bir ımpulsıve gecikmeli diferensiyel denklem sisteminin

Bir Impulsive Gecikmeli Diferensiyel Denklem Sisteminin Çözümünün Asimptotik Sabitliği
C.B.Ü. Fen Bilimleri Dergisi
5.1 (2009) 5 – 10
ISSN 1305-1385
C.B.U. Journal of Science
5.1 (2009) 5 – 10
BİR IMPULSIVE GECİKMELİ DİFERENSİYEL DENKLEM
SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜNÜN ASİMPTOTİK SABİTLİĞİ
Fatma KARAKOÇ*
Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Ankara , TÜRKİYE
Özet : Bu çalışmada birinci basamaktan lineer bir impulsive gecikmeli diferensiyel denklem sisteminin
çözümünün t → ∞ halinde yakınsadığı vektör formüle edilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Impulsive Gecikmeli Diferensiyel Denklem, Asimptotik Sabitlik, Adjoint Denklem.
ASYMPTOTIC CONSTANCY FOR THE SOLUTION OF AN
IMPULSIVE DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS SYSTEM
Abstract : In this paper a first order linear impulsive delay differential equations system is considered and
the constant vector that the solution convergences, as t → ∞ , is formulated.
Keywords : Impulsive Delay Differential Equation, Asymptotic Constancy, Adjoint Equation.
MOS Clasification: 34K06, 34K45
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*Sorumlu yazar
karakoc@science.ankara.edu.tr
C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2009) 5 – 10, 2009 /Fatma KARAKOÇ
1. Giriş
Bu makalede birinci basamaktan
impulsive gecikmeli diferensiyel
lineer
 x ′(t ) = A(t )[ x(t ) − x (t − τ )] + f (t ), t ≥ t 0 , t ≠ θ i ,

+
(1)
 ∆x(θ i ) = Bi x (θ i ) + Di , i ∈ Z = {1, 2,...},
denklem sistemi ele alınmıştır, burada i ∈ Z +
için θ i = t 0 + iτ , t 0 ≥ 0, τ > 0,
∆x(θ i ) = x(θ i + ) − x (θ i − ), x (θ i + ) = lim+ x(t ),
t →θi
−
x(θ i ) = lim− x(t ) dir.
t →θ i
Ayrıca aşağıdaki koşullar kabul edilmektedir:
( H 1) A : [t 0 , ∞) → R n×n sürekli bir matris
fonksiyondur,
( H 2) f : [t 0 , ∞) → R n sürekli bir vektör
fonksiyondur,
( H 3) Bi ∈ R n×n , det( I + Bi ) ≠ 0, i ∈ Z + ;
burada I , n × n boyutlu birim matristir,
( H 4) Di ∈ R n , i ∈ Z + .
Uyarı 1. θ i = t 0 + iτ için lim θ i = ∞ ve
i →∞
t 0 < θ1 < θ 2 < ... < θ i < θ i +1 < ... dir.
(1) denklemi
x(t ) = φ (t ), t ∈ [t 0 − τ , t 0 ],
(2)
başlangıç koşulu ile birlikte ele alınmaktadır;
burada φ : [t 0 − τ , t 0 ] → R n sürekli bir
başlangıç fonksiyonu olup
φ r = sup φ (t ) , r ≥ 0, ξ ∈ R n için
t 0 − r ≤ t ≤ t0
ξ = ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ n
ve A = (a ij ) ∈ R n×n
[1] de nüfus dinamiğinde önemli yere sahip
olan gecikmeli diferensiyel denklemlerin
kalitatif özellikleri incelenmiştir. [2] ve [3]
impulsive
diferensiyel
denklemlerin
incelenmesinde temel kaynak niteliğinde olan
kitaplardır. Impulsive gecikmeli diferensiyel
denklemlerin çözümlerinin varlık ve tekliği ile
ilgili sonuçlar [4] de ispatlanmıştır. Son
yıllarda
lineer
gecikmeli
diferensiyel
denklemlerin çözümlerinin yakınsaklığı ve
asimptotik gösterimi problemi yoğun bir
şekilde incelenmektedir [5,6,7,8,9].
[10] da birinci basamaktan lineer impulsive
gecikmeli diferensiyel
 x ′(t ) = A(t )[ x(t − σ ) − x (t − τ )] + f (t ), t ≥ t 0 , t ≠ t i ,

+
∆x(t i ) = Bi x (t i ) + Di , i ∈ Z = {1, 2,...},
denklem
sistemi
ve
bir
başlangıç
fonksiyonundan meydana gelen başlangıç
değer problemi ele alınmış ve çözümün
t → ∞ halinde yakınsak olduğu gösterilmiştir.
Ancak
çözümün
yakınsadığı
vektör
+
durumunda
hesaplanabilmiştir.
B i = 0, i ∈ Z ,
Bu çalışmadaki amaç (1)-(2) başlangıç değer
probleminin çözümünün yakınsadığı vektörü
formüle etmektir.
a, b ∈ R
olmak üzere PLC ([a, b], R n ) uzayı
t ∈ [a, b ], t ≠ θ i , i ∈ Z + ,
için sürekli ve
θ i ∈ [ a, b]
noktalarında birinci çeşit
süreksizliğe
sahip
soldan
sürekli
n
ϕ : [ a, b ] → R
fonksiyonların sınıfını
göstermektedir.
n
∑ aij
i =1, 2,..., n
için A = max
dir.
j =1
Impulsive
ve
gecikmeli
diferensiyel
denklemler fizik, mühendislik, biyoloji
alanlarında ortaya çıkan çok sayıda problem
için model teşkil ederler. Uygulama
alanlarının çokluğu özellikle gecikmeli
diferensiyel denklemleri matematiğin en hızlı
gelişen dallarından biri haline getirmiştir.
6
Tanım 1. Aşağıdaki koşulları sağlayan bir
x ∈ PLC ([t 0 − τ , t 0 + β ), D), β > 0, D ⊂ R n ,
fonksiyonuna (1)-(2) başlangıç değer
probleminin çözümüdür denir:
( A1) t ≠ θ i , i ∈ Z + , olmak üzere
t ∈ [t 0 , t 0 + β ) için x in türevi mevcut ve
süreklidir,
Bir Impulsıve Gecikmeli Diferensiyel Denklem Sisteminin Çözümünün Asimptotik Sabitliği
( A2) x, t ∈ [t 0 , t 0 + β ), t ≠ θ i , için (1) deki
gecikmeli diferensiyel denklemi sağlar,
( A3) x, t = θ i , i ∈ Z + , noktalarında (1)
deki impulse koşullarını sağlar,
( A4) t ∈ [t 0 − τ , t 0 ] için x (t ) = φ (t ).
2. Esas Sonuçlar
Aşağıdaki teoremde (1)-(2) başlangıç değer
probleminin çözümünün yakınsaklığı için
yeter koşullar ifade edilmektedir, ispatı [10]
da verilmiştir.
Teorem 1. ( H 1) − ( H 4) hipotezlerine ek
olarak aşağıdaki koşullar sağlansın:
Teorem 2. ( H 1), ( H 3) hipotezleri ve
(v)
t +τ
∫
A( s) ds +
∫
t ≤θ k
t
Bu durumda (3) sağlanacak şekilde bir tek
sınırlı
Y ∈ PLC ([t 0 , ∞), R n×n )
matris
fonksiyonu vardır.
İspat.

B = Y ∈ PLC ([t 0 , ∞), R n×n ) : Y

Y
A(s ) ds ≤ K1 < ∞,
f ( s) ds ≤ K 2 < ∞,
TY (t ) = I +
∞
∏ (1 +
(iv)
∏ (1 +
t ≥ t0
∫
∑ Y (θ k ) Bk ( I + Bk ) −1
Y ( s) A( s)ds +
t ≤θ k
operatörünü tanımlayalım.
Di ) ≤ L 2 < ∞.
TY (θ i− ) = lim− TY (t ) = TY (θ i )
i =1
t →θ i
ve
Bu durumda (1)-(2) probleminin x(t )
çözümü t → ∞ halinde sabit bir vektöre
yakınsar, yani, lim x(t ) = l (φ ) ∈ R n dir.
TY (θ i+ ) = lim+ TY (t ) = TY (θ i ) − Y (θ i ) Bi ( I + Bi ) −1
t →θ i
t →∞
olduğu kolaylıkla görülebilir.
Diğer taraftan t1 ∈ (θ i , θ i +1 ), i ∈ Z + , için
l (φ ) vektörü hesaplanmadan önce bazı
yardımcı sonuçlar ispatlanacaktır.
Şimdi t ≥ t 0 için
t +τ
Y (t ) = I +
1 

1− ρ 
= sup Y (t ) , Y ∈ B,
t
Bi ) ≤ L1 < ∞,
i =1
∞
B
t +τ
t0
(iii )
≤ λ, λ ≥
normuna göre bir Banach uzayıdır. Y ∈ B ve
t ≥ t 0 için
∞
∫
B
uzayı
t0
(ii )
B k ( I + B k ) −1 ≤ ρ < 1,
t ≥ t 0 , koşulu sağlansın.
∞
(i)
∑
∫
t
Y (s ) A( s )ds +
∑ Y (θ k ) Bk ( I + Bk )
TY (t1+ ) = TY (t1− ) = TY (t1 )
−1
t ≤θ k
(3)
integral denklemini göz önüne alalım; burada
I , n × n boyutlu birim matristir.
dir. Böylece TY ∈ PLC ([t 0 , ∞), R n×n ) dir.
Ayrıca t ≥ t 0 için (v) koşulundan,
TY B ≤ 1 + ρ Y B
≤λ
bulunur. Böylece T , B yi B ye dönüştürür.
Diğer taraftan Y , Z ∈ B için tekrar (v)
koşulu göz önüne alınırsa,
TY − TZ B ≤ ρ Y − Z B
7
C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2009) 5 – 10, 2009 /Fatma KARAKOÇ
elde edilir. ρ < 1 olduğundan, T : B → B
bir daralma dönüşümüdür. O halde Banach
sabit nokta teoremi gereği
TY = Y
denkleminin tek Y ∈ B matris çözümü (3)
integral denkleminin sınırlı olan tek
Y ∈ PLC ([t 0 , ∞), R n×n ) çözümüdür.
C ' (t ) = Y ' (t ) x(t ) + Y (t ) x ' (t ) − Y (t + τ ) A(t + τ ) x (t )
bulunur. (1) ve (4), (7) eşitliğinde yerlerine
yazılırsa,
C ′(t ) = Y (t ) f (t ), t ≥ t 0 , t ≠ θ i ,
Lemma 1. Teorem 2 nin hipotezleri altında
Y
matris çözümü i ∈ Z + için
(3) ün
aşağıdaki adjoint denklemi sağlar:
elde edilir.
 Y ′(t ) = Y (t + τ ) A(t + τ ) − Y (t ) A(t ), t ≥ t 0 , t ≠ θ i ,

−1
∆Y (θ i ) = −Y (θ i ) Bi ( I + Bi ) , θ i = t 0 + iτ . (4)
∆C (θ i ) = C (θ i+ ) − C (θ i− )
İspat. t ∈ (θ i , θ i +1 ), i ∈ Z + , için (3) ün iki
yanı türevlenirse,
(7 )
+ Y (t ) A(t ) x(t − τ )
Diğer taraftan
= Y (θ i+ ) x(θ i+ ) − Y (θ i− ) x (θ i− )
(8)
dir.
x (θ i+ ) = ( I + Bi ) x(θ i ) + Di
ve
Y ′(t ) = Y (t + τ ) A(t + τ ) − Y (t ) A(t )
elde edilir. Diğer taraftan
∆Y (θ i ) = Y (θ i+ ) − Y (θ i− )
∑
=
θ
Y (θ k ) Bk ( I + Bk ) −1
∆C (θ i ) = Y (θ i+ ) Di , i ∈ Z + ,
θ
∑
θ
Y (θ k ) B k ( I + Bk ) −1
−
i ≤ k
θ
= −Y (θ i ) Bi ( I + Bi ) −1
bulunur. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Şimdi
t +τ
∫
Y (s) A(s) x(s − τ )ds, t ≥ t 0 , (5)
t
vektör değerli fonksiyonunu göz önüne
alalım; burada Y , Teorem 2 deki gibidir ve x ,
(1)-(2) probleminin çözümüdür.
Lemma 2. ( H 1) − ( H 4) hipotezleri ve (v)
koşulu sağlansın. Bu durumda
 C ′(t ) = Y (t ) f (t ), t ≥ t 0 , t ≠ θ i ,
(6)

+
+
∆C (θ i ) = Y (θ i ) Di , θ i = t 0 + iτ , i ∈ Z .
İspat. (5) in t ∈ (θ i , θ i +1 ), i ∈ Z + , için türevi
alınırsa,
8
eşitlikleri (8) de yerlerine yazılırsa,
+
i ≤ k
−
C (t ) = Y (t ) x(t ) −
Y (θ i+ ) = Y (θ i ) − Y (θ i ) B i ( I + B i ) −1
elde edilir.
Sonuç 1. Lemma 2 nin hipotezleri altında (5)
ile verilen C (t ) fonksiyonu t ≥ t 0 için
t
C (t ) = C (t 0 ) + ∫ Y ( s ) f ( s) ds +
∑
t0
t 0 <θ i <t
Y (θ i+ ) Di ,
(9)
şeklinde yazılabilir.
Artık (1)-(2) başlangıç değer probleminin
t → ∞ halinde yakınsadığı vektör başlangıç
fonksiyonu ve (3) integral denkleminin matris
çözümü yardımı ile formüle edilebilir:
Teorem 3. Teorem 1 in hipotezleri ve (v)
koşulu sağlansın. (1)-(2) probleminin x(t )
çözümünün t → ∞ için limiti l (φ ) olsun.
Bu durumda
Bir Impulsıve Gecikmeli Diferensiyel Denklem Sisteminin Çözümünün Asimptotik Sabitliği
t +τ
t 0 +τ
l (φ ) = Y (t 0 )φ (t 0 ) −
∫
x(t ) = Y (t ) x(t ) −
Y ( s) A( s)φ ( s − τ )ds
∞
∑
+ ∫ Y (s ) f (s )ds +
Y (θ k+ ) Dk
t 0 <θ k
t0
Y ( s) A(s ) x(t )ds
∞
∑
t0 <θ k
t0
(13)
t ≤θ k
elde edilir. (13) eşitliği (12) de yerine
konulursa, t ≥ t 0 için
∞
İspat. x, (1)-(2) probleminin tek çözümü
olsun. İspat için
lim x(t ) = C (t 0 ) + ∫ Y ( s) f ( s)ds +
∑ Y (θ k ) Bk ( I + Bk ) −1 x(t )
−
(10)
dır; burada Y , (3) integral denkleminin tek
çözümüdür.
t →∞
∫
t
t0
x(t ) − C (t 0 ) − ∫ Y ( s) f (s )ds −
∑
t0
t0 <θ k
Y (θ k+ ) D k
t +τ
=
Y (θ k+ ) D k
(11)
∫
Y (s ) A( s )[ x (s − τ ) − x(t )]ds
t
−
∑ Y (θ k ) Bk ( I + Bk ) −1 x(t )
(14)
t ≤θ k
olduğunu göstermek yeterlidir; burada C , (5)
deki gibidir.
(9) dan, t ≥ t 0 için
∞
x(t ) − C (t 0 ) − ∫ Y ( s) f ( s)ds −
t0
∑
t 0 <θ k
∞
− ∫ Y (s ) f (s )ds −
t
Y (θ k+ ) D k
− ∫ Y ( s ) f ( s)ds −
∑
t ≤θ k
t
Y (θ k+ ) D k
∞
= x(t ) − C (t ) − ∫ Y (s ) f (s )ds −
∑ Y (θ k+ ) Dk
x(t ) − C (t 0 ) − ∫ Y ( s) f (s )ds −
∑
t0
t0 <θ k
∞
Y (θ k+ ) D k
∫
− ∫ Y (s ) f ( s )ds −
t
∑
t0
t0 <θ k
t +τ
Y ( s) A( s ) x( s − τ )ds
∞
t
∞
x(t ) − C (t 0 ) − ∫ Y (s ) f (s )ds −
≤ 2K Y B
t +τ
= x(t ) − Y (t ) x(t ) +
∑
t ≤θ k
Y ( θ k+ ) Dk
bulunur. (3) ün her iki yanı
çarpıldığında, t ≥ t 0 için
(15)
x(t ) ≤ K , t ≥ t 0 − τ ,
de göz önüne alınırsa, t ≥ t0 için
elde edilir. Bu eşitlik ve (5) birlikte ele
alındığında, t ≥ t 0 için
∞
Diğer taraftan Teorem 1 ve başlangıç
fonksiyonu göz önüne alınırsa
olacak şekilde bir K > 0 sabitinin mevcut
olduğu anlaşılır. (15) kestirimi ve Y (t ) nin
[t 0 , ∞) üzerinde sınırlı olduğu gerçeği (14)
t ≤θ k
t
t ≤θ k
elde edilir.
t


= x(t ) − C (t 0 ) + ∫ Y ( s) f ( s)ds + ∑ Y (θ k+ ) Dk 


t0 <θ k <t
t0


∞
∑ Y (θ k+ ) D k
(12)
x (t )
ile
∫
t
A(s ) ds + K Y B
+ Y B ∫ f ( s) ds + Y B
t
∑
Y (θ k + ) D k
∑
B k ( I + Bk ) −1
t ≤θ k
Dk
t ≤θ k
bulunur. Böylece (11) gerçeklenmiş olur. (2)
ve (5) birlikte göz önüne alındığı zaman
(11) deki limit (10) a indirgenir ve böylece
ispat tamamlanmış olur.
9
C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2009) 5 – 10, 2009 /Fatma KARAKOÇ
Uyarı 2. Her i ∈ Z + için Bi = 0 ise, bu
durumda (3) integral denklemi [10] daki (6)
denklemini σ = 0 durumuna indirger. Bu
denkleminin çözümü olan Y (t ) matris
fonksiyonu süreklidir. Bu durumda (10) limit
ifadesi [10] daki (5) limit ifadesinin σ = 0
özel durumu olur.
Kaynaklar
[1] Kuang, Y., Delay Differential Equations with
Applications in Population Dynamics, Academic
Press, USA, 398 p., (1993).
[2] Bainov, D.D., Simeonov, P.S., Impulsive
Differential Equations, Asymptotic Properties of
the Solutions, World Scientific, Singapore,
227 p., (1995).
[3] Samoilenko, A.M., Perestyuk, N.A., Impulsive
Differential
Equations,
World
Scientific,
Singapore, 459 p., (1995).
[4] Ballinger, G., Liu, X., Existence and
uniqueness results for impulsive delay differential
equations, Dynamics of Continuous, Discrete
Impulsive Sys., 5; 579- 591, (1999).
Geliş Tarihi: 20/10/2008
10
[5] Atkinson, F.V., Haddock, J.R., Criteria for
asymptotic constancy of solutions of functional
differential equations, J. Math. Anal. Appl., 91;
410-423, (1983).
[6] Bastinec, J., Diblik, J., Smarda, Z.,
Convergence tests for one scalar differential
equation with vanishing delay, Arch. Math.
(Brno), 36; 405- 414, (2000).
[7] Bereketoğlu, H., Pituk, M., Asymptotic
constancy for nonhomogeneous linear differential
equations with unbounded delays. Discrete and
Cont. Dyn. Sys. Supp. Vol., 100-107, (2003).
[8] Diblik, J., Asymptotic representation of
solutions of equation
y ′(t ) = β (t )[ y (t ) − y (t − τ (t ))] , J.Math.Anal.
Appl., 217;200-215, (1998).
[9] Diblik, J., A criterion for convergence of
solutions of homogeneous delay linear differential
equations, Anal. Polon. Mat. 72; 115-130, (1999).
[10] Bereketoğlu, H., Karakoç, F., Asymptotic
constancy for impulsive delay
differential
equations, Dynamic Systems and Applications 17,
71-84, (2008)
Kabul Tarihi: 22/01/2009