ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
LORENTZ UZAY HAREKETLERİ VE LİE GRUPLARI
Özgür Hakan AYDOĞMUŞ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2007
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
LORENTZ UZAY HAREKETLERİ VE LIE GRUPLARI
Özgür Hakan AYDOĞMUŞ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof.Dr. Yusuf YAYLI
Bu tez bes bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde Öklid uzayında küresel hareketler, doğrultu konileri ve küresel hareketlerin doğrultu konileri ile karekterizasyonu verilmiştir.
Üçüncü bölümde, Öklid uzay hareketleri ve bu hareketlerin doğrultu konileri verilmiş; helisel hareketler ile doğruların Plücker koordinatları arasındaki ilişkiler incelenmiştir.
Dördüncü bölümde, Minkowski 3−uzayında küresel hareketler, doğrultu konileri ve
küresel hareketlerin doğrultu konileri ile karakterizasyonu verilmiştir.
Beşinci bölümde, Minkowski 3−uzayında hareketler ve bu hareketlerin doğrultu konileri verilmiş; helisel hareketler ile null olmayan doğruların Plücker koordinatları
arasındaki ilişkiler incelenmiştir.
Bu çalışmanın ikinci ve üçüncü bölümleri Karger ve Novak’ın Space Kinematics and
Lie Groups adlı eserine dayandırılmıştır.
2007, 71 sayfa
Anahtar Kelimeler : Küresel hareket, Uzay hareketi, Doğrultu konisi, Lie grubu,
Lie cebiri, Ani hareket
i
ABSTRACT
Master Thesis
LORENTZ SPACE KINEMATICS AND LIE GROUPS
Özgür Hakan AYDOĞMUŞ
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof.Dr. Yusuf YAYLI
This thesis consists of five chapters.
The first chapter is devoted to the introduction.
In the second chapter, spherical motions, directing cones and charecterization of
spherical motions with respect to directing cones in Euclidean space are given.
In the third chapter, motions in 3 dimensional Euclidean space and their directing
cones are given. Relationships between helical motions and Plücker coordinates of
straight lines are examined.
In the fourth chapter, spherical motions, directing cones and charecterization of
spherical motions with respect to directing cones in Minkowski 3−space are given.
In the fifth chapter, motions in Minkowski 3−space and their directing cones are
given. Relationships between helical motions and Plücker coordinates of nonnull
straight lines are examined.
Second and third chapters of this thesis were based on the study of Karger and Novak
called Space Kinematics and Lie Groups.
2007, 71 pages
Key Words: Spherical motion, Space motion, Directing cone, Lie group, Lie algebra, Instantaneous motion
i
TEŞEKKÜR
Bana çalışma olanağı sağlayan ve çalışmamın her safhasında yakın ilgi ve önerileri ile beni
yönlendiren danışman hocam, Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen
Fakültesi)’ya, Yardımlarını benden esirgemeyen değerli hocalarım, Prof. Dr. H. Hilmi
HACISALİHOĞLU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’na, Doç. Dr. Levent KULA (Ankara
Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya ve Araştırma Görevlisi Ali ÇEVİK (Ankara Üniversitesi Fen
Fakültesi)’e teşekkürlerimi sunarım.
Finansal desteğinden dolayı TÜBİTAK’a teşekkür ederim.
Çalışmam sırasında ellerinden gelen her türlü desteği gösteren babama ve anneme
teşekkürlerimi sunarım
Özgür Hakan AYDOĞMUŞ
Ankara, Ocak 2007
İÇİNDEKİLER
ÖZET........................................................................................................................... ..... i
ABSTRACT ............................................................................................................... .... ii
TEŞEKKÜR ............................................................................................................... ... iii
1. GİRİŞ ..................................................................................................................... ..... 1
2. ÖKLİD UZAYINDA KÜRESEL HAREKETLER .............................................. ... 3
2.1 Öklid Uzayında Temel Kavramlar ....................................................................... .. 3
2.2 Ortogonal Grup Üzerinde Sağ ve Sol Ötelemeler .............................................. .. 6
2.3 Üstel Dönüşüm ve Ani Hareketler ....................................................................... . 10
2.4 Doğrultu Konileri ve Hareketlerin Karakterizasyonu ...................................... ..13
3. ÖKLİD UZAYINDA HAREKETLER .................................................................. . 20
3.1 Kongrüansların Grup Yapısı ve Lie Cebiri ........................................................ 20
3.2 Plücker Koordinatları ve Doğrular ..................................................................... 25
3.3 Uzay Hareketleri ve Doğrultu Konileri ............................................................... ..31
4. LORENTZ UZAYINDA KÜRESEL HAREKETLER ....................................... . 36
4.1 Minkowski 3-Uzayında Temel Kavramlar ......................................................... . 36
4.2 Yarı-Ortogonal Grup Üzerinde Sağ ve Sol Ötelemeler ..................................... . 40
4.3 Minkowski 3-Uzayında Üstel Dönüşüm ve Ani Hareketler .................................44
4.4 Lorentz Hareketlerinin Doğrultu Konileri ile Karakterizasyonu .................... ..47
5. LORENTZ UZAYINDA HAREKETLER ..............................................................55
5.1 Minkowski 3-Uzayında Kongrüansların Grup Yapısı ve Lie Cebiri ............... . 55
5.2 Minkowski 3-Uzayında Plücker Koordinatları ve Doğrular ............................. . 59
5.3 Minkowski 3-Uzayında Hareketlerinin Doğrultu Konileri ............................... . 64
KAYNAKLAR.............................................................................................................. ..70
ÖZGEÇMİŞ.................................................................................................................. ..71
iv
1.GİRİŞ
Kinematik, kuvvet ve kütle kavramlarını içermeyen Mekaniğin bir dalıdır. Yani
Kinematik, sadece bir nokta veya nokta sistemi (cisim) nin zamana bağlı olarak
yer değiştirmesini inceler.
Bu tezde, ilk olarak ortogonal grubun Lie cebiri ve hareketlerle ilişkisi incelenmiştir. Cebir üzerinde adjoint dönüşümleri, Killing bilineer formu ve Braket operatörü hesaplanmıştır. Hareketlerin karakterizasyonunda önemli yeri olan hareketli
ve sabit doğrultu konileri tanımlanmış, sabit doğrultu konisi etrafında ani hareketlerin dönme matrisleri olduğu gösterilmiştir.
Buna ek olarak sabit ve hareketli
doğrultu konilerinin eğrilikleri bulunmuş, bu eğrilikler hareket karakterizasyonları
için kullanılmıştır
Öklid uzayının transformasyonlarının grubu, ortogonal dönüşümler yardımıyla incelenmiş, Lie cebiri üzerindeki Braket operatörü verilmiş, üzerinde tanımlı bilineer
formların adjoint dönüşüm altında invaryant kaldıkları gösterilmiştir.
Doğrular,
doğruların Plücker koordinatları ve helisel hareketleri arasındaki ilişkiler verilip, helisel hareketlerin Lie cebiri bulunmuştur. Daha sonra Uzay hareketlerinin doğrultu
konilerinin bazı özellikleri verilip, helisel hareket altında bir noktanın yörüngesi hesaplanmıştır.
Minkowski 3-uzayı ile ilgili temel kavramlar verilmiş, öncelikle yarı ortogonal grup
ile Minkowski 3−uzayı arasında; Öklid uzayındakine benzer bir düşünce ile Lie cebir
izomorfizmi kurularak, Braket operatörü ve Killing bilineer formu verilmiştir. Daha
sonra küresel hareket kavramı; doğrultu konileri yardımıyla verilmiş, flat olmayan
2-boyutlu uzay formları üzerinde doğrultu konileri için Darboux çatıları null eğrileri
de kapsayacak şekilde verilerek, Minkowski 3-uzayında küresel hareketler için varlık
ve teklik teoremleri verilmiştir.
Minkowski 3-uzayının kongrüansları, Öklid uzayında da olduğu gibi küresel hareketlerden yararlanarak verilmiş, null olmayan doğruların Plücker koordinatları, Bu doğruları eksen kabul eden helisel hareketler ve dönmeler Lie grubu yapısı göz önüne alı1
narak incelenmiş, bu grupların Lie cebirleri hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra
hangi durumlarda helisel hareketlerin, ani hareketlerinin yörüngelerinin, Öklidyen
veya Lorentzian helis olacağına bakılmıştır.
2
2. ÖKLİD UZAYINDA KÜRESEL HAREKETLER
2.1 Öklid Uzayında Temel Kavramlar
Bu bölümde 3-boyutlu Öklid uzayı ve bu uzayın ortogonal grubu hakkında bilgi verilmiştir. Ortogonal grubun Lie cebirinin antisimetrik matrisler olduğu, bu Lie cebiri
ile üzerinde tanımlanan Braket operatörünün, Öklid uzayı ile üzerinde tanımlı vektörel çarpımın belirttiği Lie cebir yapılarının eş yapılar olduğu gösterilmiştir. Daha
sonra bu eş yapı da kullanılarak, 3 × 3 tipindeki antisimetrik matrisler için Killing
bilineer formu hesaplanmıştır.
Tanım 2.1.1
x, y ∈ R3 olmak üzere, x, y = Ax, Ay koşulunu sağlayan, A
dönüşümüne ortogonal dönüşüm denir ve bu dönüşümlerin kümesi O(3) ile gösterilir
(Hacısalihoğlu 1983).
Lemma 2.1.1 3 × 3 tipinde reel bir matris için aşağıdakiler denktir:
i. g ∈ O(3)
ii. g t = g −1
iii. g, R3 ün ortonormal bazlarını R3 ün ortonormal bazlarına dönüştürür (Karger
and Novak 1985).
Lemma 2.1.2 O(3) ortogonal grubunun Lie cebiri


0 −x3 x2




 x3
0 −x1 


−x2 x1
0
(2.1)
tipindeki anti simetrik matrislerdir (Karger and Novak 1985).
Tanım 2.1.2 Gl(n, R) matris Lie grubunun Lie cebirini gl(n, R) ile gösterelim. Bu
3
grup üzerinde Braket operatörü [, ]
gl(n, R) × gl(n, R) → gl(n, R)
(X, Y ) → [X, Y ] = XY − Y X
ile verilir (Karger and Novak 1985).
Tanım 2.1.3 Gl(n, R) matris Lie grubu ve gl(n, R) de bu grubun Lie cebiri olmak
üzere Killing bilineer formu,
K : gl(n, R) × gl(n, R) → R
(X, Y )
→ K(X, Y ) = iz(AdXAdY )
ile verilir. Burada AdX dönüşümü
AdX : gl(n, R) → gl(n, R)
→ AdX(Y ) = [X, Y ]
Y
şeklindedir (Karger and Novak 1985).
O(3) Lie grubunun Lie cebiri o(3) ün bir bazını

0 0
0


0
0 1






X1 =  0 0 −1  , X2 =  0 0 0



0 1 0
−1 0 0


0 −1 0




,
X
=

 1
3


0
biçiminde seçebiliriz. (2.1) formunda verilmiş antisimetrik matris

0


X =  x3

−x2
−x3
0
x1
4
x2



−x1 

0
0
0



0 

0
olsun. Baz elemanları cinsinden
X = x1 X1 + x2 X2 + x3 X3
yazılabilir. o(3) Lie cebiri gl(3) Lie cebirinin bir alt cebiri olacağından üzerinde
tanımlı Braket operatörü tanım 2.1.2 de verildiği gibidir. X = x1 X1 + x2 X2 + x3 X3
ve Y = y1 X1 + y2 X2 + y3 X3 , o(3) ten alınan iki eleman olsunlar, bu durumda

0
y1 x2 − y2 x1 y1 x3 − y3 x1


[X, Y ] =  y2 x1 − y1 x2
0
y3 x2 − y2 x3

y3 x1 − y1 x3 y2 x3 − y3 x2
0





şeklinde bulunur. Bu son matrisin bileşenleri, R3 ün {e1, e2 , e3 } ortogonal bazına
3
3
göre, X =
xi ei ve Y =
yi ei vektörlerinin vektörel çarpımından elde edilir.
i=1
i=1
Böylelikle (R3 , ×) ve (o(3), [, ]) arasında bir Lie cebir izomorfizminin olduğu söylenebilir.
Şimdi de o(3) üzerindeki Killing bilineer formunu hesaplayalım. Tanım 2.1.3 ten
K(X, Y ) = iz(AdXAdY ) olduğunu biliyoruz. AdXAdY dönüşümüne karşılık gelen
matrisi hesaplamak için bu dönüşümün baz vektörleri altındaki görüntüleri;
AdXAdY (X1 ) = X × (Y × X1 ) = (−y2 x2 − y3 x3 , y2 x1 , −y3 x1 )
AdXAdY (X2 ) = X × (Y × X2 ) = (y1 x2 , −y1 x1 − y3 x3 , −y3 x2 )
AdXAdY (X3 ) = X × (Y × X3 ) = (y1 x3 , −y2 x3 , −y1 x1 − y2 x2 )
şeklinde bulunur. Şu halde
K(X, Y ) = iz(AdXAdY ) = −2X, Y olarak bulunur.
5
2.2 Ortogonal Grup Üzerinde Sağ ve Sol Ötelemeler
Tanım 2.2.1 G bir grup ve g ∈ G olsun. Bu durumda grup üzerinde sol öteleme;
Lg : G → G
x → gx
ile ve sağ öteleme de,
Rg : G → G
x → xg
ile verilir (Karger and Novak 1985).
Tanım 2.2.2 G bir Lie grubu ve Lg grup üzerinde sol öteleme, Rg de grup üzerinde
sağ öteleme olsun. G üzerinde bir vektör alanı X olmak üzere, eğer Lg (X) = X
ise X vektör alanı sol invaryanttır denir ve eğer Rg (X) = X ise X vektör alanı sağ
invaryanttır denir . Burada Lg ve Rg , sol ve sağ ötelemelerin diferensiyelidir (Karger,
Novak 1985).
Tanım 2.2.3 J ⊂ R açık bir küme ve g de
g : J → O(3)
t → g(t)
diferensiyellenebilir bir eğri olsun. Eğer her t ∈ J için g (t) = 0 ise g ye küresel
harekettir denir (Karger and Novak 1985).
Tanım 2.2.4 g(t), R3 te bir küresel hareket olsun. Bu hareketin hareketli konisel
yüzeyi
r (t) = g t
dg
dt
ve sabit konisel yüzeyi
r(t) =
ile tanımlanır (Karger and Novak 1985).
6
dg t
g
dt
Şimdi verilen hareketin parametre değişimini inceleyelim. Parametre değişimi daha
sonra konisel parametereyi tanımlarken ve hareketlerin karakterizasyonunu yaparken
sık, sık kullanılacaktır. t = t (τ ) bir parametre değişimi olsun. Bu durumda
r (τ ) = g −1 (t (τ ))
dg (t) dt
dg (t (τ ))
= g −1 (t (τ ))
dτ
dt dτ
dır. Veya daha açık olarak,
r (τ ) = r (t)
dt
dτ
r (τ ) = r (t)
dt
dτ
dır. Benzer biçimde
dır.
g (t) küresel hareketinin, hareketli doğrultu konisi R (t) aşağıdaki vektör fonksiyondur
r (t)
,
r (t)
R (t) =
sabit doğrultu konisi ise
R (t) =
r (t)
r (t)
dir.
g (t) hareketinin adjoint hareketi adg(t) ise
adg(t) X = gXg −1
ile verilir.
7
Lemma 2.2.1 g ortogonal matrisinin bileşenleri

1
0
0


g1 =  0 cos Ψ1 − sin Ψ1

0 sin Ψ1 cos Ψ1
g2
g3



= 

cos Ψ2 0 sin Ψ2
0
1
0
sin Ψ2 0 cos Ψ2











1
0
0


=  0 cos Ψ3 − sin Ψ3

0 sin Ψ3 cos Ψ3





biçimde ifade edilir. Burada g = g1 g2 g3 ve Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 Euler açılarıdır (Karger and
Novak 1985).
Lemma 2.2.2 Eğer X, (2.1) formunda bir matris ve X v de bu matrisle eşlenen bir
üçlü ise O(3) ten alınan her g hareketi için
gXg −1 = g X v
eşitliği doğrudur.
İspat. Lemma 2.1.1 den biliyoruz ki g hareketi g = g1 g2 g3 olacak biçimde bileşenlere
sahiptir. Bu nedenle ispatı g1 , g2 , g3 bileşenleri için yapmak yeterli olacaktır.
g1 için

x
 1

g1 X v =  x2 cos Ψ1 − x3 sin Ψ1

x2 sin Ψ1 + x3 cos Ψ1
8





ve
gXg
−1

0
x2 sin Ψ1 + x3 cos Ψ1 x2 cos Ψ1 − x3 sin Ψ1


=  x2 sin Ψ1 + x3 cos Ψ1
0
−x1

−x2 cos Ψ1 + x3 sin Ψ1
x1
0





eşitlikleri gerçeklenir. g2 ve g3 için de benzer yolla ispat yapılır.
r (ϕ) = 1 olacak biçimde t = t (ϕ) parametre değişimini inceleyelim. O halde
dt r (ϕ) = r (t) dϕ
elde edilir. ϕ parametresi için
dϕ r (t) = dt
|ϕ| =
r (t) dt
elde edilir. r (ϕ) = 1 olacak biçimdeki ϕ parametresine konisel parametre adı
verilir.
Lemma 2.2.3 g (t) bir küresel hareket olsun. Aşağıdaki önermeler doğrudur.
i. r (t) = adg(t) r (t) ,
ii. R (t) = adg(t) R (t),
iii. r (t) = r (t) .
İspat. r (t) = g g −1 = g(g −1 g )g −1 = adg(t) r (t) olacağından, (i) kolaylıkla bulunur.
(i) yi kullanarak r (t) , r (t) = adg(t) r (t) , adg(t) r (t) = r (t) , r (t) elde edilir,
böylece (iii) nin doğruluğu gösterilmiş olur. r (t) = r (t) ve adg(t) dönüşümü
lineer olduğundan R (t) = adg(t) R (t) olduğu görülür. Bu da (ii) nin doğruluğunu
ispatlar.
9
Teorem 2.2.4 g (t) bir küresel hareket olsun. Bu durumda adg(t) R (t) = R (t)
eşitliği doğrudur.
İspat.
Hareketin parametresini konisel parametere seçelim. Sabit ve hareketli
doğrultu konileri,
R = g g −1 , R = g −1 g olduğundan
R = g g −1 + g (g −1 ) , (R ) = (g −1 ) g + g −1 g ve
adg(ϕ) R (ϕ) = g(g −1 ) g g −1 + g g −1 .
dir.
gg −1 = I3 denkleminde diferensiyel alırsak, g g −1 + g(g −1 ) = 0 eşitliğini elde ederiz.
adg(t) R (t) ifadesini hesaplayıp, g g −1 + g(g −1 ) = 0 eşitliğinden yararlanarak
adg(ϕ) R (ϕ) = −g(g −1 ) g(g −1 ) + g g −1
= g (g −1 ) + g g −1
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
2.3 Üstel Dönüşüm ve Ani Hareketler
Bu bölümde genel anlamda matrisler ve üstel dönüşümün bazı özellikleri verilecektir.
Ayrıca üstel dönüşüm yardımıyla ani hareketleri tanımlanıp aralarındaki ilişki elde
edilecektir. Birim vektöre karşılık gelen antisimetrik matris yardımıyla, bir eksen
etrafında dönme matrisi ile üstel dönüşüm arasındaki ilişki incelenecektir. Daha
sonra ani hareketler, küresel hareketler olarak ele alınıp sabit ve hareketli doğrultu
konileri bulunacaktır.
10
Tanım 2.3.1 X, n × n tipinde bir matris olsun. exp dönüşümü,
exp Rnn → Rnn
X → exp X =
∞
Xk
k=0 k!
olarak tanımlanır (Hall 2000).
Lemma 2.3.1 X ve Y herhangi iki n × n matris olsunlar. Aşağıdakiler doğrudur
i. exp 0 = In ,
ii. Eğer exp X regüler ise, (exp X)−1 = exp(−X) dir,
iii. Eğer XY = Y X ise exp(X + Y ) = exp X exp Y = exp Y exp X dir,
iv. Eğer Y regüler ise exp (Y XY ) = Y (exp X) Y dir (Hall 2000).
Teorem 2.3.2 X, o (3) ten alınan ve birim vektöre karşılık gelen antisimetrik matris olsun. Bu durumda exp(ϕX), X ile belirlenen eksen etrafında ϕ kadar dönme
yaptıran matristir.
İspat. (2.1) formundaki her matrisin bir vektör gösterimi olduğunu biliyoruz. Lemma
2.1.1 e göre R3 te öyle bir baz bulmak mümkündür ki, X birim vektörü bu baza göre

0 0 0


 0 0 −1

0 1 0





matrisi ile ifade edilebilir. X matrisi, (1, 0, 0) vektörü ile eşlenen antisimetrik matristir.


1 0 0
∞
∞

 ϕ2n X 2n ϕ2n+1 X 2n+1


exp ϕX =  0 1 0  +
+

(2n + 1)!
 n=1 2n!
n=0
0 0 1
11



1 0 0
0 0 0

 

 
=  0 0 0 + 0 1 0

 
0 0 0
0 0 1

1 0
0


=  0 cos ϕ − sin ϕ

0 sin ϕ cos ϕ



0 0 0






 cos ϕ +  0 0 −1  sin ϕ



0 1 0





buluruz. Burada
X 2n


0 0 0




= 0 1 0 


0 0 1
ve
X 2n+1


0 0 0




=  0 0 −1 


0 1 0
olduğunu, sinüs ve cosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını kullandık.
Tanım 2.3.2 g(t) bir küresel hareket olsun. R(t) bu hareketin sabit doğrultu konisi
olmak üzere,
{exp(ϕR(t0 ))}g(t0 ),
g(t) hareketinin t = t0 anındaki ani hareketi olarak adlandırılır (Karger and Novak
1985).
Teorem 2.3.3 R, verilen g küresel hareketinin t0 anındaki sabit doğrultu konisi
olsun. Bu durumda R3 ün bir noktasının t0 anındaki ani hareket altındaki yörüngesi
bir çemberdir.
İspat. R ye t0 anında karşılık gelen matris antisimetrik bir sabit matris olup ortogonal dönüşümler ile


0 0 0




T =  0 0 −1 


0 1 0
formuna getirilebilir. Bu matrise karşılık gelen lineer dönüşümün integral eğrileri, bu
12
hareket altında bir noktanın yörüngesi olacaktır. α (ϕ) = (α1 (ϕ) , α2 (ϕ) , α3 (ϕ)),
R3 de C 1 sınıfından bir eğri olsun.
T α = α
sabit katsayılı Euler diferansiyel denkleminin çözümü
α (ϕ) = (C, B cos ϕ − A sin θ, A cos ϕ + B sin ϕ)
eğrisi olup, bir çember belirtir.
Teorem 2.3.4 g (t) bir küresel hareket ve R (t) ve R (t) bu hareketin, sırasıyla, sabit
ve hareketli doğrutu konileri olsun. γ (ϕ) = {exp(ϕR (t0 ))}g(t0 ), g(t) hareketinin
t0 anındaki ani hareketi ve S (ϕ) , S (ϕ) ani hareketin, sırasıyla, sabit ve hareketli
doğrultu konileri olmak üzere; S (ϕ) = R (t0 ) ve S (ϕ) = R (t0 ) dir.
İspat. Sabit ve hareketli doğrultu konilerinin tanımlarını kullanarak;
S (ϕ) = [γ (ϕ)]−1 γ (ϕ)
= [g(t0 )]−1 R(t0 )g(t0 )
−1
= adg(t)
R(t0 )
= R(t0 )
ve
S (ϕ) = {exp(ϕR(t0 ))} g(t0 ) [g(t0 )]−1 {exp(ϕR(t0 ))}−1
= R(t0 )
elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.
2.4 Doğrultu Konileri ve Hareketlerin Karakterizasyonu
Doğrultu konileri birer antisimetrik matris olacağından, 3 × 3 tipindeki antisimetrik
13
matrisler ve 3 boyutlu Öklid uzayının vektörleri arasındaki bire bir eşlemeyi kullanarak, bu konilere birer vektör gözü ile bakabiliriz. Konisel parametre ile verilmiş doğrultu konilerinin normu 1 olacağından, bu vektör fonksiyonların küre üzerinde birer eğri belirttiklerini düşünebiliriz. Bu bölümde, sabit ve hareketli doğrultu
koniler için üzerinde bulundukları küre yüzeyini de göz önünde bulundurarak, Darboux çatılarını ve bu çatılara göre eğriliklerini bulacağız. Bu eğrilikler ile küresel
hareketler arasındaki ilişkiyi vereceğiz.
g(ϕ) bir küresel hareket R(ϕ) de bu hareketin sabit doğrultu konisi olsun. Bundan
sonra, R(ϕ) = 0 için, T ile R yönündeki birim vektörü gösterelim.
Teorem 2.4.1 Eğer T , R (ϕ) eğrisinin tanjant vektör alanı ise {R, T, N } Darboux
çatısı için aşağıdaki eşitlikler vardır.

R


0
k1
0

R


 


  


 T  =  −k1 0
k2   T 

 


N
0
−k2 0
N
Burada k1 ve k2 , sırasıyla, R (ϕ) nin bu çatıya göre birinci ve ikinci eğrilikleri olarak
adlandırılır. N = [R, T ] olmak üzere R, T, N birim vektör fonksiyonlardır.
İspat. k1 = R ve R, R = T, N = 0 için
R = k1 T
dir. T, T = 1 olduğundan, T, T = 0 elde edilir. Buradan
T = αR + βN
yazabiliriz. T, R = 0 olduğundan,
T, R + T , R = 0
14
dır. R değeri yerine yazılırsa α = −k1 bulunur. Şimdi β = k2 seçelim. Sonuç olarak,
T = −k1 R + k2 N
bulunur.
T, N = 0,
N, N = 1,
R, N = 0
denklemlerinden türev alınırsa, sırasıyla,
T , N + T, N = 0,
N , N = 0,
R , N + R, N = 0,
elde ederiz. N = γT alırsak, γ = −k2 ve dolayısıyla N = −k2 T elde edilir.
Teorem 2.4.2 Eğer T , R (ϕ) eğrisinin tanjant vektör alanı ise {R, T , N } Darboux
çatısı için aşağıdaki eşitlikler vardır.

R


0
k1
0

R


 


  


=
 T   −k1 0
k2   T 

 


N
N
0
−k2 0
Burada k1 ve k2 , sırasıyla, R (ϕ) nin bu çatıya göre birinci ve ikinci eğrilikleri denir.
N = R, T olmak üzere T , N , R birim vektör fonksiyonlardır.
İspat. Teorem 2.4.1 in ispatına benzer şekilde yapılır.
Teorem 2.4.3 Doğrultu konilerinin eğrilikleri için
k1 = k1 ve k2 = 1 + k2 .
15
dir.
İspat. R (t) = adg(t) R (t) ve R (t) = adg(t) R (t) olduğunu biliyoruz. Bunun
sonucunda, N = adg(t) N bulunur. Teorem 2.4.1 ve Teorem 2.4.2 de verilen Darboux
çatılarını kullanarak
2
(k1 )2 = R , T = adg R , adg T = R , T = k1
elde ederiz. k1 ve k1 fonksiyonları pozitif olacaklarından k1 = k1 olacaktır.
Teorem 2.2.3 ün bir sonucu olarak adg T = T olduğunu söyleyebiliriz. Bu denklemde
türev alıp, gg −1 = I3 denkleminin türevinden gelen eşitliği kullanırsak
T =
adg T
= g T g −1 + gT (g −1 ) + gT g −1
= g g −1 gT g −1 + gT g −1 g(g −1 ) + adg(ϕ) T
= R.adg(ϕ) T − adg(ϕ) T .R + adg(ϕ) T
= [R, T ] + adg T
elde edilir. T yerine eşiti yazılırsa
−k1 R + k2 N = [R, T ] + adg T
= N − k1 R + k2 N
bulunur. Yukarıdaki denklemden
k2 = 1 + k2
olduğu kolayca görülür. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 2.4.4 R(ϕ) bir diferensiyellenebilir vektör fonksiyon ve R, R = 1 olsun.
Bu durumda sabit doğrultu konisi R(ϕ) olan ve g(0) = I3 koşulunu sağlayan bir tek
g(ϕ) hareketi vardır.
16
İspat. g g −1 = R diferensiyel denklemini ele alalım. Bu diferensiyel denklemi g nin
regüler bir matris olmasından dolayı, g = Rg biçiminde yazabiliriz. Buradan dokuz
tane diferensiyel denklem elde edilir. Diferensiyel denklemlerin varlık ve teklik teoreminden biliyoruz ki başlangıç koşulu ile verilen bu dokuz denklemin herbiri bir tek
çözüme sahiptir. Şimdi bu çözümün ortogonal grubun bir elemanı olup olmadığına
bakalım. gg −1 = I3 denkleminin diferensiyeli alınırsa sabit doğrultu konisi g g −1 = R
veya −g(g −1 ) = R şeklinde ifade edilebilir. R matrisi için Rt = −R olduğundan,
(g )t = −g t R dir. y bilinmeyen matrisi için, y(0) = I3 başlangıç koşulu ile y = −yR
denklemini göz önüne alalım. Bu denklem g t ve g −1 gibi iki çözüme sahip olacağından
ve çözümün tek oluşundan g t = g −1 olduğunu söyleyebiliriz. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 2.4.5 Diferensiyellenebilir k1 > 0 ve k2 fonksiyonları verilsin. k1 ve k2
eğrilikleri ve ϕ konisel parameteresi olacak biçimde bir tek g(ϕ) hareketi vardır.
Tersine, g1 (ϕ) ve g2 (ϕ) aynı eğriliklere sahip iki hareket olması için gerek ve yeter
koşul γ 1 , γ 2 ∈ O (3) matrisleri için g1 (ϕ) = γ 1 g2 (ϕ) γ 2 dir.
İspat. Aşağıdaki diferensiyel denklem sistemini ele alalım;
R = k1 T, T = −k1 R + k2 N, N = −k2 T.
Bu sistem her zaman bir çözüme sahiptir. Eğer R1 (ϕ) bu sistem için bir çözümse
R2 (ϕ) = adγ 1 R1 (ϕ) de bu sitemin bir çözümüdür. Bu durumda R2 (ϕ) için Darboux
çatısı
R2 = adγ 1 (ϕ) R1 (ϕ)
T2 = adγ 1 (ϕ) T1 (ϕ)
N2 = adγ 1 (ϕ) N1 (ϕ)
şeklinde ifade edilir. S = γ 1 γ −1
1 olsun. X (ϕ) bir vektör fonksiyon olmak üzere
adγ 1 (ϕ) X (ϕ)
−1 = γ 1 Xγ −1
+ γ 1 X γ −1
1 + γ1X γ1
1
−1
−1 −1
= adγ 1 X + γ 1 γ −1
1 γ 1 Xγ 1 − γ 1 Xγ 1 γ 1 γ 1
17
= adγ 1 X + S.adγ 1 X − adγ 1 X.S
= adγ 1 (ϕ) X (ϕ) + S, adγ 1 (ϕ) X (ϕ)
elde edilir. R2 (ϕ) vektör fonksiyonu için
R2 (ϕ) = k1 T2 = k1 T2 + [S, R2 ] .
yazılabilir. Buradan [S, R2 ] = 0 dır. Benzer biçimde [S, T2 ] = [S, N2 ] = 0 olduğu
görülebilir. Bu eşitliklerden S = 0 ise γ 1 = 0 olmalıdır. O halde γ 1 sabit bir
matristir. g (ϕ) γ 2 , γ 2 ∈ O1 (3) olacak biçimdeki matrislerinde bu sistem için bir
çözüm olduğunu gösterilebilir. Bu durumda
g1 (ϕ) = γ 1 g2 (ϕ) γ 2 ,
γ 1 , γ 2 ∈ O (3) tipindeki matrislerin bu denklem sisteminin çözümü olduğunu söyleyebiliriz.
Teorem 2.4.6 R (ϕ) , S 2 üzerinde bir eğri olsun. s bu eğrinin yay parametresi
olmak üzere
dT
dN
dR
= T,
= −R + κN,
= −κT
ds
ds
ds
dir. Burada κ eğrinin küresel eğriliği olarak adlandırılır.
İspat. s bu eğrinin yay parametresi olduğundan
dR
ds
=
T.
dϕ
dϕ
Buradan k1 =
ds
dϕ
bulunur. Sonuç olarak,
dT
k2
= −R + N
ds
k1
ve
dN
k2
=− T
ds
k1
18
elde edilir. Ayrıca κ =
k2
k1
dir.
Teorem 2.4.7 x (t1 ) ve x (t2 ) , S 2 üzerinde iki eğri olsun. Bu eğrilerin tanjant vektör
alanları t1 = 0 ve t2 = 0 için eşit ise x (t1 ) sabit doğrultu konisi ve x (t2 ) hareketli
doğrultu konisi olacak şekilde bir tek hareket vardır.
İspat. t1 = 0 ve t2 = 0 için bu eğrilerin öyle bir yay parametresi vardır ki s = 0 dır.
Teorem 2.4.5 ve Teorem 2.4.6 dan κ (s) − κ (s) =
1
k1
olduğunu rahatlıkla görebiliriz.
Burada
1
dϕ
=
k1
ds
olduğundan,
dϕ
= κ (s) − κ (s)
ds
dir.
Son eşitlikten integral alarak ϕ yi s nin bir fonksiyonu olarak elde edebiliriz. Buradan
k1 = k1 (s (ϕ)) , k2 = κ (s (ϕ)) k1 (s (ϕ)) elde edilir. Bu ise sabit doğrultu konisinin
eğriliklerinin ϕ nin bir fonksiyonu olarak hesaplanabileceğini gösterir. Teorem 2.4.5
ten hareketin tek olduğu söylenebilir.
19
3. ÖKLİD UZAYINDA HAREKETLER
3.1 Kongrüansların Grup Yapısı ve Lie Cebiri
Bu bölümde genel anlamda hareketleri, başka bir deyişle Öklid uzayında, uzaklık koruyan dönüşümleri inceleyeceğiz. Ortogonal dönüşümler iç çarpımı koruyan
dönüşümler olmalarına karşılık, bu hareketlere ötelemeleri de katarak elde edebileceğimiz daha genel anlamda uzaklık koruyan dönüşümlerden bahsetmemiz mümkün
olacak. Daha sonra uzaklık koruyan dönüşümlerin grup yapılarından ve bu grubun
Lie cebirinden bahsedebileceğiz. Bu cebir üzerinde tanımlı Killing ve Klein bilineer
formlarının tanımları verilirek baz değişimleri altında invaryant kaldıkları göstereceğiz.
Tanım 3.1.1 = {O, u1 , u2 , u3 } ve = {A, f1 , f2 , f3 }, R3 de herhangi iki ortonormal çatı olsun. {u1 , u2 , u3 } çatısını {f1 , f2 , f3 } çatısına dönüştüren ortogonal
dönüşüm γ olmak üzere


γ a
0 1


4×4
dönüşümüne Öklidyen uzayın bir kongrüansı denir. Şu halde, bu dönüşümlerin
kümesi

B = {g = 
γ a
0 1


: γ ∈ O(3), a ∈ R3 }
4×4
ile gösterilir ve Öklidyen uzayın transformasyonlarının grubu olarak adlandırılır.
Eğer a = 0 ise, dönüşüm ortogonal bir dönüşüme karşılık gelen hareketi temsil eder
(Karger and Novak 1985).
Teorem 3.1.1 B grubunun Lie cebiri


x t
0 0


4×4
tipindeki matrislerdir. Burada t ∈ R3 ve x bir antisimetrik matristir.
20
İspat. B grubu icerisindeki

γ(t) a(t)
g(t) = 
0
1


eğrisi için g(0) = I4 olsun. Bu durumda

γ (0) a (0)
g (0) = 
0
0


bulunur. Bir Lie grubunun birim noktadaki tanjant uzayı sol invaryant vektör alanların uzayına izomorf olacağından, bu grubun Lie cebiri

E = {
x t
0 0

: t ∈ R3 , y t = −y}

4×4
kümesi olacaktır.

Kabul edelim ki g = 
γ a
0 1
olsun bu durumda,




 elemanın tersi g −1 = 
γ a
0 1




δ b
0 1
γδ a + γb
0
1

 = I4

 = I4
elde edilir. Buradan
δ = γ t ve b = −γ t a
olacağı görülür. O halde aşağıdaki lemmayı verebiliriz.
21
δ b
0 1

 olsun. gg −1 = I4

Lemma 3.1.2 g = 
γ a
0 1

 elemanın tersi

g −1 = 

γ t −γ t a
0

1
dir.
Şimdi X ∈ E için adg dönüşümünü hesaplayalım.
adg (X) = gXg −1

= 

= 

= 

γ a

0 1
x t
0 0


γxγ t γt − γxγ t a
0
0
adγ x γt − adγ a
0
0
γ
t
0
t
−γ a
1






dir.
E Lie cebiri üzerinde gl(4, R) den indirgenen Braket operatörü aynen geçerlidir. O
halde
[X, Y ] = XY − Y X

= 

= 
x t
0 0


y s
0 0

−
xy − yx xs − yt
0
0
22



y s
0 0


x t
0 0



= 
[x, y] xs − yt
0
0


olarak bulunur. Burada x, y ∈ o(3) ve t, s ∈ R3 dir.
E Lie cebirinin bir bazını
X1


0 0 0




=  0 0 −1  ,


0 1 0

1


T1 =  0

0



,




0 0 1
0 −1 0








X2 =  0 0 0  , X3 =  1 0 0 




−1 0 0
0 0 0

0


 
 
T2 =  1  ,
 
0
0

 
 
T3 =  0 
 
1
biçiminde seçebiliriz. Bundan sonra X ∈ E elemanını
[x; t]
veya



x ; t1
 1



 x2 ; t2 


x3 ; t3
biçiminde gösterelim. Bu durumda X = [x; t] ve Y = [y; s] için
[X, Y ] = [[x; t], [y; s]]
= [x × y; x × s + t × y]
ve
adg (X) = [γx; γt + a × γx]
yazılabilir.
23
Tanım 3.1.2 X = [x; t] ve Y = [y; s] olmak üzere E üzerinde
K(X, Y ) = x, y
ve
Kl(X, Y ) = x, s + y, t
biçiminde tanımlanan bilineer formlar, sırasıyla, Killing bilineer formu ve Klein bilineer formu olarak adlandırılır.
Teorem 3.1.3 Killing bilineer formu K ve Klein bilineer formu Kl adjoint dönüşümü
altında invaryanttır.

x1


y1






İspat. γ ∈ O(3) ve x =  x2  ve y =  y2



x3
y3



 olmak üzere

K(X, Y ) = x, y
= γx, γy
= adγ x, adγ x
= K(adγ X, adγ Y )
elde edilir.
Kl(adg X, adg Y ) = Kl([γx; γt + a × γx], [γy; γs + a × γy])
= γx, γs + a × γy + γy, γt + a × γx
= γx, γs + γt, γy + γx, a × γy + γy, a × γx
= γx, γs + γt, γy
= Kl(X, Y )
dir.
24
3.2 Plücker Koordinatları ve Doğrular
Bu bölümde Öklid uzayındaki doğruların Plücker koordinatlarını, bu doğruları koruyan dönüşümlerin Lie grup yapılarını ve bu grupların Lie cebirlerini ele alınacaktır. Daha sonra bu cebirler üzerinde Klein ve Killing bilineer formlarını hesaplanıp,
geometrik anlamları hakkında bilgi verilecektir.
Tanım 3.2.1 X ∈ E sıfırdan farklı K(X, X) = 0 koşulunu sağlayan bir vektör olsun.
Ψ(X) = {Y ∈ E : [X, Y ] = 0}
kümesine, X vektörünün merkezleyeni denir (Karger and Novak 1985).
Şimdi 3 boyutlu Öklidyen uzayı ve bu uzay içinde bir p doğrusunu ele alalım. Bu
doğru parametrik olarak
p = A(λ) = m + λx
biçiminde ifade edilebilir. Burada x birim vektör ve m orijin ile orijinden doğruya
çizilen dikme ayağının belirttiği vektördür. [x; t] = [x; m × x] vektör çifti p doğrusunun Plücker koordinatları olarak adlandırılırlar. Tersine eğer bir doğrunun Plücker
koordinatları, [x; t] verilirse, doğrunun denklemi
p = A(λ) = x × t + λx
biçiminde elde edilebilir.
Tanım 3.2.2 Hp ile 3 boyutlu Öklid uzayının, p doğrusunu koruyan bütün kongrüanslarının kümesini gösterelim. Hp ile de 3 boyutlu Öklid uzayının, p doğrusunun noktalarını koruyan bütün kongrüanslarının kümesini gösterelim. Hp , p ekseni
etrafındaki bütün helisel hareketleri ve Hp de p ekseni etrafındaki dönmeleri ifade
eder (Karger and Novak 1985).
Şimdi bu grupların Lie cebirlerini bulalım. Sp ve Sp , sırasıyla, Hp ve Hp gruplarının
25
Lie cebirleri olsun.

g=
ise


γ a
0 1


γ a
0 1


m + λx
1
∈ Hp
4×4


=
m + µx
1


koşulu sağlanmalıdır. Burada µ ∈ R olup λ ya bağlıdır. Buradan
a + γm + λγx = m + µx
(3.1)
elde edilir. Bunun yanında eğer g ∈ Hp ise λ = µ olmalıdır. λ = 0 için ;
a + γm = m + µ0 x
(3.2)
elde edilir. Burada µ0 sabittir. (3.2) denklemi, (3.1) denkleminde yerine koyulursa,
λγx = (µ − µ0 )x
bulunur. İki tarafın da normunu alınarak
±λ = µ − µ0
olduğu görülür. Burada λ nın iki türlü bulunmasının nedeni, B Lie grubunun bağlantılı olmamamasından kaynaklanır. Geometrik olarak λ = µ − µ0 olması demek, γ ortogonal matrisinin özel ortogonal grubun(SO(3)) bir elemanı olması demektir. Yani
bu şekilde seçilen λ, yönü korur. Bu seçimden dolayı;
γx = x
olduğu rahatlıkla görülebilir. Bunun yanında
a + γm = m + µ0 x
26
bulunur. Burada µ0 = µ0 (a, γ) dır.
g(t), Hp grubunun içinde g(0) = I4 başlangıç koşulunu sağlayan diferensiyellenebilir
bir eğri olsun. t = 0 için g(t) eğrisinin tanjant vektörünün
γ x = 0
ve
a + γ m = µ0 x
koşullarını sağladığı görülür. γ x = 0 denklemi vektör notasyonunda γ × x = 0
biçiminde ifade edilebilir. Buradan γ = αx, α ∈ R sonucu çıkar.
Sonuç olarak a + αx × m = µ0 x olup buradan a (0) = αm × x + βx olacağı görülür.
Burada µ0 = β dır. t = 0 anında g(t) tanjant vektörü matris formunda,


γ (0) a (0)
0
0


ya da vektör formunda
[αx; αm × x + βx]
biçiminde ifade edilebilir. O halde
Sp = {[αx; αm × x + βx] : α, β ∈ R}
biçimindedir. λ = µ olması durumunda µ0 = 0 olacağından;
Sp = {[αx; αm × x] : α ∈ R}
bulunur. O halde aşağıdaki lemmayı verebiliriz.
Lemma 3.2.1 p = A(λ) = m + λx bir doğru ve burada x, x = 1 ve m, x = 0
27
olsun. Bu durumda Hp iki boyutlu bir gruptur ve Lie cebiri
Sp = {[αx; αm × x + βx] : α, β ∈ R}
biçimindedir. Hp bir boyutlu bir gruptur ve Lie cebiri
Sp = {[αx; αm × x] : α ∈ R}
dir.
Lemma 3.2.2 Üç boyutlu Öklid uzayının doğruları ile E Lie cebirinin {αX} tipindeki Kl(X, X) = 0 ve K(X, X) = 0 koşullarını sağlayan alt uzayları arasında birebir eşleme vardır. Ayrıca, eğer [x; t] bir doğrunun Plücker koordinatları oluyor ise
{αX} = {[αx; αt]} dir.
İspat.
X ∈ E vektörü için Kl(X, X) = 0 ve K(X, X) = 0 olması için gerek ve
yeter koşul B grubu içinde g(t) bir parametreli alt grubunun tanjant vektörünün X
olmasıdır. Bu grup p doğrusu etrafında dönmeyi ifade eden Hp grubudur. Çünkü
t, x = 0 dır, bununla beraber X = [x; t] ∈ E, x = 0 ve Kl(X, X) = 0 koşulları
gerçeklenir. Kabul edelim ki K(X, X) = x, x = 1 olsun. t = m × x alırsak,
αX, α ∈ R biçimindeki bütün vektörlerin kümesi, doğrultman vektörü x olan doğru
etrafında, dönme yaptıran dönüşümlerin grubunun Lie cebiridir. Tersine,
Kl([αx; αm × x], [αx; αm × x]) = 0
bulunur.
Lemma 3.2.3 E Lie cebirinde Sp ler maksimal ve değişmeli alt cebirlerdir. Öklid
uzayının doğruları ile E nin iki boyutlu, maksimal, değişmeli alt cebirleri arasında
bire-bir eşleme vardır.
İspat. Öncelikle Sp nin maksimal, değişmeli alt cebir olduğunu gösterelim. Sp alt
28
cebirinin elemanları
X = [αx; αt + βx]
formundadır. Burada x, x = 1, x, t = 0 ve α, β ∈ R dir. X1 = [α1 x; α1 t + β 1 x],
X2 = [α2 x; α2 t + β 2 x], Sp alt cebirinin iki elemanı olsunlar.
[X1 , X2 ] = [α1 α2 x × x; α1 x × (α2 t + β 2 x) + (α1 t + β 1 x) × α2 x]
= [0; α1 α2 x × t + α1 α2 t × x]
= 0
bulunacağından Sp nin değişmeli bir alt cebir olduğu söylenebilir. Y = [y; s], E de
bir eleman olsun. X ∈ E için [X, Y ] = 0 olduğunu varsayalım. Bu durumda,
0 = [X, Y ]
= [[αx; αt + βx], [y; s]]
= [αx × y; αx × s + αt × y + βx × y]
olup, bu eşitlikten x × y = 0 ve x × s + t × y = 0 dır. O halde y = µx alınabilir. Bu
gerçeği de kullanarak son denklemden x × (s − µt) = 0 elde edilir. Benzer biçimde
s = vx − µt, v ∈ R bulunur. Yani Y = [µx; vx − µt] ∈ Sp olduğu görülür.
Tersine S, E nin içinde maksimal, değişmeli ve iki boyutlu bir cebir olsun. Bu cebirin
bir bazını X = [x; t], Y = [y; s] ∈ S vektörleri ile belirleyelim. Eğer x = y = 0 ise
[X, Y ] = [[0; t], [0; s]] = [0; t × s] olup, bu son vektör X ve Y ile lineer bağımsız
olacağından S cebiri iki boyutlu olamaz. O halde x = y = 0 olamaz. Şimdi x
yada y nin en az birinin sıfırdan farklı olduğunu varsayalım. Şu halde y = λx ve
x × (s − λt) = 0 olmak zorundadır. Buradan s yi çekersek; s = λt + µx bulunur.
Sonuç olarak X = [x; t], Y = [λx; λt + µx] dır. Burada µ = 0 olması, X ve Y nin
baz olması için gereklidir.
Lemma 3.2.4 X = [x; t] ve Y = [y; s], sırasıyla, p ve q doğrularının Plücker koordinatları olsunlar. p ve q arasındaki açı ϕ ve d de iki doğru arasındaki en kısa uzaklık
29
olmak üzere
K(X, Y ) = cos ϕ
ve
Kl(X, Y ) = d sin ϕ
dir.
İspat. X = [x; A × x], Y = [y; B × y] olsun. Burada x ve y birim vektörler, A ve
B, sırasıyla, p ve q doğruları üzerinde birer nokta olsun. Sonuç olarak
K(X, Y ) = x, y = cos ϕ
bulunur. Ayrıca,
Kl(X, Y ) = x, B × y + A × x, y
= − det(x, y, B) + det(x, y, A)
= det(x, y, A − B)
= x × y, A − B
dır. A ve B bu iki doğrunun dikme ayakları olsun. Bu durumda x × y, A− B vektörü
ile aynı doğrultudadır. A − B = d olduğundan,
x×y =±
A−B
sin ϕ
d
bulunur. Buradan
A−B
sin ϕ, A − B
d
= d sin ϕ
x × y, A − B = ±
dır. Bu da ispatı tamamlar.
30
3.3 Uzay Hareketleri ve Doğrultu Konileri
Bu bölümde uzay hareketlerinin doğrultu konileri ve bu konilerin küresel hareketlerin doğrultu konileri ile ilişkisi verilecek, buna ek olarak, yine doğrultu konileri
yardımıyla uzay hareketlerinin ani hareketleri incelenecektir.

g(t) = 
γ(t) a(t)
0
1


bir uzay hareketi olsun.
Tanım 3.3.1 E içinde sabit doğrultu konisel yüzeyi
r = g g −1
ile verilir. Hareketli doğrultu konisel yüzeyi ise
r = g −1 g ile verilir (Karger and Novak 1985).
Şimdi küresel hareketin konisel yüzeyi ile uzay hareketinin konisel yüzeyi arasındaki
ilişkiyi belirleyelim. Bunun için r ve r vektör fonksiyonlarını hesaplayalım.
Teorem 3.3.1

g(t) = 
γ(t) a(t)
0
1


bir uzay hareketi olsun. Bu durumda, sabit ve hareketli doğrultu konileri, sırasıyla,

r(t) = 
γ γ t a − γ γ t a
0
0
31

,
ve

r(t) = 
t t γγ
γa
0
0


dir.

İspat. g −1 = 
γ t −γ t a
0
1

 olacağından;

r(t) = 

= 
γ
0
a
0


γ
t
t
−γ a
0
1
γ γ t a − γ γ t a
0
0




ve

r(t) = 

= 
γ
t
t
−γ a

1

γ t γ γ t a

0
0
0
γ
0
a
0



olarak bulunur.
Şimdi doğrultu konilerini vektör notasyonunda ifade edelim.
r(t) = [x(t); t(t)]
ve
r(t) = [x(t); t(t)]
32
biçiminde ifade etmek mümkündür. Burada
x(t) = γ γ t
ve
x(t) = γ t γ olup karşılık gelen küresel hareketin, sırasıyla, sabit ve hareketli konisel yüzeyleri
olacaktır. Ayrıca
t(t) = a − γ γ t a
ve
t(t) = γ t a
dir.
Uzay hareketinin konisel parametresini, karşılık gelen küresel hareketin konisel parametresi olarak tanımladığımızda sabit ve hareketli doğrultu konileri aşğıdaki gibi
tanımlanabilir.
Tanım 3.3.2 g(ϕ), ϕ konisel parametresi ile verilen bir uzay hareketi olsun. Bu
durumda bu hareketin sabit doğrultu konisi;
R(ϕ) = g (ϕ)g −1 (ϕ)
ve hareketli doğrultu konisi,
R(ϕ) = g −1 (ϕ)g (ϕ)
biçimindedir.
Lemma 3.3.2 g(ϕ), ϕ konisel parametresi ile verilen bir uzay hareketi olsun. Bu
durumda
K(R, R) = K(R, R) = 1
33
dir. Burada R ve R , sırasıyla, uzay hareketinin sabit ve hareketli doğrultu konileridir.
İspat. R = [x(ϕ); t(ϕ)] ve R(t) = [x(ϕ); t(ϕ)] olacağından,
K(R, R) = x, x
= 1
= x, x
= K(R, R)
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
Tanım 3.3.3 Sabit doğrultu konisi sabit olan hareketlere, basit hareket denir.
Lemma 3.3.3 g(ϕ), ϕ konisel parametresi ile verilen bir uzay hareketi olsun. Bu
durumda R (t) = adg(t) R (t) ve R (t) = adg(t) R (t) dir. Burada R ve R , sırasıyla,
uzay hareketinin sabit ve hareketli doğrultu konileridir.
İspat. R (ϕ) = g g −1 = g(g −1 g )g −1 = adg(ϕ) R (ϕ) olduğu kolayca görülür. Sabit ve
hareketli doğrultu konileri
R = g g −1 , R = g −1 g dir. Buradan
R = g g −1 + g (g −1 ) , (R )
= g (g −1 ) + g −1 g ve
adg(ϕ) R (ϕ) = g(g −1 ) g g −1 + g g −1 .
elde edilir.
gg −1 = I3 denkleminde türev alırsak, g g −1 + g(g −1 ) = 0 eşitliğini elde ederiz.
34
adg(t) R (t) ifadesini hesaplayıp, g g −1 + g(g −1 ) = 0 eşitliğinden yararlanarak
adg(ϕ) R (ϕ) = −g(g −1 ) g(g −1 ) + g g −1
= g (g −1 ) + g g −1
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
Teorem 3.3.4 R, verilen g helisel hareketinin t0 anındaki sabit doğrultu konisi olsun.
Bu durumda R3 ün bir noktasının bu hareket altındaki yörüngesi bir helistir.
İspat. R ye t0 anında karşılık gelen matris E nin bir elemanı olup, Teorem 2.3.3
teki düşünceyle

0 0


 0 0
T =

 0 1

0 0
0
1



−1 0 


0
0 

0
0
formuna getirilebilir. Bu matrise karşılık gelen lineer dönüşümün integral eğrileri, bu
hareket altında bir noktanın yörüngesi olacaktır. α (ϕ) = (α1 (ϕ), α2 (ϕ), α3 (ϕ)), R3
de C 1 sınıfından bir eğri olsun. Bu eğriyi

α1





 α2 




 α3 


1
biçiminde gösterirsek;
T α = α
sabit katsayılı Euler diferansiyel denkleminin çözümü
α (ϕ) = (Cϕ, B cos ϕ − A sin ϕ, A cos ϕ + B sin ϕ)
eğrisi olup, bir helis belirtir.
35
4. LORENTZ UZAYINDA KÜRESEL HAREKETLER
4.1 Minkowski 3-Uzayında Temel Kavramlar
Bu bölümde ilk olarak Minkowski 3-uzayında tanımlı non-dejenere metrik ve bu
metriği koruyan yarı-ortogonal grubun özellikleri verilmiştir. Daha sonra bu nondejenere metrik ile verilen vektörel çarpım tanımlanmış, yarı-ortogonal grubun Lie
cebiri ile arasındaki Lie cebir izomorfizmine değinilerek, Killing biliner formu hesaplanmıştır.
Tanım 4.1.1. V reel vektör uzayı üstünde, g : V × V → R iki lineer fonksiyonuna
iki lineer form, eğer bu iki lineer form simetrik ise g ye simetrik iki lineer form
denir (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 4.1.2. g, V reel vektör uzayı üstünde ikilineer form olsun.
i. ∀v ∈ V, v = 0 =⇒ g (v, v) > 0 önermesi doğru ise g ye pozitif tanımlı,
ii. ∀v ∈ V, v = 0 =⇒ g (v, v) < 0 önermesi doğru ise g ye negatif tanımlı,
iii. ∀v ∈ V, g (v, v) ≥ 0 ise g ye yarı pozitif tanımlı,
iv. ∀v ∈ V, g (v, v) ≤ 0 ise g ye yarı negatif tanımlı,
v. [∀w ∈ V, g (v, w) = 0] =⇒ v = 0 oluyor ise g ye yoz olmayan (nondejenere) bir
form denir (O’Neill 1983).
g, V nin bir alt uzayına indirgenebilir. Bu indirgenen simetrik bilineer form yoz
(dejenere) veya yoz olmayan (nondejenere) dır.
Tanım 4.1.3. g, V üstünde simetrik iki lineer form olsun. g nin W alt uzayına
kısıtlanması g |W negatif tanımlı olacak biçimdeki W alt uzaylarının boyutlarının
en büyüğüne g nin indeksi denir ve υ ile gösterilir. 0 ≤ υ ≤ boyV olduğu açıktır
(O’Neill 1983).
36
Tanım 4.1.4. Rn üstünde
v, w = −
υ
vi wi +
i=1
n
vj wj
0υn
j=υ+1
metrik tensörünü ele alalım. Bu durumda (Rn , <, >) ikilisine yarı-Öklidiyen uzay
denir ve Rnυ ile gösterilir. υ = 0 ise Rn e indirgenir. Eğer n 2 ve υ = 1 ise Rn1 e
Minkowski n-uzayı adı verilir (O’Neill 1983).
Tanım 4.1.5. Rnυ yarı-Öklidyen uzay ve g de Rnυ üstünde nondejnere metrik tensör
olsun. Bu durumda Rnυ de bir v vektörü için
i. v, vL > 0 veya v = 0 ise v vektörüne spacelike vektör,
ii. v, vL < 0 ise υ vektörüne timelike vektör,
iii. v, vL = 0 ve v = 0 ise v vektörüne null vektör denir (O’Neill 1983).
Lemma 4.1.1. u, v ve w Minkowski 3-uzayında üç vektör olsun. O zaman,
u ×L v, wL = det(u, v, w)
dır. Burada u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) olmak üzere
−
−→
e1
u ×L v = u 1
v1
−
→
−
→
e2 e3 u2 u3 v2 v3 = (u3 v2 − u2 v3 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 )
ve
u, vL = −u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
37
dır (Kula 2003).
Tanım 4.1.6 x, y ∈ R31 olmak üzere, x, yL = Ax, AyL koşulunu sağlayan, A
dönüşümüne yarı ortogonal dönüşüm denir ve bu dönüşümlerin kümesi O1 (3) ile
gösterilir (O’Neill 1983).
Lemma 4.1.2 3 × 3 tipinde reel bir matris için aşağıdakiler denktir:
i. g ∈ O1 (3)
ii. g t = εg −1 ε,
iii. R31 ün ortonormal bazlarını R31 ün ortonormal bazlarına dönüştürür.
Burada ε, R31 in işaret matrisi olan


−1 0 0




 0 1 0 


0 0 1
matrisidir (O’Neill 1983).
Lemma 4.1.3 O1 (3) yarıortogonal grubunun Lie cebiri o1 (3)


0
x3 −x2




 x3
0 −x1 


−x2 x1 0
şeklindeki matrislerin kümesidir.
Lie cebiri o1 (3) ün bir bazını,
38


0 0 0




X1 =  0 0 −1 


0 1 0
,


0 0 −1




X2 =  0 0 0 


−1 0 0
,


0 1 0




X3 =  1 0 0 


0 0 0
biçiminde seçebiliriz. (4.1) formunda verilmiş matris

0
x3 −x2





X =  x3 0 −x1 


−x2 x1 0
olsun. Baz elemanları cinsinden,
X = x1 X1 + x2 X2 + x3 X3
yazılabilir. o1 (3) Lie cebiri gl(3) Lie cebirinin bir alt cebiri olacağından üzerinde
tanımlı Braket operatörü tanım 2.1.2 de verildiği gibidir. X = x1 X1 + x2 X2 + x3 X3
ve Y = y1 X1 + y2 X2 + y3 X3 , o1 (3) ten alınan iki eleman olsunlar, bu durumda bu
iki elemanın Braket operatörü altındaki görüntüsü

0
y1 x2 − y2 x1 y1 x3 − y3 x1


[X, Y ] =  y2 x1 − y1 x2
0
y3 x2 − y2 x3

y3 x1 − y1 x3 y2 x3 − y3 x2
0





şeklinde bulunur. Bu son matrisin bileşenleri, R31 ün {e1, e2 , e3 } ortogonal bazına göre
3
3
X = xi ei ve Y = yi ei vektörlerinin vektörel çarpımından elde edilir. Böylelikle
i=1
i=1
(R31 , ×L ) ve (o1 (3), [, ]) arasında bir Lie cebir izomorfizminin olduğu söylenebilir.
Şimdi de Killing bilineer formunu hesplayalım. Tanım 2.1.3 ten
K(X, Y ) = iz(AdXAdY )
olduğunu biliyoruz. AdXAdY dönüşümüne karşılık gelen matrisi hesaplamak için
39
bu dönüşümün baz vektörleri altındaki görüntüleri;
AdXAdY (X1 ) = X ×L (Y ×L X1 ) = (y2 x2 + y3 x3 , y2 x1 , −y3 x1 )
AdXAdY (X2 ) = X ×L (Y ×L X2 ) = (−y1 x2 , −y1 x1 + y3 x3 , −y3 x2 )
AdXAdY (X3 ) = X ×L (Y ×L X3 ) = (−y1 x3 , y2 x3 , −y1 x1 + y2 x2 )
şeklinde bulunur. Şu halde
K(X, Y ) = iz(AdXAdY ) = 2X, Y olarak bulunur.
4.2 Yarı-ortogonal Grup Üzerinde Sağ ve Sol Ötelemeler
Tanım 4.2.1 J ⊂ R bir açık aralık ve g
g : J → O1 (3)
t → g(t)
diferensiyellenebilir bir eğri olsun. Eğer her t ∈ J için g (t) = 0 ise g(t) Minkowski
3-uzayında bir küresel harekettir denir.
Tanım 4.2.2 g(t), R31 de bir küresel hareket olsun. Bu hareketin hareketli konisel
ve sabit konisel yüzeyi r (t) =
yüzeyi r (t) = g t dg
dt
dg t
g
dt
ile tanımlanır.
Şimdi hareketin parametre değişimini inceleyelim. t = t (τ ) bir parametre değişimi
olsun. Bu durumda
r (τ ) = g −1 (t (τ ))
= g −1 (t (τ ))
40
dg (t (τ ))
dτ
dg (t) dt
dt dτ
dır. Veya daha açık olarak,
r (τ ) = r (t)
dt
dτ
r (τ ) = r (t)
dt
.
dτ
dır. Benzer biçimde
dir.
g (t) küresel hareketinin hareketli doğrultu konisi R (t) aşağıdaki vektör fonksiyondur
R (t) =
r (t)
,
r (t)
sabit doğrultu konisi ise
R (t) =
dir. Burada r (t) =
r (t)
r (t)
|r (t) , r (t)L | ile belirlidir.
Verilen g (t) hareketinin adjoint hareketi adg(t)
adg(t) X = gXg −1
ile verilir.
Lemma 4.2.1 g yarı-ortogonal matrisi için
g1
g2

1
0
0


=  0 cos Ψ1 − sin Ψ1

0 sin Ψ1 cos Ψ1



= 

cosh Ψ2 0 sinh Ψ2
0
1
0
sinh Ψ2 0 cosh Ψ2
41



,




,

g3

1
0
0


=  0 cos Ψ3 − sin Ψ3

0 sin Ψ3 cos Ψ3





olmak üzere, g = g1 g2 g3 olacak biçimde Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 Euler açıları vardır.
Lemma 4.2.2 Eğer X, (4.1) formunda bir matris ve X v de bu matrisle eşlenen bir
üçlü ise O(3) ten alınan her g hareketi için,
gXg −1 = g X v .
eşitliği doğrudur
İspat. Lemma 4.2.1 den biliyoruz ki g hareketi g = g1 g2 g3 olacak biçimde bileşenlere
sahiptir. Bu nedenle ispatı g1 , g2 , g3 bileşenleri için yapmak yeterli olacaktır.
g1 için

x
 1

g1 X v =  x2 cos Ψ1 − x3 sin Ψ1

x2 sin Ψ1 + x3 cos Ψ1





ve
g1 Xg1−1

0
x2 sin Ψ1 + x3 cos Ψ1 −x2 cos Ψ1 + x3 sin Ψ1


=  x2 sin Ψ1 + x3 cos Ψ1
0
−x1

−x2 cos Ψ1 + x3 sin Ψ1
x1
0
eşitlikleri gerçeklenir. g2 ve g3 için de benzer yolla ispat yapılır.
r (ϕ) = 1 olacak biçimde t = t (ϕ) parametre değişimini inceleyelim. Şu halde
dt r (ϕ) = r (t) dϕ
42





elde edilir. ϕ parametresi için,
dϕ r (t) = dt
|ϕ| =
r (t) dt
elde edilir. r (ϕ) = 1 olacak biçimdeki ϕ parametresine konisel parametre adı
verilir.
Lemma 4.2.3 g (t) bir küresel hareket olsun. Aşağıdaki önermeler doğrudur.
i. r (t) = adg(t) r (t) ,
ii. R (t) = adg(t) R (t),
iii. r (t) = r (t) .
İspat.
r (t) = g g −1 = g(g −1 g )g −1 = adg(t) r (t) olacağından, (i) kolaylıkla
elde edilir. (i) yi kullanarak r (t) , r (t) = adg(t) r (t) , adg(t) r (t) = r (t) , r (t)
elde edilir, böylece (iii) nin doğruluğu gösterilmiş olur. r (t) = r (t) ve adg(t)
dönüşümü lineer olduğundan R (t) = adg(t) R (t) dir.
Teorem 4.2.3 g (t) bir küresel hareket olsun. Bu durumda adg(t) R (t) = R (t)
eşitliği doğrudur.
İspat.
Hareketin parametresini konisel parametere seçelim. Sabit ve hareketli
doğrultu konileri,
R = g g −1 , R = g −1 g olduğundan,
R = g g −1 + g (g −1 ) ,
(R ) = (g −1 ) g + g −1 g 43
ve
adg(ϕ) R (ϕ) = g(g −1 ) g g −1 + g g −1 .
dir.
gg −1 = I3 denkleminde türev alırsak, g g −1 + g(g −1 ) = 0 eşitliğini elde ederiz.
adg(t) R (t) ifadesini hesaplayıp, g g −1 + g(g −1 ) = 0 eşitliğinden yararlanarak
adg(ϕ) R (ϕ) = −g(g −1 ) g(g −1 ) + g g −1
= g (g −1 ) + g g −1
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
4.3 Minkowski 3-uzayında Üstel Dönüşüm ve Ani Hareketler
Bu bölümde üstel dönüşümün yanında ani hareketler; ikinci bölümde verilen tanıma
sadık kalınarak incelenecek, ani hareketler altında noktaların yörüngeleri hesaplanacaktır.
Teorem 4.3.1 X, o1 (3) ten alınan ve birim vektörle eşlenebilen bir matris olsun.
Bu durumda exp(ϕX), X ekseni etrafında ϕ kadar dönme yaptıran matristir.
İspat. (4.1) formundaki her matrisin bir vektör gösterimi olduğunu biliyoruz. Lemma
4.2.1 e göre R31 te öyle bir baz bulmak mümkündür ki X birim vektörü bu baza göre;
X in timelike yada spacelike olmasına göre, sırasıyla,


0 1 0




 1 0 0 


0 0 0
veya



0 0 0




 0 0 −1 


0 1 0

0 1 0




matrisi ile ifade edebiliriz. Eğer X =  1 0 0  seçersek, bu matris (0, 0, 1)


0 0 0
44
vektörü ile eşlenen antisimetrik matristir.


1 0 0
∞
∞

 ϕ2n X 2n ϕ2n+1 X 2n+1


exp ϕX =  0 1 0  +
+
(2n + 1)!

 n=1 2n!
n=0
0 0 1

0 0 0


=  0 0 0

0 0 1


1 0 0
 
 
+ 0 1 0
 
0 0 0

cosh ϕ sinh ϕ 0


=  sinh ϕ cosh ϕ 0

0
0
1


0 1 0




 cosh ϕ +  1 0 0


0 0 0



 sinh ϕ






buluruz. Burada
X
2n




1 0 0
0 1 0








2n+1
=  0 1 0 , X
= 1 0 0 




0 0 0
0 0 0


0 1 0




olduğunu, sinh ve cosh fonksiyonlarının Taylor açılımlarını kullandık.X =  1 0 0 


0 0 0
için ispat benzer şe- kilde verilebilir.
Teorem 4.3.2 R, verilen g küresel hareketinin t0 anındaki sabit doğrultu konisi
olsun. Bu durumda R3 ün bir noktasının t0 anındaki ani hareket altındaki yörüngesi;
i. eğer R time-like ise Öklidyen çemberdir,
ii. eğer R space-like ise Lorentziyan çemberdir.
İspat. R ye t0 anında karşılık gelen matris antisimetrik bir sabit matris olup ortog45
onal dönüşümler ile


0 0 0




T =  0 0 −1 


0 1 0
veya


0 1 0




G= 1 0 0 


0 0 0
formun da yazılabilir. Bu matrise karşılık gelen lineer dönüşümün integral eğrileri,
bu hareket altında bir noktanın yörüngesi olacaktır. α(ϕ) = (α1 (ϕ), α2 (ϕ), α3 (ϕ)),
R31 de C 1 sınıfından bir eğri olsun.
Gα = α
sabit katsayılı Euler diferansiyel denkleminin çözümü
α (ϕ) = (A cosh ϕ + B sinh ϕ, A sinh ϕ + B cosh ϕ, C)
eğrisi olup, bir Lorentz çemberi belirtir. T dönüşümü için ispat benzer yolla yapılır.
Teorem 4.3.3 g (t) bir küresel hareket ve R (t) ve R (t) bu hareketin, sırasıyla, sabit
ve hareketli doğrutu konileri olsun. γ (ϕ) = {exp(ϕR (t0 ))}g(t0 ), g(t) hareketinin
t0 anındaki ani hareketi ve S (ϕ) , S (ϕ) ani hareketin, sırasıyla, sabit ve hareketli
doğrultu konileri olmak üzere; S (ϕ) = R (t0 ) ve S (ϕ) = R (t0 ) dir.
İspat. Sabit ve hareketli doğrultu konilerinin tanımlarını kullanarak;
S (ϕ) = [γ (ϕ)]−1 γ (ϕ)
= [g(t0 )]−1 R(t0 )g(t0 )
−1
= adg(t)
R(t0 )
= R(t0 )
ve
S (ϕ) = {exp(ϕR(t0 ))} g(t0 ) [g(t0 )]−1 {exp(ϕR(t0 ))}−1
46
= R(t0 ){exp(ϕR(t0 ))}{exp(ϕR(t0 ))}−1
= R(t0 )
elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.
4.4 Lorentz Hareketlerinin Doğrultu Konileri ile Karakterizasyonu
Doğrultu konileri o1 (3) ün elemanı olacağından, 3 × 3 tipindeki bu matrisler ve 3
boyutlu Minkowski uzayının vektörleri arasındaki bire bir eşlemeyi kullanarak, bu
konilere birer vektör gözü ile bakabiliriz. Konisel parametre ile verilmiş doğrultu
konilerinin normu 1 olacağından, bu vektör fonksiyonların S12 veya H02 üzerinde birer
eğri belirttiklerini düşünebiliriz. Bu bölümde, bu eğriler için üzerinde bulundukları
yüzeyleri de göz önünde bulundurarak, Darboux çatılarını ve bu çatılara göre eğriliklerini bulacağız. Bu eğrilikler ile küresel hareketler arasındaki ilişkiyi vereceğiz.
g(ϕ) bir küresel hareket R(ϕ) de bu hareketin sabit doğrultu konisi olsun. Eğer
R(ϕ) = 0 için T ile R yönündeki birim vektörü gösterelim..
Teorem 4.4.1 Eğer T , R (ϕ) eğrisinin S12 veya H02 üzerinde null olmayan tanjant
vektör alanı ise {R, T, N } Darboux çatısı için aşağıdaki eşitlikler doğrudur.





R
0
k1
0
R

 


  


 T  =  δ 3 k1 0
k2   T 

 


N
0
δ 1 k2 0
N
Burada k1 ve k2 , sırasıyla, R (ϕ) nin bu çatıya göre birinci ve ikinci eğrilikleri denir
N = [R, T ] olmak üzere T, N, R birimdir R, RL = δ 1 , T, T L = δ 2 , N, NL = δ 3
dir.
İspat. k1 = R ve
R, R L = T, NL = 0
47
için R , T L = δ 2 k1 eşitliğini elde ederiz. T, T L = δ 2 olacağından, T, T L = 0
olduğunu görürüz. Buradan
T = αR + βN
yazabiliriz.Ayrıca T, RL = 0 olduğundan;
T, R L + T , RL = 0
dır. Buradan α = δ 3 k1 bulunur. Şimdi β = k2 seçelim. Sonuç olarak,
T = δ 3 k1 R + k2 N
bulunur.
T, NL = 0,
N, NL = δ 3 ,
R, NL = 0
denklemlerin türevini alırsak, sırasıyla,
T , N L + T, N L = 0,
N , NL = 0,
R , N L + R, N L = 0,
elde ederiz. N = γT alırsak γ = δ 1 k2 ve dolayısıyla
N = δ 1 k2 T
elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 4.4.2 Eğer T , R (ϕ) eğrisinin S12 üzerinde null tanjant vektör alanı ise
aşağıdaki Darboux çatısı verilebilir.
48





R
0
k1 0
R

 



  

 T = 0
k2 0   T 

 


N
−k1 0 k2
N
Burada k1 ve k2 , sırasıyla, R (ϕ) nin birinci ve ikinci eğrilikleri olarak adlandırılır ve
R, RL = 1, T, N L = 1, T, T L = N, N L = 0 dır.
İspat. R , T yönünde null vektör alanı olduğundan R, T L = 0 dir. Dolayısı ile
R = k1 T
yazılabilir. Eğer T null vektör alanı ise
T = k2 T
yazılabilir.
N, N L = 0 olacaktır. Buradan
N = αR + βN
yazılabilir. R , N L = k1 ve T , N L = k2 olacağından, α = −k1 and β = k2
bulunur.
Teorem 4.4.3 Eğer T , R (ϕ) eğrisinin S12 veya H02 üzerinde null olmayan tanjant
vektör alanı ise aşağıdaki Darboux çatısı verilebilir.





R
0
k1
0
R
 



  


 T  =  δ 3 k1 0
k2   T 

 


N
0
δ 1 k2 0
N
Burada k1 ve k2 , sırasıyla, R (ϕ) nin birinci ve ikinci eğrilikleri, N = R, T , T , N, R
birim vektör fonksiyonlar ve R, RL = δ 1 , T , T L = δ 2 , N , N L = δ 3 .
İspat. Teorem 2.4.1 in ispatına benzer şekilde yapılır.
49
Teorem 4.4.4 Eğer T , R (ϕ) eğrisinin S12 üzerinde null tanjant vektör alanı ise
aşağıdaki Darboux çatısı verilebilir.





R
0
k1 0
R
 



  


 T = 0
k2 0   T 

 


N
−k1 0 k2
N
Burada k1 ve k2 , sırasıyla, R (ϕ) nin birinci ve ikinci eğrilikleri olarak adlandırılır ve
R, RL = 1, T , NL = 1, T , T L = N, NL = 0 dır.
İspat. Teorem 2.4.2 nin ispatına benzer şekilde yapılır.
Teorem 4.4.5 Doğrultu konilerinin eğrilikleri için
k1 = k1 ve k2 = 1 + k2 .
dir.
İspat. Bu teoremi yalnızca null eğriler için ispatlayalım. Spacelike ve Timelike
eğriler için ispat Öklid uzayındakine benzer biçimde verilebilir. R (t) = adg(t) R (t)
ve R (t) = adg(t) R (t) olduğunu biliyoruz. Buradan, N = adg(t) N dir. Teorem 4.4.2
ve Teorem 4.4.4 de verilen Darboux çatılarını kullanarak,
k1 = R , N L
= adg R , adg NL
= R , N L
= k1
elde ederiz. k1 ve k2 fonksiyonları pozitif olacaklarından k1 = k1 olacaktır.
Teorem 2.2.3 ün bir sonucu olarak adg T = T olduğunu söyleyebiliriz. Bu denklemde
türev alıp, gg −1 = 0 denkleminin türevinden gelen eşitliği kullanırsak
T =
adg T
50
= g T g −1 + gT (g −1 ) + gT g −1
= g g −1 gT g −1 + gT g −1 g(g −1 ) + adg(ϕ) T
= R.adg(ϕ) T − adg(ϕ) T .R + adg(ϕ) T
= [R, T ] + adg T
elde ederiz. T yerine eşitini yazar ve Lemma 4.1.1 i kullanırsak
k2 = [R, T ] , NL + k2
= det(R, T, N ) + k2
= 1 + k2 .
buluruz. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 4.4.6 R(ϕ) bir diferensiyellenebilir vektör fonksiyon ve R, R = ±1 olsun.
Bu durumda O1 (3) te sabit doğrultu konisi R(ϕ) olan ve g(0) = I3 koşulunu sağlayan
bir tek g(ϕ) hareketi vardır.
İspat. g g −1 = R diferensiyel denklemini ele alalım. Bu diferensiyel denklemi g nin
regüler bir matris olmasından dolayı, g = Rg biçiminde yazabiliriz. Buradan dokuz
tane diferensiyel denklem elde edilir. Diferensiyel denklemlerin varlık ve teklik teoreminden biliyoruz ki başlangıç koşulu ile verilen bu dokuz denklemin herbiri bir tek
çözüme sahiptir. Şimdi bu çözümün ortogonal grubun bir elemanı olup olmadığına
bakalım. gg −1 = I3 denkleminin diferensiyeli alınırsa sabit doğrultu konisi g g −1 = R
veya −g(g −1 ) = R şeklinde ifade edilir. R matrisi için Rt = −εRε eşitliği gerçeklendiğinden, (g )t = −g t εRε dir. Eğer y bilinmeyen matrisi için, y(0) = I3 başlangıç
koşulu ile y = −yεRε denklemini göz önüne alalım. y(0) = εg t (0)ε = g −1 (0) = I3
olacağından dolayı, bu denklem εg t ε ve g −1 gibi iki çözüme sahip olacağından ve bu
çözüm tek olacağından εg t ε = g −1 olduğunu söyleyebiliriz. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 4.4.7 Diferensiyellenebilir k1 > 0 ve k2 fonksiyonları ve Darboux çatısı
verilsin. k1 ve k2 eğrilikleri ve ϕ konisel parameteresi olacak biçimde bir tek g(ϕ)
hareketi vardır. Tersine, g1 (ϕ) ve g2 (ϕ) aynı eğriliklere sahip iki harekettir ancak ve
51
ancak γ 1 , γ 2 ∈ O1 (3) matrisleri için g1 (ϕ) = γ 1 g2 (ϕ) γ 2 dir.
İspat. Aşağıdaki
R = k1 T, T = k2 T, N = k1 R + k2 N
veya
R = k1 T, T = δ 3 k1 R + k2 N, N = δ1 k2 T
diferensiyel denklem sistemlerinden birini ele alalım. Bu sistemler her zaman birer
çözüme sahiptir. Eğer R1 (ϕ) bu sistem için bir çözümse R2 (ϕ) = adγ 1 R1 (ϕ) de bu
sitemin bir çözümüdür. R2 (ϕ) için bir Darboux çatısı
R2 = adγ 1 (ϕ) R1 (ϕ)
T2 = adγ 1 (ϕ) T1 (ϕ)
N2 = adγ 1 (ϕ) N1 (ϕ)
şeklinde bulunur. S = γ 1 γ −1
1 olsun. X (ϕ) bir vektör fonksiyon olmak üzere
adγ 1 (ϕ) X (ϕ)
−1 = γ 1 Xγ −1
+ γ 1 X γ −1
1 + γ1X γ1
1
−1
−1 −1
= adγ 1 X + γ 1 γ −1
1 γ 1 Xγ 1 − γ 1 Xγ 1 γ 1 γ 1
= adγ 1 X + S.adγ 1 X − adγ 1 X.S
= adγ 1 (ϕ) X (ϕ) + S, adγ 1 (ϕ) X (ϕ)
elde edilir. R2 (ϕ) vektör fonksiyonu için
R2 (ϕ) = k1 T2 = k1 T2 + [S, R2 ] .
yazılabilir. Buradan [S, R2 ] = 0 dır. Benzer biçimde [S, T2 ] = [S, N2 ] = 0 olduğu
görülebilir. Bu eşitliklerden S = 0 ise γ 1 = 0 olmalıdır. O halde γ 1 sabit bir
matristir. g (ϕ) γ 2 , γ 2 ∈ O1 (3) olacak biçimdeki matrislerinde bu sistem için bir
çözüm olduğunu gösterebiliriz. Bu durumda
g1 (ϕ) = γ 1 g2 (ϕ) γ 2
52
γ 1 , γ 2 ∈ O1 (3) tipindeki matrislerin bu denklem sisteminin çözümü olduğunu söyleyebiliriz.
Teorem 4.4.8 R (ϕ) , S12 veya H02 üzerinde null olamyan bir eğri olsun. s bu eğrinin
yay parametresi olmak üzere
dT
dN
dR
= T,
= δ 3 R + κN,
= δ 1 κT
ds
ds
ds
dir. Burada κ eğrinin küresel eğriliği olarak adlandırılır.
İspat. s bu eğrinin yay parametresi olduğundan
dR
ds
=
T.
dϕ
dϕ
Buradan k1 =
ds
dϕ
bulunur. Sonuç olarak,
dT
k2
= −R + N
ds
k1
ve
dN
k2
=− T
ds
k1
elde edilir. Ayrıca κ =
k2
k1
dir.
Teorem 4.4.9 R (ϕ) , S12 üzerinde null bir eğri olsun. s bu eğrinin yay parametresi
olmak üzere
dR
dT
dN
= T,
= κT,
= −R + κT
ds
ds
ds
dir. Burada κ eğrinin küresel eğriliği olarak adlandırılır.
Teorem 4.4.10 x (t1 ) ve x (t2 ) , S12 (veya H02 ) üzerinde iki eğri olsun. Bu eğrilerin
tanjant vektör alanları t1 = 0 ve t2 = 0 için eşit ise x (t1 ) sabit doğrultu konisi ve
x (t2 ) hareketli doğrultu konisi olacak şekilde bir tek hareket vardır.
İspat. t1 = 0 ve t2 = 0 için bu eğrilerin öyle bir s yay parametresi bulunabilir ki
53
s = 0 dır. Teorem 3.4.7 ve Teorem 2.4.8 den yada Teorem 3.4.7 ve Teorem 2.4.9 dan
κ (s) − κ (s) =
1
k1
olduğunu rahatlıkla görebiliriz. Burada
1
dϕ
=
k1
ds
olduğundan
dϕ
= κ (s) − κ (s)
ds
dir.
Son eşitlikten integral alarak ϕ yi s nin bir fonksiyonu olarak elde edebiliriz. Buradan
k1 = k1 (s (ϕ)) , k2 = κ (s (ϕ)) k1 (s (ϕ)) elde edilir. Bu ise sabit doğrultu konisinin
eğriliklerinin ϕ nin bir fonksiyonu olarak hesaplanabileceğini gösterir. Teorem 2.4.5
ten hareketin tek olduğu söylenebilir.
54
5. LORENTZ UZAY HAREKETLERİ
5.1 Minkowski 3-Uzayının Kongrünslarının Grubu ve Lie Cebiri
Tanım 5.1.1 = {O, u1 , u2 , u3 } ve = {A, f1 , f2 , f3 }, R31 de herhangi iki ortonormal çatı olsun. {u1 , u2 , u3 } çatısını {f1 , f2 , f3 } çatısına dönüştüren yarı-ortogonal
dönüşüm γ olmak üzere,

γ a

0 1


4×4
dönüşümüne Lorentz uzayının bir kongrüansı denir. Bütün bu dönüşümlerin kümesi,

G = {g = 
γ a
0 1

: γ ∈ O1 (3), a ∈ R31 }

4×4
ile gösterilir ve Lorentz uzayının transformasyonlarının grubu olarak adlandırılır.
a = 0 olması durumunda dönüşüm yarıortogonal bir dönüşüme karşılık gelen hareketi
temsil eder.
Teorem 5.1.1 G grubunun Lie Cebiri,


x t
0 0


4×4
tipindeki matrislerdir. Burada t ∈ R31 ve xt = −εxε dur.
İspat G grubunda bir

γ(t) a(t)
g(t) = 
0
1


eğrisi için g(0) = I4 olsun. Bu durumda,

g (0) = 
γ (0) a (0)
0
0


bulunur. Bir Lie grubunun birim noktadaki tanjant uzayı sol invaryant vektör alan55
ların uzayına izomorf olacağından, bu grubun Lie cebiri ;


x t
F = {
: t ∈ R31 , xt = −εxε}

0 0
4×4
kümesi olacaktır.

Kabul edelim ki g = 
γ a
0 1


 matrisinin tersi g −1 = 
δ b
0 1

 olsun. Bu durumda
gg −1 = I4

γ a

0 1



δ b

0 1
γδ a + γb
0
1

 = I4

 = I4
elde edilir. Buradan,
δ = εγ t ε ve b = −εγ t εa
olacağı görülür. O halde aşağıdaki lemmayı verebiliriz.

Lemma 5.1.2 g = 
γ a
0 1


 elemanın tersi g −1 = 
γ
−1
0
−1
−γ a
1
Şimdi X ∈ F için adg dönüşümünü hesaplayalım.
adg (X) = gXg −1

= 

= 
γ a
0 1


x t
0 0


γxγ −1 γt − γxγ −1 a
0
0
56
γ −1 −γ −1 a
0


1



 dir.

= 
adγ x γt − adγ a
0
0


dir.
F Lie cebiri üzerinde gl(4, R) den indirgenen Braket operatörü aynen geçerlidir. O
halde
[X, Y ] = XY − Y X
 




y s
y s
x t
x t

−


= 
0 0
0 0
0 0
0 0


xy − yx xs − yt

= 
0
0


[x, y] xs − yt

= 
0
0
olarak bulunur. Burada x, y ∈ o(3) ve t, s ∈ R3 dir.
F Lie cebirinin bir bazını,

0 0
0


0
0 1






X1 =  0 0 −1  , X2 =  0 0 0



0 1 0
−1 0 0
T1



1
0
 

 

=  0  , T2 =  1
 

0
0



0

 

 
 , T3 =  0 

 
1
57


0 −1 0




,
X
=

 1
3


0
0
0



0 

0
biçiminde seçebiliriz. Bundan sonra X ∈ F elemanını,

x1 ; t 1


[x; t] veya  x2 ; t2

x3 ; t 3





biçiminde gösterelim. Bu durumda X = [x; t] ve Y = [y; s] için
[X, Y ] = [[x; t], [y; s]]
= [x ×L y; x ×L s + t ×L y]
ve
adg (X) = [γx; γt + a ×L γx]
yazılabilir.
Tanım 5.1.2 X = [x; t] ve Y = [y; s] olmak üzere F üzerinde,
K(X, Y ) = x, yL
ve
Kl(X, Y ) = x, sL + y, tL
biçiminde tanımlanan bilineer formlar, sırasıyla, Killing bilineer formu ve Klein bilineer formu olarak adlandırılır.
Teorem 5.1.3 Killing bilineer formu K ve Klein bilineer formu Kl, adjoint dönüşümü
altında invaryanttır.



x
y
 1 
 1



İspat γ ∈ O1 (3) ve x =  x2  ve y =  y2



x3
y3



 olmak üzere

K(X, Y ) = x, yL
= γx, γyL
58
= adγ x, adγ xL
= K(adγ X, adγ Y )
elde edilir.
Kl(adg X, adg Y ) = Kl([γx; γt + a × γx], [γy; γs + a × γy])
= γx, γs + a × γyL + γy, γt + a × γxL
= γx, γsL + γt, γyL + γx, a × γyL + γy, a × γxL
= γx, γsL + γt, γyL
= Kl(X, Y )
dir.
5.2 Minkowski 3-uzayında Plücker Koordinatları ve Doğrular
Bu bölümde timelike yada spacelike doğruların plücker koordinatları hakkında bilgi
verilecek, bu doğruları koruyan helisel hareketler ve bu hareketlerin özel hali olan dönmeler incelenecektir. Bu dönüşümlerin grup yapısı ve Lie cebirleri üzerinde tanımlı
Killing ve Klein bilineer formları hesaplanarak geometrik anlamları hakkında bilgi
verilecektir.
Tanım 5.2.1 X = [0; t] ∈ E sıfırdan farklı K(X, X) = 0 koşulunu sağlayan bir
vektör olsun.
Ψ(X) = {Y ∈ E : [X, Y ] = 0}
kümesi, X vektörünün merkezleyeni olarak adlandırılır.
Şimdi 3 boyutlu Minkowski uzayı ve bu uzay içinde null olmayan bir p doğrusunu
ele alalım.Bu doğru parametrik olarak
p = A(λ) = m + λx
biçiminde ifade edilebilir. Burada x birim vektör ve m orijin ile orijinden doğruya
59
çizilen dikme ayağının belirttiği vektördür. Eğer x timelike(spacelike) vektör ise p
de timelike(spacelike) doğru adını alır. [x; t] = [x; m ×L x] vektör çifti p doğrusunun Plücker koordinatları olarak adlandırılırlar. Tersine eğer bir doğrunun Plücker
koordinatları, [x; t] verilirse, doğrunun denklemi
p = A(λ) = x ×L t + λx
biçiminde elde edilebilir.
Tanım 5.2.2 Lp ile 3 boyutlu Minkowski uzayında null olmayan bir p doğrusunu
koruyan bütün kongrüanslarının kümesini gösterelim. Lp ile de 3 boyutlu Minkowski
uzayının, p doğrusunun noktalarını koruyan bütün kongrüanslarının kümesini gösterelim. Lp , p ekseni etrafındaki bütün helisel hareketleri ve Lp de p ekseni etrafındaki
dönmeleri ifade eder.
Şimdi bu grupların Lie cebirlerini bulalım. Mp ve Mp , sırasıyla, Lp ve Lp gruplarının
Lie cebirleri olsun.

g=
ise


γ a
0 1


γ a
0 1


m + λx
1
∈ Lp
4×4


=
m + µx
1


koşulu sağlanmalıdır. Burada µ ∈ R olup λ ya bağlıdır. Buradan
a + γm + λγx = m + µx
(5.1)
elde edilir. Bunun yanında eğer g ∈ Lp ise λ = µ olmalıdır. λ = 0 için ;
a + γm = m + µ0 x
(5.2)
elde edilir. Burada µ0 sabittir. (5.2) denklemini (5.1) denkleminde yerine koyarsak,
λγx = (µ − µ0 )x
60
bulunur. İki tarafın da normunu alarak,
±λ = µ − µ0
olduğu görülür. Burada λ nın iki türlü bulunması, geometrik olarak λ = µ − µ0
olması demek, γ yarı-ortogonal matrisinin özel yarı-ortogonal grubun(SO1 (3)) bir
elemanı olması demektir. Yani bu şekilde seçilen λ, yönü korur.Bu seçimden dolayı;
γx = x
olduğu rahatlıkla görülebilir. Bunun yanında
a + γm = m + µ0 x
bulunur. Burada µ0 = µ0 (a, γ) dır.
g(t), Hp grubunun içinde g(0) = I4 başlangıç koşulunu sağlayan diferensiyellenebilir
bir eğri olsun.t = 0 için g(t) eğrisinin tanjant vektörü
γ x = 0 ve a + γ m = µ0 x
koşullarını sağlar. γ x = 0 denklemi vektör notasyonunda γ ×L x = 0 biçiminde
ifade edilebilir. Buradan γ = αx, α ∈ R sonucu çıkar.
Sonuç olarak a +αx×L m = µ0 x olup buradan a (0) = αm×L x+βx olacağı görülür.
Burada µ0 = β dır. t = 0 anında g(t) tanjant vektörü matris formunda,


γ (0) a (0)
0
0
61


ya da vektör formunda [αx; αm ×L x + βx] biçiminde ifade edilebilir. Şu halde,
Mp = {[αx; αm ×L x + βx] : α, β ∈ R}
biçimindedir. λ = µ olması durumunda µ0 = 0 olacağından;
Mp = {[αx; αm ×L x] : α ∈ R}
bulunur. O halde aşağıdaki lemmayı verebiliriz.
Lemma 5.2.1 p = A(λ) = m + λx bir doğru ve burada x, xL = ±1 ve m, xL = 0
olsun. Bu durumda Lp iki boyutlu bir gruptur ve Lie cebiri;
Mp = {[αx; αm ×L x + βx] : α, β ∈ R}
biçimindedir. Lp bir boyutlu bir gruptur ve Lie cebiri;
Mp = {[αx; αm ×L x] : α ∈ R}
dir.
Lemma 5.2.2 Üç boyutlu Minkowski uzayının doğruları ile F Lie cebirinin {αX}
tipindeki Kl(X, X) = 0 ve K(X, X) = 0 koşullarını sağlayan alt uzayları arasında
bire bir eşleme vardır. Ek olarak, eğer [x; t] bir doğrunun Plücker koordinatları ise
{αX} = {[αx; αt]} dir.
İspat X ∈ F vektörü için Kl(X, X) = 0 ve K(X, X) = 0 olması için gerek ve yeter
koşul G grubu içinde g(t) bir parametreli alt grubunun tanjant vektörünün X olmasıdır. Bu grup bir doğru etrafında dönmeyi ifade eden Lp grubundan başkası
değildir. Çünkü t, xL = 0 dır, bununla beraber X = [x; t] ∈ E, x = 0 ve
Kl(XX) = 0 koşulları gerçeklenir. Varsayalım ki K(X, X) = x, xL = ±1 gerçeklensin. t = m ×L x alırsak, αX, α ∈ R biçimindeki bütün vektörlerin kümesi,
doğrultman vektörü x olan doğru etrafında, dönme yaptıran dönüşümlerin grubunun
62
Lie cebiridir. Tersine, Kl([αx; αm × x], [αx; αm × x]) = 0 bulunur.
Lemma 5.2.3 F Lie cebirinde Lp ler maksimal ve değişmeli alt cebirlerdir. Minkowski
3-uzayının doğruları ile F nin iki boyutlu, maksimal, değişmeli alt cebirleri arasında
bire bir eşleme vardır.
İspat. Öncelikle Mp nin maksimal, değişmeli alt cebir olduğunu gösterelim. Mp alt
cebirinin elemanları
X = [αx; αt + βx]
tipindedir. Burada x, xL = ±1, x, tL = 0 ve α, β ∈ R dir. X1 = [α1 x; α1 t + β 1 x],
X2 = [α2 x; α2 t + β 2 x], Lp alt cebirinin iki elemanı olsunlar.
[X1 , X2 ] = [α1 α2 x ×L x; α1 x ×L (α2 t + β 2 x) + (α1 t + β 1 x) ×L α2 x]
= [0; α1 α2 x ×L t + α1 α2 t ×L x]
= 0
bulunacağından Mp nin değişmeli bir alt cebir olduğu söylenebilir. Y = [y; s], E de
bir eleman olsun. X ∈ F için [X, Y ] = 0 olduğunu varsayalım. Bu durumda
0 = [X, Y ]
= [[αx; αt + βx], [y; s]]
= [αx ×L y; αx ×L s + αt ×L y + βx ×L y]
olup, bu eşitlikten x×L y = 0 ve x×L s+t×L y = 0 dır. O halde µx = y alınabilir. Bu
gerçeği de kullanarak son denklemden x ×L (s − µt) = 0 elde edilir. Benzer biçimde
s = vx − µt, v ∈ R bulunur. Yani Y = [µx; vx − µt] ∈ Mp olduğu görülür.
Tersine S, F nin içinde maksimal, değişmeli ve iki boyutlu bir alt cebir olsun. Bu
durumda X = [x; t], Y = [y; s] ∈ S bir baz olsun. x = y = 0 olması halinde,
[X, Y ] = [[0; t], [0; s]] = [0; t ×L s] olup, bu son vektör X ve Y ile lineer bağımsız
olacağından S cebiri iki boyutlu olamaz. O halde x = y = 0 olamaz. Şimdi x
yada y nin en az birinin sıfırdan farklı olduğunu varsayalım. Şu halde y = λx ve
63
x ×L (s − λt) = 0 olmak zorundadır. Buradan s yi çekersek; s = λt + µx buluruz.
Sonuç olarak X = [x; t], Y = [λx; λt + µx] dır. Burada µ = 0 olması, X ve Y nin
baz olması için gereklidir.
Lemma 5.2.4 X ve Y , sırasıyla, p ve q timelike doğrularının plücker koordinatları
olsunlar. p ve q arasındaki hiperbolik açı ϕ ve d de iki doğru arasındaki en kısa
uzaklık olmak üzere K(X, Y ) = cosh ϕ ve Kl(X, Y ) = d sinh ϕ dir. (Eğer Doğrular
spacelike alınırsa K(X, Y ) = cos ϕ ve Kl(X, Y ) = d sin ϕ dir.)
İspat. X = [x; A ×L x], Y = [y; B ×L y] olsun. Burada x ve y birim vektörler, A ve
B, sırasıyla, p ve q doğruları üzerinde birer nokta olsun. Sonuç olarak K(X, Y ) =
x, yL = cosh ϕ bulunur. Ayrıca,
Kl(X, Y ) = x, B ×L yL + A ×L x, yL
= − det(x, y, B) + det(x, y, A)
= det(x, y, A − B)
= x ×L y, A − BL
olacaktır. A ve B bu iki doğrunun dikme ayakları olsun. Bu durumda x ×L y, A − B
vektörü ile aynı doğrultudadır. A − B = d olduğundan,
x×y =±
A−B
sinh ϕ
d
bulunur. Buradan,
A−B
sinh ϕ, A − BL
d
= d sinh ϕ
x ×L y, A − BL = ±
dır. Bu da ispatı tamamlar.
5.3 Minkowski 3-Uzayında Hareketlerin Doğrultu Konileri
Bu bölümde uzay hareketlerinin doğrultu konileri ve bu konilerin küresel hareket64
lerin doğrultu konileri ile ilişkisi verilecek, buna ek olarak, yine doğrultu konileri
yardımıyla uzay hareketlerinin ani hareketleri incelenecektir.

g(t) = 
γ(t) a(t)
0
1


bir uzay hareketi olsun.
Tanım 5.3.1 F içinde sabit doğrultu konisel yüzeyi
r = g g −1
ile verilir. Hareketli doğrultu konisel yüzeyi ise
r = g −1 g ile verilir.
Şimdi küresel hareketin konisel yüzeyi ile uzay hareketinin konisel yüzeyi arasındaki
ilişkiyi belirleyelim. Bunun için r ve r vektör fonksiyonlarını hesaplayalım.
Teorem 5.3.1

g(t) = 
γ(t) a(t)
0
1


bir uzay hareketi olsun. Bu durumda, sabit ve hareketli doğrultu konileri, sırasıyla,

r(t) = 
ve
γ γ t a − γ γ t a
0

r(t) = 
0
γ t γ γ t a
0
dir.
65
0



,

İspat. g −1 = 
γ
0
t
t
−γ a
1

 olacağından;

r(t) = 

= 
γ a
0
0


γ t −γ t a
0
γ γ t a − γ γ t a
0
0
1




ve

r(t) = 

= 
γ t −γ t a
0
1
t t γγ
γa
0
0


γ a
0
0




olarak bulunur.
Şimdi doğrultu konilerini vektör notasyonunda ifade edelim.
r(t) = [x(t); t(t)]
ve
r(t) = [x(t); t(t)]
biçiminde ifade etmek mümkündür. Burada x(t) = γ γ t ve x(t) = γ t γ olup karşılık
gelen küresel hareketin, sırasıyla, sabit ve hareketli konisel yüzeyleri olacaktır. Ayrıca
t(t) = a − γ γ t a ve t(t) = γ t a
dir.
Uzay hareketinin konisel parametresine karşılık gelen küresel hareketin konisel parametresi olarak tanımladığımızda, sabit ve hareketli doğrultu konileri aşğıdaki gibi
66
tanımlanabilir.
Tanım 5.3.2 g(ϕ), ϕ konisel parametresi ile verilen bir uzay hareketi olsun. Bu
durumda bu hareketin sabit doğrultu konisi,
R(ϕ) = g (ϕ)g −1 (ϕ)
ve hareketli doğrultu konisi,
R(ϕ) = g −1 (ϕ)g (ϕ)
biçimindedir.
Lemma 5.3.2 R ve R , sırasıyla, bir uzay hareketinin sabit ve hareketli doğrultu
konileri olmak üzere K(R, R) = K(R, R) = ±1 dir.
İspat. R = [x(ϕ); t(ϕ)] ve R(t) = [x(ϕ); t(ϕ)] olacağından,
K(R, R) = x, xL
= ±1
= x, xL
= K(R, R)
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
Lemma 5.3.3 g(ϕ), ϕ konisel parametresi ile verilen bir uzay hareketi olsun. Bu
durumda
R (t) = adg(t) R (t)
ve
R(t) = adg(t) R (t)
dir. Burada R ve R , sırasıyla, uzay hareketinin sabit ve hareketli doğrultu konileridir.
67
İspat. R (ϕ) sabit doğrultu konisi için
R (ϕ) = g g −1
= g(g −1 g )g −1
= adg(ϕ) R (ϕ)
olduğu kolayca görülür. Sabit ve hareketli doğrultu konileri aşağıdaki gibi tanımlanmıştı,
R = g g −1 , R = g −1 g buradan
R = g g −1 + g (g −1 ) , (R ) = (g −1 ) g + g −1 g ve
adg(ϕ) R (ϕ) = g(g −1 ) g g −1 + g g −1 .
elde edilir. gg −1 = I3 denkleminde türev alırsak, g g −1 + g(g −1 ) = 0 eşitliğini elde
ederiz. adg(t) R (t) ifadesini hesaplayıp, g g −1 + g(g −1 ) = 0 eşitliğinden yararlanarak
adg(ϕ) R (ϕ) = −g(g −1 ) g(g −1 ) + g g −1
= g (g −1 ) + g g −1
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
Teorem 5.3.4 R, verilen g helisel hareketinin t0 anındaki sabit doğrultu konisi
olsun. Bu durumda R3 ün bir noktasının bu hareket altındaki yörüngesi R nin
spacelike yada timelike olması durumuna göre, sırasıyla, bir Lorentzian helistirveya
bir Öklidyen helistir .
İspat. R ye t0 anında karşılık gelen matris F nin bir elemanı olup, Teorem 3.3.2
deki düşünceyle
68

0 0


 0 0
T = 

 0 1

0 0
0
1



−1 0 


0
0 

0
0

veya
0 1


 1 0
G=

 0 0

0 0
0 0



0 0 


0 1 

0 0
formuna getirilebilir. Bu matrise karşılık gelen lineer dönüşümün integral eğrileri, bu
3
hareket altında bir noktanın yörüngesi olacaktır.
 α(ϕ) = (α1 (ϕ), α2 (ϕ), α3 (ϕ)), R

α
 1 




α
2
 biçiminde gösterirsek;
de C 1 sınıfından bir eğri olsun. Bu eğriyi 


 α3 


1
Gα = α
sabit katsayılı diferensiyel denklemin çözümü
α(ϕ) = (A cosh ϕ + B sinh ϕ, A sinh ϕ + B cosh ϕ, Cϕ)
eğrisi olup, bir Lorentzian helis belirtir. T matrisine karşılık gelen dönüşüm için
inceleme yaparsak, elde edeceğimiz çözüm,
α (ϕ) = (Cϕ, B cos ϕ − A sin ϕ, A cos ϕ + B sin ϕ)
olacaktır. Bu ise bir Öklidyen helistir. Böylelikle ispat tamamlanır.
69
KAYNAKLAR
Bottema, O. and Roth, B. 1979. Theoretical kinematics. North Holland. Publ.
Company New York.
Duggal, K.L., Bejancu, A. 1996. Lightlike submanifolds of semi-Riemannian manifolds and applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
Hacısalihoğlu, H.H. 1980. İleri diferensiyel geometri. Fırat Üniversitesi Fen Edebiyat
Fakültesi Yayınları, Math. No.2.
Hacısalihoğlu, H.H. 1983. Hareket geometrisi ve kuaterniyonlar teorisi. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Yayınları, Math. No.2.
Hall, B.C. 2000. An elementery introduction to groups and representations. Arxiv:
math-ph/0005032v1.
Hiller, M. and Woernle, C. 1984. A unified representation of spatial displacement.
Mech. Mach. Theory. Vol. 19, No.6, 477-486.
İlarslan, K. 2005. Spacelike normal curves in minkowski 3-space. Turkish Journal
of Mathematics. Vol. 29. No.1. 53-63.
Karger, A. and Novak, J. 1985. Space kinematics and Lie groups. Gordon and
Breach Science Publishers. Switzerland.
Kula, L. 2003. Bölünmüş kuaterniyonlar ve geometrik uygulamaları. Doktora Tezi.
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. Ankara.
O’Neill, B. 1983. Semi-Riemannian geometry with applications to relativity. Academic Press, New York.
Yaylı, Y., Çalışkan, A. and Uğurlu, H.H. 2000. The E. Study maps of circles on dual
hyperbolic and Lorentzian unit spheres H02 and S12 . Math. Proc. R. Ir.
Acad. 102 A, No.1, 37-47
Weinstein, T. 1995. Lorentz surfaces.Rutgers University,New Brunswick.New Jersey.
70
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Özgür Hakan AYDOĞMUŞ
Doğum Yeri
: Hacıbektaş
Doğum Tarihi : 13. 07.1982
Medeni Hali
: Bekar
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Batıkent Lisesi (1999)
Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü (2004)
71