FONKSİYONLAR – LİMİT ve SÜREKLİLİK

FONKSÝYONLAR – LÝMÝT ve SÜREKLÝLÝK
Fonksiyonlar
Konu Özeti
Fonksiyonun Tanýmý
Fonksiyon Grafiði
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A nın her bir ele-
f: A  B, y = f(x) fonksiyonu için
manını B de yalnız bir elemanla eşleyen f bağıntısına
f = 7(x, y): y = f(x) , x  A , y  B?
A dan B ye bir fonksiyon denir.
kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar küme-

f
f: A  B ya da A  B biçiminde gösterilir.
sine f fonksiyonunun grafiği denir.
Burada A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de
fonksiyonun değer kümesi denir.

y
y = f(x) fonksiyonu veril-
Tanım kümesindeki bir x elemanı, değer kümesinde-
y = f(x)
m
miştir. A  R ve B  R
e
dir. Şekle göre,
ki bir y elemanına f ile bağlı ise bu durum;
 [a, b] tanım kümesi
 [d, m] görüntü kümesi
 (b, m)  f olduğun-
(x, y)  f, f: x  y ya da f(x) = y biçiminde gösterilir.

Yandaki şekilde f: A  B,
A kümesinin bütün elemanlarının f ile B de eşlendiği
c
0
a
b
x
d
dan f(b) = m , f(0) = e , f(c) = d yazılır.
tüm değerlerin kümesine, A nın f altındaki görüntüsü
denir ve f(A) ile gösterilir.
f(A) = 7f(x): x  A? , f(A)  B
A
x
f
B
y
f(A)
görüntü
kümesi
fonksiyon grafiğidir. Paralel doğrular, grafiği birden
fazla noktada kesiyorsa fonksiyon grafiği değildir.
 Her fonksiyon bir bağıntıdır. Ancak her bağıntı
fonksiyon değildir. Fonksiyon özel bir bağıntıdır.
f(A)
Taným kümesi
Bir bağıntının grafiğinde y eksenine çizilen paralel
doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyor ise grafik
Bireysel Yetenek
kümesi f fonksiyonunun görüntü kümesidir.
Yandaki grafik
Deðer kümesi
3
 Fonksiyonun tanım
2
kümesi ve değer kü-
tısının fonksiyon olabilmesi için:
mesi reel sayılardır.
 f(1) = 3, f(0) = 2,
Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
y = f(x)
fonksiyonuna aittir.
Fonksiyon tanımına göre, A dan B ye bir f bağın-
I.
y
f: R  R , y = f(x)
–5
–3
1
0
x
–2
f(–3) = 0, f(–5) = –2 dir.
x  A için (x, y)  f olacak biçimde en az bir
y  B vardır.
Fonksiyon Çeþitleri
II. Tanım kümesindeki her elemanın yalnız bir görüntüsü olmalıdır. Yani tanım kümesindeki bir
1.
eleman değer kümesinde birden fazla elemanla
Bire Bir Fonksiyon
f: A  B fonksiyonu verilsin. A tanım kümesindeki
eşlenemez.
her farklı elemanın görüntüsü farklı ise bu tip fonksiyona
x  A için (x, y)  f ve (x, z)  f ise y = z dir.
bire bir fonksiyon denir.
3
Fonksiyonlar

2.
Konu Özeti
x1, x2  A için x1  x2  f(x1)  f(x2) ya da
Fonksiyon Sayýsý
f(x1)  f(x2)  x1  x2 olmalıdır.
s(A) = n ve s(B) = m olmak üzere,
Örten Fonksiyon
1.
A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı mn dir.
Değer kümesi ile görüntü kümesi eşit olan fonksi-
2.
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı:
yonlara örten fonksiyon denir.

f: A  B ye f örten  f(A) = B dir.
3.
Ýçine Fonksiyon
P(m, n) 
3.
A dan B ye tanımlanabilecek sabit fonksiyon sayısı:
s(B) = m dir.
Görüntü kümesi, değer kümesine eşit olmayan fonksiyonlara denir.

m!
dir.
(m  n)!
4.
A dan A ya tanımlanabilecek (A da) bire bir ve örten
fonksiyon sayısı: n! dir.
f: A  B ye y = f(x) ile tanımlı f fonksiyonu içine
fonksiyon olması için f(A)  B ve f(A)  B olmalıdır.
5.
A dan A ya tanımlanabilecek içine fonksiyonların sayısı: nn – n! dir.
4.
Birim (Özdeþ) Fonksiyon
6.
f: A  A fonksiyonu verilsin. Her elemanı kendisi ile
A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon olmayan bağıntı sayısı: 2m.n – mn dir.
eşleyen fonksiyona birim (özdeş) ya da etkisiz fonksiyon

: A  A ye (x) = x veya f(x) = x fonksiyonu birim
fonksiyondur.
5.
Sabit Fonksiyon
Bireysel Yetenek
denir. Genellikle  ile gösterilir.
Tanım kümesinin her elemanının görüntüsü aynı ve bir
reel sayıya eşit ise bu tür fonksiyonlara sabit fonksiyon de-
x  A için f(x) = c (c  R) ise f sabit fonksiyondur.

Bir sabit fonksiyonda c = 0 ise yani her elemanı sıfı-
f: A  B , f(x) = y fonksiyonu bire bir ve örten olsun.
f –1: B  A , f –1(y) = x fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir ve f –1 ile gösterilir.

nir. Sabit fonksiyonda f(A) görüntü kümesi bir elemanlıdır.

Bir Fonksiyonun Tersi
fonksiyon bire bir ve örten olmalıdır.
ra eşleyen fonksiyona sıfır fonksiyonu denir.

f: A  B , f(x) = y  f –1(y) = x

Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir.
f: A  B , x  A için f(x) = 0 oluyorsa f sıfır fonksi-
(f –1)–1 = f dir.
yonudur.



ax  b
a
b
f(x) 

sabit fonksiyon ise
dir.
cx  d
c
d
Bir fonksiyon ile tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.

ax 2  bx  c
a
b
c


sabit fonksiyon ise
f(x) 
2
d
e
f
dx  ex  f
Kuralı verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için, verilen eşitlikte x yalnız bırakılır. Daha sonra x yerine y
ve y yerine x yazılarak ters bulunmuş olur.

6.
Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için
Doðrusal Fonksiyon
Bir fonksiyonun tersini kısa yoldan aşağıdaki bağıntıları kullanarak bulabiliriz.
a, b  R , a  0 olmak üzere, f: R  R , f(x) = ax + b
şeklindeki birinci dereceden fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Bu fonksiyonların grafiği analitik düzlemde bir
doğru belirtir.
4
I.
f(x) = ax + b ise f 1(x) 
II.
f(x) 
x b
dır.
a
ax  b
dx  b
ise f 1(x) 
dır.
cx  d
cx  a
Fonksiyonlar
Konu Özeti

Fonksiyonlarda Bileþke Ýþlemi
Permütasyon fonksiyonların bileşkesi:
f: A  B , f(x) = y ve g: B  C , g(y) = z ise gof: A  C,
1 2 3 4
1 2 3 4
ve g  
f 
 2 4 1 2 
 4 2 1 3 




(gof)(x) = g •f(x)œ = z kuralı ile tanımlı fonksiyona f ile g nin
fonksiyonları verilsin. Buna göre,
bileşke fonksiyonu denir. Tanıma ait şemayı çizelim.
 1 2 3 4  1 2 3 4
fog  
o
 3 4 1 2   4 2 1 3 

 

A, B ve C boş olmayan kümeler olmak üzere,
A
f
g
B
x
y
C
 1 2 3 4
olur.

 2 4 3 1 


z
Fonksiyon Grafiðinin Okunmasý
gof
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde, grafik üzerindeki
her nokta fonksiyona ait olduğundan fonksiyonun denkle-
(gof)(x) = g •f(x)œ = g(y) = z dir.
mini sağlar. (a, b)  f ise f(a) = b olup a değeri x ekseni
üzerinde, b değeri y ekseni üzerindedir.
f –1(c) = d ise f(d) = c olduğundan y ekseninde c de-
Bileþke Ýþleminin Özellikleri
1.
ğerine karşılık, x ekseninde d değeri gelir.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği
yoktur. fog  gof tur.
I.
Birleşme özelliği vardır. (fog)oh = fo(goh) tır.
3.
Bileşke işleminin etkisiz elemanı (x) = x birim fonksiyonudur. fo = of = f dir.
4.
Bir fonksiyonla tersinin bileşkesi birim (etkisiz) fonksiyona eşittir.
fof –1
=
f –1of
=  dır.
5.
Bileşkenin tersi: (fog)–1 = g–1of –1 dir.
6.
fog = h ise f = hog–1 ve g = f –1oh tır.

3
Buna göre,
2
f(–1) = 1, f –1(3) = 1,
1
2
f(2) = –1, f(0) = 2 dir.
–1

(fof)(–1) = f •f(–1)œ = f(1) = 3 tür.
II.
Yandaki şekilde f(x)
ve g(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir.
Permütasyon Fonksiyonu
0
x
1
–1
y = f(x)
y
g(x)
3
2
Buna göre,
Boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlanan bire bir

f(2) tanımsızdır.
ve örten fonksiyonların her birine A da bir permütasyon fonk-

g(2) = 3, f(4) = –2,
siyonu denir. Örneğin A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı;
f –1(–2) = 4, g(1) = 2 dir.
f = 7(1, 5), (2, 3), (3, 1), (4, 2), (5, 4)?

fonksiyonu bir permütasyon fonksiyondur. Bu fonksiyon;
1 2 3 4 5
f  
 biçiminde gösterilir. Burada 1 in gö5 3 1 2 4
4
0
1
2
–2
x
3
f(x)
(fog)(2) = f •g(2)œ = f(3) = 0 dır.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Tanım: A  R ve f: A  B , y = f(x) fonksiyonu verilsin.
rüntüsü 5, 4 ün görüntüsü 2 dir. Yani; f(1) = 5, f(2) = 3,
 x1, x2  A için x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) oluyorsa,
f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 4 tür.

y
fonksiyonuna aittir.
Bireysel Yetenek
2.
Şekildeki grafik y = f(x)
f fonksiyonuna A aralığında artan fonksiyon denir.
 x1, x2  A için x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) oluyorsa,
Permütasyon fonksiyonunun tersi:
a b c d
 a b c d
1 
f  
 dir.
 ise f  
b d a c 
c a d b
f fonksiyonuna A aralığında azalan fonksiyon denir.
 x1, x2  A için x1 < x2 iken f(x1) = f(x2) oluyorsa,
f fonksiyonuna A aralığında sabit fonksiyon denir.
Yani f(a) = c olduğundan f –1(c) = a dır.
5
Fonksiyonlar
Konu Özeti
y
y
f(x1)
3.
Köklü fonksiyonların en geniş tanım kümesi:

f(x)  2n g(x) fonksiyonun en geniş tanım kümesi,
g(x)  0 koşulunu sağlayan x noktalar kümesidir.
f(x2)
f(x1)
a

x1
x2
b
x
f(x2)
a x1
x2
b
f, (a, b) aralýðýnda
f, (a, b) aralýðýnda
artan fonksiyondur.
azalan fonksiyondur.
f(x)  2n1 g(x)
fonksiyonu g(x) in tanımlı olduğu
tüm reel sayılarda tanımlıdır.
x
4.
f(x) = logh(x) •g(x)œ biçimindeki logaritma fonksiyonlarının en geniş tanım kümesi:
h(x) > 0 , h(x)  1 ve g(x) > 0 koşullarını sağlayan ortak noktalar kümesidir.
Tek ve Çift Fonksiyonlar
Özel Tanýmlý Fonksiyonlar
Tanım: f: [–a, a]  R , y = f(x) fonksiyonu verilsin.
1.
Parçalý Fonksiyonlar
 x  [–a, a] için f(–x) = – f(x) oluyorsa, f fonksiyoTanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla ta-
nuna tek fonksiyon denir.
nımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar denir.
 x  [–a, a] için f(–x) = f(x) oluyorsa, f fonksiyo-
g(x) , x  a
f: R  R , f(x)  
h(x) , x  a

Polinom şeklindeki tek fonksiyonlarda çift dereceli terimlerin katsayıları sıfırdır.

Polinom şeklindeki çift fonksiyonlarda tek dereceli terimlerin katsayıları sıfırdır.
Bireysel Yetenek
nuna çiftk fonksiyon denir.
fonksiyonu parçalı fonksiyondur. Burada alt aralıkların
uç noktası olan x = a noktasına fonksiyonun kritik noktası denir.

Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken, tanım aralığı-

Tek fonksiyonların grafikleri orjine göre simetriktir.
nın her alt aralığındaki farklı kuralla tanımlanmış fonk-

Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simet-
siyonların grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir.
riktir.

2.
tek veya çift fonksiyon olmayabilir.
 f(x) , f(x)  0
| f(x) |  
  f(x) , f(x)  0
Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi
1.
biçiminde tanımlanan y = |f(x)| fonksiyonuna mutlak
Polinom fonksiyonların en geniş tanım kümesi:
xn – 1 + ... + a x + a biçimindeki
P(x) = a xn + a
değer fonksiyonu denir. Mutlak değerin içini sıfır ya-
polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır.
siyonun kritik noktaları denir.
n
2.
Mutlak Deðer Fonksiyonu
Bir fonksiyon hem tek hem de çift olabileceği gibi,
n–1
1
pan yani f (x) = 0 şartını sağlayan x değerlerine fonk-
0

Rasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi:
f(x)
f(x) ve g(x) polinom fonksiyon olmak üzere, h(x) 
g(x)
fonksiyonu g(x) = 0 şartını sağlayan x değerlerinde
Mutlak değer fonksiyonunun grafiği:
y = |f(x)| in grafiği çizilirken önce y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilir. Daha sonra x ekseninin altında kalan kısmın x eksenine göre simetriği alınır. Dolayı-
tanımsızdır. O halde en geniş tanım kümesi,
sıyla fonksiyon kritik noktalarında kırılma ya da kıv-
R – 7x: g(x) = 0? dır.
rılma yapar. Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz.
6
Fonksiyonlar
Konu Özeti
y
2.
y
2
2
y=x –1
y = |x – 1|
1
–1
0
1
x
–1
0
x
1
f: R  R , f(x) = | ax – b | – | mx – n | , (m  a) fonksib
yonunun grafiği, mutlak değer içlerini sıfır yapan
a
n
ve
değerlerinde kırılma yapar. Bu değerlerden
m
küçük olanına x1 ve büyük olanına x2 diyelim. Grafik, aşağıdaki üç farklı durumlarda oluşabilir.
–1
–1
y
Mutlak değer içleri f(x) = ax + b biçiminde olan, iki
y
x1
mutlak değer toplamından oluşan fonksiyonların grafik-
0
x
x2
x1
0
x2
x
leri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur. İnceleyiniz.
1.
f: R  R,
y
Minimum ve maksimum
Maksimum deðeri vardýr.
deðer yoktur.
f(x) = | x – a| + | x – b| fonksiyonunun grafiği x = a ve x = b
y
|a – b|
de kırılma yapan ve minimum
değeri f(a) = f(b) = |a – b| olan
a
0
x
b
x1
0
2.
f: R  R,
Bireysel Yetenek
yandaki şekli çizer.
y
f(x) = | ax – b | + | mx – n |,
m  a grafiği, mutlak değer
n
b
içlerini sıfır yapan
ve
m
a
değerlerinde kırılma yapar.
f(x2)
f(x1)
0
Bu değerlerden küçük ola-
x1
x
Minimum deðeri vardýr.
O halde f(x) = | ax – b | – | mx – n | fonksiyonunun minimum veya maksimum değeri (varsa) kritik noktala-
x
x2
x2
rın birinde oluşur.
nına x1 ve büyük olanına x2 diyelim. Fonksiyonun
f(x1) ya da f(x2) de bir minimum değeri oluşur. Fonkf(x) = |ax – b| – |mx – n| biçimindeki fonksiyonların
siyonun grafiği yanda görüldüğü gibidir.
grafiklerini çizmek için, aşağıdaki aşamalar izlenmelidir.
Mutlak değer içleri f(x) = ax + b biçiminde olan, iki
mutlak değer farkından oluşan fonksiyonların grafikleri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur. İnceleyiniz.

Kritik noktalar ve görüntüleri bulunur.

Soldaki kritik noktanın solunda bir nokta seçilip bu
noktanın görüntüsü bulunur. Bu iki nokta birleştirilip
1.
f: R  R,
grafiğin sol kısmı çizilir.
y
f(x) = | x – a| – | x – b| fonk-
|a – b|
siyonunun grafiği x = a ve
a
x = b de kırılma yapar. Bu
0
b
x
İki kritik nokta birleştirilir.

Sağdaki kritik noktanın sağında bir nokta seçilip bu noktanın görüntüsü bulunur. Bu iki nokta birleştirilip grafiğin
noktaların birinde minimum
değer, diğerinde maksi-

sağ kısmı çizilir. Böylece grafik tamamlanmış olur.
–|a – b|
mum değer oluşur. Şekilde,
f(a) = –|a – b| (minimum değer)
f(b) = |b – a| = |a – b| (maksimum değer) dir.
7