Örnek - SABİS

BİYOİSTATİSTİK
OLASILIK
B
Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT
*Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve
benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği
topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde bulunan
birimlere eleman adı verilmektedir.
*Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle, elemanlar
ise a, b, c gibi küçük harflerle gösterilirler. Kümelere, takım
sınıf, cümle, set gibi isimler de verilmektedir.
*Eğer herhangi bir a elemanı, herhangi bir B kümesine ait ise
aB
*Eğer a, B’nin elemanı değilse
a 
B şeklinde yazılır.
2
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme
elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer
bir olayın olasılığının hesaplanmasında, mümkün haller sayısı
çok büyük ise olayın doğrudan sıralanması veya sayılması uzun
zaman alır ve bazı hallerde doğrudan saymak mümkün olmaz.
Bu gibi durumlarda saymayı kolaylaştırıcı bazı tekniklere
ihtiyaç duyulur. Bu tekniklere sayma teknikleri (combinational
analysis) adı verilir.
*Çarpma Kuralı: A1 ve A2 kümeleri sırasıyla n1 ve n2 eleman
içeriyorsa, A1’in bir elemanı ile A2’nin bir elemanını seçmenin
n1 * n2 değişik yolu vardır. Yani iki olay aynı anda n1 * n2
3
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
değişik şekilde meydana gelir.
*Bir işin yapılabilmesi için k1, ikinci bir işin yapılabilmesi için
k2 ,…
, n. bir işin yapılabilmesi için ise kn yol varsa, bu n
tane işin yapılabilmesi için
*k1. k2 . ... .kn
*farklı yol vardır.
*Buna çarpmanın (saymanın) temel kuralı adı verilmektedir.
4
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Çarpım Kuralının Genelleştirilmesi: A1, A2,.......,Ak kümeleri
sırasıyla n1, n2,......., nk eleman içeriyorsa, önce A1’in bir,
sonra A2’nin bir, sonra A3,........, Ak’nin bir elemanını
seçmenin n1*n2*n3* ,......., *nk değişik yolu vardır. Yani k olay
bir arada n1* n2*........*nk farklı şekilde meydana gelir.
*Örnek: Test şeklinde yapılan bir sınavda 5 soru ve 5 cevap
şıkkı varsa bir öğrenci bu 5 soruyu kaç farklı şekilde
cevaplandırır.
*5*5*5*5*5 = 55 = 3125 değişik şekilde işaretleyebilir.
5
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek: 30 kişilik bir sınıftan bir başkan seçimi 30 değişik
biçimde yapılabilir, başkan seçildikten sonra, geriye kalan 29
kişiden bir başkan yardımcısı seçileceğinden dolayı, başkan
yardımcısı seçimi de 29 değişik biçimde yapılabilir. Saymanın
temel prensibine göre bu iki işin yapılabilmesi için
*𝟑𝟎 ∗ 𝟐𝟗 = 𝟖𝟕𝟎 farklı yolu vardır.
*K1
k2=k1*k2
6
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek: A’dan B’ye üç , B’den C’ye ise iki farklı yol vardır.
B’ye uğramak şartıyla A’dan C’ye kaç farklı yolla gidilebilir?
*Çözüm: Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi,
*A’dan B’ye herhangi bir yolla gelen C’ye 2 değişik yolla
gidebilir.
*Bu durum 3 de tekrar edeceğinden A’dan C’ye 3*2 = 6 değişik
yolla gidilebilir.
7
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*l’den n’e kadar pozitif tam sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n!
sembolü ile gösterilir ve n ! = n * (n -1) * (n - 2) * …*3 *2 * 1
biçiminde yazılır. 0! = 1 olarak kabul edilir.
*Örnek
5!=5*4*3*2*l = 120
5! 5∗4∗3∗2∗1
a) =
=20
3∗2∗1
3!
b) (7 - 3) ! = 4 ! = 4 * 3 * 2 * I = 24
c) ( x  2)!  ( x  2) * ( x  1)!  x  2
( x  1)!
( x  1)!
( x  2)! ( x  2) * ( x  1) * ( x) * ( x  1)!

 ( x  2) * ( x  1) * ( x)
d)
8
( x  1)!
( x  1)!
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*n Elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek sıra önemli olmak
kaydıyla sıralanması halinde bunun kaç farklı şekilde
sıralandığını gösteren sayıya permütasyon adı verilir.
*Başka bir ifade ile n N olmak üzere, n elemanlı bir kümenin
birbirinden farklı r (r ≤ n) tane elemanının her bir farklı
dizilişine bu kümenin r’li bir permütasyonu denir ve şöyle
formüle edilir;
*𝑃
3,2 =
3!
3−2 !
=
3!
1!
=6
*Burada (!) işareti faktöriyel olarak adlandırılır ve bunun
altındaki bütün pozitif tam sayıların çarpılacağı anlamına
gelir. n! = n.(n-1).(n-2).....olarak
yazılır.
9
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek: A = {x,y,z} olmak üzere, A’nın 2’li permütasyonlarının
dizilişi,
*xy xz yz
*yx zx zy
*biçiminde altı tanedir. Bu durum permütasyonla aşağıdaki gibi
hesap edilir.
*𝑃
3,2 =
3!
(3−2)!
=
3!
=6
1!
10
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek: Bir rafta birbirinden farklı 5 tane Matematik, 2 tane Fizik ve
3 tane Kimya kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak
üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir?
*Çözüm: 5 Matematik kitabını 1 kitap, 2 Fizik kitabını 1 kitap ve 3
Kimya kitabı 1 kitap olarak düşünülürse, bunlar 3! şeklinde
sıralanır. 5 Matematik kitabı kendi arasında 5!, 2 Fizik kitabı kendi
arasında 2! ve 3 Kimya kitabı da kendi arasında 3! şeklinde
sıralanabilir. Şu halde kitaplar bir rafa;
3!*5!*2!*3! = 8640 farklı şekilde sıralanır.
*Örnek: 8! = a ise ( 10! – 9! ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
*Çözüm: 10! – 9! = 10 * 9! – 9! = 10*9*8!-9*8! 10*9*a-9*a
90a-9a=81a olur.
11
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek: 20 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk üç derece kaç farklı
şekilde olabilir?
*Çözüm: Örnekte ilk üç derece önemli olduğundan permütasyon
uygulanması gerekir.
20!
20! 20 19 18 17!


 20 19 18  6840
20 P3 
( 20  3)! 17!
17!
12
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*n eleman içeren bir kümede r
eleman birbirinin aynısı, r2 eleman
birbirinin aynısı,...... rk eleman birbirinin aynısı ise n elemanın
Permütasyon sayısı
n!
r1! r2!.....rk ! şeklinde hesaplanır.
*Örnek: ÇANAKKALE kelimesinin harfleri ile kaç farklı kelime
yazılabilir?
*Çözüm: Kelimede A 3 kez, K 2 kez tekrarlanmış, n = 9 (harf sayısı)
olduğuna göre;
n!
9!
1

r1! r2!.....rk ! 3!2!
 30240 olur.
*Örnek: Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye 3 farklı test verilecektir.
Her testi alan öğrenci sayısı aynıdır. Dağıtım kaç farklı şekilde
gerçekleştirilir. 15!  756756
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
5!5!5!
13
*n tane farklı elemanın daire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın
dönel (dairesel) sıralaması adı verilir. Dairesel sıralamada en baştaki ile
en sondaki eleman yan yana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel
(dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik
eleman alınarak bulunur. Yani n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının
sayısı (n-1)! olur.
*Örnek: 7 kişilik bir komisyon bir masa etrafında oturacaktır.
a) Bu komisyon yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
b) Bu komisyon düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?
c) Komisyon başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir
masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?
Çözüm: a) (7-1)! = 6! = 720;
b) 7! = 5040;
c) (6-1)! *2! = 5!*2! = 240
14
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*n  N olmak üzere, n farklı nesnenin (düzenleme sırasına
bakılmaksızın) r (r ≤ n) elemanlı alt kümelerinin her birine bu
kümenin r’li bir kombinasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r’li
kombinasyonlarının sayısı C(n,r) veya ile nr  gösterilir ve
 n
n!
n Cr  
 r   (n  r )!r!
 
*Eşitliği ile hesaplanır. Burada dikkat edilirse, kombinasyon ve
permütasyon arasındaki ilişki,
n!
n
n!
P(n; r )
(n  r )!
n Cr  
 r   (n  r )!r!  C (n, r )  r!  C (n, r )  r!  P(n; r )  r!C (n, r )
 
olur
15
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Permütasyon sıranın önemli olduğu problemlere uygulanmaktadır.
Ancak bazı problemlerde sıranın önemi yoktur. Böyle durumlarda
Permütasyon uygulamak doğru olmaz. Sıra önemli olmak şartıyla
a,b,c,d harflerinden üçerli gruplar oluşturulduğunda aşağıdaki
sonuçlar elde edilir.
abc
acb
bac
bca
cab
cba
r! = 3! =6
abd
adb
bad
bda
dab
dba
r! = 3! =6
acd
adc
cad
cda
dac
dca
r! = 3! =6
bcd
bdc
cbd
cdb
dbc
dcb
r! = 3! =6
*Tablodan görüleceği üzere üçerli grupların sayısı yani,
Permütasyon sayısı;
4!
 24
olacaktır.
(4  3)!
*Sıra önemli olduğundan yukarıdaki her satır sadece bir alt kümenin
permütasyonundan ibarettir.
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
16
*Örnek: A - {x,y,z} olmak üzere, A’nın 2’li permütasyonlarının
dizilişi,
xy
xz
yz
yx
zx
zy
biçiminde altı tanedir. A kümesinin 2’li kombinasyonlarının sayısı,
diğer bir deyişle; 3 elemanlı A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin
sayısı, 3 tanedir. Çünkü, bir kümenin elemanlarının yeri
değiştiğinde, yeni bir durum ortaya çıkmaz. Yani {x,y} ile {y,x}aynı
durumdur ve {x,y}= {y,x} olur. Dolayısıyla, permütasyon
3!
3!
3!
3* 2
P(3;2) 
 3 * 2  6 C (3,2) 


3
(3  2)!
(3  2)!*2! (1)!*2!
2
olarak bulunur. Görüldüğü üzere, P(3;2) = 2!*C(3,2) eşitliği
sağlanmaktadır
17
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek: 10 üyesi olan bir dernekte 3 kişilik bir komisyon kaç
değişik şekilde teşkil edilebilir.
*Çözüm: Komisyonda bulunan şahısların seçim sırası önemli
olmadığına göre kombinasyon formülü uygulanır.
10 
10!
10! 10.9.8.7!
C    


 120
10 3  3  (10  3)! 3! 7! 3!
7! 3!
18
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Rassal Deney: Rassal herhangi bir olayın, belli bir anda meydana gelip
gelmemesi konusunda daima bir belirsizlik vardır. Bu sebeple olasılık
hesaplarının konusunu rassal sonuçlar veren deneyler teşkil eder.
*Meydana gelmesi beklenen bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir değer
olur. Eğer bir olayın kesinlikle olacağından emin olunuyorsa olayın
meydana gelmesi %100’ olup olasılığı 1 ile gösterilir.
*Tersine bir olay kesinlikle olmaz deniyorsa o olayın olasılığı da sıfırdır.
*Aynı şartlar altında farklı sonuçlar veren deneylere rassal deney denir.
Bir madeni paranın veya zarın havaya atılması deneyi, rassal deneye
örnek olarak verilebilir.
19
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek Uzay: Bir rassal deneyin mümkün bütün sonuçlarının kümesine örnek
uzay denir. S, bir deneyin örnek uzayını, s de, bu uzaya ait herhangi bir
mümkün sonuç olsun, s’ye, nokta, eleman veya örnek nokta denir.
*Bir örnek uzayın elemanları, sayılabilir çoklukta ise “sonlu”, doğal sayılar
kümesiyle birebir eşlenebiliyorsa “sayılabilir olarak sonsuz”, bu iki durum
dışında ise “sayılamaz” örnek uzayı olur.
*Örnek: Bir madeni paranın havaya atılması deneyinde, paranın yazı gelmesi
Y, tura gelmesi de T ile gösterilecek olursa örnek uzay S = {Y,T} olur. İki
madeni paranın havaya atılması deneyinde ise, örnek uzay S = {YY, YT, TY,
TT} olur. Dikkat edilirse, bir para için örnek uzayın eleman sayısı 21 = 2, iki
para için örnek uzayın eleman sayısı 22 = 4 ’tür. Bu durum genelleştirilirse, n
madeni paranın havaya atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı 2n olur.
20
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek: Bir sınıfta 15 0ğrenci var. Bu öğrencilerden rasgele 10
kişilik grup oluşturulduğunda örnek uzayın eleman sayısı
aşağıdaki gibi olur.
*𝐶
15,10 =
360360
120
15!
15−10 !10!
=
15!
5!10!
=
15.14.13.12.11.10!
5.4.3.2.1.10!
=
=3003
*Örnek: Bir depoda, 8 ürün vardır. Bu ürünlerden rasgele 6 ürün
alındığında örnek uzayın eleman sayısı aşağıdaki gibi olur.
*𝐶
8,6 =
8!
8−6 !6!
=
8.7.6!
2.1.!6!
=
56
2
21
= 28
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Olay: Örnek noktalardan herhangi birine veya birkaçına olay
denir. Örnek uzayın her alt kümesi bir olaydır.
*Olaylar, A, B, C,... veya A1, A2, ... gibi sembollerle
gösterilecektir.
*Örnek: İki madeni paranın havaya atılması deneyindeki S = {YY,
YT, TY, TT} örnek uzayı için, en az bir kez yazı gelmesi olayı A =
(YY, YT, TY}, en az bir kez tura gelmesi olayı B = (YT, TY, TT},
iki kez tura gelmesi olayı C = {TT} ile gösterilebilir.
*Dikkat edilirse A, B, C olayları S örnek uzayının alt kümeleridir.
22
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Ayrık Olaylar: A, B  S olmak üzere AB =  ise A ve B
olaylarına ayrık olaylar denir. Yani, A ve B olayları ortak
sonuca sahip değil iseler ayrıktırlar.
*
Ayrık olaylarda, birinin meydana gelmesi, diğerinin
meydana gelmesini engeller Örnek olarak, bir öğrenci, bir
dersin sınavından ya geçer ya da kalır. Sınavdan geçmek ya
da kalmak aynı anda mümkün değildir.
*
A1, A2, A3,... An aynı örnek uzayının alt kümeleri
(olayları) iken, tüm i ve j’ler için ij olmak üzere AiAj=
ise A1 ,A2 ,A3, …., An olaylarına karşılıklı ayrık olaylar
denir.
23
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Bir
A, S örnek uzayında
tanımlanmış herhangi bir olay olmak üzere, A’da
olmayıp, evrensel kümede bulunan bütün elemanların
kümesine A kümesinin tümleyeni denir.
Kümenin
Tümleyeni:
*𝐴 = 𝑥: 𝑥𝐴 𝑣𝑒 𝑥𝑆 Biçiminde yazılır.
*A kümesinin tümleyeni şu şekilde
gösterilebilir.
24
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Bir Kümenin Tümleyeni: A kümesi (olayı) için, tümleme
özellikleri aşağıda verilmiştir
1.
2.
3.
4.
5.
A =A
∅=S
S=∅
A∪A=S
A∩A=∅
6.
A∩B =A∪B
7.
A∪B =A∩B
25
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Olasılık
Kavramı:
Olasılık
kavramı
iki
şekilde
incelenebilir:
1.
2.
Klasik olasılık
Deneysel olasılık
26
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Olasılık
problemlerinin çözümünde, herhangi bir deneyin
mümkün bütün durumlarının (sonuçlarının) ortaya çıkma
olasılıkları özel olarak belirtilmemişse, bu olayların ortaya
çıkma olasılıklarının birbirine eşit olduğu kabul edilerek
işlem yapılır.
*Bir rassal deneyde, sonlu bir S = {A1, A2, ..., An} örnek uzayı
için, olayların ortaya çıkma olasılıklarının aynı (birbirine eşit)
olması, P(A1) = P(A2) =... = P(An) biçiminde gösterilir ve eşit
olasılıklı olma biçiminde tanımlanabilir.
*Bu tanımına göre, bir para atıldığında, tura gelmesi olasılığı
ile yazı gelmesi olasılığı birbirine eşittir. Yani, tura gelmesi
olayı A ve yazı gelmesi olayı B olmak üzere, P(A) = P(B) =
1/2 olmaktadır. Benzer şekilde, bir zar atıldığında 1,2, 3, 4, 5,
6’dan herhangi birinin gelmesi olasılığı, P(A1) = P(A2) =... =
P(An) = 1/6 olur.
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
27
*
Bir rassal deneyde olayların ortaya çıkma olasılıkları
aynı olsun.
*
Bu deneyin örnek uzayının eleman sayısı n(S) ve
ilgilenilen olayının eleman sayısı n(Ai) olmak üzere, Ai
olayının ortaya çıkma olasılığı P(Ai) biçiminde gösterilir ve
* P Ai =
n(Ai )
n(S)
=
İlgilenilen Olayların Sayısı
Bütün Olayların Sayısı
biçiminde hesaplanır.
28
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Ai  S olduğundan, n(Ai)  n(S) eşitsizliği yazılabilir.
Bu eşitsizliğin her iki yanı n(S) ile bölünürse,
*
*
𝑛 𝐴𝑖
𝑛(𝑆)
*
*
𝑛 𝐴𝑖
𝑛(𝑆)
≤
𝑛 𝑆
𝑛 𝑆
𝑃 𝐴𝑖 =
𝑛 𝐴𝑖
𝑛 𝑆
≤ 1 𝑣𝑒 𝑃 𝑆 =
𝑛 𝑆
𝑛 𝑆
=1
elde edilir. Ayrıca n(A1)0 eşitsizliğinden,
≥
𝑛 𝑆
𝑛 𝑆
𝑃 𝐴𝑖 =
𝑛 𝐴𝑖
𝑛 𝑆
≥ 0 elde edilir.
Dolayısıyla bir olayın ortaya çıkma olasılığı, 0 ile 1
arasında değer almaktadır.
29
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Bir para atıldığında tura gelmesi olayının olasılığı
P(A) ise, A = {T} olduğundan A’nın eleman sayısı n(A) = 1 ve
örnek uzay S = {Y, T}olduğundan S’nin eleman sayısı n(S) = 2
olur. Bu durumda tura gelmesi olasılığı,
*
𝑃 𝐴 =
*
𝑛 𝐴𝑖
𝑛(𝑆)
1
2
= olarak bulunur.
Örnek: Bir zar atıldığında üst yüze 5 gelmesi A ise, A = {5}
olduğundan A’nın eleman sayısı n(A) = l ve örnek uzay
S = {l, 2,3,4,5,6} olduğundan S’nin eleman sayısı n(S) = 6 olur
ve
*
𝑃 𝐴 =
𝑛 𝐴𝑖
𝑛(𝑆)
=
1
biçiminde yazılır.
6
30
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek: İçinde 6 beyaz, 4 kırmızı top bulunan bir torbadan
rasgele,
a.
b.
Bir top çekildiğinde, bu topun kırmızı olması olasılığını
İki top çekildiğinde, bu topların ikisinin de kırmızı
olması olasılığını bulunuz.
a. Bir top çekildiğinde, bu topun kırmızı olması olasılığı,
*𝑃
*𝑃
𝐴 =
𝐴 =
𝑛 𝐴𝑖
𝑛(𝑆)
𝑛 𝐴𝑖
𝑛(𝑆)
=
=
4
10
= 0,4
𝐶(4,1)
𝐶(10,1)
=
4!
4−1 !1!
10
10−1 !1!
=
4
10
kombinasyonlu çözümün pratik halidir.
31
= 0,4 biçimindeki
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek: İki top çekildiğinde, bu toplamı ikisinin de kırmızı
olması olasılığı
*𝑃
𝐴 =
𝑛 𝐴𝑖
𝑛(𝑆)
=
𝐶(4,2)
𝐶(10,2)
=
4!
4−2 !2!
10
10−2 !2!
32
=
6
45
= 0,13
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*S bir örnek uzay ve A  S olmak üzere, bir deney, n defa
tekrarlandığında, bir A olayı da m defa gerçekleşiyorsa, A
olayının nispi frekansı m/n olur.
*Teorik olarak, bu deney sonsuz defa tekrar ettirildiğinde, n
büyüyerek, m/n oranı gittikçe azalır.
*n sonsuza giderken m/n oranının aldığı değere A olayının
deneysel olasılığı denir ve
*𝑃
𝐴 =
𝑚
lim
𝑛→∞ 𝑛
biçiminde hesaplanır.
33
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Klasik
olasılık ile deneysel olasılık arasında en önemli iki farktan
birincisi, klasik olasılıkta kullanılan herhangi bir aracın (zar, para,
vb.) hilesiz olduğu varsayımından hareket ederek, herhangi bir
dengesizlik olabileceğini göz önüne almadan yargıda bulunulur.
*İkincisi ise, bu dengesizliğin kullanılan araç (zar, para, vb.) için
geçerli olmadığı bilinse bile şans faktörünün dikkate alınmamasıdır.
Bu sebeple, klasik olasılık yanıltıcı sonuçlar verebilir. Oysa deneysel
olasılık, fiilen elde edilen gözlemlere dayandığı için daha gerçekçi bir
yaklaşımdır.
*Olasılığın gerek klasik, gerekse limit olarak tanımlanmasındaki
zorlukları göz önüne alan modern matematikçiler onu bir fonksiyon
olarak çok basit bir şekilde tanımlamışlardır.
*Örneğin, 1933 yılında Rus matematikçi Andrew Kolmogorov üç veya
dört aksiyomla, olasılık fonksiyonunu tanımlamıştır. Örnek uzayı
sınırlı ise üç, sınırsız ise dört aksiyom belirlenmiştir.
34
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Aksiyom 1: A, S örnek uzayında tanımlanmış herhangi bir olay ise,
daima P(A)0 olur.
*Aksiyom
2: S, örnek uzayına kesin olay denir ve örnek uzayının
olasılığı P (S)=1 olur.
Örnek: içinde 5 beyaz, 6 kırmızı top bulunan bir torbadan, bir top
çekildiğinde, bu topun beyaz veya kırmızı bir top olması olayı A ise,
A = {m1,...,m5, k1 , ….k6} olduğundan A’nın eleman sayısı n(A) = 11
ve örnek uzay s = {m1,...,m5, k1,...,k6}olduğundan, A’nın eleman
sayısı da n(S) = 11 olur. Dolayısıyla,
*
*𝑃
𝐴 =
𝑛 𝐴𝑖
𝑛(𝑆)
=
11
11
= 1 bulunur.
35
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Aksiyom
3: A ve B, S örnek uzayı üzerinde tanımlanmış iki ayrık
olay olsun. Bu durumda,
P(AB)=P(A) + P(B) olur.
*Örnek uzay, sonsuz elemana sahipse, dördüncü aksiyoma ihtiyaç
vardır.
*Aksiyom 4: Al , A2 , A3, ... olayları, S örnek uzayında tanımlanmış
olsun. Her ij için AiAj= olmak üzere,
*P(A1+A2+A3+….)= P(A1)+P(A2)+P(A3)+….=
*biçiminde yazılır.
36
∞
𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 )
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Aksiyom
3: A ve B, S örnek uzayı üzerinde tanımlanmış iki ayrık
olay olsun. Bu durumda,
P(AB)=P(A) + P(B) olur.
*Örnek uzay, sonsuz elemana sahipse, dördüncü aksiyoma ihtiyaç
vardır.
*Aksiyom 4: Al , A2 , A3, ... olayları, S örnek uzayında tanımlanmış
olsun. Her ij için AiAj= olmak üzere,
*P(A1+A2+A3+….)= P(A1)+P(A2)+P(A3)+….=
*biçiminde yazılır.
37
∞
𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 )
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Teorem 1: Herhangi bir A olayı için P(A)= 1- P(A) olur.
*İspatı: AA=S olduğundan; P(AA)=P(S)
P(A)+P(A)=1 veya P(A)=1 – P(A) olur.
*Teorem 2: S örnek uzayının bir alt kümesi A ise, A’da bulunan her
bir mümkün hali temsil eden kümelerin olasılıkları toplamı P(A)’ya
eşittir. Özel olarak boş küme olmak üzere, P()=0’dır.
*Örnek: Bir torbada 5 mavi 6 kırmızı bilyeden 1 sarı topun
çekilmesi olayı A ise, A boş küme (A = ) olduğundan A’nın eleman
sayısı n(A) = 0 ve örnek uzay S = {m,,..,m5, k1, …, ,k6}
olduğundan E’nin eleman sayısı n(S) = 11 olur. Dolayısıyla,
n( A)
0
P ( A) 

0
n( S )
11
bulunur.
38
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Teorem 3:
Eğer AB ise, P(A) ≤ P(B) olur.
*Teorem 4: Herhangi bir A olayı için P (A) ≤ 1 olur.
*Teorem 5: A ve B ayrık olmayan herhangi iki olay olsun.
Bu durumda, P(AB)=P(A)+P(B) – P(AB) yazılır.
39
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
Olayların Olasılıkları
Basit Olayların Olasılıkları
Bileşik Olayların Olasılıkları
Bir Arada Meydana Gelebilen Olayların
Olasılıkları
𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ 𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐵) ≠ 0
𝑃 𝐴 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐵)
Bağımlı Olayların Olasılıkları ve
Koşullu Olasılık
𝑃 𝐴 𝑣𝑒 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵/𝐴
Bir Arada Meydana Gelmeyen (Birbirini
Engelleyen, Ayrık) Olayların Olasılıkları
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑃 𝐴 𝑣𝑒 𝐵 = 0
𝑃 𝐴 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵
Bağımsız Olayların Olasılıkları
𝑃 𝐴 𝑣𝑒 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵
40
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Meydana gelen tek bir olaya basit olay, basit olayla ilgili
olasılığa da basit olasılık denir ve P(A) biçiminde
gösterilir.
*Örneğin,
Bir paranın havaya atılması deneyinde yazı
gelmesi,
*Bir zar atıldığında üst yüze 5 sayısının gelmesi,
*Bir sınıftan rasgele seçilen bir öğrencinin erkek olması ile
ilgili olasılık basit olasılıktır.
41
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*İki
veya daha çok olayın birlikte veya ardı ardına meydana
gelmesine birleşik olay, Bileşik olayla ilgili olasılığa da bileşik
olasılık denir. Bileşik olasılık P(A ve/veya B) biçiminde gösterilir.
*Örneğin,
İki zarın havaya atılması veya bir zarın arka arkaya iki
defa havayı atılması,
*Bir sınıftan rasgele seçilen bir öğrencinin erkek ve gözlüklü olması
ile ilgili olasılıklar bileşik olasılıktır.
*Bileşik
olayların olasılıkları da, bir arada meydana gelebilen
(bağdaşır) ve birbirini engelleyen (bağdaşmaz, ayrık) olaylar
olmak üzere ikiye ayrılır.
42
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Bir olayın meydana gelmesi, diğer bir olayın meydana
gelmesini engellemiyorsa bu olaylara birlikte meydana
gelebilen (bağdaşır) olaylar denir.
*
Örneğin, Bir sınıftan rasgele seçilen bir öğrencinin hem kız,
hem de gözlüklü olması,
*
Rasgele seçilen bir müdürün erkek, yükseköğrenim görmüş
ve evli olması.
*
*
Bağdaşır iki olay için P(A B)≠0 (P(A ve B)≠ 0 olur.
Birlikte meydana gelebilen (bağdaşır) olayların olasılıkları
da, bağımlı olaylar ve koşullu olasılık ile bağımsız olaylar
olmak üzere ikiye ayrılır.
43
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
* Bir
olayın meydana gelmesi, diğer bir olayın meydana
gelmesine bağlı ise bu olaylara bağımlı olaylar denir.
* Örneğin,
Bir torbadan rassal olarak bir top çekilip,
torbaya iade edilmeden, ikinci bir top daha çekilirse, bu iki
olay birbirine bağımlıdır. Çünkü ikinci çekiliş, birinci
çekilişten etkilenmektedir.
44
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*İkinci
bir olayın meydana gelmesi, birinci olayın meydana
gelmesine bağlı ise bu olayın olasılığına koşullu olasılık denir.
*Örneğin, Bir üretici firma, üreteceği bir ürünün piyasada yüksek
miktarda satıp satmayacağını belirleyebilmek için, öncelikle az
miktarda ürettiği ürünü, birkaç belirli mağazada satış denemesi
yapabilir. Eğer satış denemesinde istenen başarı elde edilirse, yüksek
miktarda ürün piyasaya sürülebilir.
*Sağlık Yönetimi Bölümünden rasgele seçilen bir öğrenci, matematik
dersinden başarılı olduğu biliniyorsa, olasılıktan başarılı olması
olasılığı yüksektir.
*A ve B bağımlı iki olay olmak üzere, B olayı gerçekleşmişken, A
olayının koşullu olasılığı,
*𝑃
𝐴∕𝐵 =
𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐵)
,
𝑃(𝐵)
P(B)>0 ile45hesaplanır.
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: 200 üniversite Öğrencisine, matematik dersini, ilk alışta
başarılı olup olmadıkları sorulmuş ve aşağıdaki tablo elde edilmiştir.
Cinsiyet
Başarılı
Başarısız
Toplam
Erkek
60
50
110
Bayan
50
40
90
Toplam
110
90
200
Rassal olarak seçilen bir öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre,
matematikten ilk alışta başarılı olması olasılığı nedir?
Çözüm: E: Erkek öğrenciyi ve B de başarılı öğrenciyi göstermek
üzere, tablodan 𝑃 𝐵 𝐸 =
𝑃(𝐵 𝑣𝑒 𝐸)
𝑃(𝐸)
46
=
60/200
110/200
=
6
11
≅ 0,55 bulunur.
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Bir olayın meydana gelmesi, diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı değilse
(olaylar ilişkisiz veya birbirini etkilemiyorsa) bu olaylara bağımsız olaylar denir.
*
Örneğin, Bir torbadan rassal olarak bir top çekilip, torbaya iade edildikten sonra
tekrar bir top çekilirse, bu iki olay birbirinden bağımsızdır.
*
Bir ailede doğan iki çocuktan ikincisinin cinsiyeti, birincisinin cinsiyetinden
bağımsızdır.
*
Bir futbol maçının sonucu ile bir voleybol maçının sonucu veya dört futbol
takımının oynadığı iki karşılaşmanın sonuçlan birbirinden bağımsızdır.
*
*
Bir madeni paranın arka arkaya üç defa atılması olayları da bağımsızdır.
Bir torbadan rassal olarak bir top çekilip, torbaya iade edilmeden, ikinci bir top
daha çekilirse, bu iki olay bağımlıdır. Çünkü ilk çekilen top torbaya iade
edilmediğinden ikinci çekiliş için top sayısı bir azalacağından, ikinci çekiliş, birinci
çekilişten etkilenecektir.
47
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Bir olayın ortaya çıkması diğer bir olayın ortaya çıkmasını engelliyorsa,
yani iki veya daha fazla olay birlikte meydana gelemiyorsa, bu olaylara
birbirini engelleyen (bağdaşmaz, ayrık) olaylar denir.
*
Örneğin, bir öğrenci, bir dersin sınavından ya geçer ya da kalır. Sınavdan
geçmek ya da kalmak aynı anda mümkün değildir.
*
Bir maç ya kazanılır, ya kaybedilir veya berabere kalınır. Kazanmak,
kaybetmek veya berabere kalmak aynı anda mümkün değildir.
*
Bir para bir defa havaya atıldığında ya yazı, ya da tura gelir. Yazı
gelmişse tura gelemez, tura gelmişse yazı gelemez.
*
Bir zar bir defa havaya atıldığında üst yüze 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından
herhangi biri gelir. Örneğin, üst yüze 1 gelirse 2, 3, 4, 5, 6 gelmez veya 5
gelirse 1, 2, 3, 4, 6 gelmez.
*
Bağdaşmaz iki olay için P(A  B) = 0 (P(A ve B) = 0) olur.
48
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
* Olayların
olasılıklarının kolay anlaşılması amacıyla,
genel olarak, iki olayın olasılığı üzerinde durulacaktır.
49
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
* A ve B gibi iki olayın kesişimi (arakesiti), hem A ve hem
de B’de oluşan, ortak sonuçlardan meydana gelir. A ve B
olaylarının kesişimi A ve B, AB, AB biçimlerinden biri ile
gösterilir.
A ve B
AB
AB
50
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
A ve B, S örnek uzayında iki olay olsun. B olayı
gerçekleşmişken, A olayının koşullu olasılığı,
*
𝑃 𝐴/𝐵 =
*
Denklemin her iki yanı P(B) ile çarpılırsa bu iki olayın birlikte
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃(𝐵)
, 𝑃 𝐵 > 0 ile hesaplanır.
meydana gelme olasılığı;
*
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 .𝑃
𝐴
𝐵
biçiminde bulunur ve çarpım kuralı
olarak adlandırılır.
51
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Bir okulun öğrencilerinin %40’ı matematik, %30’u
istatistik ve %20’si her iki dersten başarısız olmuştur. Rassal olarak
seçilen bir öğrencinin, matematikten başarısız ise istatistikten de
başarısız olması olasılığını bulunuz.
*
Çözüm: Matematikten başarısız olma olasılığı P(M) = 0,40,
istatistikten başarısı olma olasılığı P(İ) = 0,30 ve her iki dersten
başarısız olma olasılığı da P(Mİ) = 0,20. Bu durumda, sonuç,
*
𝑃 İ 𝑀 =
𝑃(İ∩𝑀)
𝑃(𝑀)
=
0,20
0,40
= 0,50 olur.
52
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Bir torbada 3 beyaz, 7 mavi, 10 sarı ye 4 kırmızı top
bulunmaktadır, torbadan ardı ardına rasgele dört top iadesiz olarak
çekildiğinde, birincinin beyaz, İkincin; mavi, üçüncünün sarı ve
dördüncünün kırmızı top olma olasılığı bulunuz.
*
Çözüm:
*
P(BMSK)=P(B).P(M/B).P(S/BM).P(K/BMS)
*
=
3 7 10 4
. . .
24 23 22 21
=
1176
255024
= 0,005
53
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Bağımsız iki olayın birlikte meydana gelmesi olasılığı, bu iki
olayın meydana gelme olasılıkları çarpılarak bulunur. Yani,
*
P(AB)=P(A).P(B) olur.
*
A1, A2, …., An gibi n tane bağımsız olayın olasılıkları P(A1), P(A2),
….,P(An) olmak üzere, bu n olayın birlikte meydana gelme olasılığı;
*
P(A1).P(A2). …. .P(An) ile hesaplanır.
54
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Bir torbada 4 beyaz, 6 kırmızı top vardır. Çekilen toplar
tekrar torbaya atılmak üzere, bu torbanın ardı ardına üç top
çekildiğinde, üçünün de kırmızı olma olasılıkları nedir?
*
Çözüm:
*
*
P(K  K  K) = P(K) . P(K) . P(K)
=
𝐶(6,1) 𝐶(6,1) 𝐶(6,1)
6 6 6
216
.
.
.= . . .=
𝐶(10,1) 𝐶(10,1) 𝐶(10,1)
10 10 10
1000
= 0,216
*
Birinci top torbadan rassal olarak çekilip, torbaya iade edildikten
sonra tekrar ikinci bir top çekildiğinden, olaylar birbirinden bağımsız
olur. Çünkü ilk çekilen top iade edildiğinden ikinci çekiliş için
topların durumu, birinci çekilişin aynısı olmuştur.
55
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Bir torbada 4 beyaz, 6 kırmızı top vardır. Bu torbadan ardı
ardına rasgele iki top çekildiğinde, birincinin kırmızı, ikincinin beyaz
olma olasılığı nedir? (hem iadeli, hem de iadesiz çekiliş yapılacaktır).
*
Çözüm:
a) 𝐏
b) 𝐏
𝐊𝐁 = 𝐏 𝐊 . 𝐏 𝐁 =
𝟔 𝟒
.
𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝐊𝐁 = 𝐏 𝐊 . 𝐏 𝐁 ∕ 𝐊 =
=
𝟔 𝟒
.
𝟏𝟎 𝟗
56
𝟐𝟒
𝟏𝟎𝟎
=
𝟐𝟒
𝟗𝟎
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Bir madeni para arka arkaya iki defa havaya atılıyor. Her
iki atışın da yazı gelmesi olasılığı nedir? (Yazı ve tura gelme
olasılıkları eşit kabul edilecektir).
*
Çözüm:
*
Birinci paranın yazı gelmesi P(A) =1/2 ve ikinci paranın yazı
gelmesi P(B) = 1/2 olduğundan, her iki atışın da yazı gelmesi olasılığı
ise
*
𝑃 𝐴  𝐵 = 𝑃 𝐴 .𝑃 𝐵 =
1 1
.
2 2
=
57
1
4
olur.
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek A’nın 50 yıl sonra hayatta kalması olasılığı 0,30, B’nin 50
yıl sonra hayatta kalması olasılığı 0,20 ise her İkisinin de 50 yıl sonra
hayatta kalma olasılığı,
*
𝐏 𝐀  𝐁 = 𝐏 𝐀 . 𝐏 𝐁 = 𝟎, 𝟑𝟎. 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟔 olur.
58
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Bir torbada 5 beyaz 10 siyah top bulunmaktadır. A, B, C
şahısları bu torbadan alfabetik sıraya göre iadeli olarak birer top
çekeceklerdir. Beyaz topu ilk çekene bir ödül verileceğine göre, her
bir şahsın bu ödülü kazanabilme olasılığı sırası ile;
*𝑃
*𝑃
*𝑃
𝐴 =
5
15
= 0,33
𝐵 = 𝑃 𝐴𝐵 =
10 5
.
15 15
𝐶 = 𝑃 𝐴𝐵 𝐶 =
= 0,22
10 10 5
. .
15 15 15
= 0,15 olarak bulunur.
59
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Not: A ve B olaylarının bağımsız olabilmesi için
*P(A/B)
= P(A) veya P(B/A) = P(B) şartının sağlanması gerekir.
Çünkü A ve B olayları bağımsız ise
*𝑃
𝐴
𝐵
=
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
=
𝑃 𝐴 .𝑃(𝐵)
𝑃(𝐵)
= 𝑃(𝐴)
*𝑃
𝐵
𝐴
=
𝑃(𝐵∩𝐴)
𝑃(𝐴)
=
𝑃 𝐵 .𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴)
= 𝑃(𝐵)
*elde edilir. Eğer, A ve B olayları bağımlı ise
*P(A/B)≠P(A) veya P(B/A)≠P(B) olur.
60
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek:
Bir fabrikanın birinci bölümünde üretilen 60
ürünün 15’i ve ikinci bölümünde üretilen 40 ürünün 10’u
bozuk olmak üzere, toplam 100 adet ürün üretilmiştir.
Rasgele seçilen bir ürünün bozuk olması B ve ikinci
bölümde üretilen bir ürünün bozuk olması da T olarak
tanımlansın. Bu olaylar bağımsız mıdır?
61
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
Bölümler
Sağlam
Bozuk
Toplam
Birinci
45
15
60
İkinci
30
10
40
Toplam
75
25
100
Tablodan
𝑃(𝐵𝑇) 10
P B/T =
=
= 0,25
𝑃(𝑇)
40
25
P B =
= 0,25
100
hesap edilir. P(B/T) = P(B) olduğundan, T ve B olayları
bağımsız olaylardır.
62
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
A ve B bağdaşır iki olay ise, A veya B olayının ortaya çıkma
olasılığı, ya A olayının, ya B olayının ya da A ve B olaylarının her
ikisinin birlikte gerçekleşmesi olasılığıdır. Bağdaşır iki olay için;
P(A  B) = 0 olduğundan
*
P(A B) = P(A) + P(B)
olur. Çünkü olaylar toplanabilir
niteliktedir.
63
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Bir zarın bir defa havaya atılması deneyinde üst yüze 3
veya 5 gelmesi olasılığı nedir?
*
Çözüm: Bir zarın, bir defa havaya atılması deneyinde üst yüze 3
gelirse 1, 2, 4, 5, 6 gelemeyeceğinden ve 5 gelirse 1, 2, 3, 4, 6
gelemeyeceğinden bu iki olay bağdaşmaz olaylardır. 3 gelme
olasılığı P A =
1
ve 5 gelme olasılığı da P
6
B =
1
olduğundan,
6
3 veya 5 gelmesi olasılığı,
*
1
6
1
6
P AB = P A + P B = + =
64
2
olur.
6
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Bir madeni paranın bir defa havaya atılması deneyinde
üst yüze yazı veya tura gelmesi olasılığı nedir?
*
Çözüm: Bir madeni paranın bir defa havaya atılması deneyinde
üst yüze yazı gelirse tura gelmez, tura gelirse yazı gelmez. Bu iki
olay bağdaşmaz olaylardır, yazı gelme olasılığı P A =
gelme olasılığı da P B =
1
2
1
2
ve tura
olduğundan, yazı veya tura gelmesi
olasılığı,
*
1
2
1
2
P AB = P A + P B = + = 1
65
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Araba satın almak isteyen bir kişinin beyaz veya mavi
araba olasılıkları sırası ile 2/5 ve 3/7’dir. Bu duruma göre, beyaz
veya mavi arabadan birinin seçilmesi olasılığını hesaplayınız.
*
Çözüm
*
Arabanın beyaz olması olayı B, mavi olması olayı M ile
gösterilsin. B ve M olayları ayrık olaylar olduğundan, beyaz veya
mavi arabalardan birinin seçilme olasılığı;
*
P BM = P B + P B =
2
5
3
+
7
66
=
29
35
= 0,83 olur.
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Örnek: Bir torbada 4 beyaz, 6 kırmızı top vardır. Çekilen toplar
tekrar tekrar torbaya atılmak üzere, bu torbadan ardı ardına rasgele iki top
çekildiğinde birinin kırmızı, diğerinin beyaz olma olasılığı nedir?
*
Çözüm: Birinci topun çekilip iade edilmesi ikinci topun çekilme
olasılığını etkilemeyeceğinden, olaylar birbirinden bağımsızdır. Ayrıca
çekilişte ya kırmızı beyaz veya beyaz kırmızı gelmesi ayrık olaylar
olduğundan istenen olasılık
*
P KB + P BK = P K . P B + P B . P K =
6 4
4 6
. + .
10 10
10 10
=
0,48
* olur.
67
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*
Çeşitli sebeplerin aynı sonucu verebildiği durumlarda, bazen sonuç
bilindiği halde, bunun hangi sebeplerden ileri geldiği bilinmeyebilir. Söz
konusu sonucun hangi olasılıkla, hangi sebepten ortaya çıktığı
araştırılmak istendiğinde Bayes Teoreminden yararlanılır.
*
Diğer bir deyişle, Bayes teoremi, sonuç belli iken geriye doğru analiz
imkanı sağlar.
*
A, B, C ayrık birbirlerini bütüne tamamlayan olaylar olmak üzere, bu
olaylar bir K olayından etkileniyor ise, örnek uzayından bir birim
alındığında bunun K özelliğini gösteriyor olması durumunda, A’ya ait
olması olasılığı
*
P A∕K =
*
𝑃 𝐴 .𝑃(𝐾 𝐴)
𝑃 𝐴 .𝑃 𝐾 𝐴 +𝑃 𝐵 .𝑃 𝐾 𝐵 +𝑃 𝐶 .𝑃(𝐾 𝐶 )
Bayes teoremi ile hesaplanır.
68
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
Bu durum şema ile
biçiminde gösterilir.
69
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Çoğu
zaman son meydana gelen olay, daha önce bazı
olayların meydana gelip gelmemesine dayanır.
*Mesela
bir hastanın iyileşmesi olayı, hastalığın doğru
teşhisi olayı ve uygun tedavinin tatbiki olayına dayanır.
*Bir
cihazın güvenilir olarak çalışabilir olması, cihazın
dizaynından, mamul hale gelene kadar geçirdiği safhaların
başarılı bir şekilde neticelendirilmiş olmasına bağlıdır.
70
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
Örnek: İçerisinde çeşitli sayılarda top bulunan üç kutu veriliyor. Bu
kutulardan 1. sinde 4’ü siyah 10 top, 2.sinde 2’si siyah 8 top, 3.sünde
5’i siyah 15 top mevcuttur. Bu kutulardan birisi tesadüfi olarak
seçiliyor. Bu kutudan rassal olarak çekilen topun siyah olma olasılığı
ne olur?
Çözüm: Burada önce bir kutu seçimi söz konusu, 1., 2. ve 3.
kutulardan birini seçme olasılığı eşit olup 1/3’tür. Seçilen kutulara
göre siyah top çekme olasılıkları:
4 2

1. Kutudan siyah top çekme olasılığı:
10 5
2 1
2. Kutudan siyah top çekme olasılığı: 
8 4
3. Kutudan siyah top çekme olasılığı: 5  1
15 3
71
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
Ağaç diyagramı ile problem şöyle gösterilebilir.
72
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
Genel çarpım kuralına göre,
1.
Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı:
1 2 2
P ( S / K1 )  x 
3 5 15
2.
Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı:
P(S / K 2 ) 
3.
1 1 1
x 
3 4 12
Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı:
1 1 1
P(S / K 3 )  x 
3 3 9
Yukarıdaki üç olasılık birbirlerini karşılıklı olarak engelleyen olayların
olasılığı olduğundan
2 1 1 59
P ( S )  P ( S / K1  S / K 2  S / K 3 )    
15 12 9 180
73
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
Yukarıdakine benzer problemleri çözmek için olasılıkların çarpımlarının
toplamı kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki teoremi kullanmak
gerekmektedir.
* Teorem: (Olasılıkların çarpımlarının toplamı) Birbirlerini karşılıklı olarak
engelleyen B1, B2,…., Bn olaylarının birleşimi S örnek uzayını teşkil
ediyorsa ve bu olaylardan biri mutlaka meydana geliyorsa bu durumda bu
olaylar vasıtasıyla meydana gelen herhangi bir A olayının olasılığı şöyle
yazılır.
P ( A)  P ( B1 ).P ( A / B1 )  P ( B2 ).P ( A / B2 )  .......  P ( Bn ).P ( A / Bn )
n
P ( A)   P ( Bi ).P ( A / Bi )
i 1
* Eğer bir olayın gerçekleşmesi, birbirinin alternatifi olan iki olaya bağlı ise
eliminasyon kuralının özel bir durumu söz konusu olur.
* Eğer B ve B’ iki alternatif olay ise yukarıdaki kural aşağıdaki şekilde
yazılabilir.


M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi74
Biyoistatistik
P ( A)  P ( B ).P ( A / B )  P ( B ).P ( A / B )
*Problem:
Bir fabrikada yapılan üretimin; %55’i A, %30’u B,
%15’i C makinesinde gerçekleştirilmektedir. Bu makinelerin
kusurlu oranları sırasıyla %2, %3, %8 şeklindedir. Bu fabrikadaki
üretimin kusurlu oranı ne olur?
*Çözüm:
P(A) = 0,55
P(K/A) = 0,02
P(B) = 0,30
P(K/B) = 0,03
P(C) = 0,15
P(K/C) = 0,08
P(K ) = P(A) . P(K/A) + P(B) . P(K/B) + P(C) . P(K/C)
P(K) = 0,55 x 0,02+0,3 x0,03 + 0,15x0,08  P(K)= 0,032
75
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Örnek: Bir hastalığın tedavisinde iki ilaç geliştirilmiştir. Bu ilaçların
hastalığı tedavi etme olasılıkları: A İlacı için 0,7 B İlacı için 0,5
olarak ölçülmüştür. Herhangi bir doktorun hastasına bu ilaçları tatbik
etme olasılıkları A ilacı için 0,6, B ilacı için 0,4 olduğu görülmüştür.
Bu hastalığa yakalanan bir hastanın tedavi sonucu iyileşme olasılığı
ne olur? (T: Tedavi olma durumu)
*Çözüm:
P(T )  P( A).P(T / A)  P( B).P(T / B)
P(T )  0,6 x0,7  0,4 x0,5
P(T )  0,42  0,2  P(T )  0,62 olur.
76
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
*Problem: Bir mamul B1, B2 ve B3 gibi 3 makine tarafından
üretilmektedir
Üretilen mamullerin %60’ı B1 de
%30’u B2 de
%10’u B3 makinesinde gerçekleşmektedir.
*Bu makinelerin hatalı üretim oranları ise sırası ile %2, %4 ,%6’dır.
Bu makineler tarafından üretilen mamul yığınından rastgele seçilen
bir mamulün
a) Bozuk olma olasılığı
b) Sağlam olma olasılığı
c) Bozuk olarak seçilen bu mamulün B3 tezgahında üretilme
olasılığı ne olur?
77
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
Örnek: Bir fabrikanın üretiminin tümü A,B,C bölümlerinde
yapılmaktadır. Üretimin %40’ı A, %50’si B, %10’u C bölümünde
yapılmaktadır. A bölümündeki üretimin %20’si, B bölümündeki
üretimin %10’u ve C bölümündeki üretimin %5’i bozuktur. Bu
fabrikanın üretiminden rasgele bir ürün alındığında, bu ürünün A’da
üretilen bozuk ürünlerden olması olasılığını bulunuz.
78
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
Çözüm 1) Burada sonucu belli olan olay, bozuk bir ürünün
üretilmiş olmasıdır. Ürünün bozuk olması olayı K ile gösterilirse,
istenen olasılık,
𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐾/𝐴)
P A∕K =
𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐾 𝐴 + 𝑃 𝐵 . 𝑃 𝐵 𝐾 + 𝑃 𝐶 . 𝑃(𝐾 𝐶 )
𝑃 0,40 . (0,20)
=
0,40 . 0,20 + 0,50 . 0,10 + 0,10 . (0,05)
0,08
0,08
8
=
=
=
0,593
0,08 + 0,05 + 0,005 0,135 135
olarak bulunur.
79
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
Çözüm 2)
A 0,40 . 0,20 = 0,08
B0,50.0,10=0,05
C0,10.0,005=0,005
80
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik
81
M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik