10. sınıf geometri

Öklid’in beş postulatı :
Bu postulatlar ispatlanamaz. Ancak birçok
teorem bu postulatlara dayalı olarak yapılandırılır.
1.POSTULAT : İki noktadan bir ve yalnız bir
doğru geçer.
2.POSTULAT : Bir Doğru parçası sınırsız bir
şekilde uzatılabilir.
10. SINIF
GEOMETRİ
DÜZLEM GEOMETRİDE
TEMEL ELEMANLAR VE
İSPAT BİÇİMLERİ
3.POSTULAT : Merkezi ve yarıçapı verilen bir
çember çizilebilir.
Güçlü toplumun temeli öğrenmeyi
öğrenen, iletişim kurabilen, teknolojiye
hakim, bilgiyle dost, topluma ve çevresine
duyarlı bireyler yetiştirmekle atılır.
(MÖ 323 – 283):
Matematikte ispat
yöntemini
ilk kullanan kişinin Thales
(Tales) (MÖ. 624 – 547)
olduğu düşünülmektedir.
Euclides (Öklid), ispat
yöntemini ince bir
ustalıkla geometriye
uyarlayarak 13 kitaptan
oluşan “Elementler” adlı
eserini yazmıştır. Bu eser
zaman içinde yeniden düzenlenmiş, deney ve
gözlemlere dayalı empirik genellemeler terk
edilmiş, yerine postulat ve ispatlara dayalı Öklid
Geometrisi kullanılmaya ve öğretilmeye
başlanmıştır. 19. Yüzyıl sonlarına kadar bilinen
ve öğretilen tek geometri dalı olan Öklid
Geometrisi hala ortaöğretimde temel ders olarak
gösterilmektedir. Öklid geometrisine, Aksiyomatik
Geometri, Sentetik Geometri veya İspatlı
Geometri denildiği de olur.
Tekirdağ Birey Dershanesi
ÖKLİD
4.POSTULAT : Bütün dik açılar eştir.
5.POSTULAT : Bir doğruya dışındaki bir
noktadan yalnız bir tek paralel doğru çizilir.
NOT : İlk defa Ömer Hayyam ve Nasuriddin
Tusi tarafından sorgulanan Öklid'in V.
POSTULAT'ı günümüzde; “Düzlemde bir
doğruya dışındaki bir noktadan yalnız ve
yalnız bir tek paralel doğru çizilir” biçiminde
ifade edilmiştir. Öklid dönemi ve öncesinde, bu
ifadeye "kesin olarak geçerli" denilemediği, yani
şüphe edildiği, içindir ki aksiyom olarak değil,
postulat olarak ifade edilmiştir. Gerçekten de
Gauss da dahil birçok büyük matematikçi bu
ifadeyi ispatlamaya çalışmışlardır. Ancak 1820
lerin sonunda Macar Bolyai ve Rus Lobacevskİ
V. Postulatın diğer aksiyomların sonucu
olmadığını; bu postulat dışındaki bazı Öklit
Aksiyomlarıyla birlikte “Bir doğruya dışında
verilen bir noktadan geçen iki (ya da daha çok
sayıda) paralel doğru çizilebilir” ifadesi
alınarak yeni bir geometri oluşturulabileceğini
gösterdiler. Böylece ÖKLİD DIŞI GEOMETRİ
kavramı ortaya çıktı. Öklid aksiyomlarını
sağlayan bir tek düzlem varken BolyaiLobacevski aksiyomlarını gerçekleştiren birçok
reel model geliştirilmiştir.
Aksiyom ve Postulat ;
Öklid geometrisinin aksiyom ve postulat
adıyla anılan iki tür varsayımı vardır ve bu iki
kavram arasındaki fark daima soru ve tartışma
konusu olmuştur. Yunanca’dan alınan axioma
-AKSİYOM- sözcüğü “tamamen aşikar,
doğruluğundan şüphe olmayan” ifade
anlamında kullanılırken; postulat sözcüğü doğru
olduğu kabul edilebilen ifade ya da başka bir
deyimle, “doğruluğu çok aşikar olmayan fakat
geçerli olduğu varsayılan” ifade anlamında
kullanılmıştır.
Bugün matematikte böyle ifadeler
arasında ayırım yapmaksızın hepsi aksiyom
olarak alınmaktadır.
-1-
Paragraf ispat biçimine örnek :
Geometrinin kapsamı ve kendi içinde farklı
dallara ayrılması, tahmin edilenden fazla
gelişmesine neden olmuştur. Bunun sonucu
önceki yüzyıllarda öğretimi ve eğitimi verilen tek
geometri olan Öklit geometrisi, geniş matematik
teoremlerinin alt alanı haline dönüştü.
Günümüzde 50 den fazla geometriden
bahsedilmektedir.
Teorem :
“Birbirini bütünleyen
eş iki açı dik açıdır.”
æ Ù ö
æ Ù ö
m ç ABD ÷ = m ç DBC ÷
è
ø
è
ø
Ù
İspat biçimleri :
1. İki kolonlu ispat :
Bu ispat biçiminde; ilk kolonda “İfadeler”
başlığı yer alır. Sıra numarası verilerek adım
adım son ifadeye kadar yazılır. İkinci kolonda ise
“Gerekçeler” adı altında kolon numaralarına
paralel olacak şekilde ilk kolondaki ifadelerin
yazılma gerekçeleri belirtilir. Bu gerekçelerin her
biri ispatı destekler. Gerekçeler; özellikler,
teoremler, postulatlar ve tanımlar olabilir.
2. Akış diyagramlı ispat :
Bu ispat biçimi, ispat yapısı, kutular içinde
yazılan açıklamalar ve bunların dışındaki okların
yönlendirmesi ile oluşur. Verilenler, özellikler,
teoremler, postulatlar ve tanımlar kutuların altına
veya yanına yazılır.
3. Paragraf ispat biçimi :
Bu ispat biçiminde; ispat boyunca ayrıntılı
açıklamalara yer verilir. İspatı sonlandırana kadar
her adım için gerekçe ayrıntılı bir şekilde belirtilir.
Ù
Verilenler
Ù
verildiğinden ve bütünler iki açının ölçüleri
1- m( ABD )=m( DBC)
Ù
Ù
toplamı 180o olduğundan m( DBC) yerine m( ABD ) yazılarak
Ù
Ù
Ù
m( ABD )+m( DBC) =180o elde edilir. Buradan 2m( ABD )=180o olur
Ù
ve sadeleştirme yapılarak m( ABD )=90o bulunur.
Ù
Ù
Diğer taraft an m( ABD )=m( DBC) olduğundan
Ù
m( ABD )=90o elde edilir,
Ù
Ù
O halde dik açı tanımından ABD ve DBC) dik açılardır.
Tekirdağ Birey Dershanesi
İki kolonlu ispat biçimi aşağıdaki bileşenlere
sahip olmalıdır.
·Orijinal teorem, önerme vb. ifadesi
·Verilen bilgilerin akış diyagramı
·İspatta verilenlerin yeni ifadeleri
·İspattaki her bir adımı tam destekleyen
nedenler.
·İspatı yapılan ifade
Ù
ABD ve DBC
bütünler açılar
Akış diyagramlı ispat biçimine örnek :
Teorem :
“Birbirini bütünleyen
eş iki açı dik açıdır.”
Ù
Verilen:
Ù
m(ABD) = m(DBC)
Ù
Ù
ABD ve DBC bütünler açılar
Ù
Ù
İstenen: ABD ve DBC dik açılar
İki kolonlu ispat biçimine örnek :
Teorem :
“Birbirini bütünleyen
eş iki açı dik açıdır.”
Ù
Ù
1- m( ABD )=m( DBC)
Ù
Ù
2- ABD ve DBC) bütünler açılar
Ù
Ù
Ù
Ù
3- m( ABD )+m( DBC) =180o
4- m( ABD )+m( ABD) =180o
Ù
5- m( ABD )=90o
Ù
6- m( DBC) =90o
Ù
Ù
7- ABD ve DBC) dik açılar
1- Verilen
2- Verilen
3- Bütünler açı
tanımından
4- 1 ve 3 ten
5- Dört işlem özellikleri
6- 1 ve 5 ten
NOT : Bu konu anlatım, çeşitli kişi ve
kaynaklardan alıntılar yapılarak yazılmıştır
7- Dik açı tanımından
-2-