GÜMÜŞ MANİFOLDLARIN İKİNCİ DERECEDEN TANJANT

GÜMÜŞ MANİFOLDLARIN İKİNCİ DERECEDEN TANJANT
DEMETLERE TAŞINMASI
Ayşe Asuman ÇITLAK
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ŞUBAT 2014
ANKARA
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde
elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak
hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin
kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Ayşe Asuman ÇITLAK
iv
GÜMÜŞ MANİFOLDLARIN İKİNCİ DERECEDEN TANJANT DEMETLERE
TAŞINMASI
(Yüksek Lisans Tezi)
Ayşe Asuman ÇITLAK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Şubat 2014
ÖZET
Bu tezde, bir diferensiyellenebilir manifold üzerindeki bir gümüş yapı II
lift yardımıyla bu manifoldun ikinci dereceden tanjant demetine
taşınmıştır. Daha sonra, bu gümüş yapının ikinci dereceden tanjant
demette integrallenebilirliği ve paralelliği için gerekli tanım ve teoremler
verilmiştir. Son olarak da taşınmış gümüş yapı üzerindeki metrik ve
özellikleri incelenmiştir.
Bilim Kodu
: 204.01.049
Anahtar Kelimeler : Gümüş oran, gümüş yapı, ikinci dereceden tanjant
demet, iki lift, gümüş Riemann manifold, gümüş
yarı-Riemann manifold.
Sayfa Adedi
: 71
Tez Yöneticisi
: Yrd. Doç. Dr. Mustafa ÖZKAN
v
PROLONGATION OF SILVER MANIFOLDS TO THE TANGENT BUNDLES
OF ORDER TWO
(M.Sc. Thesis)
Ayşe Asuman ÇITLAK
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
February 2014
ABSTRACT
In this thesis, a silver structure on a differentiable manifold has been
prolonged to the tangent bundle of order two of this manifold through
the second lift. Then, some necessary definitions and theorems about
the integrability and parallelism of this silver structure on tangent
bundle of order two were given. At last, the metric, which was defined
on the prolonged silver structure, and its properties were investigated.
Science Code
: 204.01.049
Key Words
: Silver ratio, silver structure, tangent bundle of order
two, second lift, silver Riemannian manifold, silver
semi-Riemannian manifold.
Page Number
: 71
Supervisor
: Assist. Prof. Dr. Mustafa ÖZKAN
vi
TEŞEKKÜR
Bu tezin meydana getirilmesi sırasında karşılaştığım her problemde
yardımına başvurduğum, bilgi birikiminden faydalandığım değerli hocam
Yrd.Doç.Dr. Mustafa ÖZKAN’a sabır ve hoşgörüsünden dolayı, gerek bilgi
gerekse moral olarak desteğini esirgemeyerek bana yol arkadaşı olan Emel
TAYLAN’a, her koşulda yanımda olan aileme ve dostlarıma teşekkürlerimle.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ............................................................................................................. iv
ABSTRACT ..................................................................................................... v
TEŞEKKÜR.................................................................................................... vi
İÇİNDEKİLER ............................................................................................... vii
1. GİRİŞ ..........................................................................................................1
2. TEMEL KAVRAMLAR .................................................................................2
2.1. Diferensiyellenebilir Manifoldlar ...........................................................2
2.2. Diferensiyellenebilir Demet Yapıları ................................................... 16
2.3. Tanjant Demet ................................................................................... 21
2.4. İkinci Dereceden Tanjant Demetler.................................................... 24
2.5. Uyarlanmış Konneksiyonlar ............................................................... 25
2.6. İkinci Dereceden Tanjant Demetlere Liftler ........................................ 27
3. GÜMÜŞ DİFERENSİYEL GEOMETRİ ...................................................... 35
3.1. Manifoldlar Üzerinde Gümüş Yapılar ................................................. 35
3.2. Gümüş Yapıların İntegrallenebilirliği ve Paralelliği ............................. 38
3.3. Gümüş Riemann Metrikler ................................................................. 41
4. GÜMÜŞ MANİFOLDLARIN İKİNCİ DERECEDEN TANJANT
DEMETLERE TAŞINMASI ....................................................................... 44
4.1. İkinci Dereceden Tanjant Demetlerde Gümüş Yapıların
İntegrallenebiliriği ve Paralelliği ......................................................... 51
4.2. İkinci Dereceden Tanjant Demetlerde Gümüş Yarı-Riemann
Metrikler ............................................................................................. 61
5.SONUÇ VE ÖNERİLER ............................................................................. 68
viii
Sayfa
KAYNAKLAR ................................................................................................ 69
ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................... 71
ix
SİMGELER
Bu çalışmada kullanılan bazı semboller açıklamalarıyla birlikte aşağıda
sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
M
m-boyutlu bir C  -manifold
Tp M
M nin p noktasındaki tanjant uzay
 M
M üzerinde tanımlı C  vektör alanlarının modülü
10  M 
M üzerinde tanımlı C  vektör alanlarının modülü
10  M 
M üzerinde tanımlı C  kovektör alanlarının modülü
 rs  M 
M üzerinde tanımlı  r , s  tipinden tensör alanlarının
modülü
TM
M nin tanjant demeti
T2 M
M nin ikinci dereceden tanjant demeti

M üzerinde lineer konneksiyon
Sc

V
Schouten konneksiyon

Vranceanu konneksiyon

Gümüş oran

Gümüş yapı
1
1. GİRİŞ
Bir diferensiyellenebilir M manifoldu üzerindeki temel diferensiyellenebilir
elemanların
bir
diğer
manifolda
genişletilmesi,
bu
yeni
manifoldun
diferensiyellenebilir özelliklerini ortaya koymak açısından önemlidir. Bu işlem,
M
üzerindeki diferensiyellenebilir elemanların liftler kullanılarak diğer
manifolda taşınması ile sağlanır. M manifolduna diffeomorf olan manifoldlar
hariç tutulduğunda M manifoldu ile en yakın ilişkisi olan manifoldları TM ,
T2 M , TTM … şeklinde sıralayabiliriz. Herhangi bir M manifoldu üzerindeki
diferensiyellenebilir elemanların ve yapıların T2 M ikinci dereceden tanjant
demete liftleri birçok yazar tarafından araştırılmış ve çalışılmıştır [Das, 1993;
Keçilioğlu, 2010; Mathai, 1975; Yano ve Ishihara, 1968; Yano ve Ishihara,
1973].
2013 yılında Özkan ve Peltek, 2. Uluslararası Avrasya Matematik Bilimleri ve
Uygulamaları
Konferansı’nda
“Gümüş
Diferensiyel
Geometri”
adlı
bildirilerinde Q( X )  X 2  2 X  I yapı polinomuna sahip (1,1) tipinden bir 
tensör alanı ile
bir gümüş yapıyı tanımlamış ve bu yapının geometrisini
incelemişlerdir [Özkan ve Peltek, 2013].
Bu çalışmanın ikinci bölümünde daha sonra kullanacağımız temel tanım ve
teoremler verilmiştir. Çalışmanın üçüncü bölümünde tezin alt yapısını
oluşturan Özkan ve Peltek’ in “Gümüş Diferensiyel Geometri” adlı bildirileri
özetlenmiştir. Özgün olan dördüncü bölümde ise M manifoldu üzerindeki
gümüş yapı T2 M ikinci dereceden tanjant demete taşınmıştır. Daha sonra,
taşınmış bu gümüş yapının T2 M
de integrallenebilirliği ve paralelliği
incelenmiştir. Son olarak, T2 M de bu gümüş yapı üzerindeki metrik ve
özellikleri çalışılmıştır.
2
2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1. Diferensiyellenebilir Manifoldlar
2.1. Tanım
M boştan farklı bir küme ve M nin boş olmayan bir alt kümesi U olsun.
 : U  Rm bir dönüşüm olmak üzere,
i)  , bire bir
ii) U nun  altındaki görüntüsü olan  U  R m de bir açık altküme
ise U ,   ikilisine M için m -boyutlu bir harita denir [Brickell ve Clark, 1970].
U ,   ,
M bir harita olsun. Bir p  M noktası alındığında aynı zamanda
p U ise, bu haritaya p noktasında veya p noktası civarında bir harita, U
kümesine p noktasının koordinat komşuluğu ve  dönüşümüne de haritanın
koordinat dönüşümü denir.
m
ui :
de,  a1 ,..., a m  
m

m
olmak üzere
; u i  a1 ,..., a m   ai , 1  i  m ,
izdüşüm fonksiyonları olsun. Bu durumda
bileşenleri,
u
i
   p    i  p   xi  p 
p U için  nin koordinat
3
şeklinde tanımlanır ve
  p    x1  p  ,...., x m  p   ,
   x1 ,...., x m    xi 1i m
dir. Burada  x1 ,...., x m  sistemine U ,   haritasına ait lokal koordinat sistemi
denir [Brickell ve Clark, 1970].
2.2. Tanım
M kümesi üzerinde tanımlı haritaların sınıfı A  U ,   olsun.
i) Örtme aksiyomu:
M
 I
U .
ii) Bağdaşabilirlik aksiyomu:
U  U    olacak biçimdeki herbir  ,   indis çifti için,
  1 :  U U     U U  
dönüşümü
C k -sınıfından
bir
diffeomorfizmdir.
Yukarıdaki aksiyomları sağlayan A sınıfına bir C k -atlas denir [Brickell ve
Clark, 1970].
4
2.3. Tanım
M kümesi üzerinde A ve A, C k -atlaslar olmak üzere A  A kümesi de yine
bir C k -atlas ise A ve A atlaslarına denk atlaslar denir [Brickell ve Clark,
1970].
2.4. Tanım
M kümesi üzerinde bir C k -atlas A  U ,  I olsun. M üzerinde tanımlı
her bir U ,   haritasıyla C k -bağlı olan herhangi bir V ,  haritası da A
atlasında içeriliyorsa A atlasına bir C k -tam atlas (veya C k -maksimal, C k diferensiyellenebilir yapı) denir [Brickell ve Clark, 1970].
2.5. Tanım
A, M kümesi üzerinde tanımlı bir C k -diferensiyellenebilir yapı olmak üzere,
(M , A) ikilisine C k -sınıfından diferensiyellenebilir manifold veya kısaca C k -
manifold denir [Brickell ve Clark, 1970].
Bundan sonra çalışmanın tümünde manifoldun C  olduğu kabul edilecektir.
M üzerinde tanımlı denk C k -atlasların her bir denklik sınıfı, M üzerinde bir
C k -tam atlas oluşturmaktadır. Bu nedenle (M , A) C k -manifoldunun C k -
diferensiyellenebilir yapısını belirtirken A atlasının, yalnızca, herhangi bir C k atlas olarak alınması da yeterlidir.
Bir C  -yapıda bulunan haritaların boyutu, C  -manifoldun boyutu olarak
tanımlanır. Kısalık için (M , A) ikilisi yine M ile ifade edilebilir.
5
(M , A) bir C  -manifold ve
A  (U ,  )
olmak üzere;
 M  S  M :   I , S U   için,   S U  ,
m
de açık
sınıfı M kümesi üzerinde bir topolojik yapıdır. Böylece  M topolojisi ile
birlikte M bir topolojik uzay olur.
2.6. Tanım
M bir C  -manifold olsun. M üzerindeki diferensiyellenebilir yapıdan elde
edilen  M topolojisine, M nin diferensiyellenebilir yapısından indirgenmiş
topoloji (veya M nin manifold topolojisi) denir [Brickell ve Clark, 1970].
(M , A) bir C  -manifold ve A  (U ,  ) olsun.
i) Herhangi bir W  U için, W , M de açıktır gerek ve yeter şart  W  ,
m
de açıktır [Brickell ve Clark, 1970].
ii) U  .lar M de bir açık altkümedir [Brickell ve Clark, 1970].
iii)   U :   I  sınıfı,  M nin bir bazını oluşturur [Brickell ve Clark, 1970].
2.7. Tanım
m ve n -boyutlu iki C  -manifold M ve N , p  M ve F : M  N herhangi bir
6
dönüşüm olsun.
Fˆ   F  1 :  U   V 
dönüşümü   p  noktasında C k -diferensiyellenebilir olacak şekilde p ve
F  p  noktalarını içeren, F U   V
koordinat komşulukları varsa, F
olacak şekilde, sırasıyla U
dönüşümüne
pM
ve V
noktasında C k -
diferensiyellenebilirdir (veya C k -dönüşümdür) denir. Buradaki F̂ dönüşümü
U ,  
ve
V , 
haritalarına göre F nin koordinat temsili (veya lokal
koordinatlardaki ifadesi) olarak isimlendirilir [Brickell ve Clark, 1970].
Bundan sonra dönüşümler aksi belirtilmedikçe
C  -diferensiyellenebilir
alınacaktır.
F : M  N .dönüşümü verildiğinde F dönüşümünün tanım kümesinin M nin
tamamı olması gerekmediği gibi görüntü kümesinin de N nin tamamı olması
gerekmez. Bu durumu belirtmek için, F dönüşümünün tanım kümesi domF
ve değer kümesi de rangeF ile gösterilir.
W  domF , M de bir açık altküme olmak üzere F , W nin her noktasında bir
C  -dönüşüm ise F ye W üzerinde C  -dönüşümdür denir [Brickell ve Clark,
1970].
F : M  N , domF üzerinde bir C  -dönüşüm olsun O halde F  C   M , N 
yazılır. Burada özel olarak N 
alındığında ise F  C   M  yazılır. Ayrıca,
herhangi bir p  M noktasının bir komşuluğunda C  -diferensiyellenebilir
olan reel değerli dönüşümlerin kümesi de C  ( p ) ile gösterilir.
7
2.8. Tanım
Aynı boyutlu iki C  manifold M , N ve F : M  N 1:1, örten dönüşüm olsun.
Eğer,
(i)
F Ck  M , N 
(ii) F 1  C k  N , M 
ise F dönüşümüne bir C k -diffeomorfizm denir. Bu durumda M ve N
manifoldlarına diffeomorfiktirler denir [Brickell ve Clark, 1970].
2.9. Tanım
M diferensiyellenebilir manifold ve p  M olsun.  f , g  C  ( P) ve a, b 
için aşağıdaki dönüşüm
vp : C   p  
f
 vp  f 
i) vp  af  bg   avp  f   bvp  g 
ii) vp  fg   vp  f  g  p   f  p  vp  g 
özelliklerini sağlıyorsa v p ye p noktasında M nin bir tanjant vektörü denir.
M nin tanjant vektörlerinin kümesi Tp M ile gösterilir. Tp M reel vektör uzayı
yapısına sahip olup bu uzaya M nin p noktasındaki tanjant uzayı denir
[Brickell ve Clark,1970].
8
M diferensiyellenebilir bir manifold ve (U ,   ( xi )) M nin p  M noktasında
bir harita ise,
 
 i
 x

:1  i  m 

p
kümesi Tp M nin bir bazıdır. Bu baza Tp M nin doğal (veya koordinat) bazı
denir [Brickell ve Clark, 1970].
2.10. Tanım
M bir C  -manifold, M nin bir açık alt kümesi U ve X : U  TM
U
bir
dönüşüm olsun.
 M : TM
U
 U ;  M  v   p, (eğer v  Tp M ise)
kanonik projeksiyon olmak üzere  M X  IU (özdeşlik dönüşümü) ise, X e
U üzerinde bir vektör alanı denir [Brickell ve Clark, 1970].
Genellikle vektör alanları tanım kümeleri belirtilmeden X : M  TM şeklinde
de ifade edilir. Bu durumda X in tanım kümesinin M de bir açık altküme
olduğu anlaşılacaktır ve M üzerindeki vektör alanlarının kümesi   M  ile
gösterilecektir. X    M  , domX  U olmak üzere f  C  U  ve p U
için
X  f  p   XP  f 
tanımlansın. Eğer X  f  , U üzerinde C  -diferensiyellenebilir ise X vektör
9
alanına U üzerinde C  -diferensiyellenebilirdir denir. Bu durumda
X : C  U   C  U 
f Xf
operatörü tanımlanabilir.
Bundan sonra vektör alanından söz edildiğinde C  -diferensiyellenebilir
olduğu kabul edilecektir.
2.11. Tanım
M bir C∞-manifold olsun. TP M tanjant uzayının cebirsel duali olan Tp* M ye,
M nin p noktasındaki kotanjant uzayı ve bu uzayın her bir elemanına da p
noktasında bir kotanjant vektör (veya kovektör) denir [Okubo, 1987].
p  M için Tp* M uzayı bir reel vektör uzayıdır. p  M noktasında verilen bir
(U ,   ( xi ))1im haritasına göre
dx
i
p

:1  i  m
 
kümesi T * p M nin bir doğal bazıdır. dxi  i
p  x


i
   j olduğu, dual baz
p
olmasından açıktır.
2.12. Tanım
M nin her bir noktasına bir kotanjant vektör karşılık getiren
w: M 
Tp*M  T *M ; w( p)  Tp*M
pM
10
dönüşümüne M üzerinde 1-form (veya kovektör alanı) denir [Okubo, 1987].
M manifoldu üzerinde tanımlı 1-formların kümesi
ile gösterilicektir.
2.13. Tanım
m ve n boyutlu iki C  -manifold sırasıyla M , N ve F : M  N bir C  dönüşüm
olsun. F
nin bir p  M
noktasındaki türev dönüşümü, v p  Tp M
ve
h  C   N  için;
 dF  v   h   v
p
p
p
 hoF
şeklinde tanımlı bir dFP : TP  M   TF(P)  N  dönüşümüdür [Okubo, 1987].
dFP lineer olup, M ve N nin doğal bazlarına göre dFP dönüşümüne karşılık
 Fj
gelen F nin p deki Jakobien matrisi 
i
 x
p

 şeklindedir ve J F  p  ile

gösterilir. Ayrıca
 rankFP  rank  dFp  
rankJ F  p   (rank) j P
eşitlikleri vardır.
TM 
Tp M
pM
olmak üzere U , M nin bir açık altkümesi olsun.
Tp M ayrık birleşimi TM
pU
ile gösterilirse p U için TpU  Tp M olduğundan,
U
11
TM
U
 TM
dir.
2.14. Tanım

V bir reel vektör uzayı ve V nin dual uzayı V olsun.
T : V   ...  V   V  ...  V 
r-tane
s-tane
şeklinde her bir (r  s) -lineer dönüşüme V
üzerinde r-yinci dereceden
kontravaryant ve s-yinci dereceden kovaryant (veya kısaca (r , s) -tipinden) bir
tensör denir [Okubo, 1987].
Bir vektör uzayı üzerinde tanımlı (r , s) tipinden tensörlerin kümesi Tsr (V ) ile
gösterilir. Tsr (V )
üzerinde bir vektör uzayı olup, boy V = n ise boy Tsr (V ) =
n r  s dir.
V vektör uzayı yerine M manifoldunun p noktasındaki Tp M tanjant uzayı
alınırsa, M nin p noktasındaki Tsr  TP M  tensör uzayı elde edilir. Bu uzayın
her bir elemanına p noktasında bir (r , s) -tensör denir.
2.15. Tanım
Bir C-manifold M olsun. M nin her bir noktasına (r , s) -tipinden bir tensör
karşılık getiren bir dönüşüme M üzerinde (r , s) -tipinden bir tensör alanı
denir [Okubo, 1987].
12
O halde M üzerinde tanımlı bir tensör alanı,
T :M 
Ts r (Tp M )
pM
p  T ( p)  Ts r (Tp M )
şeklinde tanımlı bir dönüşümdür.
M üzerinde tanımlı tensör alanlarının kümesi  (M) ile gösterilir. sr (M),
C  ( M ) üzerinde bir modüldür. Özel olarak:
00 (M)=C (M ) ,  (M) =( M ),  (M) =   (M )
dir.
Ayrıca, W1 ,..., Wr    (M) , X 1 ,..., X s ( M ) ve p  M olmak üzere;
( T ( W1 ,..., Wr , X 1 ,..., X s ))(p)= Tp ( W1 p ,..., Wrp , X 1 p ,..., X sp )
şeklinde tanımlanırsa,
T :    M   ...     M    M   ...    M   C  M 
r-tane
s-tane
şeklinde C  ( M ) değerli bir (r  s) -lineer dönüşüm olur.
2.16. Tanım
M bir C  -manifold olsun. Eğer M üzerinde bir p  M noktası için
13
g : M  (Tp M , Tp M ; )
p  g p : Tp M  Tp M 
dönüşümü simetrik, pozitif tanımlı ve bilineer ise g ye M de bir Riemann
metriği denir [Hacısalihoğlu, 2006].
2.17. Tanım
Bir M C  -manifoldu üzerinde bir g Riemann metriği tanımlanmış ise bu
(M , g ) ikilisine Riemann manifoldu denir [Hacısalihoğlu, 2006].
2.18. Tanım
M
bir
C  -manifold olsun.
M
üzerinde simetrik, ve non-dejenere
( X   (M ) için g ( X , Y )  0 Y  0 ) özelliklerini sağlayan g tensörüne yarıRiemann metriği denir [Hacısalihoğlu ve Ekmekçi, 2003].
2.19. Tanım
Bir M C  -manifoldu üzerinde bir g yarı-Riemann metriği tanımlanmış ise
bu (M , g ) ikilisine yarı-Riemann manifoldu denir [Hacısalihoğlu ve Ekmekçi,
2003].
2.20. Tanım
Bir C-manifold M olsun
 :  (M )   (M )   (M )
( X ,Y )  X Y
14
dönüşümü f , g  C  M ve X , Y , Z   (M ) için
 fX  gY Z  f  X Z  gY Z ,
(i)
(ii)  X ( fY )  f  X Y  ( Xf )Y ,
(iii)  X (Y  Z )   X Y   X Z )X(Y+Z)=XY+XZ
özelliklerini sağlıyorsa,  dönüşümüne M üzerinde bir lineer konneksiyon
denir [Brickell ve Clark, 1970].
 lineer konneksiyonunun koordinat vektör alanlarındaki değeri



 xi
 x
m
j
  ik j
k=1

 xk
eşitliği ile belirlidir. Bu eşitlik ile tanımlı ijk , C-dönüşümlerine  lineer
konneksiyonunun bileşenleri veya Christoffel sembolleri denir [Brickell ve
Clark, 1970].
Bir  lineer konneksiyonunun X , Y   (M ) vektör alanlarındaki değeri
m
X= a i
i=1

 x
m
i
ve Y=  b j
j=1

 xj
olmak üzere

 
 b
 Y =   a
 a b  
 x

 x
15
eşitliği ile belirlidir.
2.21. Tanım
Bir C  -manifold M olsun. X , Y   (M ) , p  M ve f  C  ( p) için;
[ X , Y ] p ( f )  X p (Y ( f ))  Yp ( X ( f ))
şeklinde tanımlı
[,]:  (M )   (M )   (M )
dönüşümüne Lie parantez operatörü denir [Brickell ve Clark, 1970].
2.22. Tanım
F , G  11  M  olsun. X , Y   (M ) olmak üzere
2 N F ,G ( X , Y )  [ FX , GY ]  [GX , FY ]   FG  GF  [ X , Y ]
 F[GX , Y ]  F[ X , GY ]  G[ FX , Y ]  G[ X , FY ]
şeklinde verilen (1, 2) tipinden tensör alanına F ve G nin N F ,G torsiyon
tensörü denir [Yano ve Kon, 1984].
2.23. Tanım
F  11  M  olsun.
NF  NF ,F
16
şeklinde tanımlı (1, 2) tipinden tensör alanına F nin N F Nijenhuis tensörü
denir. Yani X , Y  10  M  için
N F ( X , Y )  F 2 [ X , Y ]  [ FX , FY ]  F[ FX , Y ]  F[ X , FY ]
dir [Yano ve Kon, 1984].
2.2. Diferensiyellenebilir Demet Yapıları
2.24. Tanım
E, M , F C-manifoldlar, :E M bir C-dönüşüm ve M nin bir açık örtüsü
U olmak üzere; eğer
diffeomorfizimlerinin bir {
için
}
olacak biçimde
sınıfı varsa, [F ye göre ] , lokal çarpım
özelliğine sahiptir ve (U,)I sistemine de,  nin bir lokal ayrışmasıdır
denir [Greub ve ark., 1972].
2.25. Tanım
Bir  : E  M
C  dönüşümü lokal çarpım özelliğine sahip olsun. Bu
durumda    E,  , M , F  dörtlüsüne bir diferensiyellenebilir lif demeti adı
verilir [Greub ve ark., 1972].
2.26. Tanım
   E,  , M , F  bir
C  -lif demeti olsun. O zaman, (U,)I lokal
17
ayrışmasına,  lif demetinin bir lokal koordinat gösterimi denir [Greub, ve
ark., 1972].
Bir    E,  , M , F  lif demetinde E ye  lif demetinin total uzayı, M ye baz
(taban) uzayı, F ye lif modeli (veya standart lif) ve  ye fibrasyon veya
projeksiyon adı verilir. Ayrıca, rank  boyF olarak tanımlanır [Greub ve ark.,
1972].
 E,  , M , F 
lif demeti bazen E total uzayı ile, bazen de,  : E  M C 
dönüşümü ile gösterilir.
2.27. Tanım
 : E  M bir lif demeti olsun. p  M için,
 1  p   E p  u  E :   u   p
kümesine p üzerinde bir lif denir [Greub, ve ark., 1972].
Tüm E p liflerin ayrık bileşimi E total uzayını verir. Yani,
E
Ep
pM
dir. Üstelik bir p  M için, E p lifi, E de kapalı imbedded altmanifolddur
[Saunders, 1989].
boyE p  boyE  boyM sayısına  nin lif boyutu denir [Saunders, 1989].
18
  ( E,  , M , F ) bir lif demeti ve
U ,  
I
lokal koordinat temsilcisi olsun.
p U için   , p : F  E p dönüşümü,
  , p  y      p, y  ; y  F
şeklinde tanımlanırsa   lar diffeomorfizm olduklarından,   , p dönüşümleri
de diffeomorfizmdir.
U ,  
I
den U  U U    olacak biçimde U ,   ve U  ,  
ikilileri seçilirse; bu durumda,
  ,  :U  F   1 U 
şeklinde
tanımlı

ve

lar
diffeomorfizm
olduklarından
    1   :U  F  U  F dönüşümü, p U , y  F için
   p, y    p, 1,p   , p  y  
şeklinde tanımlı bir diffeomorfizmdir. Böylece, p U için,
  , p   1   , p : F  F
,p
dönüşümleri de diffeomorfizmdir [Greub ve ark., 1972].
Örnek 1
 M : TM  M doğal projeksiyon olmak üzere,  M  TM ,  M , M ,
m
 dörtlüsü
bir lif demetidir. Buna M manifoldunun tanjant demeti denir. Bir p  M için
19
 M1  p  lifi Tp  M  tanjant uzayıdır [Civelek, 1988].
2.28. Tanım
   E,  , M , F  herhangi bir lif demeti olsun
   I M (özdeşlik)
olacak biçimde tanımlı  : M  E
C  -dönüşümüne  lif demeti üzerinde bir
çapraz kesit denir [Greub ve ark., 1972]
Örnek 2
 M  TM ,  M , M ,
m

lif demetini gözönüne alalım. Bu durumda, X   (M )
vektör alanı, X : M  TM ,
olup,  M
p  M , için X  p   X p  Tp  M  şeklinde tanımlı
kanonik projeksiyonunda X p  TM
için  M  X p   p olarak
tanımlandığında,
M
TM
M
diyagramı değişmeli olur. Böylece X    M  C  -vektör alanları  M lif demeti
üzerinde çapraz kesitlerdir [Civelek, 1988].
2.29. Tanım
   E,  , M , F  bir C  lif demeti olsun. Eğer;
20
(i)
1
p  M için ,   p   E p ve F reel vektör uzayı,
(ii) p  M ,  , p : F  E p dönüşümleri lineer izomorfizm olacak biçimde 
nin
U ,  
I
lokal koordinat gösterimi var
ise  ye bir vektör demeti denir. [Greub ve ark., 1972].
2.30. Tanım
   E,  , M , F  lif demeti olsun. z  E için
Vz E  çek  *
z
   A T E :   A   0
z
z
* z
z
kümesi, Tz E tanjant uzayının bir alt uzayıdır. Vz E
uzayına E nin z
noktasında vertical uzay ve bu uzayın her bir elemanına da bir vertical tanjant
vektör denir [Greub ve ark., 1972].
z  E ve   z   p olmak üzere Vz E  Tz  Fp  dir [Greub vd.1972].
E üzerinde vektör alanlarının modülü   E  olmak üzere A    E  olsun.
z  E için Az Vz E ise A ya vertical vektör alanı denir ve A   v  E  şeklinde
gösterilir (Greub vd.1972).
   E,  , M , F  bir lif demeti olsun. Bir  TE : TE  E dönüşümü z  E için
1
 TE
 z   Tz E şeklinde tanımlansın. Bu durumda
TE 
Tz E
zE
21
olmak üzere TE  TE,  TE , E,
m n

dörtlüsü bir vektör demeti olup, bu E
manifoldunun tanjant demetidir [Greub vd.1972].
2.3. Tanjant Demet
M nin tüm noktalarındaki tanjant uzaylarının ayrık birleşimi TM =  T M ve

TM üzerinde,  M : TM  M dönüşümü,   v   p,
tanımlansın. M üzerinde bir harita
U ,   x 
i
1i  m
 v T M ise
p
şeklinde
olsun. Bu durumda
U   1 U  olmak üzere;
 : U   U  
m
dönüşümü,
v    v    xi  M  v  , dxi  v  
1i  m
şeklinde tanımlanırsa,  dönüşümü 1-1 ve örten olup, görüntü kümesi
uzayının bir açık altkümesidir. O halde (U ,  ) ikilisi TM üzerinde
2m
2m -
boyutlu bir haritadır. M üzerinde A  U ,  I atlası verildiğinde TM
üzerinde, her bir haritası yukarıdaki şekilde elde edilen bir,


A  U ,  
 I
atlası tanımlanabilir. A sınıfı bir C  - atlastır ve TM üzerinde bir C  yapı
oluşturur. Bu yapıyla, TM 2m boyutlu bir C  -manifold olup, M nin tanjant
manifoldu olarak isimlendirilir.
22
Lokal olarak,
TM   p, z  p  M , z  Tp M 
m

gösterimi de kullanılır.
TM üzerinde bir lokal koordinat sistemi dxi  y i alınarak
x ,..., x
i
m
, y1 ,.. y m 

şeklinde ve kısalık için   xi , y i

1i  m
veya
y   yi 
1i  m
olmak üzere
   x, y  yazılacaktır.  koordinat dönüşümü de    x , y  şeklinde ifade
edilecektir.
TM , 
M
,M,
m

dörtlüsü bir vektör demetidir. Bu demete, M nin tanjant
demeti, sürekli, örten ve C  dönüşüm olan  M ye de doğal (kanonik)
projeksiyon denir [Greub ve ark., 1972].
2.31. Tanım
m  n  k -boyutlu M manifoldu üzerinde n -boyutlu diferensiyellenebilir bir
dağılım, TM tanjant demetinin rank n olan bir D altvektör demetidir [Lee,
2009].
O halde M manifoldu üzerindeki n -boyutlu diferensiyellenebilir bir dağılım,
x  M ye karşılık n -boyutlu bir  x  Tx M altvektör uzayını karşılık getirir.
23
 :M 
Tx M
xM
x   x  Tx M
Ayrıca, x  M nin bir U komşuluğunda lineer bağımsız X1 ,..., X n vektör
alanı vardır ki U komşuluğundaki q U için
 X1 (q),..., X n (q)
cümlesi  q
altvektör uzayının bir bazıdır [Lee, 2009].
D , M manifoldu üzerinde bir dağılım ve X de U  M açık kümesi üzerinde
tanımlı bir vektör alanı olsun. Eğer, p U için X p   p ise X vektör alanı
D dağılımına aittir denir ve X in D dağılımına ait olduğunu göstermek için
X   ( D) şeklinde gösterilir [Bejancu ve Farran, 2006].
2.32. Tanım
M diferensiyellenebilir bir manifold ve R, S de M manifoldu üzerinde iki
tümleyen dağılım, yani x  M için
Tx M  Rx  S x
dir. Yani,
T M  R S
dir [Özdemir ve Crasmareanu, 2010].
r ve s sırasıyla R ve S dağılımlarına karşılık gelen projeksiyonlar olmak
üzere r ve s yi (1,1) tipinde bir tensör olarak görebiliriz. Ayrıca,
r 2  r , s 2  s, rs  sr  0, r  s  ITM
24
özelikleri vardır [Özdemir ve Crasmareanu, 2010].
2.4. İkinci Dereceden Tanjant Demetler
2.33. Tanım
M m -boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve
reel sayılar cismi olsun.
den M ye tanımlı bütün C  -fonksiyonların kümesini S ( M ) ile gösterelim.
Herhangi iki F , G  S (M ) fonksiyonları için
dF i (0) dG i (0)
d r F i (0) d r G i (0)
F (0)  G (0),

,...,

dt
dt
dt r
dt r
i
i
eşitlikleri sağlanıyorsa F ve G fonksiyonları denktir denir ve F
gösterilir.
G ile
denklik bağıntısı ile belirlenen her denklik sınıfı F (0)  p olacak
şekilde bir F :
 M dönüşümünü içeriyorsa bu denklik sınıfına M nin r -
jeti denir ve j r p ( F ) ile gösterilir. Burada p noktası, j r p ( F ) r -jetinin hedefi
olarak adlandırılır
(U , xi ) , M nin bir koordinat komşuluğu olsun. p U olmak üzere bir j r p ( F )
r -jeti ( xi , yi (1) , yi (2) ..., yi ( r ) ) kümesi ile tek bir şekilde ifade edilir. U da P nin
koordinatları ( xi ) ve sırasıyla yi (1) , yi (2) ..., yi ( r ) ler de
y i (1) 
dF i (0) i
1 d 2 F i (0)
1 d r F i (0)
i
, y (2) 
,...,
y

(r )
dt
2! dt 2
r ! dt r
şeklinde tanımlıdır [Yano ve Ishıhara, 1967; Tani, 1969].
25
2.34. Tanım
Bir M manifoldunun tüm r -jetlerinin kümesi r -dereceden tanjant demet
olarak adlandırılır ve Tr ( M ) ile gösterilir. Tr ( M ) nin diferensiyellenebilir bir
manifold olması yoluyla Tr ( M ) de bir topolojiden söz edilebilir [Yano ve
Ishıhara, 1967].
2.35. Tanım
Bir M manifoldu üzerindeki 2 -jetlerin kümesine ikinci dereceden tanjant
demet denir ve T2 M ile gösterilir.
2 :
T2 M
 M
j p ( F )   2 ( j 2 p ( F ))  F (0)  p
2
dönüşümüne T2 M nin projeksiyonu denir [Yano ve Ishıhara, 1967].
2.5. Uyarlanmış Konneksiyonlar
R,  n  p  -boyutlu bir M manifoldu üzerinde n-dağılım olsun. M manifoldu
üzerindeki bir lineer konneksiyon  olmak üzere
*X U    R  , X    M  , U    R 
ise  konneksiyonuna R ye uyarlanmış denir [Bejancu ve Farran, 2006].
S , M manifoldu üzerinde R dağılımının tümleyen bir p-dağılımı olsun. O
halde, TM  R  S dır. r ve s sırasıyla R ve S ye karşılık gelen projeksiyonlar
olsun. Dolayısıyla r - s  P şeklinde bir hemen hemen çarpım yapısı
26
oluşturabiliriz.  M , R, S  üçlüsüne de hemen hemen çarpım manifoldu denir.
Hemen hemen çarpım manifoldu üzerindeki bir lineer konneksiyona 
uyarlanmış lineer konneksiyon denir. Eğer , hem R hem de S ye göre
uyarlanmış ise,
 X rY    R 
 X sY    S  X,Y    M  .
şeklinde ifade edilir.
İlk kez Schouten Van –Kampen ve Vranceanu tarfından tanıtılan ve kendi
isimleriyle bilinen hemen hemen çarpım manifoldları üzerinde iki uyarlanmış
lineer konneksiyon vardır. Bu konneksiyonlar şu şekilde tanımlanır: M bir
hemen hemen çarpım manifoldu ve , M üzerinde bir lineer konneksiyon
olmak üzere X,Y    M  için
i) Schouten konneksiyonu
Sc
 X Y  r   X rY   s   X sY 
ii) Vranceanu konneksiyonu
v
 X Y  r  rX rY   s   sX sY   r  sX , rY   s  rX , sY 
dır [Bejancu ve Farran, 2006].
M manifoldu üzerinde r - s  P hemen hemen çarpım yapısı eğer  lineer
27
konneksiyonuna göre kovaryant türevi sıfıra eşit, yani X , Y    M  için
( X P)Y   X PY  P X Y  0
ise P hemen hemen çarpım yapısına  lineer konneksiyonuna göre
paraleldir denir [Bejancu ve Farran, 2006].
2.36. Önerme
P, M Rieman manifoldu üzerinde bir Riemann hemen hemen çarpım yapısı
g
olsun. P,  Levi-Civita konneksiyonuna göre paralel ise Riemann hemen
hemen çarpım yapı bir lokal çarpım yapıdır [Crasmareanu ve Hretcanu,
2008].
2.6. İkinci Dereceden Tanjant Demetlere Liftler
Bu kesimde, Yano ve Ishihara’nın tanımladığı T2 M ye 0 , I , II liftlerin
tanımları verilerek özellikleri özetlenecektir [Yano ve Ishihara, 1973].
2.37. Tanım
f , M üzerinde diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. f
sırasıyla 0, I , II liftleri f 0 , f I , f II ile gösterilir ve
f 0  f  2 , f I  y i  i f , f II  z i  i f 
şeklinde tanımlanır.
1 j i
y y  j i f
2
nin T2 M ye
28
2.38. Teorem
f , g 00 (M ) için
( fg )0  f 0 g 0 , ( fg ) I  f I g 0  f 0 g I , ( fg ) II  f II g 0  f I g I  f 0 g II
dir.
2.39. Teorem
X , Y  01 (T2 M ) ve f  00 (M ) için X f II  Y f II ise X  Y dir.
2.40. Tanım
X , M üzerinde bir vektör alanı ( X 01 ( M )) ve bir ( U , xi ) haritasına göre
X vektör alanının lokal bileşenleri X i olmak üzere, X in T2 M ye sırasıyla 0,
I , II liftleri X 0 , X I , X II ile gösterilir ve
 0 
0 




X 0 :  0  , X I :  X i  , X II
 y j X i 
Xi 
 
j






Xi


y j j X i
:



 z i  X i  1 y k y j   X i 
j
k j


2
eşitlikleri ile tanımlanır.
    
Burada vektör alanlarının liftleri  i , i , i  bazına göre matris temsilleri
 x y z 
ile ifade edilmiştir.
29
2.41. Teorem
f  00 (M ) ve X  01 ( M ) için
( fX )0  f 0 X 0 , ( fX ) I  f I X 0  f 0 X I , ( fX ) II  f II X 0  f I X I  f 0 X II ,
X 0 f 0  0 , X 0 f I  0 , X 0 f II  ( Xf )0 , X I f 0  0,
X I f I  ( Xf )0 ,
X I f II  ( Xf ) I , X II f 0  ( Xf )0 , X II f I  ( Xf ) I , X II f II  ( Xf ) II
eşitlikleri vardır.
2.42. Sonuç
i
M üzerindeki koordinat sistemi ( x ) ve T2 M ye indirgenmiş koordinat sistemi
de ( xi , y i , z i ) olmak üzere

  
 i  i ,
 x  z
0

  
 i  i ,
 x  y
I

  
 i  i
x
 x 
II
dir.
2.43. Tanım
 , M üzerinde bir 1-form ve bir (U , xi ) haritasına göre  nın lokal
bileşenleri i olmak üzere,  nın T2 M ye sırasıyla 0, I , II liftleri  0 ,  I ,  II ile
gösterilir ve
1
2
 0 : (i ,0,0),  I : ( y j  ji , i ,0),  II : ( z j  ji  y k y j  k  ji , i )
eşitlikleri ile tanımlanır. Burada 1-formun liftleri
dx , dy , dz 
i
i
i
bazına göre
30
matris temsilleri ile ifade edilmiştir.
2.44. Teorem
f 00 (M ), X 10 ve   01 (M ) için
( f  )0  f 0 0 , ( f  ) I  f I  0  f 0 I , ( f  ) II  f II  0  f I  I  f 0 II ,
 0 ( X 0 )  0 ,  0 ( X I )  0 ,  0 ( X II )  ( ( X ))0 ,  I ( X 0 )  0 ,
 I ( X I )  ( ( X ))0 ,  I ( X II )  ( ( X )) I ,  II ( X 0 )  ( ( X ))0 ,
 II ( X I )  ( ( X )) I ,  II ( X II )  ( ( X )) II
eşitlikleri vardır.
2.45. Sonuç
i
M üzerindeki koordinat sistemi ( x ) ve T2 M ye indirgenmiş koordinat sistemi
de ( xi , y i , z i ) olmak üzere
(dxi )0  dxi , (dxi ) I  dyi , (dxi ) II  dz i
dir.
2.46. Tanım
S ve T , M manifoldu üzerinde herhangi tensör alanları olmak üzere
(S  T )0  S 0  T 0 , (S  T ) I  S I  T I , (S  T ) II  S II  T II
özellikleri vardır.
31
Örnek 3
M üzerinde (0, 2) tipinden bir tensör alanı Gˆ  gij dxi  dx j olmak üzere Ĝ
nın T2 M ye 0, I , II -liftlerini hesaplayalım.
Gˆ 0  ( gij dx i  dx j )0
 ( gij )0 (dxi  dx j )0
 gij (dxi )0  (dx j )0
 gij dxi  dx j
o halde,
 gij
0
ˆ
G   0
 0
0 0
0 0 
0 0 
dır.
Gˆ I  ( gij dxi  dx j ) I
 ( gij ) I (dxi  dx j )0  ( gij )0 (dxi  dx j ) I
 ( gij ) I (dxi )0  (dx j )0  ( gij )0 [(dxi ) I  (dx j ) 0  ( dxi ) 0  ( dx j ) I ]
 ys  s gij (dxi  dx j )  gij (dy i  dx j )  gij (dx i  dy j )
o halde,
 y s  s gij

Gˆ I   gij
 0

dır.
gij
0
0
0

0
0 
32
Gˆ II  ( gij dxi  dx j ) II
 ( gij ) II (dxi  dx j )0  ( gij ) I (dxi  dx j ) I  ( g ij ) 0 ( dxi  dx j ) II
 ( gij ) II (dxi )0  (dx j ) 0  ( gij ) I [( dxi ) I  ( dx j ) 0  ( dxi ) 0  ( dx j ) 0 ]
 gij [(dxi ) II  (dx j )0  (dxi ) I  (dx j ) I  ( dxi ) 0  ( dx j ) II ]
 ( gij ) II dxi  dx j  ( gij ) I dy i  dx j  ( gij ) I dxi  dy j  gij dz i  dx j
 gij dy i  dy j  gij dxi  dz j
o halde,
1 t s
 s
 z  s gij  2 y y  t  s gij

Gˆ II  
y s  s gij

gij


y s  s gij
gij
0

gij 

o
0


dır.
F , M manifoldu üzerinde (1,1) tipinde tensör alanı olsun. F tensör alanının
T2 M ye II -liftinin bileşenleri şu şekildedir.


F ih

y ss F ih

 s
1
 z  s F i h  yt y s t  s F i h

2
0
F ih
y ss F ih

0 

0 

F ih 

(2.1)
ve F , G  11 (M ) olmak üzere aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
( F .G) II  F II .G II
Bu denklemde G yerine F yazılarak,
(2.2)
33
( F 2 ) II  ( F II )2
(2.3)
elde edilir. Eş.2.2 de G yerine F 2 yazıldığında
( F .F 2 ) II  F II ( F 2 ) II
F 3  ( F II )3
(2.4)
olur. Bu işleme aynı şekilde devam edilirse,
( F k )  ( F II )k
k
(2.5)
elde edilir. F ve G herhangi tensör alanları olmak üzere
( F  G) II  F II  G II dir.
2.47. Önerme
X  01 (M ) ve F  11 ( M ) olmak üzere
F 0 X 0  0, F 0 X I  0, F 0 X II  ( FX )0 ,
F I X 0  0, F I X I  ( FX )0 , F I X II  ( FX ) I ,
F II X 0  ( FX )0 , F II X I  ( FX ) II , F II X II  ( FX ) II
dir.
2.48. Önerme
F , G  11 (M ) ve X  01 (M ) olmak üzere
(2.6)
34
(G 0 F 0 ) X II  G 0 ( F 0 X II )  0,
(G I F I ) X II  G I ( F I X II )  G I ( FX ) I  (G( FX )) 0  (GF ) 0 X II ,
(G II F II ) X II  G II ( F II X II )  G II ( FX ) II  (G( FX )) II  (GF ) II X II
dir.
Buradan da
G0 F 0  0, G I F I  (GF )0 , G II F II  (GF ) II
elde edilir.
2.49. Tanım
1
M manifoldu üzerinde bir afin konneksiyon  olsun. X , Y  0 ( M ) olmak
üzere  nın T2 M ye 0, I , II -lift özellikleri
 II X 0 Y 0  0,  II X 0 Y I  0,  II X 0 Y II  ( X Y )0 ,
 II X I Y 0  0,  II X I Y I  ( X Y )0 ,  II X I Y II  ( X Y ) I ,
 II X II Y 0  ( X Y )0 ,  II X II Y I  ( X Y ) I ,  II X II Y II  ( X Y ) II
şeklindedir.
2.50. Teorem
X , Y 10 (M ) için
 X 0 , Y 0   0,  X I , Y 0   0 ,  X I , Y I    X , Y  ,
0
 X II , Y 0    X , Y  ,  X II , Y I    X , Y  ,  X II , Y II    X , Y 
0
dir.
I
0
35
3. GÜMÜŞ DİFERENSİYEL GEOMETRİ
Bu bölümde, tezin temelini teşkil eden Özkan ve Peltek’in “Gümüş
Diferensiyel Geometri” adlı bildirileri son bölümün daha kolay anlaşılabilmesi
için kısaca özetlenecektir [Özkan ve Peltek, 2013].
3.1. Manifoldlar Üzerinde Gümüş Yapılar
3.1. Tanım
M bir C  manifold ve F , M üzerinde (1,1) tipinden bir tensör alanı olsun.
I , (1,1) tipindeki tensör alanlarının özdeşlik dönüşümü ve p  M için
F n1 ( p), F n2 ( p), ..., F ( p), I lineer bağımsız olmak üzere
Q( x)  x n  an x n1  ...  a2 x  I  0
cebirsel denklemini sağlayan F tensör alanına M manifoldu üzerinde bir
polinom yapısı ve Q( x) polinomuna da yapı polinomu denir [Goldberg ve
Yano, 1970].
3.2. Tanım
Bir M C  -manifoldu üzerinde Q( x)  x 2 yapı polinomuna sahip (1,1) tipinden
T tensör alanına bir hemen hemen tanjant yapı denir [Crasmareanu ve
Hretcanu, 2008]. Yani T 2  0 dır.
3.3. Tanım
Bir M
C  -manifoldu üzerinde Q( x)  x 2  I yapı polinomuna sahip (1,1)
tipinden P tensör alanına bir hemen hemen çarpım yapı denir. Yani P 2  I
36
dır [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008].
3.4. Tanım
Bir M
C  -manifoldu üzerinde Q( x)  x 2  I yapı polinomuna sahip (1,1)
tipinden J tensör alanına bir hemen hemen çarpım yapıyı denir. Yani;
J 2   I dır [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008].
3.5. Tanım
, M manifoldu üzerinde (1,1) tipinde bir tensör alanı olsun.
2  2  I
(3.1)
eşitliğini sağlayan  ye M manifoldu üzerinde bir gümüş yapı denir.
3.6. Önerme
(i) Bir  gümüş yapının öz değerleri gümüş oran olan   1  2 ve
2-  1  2 sayılarıdır.
(ii)  gümüş yapısı, x  M için M manifoldunun Tx M tanjant uzayı
üzerinde bir izomorfizmdir.
(iii)  gümüş yapının tersi mevcuttur ve 1   olmak üzere
2  2  I
denklemini sağlar.
(3.2)
37
3.7. Önerme
Gümüş yapılar çift olarak belirlidirler. Yani;  bir gümüş yapı ise
  2I   de gümüş yapıdır.
(3.3)
Benzer durum hemen hemen tanjant yapı, hemen hemen kompleks yapı ve
hemen hemen çarpım yapı içinde geçerlidir. Yani,
a) T hemen hemen tanjant yapı ise T de bir hemen hemen tanjant yapıdır.
b) J hemen hemen kompleks yapı ise  J de hemen hemen kompleks
yapıdır.
c) P hemen hemen çarpım yapı ise  P de hemen hemen çarpım yapıdır.
3.8. Teorem
M üzerinde her bir P hemen hemen çarpım yapıdan
P  I  2P
(3.4)
şeklinde bir gümüş yapı elde edilir.
Aksine; , M üzerinde bir gümüş yapı ise,
P
1
(  I )
2
M üzerinde hemen hemen çarpım yapıdır.
(3.5)
38
Eş. 3.1 denkleminden aşağıdaki tanımlar verilebilir.
a) M manifoldu üzerinde hemen hemen tanjant yapı T olsun. O halde,
t  I  2T
(3.6)
ifadesi (M , T ) hemen hemen tanjant manifoldu üzerinde bir tanjant gümüş
yapıdır. t
t 2  2t  I  0
polinomal denklemini sağlar.
b) (M , J ) hemen hemen kompleks manifold olsun. Bu durumda,
 j  I  2J
(3.7)
ifadesi (M , J ) hemen hemen kompleks manifoldu üzerinde bir kompleks
gümüş yapıdır.  j
 j 2  2 j  3I  0
polinomal denklemi sağlar.
3.3. Gümüş Yapıların İntegrallenebilirliği ve Paralelliği
, gümüş yapının N  Nijenhuis tensörü
N  X , Y   2  X , Y   X , Y    X , Y     X , Y 
(3.8)
39
eşitliği ile verilir. Eş. 3.4 ve Eş. 3.5 den X , Y  10  M  için
NP  X ,Y  
1
N  X , Y 
2
(3.9)
eşitliği vardır.
R ve S , M gümüş manifoldu üzerinde tamamlayıcı dağılımlar olsun. Yani,
x  M için
Tx M  Rx  S x
dır. Demet durumunda da
TM  R  S
şeklindedir. r , s sırasıyla R ve S ye karşılık gelen projeksiyonlar olmak
üzere
r 2  r,
s2  s
rs  sr  0,
rs I
(3.10)
bağıntıları vardır. r  s  P olmak üzere P nin bir hemen hemen çarpım yapı
olduğunu biliyoruz. O halde
r  s  I

r  s  P
olduğundan, r 
1
1
 I  P  ve s   I  P  dir.   I  2P olmak üzere,
2
2
40
1
2 

r  2 2   2 2 I

s   1    I

2 2
2 2
(3.11)
şeklinde tanımlıdır. r ve s projeksiyonları için

1

r  r   r  2 2   2 2 I

s  s   2    s  2     1 I

2 2
2 2
(3.12)
eşitlikleri vardır. Eş. 3.12 den
1

s  rX , rY   sN   rX , rY 


8

r  sX , sY   1 rN  sX , sY 


8

(3.13)
elde edilir.
3.9. Önerme
(i) Eğer N  0 ise  gümüş yapısı integrallenebilirdir.
(ii)  gümüş yapısı integrallenebilirdir gerek ve yeter şart P hemen hemen
çarpım yapısı integrallenebilirdir.
(iii) X , Y  M için s  rX , rY   0 ise R dağılımı integrallenebilir.
(iv) X , Y  M için r  sX , sY   0 ise S dağılımı integrallenebilir.
41
3.10. Önerme
(i)
R integrallenebilirdir gerek ve yeter şart X , Y  M için
sN  rX , rY   0
(ii) S integrallenebilirdir gerek ve yeter şart X , Y  M için
rN  sX , sY   0
(iii)  integrallenebilir ise de hem R hem de S integrallenebilir.
3.11. Önerme
r , s projeksiyonları M manifoldu üzerinde her  lineer konneksiyonu için
Schouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir. Ayrıca,  gümüş
yapısı da Schouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir.
3.12. Önerme
R, S dağılımları M manifoldu üzerinde her  lineer konneksiyonu için
Schouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir.
3.3. Gümüş Riemann Metrikler
X , Y    M  olsun. g , M üzerinde Riemann metriği ve P bir hemen
hemen çarpım yapı olmak üzere
g  PX , PY   g  X , Y  veya g  PX , Y   g  X , PY 
42
eşitliğine
 g, P 
ikilisine bir Riemann hemen hemen çarpım yapı denir
[Crasmareanu ve Hretcanu, 2008].
3.13. Tanım
X , Y    M  olsun. g , M manifoldu üzerinde
g  X , Y   g  X , Y 
olacak şekilde bir Riemann metriği ise
 g, 
ikilisine gümüş Riemann yapı
ve  M , g ,   üçlüsüne de gümüş Riemann manifold denir.
3.14. Önerme
Gümüş Riemann manifoldu üzerinde
(i)
r , s projektörleri g -simetriktir. Yani,
g  rX , Y   g  X , rY 
g  sX , Y   g  X , sY 
dır.
(ii) R, S dağılımları g -ortogonaldır. Yani,
g  rX , sY   0 dır.
(iii) Gümüş yapı, N  -simetriktir.
43
N  X , Y   N  X , Y  dir.
3.15. Önerme
, P hemen hemen çarpım yapısı üzerinde bir simetrik lineer konneksiyon
ise P nin Nijenhuis tensörü
N P  X , Y    PX P Y    PY P  X   P   X P Y   P  Y P  X 
şeklindedir.
3.16. Önerme
Bir lokal çarpım gümüş Riemann manifold üzerinde,  gümüş yapısı
integrallenebilirdir.
44
4. GÜMÜŞ MANİFOLDLARIN İKİNCİ DERECEDEN TANJANT
DEMETLERE TAŞINMASI
Bu bölümde, M C  -manifoldu üzerindeki  gümüş yapısı II lift yardımıyla
ikinci dereceden tanjant demete taşınmıştır. Daha sonra T2 M tanjant demet
üzerindeki gümüş yapının integrallenebilirliği ve paralelliği incelenmiştir. Son
olarak da ikinci dereceden tanjant demet üzerinde gümüş yarı-Riemann
manifold çalışılmıştır.
4.1. Teorem
M bir C  -manifold ve  11 (M ) olsun.  gümüş yapıdır gerek ve yeter
şart  nın  II komple lifti T2 M de gümüş yapıdır.
İspat
2  2  I denkleminin her iki yanının II lifti alınırsa; Eş. 2.5, Eş. 2.6
eşitlikleri ve I II  I olmasından
(2 ) II  (2  I ) II
 
II 2
 II  II  I II
  II   2II  I
2
bulunur.
4.2. Önerme
(i)
, M manifoldu üzerinde gümüş yapı ise T2 M deki  II gümüş
(4.1)
45
yapısının öz değerleri   1  2 ve 2    1  2 sayısıdır.
(ii) , M manifoldu üzerinde gümüş yapı ise q  T2 M için  II gümüş
yapısı T2 M manifoldunun tanjant uzayı Tq (T2 M ) ye izomorftur.
(iii)  II
ˆ II
nin tersi mevcuttur. (II )1  
ˆ II ,
alınırsa 
ˆ II )2  I  2
ˆ II
(
denklemini sağlar.
İspat
(i) II :  T2 M  lineer  T2 M  dönüşümünün öz değeri  olsun. Bu durumda
X II   T2 M  için
II X II   X II
yazılabilir.  gümüş yapı olduğundan
(II )2  2II  I II
eşitliğini sağlar.
(II )2 X II  2II X II  I II X II
 II  II X II   2II X II  X II ,
 II   X II   2 X II  X II ,

II
X II   X II 
  lineer 

   II X II   2 X II  X II , II  X II    X II
    X II   2 X II  X II
  2 X II   2  1 X II

46
Bu eşitlik X II   T2 M  için doğru olduğundan
 2  2  1
eşitliğini elde ederiz. Bu denklemin kökleri de
1  1  2   ve 2  1  2  2  
dır. 1   ve 2  2   değerleri de  II gümüş yapısının öz değerleridir.
(ii)  II gümüş yapısının izomorfizm olduğunu göstermek için  II lineer
olduğundan birebir ve örten olduğunu göstermemiz ispat için yeterlidir.
 II nin çekirdeği
çek    X    M  : II X II  0
dır. Eş. 4.1 den
II  II X II   2II X II  IX II
 II  0  2  0  X II ,
 , lineer olduğundan   0  0
II
 0  0  X II
 X II  0
 çek   0
  birebirdir.
 II nin örtenliği için;
boy  T2 M   rank II  boy  çek II  eşitliğinden
47
boy  T2 M   boy II   T2 M  
  T2 M    II   T2 M  
  II , örtendir.
(iii)  II izomorfizm olduğundan birebir ve örtendir. Dolayısıyla  II nın tersi
mevcuttur.
(II )2  2II  I (Her iki tarafın sağdan   II 
 (II )2  II   2II  II   I  II 
1
1

 (II ) (II )   II 
 II I  2 I   II 
 II  2 I   II 
1
1
ile bileşkesini alalım)
1
  2I    
II 1
1
1
 (II )1  II  2I (Her iki tarafın sağdan   II 
1
ile bileşkesini alalım)
 (II )1 (II )1  II (II )1  2 I (II )1
 ((II )1 )2  I  2(II )1
ˆ II  (II )1 alınırsa)
(
ˆ II )2  I  2
ˆ II
 (
dır.
4.3. Önerme
, M manifoldu üzerinde bir gümüş yapı ise  II gümüş yapıdır ve
II
  2I  II de T2 M de bir gümüş yapıdır.
48
İspat
 2I      2I     2I   
II
2
II
II

 4 I  2II  2II   II 
2

  4I  4II  2II  I 
 2  2I  II   I .
dır. Öyleyse,
   2

II
2
II
I
olup, bir gümüş yapıdır.
Biliyoruz ki, Önerme 4.3 deki durum bir hemen hemen tanjant yapı, bir
hemen hemen kompleks yapı ve bir hemen hemen çarpım yapı için de
geçerlidir. Yani, sırası ile bu yapılar için aşağıdaki tanımlar verilebilir.
4.4. Tanım
Eğer T , M manifoldu üzerinde bir hemen hemen tanjant yapı ise T II ve
T II de T2 M de bir hemen hemen tanjant yapıdır.
( M , T ) hemen hemen tanjant manifold olsun. Bu durumda
t II  I  2T II ,
ile tanımlanan t II tensör alanı T2 M de bir tanjant gümüş yapıdır.
49
4.5. Tanım
J , M manifoldu üzerinde bir hemen hemen kompleks ise J II ve  J II de
T2 M de bir hemen hemen kompleks yapıdır.
( M , J ) bir hemen hemen kompleks manifold olsun. T2 M de
 j II  I  2 J II
ile tanımlanan  j II tensör alanı (T2 M , J II ) üzerinde bir kompleks gümüş
yapıdır.
4.6. Tanım
P, M manifoldu üzerinde bir hemen hemen çarpım yapı ise P II ve  P II de
T2 M de bir hemen hemen çarpım yapıdır.
Şimdi, T2 M
üzerindeki gümüş yapı ile hemen hemen çarpım yapısı
arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
4.7. Teorem
P, M manifoldu üzerinde bir hemen hemen çarpım yapı olsun. P II hemen
hemen çarpım yapı T2 M de
II  I  2P II
şeklinde bir gümüş yapı indirger.
(4.2)
50
Karşıt olarak T2 M de  II gümüş yapısı bir hemen hemen çarpım yapı
indirger. Yani,
P II 
1
( II  I )
2
(4.3)
dir.
İspat
II  I  2P II ve
P 
II
2
 I II olmak üzere Eş. 4.1 eşitliğinin sağlandığını
göstermeliyiz.
( II ) 2    II  II 

 I  2 P II
 I 
2 P II

 I  2 P II  2 P II  2  P II 
2
 I  2 2 P II  2 I
 3I  2 2 P II


 2 I  2 P II  I
 2 II  I
dır. O halde  II , T2 M de bir gümüş yapıdır.
Tersine,  II bir gümüş yapı ve P II 
P 
II
2
 P II P II

1
( II  I ) ( II  I ) 
2
1
( II  I ) olsun. Eş. 4.1 eşitliğinden
2
51
1  II 2
    II   II  I 



2
2
1
   II   2 II  I 

2
1
  2 II  I  2 II  I 
2
I

Öyleyse;  P II   I II dir.
2
4.1.
İkinci
Dereceden
Tanjant
Demetlerde
Gümüş
Yapıların
İntegrallenebilirliği ve Paralelliği
Eş. 4.1 deki  II gümüş yapısının N II Nijenhuis tensörü
N  II  X II , Y II     II   X II , Y II    II X II ,  II Y II 
2
  II  II X II , Y II    II  X II ,  II Y II  .
ile verilir.
4.8. Teorem
X , Y  10  M  ve II  I  2P II için N P II ve N II arasında
N PII  X II , Y II  
eşitliği vardır.
İspat
1
N II  X II , Y II 
2 
(4.4)
52
Eş. 4.2 ve Eş. 4.4 den
N P II  X II , Y II    P II X II , P II Y II   P II  P II X II , Y II 
 P II  X II , P II Y II    P 2   X II , Y II 
II
yazabiliriz. II  I  2P II , yani P II 

N P II  X II , Y II   I  X II , Y II   

1

( II  I ) 

2


1
( II  I ) olmasından ve Eş. 4.4 den
2
1
1

( II  I ) X II ,
( II  I )Y II 
2
2

1

( II  I ) X II , Y II 
2

1
1


( II  I )  X II ,
( II  I )Y II 
2
2


N P II  X II , Y II    X II , Y II  
1  II II 1

 X ,
( II  I )Y II 

2
2

1  II 1

IX ,
( II  I )Y II 

2
2

1
1
 ( II  I )  II X II , Y II   ( II  I )  IX II , Y II 
2
2
1
1
 ( II  I )  X II ,  II Y II   ( II  I )  X II , IY II 
2
2

1
N P II  X II , Y II    X II , Y II    II X II ,  II Y II 
2
1 II II
1
1
  X , IY II    X II ,  II Y II    X II , IY II 
2
2
2
1 II
1
 (  I )  II X II , Y II   ( II  I )  IX II , Y II 
2
2
1 II
1
 (  I )  X II ,  II Y II   ( II  I )  X II , IY II 
2
2
1  II 2
     X II , Y II    II X II ,  II Y II 
2
 II  II X II , Y II    II  X II ,  II Y II  
53
N P II  X II , Y II    N P  X , Y  
II
1

  NP  X ,Y  
2

II
olur. Dolayısıyla,
N PII  X II , Y II  
1
N II  X II , Y II 
2
bağıntısı elde edilerek ispat tamamlanır.
R ve S , M manifoldu üzerinde tamamlayıcı dağılımlar olmak üzere Eş. 2.2,
Eş. 2.5, Eş. 2.6 ve Eş. 3.10 dan
r 
II
2
 r II ,
s 
II
2
 s II
r II  s II  I , r II s II  s II r II  0
(4.5)
r II  s II  P II olmak üzere P II nin hemen hemen çarpım yapısı olduğunu
biliyoruz. O halde
r II  s II  I II
 II
II
II
r  s  P
olduğundan r II 
1
1
I  P II  ve s II   I  P II  dir.

2
2
 II  I  2P II olmak üzere Eş. 3.11 den de
54
r II 
1
 II 
2 
I
2 2
2 2
1

s II  
 II 
I
2 2
2 2
(4.6)
bağıntıları elde edilir. Buradan Eş. 3.12 eşitliğinden

1
 II II
II
II
II
II
 r  r    r  2 2   2 2 I

 II s II  s II  II   2    s II  2    II  1 I

2 2
2 2
(4.7)
elde edilir.
4.9. Teorem
T2 M de bir S dağılımının II lifti S II integrallenebilirdir gerek ve yeter şart S
dağılımı M de integrallenebilirdir.
İspat
Önerme. 3.3 den dolayı, S dağılımı integrallenebilirdir gerek ve yeter şart
X , Y  10  M  için
r  sX , sY   0
(4.8)
dır. Bu denklemin her iki tarafının II lifti alınırsa, Önerme 2.47 ve Teorem
2.50 den
r II  s II X II , s II Y II   0
(4.9)
55
yazılır. Burada r II  1  s   I  s II dır. O halde Eş. 4.8 ve Eş. 4.9 koşulları
II
eşdeğerdir. Böylece ispat tamamlanır.
4.10. Teorem
X , Y  10  M  için S dağılımı M üzerinde integrallenebilir olsun. Yani,
Önerme. 3.4 den rN  sX , sY   0 dir. O halde S II , T2 M de integrallenebilirdir
gerek ve yeter şart
r II NII  s II X II , s II Y II   0
(4.10)
olmasıdır.
İspat
N II , T2 M de  II nin Nijenhuis tensör alanı olsun. Bu durumda
N II  X II , Y II     II   X II , Y II    II X II ,  II Y II 
2
  II  II X II , Y II    II  X II ,  II Y II 
yazabiliriz. Buradan,
N II  s II X II , s II Y II     II   s II X II , s II Y II    II s II X II ,  II s II Y II 
2
  II  II s II X II , s II Y II    II  s II X II ,  II s II Y II 
Eş. 4.11, Eş. 4.1 ve Eş. 4.7 sayesinde
NII  s II X II , s II Y II    2  2  II  s II X II , s II Y II    2  2   s II X II , s IIY II 
(4.11)
56
1 II
r ile çarpılır ve Eş.4.7 kullanılırsa
8
şeklinde yazılır. Her taraf
II
1 II
r NII  s II X II , s II Y II   r II  s II X II , s II Y II    rN   sX , sY  
8
denklemine ulaşılır. rN  sX , sY   0 olduğu dikkate alınırsa
r II NII  s II X II , s II Y II   0 .
olur. Böylece ispat tamamlanır.
4.11. Teorem
T2 M de R dağılımının II lifti R II integrallenebilirdir gerek ve yeter şart R, M
de integrallenebilirdir.
İspat
Önerme 3.3 den,
R
dağılımı integrallenebilirdir gerek ve yeter şart
X , Y  10  M  için
s  rX , rY   0
dır. Bu denklemin her iki tarafının II liftini alırsak, Önerme 2.47 ve Teorem
2.50 den
s II r II X II , r II Y II   0
(4.12)
olur. Burada s II  1  r   I  r II dir. Bundan dolayı yukarıdaki iki koşul
II
57
birbirine eşdeğerdir. Böylece ispat tamamlanır.
4.12. Teorem
X , Y  10  M 
için
R
dağılımı
M
de
integrallenebilirdir.
Yani,
sN  rX , rY   0 dır. O halde, R II dağılımı T2 M de integrallenbilirdir gerek ve
yeter şart
s II NII r II X II , r II Y II   0
dır.
İspat
N II , T2 M de  II nin Nijenhuis tensör alanı olsun. Bu durumda
N II  r II X II , r II Y II     II   r II X II , r II Y II   II r II X II , II r II Y II   II II r II X II , r II Y II 
2
  II  r II X II ,  II r II Y II 
yazılır. Bu denklem Eş. 4.1 ve Eş. 4.7 yardımıyla
NII  r II X II , r II Y II    2  2  II r II X II , r II Y II    2  2  r II X II , r II Y II 
şeklinde ifade edilir. Son eşitliğin her iki yanı
1 II
s ile çarpılır ve Eş.4.7
8
kullanılırsa
II
1 II
s NII  r II X II , r II Y II   s II r II X II , r II Y II    sN   rX , rY  
8
58
elde edilir. sN  rX , rY   0 olmasından
s II NII r II X II , r II Y II   0
sağlanarak ispat tamamlanır.
4.13. Teorem
P, M manifoldu üzerinde bir hemen hemen çarpım yapı ve  nin II lifti
II , T2 M de gümüş yapı olsun. O halde II , T2 M de integrallenebilirdir
gerek ve yeter şart P, M de integrallenebilirdir.
4.14. Teorem
M deki her X , Y vektör alanı için  gümüş yapısı M de integrallenebilir
olsun. Yani; Önerme. 3.3 den N  X , Y   0 dır. O halde  II gümüş yapısı da
T2 M de integrallenebilirdir gerek ve yeter şart
NII  X II , Y II   0
olmasıdır.
İspat
Eş. 4.8 den
N II  X II , Y II    2   X II , Y II    II X II ,  II Y II 
II
  II  II X II , Y II    II  X II ,  II Y II 
59
yazılır. , M de gümüş yapı olduğundan
NII  X II , Y II    N  X , Y    0
II
elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.
Önerme. 3.3 den biliyoruz ki,  gümüş yapısı integrallenebilir ise R ve S
dağılımlarının her ikisi de integrallenebilirdir. Bundan hareketle aşağıdaki
teorem verilebilir.
4.15. Teorem
 nin II lifti olan  II , T2 M de integrallenebilirse R II ve S II dağılımları da
T2 M de integrallenebilirdir.
X , Y  10  M  ve , M de lineer konneksiyon olmak üzere T2 M de
 II X II Y II    X Y 
II
gibi tanımlı  II lineer konneksiyonu tek türlü mevcuttur [Yano, 1973].
Böylece,
Bölüm
2
de
tanımları
verilen
Schouten
ve
Vranceanu
konneksiyonlarını T2 M de aşağıdaki gibi tanımlarız.
(i) Schouten konneksiyonu
 IIX II Y II  r II   II X II r II Y II   s II   II X II s II Y II 
(ii) Vranceanu konneksiyonu
(4.13)
60
 IIX II Y II  r II   II X II r II Y II   s II   II X II s II Y II  
(4.14)
r II  s II X II , r II Y II   s II  r II X II , s II Y II 
şeklindedir.
4.16. Teorem
r II ve s II projeksiyonları T2 M deki her  II konneksiyonu için Shouten,
Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir. Ayrıca  II
de Shouten,
Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir.
İspat
X , Y  10  M  için


 IIX II r II Y II   IIX II r II Y II  r II  IIX II Y II  r II   II X II r II Y II   r II  II X II r II Y II   0

II
X II



r II Y II   IIX II r II Y II  r II  IIX II Y II  r II   II r II X II r II Y II   r II  s II X II , r IIY II 
 r II   II r II X II r II Y II   r II  s II X II , r II Y II   0
Aynı eşitlikler benzer şekilde s II için yazılabilir. Eş. 4.6 ve Eş. 4.7 den  II ,
Shouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir.
M üzerindeki bir D dağılımının  konneksiyonuna göre paralel olması,
X  10  M  ve Y  D için  X Y  D olması demektir [Crasmareanu ve
Hretcanu, 2008].
D, 
konneksiyonuna göre paralel olsun. Böylece,
dağılımının T2 M
T2 M
deki
D II
deki  II lineer konneksiyonuna göre paralel olması,
61
X II  10 T2 M  ve Y II  D II için  II X II Y II  D II olması anlamına gelir.
4.17. Teorem
R II ve S II dağılımları T2 M deki  II konneksiyonu için Shouten ve Vranceanu
konneksiyonlarına göre paraleldir.
İspat
X  10  M  ve Y 
 sY 
II
olsun. Buradan, X II  10 T2 M  ve Y II 
II
dir.
 0, r II Y II   rY   Y II olduğundan
II
 IIX II Y II  r II   II X II Y II  
II
,
IIX II Y II  r II   II r II X II Y II   r II  s II X II , Y II  
II
.
Benzer eşitlikler S II için de sağlanır.
4.2. İkinci Dereceden Tanjant Demetlerde Gümüş Yarı-Riemann
Metrikler
4.18. Tanım
M bir C  -manifold ve g , M üzerinde bir yarı-Riemann manifoldu olsun. P
M üzerinde bir hemen hemen çarpım yapısı olmak üzere, X , Y   (M ) için
g ( PX , PY )  g ( X , Y )
veya denk olarak, P, g -simetrik endomorfizm olarak adlandırılan
62
g ( PX , Y )  g ( X , PY )
eşitliği varsa ( g , P) ikilisine bir yarı-Riemann hemen hemen çarpım yapı
denir [Gray, 1967].
4.19. Önerme
(M , g ) bir C  -yarı-Riemann manifoldu ise g II , T2 M de bir yarı-Riemann
metriktir [Yano, 1973].
g , M de bir yarı–Riemann metrik ve P, M üzerinde bir hemen hemen
çarpım yapı olsun. O halde
g
II
, P II  ikilisi T2 M üzerinde bir yarı-Riemann
hemen hemen çarpım yapıdır gerek ve yeter şart  g , P  M üzerinde bir yarıRiemann hemen hemen çarpım yapıdır. Böylece
g II  P II X II , P II Y II   g II  X II , Y II 
ya da eşdeğer olarak
g II  P II X II , Y II   g II  X II , P II Y II 
eşitlikleri vardır.
Eş. 3.4 ve Eş. 4.2 den aşağıdaki önermeyi verebiliriz.
4.20. Önerme
P hemen hemen çarpım yapısı bir g -simetrik endomorfizmdir gerek ve yeter
şart  II gümüş yapısı da g II -simetrik endomorfizmdir.
63
4.21. Tanım
M üzerinde bir Riemann metriği g olsun. X , Y   (M ) için
g (X , Y )  g ( X , Y )
eşitliği sağlanırsa ( g , ) çiftine M üzerinde bir gümüş Riemann yapı denir.
Bu durumda (M , g , ) üçlüsüne de bir gümüş Riemann manifold denir
[Özkan ve Peltek, 2013].
4.22. Tanım
M üzerinde bir yarı-Riemann metriği g olsun. X , Y   (M ) için
g (X , Y )  g ( X , Y )
eşitliği sağlanırsa ( g , ) çiftine M üzerinde bir gümüş yarı-Riemann yapı
denir. Bu durumda (M , g , ) üçlüsüne de bir gümüş yarı-Riemann manifold
denir.
4.23. Teorem
 11  M  olmak üzere, , M de bir gümüş yarı-Riemann yapı ise  nin
II lifti  II T2 M de gümüş yarı-Riemann yapıdır.
4.24. Tanım
T2 M üzerinde gümüş yarı-Riemann yapı
g II  II X II , Y II   g II  X II , II Y II 
64
ile tanımlı bir  g II , II  çiftidir. T2 M , g II , II  üçlüsü bir gümüş yarı-Riemann
manifolddur.
4.25. Önerme
 M , g,  ,
T M , g
2
(i)
II
Tanım.3.6 daki gibi bir gümüş Riemann manifold olsun. O halde
, II  gümüş Riemann manifoldu üzerinde
r II , s II projeksiyonları g II -simetriktir. Yani,
 g II  r II X II , Y II   g II  X II , r II Y II 

 II II II II
II
II
II II

g  s X ,Y   g  X , s Y 
eşitlikleri vardır.
(ii) R II , S II dağılımları g II ortogonaldir. Yani,
g II  r II X II , s II Y II   0
dır.
(iii) T2 M deki  II gümüş yapısı, N II -simetriktir. Yani,
NII  II X II , Y II   NII  X II , II Y II 
eşitliği vardır.
65
İspat
r II 
(i)
1
2 2
 II 
2 
I
2 2
g II  II X II , Y II   g II  X II , II Y II 
ve
olduğunu
biliyoruz.
O halde II  2 2r II   2    I için
g II
 2


 

2r II   2    IX II , Y II  g II X II , 2 2r II   2    IY II



 g II 2 2r II X II , Y II  g II   2    X II , Y II   g II X II , 2 2r II Y II


 g II  X II ,  2    Y II 
 2 2 g II  r II X II , Y II    2    g II  X II , Y II   2 2 g II  X II , r II Y II 
  2    g II  X II , Y II 
 2 2 g II  r II X II , Y II   2 2 g II  X II , r II Y II 
 g II  r II X II , Y II   g II  X II , r II Y II 
olur.
Benzer biçimde s II  
1
2 2
 II 

2 2
I içinde g II  s II X II , Y II   g II  X II , s II Y II 
dir.
(ii) R II ve S II dağılımları tümleyen dağılımlar olduğundan
T2 M  R II  S II
dir. Buradan,
( R II )  S II ve (S II )  R II dir. Bunlar göz önüne alındığında,
66
g ( R II X II , S II Y II )  0
yazılır. Böylece ortogonallik gösterilmiş olur.
(iii)  II gümüş yapısının Nijenhuis tensörü
N II  X II , Y II     II   X II , Y II    II X II ,  II Y II 
2
  II  II X II , Y II    II  X II ,  II Y II 
şeklindedir. O halde
2
2
N II   II X II , Y II     II   II X II , Y II     II  X II ,  II Y II 


2
  II   II  X II , Y II    II  II X II ,  II Y II 


 2 II  II  X II  , Y II    II  X II  , Y II    2 II  X II  ,  II Y II  
  X II  ,  II Y II     II  2 II X II , Y II    II  X II , Y II 
  II  II  X II  ,  II Y II  
ve
2
2
N II  X II ,  II Y II     II   X II ,  II Y II    II X II ,   II  Y II 


  II  II X II ,  II Y II    II
 X II ,  II Y II 
  

2
 2 II  X II ,  II Y II    X II ,  II Y II 
  II X II , 2 II Y II    II X II , Y II 
  II  II X II ,  II Y II    II  X II , 2 II Y II    II  X II , Y II 
dir.
Dolayısıyla
67
NII  II X II , Y II   NII  X II , II Y II 
elde edilir.
68
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
Özkan ve Peltek bir
C  -diferensiyellenebilir
M
manifoldu üzerinde
2  2  I yapı polinomuna sahip bir gümüş yapı tanımlamışlar ve gümüş
yapının geometrisini incelemişlerdir [Özkan ve Peltek, 2013]. Biz de bu
tezimizde, M C  -manifoldu üzerindeki bir gümüş yapıyı II lift yardımı ile
T2 M ikinci dereceden tanjant demete taşıdık. M üzerindeki bir hemen
hemen çarpım yapının II lifti kullanılarak, T2 M üzerindeki taşınmış gümüş
yapı için integrallenebilirlik ve paralellik şartlarını elde ettik. Ayrıca bu gümüş
yapı üzerindeki yarı-Riemann metriğin özelliklerini çalıştık.
Bu çalışmanın bir ileri aşaması olarak gümüş yapının yüksek dereceden
tanjant demetlere taşınması düşünülebilir.
69
KAYNAKLAR
Bejancu, A. and Farran, H. R., “Foliations and Geometric Structures”,
Mathematics and its Aplications, Springer, New York, 580: 1-9, 256-258
(2006).
Brickell, F. and Clark, R. S., “Differentiable Manifolds”, VRN Company,
London, 12-28, 34-41, 54-58, 152-153 (1970).
Crasmareanu, M. and Hretcanu, C. E., “Golden differential geometry”,
Chaos, Solitons and Fractals, 38: 1229-1238 (2008).
Das, L. S., “Prolongations of F-structure to the tangent bundle of order 2”,
Internat. J. Math.Sci., 16 (1): 201-204 (1993).
Gray, A., “Pseudo-Riemannian almost product manifolds and submersion”, J.
Math. Mech., 16 (7): 715-737 (1967).
Greub, W., Halperin, S. and Vanstone, R., “Connection, Curvature and
Cohomology, 1-2”, Academic Press, New York, 44-84 (1972).
Goldberg, S. I. and Yano K., “Polynomial structures on manifolds”, Kodai
Math. Sem. Rep., 22: 199-218 (1970).
Hacısalihoğlu, H. H., “Yüksek Diferensiyel Geometriye Giriş”, Fırat
Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, 139-140 (2006).
Hacısalihoğlu, H. H. ve Ekmekçi, N., “Tensör Geometri”, Hacısalihoğlu
Yayınları, Ankara, 79-80, 153-154 (2003).
Keçilioğlu, O., “Hiperyüzeylerin ikinci dereceden tanjant demetlere
taşınması”, Doktora Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü,
Ankara, 19-27 (2010).
Lee, J. M., “Manifolds and Differential Geometry”, American Mathematical
Society, United States of America, 467-470 (2009).
Mathai, S., “Prolongations of f-structure to tangent bundle of order 2”, Indian
J. Pure Appl. Math., 6 (10): 1180-1184 (1975).
Okubo, T., “Differential Geometry”, Marcel Dekker Inc., New York, 7-10, 2728, 37-43, 126-127, 390-392 (1987).
Özdemir, F. and Crasmareanu, M., “Geometrical objects associated to a
substructure”, Turkish J. Math., 34: 15-27 (2010).
70
Özkan, M. and Peltek, B., “Silver differential geometry”, II. International
Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications,
Sarajevo-Bosnia and Herzegovina, 273 (2013).
Saunders, D. J., “The Geometry of Jet Bundles”, Cambridge University
Press., Cambridge, 1-36 (1989).
Tani, M., “Tensor fields and connections in cross-sections in the tangent
bundles of order 2”, Kodai Math. Semp. Rep., 21: 310-325 (1969).
Yano, K. and Ishihara, S., “Tangent and Cotangent Bundles”, Marcel Decker
Inc., New York, 4-25, 40-45, 315-344 (1973).
Yano, K. and Ishihara, S., “Differential geometry of tangent bundles of order
2”, Kodai Math. Semp. Rep., 20: 318-354 (1968).
71
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: ÇITLAK, Ayşe Asuman
Uyruğu
: T.C
Doğum tarihi ve yeri : 01.12.1988 Giresun
Medeni hali
: Bekar
e-mail
: asumancitlak@gmail.com
Eğitim
Derece
Lisans
Eğitim Birimi
Ahi Evran Üniversitesi
Mezuniyet Tarihi
2011
Lise
Trabzon Lisesi
2005