Slayt 1

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMI
Normal Olasılık Dağılımı
• Akülerin dayanma süresi,
• araçların belli bir zamanda aldığı yol,
• bir koşuya katılanların bitirme süresi gibi sayılamayacak
kadar çok değer alabilen sürekli rassal değişkenlere ilişkin
«sürekli olasılık dağılımı» veya «olasılık yoğunluk
fonksiyonu» düzgün bir eğri yaklaşımıyla belirlenmektedir.
Ancak birçok uygulamalı bilim dalında gözlenen sürekli
rassal değişkenlerin büyük bir çoğunluğunun frekans
dağılımları yaklaşık olarak çan eğrisi görünümünde olup,
normal olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilen bir
fonksiyonla ifade edilmektedir ve en çok kullanılan
matematiksel model durumundadır.
1
Sürekli rassal değişken X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu:
f ( x) 
1
 2
e
 ( x   ) 2 / 2 2
-∞<x<+∞
Yapılan birçok araştırmada öğrenci seçme sınavı
puanlarının, zeka testi sonuçlarının, olgun yaştaki erkek ve
kadınların boy uzunluklarının ve ağırlıklarının, aynı cinsten
ağaç gövdelerinin çaplarının normal bölündükleri (dağılım
gösterdikleri) saptanmıştır.
2
3
Normal Dağılımda Olasılık Hesabı
Olasılık eğri altında
kalan alana eşittir!!!!
f(x )
d
P(c  x  d )   f ( x)dx  ?
c
c
ÖNEMLİ!!!
d
x

P(  x  ) 
 f ( x)dx  1

4
5
6
7
•Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal
dağılım ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur.
• Standart normal dağılımda ortalama 0, varyans ise
1 değerini alır.
8
Standart Normal Dağılım
Ortalaması sıfır ve standart sapması 1 olan normal dağılıma sahip bir
değişkenin dağılımına «standart normal dağılım» denir.
- Standart Normal dağılıma sahip değişkenler Z ile gösterilir.
Standart Normal Dağılıma Dönüşüm:
Sürekli değişken (x), aşağıdaki formül yardımıyla standart normal
değişkene (z) dönüştürülür.
z
x

z değeri, normal dağılımlı bir X değişkeninin aldığı bir özel x değerinin
kendi ortalaması µ'den uzaklığının standart sapma cinsinden ölçüsüdür.
  0 ve   1 olan olasılık yoğunluk fonksiyonu:
f ( z) 
1
2
e
z2 / 2
   z  
Olan normal dağılıma standart normal dağılım veya birim normal dağılım
9
adı verilir.
Standart Normal Şans Değişkeni
X~N(, )
x
z
Z ~ N ( 0 , 1)
2

f(x )
f(z )

1

x
0
z
•Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal dağılım ile ilgili olasılık
hesaplamaları yapılmış olur.
• Standart normal dağılımda ortalama 0, varyans ise 1 değerini alır.
10


1
2


e
z2 / 2
.dz  1
Eğrinin altında ve apsisin yukarısında
kalan alan 1’e yani %100’e eşittir.
z : Standart normal değişken olup z ~ N (0,1) şeklinde gösterilir.
11
P(-1 < z < 0) = 0.34134
P(0 < z < 1) = 0.34134
P(-2 < z < 0) =0.47725
P(0 < z < 2) = 0.47725
P(-3 < z < 0) = 0.49865
P(0 < z < 3) = 0.49865
P(-1 < z < +1) = P(-1 < z < 0) + P(0 < z < +1)
= 0.34134 + 0.34134 = 0.6827
P(-2 < z < +2) = 0.47725 + 0.47725 = 0.9545
P(-3 < z < +3) = 0.9973
Simetriklik özelliğinden dolayı 0’dan eşit uzaklıktaki z değerlerinin 0 ile
arasındaki kalan alanlarının değerleri birbirine eşittir.
12
Standart Normal (z) Dağılım Tablosu
z
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549
0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015
1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 13
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441
Z
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
.00
.4452
.4554
.4641
.4713
.4772
.4821
.4861
.4893
.4918
.4938
.4953
.4965
.4974
.4981
.4987
.4990
.4993
.4995
.4997
.4998
.01
.4463
.4564
.4649
.4719
.4778
.4826
.4864
.4896
.4920
.4940
.4955
.4966
.4975
.4982
.4987
.4991
.4993
.4995
.4997
.4998
.02
.4474
.4573
.4656
.4726
.4783
.4830
.4868
.4898
.4922
.4941
.4956
.4967
.4976
.4982
.4987
.4991
.4994
.4995
.4997
.4998
.03
.4484
.4582
.4664
.4732
.4788
.4834
.4871
.4901
.4925
.4943
.4957
.4968
.4977
.4983
.4988
.4991
.4994
.4996
.4997
.4998
.04
.4495
.4591
.4671
.4738
.4793
.4838
.4875
.4904
.4927
.4945
.4959
.4969
.4977
.4984
.4988
.4992
.4994
.4996
.4997
.4998
.05
.4505
.4599
.4678
.4744
.4798
.4842
.4878
.4906
.4929
.4946
.4960
.4970
.4978
.4984
.4989
.4992
.4994
.4996
.4997
.4998
.06
.4515
.4608
.4686
.4750
.4803
.4846
.4881
.4909
.4931
.4948
.4961
.4971
.4979
.4985
.4989
.4992
.4994
.4996
.4997
.4998
.07
.4525
.4616
.4693
.4756
.4808
.4850
.4884
.4911
.4932
.4949
.4962
.4972
.4979
.4985
.4989
.4992
.4995
.4996
.4997
.4998
.08
.4535
.4625
.4699
.4761
.4812
.4854
.4887
.4913
.4934
.4951
.4963
.4973
.4980
.4986
.4990
.4993
.4995
.4996
.4997
.4998
.09
.4545
.4633
.4706
.4767
.4817
.4857
.4890
.4916
.4936
.4952
.4964
.4974
.4981
.4986
.4990
.4993
.4995
.4997
.4998
.4998
14
15
16
Standart normal dağılım tablosundan P(0<z<0.12)=0.0478’dir.
17
18
19
20
21
22
Örnek:
dolduracak
23
24
25
Örnek: Ağırlığının
13  x  15 kg arasında bulunması gereken
bir mamül için imalat hattından tesadüfen seçilen bir örnek grup
üzerinde yapılan ölçmeler değerlendirilerek X  14.829kg
   0.583kg ise, ağırlığı limitler dışına çıkan mamül oranını
bulunuz.
z 
x

13  14.829
z1 
 3.137
0.583
15  14.829
z2 
 0.293
0.583
P(13  x  14.829)  P(3.137  Z  0)  0.4992
P(15  x  14.829)  P(0,293  Z  0)  0.1141
Ağırlığı alt limitin dışına çıkan mamül oranı:
0.5-0.1141=0.3859 ve 0.5-0.4992= 0.0008
Toplam ıskarta oranı
0.0008 + 0.3859 = 0.3867 = %38.67
26
27
28
29
• Örnek: Bir firma cam kavanozlar için teneke kapaklar imal
etmektedir. Çaplarının ortalaması 10 cm ve standart sapması
0,01 cm olan bu kapakların çaplarının normal dağıldığı kabul
ediliyor. İmal edilen kapaklardan çapları 10,02 ile 10,028 cm
arasında olanların oranı nedir?
• Çözüm:
X 1   10,02  10
Z1 

2

0,01
X 2   10,028  10
Z2 

 2,8

0,01
2,28

2
2,8
f ( z )d z 

0
2
f ( z )d z   f ( z )d z  0, 4974  0, 4773  0,0201
0
Yaklaşık olarak %2 dir.
• Örnek: Bir fabrikada üretilen cıvataların çaplarının
ortalaması 2 cm ve 0,1 cm standart sapma ile normal
dağılıma uymaktadır. Bu cıvataların çapı 1,8 ile 2,15 cm
dışına düşerse bozuk sayılmaktadır. Bu verilere göre
üretimin bozuk oranını bulunuz.
• Çözüm:
1,8  2  0,2

 2
0,1
0,1
2,15  2 0,15
Z2 

 1,5
0,1
0,1
Z1 
1, 5
1,5

0

1    f ( z )dz   1    f ( z )dz   f ( z )dz   1  0,4772  0,4332  0,0896
0
2

2

• Örnek: Bir sınavda alınan notlar 76 ortalama ve 15
standart sapma ile normal dağılıma uymaktadır.
Öğrencilerin %15’i AA, %10’u FF notu almıştır.
• a) AA alabilmek için en az notu (en yüksek %15’ e
giren en düşük notu)
• b) FF kalma notu olduğuna göre dersi geçebilmek
için gereken en az notu tahmin ediniz.
• Çözüm: AA notu notlar küçükten büyüğe
sıralandığında %85 ya da üzerinde not alanları
kapsamaktadır.
Dağılımın
yarım
alanı
ele
alındığında bu alan 0,35 ve ötesini kapsar. Standart
normal dağılımda 0,35 alanına karşılık gelen Z
değeri tablodan bulunur.
a)
0,5  0,15  0,35
0,35  Z  1,04
AA  76
AA  76
 1,04 
15
15
15,6  AA  76 AA  76  15,6
Z
0,35
AA  91,6 puan
b) 0,5-0,1=0,4 alanına karşılık gelen Z değeri -1,28
FF  76
FF  76
 1,28 
15
15
 19,2  FF  76  FF  56,8 puan
Z
0,4
-1,28
Ödev 1:
34
Ödev 2
35