ankara ün vers tes fen bl mler enst tüsü yüksek l sans tez kompleks

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
KOMPLEKS UZAY FORMLARINDA HOLOMORFİK HELİSLER
SERTAÇ ERMAN
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2009
Her hakkı saklıdır.
ÖZET
Yüksek Lisans TEZİ
KOMPLEKS UZAY FORMLARINDA HOLOMORFİK HELİSLER
Sertaç ERMAN
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman : Doç. Dr. Nejat Ekmekci
Beş bölümden oluşan bu tezin birinci bölümü genel bir değerlendirmeye, ikinci bölümü
ise temel tanım ve kavramlara ayrılmıştır.
Üçüncü bölümde; çalışmanın ilerleyen kısımları için temel teşkil etmesi düşünülerek
Kompleks manifoldlar, Hermit manifoldları ve Kahler manifoldlarına ilişkin temel
kavramlar, teoremler ve sonuçlar verilmiştir.
Dördüncü bölümde; kompleks torsiyon ve kompleks uzay formalarında holomorfik
helisin tanımları verilmiştir. Ayrıca holomorfik helislerle ilgili önermeler ve teoremler
incelenmiştir.
Beşinci bölümde ise üçüncü meretebeden bir helisin kompleks torsiyonunun ikinci ve
üçüncü mertebeden diferensiyelleri incelenmiş ve bunlarla ilgili sonuçlar verilmiştir.
Şubat 2009, 52 sayfa
Anahtar kelimer : Kahler Manifoldu, kompleks uzay formu, kompleks torsiyon,
holomorfik helis.
i
ABSTRACT
Master Thesis
HOLOMORPHIC HELİCES IN A COMPLEX SPACE FORM
Sertaç ERMAN
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Nejat Ekmekci
The thesis consist of five chapters, in the of which a general overview and in the second
one fundemental concepts were given.
In the third chapter;
fundemental concepts, theorems and results about Complex
manifols, Hermit manifold and Kahler Manifolds which are indispensable for the
subsequent parts of the work were given.
In The fourth chapter; definitions of complex torsion and holomorphic helix in a
complex space form were given. Also propositions and theorems about the holomorphic
helix were studied
And in the fifth chapter; second and third differantion of complex torsion of a helix of
order three were studied and results about that were given.
Feb. 2009, 52 pages
Key words : Kahler manifold, complex space form, complex torsion, complex helix.
ii
TEŞEKKÜR
Bana araştırma olanağı sağlayan, çalışmamın her safhasında yakın ilgi gösteren ve
önerileri ile beni yönlendiren danışman hocam, Sayın Doç. Dr. Nejat EKMEKCİ’ye,
yardımlarından yararlandığım Sayın Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU’na
teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca maddi ve manevi desteklerini hiç esirgemeyerek bu tezin yazılımında en büyük
paya sahip olduklarına inandığım aileme ve Gülay Bayazıt’a teşekkür ederim.
Sertaç ERMAN
Ankara, Şubat 2009
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET ……………………………………………..……………………………….…… i
ABSTRACT ………………...……………………………………….…………..……. ii
TEŞEKKÜR ...…………………………...…………………………………………… iii
İÇİNDEKİLER ………………………………………………………………………. iv
SİMGELER DİZİNİ ...………………………………………………………………... v
1. GİRİŞ ...……………………………………………………………………………... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR…………………………………………………………… 2
3. KOMPLEKS MANİFOLDLAR ………………………………………………... 13
3.1 Kompleks Yapı ...………………………………………………………………… 13
3.2 Kompleks Manifoldlar............…………………………………………………... 18
3.3 Hemen Hemen Kompleks Manifold……………..……………………………… 20
3.4 Hermit Manifoldları……………………………………………………………... 29
3.4.1 Hermit formu…………………………………………………………………... 29
3.4.2 Hermit skalar çarpımı…………………………………………………………. 29
3.4.3 Standart Hermit skalar çarpımı………………………………………………. 30
3.4.4 Hermit manifoldu ……………………………………………………………... 31
3.5 Kahler Manifoldları................…………………………………………………... 31
3.5.1 Kahler formu………………………………………………………………….... 31
3.5.2 Kahler manifoldu…………………………………………………………….... 31
4. KOMPLEKS UZAY FORMLARINDA HOLOMORFİK HELİSLER…….…. 34
4.1 Kompleks Torsiyon .……..……………………………….……………………… 34
4.2 Holomorfik Helis……...……………………..…………….……………………... 34
4.3 Kompleks Torsiyonun Diferensiyeli………………….….……………………… 34
4.4 Üçüncü Mertebeden Holomorfik Helisler……………....……………………… 38
4.5 Dördüncü Mertebeden Holomorfik Helisler…………………………...………. 41
5. KOMPLEKS TORSİYONUN 2. ve 3. MERTEBEDEN
DİFERENSİYELLERİ............................................................................................ 44
KAYNAKLAR..……………………………………………………………………... 49
ÖZGEÇMİŞ………….……………………………………………………………… 52
iv
SİMGELER DİZİNİ
IR
Reel sayılar cismi
Kompleks sayılar cismi
V
Reel vektör uzayı
V
Kompleks vektör uzayı
V*
V vektör uzayının dual uzayı
<,>
Skalar çarpma
χ(M)
M manifoldu üzerindeki vektör alanları
TM(P) P Є M noktasındaki tanjant uzay
∇
Riemann Koneksiyonu
R
Riemann eğrilik tensörü
K
Kesit eğriliği
Ric
Ricci eğrilik tensörü
[,]
Bracket operatörü
kj
j – inci asli eğrilik
J
Kompleks yapı
N
Nijenhuis torsiyon tensörü
H
Hermit formu
Φ
Kahler formu
τij
Kompleks torsiyon
v
1. GİRİŞ
1933 yılında E. Kähler tarafından Kahler manifoldu ile ilgili ilk çalışma yapılmıştır.
Daha sonra Hodge, Bochner, Nomizu, Chern, Ogiue, Yano gibi matematikçiler Kahler
manifoldunun diferensiyel geometrisi üzerinde çeşitli çalışmalarda bulunmuşlardır.
S. Maeda ve Y. Ohnita 1989 yılında yayınlamış oldukları yayında kompleks uzay
formlarındaki helisler hakkında bazı temel sonuçlar verilmiştir. Ayrıca holomorfik
Killing vektör alanları ile holomorfik helisler arasında çok yakın ilişki olduğu
söylenmiştir.
Kompleks yapısı J ile n boyutlu Kahler manifoldu M verilsin. Riemann metriği < , >
olmak üzere M üzerinde bir d mertebeden γ helisinin Frenet çatısı {V1, V2, … , Vd} için
τij(t) = <Vi(t), JVj(t)> ‘ye
γ nın kompleks torsiyonu denir. Kahler manifoldlarında helisler üzerinde çalışırken
kompleks torsiyonlar önemli bir rol oynamaktadır. S. Maeda ve T. Adachi 1997 yılında
yapmış oldukları yayında eğer bir γ helisinin kompleks torsiyonu sabitse, γ helisine
holomorfik helis denilmiştir.
1
2.
TEMEL KAVRAMLAR
Tanım 2.1. M bir topolojik uzay olsun. M için aşağıdaki önermeler doğru ise M bir nboyutlu topolojik manifold’ dur denir.
(M1) M bir Hausdorff uzayıdır
(M2) M nin her bir açık alt cümlesi En e veya En in bir açık alt cümlesine homeomorftur
(M3) M sayılabilir çoklukta açık cümlelerle örtülebilir (Hacisalihoğlu 2000).
Tanım 2.2. V ⊆ M üzerinde bir vektör alanı operatörü
→
X:V 
UT
V
( P)
P∈V
biçiminde bir fonksiyondur., öyle ki
πoX=I: V 
→ V
dönüşümü bir özdeşlik fonksiyonudur (Hacisalihoğlu 2000).
r
r
Tanım 2.3. V vektör uzayı ile birleşen bir afin uzay A olsun. P Є A ve v Є V için (P, v )
sıralı ikilisine A afin uzayının P noktasındaki bir tanjant vektör uzayı denir.
P Є A noktasındaki tanjant vektörlerinin cümlesini TA(P) ile
r
r
göstereceğiz. Bundan sonra (P, v ) Є TA(P) tanjant vektörünü de v P ile göstereceğiz
A afin uzayının,
(Hacisalihoğlu 2000).
Tanım 2.4. TA(P) de toplama ve skalar ile çarpma işlemleri, sırasıyla ,
⊕ : TA(P) x TA(P) 
→ TA(P)
r
r
r
r
r r
((P, v P ), (P, u P )) 
→ (P, v P ) ⊕ (P, u P ) = (P, v P + u P )
• : IR x TA(P) 
→ TA(P)
r
r
r
( λ ,(P, v P )) 
→ λ • (P, v P ) = (P, λ v P )
biçiminde tanımlayalım. { TA(P), ⊕ , IR, +, . , • } altılısı bir vektör uzayıdır ve bu
vektör uzayına, A afin uzayının P Є A noktasındaki tanjant uzayı denir ve kısaca TA(P)
ile gösterilir (Hacisalihoğlu 2000).
2
r
Tanım 2.5. f : En 
→ IR diferensiyellenebilir ve vP ∈ TEn(P) olsun. Bu durumda

→
r
vP = PQ olmak üzere;
r
d
vP [f] =
(f(P1 + t(Q1 – P1), … , (Pn + t(Qn – Pn)) |t = 0
dt
r
reel sayısına f nin vP ye göre türevi denir (Hacisalihoğlu 2000).
Tanım 2.6. (r,s)- tipindeki tensör alanı ; M, C∞ manifoldunun vektör alanları uzayı,
χ(M) ve onun dual uzayı da χ*(M) olmak üzere,
+ s −lineer
Tsr = { f | f : χ*(M) × ...× χ*(M)× χ(M) × ...× χ(M) r
→ F(M)}
= ( ⊗ r χ(M)) ⊗ ( ⊗ s χ*(M))
f ∈ Tsr için f ye r-mertebeden kontravaryant, s-mertebeden kovaryant tensör alanı adı
verilir ve (r,s)-tipindedir denir (Yano and Kon 1984).
Tanım 2.7. M bir C∞ n- manifold olsun. M manifoldu üzerindeki bir yarı- Riemannian
yapı diye
(i)
g(X, Y) = g(Y, X)
(ii)
∀ P Є M noktasında ∀ Yp Є TM(P) için
gp(Xp,Yp) = 0 olması Xp = 0 olmasını gerektirir. (non- dejenere) aksiyomlarını sağlayan
(0,2) tipindeki bir
gp : TM(P) x TM(P) 
→ IR
tensörüne denir.
g tensörü ∀ P Є M noktasında pozitif tanımlı ise yani
(iii)
gp(Xp ,Yp) > 0 ⇔ Xp ≠ 0
gp(Xp ,Yp) = 0 ⇔ Xp = 0
ise gp ye bir Riemannian yapı denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Tanım 2.8. M, C∞ n-manifoldu üzerinde bir Riemannian yapı g olsun. (M, g) ikilisi bir
Riemann manifoldu olarak adlandırılır (Yano and Kon 1984).
3
Tanım 2.9. M bir diferensiyellenebilir manifold ve M üzerindeki C∞ vektör alanlarının
uzayı χ(M) olmak üzere ;
∞
∇ : χ(M) x χ(M)
C
→
χ(M)
(X, Y) 
→ ∇ (X,Y) = ∇ XY
dönüşümü ∀ f Є C∞ (M, IR) ∀ X,Y,Z Є χ(M) için
1. ∇ X(Y + Z) = ∇ XY + ∇ XZ
2. ∇ X +YZ
= ∇ XZ+ ∇ YZ
3. ∇ fXY
= f ∇ XY
4. ∇ X(fY)
= X[f]Y + f ∇ XY
özeliklerini sağlıyorsa ∇ bir afin koneksiyon, ∇ X ise X yönünde kovaryant türev denir.
5. ∇ YX - ∇ XY = [X,Y]
(sıfır torsiyon özeliği)
6. X [g(Y,Z)] = g( ∇ XY, Z) + g(Y, ∇ XZ) (koneksiyonun metrikle bağdaşması
özeliği)
sağlıyor ise ∇ ya M üzerinde bir Riemann Koneksiyonu denir (Hacisalihoğlu ve
Ekmekci 2003).
Tanım 2.10. M bir C∞ n-manifold ve M üzerinde bir afin koneksiyon ∇ olsun.
Tor : χ(M) x χ(M)

→χ(M)
(X, Y) 
→ Tor (X,Y) = ∇ XY - ∇ YX – [X, Y]
şeklinde tanımlanan vektör değerli tensöre M üzerinde tanımlı ∇ koneksiyonunun
torsiyon tensörü denir. M deki C∞ operatör ∇ olmak üzere,
X,Y Єχ(M) diferensiyellenebilir vektör alanları olduklarından Tor(X, Y) de bir C∞
vektör alanıdır (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Teorem 2.1. M bir C∞ n-manifold ve M üzerinde bir afin koneksiyon ∇ olsun. ∇ nin
torsiyon tensörü için aşağıdaki özelikler vardır. ∀ f Є C∞ (M, IR) ∀ X,Y,Z Є χ(M) için
(i)
Tor (X, Y) = - Tor (Y, X)
(ii)
Tor (X+Y, Z) = Tor (X, Z) + Tor (Y, Z)
(iii)
Tor (fX, Z) = f Tor (X, Z) (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
4
Tanım 2.11. ∀ X,Y Є χ(M) için Tor(X, Y) ≡ 0 ise ∇ koneksiyonuna Sıfır torsiyonlu
denir. O zaman sıfır torsiyonlu koneksiyon için
∇ YX - ∇ XY - [X,Y] = 0
∇ YX - ∇ XY = [X,Y]
dir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Tanım 2.12. M bir C∞ n-manifold ve M üzerinde iki farklı koneksiyon ∇ ve ∇ olsun.
O zaman M üzerindeki vektör alanlarının uzayı χ(M) olmak üzere,
B : χ(M) x χ(M)

→χ(M)
(X, Y) 
→ B (X,Y) = ∇ XY - ∇ XY
operatörüne ∇ ve ∇ koneksiyonlarının fark tensörü adı verilir (Hacisalihoğlu ve
Ekmekci 2003).
Tanım 2.13. M bir n-manifold ve M üzerinde bir afin koneksiyon ∇ olsun.
∀ X,Y Єχ(M) için ;
→χ(M)
R(X,Y) : χ(M) 
Z
→ R(X,Y)Z = ∇ X ∇ YZ - ∇ Y ∇ XZ – ∇ [X,Y]Z
Şeklinde tanımlanan R fonksiyonuna M nin eğrilik tensör alanı, R(X, Y)ye eğrilik
operatörü denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Teorem 2.2. (M, g) n-boyutlu Riemann manifoldu ve ∀ f ,g ,h Є C∞ (M, IR)
∀ X,Y,Z Є χ(M) olmak üzere
(i)
R(X,Y)Z = - R(X,Y)Z
(ii)
R(fX, gY)hZ = fgh R(X,Y)Z
(iii)
χ(M) nin bir bazı {e1, e2, …, en} olmak üzere
X = xiei
Y = yjej
Z = zkek
için
R(X,Y)Z = xiyjzk R(ei, ej) ek
= xiyjzkRkij (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
5
Teorem 2.3. M bir n boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. ∀ X,Y,Z Єχ(M) için T = 0
olmak üzere.
R(X,Y)Z + R(Z,X)Y + R(Y,Z)X = 0
( ∇ X R)(Y, Z) + ( ∇ Z R)(X, Y) + ( ∇ Y R)(Z, X) = 0
eşitlikleri sağlanır. Bunlara, sırasıyla, birinci ve ikinci Bianchi özdeşlikleri denir
(Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
1700 yıllarda 3 – boyutlu Öklid uzayında bir yüzeyin bir birim küre ile karşılaştırılması
sonucu Gauss anlamında eğrilik denen bir kavram Gauss tarafından ortaya konmuştur.
Daha sonra bu kavram semi – Riemannian anlamındaki manifoldlara genelleştirilmiştir.
Tanım 2.14. (M, g) bir yarı – Riemannian manifold ve üzerindeki Levi – Civita
koneksiyonu ∇ olsun
R : χ(M) x χ(M) x χ(M) 
→ χ(M)
(X, Y, Z) 
→ RXYZ = [ ∇ X, ∇ Y]Z – ∇ [X,Y]Z
fonksiyonu bir (1,3) tipindeki tensör alanıdır. Bu tensör alanına M üzerindeki
Riemannian eğrilik tensör alanı denir. O halde R Є T31 (M) dir. (Hacisalihoğlu ve
Ekmekci 2003).
Tanım 2.15. (M, g) bir yarı – Riemannian manifold üzerindeki Levi – Civita
koneksiyonu ∇ olsun.
RXY : TM(P) 
→ TM(P)
Z 
→ RXYZ = [ ∇ X, ∇ Y]Z – ∇ [X,Y]Z
şeklinde tanımlanan RXY operatörüne M üzerinde eğrilik operatörü denir (Hacisalihoğlu
ve Ekmekci 2003).
6
Tanım 2.16. (M, g) bir yarı – Riemann manifoldu, boyM ≥ 2 olsun. TM(P) tanjant
uzayının iki boyutlu alt uzayı Π olmak üzere v,w Є Π tanjant vektörleri için Al alan
fonksiyonu
Al(v,w) = g(v,v) g(w,w) – g(v,w)2
Biçiminde tanımlansın. Böylece
Al(v,w) ≠ 0
ise ∏ ye non – dejeneredir denir.
K(v,w) = g ( R (v, w) w, v)
Al(v,w)2
ile tanımlanan K ya Π nin kesitsel eğriliği denir ve K( Π ) ile gösterilir (Hacisalihoğlu
ve Ekmekci 2003).
Teorem 2.4. Bir P ЄM noktasında K=0 ise P de R=0 dır (Hacisalihoğlu ve Ekmekci
2003).
Tanım 2.17. (M, g) bir yarı – Riemannian manifold boyM ≥ 2 olsun. eğer M nin
kesitsel eğriliği K bütün ∏ ⊂ TM(P) alt düzlemleri için ∀ P Є M noktasında sabit ise M
ye sabit eğrilikli uzay denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Örnek 2.1. Sn(r) hiperküresi sabit Riemann eğriliklidir. Çünkü Sn(r) nin Π düzleminin
bir ortonormal bazı {X, Y} ise
Al (X, Y) = <X, X> <Y, Y> - <X, Y>2 = 1
ve dolayısıyla kesitsel eğriliği K(X, Y) = C olduğundan
K(X,Y) =
< R XY X , Y >
1
⇒ < R XY X , Y > = C
olur (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Teorem 2.5. Eğer M nin sabit Riemann eğriliği C ise
RXYZ = C (<Z, X>Y - <Z, Y>X)
dir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
7
Tanım 2.18. Bir (M, g) yarı – Riemannian manifoldu için ∀ P Є M noktasında R eğrilik
tensörü özdeş olarak 0 ise M ye flat manifolddur denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci
2003).
Tanım 2.19. Bir (M, g) yarı – Riemannian manifoldu için R = C (sabit) ve (M, g) tam
irtibatlı ise M ye bir uzay formu denir. Bu sabit C değerine göre ;
(i) C = 0 ise Mn (C) = En Öklid uzayı dır.
(ii) C =
1
ise Mn (C) = S(n)(r) Hiperküre dir
2
r
(iii) C = -
1
ise Mn (C) = H(n)(r) Hiperbolik uzay dır (Hacisalihoğlu ve Ekmekci
2
r
2003).
Yarı (semi) – Öklidean veya Yarı – Riemann terimleri yeni birer terminolojidir. Daha
eski terminoloji olarak semi yerine pseudo – Öklid veya pseudo – Riemann terimleri de
aynı anlamdadır. Biz bu durumda yerine yarı – Öklid veya yarı – Riemann terimlerini
kullanabiliriz.
V bir n – boyutlu reel vektör uzayı ve g : VxV 
→ IR bir simetrik bilineer dönüşüm
olsun. Eğer bir ξ ≠ 0 vektörü için g( ξ , v) = 0 ise g ye dejenere’dir denir.
Eğer ∀ v Є V için
g(u, v) = 0 olması u = 0
olmasını gerektiriyorsa g ye non – dejenere denir.
V üzerinde bir non – dejenere simetrik bilineer form, v nin bir w alt uzayına bir non –
dejenere veya bir dejenere simetrik bilineer form olarak indirgenebilir.
Bir g, simetrik bilineer formuna göre V nin bir altuzayı olan
{ ξ Є V | g( ξ , v) = 0, v Є V}
uzayına Artin’e göre V nin radikal’i ve O’neil’e göre V nin null uzayı denir ve
Rad V = Null V = { ξ Є V | g( ξ , v) = 0, v Є V}
ile gösterilir.
dim Rad V = g nin sıfırlık derecesi
= null V
denir.
8
g dejeneredir
↔ null V > 0.
g non – dejeneredir
↔ null V = 0.
Eğer ∀ v Є V, v ≠ 0 için g(u, v) > 0 ise, g ye pozitif definit tir denir.
Eğer ∀ v Є V, v ≠ 0 için g(u, v) < 0 ise, g ye negatif definit tir denir.
O halde pozitif veya negatif bir g formu non – dejenere’dir.
Herhangi bir v Є V için g(v, v) ≥ 0 ise g ye V üzerinde pozitif yarı – definit ve
g(v, v) ≤ 0 ise g ye V üzerinde negatif yarı – definit’ dir denir.
O halde pozitif veya negatif yarı – definit g bir dejenere formdur.
w ⊂ V bir altuzay ve g de bu altuzaya kısıtlanmış olsun, bu durumda g|w da w üzerinde
bir simetrik bilineer formdur. Eğer w ⊂ V en büyük boyutlu bir altuzay ve boyw = q,
ayrıca g|w da negatif definit ise bu q değerine g nin V üzerindeki indeks’i veya kısaca V
nin indeksi de denir ve indV = q ile gösterilir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Sonuç 2.1.
(i)
Eğer g |∏ definit ise Al(v,w) pozitiftir.
(ii)
Eğer g |∏ indefinit ise Al(v,w) negatiftir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Tanım 2.20. M bir C∞ manifold olsun. M üzerinde
(i)
Simetrik
(ii)
2 – lineer
(iii)
non – dejenere ( ∀ X Є χ(M) için g(X, Y) = 0 ise Y=0 gerektirir)
özelliklerini sağlayan g tensörüne yarı – Riemann metriği ve (M, g) ikilisine de yarı –
Riemann manifoldu denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
V yerine bir Riemann M manifoldunun χ(M) vektör alanları uzayını alırsak indχ(M) ≥ 1
ise (M, g) ile gösterilen M Riemannian manifolduna yarı – Rieamann (pseudo –
Riemann ) manifolddur denir. m – q = p dersek, χ(M) nin q boyutlu w negatif definit
altuzayından başka p boyutlu bir diğer altuzayı da pozitif definittir, diyebiliriz.
9
Eğer p.q ≠ 0 ise χ(M) ye asli yarı – Riemann manifoldu (proper semi – Riemann
manifold) ve g ye de asli yarı – Riemann metrik (proper semi – Riemann metrik) denir
(Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Eğer indχ(M) = 1 ise M ye Minkowski Uzayı ve g ye de Minkovski Metriği denir.
Minkowski yerine Lorentz de kullanılır. Ancak indχ(M) > 1 ise M ye Lorentz
Manifoldu ve g ye de Lorentz metrik denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
M üzerinde g dejenere ise M ye, g ye göre, dejenere (lightlike) manifold adı verilir
(Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Tanım 2.21. (M, g) bir n – boyutlu Riemann manifoldu ve {X1, X2, … , Xn} χ(M) in bir
bazı olsun.
~
S : χ(M) 
→ χ(M)
~
X 
→ S (X) = –
n
∑
R(Xi, X)Xi
i =1
~
~
Biçiminde tanımlanan S operatörüne M nin Ricci operatörü denir. S yardımı ile M
nin Ric veya S ile gösterilen Ricci Eğrilik Tensörü
Ric : χ(M) x χ(M) 
→ C∞(M,IR)
~
(X, Y) 
→ Ric(X,Y) = S(X, Y) = g( S (X), Y)
n
= - g ( ∑ R(Xi, X)Xi, Y)
i =1
olarak tanımlanan bir (0,2) tensörüdür (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Ricci eğrilik tensörünün bir P Є M noktasındaki değeri hesaplanırsa
~
Ric(Xp, Yp) = g ( S (Xp), Yp)
n
= - g ( ∑ R(Xi|p, Xp)Xi|p, Yp)
i =1
n
=-
∑
i =1
olur.
10
R(Xi|p, Xp) g (Xi|p, Yp)
Eğer {X1, X2, … , Xn} ortonormal baz ise g (Xi|p, Yp) değeri Yp nin Xi|p üzerindeki
dik izdüşümünün uzunluğudur. Buna göre Xi|p , 1 ≤ i ≤ n , ler üzerindeki Yp nin dik
izdüşümlerinin R(Xi|p, Xp) katlarının toplamı olarak P deki Ricci eğriliği elde edilmiş
olur (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Tanım 2.22. (M, g) n – boyutlu bir C∞ yarı – Riemann manifoldu ve {e1, e2, … , en}
TM(P) nin bir bazı olsun. Bu takdirde bir Wp Є TM(P) tanjant vektörü M nin metriği g
cinsinden
n
Wp =
∑
εi g(Wp, ei)ei
i =1
Biçimde tek türlü yazılabilir. Buradaki εi lerin negatif olanlarının sayısına g metrik
tensörünün indeksi denir. Bir yarı – Rieamann manifoldu üzerindeki metriğin indeksine
yarı – Riemann manifoldun indeksi denir. s ile gösterilir ve 0 ≤ s ≤ n dir (Hacisalihoğlu
ve Ekmekci 2003).
Tanım 2.23. En , n – boyutlu Öklid uzayı verilsin. 0 ≤ s ≤ n olmak üzere s tamsayısı
için, En üzerinde,
n−s
g(Xp, Yp) =
∑
n
xiyi -
i =1
∑
xiyi
i = n − s +1
ile verilen metrik tensör göz önüne alınırsa elde edilen uzay yarı – Öklid uzayı olarak
adlandırılır ve E sn ile gösterilir. Eğer s = 0 ise E0n , En Öklid uzayıdır (Hacisalihoğlu ve
Ekmekci 2003).
Tanım 2.24. n ≥ 2 ve 0 ≤ s ≤ n olsun. Bu durumda
(i)
S sn (r) = {P Є E sn+1 : g(P,P) = r2}
hiperkuadratiğine E sn+1 de r > 0 yarıçaplı, n – boyutlu s – indeksli pseudo – küre denir
(ii)
E sn+1 de H sn (r) = {P Є E sn++11 : g(P,P) = - r2}
ile verilen hiperkuadratiğe r > 0 yarıçaplı, n – boyutlu s – indeksli pseudo – hiperbolik
uzay denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
11
Tanım 2.25. M ve N birer C∞ yarı – Riemann manifoldu olsun. f, M den N ye tanımlı
bir C∞ fonksiyon olmak üzere (f*)p jakobiyen matrisine karşılık gelen dönüşüm M nin
her bir P noktası için birebir ise f fonksiyonuna bir immersiyon denir (Hacisalihoğlu ve
Ekmekci 2003).
Tanım 2.26. M ve N birer C∞ yarı – Riemann manifoldu olsun. f, M den N ye tanımlı
bir C∞ fonksiyon olmak üzere (f*)p jakobiyen matrisine karşılık gelen dönüşüm birebir
ve f tek değişkenli ise f ye M den N ye bir imbeding adı verilir (Hacisalihoğlu ve
Ekmekci 2003).
Tanım 2.27. f bir immersiyon olmak üzere ∀ X,Y Є TM(P) için
g(f(X), f(Y)) ≥ g(X, Y)
ise f ye bir izometrik immersiyon adı verilir. Burada g, TM(P) den indirgenmiş metriktir
(Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
Tanım 2.28. M ve N, sırasıyla, n ve n + d – boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere
M, N nin alt manifoldu D ve D, sırasıyla, M ve N de kovaryant türevler olsun. Böylece
X ve Y, M üzerinde vektör alanları olmak üzere
D XY = D XY + h(X, Y)
biçiminde Gauss denklemi elde edilir. Burada D XY ve h(X, Y), D XY nin, sırasıyla,
tanjant ve normal bileşenleridir. h ya M nin ikinci temel formu adı verilir. Eğer h = 0 ise
M ye total geodeziktir denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003).
12
3. KOMPLEKS MANİFOLDLAR
3.1 Kompleks Yapı
V bir vektör uzayı olsun
J : V lineer

→ V
öyle ki J2 = - I
endomorfizmine V üzerinde bir kompleks yapı denir. Burada
I:V 
→ V
özdeşlik dönüşümüdür.
Özel olarak ∀ X Є V için
− 1 X = iX
J(X) =
tanımlarsak
λ = a + i.b Є
için
• :
xV 
→ V
(λ , X ) 
→ λ .X = (a + ib)X
= aX + ibX
= aX + bJ(X)
şeklinde bir çarpma tanımlanarak V reel vektör uzayı, bir kompleks vektör uzayına
dönüştürülebilir. Bu biçimde elde edilen kompleks vektör uzayı V = (V, J) ile gösterilir.
Bu durumda V reel vektör uzayına, V kompleks vektör uzayının temel uzayı denir.
Buna göre V nin reel n boyutu çift olmak zorunda ve V nin kompleks boyutu
1
n dir.
2
Tersine, V kompleks vektör uzayı üzerinde
JX = iX
şeklinde tanımlı bir lineer endomorfizm J olsun. Eğer V, reel 2n - boyutlu bir reel vektör
uzayı olarak göz önüne alınırsa J, V reel vektör uzayının bir kompleks yapısı olur.
Böylece bu J kompleks yapısına V tarafından V üzerine indirgenmiş kompleks yapı
denir (Küpeli 1996).
13
n
Örnek 3.1.
kompleks vektör uzayı ve Z Є
n
Z = (z1, z2 … , zn) zk = xk + i.yk
1≤ k ≤ n ve i2 = - 1 olsun.
Jo : IR2n 
→ IR2n
(x1, x2, … , xn,y1, y2, … , yn) 
→ ( y1, y2 … , yn -x1, -x2, … , -xn)
Jo, IR2n in kompleks yapısıdır. Yani
n
= (IR2n , Jo ) dir.
Gerçekten ; J o2 (x1, x2 … , xn,y1, y2 … , yn) = Jo ( Jo (x1, x2 … , xn,y1, y2 … , yn))
= Jo ( y1, y2 … , yn -x1, -x2 … , -xn)
=(-x1, -x2 … ,-xn,-y1, -y2 … , -yn)
= - I (x1, x2, … , xn,y1, y2, … , yn)
ise,
J2 = - I
V, reel vektör uzayı olsun.
VC/ = {(X + iY) | X,Y Є V , i2 = -1}
kümesini göz önüne alalım. Bu küme üzerinde (+) ve ( • ) işlemi aşağıdaki şekilde
tanımlayalım.
(X + iY), (X`+ iY`) Є
+:
VC/ ve (a+ib) Є
VC/
x
VC/
olsun.

→
VC/
((X + iY), (X`+ iY`)) 
→ (X + iY) +(X`+ iY`) = (X +X`)+ i(Y +Y`)
C/
( V ,+) Bir Abel grubudur.
• :
x
VC/

→
VC/
((a+ib), (X + iY)) 
→ (a+ib). (X + iY) = (aX - bY) +i(bX +aY)
C/
( V ,+, • )
üzerinde bir vektör uzayıdır.
VC/ nin birim elemanı 1 + i.0 dır
14
Önerme 3.1. V reel vektör uzayı
VC/ nin bir alt uzayıdır.
İspat : Her X Є V yi ( X + i.0) Є
VC/ şeklinde ele alabiliriz. V, VC/ nin alt uzayıdır.
Tanım 3.1. Z Є
VC/ olmak üzere Z = (X + iY) nin eşleniği
Z = (X - iY) dir ve ayrıca
Z +W = Z +W
λ.Z = λ.Z ; λ Є
dir.
Kabul edelim ki V n- boyutlu bir vektör uzayı olsun. Dolayısıyla V nin bir bazı
{e1,e2, … ,en} olmak üzere X,Y Є V için ;
X = ∑ a j e j , Y = ∑ b j e j ; j = 1,2, … ,n
j
j
olsun.
(X + iY) =
∑a
j
e j + i. ∑ b j e j =
∑ (a
j
j
j
+ i.b j )e j =
j
∑λ e
j
j
j
olur.
VC/ nin bir elemanı olarak alırsak
Burada λ j = a j + i.b j dir. Eğer {e1,e2, … ,en} ni
{e1,e2, … ,en}
üzerinde lineer bağımsızdır.
Gerçekten ;
∑λ e
j
=0 ⇒
j
j
∑ (a
j
+ i.b j )e j = 0
j
⇒ ∑ a j e j + i. ∑ b j e j = 0
j
j
⇒ ∑ a j e j = 0 ve
j
j
j
=0
j
aj = 0 ve bj = 0
⇒
⇒
O halde
∑b e
λj = 0
VC/ nin bir bazı olarak {e1,e2, … ,en} sistemini alabiliriz.
V üzerinde J kompleks yapısını
VC/ üzerine genişletebiliriz.
J C/ :
C/
VC/ 
→ V
X + iY 
→ J C/ (X + iY) = J(X) + i J(Y)
endomorfizmdir ve (J C/ )2 = - I dır.
15
Gerçekten ;
(J C/ )2 (X + iY) = J C/ (J C/ (X + iY))
= J C/ (J(X) + i J(Y))
= J(J(X))+ i J(J(Y))
= J2(X) + iJ2(Y)
= - X – iY
= - (X + iY)
= - I (X + iY)
Her (X + iY) Є
VC/ için eşitlik geçerli olduğu için
(J C/ )2 = - I dir.
VC/ nin bir bazı { α 1, α 2, … , α n, J C/ α 1, J C/ α 2, … , J C/ α n } için
C/
V C/ = ( V , J C/ ) nin bir bazı {α1, α 2, … , α n } dir.
Teorem 3.1. V , 2n-boyutlu reel vektör uzayı üzerinde bir kompleks yapı J olsun. O
zaman {e1,e2, … ,en} V nin bir bazı olmak üzere {e1,e2,…,en, Je1,Je2, … ,Jen}, V nin bir
bazıdır (Kobayashi and Nomizu 1969).
Önerme 3.2. β k =
1
1
( αk – i J(α k)) ve β k = ( αk + i J(α k)) k = 1,2,…,n diyelim.
2
2
VC/ nin bir bazıdır (Yano and Kon 1984).
{ β1 , β 2 , … , β n , β1 , β 2 , … , β n }
Ayrıca ;
1
1
J C/ ( β k ) = J C/ ( ( αk – i J(α k))) = ( J(αk) – i J2(α k))
2
2
=
1
( J(αk) + iα k)
2
=i
1
( αk – i J(α k))
2
= i βk
16
Benzer şekilde ;
J C/ ( β k ) = J C/ (
1
1
( αk + i J(α k))) = ( J(αk) + i J2(α k))
2
2
=
1
( J(αk) – iα k)
2
=-i
1
( αk + i J(α k))
2
= - i βk
elde edilir.
Önerme 3.3. V1,0 = { Z Є
V0,1 = { Z Є
VC/ |
VC/ |
J C/ (Z) = iZ },
J C/ (Z) = – iZ } kümeleri için
VC/ = V1,0 ⊕
V0,1 dır.
V C/
İspat : { β1 , β 2 , … , β n , β1 , β 2 , … , β n }
nin bir bazı olduğundan Her Z Є
için ,
n
Z=
n
∑ ak β k +
∑b β
k
k =1
k
k =1
şeklinde yazılabilir.
n
n
J C/ ( ∑ a k β k ) =
∑a
=
∑a
k =1
k
J (β k )
k
(iβ k )
k =1
n
k =1
n
= i ∑ ak β k
k =1
olduğundan
n
∑a β
k
k
Є V1,0
k =1
dır.
17
VC/
Diğer taraftan
n
J C/ ( ∑ bk β k ) =
k =1
n
∑ b J (β
k
k
)
k
)
k =1
n
=
∑ b (−i β
k
k =1
n
= –i ∑ bk β k
k =1
olduğundan
n
∑b β
k
k
Є V0,1
k =1
dır. Dolayısıyla
V C/
= V1,0 ⊕ V0,1 dir.
Bir reel vektör uzayı V nin dual uzayı V* olsun. V reel vektör uzayının komplekslenmişi
VC/ nin
elde edilişine benzer şekilde V* dual uzayının, V *C kompleks uzayı elde
edilebilir. V üzerinde bir kompleks yapı J olsun. J aynı zamanda V* dual uzayı içinde
bir kompleks yapıdır ve
<JX, X*> = <X, JX*> ,
X Є V, X* Є V*
Ayrıca ;
V1,0 = { X* Є V *C | <X, X*> = 0 , X Є V0,1 },
V1,0 = { X* Є V *C | <X, X*> = 0 , X Є V1,0 } kümeleri için
V *C = V1,0 ⊕ V1,0 dir (Yano and Kon 1984).
3.2 Kompleks Manifoldlar
Tanım 3.2.1. f :
m

→
kompleks değerli bir fonksiyon olsun. Eğer f = f 1+ i.f 2
fonksiyonu her zm = xm + i.ym için
∂f
∂f 1
= 2m
m
∂x
∂y
∂f
∂f 2
= - 1m
m
∂x
∂y
eşitliklerine Cauchy- Riemann eşitlikleri denir.
18
f her bir Z Є
m
için Cauchy- Riemann eşitliklerini sağlıyorsa f ye holomorfiktir
denir. Burada Z = (z1, z2 … , zn) zk = xk + i.yk 1≤ k ≤ m ve i2 = - 1 dir.
Genel olarak F:
m
n

→
1
2
n
dönüşümünde F = (f , f , … , f ) her bir f
i
holomorfik ise F holomorfiktir. 1 ≤ i ≤ n
Tanım 3.2.2. M bir Hausdorff uzay ve M nin bir açık örtüsü {Uα} olsun. ∀ P Є M için
φ α : Uα ⊂ M 
→ Wα ⊂
n
homeomorfizmi var ve Uα ∩ Uβ ≠ Ø olmak üzere
ψαβ = φα o (φβ)-1 : φβ(Uα ∩ Uβ) ⊂
n

→ φα(Uα ∩ Uβ) ⊂
ψβα = φβ o (φα)-1 : φα (Uα ∩ Uβ) ⊂
n

→ φβ (Uα ∩ Uβ) ⊂
n
ve
n
dönüşümleri holomorfik, yani ψαβ ve ψβα nin her bir koordinat fonksiyonu holomorfik
ise M ye kompleks manifold’dur denir (Chern et al 1999).
Burada n sayısı M manifoldunun kompleks boyutudur ve boyC M = n ile gösterilir.
O halde M manifoldunun reel boyutu 2n olur ve boyR M = 2n şeklinde gösterilir.
Uα
Uβ
M
φα
φβ
n
ψβα = φβ o (φα)-1
Wα
19
n
Wβ
3.3 Hemen Hemen Kompleks Manifold
M bir reel diferensiyellenebilir manifold olsun. M üzerinde bir J tensör alanı
J : TM(X) 
→ TM(X)
lineer dönüşümü
J2 = – I
Şartını sağlıyorsa J dönüşümüne bir hemen hemen kompleks yapı denir. Bu yapı ile
bir M manifoldu bir hemen hemen kompleks manifold olarak adlandırılır ve (M , J)
ile gösterilir (Yano and Kon 1984).
Önerme 3.3.1. Her kompleks manifold M, bir hemen hemen kompleks yapı bulundurur
(Yano and Kon 1984).
İspat: M kompleks manifold olmak üzere P Є M nin bir komşuluğu U üzerinde bir
kompleks lokal koordinat sistemi (z1, z2, … , zn) olsun. Burada zj = xj + iyj, j = 1,2, … ,n
dir.
J : TM(P) 
→ TM(P)
endomorfizmi şöyle tanımlayalım;
J(
∂
∂
)=
,
j
∂x
∂y j
J(
∂
∂
)=– j ,
j
∂y
∂x
j = 1,2, …, n
olsun.
Şimdi J nin kompleks lokal koordinat sisteminin seçiliminden bağımsız olduğunu
göstereceğiz. TM(P) nin komplekslenmişi TMC (P) olsun. J yi TMC (P) ye genişletelim ve
J(
∂
∂
) = i( j ) ,
j
∂z
∂z
J(
∂
∂
) = - i( j ) ,
j
∂z
∂z
j = 1,2, …, n
olur. Buradan ;
J(
∂
1
∂
∂
) = { ( j ) – i( j ) },
j
2
∂z
∂x
∂y
Böylece bir Z Є TMC (P) eğer
eğer Z,
J(
∂
1
∂
∂
) = { ( j ) + i( j ) }
j
2
∂z
∂x
∂y
∂
nin (j = 1,2, …, n) bir lineer terkibi ise JZ = iZ ve
∂z j
∂
nin (j = 1,2, …, n) lineer terkibi ise JZ = – iZ olur.
∂z j
20
Şimdi eğer (w1, w2, … , wn), P nin komşuluğu U üzerinde başka bir kompleks lokal
koordinat sistemi ve wk = uk + ivk, k = 1,2, … ,n ise J ′ endomorfizmini tanımlarız
öyleki
J ′ : TM(P) 
→ TM(P)
ve
J′ (
∂
∂
)= k ,
k
∂u
∂v
J′ (
∂
∂
)=– k ,
k
∂v
∂u
k = 1,2, …, n
J ′ endomorfizminin TMC (P) ye genişlemesinden
J′ (
∂
∂
) = i( k ) ,
k
∂w
∂w
J′ (
∂
∂
) = – i(
),
k
∂w
∂w k
k = 1,2, …, n
elde ederiz.
Diğer taraftan, P Є M noktasında,
∂
=
∂wk
∂F j
∑ ∂w
j
dır. Bundan dolayı
k
(P)
∂
,
∂z j
∂
=
∂w k
∂F j
∑ ∂w
j
k
(P)
∂
,
∂z j
k = 1,2, …, n
∂
∂
∂
∂
ve
, sırasıyla,
ve
lerin lineer terkipleri olurlar.
k
j
k
∂w
∂w
∂z
∂z j
Böylece ;
J(
∂
∂
) = i( k ) ,
k
∂w
∂w
J(
∂
∂
) = - i(
),
k
∂w
∂w k
k= 1,2, …, n
elde ederiz.
Sonuç olarak, J ve J ′ P Є M noktasında çakışmaktadırlar ve bundan dolayı J kompleks
lokal koordinat sisteminin seçiliminden, P nin komşuluğunda, bağımsızdır.
Açıkça görülür ki J2 = - I dır. Böylece M kompleks manifoldu üzerinde J bir hemen
hemen kompleks yapıdır (Yano and Kon 1984).
Tanım 3.3.1 M1 ve M2 hemen hemen kompleks manifoldlar, sırasıyla, J1 ve J2 hemen
hemen kompleks yapıları olsun. Eğer f: M1 
→ M2 fonksiyonu
J2.f* = f*. J1
eşitliğini sağlıyorsa, f ye hemen hemen kompleks denir (Yano and Kon 1984).
21
Önerme 3.3.2. M1 ve M2 kompleks manifoldlar olsun. f:M1 
→ M2 fonksiyonu
holomorfiktir ancak ve ancak f hemen hemen komplekstir (Yano and Kon 1984).
İspat : M1 ve M2 hemen hemen kompleks manifoldlar, sırasıyla, J1 ve J2 hemen hemen
kompleks yapıları olsun. (z1, z2, … , zn) ve (w1, w2, … , wm), sırasıyla, P ЄM1 in ve
f(P) ЄM2 nin komşulukları üzerinde kompleks lokal koordinat sistemleri olsun. Burada
zk = xk + iyk ve wj = uj + ivj dir. Eğer
f*uj = αj(x1, x2, … , xn, y1, y2, … , yn) ,
f*vj = βj(x1, x2, … , xn, y1, y2, … , yn)
ise
f*(
f*(
∂α j
∂β j
∂
∂
)
(P)(
)
+
(
)(P)(
)},
j
k
k
∂x
∂u
∂x
∂v j
∂
)=
∂x k
∑{(
∂
)=
∂y k
∑{(
j
j
∂α j
∂
∂β j
∂
)
(P)(
)
+
(
)(P)(
)}
k
j
k
∂y
∂u
∂y
∂v j
dir.
f*(J1(
∂
∂
∂
∂
)) ile J2(f*( k )) ve f*(J1( k )) ile J2(f*( k )) karşılaştırırsak görürüz ki f
k
∂x
∂x
∂y
∂y
hemen hemen komplekstir ancak ve ancak
∂α j
∂β j
(P)
=
(
)(P) ,
∂x k
∂y k
∂α j
∂β j
(P)
=
(
)(P)
∂y k
∂x k
dir.
Fakat bu eşitlikler f*wj = f*uj + f*vj = αj + iβj nin Cauchy- Riemann eşitlikleridir.
Böylece f hemen hemen komplekstir ancak ve ancak f holomorfiktir (Yano and Kon,
1984).
Tanım 3.3.2. F (1,1) tipinde bir tensör alanı olsun. ∀ X,Y Є χ(M) için
NF(X,Y) = F2[X,Y] + [FX,FY] – F[FX,Y] – F[X,FY]
Şeklimde tanımlı NF tensör alanına F nin Nijenhuis torsiyon tensörü denir (Yano and
Kon, 1984).
F = J hemen hemen kompleks yapısı olması halinde de
NJ(X,Y) = J2[X,Y] + [JX,JY] – J[JX,Y] – J[X,JY]
= – [X,Y] + [JX,JY] – J[JX,Y] – J[X,JY]
= [JX,JY]– J[X,JY] – J[JX,Y] – [X,Y]
22
Tanım 3.3.3. Hemen hemen kompleks yapısı J ile hemen hemen kompleks manifoldu
M verilsin. NJ = 0 ise J dönüşümüne integrallenebilirdir denir (Yano and Kon, 1984).
Teorem 3.3.1. Hemen hemen kompleks yapısı J ile hemen hemen kompleks manifoldu
M verilsin. O zaman J bir kompleks yapıdır ⇔ NJ = 0 dır (Yano and Kon 1984).
Teorem 3.3.2. Hemen hemen kompleks yapısı J ile 2n reel boyutlu hemen hemen
kompleks manifoldu M verilsin. Kabul edelim ki M nin bir {U} açık örtüsü aşağıdaki
şartları sağlasın : Her bir U açığı için (x1, x2, … , xn, y1, y2, … , yn) lokal koordinat
sistemi vardır ve öyle ki U’nun her bir noktası için
J(
∂
∂
)=
,
j
∂x
∂y j
J(
∂
∂
)=– j ,
j
∂y
∂x
j = 1,2, …, n
dir. O zaman M bir kompleks manifolddur.
İspat : (xj, yj) ve (uj, vj), sırasıyla, U ve V nin lokal koordinat sistemleri olsun ve
U ∩ V ≠ Ø için
uj = αj (xk, yk),
vj = β j (xk, yk)
eşitlikleri verilsin. O zaman
∂α k
∂
∂β k
∂
)
(
)
+
(
)( k )},
k
j
j
∂x
∂u
∂x
∂v
∂
=
∂x j
∑{(
∂
=
∂y j
∑{( ∂y
k
∂α k
k
j
)(
∂
∂β k
∂
)
+
(
)( k )}
k
j
∂u
∂y
∂v
olur. Eşitliklerin her iki taraflarına da J uygulanılırsa
J(
∂
∂α k
∂
∂β k
∂
)
=
J(
{(
)
(
)
+
(
)( k )})
∑
j
k
j
j
∂x
∂x
∂u
∂x
∂v
k
∂
=
∂y j
∑{(
k
∂α k
∂
∂β k
∂
)
(
)
(
)(
)}
k
j
j
∂x
∂v
∂x
∂u k
ve
∂
∂α k
∂
∂β k
∂
J( j ) = J( ∑{( j ) ( k ) + ( j )( k )})
∂y
∂y
∂u
∂y
∂v
k
23
-
∂
=
∂x j
∂
=
∂x j
∑{(
k
∑{−(
k
∂α k
∂β k
∂
∂
)
(
)
(
)(
)}
k
j
j
∂y
∂v
∂y
∂u k
∂
∂
∂α k
∂β k
)
(
)
+
(
)(
)}
k
j
j
∂y
∂v
∂y
∂u k
elde edilir. Bu eşitliklerden de
∂α k ∂β k
=
,
∂x j
∂y j
∂α k
∂β k
=
−
(
),
∂y j
∂x j
j,k = 1,2, …, n
elde ederiz.
zj = xj + iyj , wj = uj + ivj alırsak (z1, z2, … , zn) ve ( w1, w2, … , wn), sırasıyla, U ve V
nin kompleks lokal koordinat sistemleri olurlar ve Ayrıca
wj = fk(z1, z2, … , zn),
fk = αk + iβk,
k = 1,2, …, n
k
olduğundan f holomorfiktir, M kompleks manifolddur (Yano and Kon 1984).
Tanım 3.3.4. Bir M manifoldu üzerinde hemen hemen kompleks yapısı J verilsin. Eğer
her X Є χ(M) için
LXJ = 0
ise X vektör alanına J nin bir infinitezimal otomorfizmi (analatik vektör alanı) denir.
Burada L Lie operatörüdür. (Yano and Kon, 1984)
Her X ,Y Є χ(M) için
(LXJ)Y = LXJY – JLXY = [X, JY] – J[X, Y]
olur. Buradan aşağıdaki önermeyi söyleyebiliriz.
Önerme 3.3.3. Bir M manifoldu üzerinde hemen hemen kompleks yapısı J verilsin.
X Є χ(M) J nin bir infinitezimal otomorfizmidir ⇔ Her Y Є χ(M) için
[X, JY] = J[X, Y]
dir (Yano and Kon 1984).
Önerme 3.3.4. Bir M manifoldu üzerinde hemen hemen kompleks yapısı J verilsin.
X Є χ(M) J nin bir infinitezimal otomorfizmi olsun. JX de bir infinitezimal
otomorfizmdir ⇔ Her Y Є χ(M) için NJ(X, Y) = 0 dir (Yano and Kon 1984).
24
İspat : NJ(X, Y) = [JX,JY] – J[X,JY] – J[JX,Y] – [X,Y]
dir. Kabulümüzden X bir infinitezimal otomorfizm olduğundan
J[X, JY] = J2 [X,Y] = – [X,Y]
dir. Eğer JX bir infinitezimal otomorfizm ise
[JX,JY] = J[JX,Y]
dir. Buradan NJ(X, Y) = 0 elde edilir.
Tersine eğer NJ(X, Y) = 0 ise
NJ(X, Y) = [JX,JY] – J[JX,Y]
olduğundan
[JX,JY] = J[JX,Y]
elde edilir.
Tanım 3.3.5. Bir M kompleks manifoldu üzerinde bir kompleks vektör alanı Z olsun.
Eğer f holomorfik fonksiyonu için Zf holomorfik ise Z vektör alanına holomorfiktir
denir.
∂
Z = ∑ fj ∂z j
alınırsa Z holomorfiktir ⇔ fj holomorfik fonksiyonlardır (Yano and Kon 1984).
Önerme 3.3.5. Hemen hemen kompleks yapısı J ile kompleks manifold M verilsin.
Eğer X, J nin bir infinitezimal otomorfizmi ise X – iJX bir holomorfik vektör alanıdır
(Yano and Kon 1984).
Teorem 3.3.3. Hemen hemen kompleks yapısı J olan bir hemen hemen kompleks
manifoldu M olsun. O zaman M bir kompleks manifolddur ⇔ M manifoldu üzerinde
∇ J= 0 ve T = 0
olacak şekilde bir lineer koneksiyon ∇ vardır (Yano and Kon 1984).
İspat : ( ⇐ ) : M üzerinde ∇ J= 0 ve T = 0 olacak şekilde bir lineer koneksiyon ∇
mevcut olsun. ∀ X,Y Є χ(M) için
T(X,Y) = ∇ XY – ∇ YX – [X,Y] = 0
⇒ [X,Y] = ∇ XY – ∇ YX dir
25
Ayrıca ;
( ∇ J)(X,Y) = 0
⇒ ( ∇ XJ)(Y) = 0 dır.
( ∇ XJ)(Y) = ∇ X(JY) – J ∇ XY ∇ XY = 0
olduğundan
∇ X(JY) = J ∇ XY
(2,1)
elde edilir.
O halde Nijenhuis torsiyonu eşitliğinden
NJ(X,Y) = – [X,Y] + [JX,JY] – J[JX,Y] – J[X,JY]
= – ∇ XY + ∇ YX + ∇ JX(JY) – ∇ JY(JX) – J ∇ JXY + J ∇ Y(JX) – J ∇ X(JY)
+ J ∇ JYX
dir. ∇ lineer koneksiyonun tanımından;
NJ(X,Y) = – ∇ XY + ∇ YX + J ∇ X(JY) – J ∇ Y(JX) – J2 ∇ XY + J ∇ Y(JX) – J ∇ X(JY)
+ J2 ∇ YX
dir. (2,1) eşitliğinden;
NJ(X,Y) = – ∇ XY + ∇ YX + J2 ∇ X(Y) – J2 ∇ Y(X) – J2 ∇ XY + J2 ∇ Y(X) – J2 ∇ X(Y)
+ J2 ∇ YX
= – ∇ XY + ∇ YX – ∇ XY + ∇ YX + ∇ XY – ∇ YX + ∇ XY – ∇ YX
=0
dır.
Böylece ∀ X,Y Є χ(M) için NJ(X,Y) = 0 dır.
O halde M bir kompleks manifolddur.
( ⇒ ) : M bir kompleks manifold olsun. O zaman ∀ X,Y Є χ(M) için
NJ(X,Y) = 0
dır.
Şimdi ∀ X,Y Є χ(M) için
A(X,Y) = ( ∇ XJ)(Y) – ( ∇ YJ)(X) = – A(X,Y)
S(X,Y) = ( ∇ XJ)(Y) + ( ∇ YJ)(X) = S(X,Y)
ve
∇ ′ XY = ∇ XY +
1
[ A(X,JY) – J S(X,Y)]
4
kabul edelim.
26
O halde ∇ ′ için
∇′ J = 0 ve T = 0
dır. Gerçekten de ∀ X,Y Є χ(M) için
( ∇ ′ J)(X,Y) = ( ∇ ′ XJ)Y = ∇ ′ X(JY) – J ∇ ′ XY
= ∇ XJY +
1
[ A(X,J2Y) – J S(X,JY)]
4
– J [ ∇ XY +
= ∇ XJY +
1
( A(X,JY) – J S(X,Y))]
4
1
[ A(X, –Y) – J S(X,JY)]
4
– J ∇ XY +
1
( –JA(X,JY) + J2 S(X,Y))]
4
= ∇ XJY – J ∇ XY –
1
[ –A(X, –Y) + J S(X,JY) + JA(X,JY) + S(X,Y)]
4
= ∇ XJY – J ∇ XY –
1
[ A(X, Y) + JA(X,JY) + J S(X,JY) + S(X,Y)]
4
= ( ∇ XJ)Y –
1
[( ∇ XJ)(Y) – ( ∇ YJ)(X) + J( ∇ XJ)(JY) – J( ∇ JYJ)(X)
4
+ J( ∇ XJ)(JY) + J( ∇ JYJ)(X) + ( ∇ XJ)(Y) + ( ∇ YJ)(X)]
= ( ∇ XJ)Y –
1
[2( ∇ XJ)(Y) + 2 J( ∇ XJ)(JY)]
4
= ( ∇ XJ)Y –
1
1
( ∇ XJ)(Y) –
J( ∇ XJ)(JY)
2
2
=
1
1
( ∇ XJ)(Y) –
J( ∇ XJ)(JY)
2
2
=
1
[ ( ∇ XJ)(Y) – J( ∇ XJ)(JY)]
2
elde edilir. Ayrıca
J( ∇ XJ)(JY) = J( ∇ X(J2Y) – J( ∇ X(JY))
27
J( ∇ XJ)(JY) = – J( ∇ X(Y) + ∇ X(JY)
= ( ∇ XJ)(Y)
dir. Bu eşitliği yukarıda yerine yazılırsa
( ∇ ′ J)(X,Y) =
1
[ ( ∇ XJ)(Y) – ∇ XJ)(Y)] = 0
2
∀ X,Y Є χ(M) için ( ∇ ′ J)(X,Y) = 0 olduğundan
∇′ J = 0
bulunur.
T ′ (X,Y) = ∇ ′ XY – ∇ ′ YX – [X,Y]
= ∇ XY +
1
1
[ A(X,JY) – J S(X,Y)] – ( ∇ YX + [ A(Y,JX) – J S(Y,X)] ) – [X,Y]
4
4
= ∇ XY +
1
1
[ A(X,JY) – J S(X,Y)] – ∇ YX – [ A(Y,JX) – J S(Y,X)] – [X,Y]
4
4
= ∇ XY – ∇ YX – [X,Y] +
1
[ A(X,JY) – J S(X,Y) – A(Y,JX) + J S(Y,X)]
4
= ∇ XY – ∇ YX – [X,Y] +
1
[ A(X,JY) – J S(X,Y) – A(Y,JX) + J S(X,Y)]
4
=
1
[ A(X,JY) – A(Y,JX)]
4
=
1
[ ( ∇ XJ)(JY) – ( ∇ JYJ)(X) – (( ∇ YJ)(JX) – ( ∇ JXJ)(Y))]
4
=
1
[ ( ∇ XJ)(JY) – J( ∇ YJ)(X) – ( ∇ YJ)(JX) + J( ∇ XJ)(Y)]
4
=
1
[ ∇ X(J2Y) – J ∇ X(JY) – J ∇ Y(JX) + J2 ∇ XY – ∇ Y(J2X) + J ∇ Y(JX)
4
+ J ∇ X(JY) – J2 ∇ XY]
=0
elde edilir.
28
3.4 Hermit Manifoldları
3.4.1 Hermit formu
V ′ kompleks vektör uzayı olsun. V ′ üzerinde Hermit formu
H : V′ x V′ 
→
1) H(v,w)
lineer
2)H(v,w) = H ( w, v)
3) H non – dejenere
şartlarını sağlıyorsa H ya bir Hermit formu denir.
3.4.2 Hermit skalar çarpımı
V bir reel vektör uzayı, J kompleks yapısı olsun.
g(JV, JW) = g(V, W)
şeklinde tanımlanan g ye V üzerinde Hermit skalar çarpımı denir.
V
2n-boyutlu
reel
vektör
uzayı
ile
J
kompleks
yapısı
VC/ ile gösterelim
kompleksleştirilmişini
→ IR
g:VxV 
dönüşümü
g = Re(H)
olarak tanımlarsak g ,
VC/ de Hermit skalar çarpımı olur.
g (v, w) = Re (H(v, w))
1
= ( H(v, w) + H(w, v))
2
dir. Gerçekten , bir z Є
için
1
1
z = (z + z)+ (z –z)
2
2
olduğundan
Re(z) =
1
(z+ z)
2
29
verilsin.
V
nin
Im(z) =
1
( z – z ) dir.
2i
H(v, w) Є
olduğundan
Re (H(v, w)) =
1
( H(v, w) + H (v, w) )
2
1
= ( H(v, w) + H(w, v))
2
olur.
3.4.3 Standart Hermit skalar çarpımı
Mn( ) cümlesi,
cisminin elemanlarıyla oluşturulmuş bütün karesel matrislerin
cümlesi olsun. h Є Mn( ) olmak üzere
H : V′ x V′ 
→
(z, w) 
→ zh w t
şeklinde tanımlı H bir Hermit formudur. Burada w t , w nın eşleniğinin transpozudur.
Eğer h Є Mn( ) matrisini birim matris alırsak, H çarpımına standart Hermit formu
denir ve zj = xj + iyj wj = uj + ivj olmak üzere
H(z, w) = <z, w> = z w t
n
=
∑
zj w j
t
j =1
n
=
∑
[(xjuj - yjvj) + i(yjuj + xjvj)]
j =1
şeklinde tanımlanır.
V 2n-boyutlu bir reel vektör uzayı üzerinde standart Hermit skalar çarpımı ise
<z, w> = Re (H(z, w))
n
=
∑
j =1
dir.
30
[(xjuj - yjvj)]
3.4.4 Hermit manifoldu
M kompleks manifoldu üzerinde g Riemann metriği her bir p Є M ve X,Y Є TpM için
g(JX, JY) = g(X, Y)
ise g Hermit metriğidir. (M, g) ikilisine de Hermit manifoldu denir.
Hermit metriğine göre JX vektörü X vektörüne ortogonaldir. Gerçekten ;
g(JX, X) = g(J2X, JX) = - g(JX, X)
⇒
2 g(JX, X) = 0
⇒
g(JX, X) = 0
dir (Nakahara 2003).
3.5 Kahler Manifoldları
3.5.1 Kahler formu
(M, g) Hermit manifoldu olsun. Φ tensör alanı ve X,Y Є TpM için
Φ(X,Y) = g(JX, Y)
bilineer formuna g Hermit metriğinin Kahler formu denir.
Teorem 3.5.1.1 Φ(X,Y) Kahler formu anti-simetriktir.
İspat :
Φ(X,Y) = g(JX, Y) = g(J(JX), JY)
= g(J2X, JY)
= g(–X, JY)
= –g(X, JY)
= – g(JY, X)
= – Φ(X,Y)
31
3.5.2 Kahler manifoldu
(M, g) Hermit manifoldu ve Φ, g nin Kahler formu olsun.
dΦ=0
ise g metriğine Kahler metriği ve (M, g) ikilisine Kahler Manifoldu denir.
Önerme 3.5.2.1 Bir Kahler manifoldu M için aşağıdaki eşitlikler vardır.
i)
R(X, Y)J = JR(X, Y)
R(JX, JY) = R (X, Y)
ii)
S(JX, JY) = S(X, Y)
S(X, Y) =
1
(izJR(X, JY))
2
Burada R ve S, sırasıyla, eğrilik tensörü ve Ricci tensör alanını göstermektedir.
İspat:
i) J paralel olduğundan birinci denklem açıktır. İkinci eşitliği ispatlayalım.
∀ X,Y Є χ(M) için
g(R(JX, JY), Z, W) = g(R(W, Z)JY, JX)
= g(JR(W, Z)Y, JX)
= g(R(W, Z)Y, X)
= g(R(X, Y)Z, W)
⇒ R(JX, JY) = R(X, Y)
ii) M nin bir ortonormal bazı { e1, e2, … , en} olsun.
S(JX, JY) =
∑
g(R(ei, JX)JY, ei)
∑
g(R(Jei, JX)JY, Jei)
∑
g(R(ei, X)JY, Jei)
∑
g(JR(ei, X)Y, Jei)
∑
g(R(ei, X)Y, ei)
i
=
i
=
i
=
i
=
i
32
= S(X, Y)
dir.
Birinci Bianchi özdeşliğinden ∀ X,Y Є χ(M) için
S(X, Y) =
∑
g(R(ei, X)Y, ei)
i
= – ∑ g(JR(ei, X)JY, ei)
i
=
∑
[ g(JR(X, Y)ei, ei) + g(JR(JY, ei)X, ei) ]
∑
[ g(JR(X, JY)ei, ei) + g(JR(JY, Jei)X, Jei) ]
∑
[ g(JR(X, JY)ei, ei) + g(R(Y, ei)X, ei) ]
i
=
i
=
i
= iz JR(X,Y) – S(X, Y)
⇒ 2 S(X, Y) = iz JR(X,Y)
⇒ S(X, Y) =
dir.
33
1
(izJR(X, JY))
2
4. KOMPLEKS UZAY FORMLARINDA HOLOMORFİK HELİSLER
Tanım 4.1. k1, k2, …, kd-1 pozitif sabitler ve γ boyunca {V1= γ& , V2, … , Vd}
ortonormal çatısı için
∇ t Vj(t) = -kj-1 Vj-1(t) + kj Vj+1(t) j = 1, 2, …, d
(4,1)
diferensiyel denklemi sağlanıyorsa γ ya d mertebeden bir helis adı verilir.
Burada ∇ t, γ boyunca kovaryant türev
kj sabitleri γ nın eğrilikleri
{V1, V2, … , Vd} γ nın Frenet çatısıdır.
4.1 Kompleks Torsiyon
(M, <,>) bir n boyutlu Kahler manifoldu ve J kompleks yapısı olsun. M üzerinde bir d
mertebeden γ helisinin Frenet çatısı {V1, V2, … , Vd} için
τij(t) = <Vi(t), JVj(t)> ye
γ nın kompleks torsiyonu denir (Maeda and Adachi 1997).
4.2 Holomorfik Helis
M, Kahler manifoldu üzerinde γ helisinin bütün kompleks torsiyonları sabitse, γ helisine
holomorfik helis denir.
Bir helisin kompleks torsiyon tanımından
| τij(t) | ≤ 1
elde edilir (Maeda and Adachi 1997).
4.3 Kompleks Torsiyonun Diferensiyeli
τij(t), γ helisinin kompleks torsiyonu olmak üzere, ∇ τij(t) =
∇ τij(t) = ∇ <Vi(t), JVj(t)>
34
d
τij(t) için
dt
= <Vi`(t), JVj(t)> + <Vi(t), JVj`(t)>
= <-ki-1 Vi-1(t) + ki Vi+1(t), JVj(t)> + < Vi(t),J(-kj-1 Vj-1(t) + kjVj+1(t)>
= -ki-1 <Vi-1(t) + JVj(t)> + ki <Vi+1(t) + JVj(t)> - kj-1 <Vi(t) + JVj-1(t)>
+ kj <Vi(t) +JVj+1(t)>
Buradan ;
∇ τij(t) = -ki-1 τi-1,j(t) + ki τi+1,j(t) - kj-1 τi,j-1(t) + kj τi,j+1(t)
(4,2)
elde edilir.
Eğer γ holomorfik helis ise kompleks torsiyonu sabit olduğundan
∇ τij(t) = 0 dır.
-ki-1 τi-1,j(t) + ki τi+1,j(t) - kj-1 τi,j-1(t) + kj τi,j+1(t) = 0
(4,3)
elde edilir.
Bununla birlikte i = j veya i = 0 veya j boyuttan büyük ise τij = 0 dır.
Önerme 4.3.1. γ 2. mertebeden bir helis ve τij kompleks torsiyonu olsun. τij sabittir.
İspat : Mertebe 2 olduğundan k0 = k2 = 0 ve ayrıca
τ11 = τ22 = 0
dır. Ayrıca (4,2) eşitliğinde i = 1, j = 2 için
∇ τ12(t) = k1 τ22(t) - k1 τ11(t) = 0
ve i = 2, j = 1 için
∇ τ21(t) = - k1 τ11(t) + k1 τ22(t) = 0
⇒ τij sabittir
Lemma 4.3.1. γ holomorfik helisinin kompleks torsiyonu τij olsun. Eğer i + j çift ise
τij = 0
dır.
İspat : Tümevarım metodu ile ispat yapacağız.
τ11 = <V1, JV1> = 0
dır. Bu bize iddamızın i+j = 2 için doğruluğunu verir.
Kabul edelim ki i + j < 2m için idamız doğru olsun.
35
i + j + 1 = 2m ve i < j +1 alalım. Bu durumda i + j – 1 = 2m – 2 olur ki tümevarım
kabulünden,
τi-1,j = τij-1 = 0
denir. Şimdi
τi+1,j = τij+1 = 0
olduğunu göstermeliyiz. γ holomorfik helis olduğundan
∇ τij = 0
dir. (4,3) eşitliğinden ;
-ki-1 τi-1,j + ki τi+1,j - kj-1 τi,j-1 + kj τi,j+1 = 0
⇒
⇒
ki τi+1,j + kj τi,j+1 = 0
τi,j+1 = (
− ki
)τi+1,j
kj
olur. Benzer şekilde;
τi+1,j = (
− k i +1
)τi+2,j-1
k j −1
=(
− k i +1 − k i + 2
)(
)τi+3,j-2
k j −1
k j −2
=(
− k i +1 − k i + 2 − k i +3
)(
)(
)τi+4,j-1
k j −1
k j −2
k j −3
..
.
i = j = m için
=(
− k i +1 − k i + 2 − k i +3
−k
)(
)(
) … ( m −1 )τm,m
km
k j −1
k j −2
k j −3
=0
Önerme 4.3.2. Tek d mertebeden holomorfik helisin kompleks torsiyonu Kahler
manifoldu üzerinde aşağıdaki şartları sağlar (Maeda and Adachi 1997).
(i)
τi,i+2k = 0
; i = 1,2,…,d-2k , k = 1,2,…,(d-1)/2
(ii)
k1 τ2,d = kd-1 τ1,d-1
(iii)
k1 τ2,j + kj τ1,j+1 = kj-1 τ1,j-1
; j = 3,5,…,d-2
(iv)
ki-1 τi-1,d + kd-1 τi,d-1 = ki τi+1,d
; i = 3,5,…,d-2
(v)
ki-1 τi-1,j + kj-1 τi,j-1 = kj τi,j+1 + ki τi+1,j
; i = 2,3,…,d-3, j = i+2, i+4,…,d-1
36
İspat : (4,3) eşitliğinden -ki-1 τi-1,j(t) + ki τi+1,j(t) - kj-1 τi,j-1(t) + kj τi,j+1(t) = 0 olduğunu
biliyoruz. Buradan
ki-1 τi-1,j + kj-1 τi,j-1 = kj τi,j+1 + ki τi+1,j
olur. Bu da (v) eşitliğidir.
(4,3) eşitliğinde j = d alırsak
ki-1 τi-1,d + kd-1 τi,d-1 = kj τi,d+1 + ki τi+1,d
elde ederiz.
j > d için τij = 0 olduğundan τi,d+1 = 0 dır. O halde
ki-1 τi-1,d + kd-1 τi,d-1 = ki τi+1,d
(iv) eşitliğidir bulunur.
(4,3) eşitliğinde i = 1 alınırsa
k0 τ0,j + kj-1 τ1,j-1 = kj τ1,j+1 + k1 τ2,j
elde edilir. i = 0 için
τ0,j = <V0, JVj> = <0, JVj> = 0
dır. O halde
k1 τ2,j + kj τ1,j+1 = kj-1 τ1,j-1
(iii) eşitliği bulunur. (4,3) eşitliğinde i = 1 ve j = d alınırsa da (ii) eşitliği elde edilir.
Önerme 4.3.3. Çift d mertebeden holomorfik helisin kompleks torsiyonu Kahler
manifoldu üzerinde aşağıdaki şartları sağlar (Maeda and Adachi 1997).
(i)
τi,i+2k = 0
; i = 1,2,…,d-2k , k = 1,2,…,(d-2)/2
(ii)
k1 τ2,d = kd-1 τ1,d-1
(iii)
k1 τ2,j + kj τ1,j+1 = kj-1 τ1,j-1
; j = 3,5,…,d-1
(iv)
ki-1 τi-1,d + kd-1 τi,d-1 = ki τi+1,d
; i = 2,4,…,d-2
(v)
ki-1 τi-1,j + kj-1 τi,j-1 = kj τi,j+1 + ki τi+1,j
; i = 2,3,…,d-3, j = i+2, i+4,…,d-1
Önerme 4.3.4. M Kahler manifoldunun bir p noktasında ortonormal vektörleri
{V1,V2, … ,Vd} için τij = < Vi, JVj> (1 ≤ i ≤ j ≤ d) ve pozitif sabitler k1, k2, …, kd-1
önerme 4.3.2 ve önerme 4.3.3 de ki bağıntıları sağlıyorsa bir tek holomorfik helis
vardır öyle ki eğrilikleri k1, k2, …, kd-1 ve Frenet çatısı {V1, V2, … , Vd} dir (Maeda and
Adachi 1997).
37
Önerme 4.3.5. Bir M Kahler manifoldu üzerinde d mertebeden holomorfik helisin
kompleks torsiyonu τij olsun. Her i için
i −1
d
∑τ 2ji +
j =1
∑τ
2
ij
≤1
j = i +1
dir (Maeda and Adachi 1997).
4.4 Üçüncü Mertebeden Holomorfik Helisler
Teorem 4.4.1. M Kahler manifoldu ve k1, k2, k3 pozitif sabitler olsun. {V1, V2, V3}
ortonormal çatısı için k1, k2 eğrilikli 3. mertebeden bir holomorfik γ helisi vardır ⇔
k1 τ3,2 + k2 τ1,2 = 0
τ1,3 = 0
}
(4,4)
ve
|τ1,2| ≤
τ1,2 =
k1
}
n ≥ 3 için
k12 + k22
k1
n = 2 için
k12 + k22
(4,5)
(Maeda and Adachi 1997)
İspat : γ holomorfik helisinin kompleks torsiyonu τij olsun. O halde
∇ τi,j = 0
∇ τi,j = -ki-1 τi-1,j(t) + ki τi+1,j(t) - kj-1 τi,j-1(t) + kj τi,j+1(t) = 0
dir. Buradan ;
∇ τ1,2 = k2 τ1,3
∇ τ1,3 = - k2 τ1,2 + k1 τ2,3
∇ τ2,3 = - k1 τ1,3
}
(4,6)
elde edilir. ∇ τi,j = 0 olduğundan (4,6) eşitliklerinden
0 = k2 τ1,3
⇒
τ1,3 = 0
38
ve
0 = - k2 τ1,2 + k1 τ2,3
olur. Buradan
-k1 τ2,3 + k2 τ1,2 = 0
bulunur. Ayrıca
τi,j = - τj,i
dir. Gerçekten ;
τij = <Vi, JVj>
= <JVj, Vi>
= <J2Vj, JVi>
= <-Vj, JVi>
= - <Vj, JVi>
= - τj,i
⇒
k1 τ3,2 + k2 τ1,2 = 0
olur.
Tersine k1 τ3,2 + k2 τ1,2 = 0 ve τ1,3 = 0 olsun. (4,6) eşitliklerinden
∇ τ1,2 = ∇ τ2,3 = ∇ τ1,3 = 0
elde edilir. O halde τi,j ler sabittir.
Önerme 4.3.5 gereği
i −1
∑τ
d
2
ji
+
∑τ
j =1
j = i +1
1
3
2
ij
≤1
i = 2 ve d = 3 için
∑τ 2j 2 + ∑τ 22 j ≤ 1
j =1
j =3
⇒
τ 122 + τ 232 ≤ 1
⇒
τ 122 ≤ 1 − τ 232
k1 τ2,3 = k2 τ1,2 olduğundan
τ 122 ≤ 1 − (
k 2τ 12 2
)
k1
39
dir.
(4,7)
k 22τ 122
k12
⇒
τ 122 ≤ 1 −
⇒
k12τ 122 ≤ k12 − k 22τ 122
⇒
τ 122 (k12 + k 22 ) ≤ k12
⇒
τ 122 ≤
⇒
τ 12 ≤
k12
k12 + k 22
k1
k12 + k 22
Örnek 4.4.1. (M,<,>) bir n boyutlu Kahler manifoldu olsun. Üçüncü mertebeden bir
holomorfik γ helisi için {V1, V2, V3} ortonormal çatısını oluşturabiliriz.
Kabul edelim ki
V1 = (1, 0, 0…, 0)
V2 = (-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0)
ve τ pozitif sabit olsun.
k1 τ3,2 + k2 τ1,2 = 0 ve τ1,3 = 0 olacak şekilde p pozitif sabit ve τ2 + p2 ≤ 1 için.
V3 = (0, − ip
1−τ 2
,
1−τ 2 − p2
1−τ 2
, 0, …, 0)
seçelim. {V1, V2, V3} γ helisinin ortonormal bir çatısıdır.
Gerçekten ;
τ12 = <V1, JV2>
= <(1, 0, 0…, 0), J(-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0)>
= 1 τ + 0. 1 − τ 2
=τ
τ13 = <V1, JV3> = 0
τ23 = <V2, JV3>
= < (-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0), J(0, − ip
= -i τ.0 + 1 − τ 2 . p
1−τ 2
=p
⇒
τij ler sabit.
40
1−τ 2
,
1−τ 2 − p2
1−τ 2
, 0,…,0)>
Ayrıca
V1 = V2 = V3 = 1
ve
< V1, V2> = <(1, 0, 0…, 0), (-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0)>
= <(1+i0, 0, 0…, 0), (0-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0)>
= 1.0 + i(0.τ)
=0
Benzer şekilde
< V1, V2> = 0
< V2, V3> = < (-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0), (0, − ip
1−τ 2
,
1−τ 2 − p2
1−τ 2
,
0, …, 0)>
=0
bulunur.
4.5 Dördüncü Mertebeden Holomorfik Helisler
M Kahler manifoldu üzerinde 4. mertebeden bir helisin k1, k2, k3 pozitif sabitleri
eğrilikleri ve τi,j ler kompleks torsiyonu olsun. Aşağıdaki eşitlikler sağlanır.
}
∇ τ1,2 = k2 τ1,3
∇ τ1,3 = - k2 τ1,2 + k3 τ1,4 + k1 τ2,3
∇ τ1,4 = - k3 τ1,3 + k1 τ2,4
∇ τ2,3 = - k1 τ1,3 + k3 τ2,4
∇ τ2,4 = - k1 τ1,4 – k3 τ2,3 + k2 τ3,4 }
∇ τ3,4 = - k2 τ2,4
Buradan 4. mertebeden bir holomorfik helis için
41
(4,8)
τ3,1 = τ4,2 = 0
k2 τ2,1 = k3 τ4,1 + k1 τ3,2
k2 τ4,3 = k1 τ4,1 + k3 τ3,2
}
(4,9)
eşitlikleri vardır.
Sonuç 4.5.1. 4. mertebeden bir helis holomorfik helistir ⇔ τi,j kompleks torsiyon
olmak üzere
τ3,1 = τ4,2 = 0
k2 τ2,1 = k3 τ4,1 + k1 τ3,2
k2 τ4,3 = k1 τ4,1 + k3 τ3,2
dir.
2-boyutlu bir Kahler manifoldu üzerinde 4. mertebeden bir holomorfik helisi ele alalım.
τ2 + p2 = 1 olacak şekilde τ ve p pozitif sabitleri verilsin.
V1 = (1, 0)
V2 = (i τ, p)
V3 = (0, -i)
V4 = m (ip, τ)
vektörleri için {V1, V2, V3, V4}sistemi ortonormaldir ve
τ12 = <V1, JV2> = τ
τ23 = <V2, JV3> = p
τ13 = <V1, JV3> = ± p
τ13 = τ24 = 0
τ34 = <V3, JV4> = ± τ
dir.
O halde 2-boyutlu bir Kahler manifoldunda 4. mertebeden bir holomorfik helisin
ortonormal çatısı için aşağıdaki teoremi söyleyebiliriz.
42
Teorem 4.5.1. M 2-boyutlu Kahler manifoldu olsun.M üzerinde k1, k2 ve k3 eğrilikli 4.
mertebeden her holomorfik helisin kompleks torsiyonları aşağıdaki eşitliklerden birini
sağlar
(1)
τ12 = τ34 = τ
τ23 = τ14 =
k 2τ
k1 + k 3
τ13 = τ24 = 0
Burada
(2)
τ= ±
k1 + k 3
dir.
k 22 + (k1 + k 3 ) 2
τ12 = -τ34 = τ
τ23 = -τ14 =
k 2τ
k1 − k 3
τ13 = τ24 = 0
Burada
(2`)
k1 ≠ k3 ve
τ= ±
k1 − k 3
2
2
k + ( k1 − k 3 ) 2
τ12 = τ34 = τ13 = τ24 = 0
τ23 = -τ14 = ± 1
Burada k1 = k3 dir (Maeda and Adachi 1997).
43
dir.
5. KOMPLEKS TORSİYONUN 2. VE 3. MERTEBEDEN DİFERENSİYELLERİ
Ki ler pozitif değerli fonksiyonlar ve τij kompleks torsiyon olsun. (4,2) eşitliğinden
∇ τij = -Ki-1 τi-1,j + Ki τi+1,j - Kj-1 τi,j-1 + Kj τi,j+1
olduğunu biliyoruz.
Bu bölümde i ,j = 1,2,3 ve K0 = K3 = 0 için kompleks torsiyonun 2. ve 3. mertebeden
diferensiyellerini hesaplayacağız.
i = j veya i = 0 için τij = 0 olduğundan τ11, τ22 ve τ33, ünde 2. ve 3. mertebeden
diferensiyelleri sıfıra eşit olacaktır. Bu durumda τ12, τ13 ve τ23, ün 2. ve 3. mertebeden
diferensiyellerini hesaplayacağız.
i) (4,6) eşitliklerinden
∇ τ12 = K2 τ13
∇ 2 τ12 = ∇ ( ∇ τ12)
= ∇ (K2 τ13)
= K 2′ τ13 + K2 ∇ τ13
= K 2′ τ13 + K2 (- K2 τ12 + K1 τ23)
= K 2′ τ13 - K 22 τ12 + K1K2 τ23
(5,1)
elde edilir.
∇ 3 τ12 = ∇ ( ∇ 2 τ12)
= ∇ ( K 2′ τ13 - K 22 τ12 + K1K2 τ23)
= K 2′′ τ13 + K 2′ ∇ τ13 - 2 K2 K 2′ τ12 - K 22 ∇ τ12+ ( K 1 K 2 )′ τ23 + K1 K2 ∇ τ23
Ayrıca
K 2′ ∇ τ13 = K 2′ (- K2 τ12 + K1 τ23)
= -K2 K 2′ τ12 + K1 K 2′ τ23
( K 1 K 2 )′ τ23 = K 1′ K2 τ23 + K1 K 2′ τ23
K1 K2 ∇ τ23 = K1K2 (-K1 τ13)
=
− K 12 K 2
∇ τ12
K2
= − K 12 ∇ τ12
44
dir. Buradan
∇ 3 τ12 = K 2′′ τ13 + K1 K 2′ τ23 - K2 K 2′ τ12 - 2 K2 K 2′ τ12 - K 22 ∇ τ12+ K 1′ K2 τ23 + K1 K 2′ τ23
− K 12 ∇ τ12
= K 2′′ τ13 +2 K1 K 2′ τ23 - 3K2 K 2′ τ12 + K 1′ K2 τ23 – ( K 12 + K 22 ) ∇ τ12
Diğer taraftan
K1 τ23 = K2 τ12 - ∇ τ13
⇒ τ23 =
K2
1
τ12 +
∇ τ13
K1
K1
dir ve
τ13 =
1
∇ τ12
K2
⇒ ∇ τ13 =
⇒ τ23 =
K 2′
1
∇ 2τ12
∇ τ12 +
2
K2
K2
K′
K
1
1
∇ 2τ12 ) + 2 τ12
(- 22 ∇ τ12 +
K1 K 2
K2
K1
⇒ τ23 = -
K
K 2′
1
∇ 2τ12 + 2 τ12
∇ τ12 +
2
K1 K 2
K1
K1 K 2
elde edilir. Buradan
∇ 3 τ12 =
K 2′′
K 2′
K
1
∇ 2τ12 + 2 τ12] - 3K2 K 2′ τ12
∇ τ12 +2 K1 K 2′ [∇ τ12 +
2
K2
K1 K 2
K1
K1 K 2
+ K 1′ K2 [-
∇ 3 τ12 =
-
K 2′
K
1
∇ 2τ12 + 2 τ12] – ( K 12 + K 22 ) ∇ τ12
∇ τ12 +
2
K1 K 2
K1
K1 K 2
K 2′′
(K ′ ) 2
K′
∇ τ12 + 2 22 ∇ τ12 + 2 2 ∇ 2τ12 + 2K2 K 2′ τ12 - 3K2 K 2′ τ12
K2
K2
K2
K 1′K 2′
K′
K ′K 2
∇ τ12 + 1 ∇ 2τ12 + 1 2 τ12 – ( K 12 + K 22 ) ∇ τ12
K1
K1 K 2
K1
45
∇ 3 τ12 =
K 2′′
(K ′ ) 2
K′
K ′K ′
∇ τ12 + 2 22 ∇ τ12 + 2 2 ∇ 2τ12 - K2 K 2′ τ12 - 1 2 ∇ τ12
K2
K2
K2
K1 K 2
K 1′ 2
K 1′K 22
∇ τ12 +
τ12 – ( K 12 + K 22 ) ∇ τ12
+
K1
K1
∇ 3 τ12 = (2
+(
K 2′
K′
K ′′
( K ′ ) 2 K ′K ′
+ 1 ) ∇ 2τ12 + [ 2 + 2 22 - 1 2 – ( K 22 + K 12 )] ∇ τ12
K2
K2
K1
K2
K1 K 2
K 1′K 22
- K2 K 2′ ) τ12
K1
(5,2)
elde edilir.
Sonuç 5.1. λ = 2
µ=
K 2′
K′
K ′′
( K ′ ) 2 K ′K ′
+ 1 , θ = 2 + 2 22 - 1 2 – ( K 22 + K 12 ),
K2
K2
K1
K2
K1 K 2
K 1′K 22
- K2 K 2′ dersek
K1
∇ 3 τ12 = λ ∇ 2τ12 + θ ∇ τ12 + µ τ12
eşitliği elde edilir.
ii)(4,6) eşitliklerinden
∇ τ13 = - K2 τ12 + K1 τ23
∇ 2 τ13 = ∇ ( ∇ τ13)
= ∇ (- K2 τ12 + K1 τ23)
= - K 2′ τ12 - K2 ∇ τ12 + K 1′ τ23 – K1 ∇ τ23
∇ τ12 = K2 τ13 ve ∇ τ23 = - K1 τ13
olduğundan
∇ 2 τ13 = - K 2′ τ12 - K 22 τ13 + K 1′ τ23 – K 12 τ13
(5,3)
elde edilir.
∇ 3 τ13 = ∇ ( ∇ 2 τ13)
= ∇ (- K 2′ τ12 - K 22 τ13 + K 1′ τ23 – K 12 τ13)
= - K 2′′ τ12 - K 2′ ∇ τ12 - 2 K2 K 2′ τ13 - K 22 ∇ τ13 + K 1′′ τ23 + K 1′ ∇ τ23
- 2 K1 K 1′ τ13 - K 12 ∇ τ13
46
∇ 3 τ13 = - K 2′′ τ12 - K 2′ K2 τ13 - 2 K2 K 2′ τ13 - K 22 ∇ τ13 + K 1′′ τ23 + K 1′ K1 τ13
- 2 K1 K 1′ τ13 - K 12 ∇ τ13
∇ τ12 = K2 τ13 ve ∇ τ23 = - K1 τ13
olduğundan
∇ 3 τ13 = - K 2′′ τ12 + K 1′′ τ23 – 3( K2 K 2′ + K 1′ K1 ) τ13 – ( K 22 + K 12 ) ∇ τ13
(5,4)
elde edilir.
Eğer τij kompleks torsiyonlar sabit ise Lemma 4.3.1 den dolayı τ13 = 0 dır. O halde
aşağıdaki sonucu verebiliriz.
Sonuç 5.2. Ki ler pozitif değerli fonksiyonlar olsun. Eğer τij kompleks torsiyonlar sabit
(i,j = 1,2,3) ise
}
K 1′ τ23 - K 2′ τ12 = 0
K 1′′ τ23 - K 2′′ τ12 = 0
(5,5)
dir.
iii)(4,6) eşitliklerinden
∇ τ23 = -K1 τ13
∇ 2 τ23 = ∇ ( ∇ τ23)
= ∇ (-K1 τ13)
= − K 1′ τ13 - K1 ∇ τ13
= − K 1′ τ13 – K1 (- K2 τ12 + K1 τ23)
= − K 1′ τ13 + K1 K2 τ12 - K 12 τ23
(5,6)
elde edilir.
∇ 3 τ23 = ∇ ( ∇ 2 τ23)
= ∇ ( − K 1′ τ13 + K1 K2 τ12 - K 12 τ23)
= − K 1′′ τ13 − K 1′ ∇ τ13 +
( K 1 K 2 )′ τ12 + K1 K2 ∇ τ12- 2 K1 K 1′ τ23 - K 12 ∇ τ23
47
Ayrıca
K 1′ ∇ τ13 = K 1′ (- K2 τ12 + K1 τ23)
= − K 1′ K2 τ12 + K 1′ K1 τ23
( K 1 K 2 )′ τ12 = K 1′ K2 τ12 + K1 K 2′ τ12
K1 K2 ∇ τ12 = K1 K 22 τ13
=
K 1 K 22
∇ τ23
− K1
= − K 22 ∇ τ23
dir. Buradan
∇ 3 τ23 = − K 1′′ τ13 – ( − K 1′ K2 τ12 + K 1′ K1 τ23)+ K 1′ K2 τ12 + K1 K 2′ τ12+ − K 22 ∇ τ23
- 2 K1 K 1′ τ23 - K 12 ∇ τ23
= − K 1′′ τ13 + K 1′ K2 τ12 - K 1′ K1 τ23 + K 1′ K2 τ12 + K1 K 2′ τ12+ − K 22 ∇ τ23
- 2 K1 K 1′ τ23 - K 12 ∇ τ23
= − K 1′′ τ13 + 2 K 1′ K2 τ12 - 3 K 1′ K1 τ23 + K1 K 2′ τ12 – ( K 22 + K 12 ) ∇ τ23
Diğer taraftan
K2 τ12 = K1 τ23 - ∇ τ13
⇒ τ12 =
K1
1
τ23 ∇ τ13
K2
K2
dir ve
τ13 = -
1
∇ τ23
K1
⇒ ∇ τ13 =
⇒ τ12 =
K1′
1
∇ 2τ23
∇ τ23 2
K1
K1
K1
1 K1′
1
∇ 2τ23 )
τ23 ( 2 ∇ τ23 K1
K2
K 2 K1
elde edilir. Buradan
48
∇ 3 τ23 =
K 1′
K1′′
K
1
∇ 2τ23 ] - 3 K 1′ K1 τ23
∇ τ23 + 2 K 1′ K2 [ 1 τ23 ∇ τ23 +
2
K1
K2
K1 K 2
K 2 K1
+ K1 K 2′ [
∇ 3 τ23 =
K1
K 1′
1
∇ 2τ23 ] – ( K 22 + K 12 ) ∇ τ23
τ23 ∇ τ23 +
2
K2
K1 K 2
K 2 K1
( K 1′ ) 2
K1′′
K′
∇ τ23 + 2 K 1′ K1 τ23 – 2
∇ τ23 +2 1 ∇ 2τ23 - 3 K 1′ K1 τ23
2
K1
K1
K1
K ′K ′
K′
K 12 K 2′
τ23 - 1 2 ∇ τ23 + 2 ∇ 2τ23 – ( K 22 + K 12 ) ∇ τ23
+
K2
K 2 K1
K2
∇ 3 τ23 = (2
+(
( K 1′ ) 2
K 1′ K 2′
K ′′
K ′K ′
+
) ∇ 2τ23 + [ 1 – 2
- 1 2 – ( K 22 + K 12 )] ∇ τ23
2
K1
K1
K2
K1
K 2 K1
K 12 K 2′
– K 1′ K1 ) τ23
K2
(5,7)
elde edilir.
Sonuç 5.3. λ = 2
µ=
K1′ K 2′
+
, θ=
K1 K 2
K1′′
( K 1′ ) 2
K ′K ′
–2
- 1 2 – ( K 22 + K 12 ) ve
2
K1
K1
K 2 K1
K 12 K 2′
– K 1′ K1 dersek
K2
∇ 3 τ23 = λ ∇ 2τ23 + θ ∇ τ23 + µ τ23
eşitliği elde edilir.
Sonuç 5.4. τij kompleks torsiyonlar olsun. Eğer Ki ler pozitif sabitler ise (i,j = 1,2,3)
aşağıdaki eşitlikler vardır
(i)
∇ 3 τ12 + ( K 22 + K 12 ) ∇ τ12 = 0
(ii)
∇ 3 τ13 + ( K 22 + K 12 ) ∇ τ13 = 0
(iii)
∇ 3 τ23 + ( K 22 + K 12 ) ∇ τ23 = 0
Sonuç 5.5. M Kahler manifoldunda 3. mertebeden bir γ helisinin kompleks torsiyonu τij
ve k1, k2 pozitif sabitleri eğrilikleri olmak üzere
∇ 3 τij + ( k 22 + k12 ) ∇ τij = 0
dir.
49
KAYNAKLAR
Adachi, T. 1996. Circles on quaternionic space forms, J.Math. Soc. Japan 48, 205 – 227
Adachi, T. and Maeda, S. 1999. A construction of closed helices with self-intersections
in a complex projective space by using sub manifold theory, Hokkaido
Math. J. 28, 133-145
Adachi, T., Maeda, S. and Udagawa, S. 2004. Geometry of ordinary helices in a
complex projective space, Hokkaido Math. J.33, 233-246-114
Adachi, T. and Maeda, S. 2005. Holomorphic helix of proper order 3 on complex
hiperbolic plane, Topology Appl. 146-147, 201-207
Berndt, J.B. 1991. Real hypersurface in quaternionic space forms, J.reine angew. Math.
419, 9-26
Chern, S. S.,Chen, W. H.and Lam, K.S. 1999. Lectures on Differential Geometry World
Scientific Co. Pte. Ltd.,Singapore.
Hacisalihoğlu, H.H. 1980. Yüksek diferensiyel geometriye giriş, Fırat üniversitesi fen
fakültesi yayınları, 2, Elazığ.
Hacisalihoğlu, H.H. 1980. Yüksek boyutlu uzaylarda dönüşümler ve geometriler, İnönü
üniversitesi temel bilimler fakültesi yayınları, 1, Malatya.
Hacisalihoğlu, H.H. 1982. Lineer cebir , Fırat üniversitesi fen fakültesi yayınları, 3,
Elazığ.
Hacisalihoğlu, H.H. 2000. Diferensiyel geometri, Ankara üniversitesi fen fakültesi
yayınları, 4, Ankara.
Hacisalihoğlu, H.H. ve Ekmekci, N. 2003. Tensör geometri, Ankara üniversitesi fen
fakültesi yayınları, 1,Ankara.
Hong, S. L. 1973. Isometric immersions of manifolds with planar geodesics into
Euclidean space, J. Diff. Geom. 8, 259-278 MR 52: 9122
Kobayashi, S., Nomizu, K. 1969. Foundations of Differential Geometry, Vol. II,
Interscience Publishers.
Küpeli,N.D. 1996. Singular Semi-Riemannian Geometry,Kluwer Academic Publishers,
The Netherlands
50
Maeda, S. and Ohnita, Y. 1983. Helical geodesic immersions into complex space forms,
Geom. Dedicata 30, 93
Madea, S. and Ohnita, Y. 1989. Helical geodesic immersions into complex space forms,
Geometriae Dedicate 30, 93-114 MR 90b:53067
Maeda, S. and Adachi, T. 1997. Holomorphic helices in a complex space form, Proc. A.
M. S. 125, 1197-1202
Mashimo, K. and Tojo, K. 1999. Circles in Riemannian symmetric spaces, Kodai Math.
J. 22, 1-14
Nakahara, M. 2003. Geometry, Topology, and Physics. CRC Pres, 573p, Japan.
Özdamar, E. and Hacisalihoğlu, H.H. 1978. Higher order Gaussian curvatures and
fundamental forms. J. of Fac. Sci. KTÜ, 99-115
Yano, K. and Kon, M. 1984. Structures on Manifolds, world Sci. Publishing Co. Ptc.
Ltd. p.508
51
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Sertaç ERMAN
Doğum Yeri : Kocaeli
Doğum Tarihi : 18.11.1983
Medeni Hali : Bekar
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: İzmit Lisesi
2001
Lisans
: Uludağ Üniversitesi
2006
Yüksek Lisans
: Ankara Üniversitesi
2008
52