kuvvet, yürüyebilmemiz, koşabilmemiz, durabilmemiz, arabaların harekete geçmesi ve durabilmesi için gerekli bir kuvvettir. Şekil 4.14. Farklı yüzeylerde sürtünme Pürüzlü bir döşemede içi dolu ve ağır bir çöp kovasını ittiğinizi düşünelim. Kovaya uyguladığınız kuvvetin şiddeti artarken, kuvvet belli bir değere ulaştığında kova aniden harekete geçer. Kova bir kez harekete geçtikten sonra kovanın hareketi daha kolay devam eder. Kovayı harekete geçirmek için gereken kuvvet, kovanın sabit hızla hareket etmesini sağlayacak kuvvete nazaran daha büyüktür. Sürtünme kuvveti, sürtünen yüzeylerin; *cinsine (metal, tahta, lastik...), *cilalı ya da pürüzlü olmasına göre değişir. Örneğin tahta üzerinde lastik, tahta üzerinde tahtadan daha büyük sürtünme kuvvetine neden olur. Bunun gibi pürüzlü yüzeyler de düzgün yüzeylerden daha büyük sürtünme kuvvetine neden olurlar. Sürtünmenin az veya çok olmasını istememiz amacımıza göre değişir, makinalar da sürtünme enerji kaybıma yol açtığı için istenmez. Buna karşılık tekerlek ile yol arasındaki sürtünmenin büyük olmasını isteriz. Örneğin bir araba virajı dönerken tekerleklerle yol arasındaki sürtünme yeteri kadar büyük değilse araba savrularak yoldan çıkar hatta devrilebilir. Arabayı çabuk durdurmak için de büyük sürtünmeye gereksinme vardır. Yürüme eylemi de sürtünme olmadan gerçekleşemez. Bir zeminde kayan cismin, zemine temas eden yüzeyinin (taban) büyüklüğü,sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü etkilemez. Dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutuyu, hangi yüzeyi üzerine yatırırsanız yatırın, onu aynı büyüklükteki bir kuvvetle çekmeye başlayabilirsiniz. Bu, cismin zeminle sürtünen yüzeyinin büyüklüğünün, sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü etkilemediği anlamına gelir. Sürtünme kuvvetinin bir özelliği de yalnızca hareket halinde ortaya çıkması ve daima harekete zıt yöne sahip olmasıdır. Sürtünme kuvveti bu yüzden hareketi durdurmaya çalışır. Cisim üzerindeki net kuvveti hesaplarken sürtünme kuvvetini daima harekete zıt yönde almamız gerekir. 4.6. Sürtünme Kuvvetleri 4.6. Sürtünme Kuvvetleri Alıştırma 4.6 Bir öğrenci, bir koli kutusu ile düzgün yüzeyli bir kalas arasındaki statik ve kinetik sürtünme katsayılarını ölçmek amacı ile bir deney tasarlamıştır. Öğrenci bu amaçla koliyi kalasın üzerine koymakta ve kalasın bir ucunu yavaş yavaş yukarı kaldırmaktadır. Koli, kalasın eğim açısı 300 ye ulaştığı anda kaymaya başlamakta ve bu andan itibaren 2 saniye içinde kalas boyunca 4 metre yol almaktadır. Buna göre ilgili sürtünme katsayılarının değerleri nelerdir? (g = 10 m/s2 alınız. Sin 30 = 0.5; cos 30 = 0.866) Koli kaymaya başlayıncaya kadar statik sürtünme etkindir. Koli kaymaya başladığı andan itibaren kinetik sürtünme katsayısı etkin olacaktır. Durgun halden kaymaya başlayan koli 2 saniye içinde 4 metre yol aldığına göre kolinin ivmesi olarak bulunur. Newton’un ikinci yasası kolinin hareketine uygulanarak kinetik sürtünme katsayısı bulunur. Eşitliğin her iki tarafında bulunan kütleler sadeleştirilerek, olarak bulunur. 4.7. Newton Yasalarının Uygulamaları 4.7.1. Eylemli Sistemlerin Dinamiği Bir otomobilde oturduğunuzu düşünün. Otomobil ivmelenerek öne doğru harekete geçtiği anda geriye doğru hareket ederek oturduğunuz koltuğa iyice yaslandığınızı hissedersiniz. Ancak sizi geriye doğru itenin ne olduğu sorulduğunda, bunu gerçek bir kuvvetle açıklayamazsınız. Otomobilin dışında duran eylemsiz bir gözlemciye göre gerçekleşen olay aslında otomobil ile birlikte ivmelenen koltuğun ilerleyerek sırtınıza yapışmasıdır. Aynı fiziksel olaya farklı eylemsiz gözlem çerçevelerinden bakan gözlemciler, olayın nedeni konusunda anlaşmaya varırlar. Örneğin otomobil sabit hızla ilerlerken (Bu durumda otomobilin eylemsiz bir referans sistemi olduğu göz önüne alınmalıdır) otomobilin içinde oturduğunuzu ve elinizdeki kalemi yukarı doğru atıp tuttuğunuzu düşünelim. Size göre kalemin hareketi düşey doğrultudadır. Otomobilin dışında bulunan ve yere göre durgun olan gözlemci, kalemin eğik atış hareketi yaptığını algılar. Ancak gözlemleri farklı olsa da her iki gözlemci kalemin hız vektörünü değiştiren etkinin kaleme etki eden yerçekiminden kaynaklandığı konusunda hemfikirdir. Ancak gözlemcilerden biri ivmeli sistemin içinde yani eylemli ise gözlediği olayın nedenine ilişkin farklı bir açıklaması olacaktır. 4.7.1. Eylemli Sistemlerin Dinamiği Olayı daha iyi anlamak için bir vagonun tavanına iple asılan m kütleli küçük bir topun, vagonun sağa doğru ivmelenerek harekete başlaması sırasında gerçekleşen hareketini irdeleyelim. İlk olarak gözlemcimiz vagonun içinde olsun. Vagonun içinde buluna ve vagona göre durgun olan eylemli gözlemci, küçük topun ilk olarak sola doğru hareket ettiğini görecektir. Oysa bunu sağlayacak gerçek bir kuvvetin varlığı söz konusu değildir. Şekil 4.18. Sağa doğru ivmelenen vagonun tavanına bağlı m kütleli topu taşıyan ipin düşey doğrultudan ayrılışı... Aracın içinde yani eylemli sistemde bulunan gözlemci, top üzerine etki eden net kuvvetin sıfır olduğunu ve ipin, hayali olarak adlandırabileceğimiz bir etki ile düşey doğrultudan ayrıldığını düşünür. 4.7.2. Düzgün Çembersel Hareketin Dinamiği m kütleli bir cismin, r uzunluğunda bir ipin ucuna bağlandığı ve yatay düzlemdeki çembersel yörüngede sabit süratle döndürüldüğü durumu ele alalım. Cismin ağırlığı, düşük (ihmal edilebilir) sürtünmeli yatay düzlemin uyguladığı normal kuvvet tarafından dengeleniyor olsun. Şekil 4.22. Çembersel yörüngede sabit süratle dönen cisim Cisim, hareketi sırasında eylemsizliğinden dolayı doğrusal bir yol boyunca hareket etme eğilimindedir. Ancak ipin cisme uyguladığı kuvvet cismin çembersel yörüngede kalmasını sağlar. Gerek böyle bir kuvvetin varlığı gerekse (sürati sabitte olsa) cismin hız vektörünün değiştiği düşünüldüğünde cismin ivmeli hareket ettiği açıktır. İpin cisme uyguladığı kuvvet, ip boyunca ve merkeze yönelmiş durumdadır. 4.7.2. Düzgün Çembersel Hareketin Dinamiği Şekil 4.23. Cisim, R yarıçaplı çembersel yörüngesi üzerinde P1 noktasından P2 noktasına kadar ilerlediğinde cismin yerdeğiştirme vektörünün büyüklüğü ∆𝑠 dir. 𝑣1 , P1 noktasında cismin hız vektörü, 𝑣2 ise cismin P2 noktasındaki hızı ve 𝑣1 = 𝑣2 =𝑣 dir. Cismin çembersel yörünge üzerinde işaretlenen P1 noktasından P2 noktasına kadar ilerlediği süreci inceleyelim. Cismin bu aralıktaki yerdeğiştirmesi Şekil 4.23. te gösterilen ∆𝑠 vektörüdür. Cismin hızı her durumda yörüngeye teğettir. Dolayısıyla cismi hareketin dönme merkezine birleştiren yarıçap vektörü ∆ϕ kadar döndüğünde, hız vektörü de ∆ϕ kadar dönecektir. Cismin hız değişimi ∆𝑣 ile gösterilmiştir. Şekil 4.23. te gösterilen iki üçgen benzer üçgenlerdir. 4.7.2. Düzgün Çembersel Hareketin Dinamiği ∆𝑣 𝑣 = ∆𝑆 𝑅 ∆𝑆 ∆𝑣 = 𝑣 𝑅 ifadeleri yazılabilir. İvme, birim zamandaki hız değişimi olduğuna göre, ∆𝑣 𝑣 ∆𝑆 ∆𝑡 𝑎Ԧ = ∆𝑡 = 𝑅 birim zamandaki yerdeğiştirme yapan cismin ivmesi, 𝑣2 𝑎𝑟 = 𝑅 ∆𝑆 ∆𝑡 = 𝑣 olduğundan, düzgün çembersel hareket olarak bulunur. Burada “r” indisi, ivme vektörünün yarıçap vektörü doğrultusunda yöneldiğini (radyal ivme) ifade etmektedir. 4.7.2.2. Merkezcil Kuvvet Konuya giriş yaparken bir ipin ucunda, çembersel yörüngede, sabit süratle, düzgün çembersel hareket yapan cismi yörüngede tutan ve cismin hız vektörünün yönünü değiştiren etkinin, ipin cisme uyguladığı kuvvet olduğunu ve bu kuvvetin dönme merkezine doğru yöneldiğini belirtmiştik. Cismin ivmesi hakkında yukarıda yapılan değerlendirmeler göz önüne alınırsa, cisme uygulanan kuvvet 𝑣2 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑟 = 𝑚 𝑅 olarak yazılmalıdır. Şimdi bu kuvvetin yönü ile ilgili tartışmamıza geri döneceğiz. Bunun için daha önce Newton’un birinci yasasını açıklarken yaptığımız eylemsizlik tanımını hatırlayalım. 4.7.2.2. Merkezcil Kuvvet Şekil 4.24. Viraja giren bir araç içindeki patenli yolcu eylemli referans sistemindedir ve araç virajı dönerken dışarıya doğru savrulduğunu hisseder. Oysa patencinin hareketine aracın dışından, eylemsiz bir gözlem çerçevesinden bakan bir gözlemci, araç viraja girerken patenciye bir kuvvet etki etmediğini ve bu nedenle patencinin eylemsizlik prensibi gereğince sabit hızla doğrusal hareketine devam ettiğini düşünür. 4.7.2.3. Düşey Düzlemde Çembersel Hareket Şekil 4.30. Bir ipin ucuna bağlı olarak düşey düzlemde çembersel bir yörüngede dolanan cismin ivme vektörü hem yarıçap vektörü doğrultusunda merkeze doğru hem de çembersel yörüngeye teğet doğrultuda yönelen bileşenlere sahiptir. Bir cismin, bir nokta etrafında, düşey düzlemde, sabit yarıçaplı bir yörüngede dönmesi durumunda cismin sürati değişken değerler alacaktır. Önceki kesimlerde, düzgün çembersel hareket yapan cismin ivme vektörünün her durumda yörüngenin merkezine doğru yöneldiğini belirtmiştik. Hareketin düşey düzlemde gerçekleşmesi durumunda ivmenin hız vektörü doğrultusunda bir bileşeni de (teğetsel ivme) olacaktır. Cismin, çembersel yörüngesi üzerindeki herhangi bir noktada sahip olacağı ivme, teğetsel ve radyal unsurların bileşkesidir. 4.8. Newton’un Evrensel Kütle Çekim Yasası Newton yerkürenin çevremizde bulunan cisimlere uyguladığı çekim kuvvetlerini ve Ay’ın Yerküre etrafındaki hareketine ait astronomik verileri çözümlerken, gezegenlerin hareketini yöneten kuvvet yasasının, Yer’e düşmekte olan bir cismi çeken kuvvet yasası ile aynı matematiksel forma sahip olduğunu ifade etmiştir. Newton, evrensel çekim yasası üzerine olan çalışmasını, 1687 yılında “Doğal Bilimlerin Matematik ilkeleri kitabında yayınlamıştır. Newton’un evrensel kütle çekim yasası, “Evrendeki her parçacık, başka bir parçacığı, kütlelerinin çarpımı ile doğru orantılı ve aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı olan bir kuvvetle çeker.” cümlesi ile ifade edilebilir. Eğer parçacıkların kütleleri m1 ve m2 ise ve parçacıklar birbirinden r gibi bir uzaklıkta bulunuyorlarsa, kütle çekim kuvvetinin büyüklüğü 𝑚1 . 𝑚2 𝐹𝑔 = 𝐺 𝑟2 hesaplanır. Burada G evrensel çekim sabiti denilen bir sabittir ve deneysel olarak ölçülmüştür. İlgili sabitin SI birim sistemindeki değeri G = 6.673 x 10-11 N.m2/kg2 dir. Sözü geçen kuvvet yasası çoğu zaman ters kare yasası olarak da anılır. Bu isimlendirme, kuvvetin büyüklüğünün parçacıklar arasındaki uzaklığın karesinin tersi ile orantılı değişmesinden kaynaklanır. Evrensel çekim kuvveti 𝑟ෞ 12 gibi bir birim vektör tanımı yapılarak vektör formunda yazılabilir. Bölüm Özeti Newton’un Hareket Kanunları: Birinci Kanun: Bir cisim üzerindeki net kuvvet sıfırsa, cismin ivmesi de sıfırdır: σ 𝐹Ԧ = 0 ise 𝑎 = 0 İkinci Kanun: Bir cisme uygulanan net kuvvet cisme ivme kazandırır ve σ 𝐹Ԧ = 𝑚𝑎Ԧ dır. İki boyutta hareket için σ 𝐹Ԧ = 𝑚 𝑎Ԧ → σ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 ve σ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 dir. Uluslararası birim sisteminde kuvvet birimi newtondur ve 1𝑁 = 1𝑘𝑔 𝑚 𝑠2 dir. Üçüncü kanun: A ve B cisimleri birbirleriyle etkileştiklerinde A’nın B’ye uyguladığı kuvvet 𝐹𝐴𝐵 ve B’nin A’ya uyguladığı kuvvet, 𝐹𝐵𝐴 ise, 𝐹𝐴𝐵 =- 𝐹𝐵𝐴 dır. Bir cismin ağırlığı, dünyanın cisme uyguladığı kütle çekim kuvvetidir: 𝑊 = 𝑚𝑔. Ԧ Ağırlık daima cisimden dünyanın merkezine doğru yönelir. Yatay bir yüzey üzerinde ağırlığı 𝑊 olan cisim duruyorsa, yüzeyin cisme uyguladığı kuvvete NORMAL KUVVET denir ve 𝑁 = −𝑊 . Bilim Tarihi Isaac Newton 25 Aralık 1642’de Woolsthorpe’ta (Lincolnshire) doğan Isaac Newton, Grantham’da King School’da okula başlamış, eğitimini 1661’den itibaren Cambridge Trinity College’da sürdürmüştür. Trinity College’dayken Isaac Barrow adında seçkin bir matematik profesöründen ders almış, öğrencisinin çok yetenekli olduğunu anlayan Barrow, kürsüsünü ona bırakmak için görevinden istifa etmiş ve böylece Newton’un öğretim üyesi olmasına ve henüz yirmi altı yaşındayken Lucasian Matematik Kürsüsü’ne seçilmesine olanak tanımıştır. Üniversitenin 1665’teki büyük veba salgını nedeniyle kapanmasından dolayı, annesinin Woolsthorpe’taki evine çekilen Newton burada evrensel çekim yasasını keşfetmiş, ışığın özellikleri ve doğası üzerine çok sayıda deney yapmış, Galileo’nun yer bilimiyle Kepler’in gök kuramını birleştiren evrensel mekaniğin ilkelerini geliştirmiştir. Newton, temel düşüncelerini ve matematiksel kanıtlarını geliştirdiği deneysel araştırma ürünü bu çalışmalarının sonuçlarını iki temel yapıtında kaleme almıştır. Önce mekaniğin ve kozmolojinin sorunlarını tartıştığı büyük yapıtı Philosophiae Naturalis Principia Mathematica’yı (Doğa Felsefesinin Matematik İlkeleri, 1687), ardından da gün ışığının bize beyaz görünmesine karşın, aslında pek çok rengin karışımından oluştuğunu belirten buluşunun yer aldığı Opticks (Optik, 1704) adlı kitabını yayımlamıştır. Bu iki kitap 17. yüzyıl biliminin gelişimini doğrudan etkileyen temel bilim eserleridir. Öyle ki Newton bu kitaplarında hem fizik bilimine doğrudan katkı getirmiş, hem de bilimin ne tür bir araştırma süreciyle ilerleyebileceği konusunda yetkin örnekler vermiştir. Yaşamının sonlarına doğru teoloji ve simya konularına da ilgi göstermiş olan Newton, hiçbir bilim adamına nasip olmayan bir üne sahip olarak 1727’de ölmüştür. Newton denilince akla gelebilecek ilk şey kütle çekimidir. Çünkü kütle çekiminin bulunması astronomi ve fizik tarihinde bir dönüm noktasıdır. Newton’dan önce Johannes Kepler (1571-1630), gezegenlerin hareketlerini açıklayan elips yörüngeleri ve mesafeler arası bağıntıları bulmuştu. Kepler Yasaları olarak bilim tarihine geçen bu bağıntılar, gezegenlerin hareketlerini kinematik olarak, yani salt matematiksel bir biçimde başarılı olarak açıklıyordu. Ancak bilimsel anlamda Kepler’in açıklaması gereken bir soru daha vardı: Neden gezegenler Güneş’in etrafında elips yörüngelerde dolanıyorlar da çekip gitmiyorlar? Bütünüyle yeni fiziğin cevaplayabileceği ve o dönemde egemen olan Aristotelesçi fizikle açıklamanın mümkün olmadığı bu soruya, Kepler’in cevap vermesi neredeyse olanaksızdı. Soru 1 A) 15 N B) 18 N C) 20 N D) 12N E) 14 N Soru 2 A) 5 kg B) 8 kg C) 3 kg D) 7kg E) 10 kg Soru 3 A) 15 N B) 18 N C) 20 N D) 12N E) 14 N Soru 4 Sürtünmesiz yatay bir masa üzerinde bulunan 4 kg kütleli bir cisim 12 newtonluk bir kuvvetle 5 saniye çekiliyor. 5 saniyenin sonunda cismin hızı ne olur? Soru 5 Yatay bir masa üzerinde bulunan 5 kg kütleli bir cisim 25 newtonluk bir kuvvetle çekildiği zaman 2 m/s2 lik bir ivme kazanmaktadır. Cisimle masa arasındaki sürtünme kuvveti nedir? Soru 6 Yatay bir düzlemde duran 2 kg kütleli bir cisim 12 newtonluk bir kuvvetle 10 saniye çekiliyor. Sürtünme kuvveti 8 newton olduğuna göre cismin 10 saniyede aldığı yol ne olacaktır? Soru 7 Sürtünmesiz yatay bir masa üzerinde bulunan 2 kg kütleli bir cisim birbirine dik Fı = 6 N ve F2=8 N luk yatay iki kuvvetle çekilmektedir. Bu cismin ivmesi nedir? Soru 8 40 N luk bir kuvvet 20 kg lık kütleli bir cisme ne kadar ivme kazandırabilir? Soru 9 1000 kg kütleli otomobilin motoru 8000 N luk bir çekiş kuvveti sağlamaktadır. Tekerleklerle yol arasındaki sürtünme kuvveti 3000 N ise bu otomobilin kalkış ivmesi nedir? Soru 10 Soru 11 Soru 12 Bir traktör en fazla 4 m/s2 lik bir ivmeyle hızlanabilmektedir. Bu traktöre kendi kütlesi kadar kütleye sahip bir römork bağlandığında kalkış ivmesi en fazla ne olur? Soru 13 Şekilde görülen eğik düzlem üzerindeki cismin kütlesi 2 kg dır. 0 =37° olduğuna göre cismin serbest bırakıldıktan 2 saniye sonra hızı ne olur? (sin37° =0,6 ve g= 10 m/s2 alınız). Soru 14
