Matematik Soyut

T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1062
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 584
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ
Soyut Matematik
Yazar:
Prof.Dr. Orhan ÖZER
Editör:
Öğr.Gör.Dr. Nevin ORHUN
Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları
Anadolu Üniversitesine aittir.
"Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın
bütün hakları saklıdır.
İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da
bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt
veya başka şekillerde çoğaltılamaz,
basılamaz ve dağıtılamaz.
Copyright © 1998 by Anadolu University
All rights reserved
No part of this book may be reproduced
or stored in a retrieval system, or transmitted
in any form or by any means mechanical, electronic,
photocopy, magnetic tape or otherwise, without
permission in writing from the University.
Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN
ISBN 975 - 492 - 820 - 7
İçindekiler
Ünite 1
Önermeler ve Önerme İşlemleri
Giriş: Matematik ve Mantık 3, Önermeler İçin Temel Kavramlar 4, Önerme İşlemleri
11, Önerme İşlemlerinin Elektrik Devrelerine Uygulanması 15, Açık Önermeler
17, Matematiksel Kanıtlama 20
Ünite 2
Kümeler ve Küme İşlemleri
Giriş: Küme Kavramı 31, Kümeler İçin Temel Tanımlar 32, Venn Çizenekleri 37,
Küme İşlemleri 38, Küme İşlemlerinin Özellikleri 43, Sonlu ve Sonsuz Kümeler
47, Küme Aileleri 54, Çarpım Kümeler 61
Ünite 3
Bağıntılar
Giriş: Bağıntı Kavramı 71, Bağıntılarda Özel Kümeler: Grafik, Tanım Kümesi, Değer
Kümesi 78, Bağıntı Türleri 84, Bağıntılarda Özel Öğeler 99
Ünite 4
Fonksiyonlar
Fonksiyon Kavramına Giriş 115, Fonksiyonlarda Özel Kümeler 119, Özel Fonksiyonlar 136, Fonksiyonların Bileşkesi; Bire-Bir, Örten Fonksiyonlar; Ters Fonksiyon
141
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
iii
Önsöz
Bu kitap, Anadolu Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi İlköğretim Öğretmenliği Lisans Tamamlama Programı derslerinden Soyut Matematik dersinin kapsamındaki
konuları içerecek şekilde hazırlanmıştır. Günümüz matematiğinin hemen her dalında temel bilgiler olarak öngörülen önerme, küme, bağıntı, fonksiyon konuları,
genelde matematik kitaplarının önbilgiler bölümlerinde özetlenerek verilirler. Burada ise bu konular, derinlemesine olmasa da, genişçe ele alınmış, örneklerle desteklenerek sunulmaya çalışılmıştır. Bol örnek yanında okuyucunun kendisini deneyip,
konuyu kavrayıp kavrayamadığını sınayabileceği türden metin içlerinde çokça soru bırakılmıştır. Matematik öğrenmenin en iyi yolu kağıt-kalem kullanarak soruların yanıtlanmasıdır. Bu amaçla okuyucuya bırakılan soruların yanına, okuyucunun
dikkatini çekmek için
?
işareti konulmuştur. Konulara ilişkin ayrıntılı, sıkıcı teo-
remlerden kaçınılmıştır. Ama yine de yer yer bazı teoremler ifade edilerek kanıtlarına yer verilmiştir. Sezgiye dayalı olarak görülebilecek birçok sonuç da kanıtlama yapılmadan sunulmuştur. Bu tür sonuçlar ya da uyarı niteliğinde görülen ifadeler yanına,
işareti konulmuştur. Tanımlar iyi kavranır, tanımlarda kullanılan söz-
cüklerin günlük dildeki anlamları üzerinde düşünülür, örnekler iyi incelenirse metin içinde bırakılan sorular ve değerlendirme soruları kolayca yanıtlanabilir. Bütün
bu sıralananlar yapılırsa, Soyut Matematik dersinin konuları kavranmış olur ve
amaca ulaşılır.
Gerekli önemin ve dikkatin verilmiş olmasına rağmen, kitapta gözden kaçmış kimi
yazım ya da hesaplama yanlışlıklarının olabileceği düşünülmektedir. Bu tür bir durumla karşılaşılırsa okuyucunun bunu bildirmesinden memnun olacağımı bildirir
şimdiden teşekkür ederim.
Kasım 1998,
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
Prof. Dr. Orhan ÖZER
Önermeler ve Önerme
İşlemleri
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• modern mantık (sembolik mantık) konusunda bir fikir edineceksiniz, önermelerin matematikteki önemini kavrayacaksınız.
• önermeleri, önerme işlemlerini ve kullanılan simgeleri tanıyacaksınız. Sembolik mantığın dilini öğreneceksiniz.
• matematiksel kanıtlamanın ne olduğunu kavrayıp ve matematiksel kanıtlama yöntemlerini göreceksiniz.
İçindekiler
• Giriş: Matematik ve Mantık
• Önermeler İçin Temel Kavramlar
• Önerme İşlemleri
• Önerme İşlemlerinin Elektrik Devrelerine Uygulanması
• Açık Önermeler
• Matematiksel Kanıtlama
• Değerlendirme Soruları
ÜNİTE
1
Çalışma Önerileri
• Tanımlanan kavramları örneklerle açıklamaya çalışacağız. Dolayısıyla tanım ve örnek arasındaki ilişkiyi iyi kurmanız gerekecektir. Ayrıca, örneklerden sonra sizin yanıtlamanızı istediğimiz
sorular olacaktır. Bu soruları doğru olarak yanıtladığınız ölçüde
konuyu kavramış sayılırsınız. Değerlendirme sorularını toplu
olarak yanıtladıktan sonra yanıt anahtarıyla karşılaştırınız.
• Kavramları tanımlamada kullandığımız terimlerin büyük bir
çoğunluğu günlük yaşantımızda taşıdıkları anlama yakın bir biçimde seçilmiştir. Sözcüklerin günlük dildeki kullanılışları ile
konu içindeki taşıdıkları anlam arasındaki ilişkiye dikkat etmelisiniz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
1.1. Giriş: Matematik ve Mantık
İnsan aklının bir ürünü olan matematik, bir bilim alanı olarak, insanlık tarihi kadar
eskidir. Matematik, başlangıçtan günümüze kadar doğrultusundan ve tutarlığından hiçbir sapma yapmadan sürekli gelişen bir bilim alanı olmuştur; aynı zamanda
bütün bilimlerin gelişmesine öncülük etmiştir. Uygarlığın ulaştığı bugünkü düzeyde matematiğin önemi, rolü açıklanmaya gerek duyulmayacak kadar açıktır. Gelecekte de matematiğin yol göstericiliği olmadan hiçbir bilimin gelişebileceği düşünülemez.
Matematik, kendi içinde tutarlı, çelişkilerden arındırılmış, başka hiçbir bilim alanında olmayacak kadar sarsılmaz bir yapıya sahiptir. Matematiği bu derece önemli
yapan, sağlam kılan şey, temelinde akıl yürütmeyle çıkartılan evrensel kuralların
olmasıdır; ya da bir başka deyişle, kesin kurallar içinde aklın süzgecinden geçmiş olmasıdır, denilebilir.
Akıl yürütme ya da usavurma, doğru düşüncelerden başka doğruların çıkartılmasıdır. Şimdi burada düşünce nedir, doğru düşünce nedir gibi soruların açıklanmasına girmeyeceğiz. Bunların açıklanması mantık bilim alanı içine girer. Ancak esas konumuz olan önermeler için kısa değinmeler yapmak yerinde olur.
Düşünce, insan aklında oluşan zihinsel bir olgudur; dil aracılığıyla ortaya çıkar,
tümcelerle ifade edilir. Düşünceyi konu alan birçok bilim alanı vardır; bunlardan biri de mantıktır. Mantık, doğru ve sistemli düşünmenin adıdır; aynı zamanda doğru
ve sistemli düşünmenin yollarını arayan, kurallarını koyan bilim alanıdır. Belki de
en eski bilim alanlarından biridir. Mantık bilim alanı düşünceyi her yönüyle ele almaz; bir yargı taşıyan düşünceler mantığın konusu içindedir. Dolayısıyla, bu tür
düşüncelerin dildeki ifadesi olan yargı tümceleri mantığın konusu içindedir. Yargı
tümcelerine bundan böyle önerme diyeceğiz.
Önermenin açık tanımı aşağıda verilecektir. Mantığın konusu önermelerdir. Akıl
yürütme "öncül önermelerden yargı çıkarma (hipotezden hüküm çıkarma)" olarak
ifade edilebilir. Mantık bilimciler akıl yürütmeyle doğru bilgi üretmenin bilimsel
yollarını tümdengelim ve tümevarım diye ikiye ayırırlar. Gerçeğe varmak amacıyla
aklın uyması gereken genel düşünce yasalarını ve işlemlerini araştıran Aristoteles
(İ.Ö. 384-322), tümdengelimi esas alarak, bugün Klasik Mantık dediğimiz mantık
türünün temellerini atmıştır. İki bin yılı aşkın bir süre aklın yoluna egemen olan bu
mantık türü, ortaçağ sonlarına doğru, yeni bilgi üretiminde tümdengelimin tek başına yeterli olamayacağı, tümevarımın da önemli olduğu görüşünün yaygınlaşmaya başlamasıyla yeni bir ivme kazanmıştır.
18. yüzyıla girildiğinde, Francis Bacon (1561-1626) ile başlayan tümdengelime karşı
çıkış ve tümevarımın öne çıkarılması, matematikçilerin konuya ilgi duymaya başlamalarıyla yeni bir döneme girmiştir. Alman matematikçilerinden G. Wilhelm Von
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
3
4
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
Leibniz (1646-1716) ile başlayan yeni yaklaşım, yine Alman matematikçi Friedrich
L.G. Frege (1848-1925) in niceleyicileri ve değişkenleri simgelerle göstermesiyle matematiği tamamen mantıksal bir temele dayandırma çabaları hem mantığın gelişimini hızlandırmış hem de matematiğe yeni bir anlayış kazandırılmıştır. Böylece bu
dönemde, De Morgan (1806-1871), G. Boole (1815-1864), B. Russel (1872-1970) ile geliştirilen ve simgesel akıl yürütme denilen yöntemle matematikselleşen mantık Modern Mantık (ya da sembolik mantık, matematiksel mantık) adını almıştır.
Matematik ve mantığın tarihsel gelişimleri pek çok farklılık göstermesine rağmen,
bugün bu iki bilim alanını kesin çizgilerle birbirlerinden ayırma olanağı yoktur. Önceleri matematiğin mantıksal bir temele dayandırılması biçiminde başlayan gelişmeler, sonradan mantığın matematikselleştirilmesine yol açmıştır. Dolayısıyla bu
iki alan birbirlerinin içine girmiştir. Gene de bugün, Klasik Mantık, Felsefe bilim alanı ve Modern Mantık da Matematik bilim alanı içinde düşünülür.
Bu ünitede, Modern Mantığın temel kavramlarını tanıyacağız. Önermeleri, önerme
işlemlerini, kullanılan simgeleri ele alacağız. Önermelerin matematikteki yerini,
önemini göreceğiz. Matematiksel kanıtın ne olduğunu, kanıtlama yöntemlerini
gözden geçireceğiz. Açık önermeler konusu üzerinde duracağız.
1.2. Önermeler İçin Temel Kavramlar
Dilimizdeki tümceleri emir, istek, ünlem, soru, yargı tümceleri diye sınıflarız. Bizim
konumuz yargı tümceleri olacaktır. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
Ankara, Türkiye'nin başkentidir.
Ankara, Türkiye'nin en kalabalık kentidir.
Güneş kuzeyden doğar.
Yağmur yağıyor.
2 x 3 , 5 etmez.
Buraya geliniz.
Bugün günlerden nedir?
Ah! güzel İstanbul.
Yukarıdaki tümcelerin her birini okuduktan sonra "doğru mu?", "yanlış mı?" sorularını soralım. (i) ve (v) için yanıtınız "doğru", (ii) ve (iii) için "yanlış" olacaktır. (iv)
deki yanıt o andaki duruma bağlıdır; o anda yağmur yağıyorsa "doğru", yağmıyorsa
"yanlış" olacaktır. (vi), (vii), (viii) deki tümceler, için bu soruların anlamlı olmayacağı açıktır.
Bu örneklerden anlaşılabileceği gibi kimi tümceleri taşıdıkları yargıya göre "doğru"
ya da "yanlış" diye değerlendirebilmekteyiz. ((i) - (v) deki örneklerde olduğu gibi).
İşte bu tür bir yargı tümcesine önerme diyeceğiz. Şimdi önermenin açık bir tanımını
verelim.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
5
1.2.1. Tanım
Bir yargı taşıyan ve bu yargının doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olarak belirlenebilen tümcelere önerme denir.
1.2.2. Örnek
Aşağıdaki tümcelerin önerme olup olmadıklarını belirleyiniz.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
Kar beyazdır.
Paris İngiltere'dedir.
Nereye gidiyorsunuz?
Uçan kuşlar kanatlıdır.
Sinemaya gidelim.
Pırasa yararlı bir sebzedir.
Yüzme tehlikeli bir spordur.
{ Bir ayraç içinde yazılı olan bir tümce yanlıştır }
Çözüm
Bu tümcelerden (i) ve (iv) dekinin doğru, (ii) dekinin yanlış olduğunu hemen söyleyebiliriz. O halde, (i), (ii) ve (iv) deki tümcelerin her biri birer önermedir. (iii) ve (v)
deki tümceler yargı tümcesi olmadıklarından önerme değildirler. (vi) ve (vii) deki
tümcelerin taşıdıkları yargı yanıtlayan kişiye göre değişecektir. Kimine göre yüzme
tehlikeli bir spordur, kimine göre de değildir. Fakat bir kimse bu tümce için ya "doğru" ya da "yanlış" diyebilecektir; hem "doğru" hem de "yanlış" diyemeyecektir. O
halde (vi) ve (vii) tümceleri de birer önermedirler. (viii) deki tümceyi ele alalım. Önce bu tümcenin doğru olduğunu varsayalım. O zaman bu tümce yanlıştır, çünkü
kendisi de bir ayraç içinde yazılıdır. Şimdi bu tümcenin yanlış olduğunu varsayalım. Öyleyse bir ayraç içinde yazılı olan bir tümce doğru olacaktır, demektir. Bu nedenle bu tümce doğrudur. Böylece (viii) deki tümce hem doğru hem de yanlış olmaktadır; bir başka ifadeyle, bu tümcenin yargısı kesin olarak belirlenememektedir.
Bu nedenle bu tümce bir önerme değildir.
Aşağıdaki tümcelerden hangileri birer önermedir?
• Güneş doğudan doğar, batıdan batar.
• Dünya yuvarlaktır.
• Kimi canlılar ölümsüzdür.
• Oksijen yakıcı, hidrojen yanıcı bir gazdır.
• Bahçeye çıkalım mı?
• Kapınızı kilitli tutunuz.
Verilen bir önerme yalnızca bir yargı taşıyorsa, böyle bir önermeye yalın önerme
denir. Birden çok yargı taşıyan bir önermeye de bileşik önerme denir. Bileşik önermeler yalın önermelerden "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlar yardımıyla elde edilirler. Bileşik önermeleri oluşturmak için kullanılan bu tür bağlaçlara
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
6
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
mantık bağlaçları adı verilir. Örneğin, "Bugün hava soğuk ve yağışlıdır", "iki çift sayının toplamı bir çift sayıdır veya Ankara Türkiye'nin başkentidir." önermeleri bileşik önermelerdir. Bunlardan birincisi "ve", ikincisi "veya" bağlacıyla yalın önermelerden elde edilmişlerdir. Yine ikincisinden görüldüğü gibi iki yalın önermenin bir
mantık bağlacıyla bağlanması için bu yalın önermeler arasında bir ilişki olması gerekmez. Ayrıca "ve" bağlacıyla birleştirilen önermelerde "ve" sözcüğü yerine "virgül" konulabilir: "Bugün hava soğuktur, yağışlıdır" örneğinde olduğu gibi.
Önermeleri ve mantık bağlaçlarını simgelerle göstermek, önerme işlemlerini simgelere dayandırmak hem kısalık hem de kolaylık sağlayacaktır. Bu nedenle genellikle yalın önermeleri p, q, r, ... gibi küçük harfler ile "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" mantık bağlaçlarını da, sırasıyla, "∧", "∨", "→", "↔" simgeleriyle göstereceğiz. Sözgelişi
p: Bugün hava soğuktur,
q: Bugün hava yağışlıdır
yalın önermelerinden "ve" bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme
p ∧ q: Bugün hava soğuk ve yağışlıdır
olur. p, q önermelerinden "ise" bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme
p → q: Bugün hava soğuk ise yağışlıdır
biçiminde yazılır.
Bir önermenin doğruluğu ya da yanlışlığına o önermenin doğruluk değeri adı verilir. Doğru bir önermenin doğruluk değerini D, yanlış bir önermenin doğruluk değerini Y ile göstereceğiz. Yalın bir önermenin doğruluk değerini kolayca belirleriz. Bileşik bir önermenin doğruluk değeri ise, söz konusu bileşik önermeyi oluşturan yalın önermelerin doğruluk değerleri ve mantık bağlaçlarına bağlı olarak tanımlanır.
Bir önermenin doğruluk değeri seçeneklere bağlı olarak bir çizelge ile gösterilebilir.
Böyle bir çizelgeye, o önermenin doğruluk çizelgesi adı verilir. Bileşik önermelerin
doğruluk değerlerinin belirlenmesinde sıkça başvuracağımız doğruluk çizelgeleri
önerme işlemleri için de yararlı bir araç olacaktır.
1.2.3. Tanım (Bir Önermenin Değili)
Bir p önermesinin doğruluk değeri doğru iken yanlış, yanlış iken doğru yapılarak
elde edilen önermeye p nin değili denir ve ~p (değil p diye okunur) simgesiyle gösterilir.
~p nin doğruluk çizelgesi p nin doğruluk değerlerine bağlı olarak şöyle olacaktır:
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
p
~p
D
Y
Y
D
7
1.2.4. Örnek
p: Kedi bir kuştur,
q: 5 ≤ 7 dir
önermelerinin değillerini yazınız ve doğruluk değerlerini belirleyiniz.
Çözüm
~p: Kedi bir kuş değildir,
~q: 5 ≤ 7 değildir (çoğunlukla bunun yerine ~q: 5 ≤ 7 dir, yazarız)
olur. Burada p nin doğruluk değerinin Y, ~p nin D; q nun doğruluk değerinin D, ~q
nun Y olduğuna dikkat ediniz.
Aşağıda verilen önermelerin değillerini de siz bulunuz ve doğruluk değerlerini
belirleyiniz.
• Kuş kanatlı bir hayvandır.
• Ayda canlı yoktur.
• 3 = 5 dir.
• 3 < 4 dür.
1.2.5. Tanım ("ve" Bağlacı)
Verilen p, q önermelerinin "ve" bağlacıyla birleştirilmesiyle oluşturulan bileşik
önerme, ancak p ile q birlikte doğru olduklarında doğru, diğer durumlarda yanlış
olarak tanımlanan önermedir. Bu bileşik önermeye p ve q nun tümel evetlenmesi
denir ve p ∧ q (p ve q diye okunur) simgesiyle gösterilir.
Bu tanıma göre p ve q nun doğruluk değerleri için bütün seçenekler göz önüne alınarak p ∧ q nun doğruluk çizelgesi şöyle verilir:
p
q
p∧q
D
D
D
D
Y
Y
Y
D
Y
Y
Y
Y
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
8
1.2.6. Örnek
p: Yağmur yağıyor,
q: Bir hafta 9 gündür,
r: 4 bir çift sayıdır
önermeleri veriliyor. p ∧ q, (~q ∧ r) önermelerini ifade ediniz ve doğruluk değerlerini belirleyiniz.
Çözüm
p ∧ q: Yağmur yağıyor ve bir hafta 9 gündür (Doğruluk değeri yanlış),
(~q) ∧ r: Bir hafta 9 gün değildir ve 4 bir çift sayıdır (Doğruluk değeri doğru)
olur. Birinci örnekte p nin doğruluk değeri D de olsa Y de olsa p ∧ q nun doğruluk değerinin değişmeyeceğine dikkat ediniz.
?
1.2.6. örnekte verilen p, q, r önermeleri için p ∧ r, q ∧ (~r) önermelerini ifade
ediniz ve doğruluk değerlerini belirleyiniz.
1.2.7. Tanım ("veya" Bağlacı)
Verilen p, q önermelerinin "veya" bağlacıyla birleştirilmesiyle oluşturulan bileşik
önerme, ancak p ile q birlikte yanlış olduklarında yanlış diğer durumlarda doğru
olarak tanımlanan önermedir. Bu bileşik önermeye p ve q nun tikel evetlenmesi denir ve p ∨ q (p veya q diye okunur) simgesiyle gösterilir.
Bu tanıma göre p ∨ q nun doğruluk çizelgesi şöyle olur:
p
q
p∨q
D
D
D
D
Y
D
Y
D
D
Y
Y
Y
1.2.8. Örnek
p: Ekonomi iyiye gidiyor,
q: Fiyatlar düşüyor
önermeleri için p ∨ q bileşik önermesini ifade ediniz. p ∨ q nun doğruluk değeri
nedir?
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
Çözüm
p ∨ q: Ekonomi iyiye gidiyor veya fiyatlar düşüyor
bileşik önermesi elde edilir. Burada p, q önermelerinin doğruluk değerlerini belirlemeden p ∨ q bileşik önermesinin doğruluk değeri için birşey söylenemez.
Öte yandan, p, q önermeleri için kimi doğru kimi de yanlış diyecektir. Dolayısıyla p,
q önermelerinin doğruluk değerleri ve buna bağlı olarak p ∨ q bileşik önermesinin doğruluk değeri, değerlendiren kişiye göre değişecektir. Bu durum şunu gösteriyor: Her önermenin doğruluk değeri evrensel değildir; bazen görelidir; yani kişiye
bağlı olabilir, yere bağlı olabilir, zamana bağlı olabilir.
Sözgelişi, "Dünya dönüyor" önermesi bugün doğru bir önermedir; ama ortaçağda
yanlış bir önerme idi. Yeniden yukarıdaki p ∨ q bileşik önermesine dönecek olursak, bunun doğru olması ya da yanlış olması gerçek hayattaki durumu göstermez,
sadece bileşen önermelerin doğruluk değerlerinin mantıksal sonucunu verir.
1.2.9. Tanım (Koşullu Önerme)
p ile q önermelerinden oluşan bir bileşik önerme, ancak p doğru ve q yanlış olduğunda yanlış diğer durumlarda doğru ise, bu bileşik önermeye koşullu önerme adı
verilir ve p → q (p ise q diye okunur) simgesiyle gösterilir.
Bu tanıma göre bir koşullu önermenin doğruluk çizelgesi
p
q
p→q
D
D
D
D
Y
Y
Y
D
D
Y
Y
D
biçimindedir.
1.2.10. Örnek
p: Ekonomi iyiye gidiyor,
q: Fiyatlar düşüyor
önermeler için p → q koşullu önermesi nasıl ifade edilir?
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
9
10
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
Çözüm
p → q: Ekonomi iyiye gidiyorsa fiyatlar düşer
biçimindedir.
Yukarıdaki örnekte genelde p doğru ise q da doğrudur; dolayısıyla p → q bileşik
önermesi de doğrudur. Fakat p doğru olmadan da q doğru olabilir (ekonomi iyiye
gitmediği halde fiyatlar başka nedenlerle de düşebilir). Bu durumda p → q önermesi yine doğrudur. O halde, genel duruma dönüp herhangi p, q önermeleri alırsak,
p → q bileşik önermesinin doğru olması için p nin doğru olma zorunluluğu yoktur. Fakat p → q doğru ise, p nin doğru olması q nun da doğru olmasını zorunlu
kılar. Bu durumda, p → q koşullu önermesine "gerektirme" deriz ve p ⇒ q (p gerektirir q diye okunur) simgesiyle gösteririz.
Ayrıca p ⇒ q ise, p ye q için yeterli koşul ve q ya da p için gerekli koşul denir. Örneğin, a2 < 9 ⇒ a< 3.
1.2.11. Tanım (Karşılıklı Koşullu Önerme)
Verilen p, q önermelerinin oluşturduğu bir bileşik önerme, ancak p ve q nun aynı
doğruluk değerlerini taşıdığında doğru oluyorsa, bu bileşik önermeye karşılıklı
koşullu önerme adı verilir ve p ↔ q (p ancak ve ancak q diye okunur) simgesiyle gösterilir.
p ↔ q önermesinin doğruluk çizelgesi
p
q
p↔q
D
D
D
D
Y
Y
Y
D
Y
Y
Y
D
biçiminde olacaktır.
Eğer p ↔ q bileşik önermesi doğru ise, bu önermeye bir çift gerektirme denir ve
p ⇔ q (p çift gerektirme q diye okunur) simgesiyle gösterilir. Bu durumda, "p için gerekli ve yeterli koşul q" ya da "q için gerekli ve yeterli koşul p" dir, denir.
1.2.12. Örnek
p: a2 ≤ 9,
q: -3 ≤ a ≤ 3
önermeleri veriliyor. p ↔ q bileşik önermesi bir çift gerektirme midir?
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
Çözüm
Verilen önermeler aynı doğruluk değerini taşıdıklarından; yani p doğru (yanlış) ise
q doğru (yanlış), q doğru (yanlış) ise p de doğru (yanlış) olduğundan p ↔ q bileşik önermesi doğrudur. Bu nedenle p ↔ q bileşik önermesi bir çift gerektirmedir.
Kısaca
p ⇔ q: a2 ≤ 9 ⇔ -3 ≤ a ≤ 3
olur.
p → q ya da p ↔ q bileşik önermelerini oluşturan p, q bileşenleri arasında her
zaman neden-sonuç ilişkisi olmayabilir.
Sözgelişi,
p: Ekonomi iyiye gidiyor,
q: 3 bir asal sayıdır
önermeleri için, q doğru bir önerme olduğundan
p → q: Ekonomi iyiye gidiyor ise 3 bir asal sayıdır
bileşik önermesi 1.2.9. tanıma göre doğru bir önermedir. Fakat
p ↔ q: Ekonomi iyiye gider ancak ve ancak 3 asal sayıdır
bileşik önermesinin doğruluk değeri p için belirlenecek doğruluk değerine bağlıdır.
p doğru ise p ↔ q doğrudur, p yanlış ise p ↔ q yanlıştır.
1.3. Önerme İşlemleri
Şimdiye dek bir ya da iki yalın önermeden bileşik önerme oluşturmak için tanımladığımız ~, ∧, ∨, →, ↔ mantık bağlaçlarına bundan böyle önerme işlemleri diyeceğiz. Şimdi bu işlemlerden herhangi ikisinin ya da daha fazla sayıdakinin birlikte
kullanılmasıyla oluşturulan bileşik önermelerin doğruluk çizelgelerini ve bu işlemlerin sağladığı kimi özellikleri gözden geçirelim. Bir örnekle başlayalım:
1.3.1. Örnek
p, q, r önermeleri için p ∨ (q ∧ r) bileşik önermesinin doğruluk çizelgesini kurunuz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
11
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
12
Çözüm
Burada herhangi üç önerme verildiğinden ve bileşen önermelerin her birinin doğruluk değeri için 2 seçenek olduğundan, p ∨ (q ∧ r) bileşik önermesinin doğruluk değeri için 23 seçenek söz konusudur. Dolayısıyla doğruluk çizelgesinin 8 satırı olacaktır. Aşağıdaki doğruluk çizelgesi bu seçeneklerin toplu olarak birarada görülmesini sağlamaktadır.
p
q
r
q∧r
p ∨ (q ∧ r)
D
D
D
D
D
D
D
Y
Y
D
D
Y
D
Y
D
D
Y
Y
Y
D
Y
D
D
D
D
Y
D
Y
Y
Y
Y
Y
D
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Sözgelimi bu çigelgenin altıncı satırına bakacak olursak, p yanlış, q doğru ve r yanlış
olduğu durumda bileşik önerme p ∨ (q ∧ r) nin yanlış olduğunu görürüz.
p ∨ (q ∧ r) nin doğruluk değerlerinin bulunduğu son sütuna çizelgenin esas sütunu
diyeceğiz.
?
(p ∧ [q ∨ (~p)] → (~p) önermesinin aşağıdaki doğruluk çizelgesinin esas sütununu doldurunuz.
p
q
~p q ∨ (~p) p ∧ [q ∨ (~p)]
(p ∧ [q ∨ (~p)] → (~p)
D
D
Y
D
D
...
D
Y
Y
Y
Y
...
Y
D
D
D
Y
...
Y
Y
D
D
Y
...
1.3.2. Tanım
Bileşik bir önerme kendisini oluşturan yalın önermelerin doğruluk değerlerinden
bağımsız olarak doğru ise, böyle bir önermeye tüm geçerli önerme denir. Tüm geçerli bir önermenin doğruluk çizelgesinin esas sütununda hep D vardır.
Eğer bileşik önerme kendisini oluşturan yalın önermelerin doğruluk değerlerinden
bağımsız olarak yanlış ise, böyle bir önermeye de tüm geçersiz önerme adı verilir.
Tüm geçersiz bir önermenin doğruluk çizelgesinin esas sütununda hep Y vardır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
13
1.3.3. Örnek
Herhangi bir p önermesi için p ∨ (~p) nin tüm geçerli p ∧ (~p) nin de tüm geçersiz olduğunu gösteriniz.
Çözüm
p
~p p ∨ (~p)
p
~p p ∧ (~p)
D
Y
D
D
Y
Y
Y
D
D
Y
D
Y
p ∨ (~p) tüm geçerli
p ∧ (~p) tüm geçersiz
Aşağıdaki önermelerin tüm geçerli olduklarını doğrulayınız.
• ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)
• ~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)
• p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
• p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
1.3.4. Tanım
Aynı yalın önermelerden oluşan iki bileşik önerme A ve B olsun. Eğer bileşen önermelerin aynı doğruluk değerleri için A ve B nin doğruluk değerleri eşit oluyorsa, A
ve B ye eşdeğer önermeler ya da denk önermeler denir ve bu durum A ≡ B yazılarak
belirtilir.
Bu tanıma göre, eşdeğer önermelerin doğruluk çizelgelerinin esas sütunları
aynı olacaktır. Bu nedenle eşdeğer önermelere genelde aynı önermeler gözüyle bakılır.
1.3.5. Örnek
Herhangi p, q önermeleri için (p → q) ≡ [(~p) ∨ q] olduğunu doğrulayınız.
Çözüm
Bu eşdeğerliği doğrulamanın en kolay yolu doğruluk çizelgelerinin esas sütunlarının çakıştığını göstermektir. Bu da aşağıdaki çizelgelerden görülmektedir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
14
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
p
q
p→q
p
q
~p (~p) ∨ q
D
D
D
D
D
Y
D
D
Y
Y
D
Y
Y
Y
Y
D
D
Y
D
D
D
Y
Y
D
Y
Y
D
D
(
p → q) ≡ (~p) ∨ q
Şimdi ∧, ∨, ~ işlemlerinin kimi özelliklerinin kanıtını aşağıdaki teorem ile verelim.
1.3.6. Teorem
Aşağıdaki eşdeğerlikler geçerlidir.
(i)
(p ∨ p) ≡ p
,
(p ∧ p) ≡ p
(Eşgüçlülük kuralları)
(ii)
(p ∨ q) ≡ q ∨ p
,
(p ∧ q) ≡ q ∧ p
(Değişme kuralları)
(iii)
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(Dağılma kuralları)
~ (p ∧ q) ≡ (∼ p) ∨ (~q)
~ (p ∨ q) ≡ (∼ p) ∧ (~q)
(De Morgan Kuralları)
(v)
(vi)
(p→ q) ≡ [(~q) → (~p)]
Kanıt
Önermelerin doğruluk çizelgeleri kurulur ve 1.3.4. Tanım kullanılırsa istenilenler
kolayca görülür. Bir örnek olarak, (iii)'deki ikinci eşdeğerliği kanıtlayalım.
p
q
r
q∧r
p ∨ (q∧r)
p
q
r
D
D
D
D
Y
Y
Y
Y
D
D
Y
Y
D
D
Y
Y
D
Y
D
Y
D
Y
D
Y
D
Y
Y
Y
D
Y
Y
Y
D
D
D
D
D
Y
Y
Y
D
D
D
D
Y
Y
Y
Y
D
D
Y
Y
D
D
Y
Y
D
Y
D
Y
D
Y
D
Y
p∨q p∨r
D
D
D
D
D
D
Y
Y
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
D
D
D
D
D
Y
D
Y
(p∨q) ∧ (p∨r)
D
D
D
D
D
Y
Y
Y
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
1.3.7. Örnek
a, b doğal sayılar olmak üzere, (a < b) → a = b önermesinin değilini bulunuz.
Çözüm
Herhangi bir p, q önermeleri için (p → q) ≡ (∼p) ∨ q olduğundan
~ [a < b → a = b] ≡ ∼ [∼ (a < b) ∨ (a = b)] ≡ ∼ [(a ≥ b) ∨ (a = b)]
≡ ∼ [a ≥ b] ≡ a < b
olur.
Gerektiği yerde tümgeçerli bir önerme için 1, tümgeçersiz bir önerme için 0 simgelerini kullanırsak ve p ∨ 0 ≡ p, p ∧ 1 ≡ p, p ∨ (~p) ≡ 1, p ∧ (~p) ≡ 0 eşdeğerliklerini gözönüne alırsak, kimi durumlarda bileşik önermeleri daha sonra eşdeğer önermelere
dönüştürebiliriz.
1.3.8. Örnek
{ (p ∨ q) ∧ [~p ∨ ~q) ∧ q] } ∨ p önermesini daha sade eşdeğer bir önermeye dönüştürünüz.
Çözüm
{ (p ∨ q) ∧ [~p ∨ ~q) ∧ q] } ∨ p ≡ { (p ∨ q) ∧ [(~p ∧ q) ∨ (~q ∧ q)] } ∨ p
≡ { (p ∨ q) ∧ [(~p ∧ q) ∨ 0] } ∨ p
≡ { (p ∨ q) ∧ (~p ∧ q) } ∨ p
≡ [(p ∨ q) ∨ p] ∧ [(~p ∧ q) ∨ p]
≡ (p ∨ q ∨ p) ∧ [(~p ∨ p) ∧ (q ∨ p)]
≡ (p ∨ p ∨ q) ∧ [1 ∧ (q ∨ p)]
≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)
≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ≡ p ∨ q
1.4. Önerme İşlemlerinin Elektrik Devrelerine Uygulanması
Bir elektrik ya da elektronik devre denildiğinde içinde en az bir güç kaynağı, elektrik tüketen bir rezistans ve devreden akımın geçip-geçmemesini sağlayan bir anahtardan oluşan bir şebeke düşünülür. Böyle bir devreyi çizerek
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
15
16
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
A
R
G
biçiminde gösteririz. A anahtarı açık olduğunda üzerinden, dolayısıyla devreden
akım geçer, kapalı olduğunda devreden akım geçmez. Şimdi amacımız bir elektrik
devresinde birden çok anahtar bulunduğunda anahtarların açık ya da kapalı olmalarına göre devreden ne zaman akım geçer, ne zaman geçmez durumunu önerme işlemleriyle belirlemektir.
Önce seri bağlı ya da paralel bağlı anahtarlar tanımını anımsatalım: Bir elektirik
devresinde bulunan p, q gibi iki anahtarın seri bağlanması ya da paralel bağlanması aşağıdaki şekillerde görüldüğü gibi gösterilebilir.
p
p
q
q
p, q anahtarları paralel bağlı
p, q anahtarları seri bağlı
"p anahtarı açıktır" önermesini p, "q anahtarı açıktır" önermesini q ve "Devreden
akım geçer" önermesini de r ile gösterelim. Seri anahtarlar için p doğru, q doğruysa r
de doğrudur. p ve q dan biri yanlış ise r de yanlıştır. O halde seri bağlı anahtarlar için
p ∧ q ≡ r dir. Benzer olarak, paralel bağlı anahtarlar için p ∨ q ≡ r dir. Bu nedenle, seri
bağlı anahtarlar p ∧ q önermesiyle, paralel bağlı anahtarlar p ∨ q önermesiyle gösterilirler. Ayrıca, ~p önermesi "p anahtarı açık değildir" yerine "p anahtarı kapalıdır"
biçiminde ifade edilebilir. Bir de kısalık için, burada önermelerimizin doğruluk değerleri D ve Y yerine, sırasıyla, 1 ve 0 kullanılacaktır.
Bu bilgiler ışığı altında aşağıdaki örnekte çok anahtarlı bir devreyi ele alalım:
1.4.1. Örnek
Aşağıdaki şekil ile verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermeyi yazınız.
Eğer p, q anahtarları açık ve r, s anahtarları kapalı ise devreden akım geçer mi? Araştırınız.
p
~q
~r
r
~s
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
17
Çözüm
Bu devreye karşılık gelen bileşik önerme
{ [p ∧ (~q)] ∨ [r ∨ (~s)] } ∧ (~r)
olur. Bu devreden akım geçmesi için bu bileşik önermenin doğruluk değeri 1 olmalıdır. Eğer p, q anahtarları açık ise p ve q nun doğruluk değerleri 1; r, s anahtarları kapalı ise r ve s'nin doğruluk değerleri 0 dır. Buna göre,
{ [1 ∧ (0)] ∨ [0 ∨ (1)] } ∧ (1) ≡ (0 ∨ 1) ∧ 1 ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1
olduğundan devreden akım geçer.
1.4.2. Örnek
[p ∧ ( (~q) ∨ r)] ∨ [q ∧ (~r)] bileşik önermesine karşılık gelen elektrik devresini kurunuz.
Çözüm
~q
p
r
q
~r
şeklinde olur.
• 1.4.2. Örnekte verilen devrede p anahtarı açık, q ve r kapalı ise devreden
akım geçer mi?
• (p ∨ q) ∧ t ∧ (r ∨ s) bileşik önermesine karşılık gelen devreyi kurunuz.
1.5. Açık Önermeler
Aşağıdaki türden tümceleri ele alalım:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
x kanatlı bir hayvandır.
x sıfırdan büyük bir tamsayıdır.
O bir öğretmendir.
x ve y tamsayılar olmak üzere x+y=7 dir.
Bu tümcelerden hiçbiri bir önerme değildir. Çünkü bu tümceleri okuduktan sonra
"doğru mu?", "yanlış mı?" soruları için ne "doğru" ne de "yanlış" denilebilir. Fakat (i)
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
18
de x yerine "güvercin" yazarsak doğru, "kedi" yazarsak yanlış bir önerme elde ederiz. (iii) de "O" sözcüğü yerine tanınan bir kişinin adını yazarsak, diyelim ki Utkan,
doğru veya yanlış bir önerme elde ederiz. (iv) de x=2, y=5 yazınca doğru bir önerme,
x=3, y=5 yazınca yanlış bir önerme elde ederiz.
Yukarıdaki türden tümceler içinde geçen x veya y simgelerine "belirsiz" ya da "değişken" deriz. (i) ve (ii) içinde bir değişken, (iv) de iki değişken bulunan tümcelerdir.
(iii) deki "O" sözcüğünü de belirsiz olarak kabul edeceğiz. Dolayısıyla "O" yerine bir
x değişkeni yazarsak (iii) deki tümceyi de "x bir öğretmendir" şeklinde ele alacağız.
Şimdi açık önerme tanımını verebiliriz.
1.5.1. Tanım
İçerisinde en az bir değişken (belirsiz) bulunan ve bu değişkene verilen değerlere
göre doğru ya da yanlış (yani önerme olan) tümcelere açık önerme denir.
Değişkenler belli bir topluluk içinden seçilmek üzere, açık önermeleri p(x), q(x),
s(x,y), ... gibi simgelerle göstereceğiz.
Kısaca tekrarlayacak olursak, açık önerme bir önerme değildir. Ancak değişken yerine konulacak değerler için bir önerme olur. Sözgelişi, "q(x): x sıfırdan büyük bir
tamsayıdır" açık önermesi bir önerme değil, fakat
q(1): 1 sıfırdan büyük bir tamsayıdır,
q(-2): -2 sıfırdan büyük bir tamsayıdır
tümcelerinden birincisi doğru, ikincisi yanlış bir önermedir.
1.5.2. Örnek
p(x): x2 + 3x - 5 ≤ 0 açık önermesinde x değişkeni yerine -1, 0, 3 yazarak elde
edilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyiniz.
Çözüm
p(-1): (-1)2 + 3(-1) - 5 ≤ 0
p(0): 02 + 3.0 - 5 ≤ 0
p(3): 32 + 3.3 - 5 ≤ 0
?
ya da
ya da
ya da
p(-1): -7 ≤ 0, doğru bir önerme.
p(0): -5 ≤ 0, doğru bir önerme.
p(3): 13 ≤ 0, yanlış bir önerme.
q(x,y): x + 3y = 8, x ve y tamsayılar
açık önermesi için q(-1,3) önermesinin doğruluk değerini belirleyiniz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
19
"Bütün", "her", "en az", "bazı", "hiçbir" gibi sözcükler bulundukları tümcelerde nicelik "çokluk" belirten sözcüklerdir. Önermelerde bu tür sözcüklere niceleyiciler
denir. İçinde bir niceleyici bulunan bir kaç önerme örneği verelim:
Bütün öğrenciler çalışkandır.
Her kuş kanatlı değildir.
En az bir asal sayı vardır.
Bazı kanatlı hayvanlar kuştur.
Hiçbir canlı ölümsüz değildir.
Şimdi açık önermeler içinde geçen niceleyici sözcükler üzerinde biraz duralım. x değişkeni belli bir S topluluğu içindeki üyeleri göstermek üzere, p(x) açık önermesi verilsin. "S topluluğu içindeki her x için p(x) doğrudur" tümcesi bir önermedir. Bu
önermeyi kısaca "her x için p(x) doğrudur" biçiminde ifade edelim. Açıktır ki, "her x
için p(x) doğrudur", "bütün x'ler için p(x) doğrudur", "tüm x'ler için p(x) doğrudur",
"herhangi bir x için p(x) doğrudur" önermeleri birbirine eşdeğer önermelerdir. Bu
eşdeğer önermelerden herhangi birini (dolayısıyla her birini) simgesel olarak,
∀x için p(x)
ya da kısa olarak
∀x, p(x)
biçiminde yazacağız. Burada ∀ (her diye okunur) simgesi "her", "herhangi bir",
"tüm", "bütün" niceleyicileri karşılığı olarak kullanılan bir simgedir. Yinelersek "∀x,
p(x)" bir önermedir ve bu önermenin sözel ifadesi "her x için p(x) doğrudur" biçimdedir.
Benzer olarak, "en az", "bazı", "kimi" ... gibi niceleyiciler için ∃ (en az bir diye okunur)
simgesini kullanacağız. "En az bir x için p(x) doğrudur" önermesinin simgesel yazılışı
∃x, p(x)
biçiminde olacaktır. ∃ simgesine varlık niceleyicisi de denir. Çünkü bir varlık belirtecidir.
1.5.3. Örnek
x hayvanlar topluluğuna ait bir değişken olmak üzere,
p(x): x tüysüz bir hayvandır
açık önermesi için "∀x, p(x)" ve "∃x, p(x)" önermelerini sözel olarak ifade ediniz.
Çözüm
Birincisi "Her hayvan tüysüzdür" ya da "Bütün hayvanlar tüysüzdür", ikincisi "Bazı
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
20
hayvanlar tüysüzdür" ya da "En az bir hayvan tüysüzdür" biçiminde olabilir. Açıktır ki, birincisi yanlış bir önerme, ikincisi doğru bir önermedir.
?
x değişkeni bir insan, "p(x): x mutludur" açık önermesi olmak üzere
∀x, p(x) ve ∃x, p(x)
önermelerini sözel olarak ifade ediniz.
Bir p(x) açık önermesi için "∀x, p(x)" bir önerme olduğundan bu önermenin değili tanımlanabilir. Sözgelimi, "Her insan mutludur" önermesinin değili "Kimi insanlar mutlu değildir" biçiminde olacaktır. Öyleyse "∀x, p(x)" önermesinin değili
"∃x, ~p(x)" olacaktır. Benzer olarak, "∃x, p(x)" önermesinin değil "∀x, ~p(x)" dır.
Kısaca, simgesel olarak,
~( ∀x, p(x) ) ≡ ∃x, ~p(x)
~( ∃x, p(x) ) ≡ ∀x, ~p(x)
özdeşlikleri vardır.
Sözgelimi, 1.5.3. Örnekteki p(x) açık önermesi için ∀x, p(x) önermesinin açık ifadesi "Her hayvan tüysüzdür" idi. O zaman, bu önermenin değili "Her hayvan tüysüz
değildir" ya da buna eşdeğer önerme olarak "Kimi hayvanlar tüysüz değildir" olur.
Bu son önermenin simgesel yazılışı da ∃x, ~p(x) dır: Yani
~( ∀x, p(x) ) ≡ ∃x, ~p(x)
dır.
1.6. Matematiksel Kanıtlama
Matematikte kanıtlama yapmak, verilen öncül önermelerden belli bir sonucun
mantıksal olarak çıkartılabileceğini göstermek demektir. Bir çok kanıtlama yöntemi
vardır. Bu kesimde, bu yöntemlerden önemli saydığımız dört yöntem üzerinde duracağız. Bu yöntemleri sıralamadan önce teorem, varsayım, sonuç, matematiksel
kanıt kavramları üzerinde biraz durmakta yarar var.
Doğrulukları verilen ya da varsayılan öncül önermelerin birlikte bir önermenin
doğruluğunu gerektirdiğini öne sürmeye teorem denir. Bir teoremde doğrulukları verilen ya da varsayılan öncül önermelerin tümel evetlenmesi olan önermeye teoremin varsayımı (hipotezi), doğruluğu öne sürülen önermeye de sonucu denir.
Varsayımın sonucu gerektirdiğini göstermeye de teoremin matematiksel kanıtı adı
verilir. Burada ele alacağımız kanıtlama yöntemleri doğrudan kanıtlama yöntemi,
dolaylı kanıtlama yöntemi, olmayana ergi yöntemi ve tümevarım yöntemi olacaktır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
1.6.1. Doğrudan Kanıtlama Yöntemi
p önermesi doğru iken p → q koşullu önermesi de doğru ise, q nun doğru olmak
zorunda olduğunu biliyoruz. Doğrudan kanıt yönteminin temelini bu kural oluşturur. Bir başka ifadeyle, doğrudan kanıt yöntemi p ⇒ q gerektirmesini kanıtlamaktır.
O halde, bir teoremin varsayımı olan önermeyi H, sonucu olan önermeyi S ile gösterirsek, teoremi doğrudan kanıt yöntemiyle kanıtlamak H ⇒ S gerektirmesini göstermek demektir.
1.6.2. Örnek
İki çift sayının toplamı bir çift sayıdır, teoremini doğrudan kanıt yöntemiyle kanıtlayınız.
Kanıt
H : a ve b çift sayılardır
S : a + b çift sayıdır
(Varsayım)
(Sonuç)
Varsayım önerme H nın doğruluğunu kabul ediyoruz. O halde, m ve n tamsayılar
olmak üzere,
a=2m
ve
b=2n
yazılabilir. Buradan
a + b = 2m + 2n = 2 (m + n)
sonucu çıkar. m + n bir tamsayı olduğundan 2(m + n) bir çift sayıdır; yani sonuç
önerme "a + b bir çift sayıdır" doğrudur.
1.6.3. Dolaylı Kanıtlama Yöntemi
Herhangi p, q önermeleri için 1.3.6. Teorem (vi) de (p → q) ≡ [ (~q) → (~p) ] denkliği
verilmişti. Dolaylı kanıt yönteminin temelini bu denklik oluşturur. O halde, bir teoremde H ⇒ S gerektirmesi yerine ona denk olan ~S ⇒ ~H gerektirmesi kanıtlanabilir; başka bir ifadeyle, bir teoremde sonucun değilinin doğruluğunu kabul edilip bunun varsayımın değilinin doğruluğunu gerektirdiği gösterilirse, dolaylı kanıtlama
yöntemiyle teorem kanıtlanmış olur.
1.6.4. Örnek
4x2 - 4xy + y2 ≠ 9 ise 2x - y ≠ 3 dür, önermesini (teoremini) dolaylı kanıt yöntemiyle kanıtlayınız.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
21
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
22
Kanıt
Sonucun değilinin doğruluğunu kabul edelim; yani 2x - y = 3 olsun. O zaman,
(2x - y)2 = 32 ya da 4x2 - 4xy + y2 = 9 olur. Öyleyse
4x 2 - 4xy + y 2 ≠ 9 ise 2x - y ≠ 3 dür.
?
İki doğal sayının çarpımı bir tek sayı ise, bu sayıların her ikisinin de tek olduğunu dolaylı kanıtlama yöntemiyle kanıtlayınız.
1.6.5. Olmayana Ergi Yöntemi
Bir teoremi olmayana ergi yöntemiyle kanıtlamada, teoremin varsayımının (H nin)
ve sonucun değilinin (~S nin) doğruluğu kabul edilir. Böylece H ve ~S nin tümel
evetlenmesi olan H ∧ (~S) önermesinin doğru olduğu düşünülmüş olur. Bu kabulün, doğruluğu bilinen bir önermenin ya da öncül önermelerden birinin yanlışlığını gerektirdiği gösterilirse, bu durum H nin doğruluğu ile birlikte (~S) nin doğruluğunu varsaymanın olanaklı olmadığını gösterir. O halde, H doğru iken ~S yanlış,
yani S doğru olmalıdır. Bu yolla yapılan kanıtlama olmayana ergi yöntemi diye
adlandırılır.
1.6.6. Örnek
Aşağıdaki teoremi olmayana ergi yöntemiyle kanıtlayınız.
Farklı iki noktada kesişen iki çemberin kesim noktalarının birinden geçen çapların
uç noktalarını birleştiren doğru parçası öteki kesim noktasından geçer.
Kanıt
O1 ve O2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B olsunlar. A noktasından geçen
çapları R1 ve R2 ile gösterilim. Bu çapların diğer uçları C ve D olsunlar. C ve D
noktalarını birleştiren doğru parçasının B noktasından geçmediğini kabul edelim. O
zaman, CD doğru
∧
parçası O1 ve O2 çemberlerini H ve K gibi iki farklı noktada
kesecektir. Şimdi H açısı O1 çemberinde çapı gören bir çevre açı olduğundan
∧
birdik açıdır. Benzer olarak, K açısı O2
çemberinde çapı gören çevre açı olduğun∆
A
R1
●
●
O1
C
dan bir dik açı-dır. Böylece AHK üçgeni iki dik açılı bir üçgen olur. Bu sonuç, bir
.
B
R2
üçgenin iç açıları toplamı iki dik açıdır,
gerçeğiyle çelişir. Öyleyse CD doğru par-
O2
.
H K
çası B noktasından geçmek zorundadır.
D
Böylece teoremin kanıtı tamamlanmış
olur.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
23
Bir üçgende iki iç açının toplamı bunlara komşu olmayan bir dış açıya eşittir, teoremini olmayana ergi yöntemiyle kanıtlayınız.
1.6.7. Tümevarım Yöntemi
Klasik Mantıkta tümevarım, usavurmanın (akıl yürütmenin) tikelden tümele giden
bir biçimidir; bir başka söyleyişle, bir bütünü oluşturan bireylere dayanarak bütün
konusunda yargıda bulunmaktır, diyebiliriz. Ancak burada sözünü edeceğimiz tümevarım, Modern Mantıkta matematiksel kanıtlama yöntemlerinden biri olan, doğal sayılara bağımlı bir özelliğin kanıtlanmasında izlenen yoldur. Bu yöntem çoğunlukla tümevarım ilkesi olarak bilinir.
Tümevarım ilkesi: 0, 1, 2, 3, ..., n, ... doğal sayıları üzerine kurulmuş bir p(n) açık
önermesi aşağıdaki iki koşulu sağlamış olsun:
1°. p(0) doğrudur.
2°. Herhangi bir m doğal sayısı için p(m) doğru ise, p(m + 1) de doğrudur.
Bu durumda her n doğal sayısı için p(n) önermesi doğrudur.
1.6.8. Örnek
Her n doğal sayısı için
1 + 3 + ... + (2n + 1) = (n + 1)2
eşitliğini tümevarım yöntemiyle kanıtlayınız.
Kanıt
p(n) açık önermesi verilen eşitlik olsun; yani
p(n) : 1 + 3 + ... + (2n + 1) = (n + 1)2
diyelim.
1°. n = 0 için
p(0) : 1 = (0 + 1)2 = 12
olduğundan p(0) önermesi doğrudur.
2°. n = m için p(m) önermesinin doğru, yani
1 + 3 + ... + (2m + 1) = (m + 1)2
eşitliğinin doğruluğunu kabul edelim. Şimdi p(m + 1) önermesinin doğruluğunu
kanıtlayalım. 2° deki bu eşitliğin her iki tarafına 2(m + 1) + 1 ekleyelim:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
24
1 +3 + ... + (2m + 1) + [2 (m + 1) + 1] = (m + 1)2 + [2 (m + 1) + 1]
= m2 + 2m + 1 + 2m + 3
= m2 + 4m + 4
= (m + 2)2
= [ (m + 1) + 1]2
eşitliği elde edilir. Bu eşitlik p(m + 1) önermesinin doğruluğunu gösterir. O halde,
tüm n doğal sayılar için p(n) önermesi doğru; yani verilen eşitlik doğrudur.
?
•
Tümevarım ilkesinde ilk adım deneme ya da kontrol amaçlıdır. n = 0
yerine n = 1, n = 2, n = 3, ... ya da büyük bir k sayısı için p(k) önermesinin doğru
olup olmadığı kontrol edilebilir. Bazen ilk doğal sayılar için doğru olmayan
bir p(n) açık önermesi belli bir doğal sayıdan sonraki bütün doğal sayılar için
doğru olabilir. Böyle bir durumda tümevarım ilkesinin ilk adımını p(n) nin
doğru olduğu ilk doğal sayı ile başlatırız.
•
Tümevarımın ikinci adımına bazen varsayım adımı da denir. Burada esas
olan, tümevarımın ilk adımında doğruluğu saptanan p(k) önermesindeki k
dan daha büyük herhangi bir m doğal sayısı için p(m) önermesinin doğruluğunu kabul edip, bir sonraki sayı m + 1 için p(m + 1) önermesinin doğruluğunun kanıtlanmasıdır.
4
3
3
3
n
Her n ≥ 1 doğal sayısı için 1 + 2 + ... + n >
eşitsizliğini tümevarımla ka4
nıtlayınız (Yol gösterme: Tümevarımı n = 0 dan değil n = 1 den başlatmalısınız).
Yukarıda sıralanan matematiksel kanıtlama yöntemleri dışında doğruluk çizelgeleri yöntemi, tümdengelim yöntemi, ters örnek yöntemi gibi başka yöntemlerde vardır. Bu konu üzerinde daha fazla durmayacağız. Ancak şu gerçek unutulmamalıdır:
Hangi kanıtlama yöntemi olursa olsun, bir matematiksel kanıtlama yöntemiyle ulaşılan sonucun doğruluğu, kimi zaman bir gerçeği değil, sadece varsayımla doğru
kabul edilen öncül önermelerin mantıksal sonucunu gösterir.
Değerlendirme Soruları
Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.
1.
Aşağıdaki önermelerin hangisi doğrudur?
A. 4 + 5 = 9 ve 4 x 5 = 15 dir.
B. 3 bir tamsayı değildir veya 2 x 3 = 6 dır.
C. Gümüş bir madense bakır bir taştır.
D. x2 ≥ 9 ancak ve ancak x ≤ 3 dir.
E. Dünya bir gezegen değildir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
2.
Aşağıdaki önermelerin hangisi yanlıştır?
A. 3 bir asal sayı ve 2 de bir çift sayıdır.
B. 3 + 5 = 7 veya 3 x 5 = 15 dir.
C. 12 sayısı 5 in bir katı ise 36 sayısıda 15 in bir katıdır.
D. İki tek sayının toplamı bir tek sayı veya çarpımı bir çift sayıdır.
E. x2 ≤ 9 ancak ve ancak -3 ≤ x ≤ 3 dür.
3.
p : Deniz mavidir; q : 1 bir tamsayıdır; r : kar beyazdır, yalın önermeleri veri2
liyor.
Aşağıdaki simgesel yazılışlardan hangisi "Deniz mavidir veya (1/2 tamsayı
ise kar beyazdır)" bileşik önermesidir?
A. p ∨ (q ∧ r)
B. p ∧ (q ∨ r)
C. p ∨ (q → r)
D. p → (q ∨ r)
E. p ∧ (q → r)
4.
Aşağıdaki önermelerden hangisi tümgeçerlidir?
A. (p → q) ∧ q
B. ∼p → q
C. (p → q) ∨ q
D. p ∨ (q ∧ r) → (p ∨ q) ∧ r
E. (p ∧ q) → (~q → ~p)
5.
Aşağıdaki önermelerden hangisi tümgeçerli değildir?
A. (p ∧ q) ↔ q
B. ∼ (p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q)
C. ∼ (p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q)
D. p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
E. (p ∨ q) ∧ p
6.
Aşağıdaki önermelerden hangisi tümgeçersizdir?
A. (p ∨ q) ∧ [~(p ∨ q) ]
B. (p → q) ↔ (~p ∨ q)
C. (p → q) ∧ ~q
D. p → (~p → q)
E. ∼ (~p) ↔ p
7.
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) önermesinin eşdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?
A. p ⇒ q
B. ~p ⇒ ~q
C. p ⇔ q
D. (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)
E. (p → q) ∨ (q → p)
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
25
26
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
8.
(p ∨ q) ∧ r önermesinin eşdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?
A. p ∨ (q ∧ r)
B. (p ∧ q) ∨ r
C. (p → q) → r
D. (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
E. (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
9.
p, q, r, s, t gibi beş yalın önermenin doğruluk çizelgesinin birbirinin aynı olmayan kaç satırı vardır?
A. 24
B. 24 + 1
C. 25
D. 25 + 1
E. 52
10. ~(~p → (~q) ) önermesinin eşdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?
A. p → q
B. ~p ∧ q
C. ~p ∨ q
D. p ∧ ~q
E. p ∨ ~q
11.
p
q
p
~q
~p
~q
elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermenin eşdeğeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A. p ∧ (~q)
B. (p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q)
C. (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ ~q)
D. ~p ∨ q
E. p ∨ ~q
12. "Ateş olmayan yerden duman tütmez" önermesinin mantıksal gösterilişi
hangisidir?
A. ateş var ⇒ duman tüter
B. duman tüter ⇒ ateş var
C. ateş var ⇔ duman tüter
D. duman tütmez ⇒ ateş yok
E. Hiçbiri
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖNERMELER VE ÖNERME İŞLEMLERİ
13. a, b doğal sayılar olmak üzere, (a = b ) → (a ≤ b) önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?
A. a < b
B. a ≤ b
C. a = b
D. a ≥ b
E. a > b
14. p(x) : x bir öğrencidir; q(x) : x ailesine mektup yazar, açık önermeleri veriliyor. "Bazı öğrenciler ailesine mektup yazmaz" önermesinin simgesel yazılışı
aşağıdakilerden hangisidir?
A. ∃x, p(x) ∧ (~q(x))
B. ∃x, (~p(x)) ∧ q(x)
C. ∃x, p(x) ∨ q(x)
D. ∀x, p(x) ∧ q(x)
E. ∀x, p(x) ∧ (~q(x))
15. x bir gerçel sayı olmak üzere,
∀x, x2 + 2 > 0 ; ∃x, x2 + 3x - 4 < 0 ; ∃x, x2 = -1
önermelerin doğruluk değerleri aşağıdakilerden hangisidir?
A. D, D, D
B. D, D, Y
C. D, Y, D
D. Y, D, D
E. Y, D, Y
16. ( ∃x, x2 - 9 < 0 ) ∨ (∀x, x2 + 6x + 9 ≥ 0) önermesinin değili aşağıdakilerden
hangisidir?
A. ( ∀x, x2 - 9 ≥ 0 ) ∧ ( ∃x, x2 + 6x + 9 ≥ 0)
B. ( ∀x, x2 - 9 ≥ 0 ) ∨ ( ∃x, x2 + 6x + 9 ≥ 0)
C. ( ∀x, x2 - 9 < 0 ) ∧ ( ∃x, x2 + 6x + 9 < 0)
D. ( ∀x, x2 - 9 < 0 ) ∨ ( ∃x, x2 + 6x + 9 < 0)
E. ( ∀x, x2 - 9 ≥ 0 ) ∧ ( ∃x, x2 + 6x + 9 < 0)
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
27