5 olasılık

5
OLASILIK
5.1. Olasılık Tarihi
5.2. Temel Olasılık Kavramları
5.3. Deneysel Olasılık
5.4. Temel olasılık Teoremleri
5.5. Koşullu (Şartlı) Olasılık
5.6. Bayes Teoremi
5.7. Bağımsızlık:
5.8. Olasılık Fonksiyonları
5.8.1. Kesikli Rasgele Değişkenin Olasılık Dağılımı
5.8.2. Sürekli Rasgele Değişkenin Olasılık Dağılımı
5.9. Beklenen Değer (Expected Value)
5.10. Varyans
2
5.1 Olasılık Tarihi
Şansa bağlı olaylar 17. yüzyıldan bu yana yoğun olarak incelenmektedir. Ünlü
fizikçi Galile fiziksel büyüklüklerin ölçüm hatalarını incelemiş ve bu hataların şansa
bağlı olduğunu varsayarak hatalrın olasılığını hesaplamıştır. Aynı yüzyılda sigorta
hesapları yapılmaya başlanmış ve doğal olayların kanunları oluşturulmaya çalışılırken
şansa bağlı olayların analizi için olasılık hesaplamalarına başvurulmuştur. Bu amaçla
şansa bağlı olayların anlaşılması basit modelleri kurulurken şans oyunlarından
yararlanılmıştır.
Modern olasılık teoroso 1650 lerde Pascal, Fermat, ve Huuygens in
çalışmaları ile oluşmaya başlamıştır. Bu çalışmalar oyun teoroso, olasılık kavramları ve
beklenen değer gibi kavramların doğmasına sebep olmuştur. 16. yüzyılın sonlarına
doğru Bernoulli büyükm sayılar kanunu ele almıştış ve ispatlamıştır. 17. yüzyılın
başlarında De Moivre normal veya Gauss teoremini bulmuştur. 17. yüzyılın
ortalarından itibaren Laplace ve 18 yüzyılın başlarında Gauss ve Poisson’un olasılık
teorisine çok katkıları olmuştur. Laplace merkezi limit teoremini ispatlamış. Gauss
normal kanunu daha ciddi olarak ele almış ve en küçük kareler yöntemini geliştirmiştir.
18. yüzyıl ve 19. yüzyılın başları olasılık teorisinin en yoğun geliştiği dönem olmuştur.
Bu dönemde olasılık teorisi birçok alanda uygulanmaya başlanmıştır. 19. yüzyılda
Tchebyhheff ve Markov olasılık teorisine daha modern bir anlam getiren çalışmalarda
bulundu, 20 yüzyılda ise Kolmogorov, Fisheri Nevmann ve Cramer bu alanda büyük
katkı sağlamış bilim adamlarıdır.
5.2. Temel Olasılık Kavramları
Günlük hayatta olasılık, gelecekteki bir olay için bireylerin umutlarının,
beklentilerinin bir ölçüsüdür. Bu tanıma göre bir olayın ortaya çıkma olasılığını farklı
bireylerin değişik umutları olduğu varsayımından genelleştirmek mümkün değildir.
Bundan ötürü bu tanım bilimsel bir temel oluşturmaz. Bir olayın gerçekleşme olasılığı,
olayın gerçekleşmesi için uygun hallerin tüm olanaklı hallerine oranıdır.
Fiziksel ve sosyal bir olgunun kesin olarak belirlenmesi olanaksız da olsa, bu tür
olgular yeterince gözlendiklerinde belirli bir düzenleri oldukları saptanabilir. Bu
düzenin matematiksel ifadesini elde etmek, olguların gerçekleşmesine ilişkin
yargılarımızı, önermelerimizi sayılaştırmak olasılık teorisinin sunduğu araçlarla
olanaklıdır. Basitçe ifade edersek olasılık, rastlantısal bir olguya ilişkin bir önermenin
3
kesine yada olanaksıza ne kadar yakın olduğunu gösteren bir sayıdır. ‘’0’’ olanaksızı ‘’1’’
ise kesinleşmeyi simgeler. Olasılık, objektif yöntemlerle ve/veya sübjektif süreçte
hesaplanabilir.
Bir olayın sübjektif olasılığı, daha önceki iki tanım da olduğu gibi yalnızca
objektif yöntemlerle değil, sübjektif yargılarının da hesaba katıldığı ve söz konusu
olayın geçerliliğine ya da olabilirliğine ilişkin verilen ve veren kişinin olayın
gerçekleşmesine ilişkin kişisel güveninin derecesini gösteren [0, 1] aralığında reel bir
sayıdır. Sübjektif tanım, piyasaya ilk kez sürülecek olan bir ürünün % 25’ lik Pazar payı
alması, 2015 yılında bir meteorun dünyaya çarpması ya da 20 yıl içerisinde Kuzey
anadolu fay hattı üzerinde merkez üssü İstanbul’ un güneyi ve 7 büyüklüğünde bir
deprem olması gibi gelecekte gerçekleşecek olayların olasılığını hesaplamada
kullanılabilir. Olasılıklar tayin edilirken objektif veri
ve
veya sübjektif yargıya
başvurulur. Örneğin bir ürünün Pazar payı için olasılık hesaplarken, gelecekteki
müşteri beklentileri gibi sübjektif verilerin yanı sıra geçmişteki benzer ve rakip ürün
gruplarının Pazar payları gibi objektif veriler birleştirerek olasılıklar tayin edebilirler.
Ancak başvurdukları kriterlere, bilgi birikimlerine ve yeteneklerine göre farklı
hesaplama modelleri farklı olasılıklar verebilir, bu nedenle bu tanım sübjektif olasılık
kavramı ile ifade edilir.
Tanım : Bir olayın meydana gelme şansının sayısal değerine olasılık denir ve p ile
gösterilir. Olasılık
0  p 1
aralığında değerler alabilir. Kesin olaylarda %100 meydana gelme olasılığı 1’ dir.
Tanım : Verilen bir deneyin mümkün olan bütün sonuçlarının oluşturduğu kümeye
“örnek uzay” denir.
Tanım : Eğer bir olay s defa gerçekleşir ve f defa gerekleşmezse ve eğer örnek uzayı
s+f kadar olayların hepsi eşit şansa sahipse bu olaylardaki
başarının olasılığı p 
s
ve
s f
başarısızlık olasılığı q 
Bu tanımdan p  q 
f
olur.
s f
f
s

 1 elde edilir ve bu sonuç genellenebilir.
s f s f
4
Tanım : İster denemeden, ister doğrudan elde edilen verilere olay denir. Bu olaylar
birer örnek noktası olarak E i ( event ) ile gösterilirse;
Tek zar atılışında
1 gelmesi
E1
2 gelmesi
E2
.
6 gelmesi
E6
tek sayı gelmesi A , 4’ den küçük gelmesi B ile gösterilsin. E i ’ ler birer olaydır ve A
ve B ise birkaç olayın E i  birleşmesinden oluşur. Bu nedenle
E i : basit (elementer) olaylar
A,B: birleşik olaylar olarak adlandırılır.
Örnek: Bir basketbol müsabakasının sonucunda takımlar açısından 3 durum söz
konusudur: MağlubiyetM
GalibiyetG
BeraberlikB
S  M , G, B
Örnek :
Deney : Tek zar atılışı
Örnek Uzayı : S  1, 2,3, 4,5,6
Bir başka gösterim ise : S  E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 
E1  1
E3  3
E5  5
E2  2

E4  4 Basit olaylar

E6  6 
A Olayı: Tek zar atılışı deneyinin sonucunda tek sayı gelmesi
B Olayı: Tek zar atılışı deneyinin sonucunda 4’den küçük sayı gelmesi
A  E1 , E3 , E5   1,3,5 

 Birleşik Olaylar
B  E1 , E2 , E3   1, 2,3

Tanım : Bu olaylar nokta setlerini oluştururlar ve her basit olay E i  için bir nokta
vardır ve bunlar örnek noktası adını alırlar. Örnek noktalarının oluşturduğu sete(
uzaya ) örnek uzayı (S) denilir. Örnek uzayının gösterimi 3 biçimde olur:
5
1. Listeleme
Örnek: Deneme bir metal para ile yapılırsa;
S  Y , T  örnek uzayında iki nokta var.
S
2. Venn diyagramı
.E 1
.E 3
.E 6
B
.E 2
.E 4
E5
A
3. Ağaç diyagramı
Ağaç diyagramı çoğunlukla birden çok birlikte veya ardışık gerçekleşen
olayların gösteriminde daha yararlı olur.
Örnek: Deneme iki metal para ile yapılırsa;
S  Y , Y , Y , T ,, T , Y , T , T 
Y
YY
T
Y
YT
T
TT
Y
I
TY
T
Tanım : Boş küme  ile örnek uzay S’de birer olaydır.  olayına “olanaksız” olay, S
olayına da “kesin” olay denir.
6
Bir set içinde tüm eleman ya da olayların olasılıkları toplamı daima;
i)
 p E   1
ii)
0  pEi   1 dir.
i
ve
Örnek uzayı ( seti ) S ile gösterilirse;
S  E1 , E 2 ,..., E n 
n
 pE   pE   pE   ...  pE   1
i 1
i
1
2
n
dir.
Örnek: Deneme iki zar ile yapılırsa örnek uzayı
S   i, j  ; i, j  1, 2,...,6
S  1,1, 1,2, 1,3,..., 1,6, 2,1,...,..., 6,6 şeklinde oluşturulur.
Örnek: Çift zar atılışında üst yüzleri toplamının 6 gelmesi olasılığı
S   36 nokta var
p6  5

36
Bir metal para atılışında;
S  Y , T 
n=2
I.
II.
zar
zar
1
5
2
4
3
3
4
2
5
1
Örnek: “Y ve T gelmesi eşit olasılıklıdır” varsayımı altında, yani metal para hilesiz ise,
bu iki olayın sonucunun meydana gelme olasılıkları
p1  p 2  0,5 dir.
Örnek: İki metal para atılışında;
S  T , T , T , Y , Y , T Y , Y 
pT , T   1
4
p Y , T   1  1  1
4
4
2
7
Örnek: A,B,C gibi değişik ırktan üç at yarışıyor. A’nın kazanma olasılığı B’ninkinin 2
katı; B’ninki de C’ninkinin 2 katıdır. Her birinin P(A), P(B), P(C) şeklinde ifade edilen
kazanma olasılıklarını bulunuz.
P(C)=p diyelim. P(B)=2p ; P(A)=4p dir. Tüm olasılıklar toplamı 1
olacağından
p+2p+4p=1  p=1/7
P(A)=4/7
P(B)=2/7
P(C)=1/7
Tanım : Şansa Bağlılık
Aynı koşullar altında tekrarlandığında daima aynı sonucu vermeyen, bu
nedenle de deterministik( kesin ) olmayan deneylere şansa bağlı deney denir.
Tanım : Şans değişkeni:
Bir değişken ancak, tanım aralığındaki bir değeri belli bir olasılık değeri ile
alabildiğinde şansa bağlı bir değişkendir
Şans değişkeni =>
0<pi<1
xi
x1 x2 … x n => tanım aralığı (örnek uzayı)
=> pi
p1 p2
…
pn
=>∑pi=1
.3. Deneysel Olasılık
Tanım : Eğer n adet denemede başarı sayısı s ve lim n   iken başarının nispi
frekansı s/n belli bir limite ulaşırsa, bu değere (s/n) o denemenin başarı olasılığı
denir.
Olasılığın diğer bir saptanma yolu çok sayıda deneyler yapmakla da
mümkündür ve olayın sonuçları defalarca gözlemlenir. Bu şekilde elde edilen başarılı
olay sayısının toplam deney sayısına oranına deneysel olasılık denir. Şansa bağlı bir
deney aynı koşullar altında
f
i
keza tekrarlanırsa, bu deneyde ilgilenilen olaya ait
sonuç (sıklık) sayısı f a olsun. Deney sayısı yeterince tekrarlanırsa bu oranının belirli
bir değere vardığında durağanlaştığı görülür. İlgilenilen bu a olayının gerçekleşme
olasılığı
p(a) 
lim
n  
fa
n
f
i 1
i
biçiminde ifade edilir. Olasılık çoğu kez uzun dönem tekrarlı olay/deneme
sonuçlarından elde edilen nispi frekans olarak yorumlanır.
8
5.4. Temel olasılık Teoremleri
1)
px  ; x olayının olasılığı gerçek bir sayıdır.
2)
0  p  x  1
3) Arakesit : Örnek uzayında iki olayın birlikte gerçekleşmesi söz konusu ise iki
olayın oluşturduğu alt sete bu olayların arakesiti (intersection) denir ve E1 ve E 2
gibi iki olayın birleşimi E  E2 şeklinde gösterilir.
A  B , A ve B şeklinde okunur ve
A  B  ( x x  A  x  B) biçiminde gösterilir.
Genelleme : E i : i : 1, ... ,n değerleri için
n
Ei  E1  E2  ...  En  Ei ’ lerin hepsinde ortak olan noktaları ifade eder.
i 1
Tanım : Bir örnek uzayında tanımlanan olaylar birbirini engelleyebilecek nitelikte
olabilir. Birbirini engelleyen olaylar ( mutually exclusive ), aynı anda gerçekleşmesi
mümkün olmayan olaylardır. (ayrık olaylar: disjoint)
Birbirini engelleyen olaylar için kesişim:
A  B   ise
Ei  E j   dir.
p( A  B)  p A + pB 
4) Birleşim : Örnek uzayında iki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi söz konusu
ise iki olayın oluşturduğu alt sete bu olayların birleşimi( union ) denir ve E1 ve E 2
gibi iki olayın birleşimi E1  E 2 şeklinde gösterilir.
A  B , A ya da B şeklinde okunur ve
A  B  ( x x  A  x  B) biçiminde gösterilir.
Birbirini engelleyen olaylarda:
A ve B gibi iki olay birbirini engelliyorsa
Eğer P( A  B)  P( A).P( B) ilişkisi geçerli değildir.. Aksi halde iki olay birlikte
gerçekleşebilir.
9
p  A  B   p  A  p  B   p  A  B 
A  B  0 ise
A ve B birbirini engelliyorsa
A  B  
p A  B   0
p A  B   p A  pB olur
Birlikte gerçekleşebilen olaylarda:
A  B  a  k   b  k   k
A B  k
A B  a b  k
p  A  B   p  A  p  B   p  A  B 
Ancak p A  B   0 ise biribirini engelleyen iki olay söz konusudur ve
p  A  B   p  A  p  B  dir.
Eğer olaylar bağımlı ise yani A ve B birbirini engellemiyorsa
p A  B  p A  pB  p A  B
= p A  pB   p A. pB 
10
Örnek : Tek zar atılışında; çıkabilecek sonuçların kümesi örnek uzay olup
S  E1 , E 2 ,..., E6  dir. A ve B olayları aşağıdaki gibi oluşturulmuş olsun:
B= E 2 , E5 
A= E1 , E 2 , E 4 
A  B  E1 , E 2 , E 4 , E5 
S
A
ı
ı
1
2
*
B
ı
3
*
ı
4
1
5
ı
6
*
*
*
AB={2} intersection( arakesit )
Örnek: Bir sınıfta 10 erkek 20 kız öğrenci vardır. Kızların ve erkeklerin yarısı siyah
gözlüdür. Örnek olarak alınan bir öğrencinin “bir erkek veya siyah gözlü” olması
olasılığını hesaplayınız.
A=Öğrenci erkektir
B=Öğrenci siyah gözlüdür.
AB=Öğrenci erkek veya siyah gözlüdür.
10 1
15 1
 , P( B) 

30 3
30 2
5 1
P( A  B) 

30 6
P( A) 
1 1 1 4 2
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B )     
3 2 6 6 3
5)
 n
 n
p  E i    E i   pu   1
 i 1  i 1
Ei :
n
populasyon olasılığı 1’ dir.
i : 1, ... ,n
Ei  E1  E2  ...  En  Ei ’ lerin herhangi birinde yer alan noktaların
i 1
tümü
6)
p   0
7)
A  B ise p A  pB 
11
p( B)  p( A)  p( B  A)
p( B  A)  0 olduğundan
p( B)  p( A) ’dır.
Bağımsız üç olayın olasılığı
p A  B  C   p A  pB  pC 
Karşılıklı bağımlı üç olayın olasılığı
A B  d  g
AC  e  g
B C  f  g
A B C
 a  d  e  g   b  d  g  f   c   f  e  g   d  e  f  g
 a  b  c  d  g   e  g    f  g   g
 a  b  c   A  B    A  C   B  C    A  B  C 
12
p  A  B  C   p( A)  p( B)  p(C )
 p  A  B   p( A C )  p  B  C 
 p A B C
Genelleme : Yukarıda elde edilen bu sonuç 3’ den fazla olaylar için de genellenebilir.
P( A1  A2
n
 An )  P( Ai )
i 1
  P( Ai )   P( Ai  Aj )
i j
i
  P( Ai  Aj  A k ) 
i j k
8) p( A )  1  p( A)
A A  S

i j k m
P( Ai  Aj  A k  Am ) 
A A 
p( S )  1  p( A  A )
9) A-B veya A!B, A ile B nin farkı şeklinde okunur ve
A B  A  B  ( x x  A, x  B) biçiminde gösterilir.
A ve B iki olay olsun. Bu durumda
p( A  B)  p( A)  p( A  B)
 p( A  B )
A B
Diğer taraftan, A  ( A  B)  ( A  B) olduğundan
p( A)  p( A  B)  p( A  B) olur.
10) Değil Bağıntısı: Bir A olayının meydana gelme olasılığı p A , aynı olayın
meydana gelmeme olasılığı ise p A' ile gösterilirse; A' olayı, A olayının meydana
gelmemesi durumudur. Bu iki olay arasında şu ilişki mevcuttur.
p A  p A'  1
p A'  1  p A veya
p A  1  p A' dür.
13
Örnek: 50’ kişilik bir sınıftan 20 kız, 30 erkek öğrenci bulunmaktadır. Rastgele
oluşturulacak 5 kişilik bir çalışma grubu içerisinde, en az 1 tane kız öğrenci bulunması
olasılığı nedir?
Burada 50 kişilik sınıfta 5 kişilik bir alt set seçimi söz konusudur. 50 kişiden
 52 
 kadardır.
5 
beşerli olanaklı grup oluşturma sayısı 
50 öğrenci içerisinden
5 kişilik gruba hiç kız öğrenci girmemesi, 5
öğrencinin de erkek seçilmesi anlamına gelir ve bu durumunu içeren alt setler ise
 30 
  farklı şekilde gerçekleşşebilir.
5 
En az 1 kız öğrenci bulunma olasılığı
px  1  px  1  px  2  px  3  px  4  px  5 veya
 1  p x  0 
O halde
fi
f
 30 
 
5
p A'   
 50 
 
5 
dir.
temel olasılık teoreminden
i
dir ve
 30 
 
5
p A  1    olarak bulunur.
 50 
 
5 
A , A değil şeklinde okunur. A’nın S’ye göre tümleyenidir ve
A  ( x x  S , x  A) biçiminde gösterilir.
E, E olayının tamamlayıcısı olsunp

 
pE   1  p E dolayısıyla da p E  1  p  E  dir.
14
Çünkü;
S EE

pS   pE   p E  1
Bazı işlem özellikleri :
A B  B  A
A B  B  A
A  ( B  C )  ( A  B)  C
A  ( B  C)  ( A  B)  C
A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C)
A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C)
AA
A B  A B
De Morgan Kanunları
A B = A  B
A B = A  B
Eğer A1,A2,........An ikişer ikişer ayrık olaylar ise
p( A1  A2  ...........  An )  p( A1 )  p( A2 )  ..........  p( An )
Örnek: Bir bankada yapılan bir araştırmada her 5 kadın müşteriden 3’ünün (A), her 2
erkek müşteriden 1’inin (B) kredi işlemi için bankaya geldiği tespit edilmiştir. Her iki
olaya ilişkin P(A)=3/5 P(B)=1/2 P(A  B)=3/10 olasılıkları verildiğine göre
i) P(AUB)
iv) P( A  B )
ii) P(A ) , P(B )
v) P( A  B )
iii) P( A  B )
vi) P( B  A )
15
3 1 3
8
 
5 2 10 10
i) P(AUB)=P(A)+P(B)- P( A  B) = 
ii) P( A)  1  P( A)  1 
iii) A  B   A  B 
iv) P( A

v) P A

vi) P B
3 2

5 5
1
2
P( B )  1  P( B) 
P( A  B ) = P A B   1  P( A B)  1 
B )  P( A)  P( B )  P( A B ) 
8 1

10 5
2 1 1 7
  
5 2 5 10
3 3
3
B   P( A  B)  P( A)  P( A B)   
5 10 10
A   P( B  A)  P( B)  P( A B) 
A  B  A  B

1 3
2
 
2 10 10

P( A  B ) = P A B  1  P ( A B )  1 
3
7

10 10
Örnek: Üç kutu ve içindekiler aşağıdaki biçimde verilmiştir.
I. kutu 10 ampul 4’ü bozuk
II. kutu 6 ampul 1’i bozuk
III. kutu 8 ampul 3’ü bozuk
Kutulardan biri rastgele seçiliyor ve bu kutudan bir ampul alınıyor. Bu
ampulün bozuk olması olasılığı nedir?
Burada iki deneylik bir seri var:
i) üç kutudan birini seçmek
ii) seçilen kutudan bozuk ya da sağlam ampul çekmek
B
2/5
I
(1/3).(2/5)
3/5
1/3
S
1/3
II
1/3
1/6
5/6
III
3/8
5/8
B
(1/3).(1/6)
S
B
S
(1/3).(3/8)
113/360
16
Örnek: I. ve II. torbadaki topların sayısı aşağıdaki gibidir. Rastgele çekilen bir topun,
a.
S olması
b. B olması
c. M olması
d. S veya B olması
e. S veya B veya M olması olasılığı nedir?
a.
1 6 1 8
p  S   p  I  S    II  S   P( I ) P(S )  P( II ) P(S )  .  .
2 15 2 18
b.
1 5 1 4
pB   pI  B   II  B   .  .
2 15 2 18
c.
1 4 1 6
veya
pM   pI  M   II  M   .  .
2 15 2 18
p(M )  1   p(S )  p( B)
d.
pS  B  pI  S   II  S  I  B  II  B
1 6 1 8 1 5 1 4
veya
 .  .  .
2 15 2 18 2 15 2 18
= .
p(S  B)  1  p(M )
e.
pS  B  M   pS   pB  pM   1
17
5.5. Koşullu (Şartlı) Olasılık
S örnek uzayı içinde E herhangi bir olay olsun. (P(E)>0). E olayının
gerçekleştiği bilindikten sonra, ki bu durumda yeni örnek uzayı E’ye indirgenmiş olur
ve buna indirgenmiş örnek uzayı da denir, A olayının gerçekleşmesi olasılığı ya da bir
başka deyişle E olayı gerçekleşti ise A’nın koşullu olasılığı P(A/E) ile gösterilir.
P( E  A)  P( E ) P( A / E )
P( A / E ) 
P( A E )
P( E )
Örnek: İki zar birlikte atılıyor; toplam 6 gelmişse zarlardan birinin 2 gelmesi olasılığı
nedir?
E  toplam6  1,5, 2,4, 3,3, 4,2, 5,1
A  zarlardan biri 2  (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), 2,1, 2,3, (2,4), (2,5), (2,6)
A  E  2,4, 4,2
P( A / E ) 
P( A / E ) 
P( A E ) 2 / 36

P( E )
5 / 36
( A  E )' nin eleman sayisi
E ' nin eleman sayisi
Sonuçlar:
P( A  E)  P( A / E) P( E)
P( E  A)  P( E / A) P( A) da yazılabilir.
18
Tanım : Boole eşitsizliği A1 , A2 ,..., An bir S örnek uzayında olaylarsa
 n  n
P  Ai    P( Ai ) dir.
 i 1  i 1
Örnek: Bir okulun öğrencilerinin %25’i matematikten, %15’i kimyadan ve %10’u
hem matematikten hem kimyadan başarısızdır. Rassal olarak alınan 1 öğrencinin
i)Kimyadan zayıf ise, matematikten de zayıf olması
ii)Matematikten zayıf ise kimyadan da zayıf olması
iii)Kimyadan yada matematikten zayıf olması
olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayınız.
M=Matematikten zayıf öğrenciler K=Kimyadan zayıf öğrenciler.
i) P( M C ) 
P(C  M ) 0.10 2


P(C )
0.15 3
ii) P(C M ) 
P(C  M ) 0.10 2


P( M )
0.25 5
iii) P(M  C)  P(M )  P(C )  P(M  C )  0.25  0.15  0.10  0.30
Koşullu Olasılıkta Çarpım Kuralı
A olayının sonucu B’ yi ya da B olayının sonucu A’ yı etkilediği durumlar da
söz konusudur (birbirini engelliyorsa olmaz)
0



p A  B 
p  B / A 
p  A
p A  B   p A. pB / A
P( A1
A2
..........
An )  P( A1 ).P( A2 / A1 ).P( A3 / A1
P( An / A1
A2
A2 )
An1 )
Örnek: Bir kutuda 12 adet parça vardır. Bunların 4 tanesi arızalıdır. Kutudan 3 tane
parça arka arkaya (yerine konmadan) çekiliyor. Çekilen üç parçanın da sağlam olması
olasılığı nedir?
Birinci parçanın sağlam olması olasılığı: 8/12
Birinci sağlam kalmak koşuluyla ikincisinin sağlam olması olasılığı 7/11
19
İlk ikisi sağlam olmak koşuluyla üçüncüsünün de sağlam olma olasılığı 6/10
dur. Çarpım teorisine göre
P( I  II  III )  P( I ) P( II / I ) P( III / I  II )
8 7 6 14
. . 
12 11 10 55
p
Örnek : İçinde 40 tane standarda uygun, 10 tane ise standarda uygun olmayan parça
bulunan bir kutuda
a) İadeli
b) İadesiz örnekleme ile 2 parça alınıyor
A= 1. parça bozuk
B= 2. parça bozuk gösteriyor ise P(A) ve P(B) ne olur?
a)
P(A)=1/5=P(B)
b)
P(A)=1/5
ve
yani burada P( A / B) 
P( B / A) 
veya
P( B / E )  10 / 49
P(B/E)=9/49
P( A.B)
P( B)
P(B)>0
P( A.B)
P(A)>0 şeklinde yazılabilir ve buradan da
P( A)
P( AB)  P( A / B).P( B)
şeklinde de yazılabilir.
Örnek: Bir fabrikada bulunan 10 tane makinenin özellikleri aşağıdaki gibidir.
Marka A
B
Toplam
Yeni
4
3
7
Eski
2
1
3
Toplam 6
4
10
Makinelerden biri şansa bağlı olarak çekildiğinde
a)
Makinenin yeni olması
b)
Makinenin A makinesinden olma olasılığı
c)
Yeni A olma olasılığı
d) Makinenin yeni olduğu biliniyorsa bunun A makinesinden olma olasılığı nedir?
a) P(Y)=7/10
b) P(A)=6/10
c) P(AY)=4/10
d) P(A/Y)=P(AY)/P(Y)=4/7
şeklinde hesaplanır.
20
Örnek:
I. torbadan 1 top çekiliyor ve II. torbaya konuyor. II. torbadan çekilen topun beyaz
olması olasılığı nedir?
A: II. torbadan çekilen topun beyaz gelmesi
B: I. torbadan çekilen topun beyaz ve II. torbadan çekilen topun beyaz gelmesi
C: I. torbadan çekilen topun siyah ve II. torbadan çekilen topun beyaz gelmesi
B1 : I. torbadan çekilen topun beyaz gelmesi
C1 : I. torbadan çekilen topun siyah gelmesi
A=B+C
... (1)
B= B1 .A
... (2)
C= C1 .A
... (3)
p A  pB   pC 
pB C   0 B ve C birbirini engelleyen olaylar
 pB1  A  pC1  A
 pB1 . p A / B1   pC1 . p A / C1 
2
1 1 5
 .1  . 
3
3 2 6
21
veya diğer bir çözüm yolu olayların tümünü tanımlamakla mümkündür.
Bi : beyaz gelmesi
i: 1,2,3
S : siyah gelmesi
olaylar E i 
I. torbadan
II.torbadan
çekilen top
çekilen top
E1
olasılığı pE i 
1/3.1/2=1/6
B1
B1
2
B1
B3
1/6(*)
E3
B2
B2
1/6(*)
E4
B2
B3
1/6(*)
E5
S
B3
1/6(*)
E6
S
S
1/6
E
A: II. torbadan çekilen topun beyaz gelmesi
p A  5
6
Örnek: 1’den 10’a kadar numaralanmış kartlardan iki tane örnek seçiliyor. Toplamın
tek sayı olma olasılığını hesaplayınız.
i)İki kart beraber çekilmişse,
ii)Birinci çekilip yerine konmadan ikinci çekilmişse,
iii)Birinci çekilip yerine konulduktan sonra ikinci çekilmişse,
10 
  45 mümkün durum vardır. Toplamın tek olması için bir kartın numarası tek
2
i) 
ise ötekinin çift olması gerekir. 5 tane tek, 5 tane çift sayı olduğu için, toplamı tek olan
55 =25 tane sayı ikilisi vardır.
P=
25 5

45 9
ii)109=90 mümkün durum vardır, 55 =25 tane, ilki çift ikincisi tek 55 =25 tane de
ilki tek ikincisi çift olan sayı ikilisi vardır; yani uygun haller sayısı 25+25=50 dir ve
P=
50 5

90 9
iii)Çekileni tekrar koymak şartıyla arka arkaya çekilen 2 kart için 1010=100 değişik
durum vardır. ii) ci soruda olduğu gibi toplamı tek sayı veren ikililerin miktarı
25+25=50 dir ve
P=
50 1

100 2
22
Örnek:
a) Ardı arda çekilen (iadesiz) 3 topun M olması olasılığı
P( M1  M 2  M 3 )  P(M1 ).P(M 2 M1 ) P(M 3 M1  M 2 ) 
6 5 4
. .
15 14 13
b)İadeli çekiliş olursa koşul ortadan kalkar ,
P( M1  M 2  M 3 )  P( M1 ).P( M 2 ) P( M 3 ) 
6 6 6
. .
15 15 15
5.6. Bayes Teoremi
S örnek uzayının bir partisyonunu oluşturan E1,E2,...........En olaylarını göz
önüne alalım; Bu olaylar ikişer ikişer ayrıktır ve hepsinin bileşimi S kümesine eşittir.
Diğer herhangi bir olay A olsun.
AS
A   E1
E2
  E1
 E
1
Burada
Ei
 E2
A   
A
 P( A)  P( E1
............ En 
A
 E2
A kümeleri
A)  P( E2
A
A ..................
ikişer
ikişer
 En
A
aralarında
A)  ............  P( En
ayrıktır.
A)
Çarpım kuramını uygulayarak
P( Ei
A)  P( Ei ) P( A / Ei )
yerine koyduğumuzda
P( A)  P( E1 ) P( A / E1 )  P( E2 ) P( A / E2 )  ...  P( En ) P( A / En )
Öte yandan, Ei’nin A’ya göre şartlı olasılığı
P( Ei / A) 
P( Ei A)
P( Ei A)

P( A)
P( E1 ) P( A / E1 )  P( E2 ) P( A / E2 )  ...  P( En ) P( A / En )
23
P( Ei
P( Ei / A) 
A)  P( Ei ) P( A / Ei )
yerine koyduğumuzda
P( Ei A)
P( Ei ) P( A / Ei )

P( A)
P( E1 ) P( A / E1 )  P( E2 ) P( A / E2 )  ...  P( En ) P( A / En )
elde edilir. Buna Bayes Teoremi denir.
Tanım 14: Bayes Teoremi
Olayın sonuçları belli iken neden,sebep, kaynak bulmak için kullanılan
olasılıktır. Amaç A olayının olasılığını bulmak yerine bu A olayının meydana geldiği
örnek uzayının alt kümelerinden herhangi birine ait olasılığın hesaplanmasıdır. Örnek
uzayı parçalara ayrılmıştır ve A olayı bu uzayda tanımlanmıştır.
n
 Ei  E1  E2  E3 ..............  En  S (örnek uzayı)
i 1
ve P(Ei)>0 özelliklerini
taşıyan ayrık olayların olasılıkları;
P  E i / A 
P( A / Ei ) P( Ei )
n
 P( A / E ) P( E )
i 1
i
i
P(A)>0
şeklinde bulunur.
24
Örnek: Bir fabrikada üretilen mamüllerin %50’si A makinesinde, %30’u B
makinesinda, %20’si de C makinesinde üretilmektedir. Bu makinelerdeki üretimden
A’dakinin %3’ü , B dekinin %4’ü ve C dekinin %5’inin bozuk olduğu bilinmektedir.
a)
Bu mamullerden rastgele olarak alınan bir tanesinin bozuk olması olasılığını
hesaplayınız
b)
Rastgele olarak alınan mamülün bozuk çıktığını düşünürsek, bu mamülün A
makinesinden üretilmiş olması olasılığı nedir?
a) Bir mamülün bozuk olması olayına X dersek
P( X )  P( A) P( X / A)  P( B) P( X / B)  P(C) P( X / C)
 0.50.03  0.30.04  0.20.05  0.037
b)
P( A / X ) 

P( A) P( X / A)
P( A) P( X / A)  P( B) P( X / B)  P(C ) P( X / C )
 0.5 0.03  0.015  0.41
0.037
0.037
Örnek:Bir şirket yöneticisi kadrosuna çalışanlarından birinin atamasını yapacaktır. Bir
A kişisi başvurursa işi elde etme şansının ne kadar olduğunu merak etmektedir. A,
arkadaşı B başvurmazsa işi elde etme şansının 0,75 olduğunu, B başvurursa şansının
1/3 olduğunu düşünüyor. A arkadaşı B nin işe başvurma şansının 2/5 olduğunu
düşünmektedir. Bu durumda A nın yönetici kadrosuna atanma olasılığını bulunuz.
2 1 3 3
5 3 5 4
P(A nın atanması)= .  .  0,583 bulunur. Olaylar tanımlayarak
problemi çözelim:
C={A nın işe alınması}
D={B nin işe başvurması} olsun.
3
1
2
3
P(C / D)  , P(C / D)  , P( D)  , P.( D) 
4
3
5
5
olasılık
olduğundan
istenen
25
P(C )  P(C  D)  P(C  D)
 P( D).P(C / D)  P( D).P(C / D)
2 1 3 3 35
 .  . 
 0,583
5 3 5 4 60
Örnek: Bir fabrikada 3 ayrı makinede üretim yapılmaktadır. I. makine II. makinenin 2
katı, II. ve III. makinelerde ise eşit miktarda üretim yapılmaktadır. I. ve II makinenin
üretimlerinde 0.02, III. makinenin üretiminde ise 0.04’lük hatalı ürün elde
edilmektedir. Bu tezgahlardan bir günde üretilen parçalar toplanarak rassal bir seçim
yapıldığı zaman bu parçanın hatalı olduğu görülürse, bunun I. makinede üretilmiş olma
olasılığı nedir?
A: parçanın hatalı olması
E2: 2. makinede üretilmesi
E1: 1. makinede üretilmesi
E3: 3. makinede üretilmesi ,
şeklinde
gösterilirse.
P( E1 ) 
P( E1 / A) 

1
2
P( E 2 ) 
1
4
P( E3 ) 
1
4
P( A / E1 ) P( E1 )
P( A / E1 ) P( E1 )  P( A / E2 ) P( E2 )  P( A / E3 ) P( E3 )
 2
 0.4
0.02  1   0.02  1   0.04  1 
2
4
4
0.02 1
y., bozuk parçanın I. makinede üretilmiş olma olasılığı %40 ‘dır. Burada
kullanılan P(Ei) olasılıklarına deney öncesi (prior) olasılık ve P(Ei/A) olasılığına ise
deney sonrası (posterior) olasılık denir. Bayes teoreminde deney sonrası olasılık deney
önceki olasılıktan daha geçerlidir. Deneyler tekrarlanarak, her bir olay yeni tekrarda
deney sonrası olay, deney öncesi gibi kabul edilerek zincirleme olarak gerçek olasılığa
yaklaşılır.
Parça bozuk ise II.makineden gelme olasılığı?
P( E2 / A) 
P( A / E2 ) P( E2 )
0.02(1/ 4)

 P( A / Ei ) P( Ei ) 0.02(1/ 2)  0.02(1/ 4)  0.04(1/ 4)
i
26
Örnek: I. kutudan II. kutuya bir top konuyor. II kutudan 1 top çekiliyor.
a) Çekilen top sarı ise I.K çekilip II.K konan topun kırmızı olma olasılığı nedir?
4K
2K
3S
S
5S
I
II
P(IK.IIKK top kımızı/II KÇT sarı)=?
A=IIKÇT sarı
P( B1 ) 
B1=IKÇIIKK top kımızı
4
7
P ( B2 ) 
P( A / B1 ) 
P( B1 / A) 
5
8
P ( A / B2 ) 
B2= IKÇII KK top sarı
3
7
6
8
5 .4
P( A / B1 ) P( B1 )
10
8 7


P( A / B1 ) P( B1 )  P( A / B2 ) P( B2 ) 5 . 4  6 . 3
19
8 7 8 7
b) Çekilen top sarı ise I. K çekilip II. kutuya konan topun sarı olma olasılığı nedir?
P( B2 / A) 
6 .3
P( A / B2 ) P( B2 )
9
8 7


P( A / B1 ) P( B1 )  P( A / B2 ) P( B2 ) 5 . 4  6 . 3
19
8 7
8 7
 P( B2 / A)  P( B1 / A)  1
27
Örnek:
Honda
Ford
Fiat
girdiği yarış
20
15
15
kazandığı yarış
10
5
10
P(H/kazandı)=?
5.7. Bağımsızlık:
Sonuca ilişkin olasılığı diğer olayların sonucundan etkilenmeyen ve onları
etkilemeyen olaylar bağımsızdır.
Bir denemede bir olayın meydana gelmesi veya gelmemesi öbür denemedeki
olayların olasılığını etkilemediğinde veya onlardan etkilenmediğinde bu olaylar
bağımsız olaylardır.
Eğer bir B olayının meydana gelme olasılığı A olayının meydana gelmesinde
hiçbir etki yapmıyor ise B olayı ile A olayı bağımsız iki olaydır denir. Bir başka deyişle
B olayının olasılığı A şartı ile B’nin olasılığına eşitse yani P(B)=P(B/A) ise, B ile A
bağımsız iki olaydır.
P( B)  P( B / A) 
P( B  A)
 P( A  B)  P( A).P( B) dir.
P( A)
Yada P(A)=P(A/B)
Bu eşitlik , bağımsız iki olayın birlikte meydana gelme gelmesi olasılığının
herbirinin tek başına meydana gelmesi olasılıkları çarpımına eşit olduğunu ifade eder.
Tanım : Eğer P( A  B)  P( A).P( B) ise A ile B bağımsız iki olaydır. Aksi halde
iki olay bağımlıdır.
Örnek: Bir para üç defa atıldığında eş olasılıklı bir sonuçlar uzayı oluşmakta idi
S  YYY , YYT , YTY , TYY , TTY , TYT , YTT , TTT
Aşağıdaki olayları göz önüne alırsak:
A= ilk atış yazı
A  YYY , YYT , YTY , YTT 
B= ikinci atış yazı B  YYY , YYT , TYY , TYT 
C= ilk iki atış yazı C  YYY , YYT 
28
4 1

8 2
P( A) 
P( B) 
A  B  YYY , YYT 
4 1

8 2
P( A  B) 
A  C  YYY , YYT 
P( A  C ) 
2 1

8 4
B  C  YYY , YYT 
P( B  C ) 
2 1

8 4
P(C ) 
4 1

8 2
2 1

8 4
P( A  B) 
1
4
1 1 1
P( A).P( B)  .  
2 2 4
A
ve
B
P( A  C ) 
1
4
1 1 1
P( A).P(C )  .  
2 4 8
A
ve
C
P( B  C ) 
1
4
1 1 1
P( B).P(C )  .  
2 4 8
B
ve
C
bağımsız
bağımlı
bağımlı
Örnek: A’nın hedefi vurma olasılığı 1/4, B’nin hedefi vurma olasılığı 2/5 ise A ile
B’nin ateş etmesi halinde hedefin en az bir defa vurulması olasılığı nedir?
Hedefe isabet A ya da B tarafından olacaktır. O halde;
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
iki olay bağımsız olduğundan P( A  B)  P( A).P( B) olacağından
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A).P( B) olacaktır.

1 2 1 2 11
  . 
4 5 4 5 20
Not 1: A,B ve C gibi üç olay bağımsız ise
P( A  B  C)  P( A).P( B).P(C) dir.
Not 2 : A,B ve C gibi üç olay ikişer ikişer bağımsız iseler üçünün birden bağımsız
olması beklenemez.
29
Örnek:
A= Birinci atış yazı YY,YT
B= İkinci atış yazı
YY,TY
ikişer ikişer bağımsız.
P( A  B)  P( A).P( B)
C= Yalnız bir yazı YT,TY
P( A  B  C )  P( )  0
ancak üçü birden bağımsız değil
P( A).P( B).P(C ) 
1
8
Bağımsızlık kuralları:
Bir olaylar setinde A ve B gibi iki olay aşağıdaki koşullar sağlıyorsa bu
olaylar bağımsız olaylardır.
1)
p A  B   p A. pB 
2)
p A / B   p A
3)
pB / A  pB 
Örnek: Bir çift zar atılışında 1. zarın 1 ve her iki zarın üst yüzleri toplamının 7 gelmesi
olasılığı
A: birincinin 1 gelmesi
B: üst yüzleri toplamının 7 gelmesi
p  A  1  p  A / B 
6
p  B   1  p  B / A
6
1 1 1
p A  B   p A. pB   . 
6 6 36
İkiden fazla olayın bağımsızlığı söz konusu olursa aynı koşullar geçerlidir. n adet olay
için bir genellemeye gidilirse; örneğin bir deneme birbirinden bağımsız olarak n defa
tekrarlanırsa, başarı olasılığı her tekrar için p varsayıldığına göre
a) En az bir başarı
b)
k n başarı
c) n başarı sağlama olasılıkları
a)
A : en az bir başarı
A =0 başarıyı göstersin
Başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı q=1-p dir. Olayların bağımsızlığından dolayı, hiç
başarı sağlamama olasılığı
30

p A  1  p 
. 1  p .....1  p  1  p n

p  A  p A  1

p  A  1  p A
p A  1 1  p n
b)
n bağımsız denemede k tane başarı söz konusu ise n-k tane de başarısızlık söz
konusudur. O halde k başarı p olasılıkla ve n-k başarısızlık 1-p olasılıkla meydana
gelirken bu olaylar C n k değişik şekilde ortaya çıkar. O halde k başarının olasılığı
n
pk    . p k .1  p n  k olur.
k 
c)
n tane başarının olasılığı da
pn  p n  p. p. p..... p
Örnek
Lokantada bir grup şapkalı insan yemek yedikten sonra şapkalarını kendilerinin mi diye
bakmadan rastgele aldığında
a) hiç birinin kendi şapkasını almamış olma olasılığı nedir?
Kendi şapkasını alma olasılığı
kişinin kendi şapkasını almama olasılığı
1 kişinin 1/n
1 kişinin (n-1)/n
2.kişinin (1/n)(1/n)
2 kişinin ((n-1)/n)((n-1)/n)
…
…
n kişinin (1/n)n
n kişinin ((n-1)/n)n = (1 – 1/n)n
lim(n→∞) (1 - 1/n)n = e-1 dir.
b) en az birinin kendi şapkasını alma olsaılığı
1/n + 1/n2 + … + 1/nn = ∑i=1(1/ni) = Sn – 1 dir
çünkü, Sn = ∑i=0 1/(1
bağlantısını kullanarak
1- (1/e) dir.
- (1/n)) dir , veya a şıkkındaki cevapda değil
31
5.8. Olasılık Fonksiyonları
Tanım : Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer
olarak düşünülürse böyle bir değişkene rasgele değişken adı verilir.
Rasgele bir değişken ile onun alabileceği değerler simgesel olarak farklı
biçimde gösterilir. Değişken X gibi büyük harflerle, onun alabileceği değerler ise x
gibi küçük harflerle gösterilir. Rasgele değişkenler kesikli veya sürekli olabilmektedir.
5.8.1. Kesikli Olasılık Fonksiyonları
Tanım : Bir rasgele değişken yalnızca sayılabilir sayıda değerler alabiliyorsa kesikli
değişkendir.
Örneğin ;
 Bir galerinin herhangi bir ayda satmış olduğu otomobil sayısı
 Bir para üç defa atıldığında yazı gelme sayısı
 Bir ailenin çocuk sayısı
 Bir şirketin hesaplarında bulunan hata sayısı
 Bilgisayardaki riskli dosya sayısı
Tanım : Bir rasgele değişken belirli bir aralıktaki bütün değerleri alabiliyorsa süreklidir.
Örneğin;
 Bir ailenin yıllık geliri
 Bir kimyasal madde üretim partisinde kirlilik oranı
 Bir kişinin boy uzunluğu
 Bir şişe sodanın ağırlığı

Rasgele bir değişkenin olasılık dağılımı, alabileceği değerlere göre olasılıkların
32
Kesikli Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
X; x1,x2,........değerlerini alan kesikli bir şans değişkeni ise x’in olasılık yoğunluk
fonksiyonu:
 P( X  xi )
p ( x)  
0
X  xi i  1, 2,........

dd

Bu fonksiyon olasılığın herhangi bir noktadaki değerini verir. Diğer bir adı olasılık
yoğunluk fonksiyonudur.
Kesikli Olasılık Yoğunluk fonksiyonunun özellikleri::
i)
p ( x)  0
ii)
 p( x )  1
i
i
Kesikli Olasılık Dağılım Fonksiyonu
X, x1  x2  ... gibi sıralı x1 , x2, ... değerlerini alabilen kesikli rasgele değişken
olsun. F(x), X in dağılım fonksiyonu ise bu takdirde
f ( xi )  P( X  xi )  F ( xi )  F ( xi 1 ) dir.
Dağılım fonksiyonu F(x) ve yoğunluk fonksiyonu f(x) biri diğerinden elde
edilebilir.
f(x) biliniyorsa,
F ( x)  P( X  x1 )  P( X  x2 )  ...................  P( X  xk )   f ( xi )
F(x) biliniyorsa,
f ( x)  F ( xi )  lim F ( xi  h)
h0
33
Örnek : Tek zar atılışı için olasılık dağılım ve yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
F(x)
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
Örnek: çift zar atılışında üst yüzler arasındaki mutlak fark x değişkeni olsun.
X
0
1
2
3
4
5
p(x)
6/36
10/36
8/36
6/36
4/36
2/36
F(x)
6/36
16/36
24/36
30/36
34/36
36/36
f(x)
a
10/36
8/36
6/36
4/36
2/36
0
1
2
3
4
x
5
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
F(x)
36 /36
34 /36
30 /36
24 /36
16 /36
a
6/3 6
1
2
3
4
5
Olasılık Dağılım Fonksiyonu
x
34
p( X  2)  f ( X  2)  8 36 yada
 F ( X  2)  F ( X  1)
 24 36  16 36
 8 36
p(2  X  4)  f ( X  2)  f ( X  3)  f ( X  4)
 8 36  6 36  4 36
 18 36
yada
 F ( X  4)  F ( X  1)
 34 36  16 36
 18 36
P( X  4)  f (4)  4 / 36
P( X  4)  F (4)  34 / 36
5.8.2. Sürekli Olasılık Fonksiyonları
Sürekli Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Bazı uygulamalarda rasgele değişken bir aralıkta ya da birden çok aralıkta
her değeri alabilir. Sürekli rasgele değişkenlere karşılık getirilen olasılıklar
problemi, kesikli rasgele değişkenlerde olduğu gibi düşünülemez. Sürekli rasgele
değişken
için
tanımlanan
olasılık
yoğunluk
fonksiyonu,
kesikli
şans
değişkenlerdeki olasılık fonksiyonunun oynadığı rolün benzerini oynar.
X, (-,) aralığında tanımlanan sürekli rasgele değişken olsun. Aşağıdaki koşulları
sağlayan f(x) fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
denir.
1.
f ( x)  0,    x  

2.

f ( x)dx  1 (f(x) eğrisi altında kalan ve x-ekseni ile sınırlanan alan

1’e eşittir.)
35
x in c ile d arasında bulunma olasılığı;
f(x)
c
x
d

P (c  X  d ) 

f ( x)dx  f ( x) eğrisi, x-ekseni ve x=c, x=d doğruları ile

sınırlanan alandır.
Örnek: x sürekli bir şans değişkeni olsun ve bunun yoğunluk fonksiyonu şu
şekilde tanımlanmış olsun:
1
 x
f ( x)   2
0
0 x2
dh.
1.5
p(1  x  1.5) 
x in 1 ve 1.5 arasında bulunma olasılığı nedir?

1
1.5
1.5
1
1
f ( x)dx   xdx  x 2  0.3125
2
4 1
1
1
p( x  1)   f ( x)dx  0
1
Sürekli Olasılık Dağılım Fonksiyonu
Tanım aralığı reel sayılar ekseni, değişim aralığı [0,1] olan ve
   xi  
F ( xi )  P( x  xi )
eşitliğini sağlayan fonksiyona olasılık dağılım fonksiyonu denir. Dağılım
fonksiyonu artan(azalmayan) bir fonksiyondur.
X,f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli rasgele değişken olsun. X in
dağılım fonksiyonu
x
F ( x)  P( X  x) 


olarak tanımlanır.
f ( s)ds
36
F(x)
F(x)
x1
x2
x
x1
x2
x
X sürekli bir şans değişkeni ise, F(x) fonksiyonu da bütün x değerleri için
süreklidir.
a) F(x) azalmayan bir fonksiyondur. Yani x1  x2 ise F ( x1 )  F ( x2 ) dir.
b)
lim F ( x)  0 ve lim F ( x)  1
x 
x 
(Genellikle F(-)=0 ve F(+)=1
yazılır.)
ve a  b olmak üzere herhangi a ve b gerçel sayıları için x in a ile b arasında
bulunma olasılığı;
b
P(a  X  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx
a
dir.
X,f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli rasgele değişken olsun. X in
dağılım fonksiyonu
x
F ( x)  P( X  x) 

f ( s)ds

olarak tanımlanır.
F(x)
1
0
1
x
P(a  X  b)  F (b)  F (a) dir.
37
Sürekli X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve dağılım
fonksiyonu F olsun. Bu takdirde bütün x değerlerinde yoğunluk fonksiyonundan
dağılım fonksiyonuna geçiş :
x
F ( x) 

f ( x)dx

Dağılım fonksiyonundan yoğunluk fonksiyonuna geçiş:
f ( x) 
d
( F ( x))
dx
Örnek: Yukarıda verilen örnek için yoğunluk fonksiyonundan dağılım
fonksiyonuna ve dağılım fonksiyonundan yoğunluk fonksiyonuna geçişleri
gösteriniz.
d
d 1
1
1
( F ( x))  ( x 2 )  2. x  x  f ( x)
dx
dx 4
4
2
x

0
x
1
1
1
f ( x)dx   xdx  ( x 2  0)  x 2  F ( x)
2
4
4
0
Örnek:
Bir önceki örnekte yer alan x sürekli değişkenine ilişkin dağılım
fonksiyonu aşağıda verilmiştir.
1 2
 x
F ( x)   4
 0
0 x2
dh.
x in 1 ve 1.5 arasında bulunma
olasılığı nedir?
1
1
5
P(1  X  1.5)  F (1.5)  F (1)  (1.5) 2  (1) 2 
4
4
16
Görüldüğü gibi yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu sonuçları ilgili olasılık
için her zaman aynı sonucu verir.
38
Sürekli X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) ve dağılım
fonksiyonu F(x) olsun. Bu takdirde bütün x değerlerinde yoğunluk fonksiyonundan
dağılım fonksiyonuna geçiş
f(x) biliniyorsa
x
F ( x) 

f ( x)dx

Dağılım fonksiyonundan yoğunluk fonksiyonuna geçiş:
F(X) biliniyorsa
f ( x) 
d
( F ( x))
dx
şeklinde gerçekleştirilebilir.
Dağılış fonsiyonu kullanılarak olasılık hesaplama ise aşağıdaki gibi yapılır.
ve a  b olmak üzere herhangi a ve b gerçel sayıları için
P(a  X  b)  F (b)  F (a) dir.
X, x1  x2  ... gibi sıralı x1 , x2, ... değerlerini alabilen kesikli rasgele değişken
olsun. F(x), X in dağılım fonksiyonu ise bu takdirde f ( x1 )  F ( x1 ) ve
f ( xi )  P( X  xi )  F ( xi )  F ( xi 1 ) dir.
5.9. Beklenen Değer (Expected Value)
Aritmetik ortalamanın olasılık fonksiyonu üzerindeki değeridir. x şans
değişkeninin, olasılık dağılışı px  , beklenen değeri E x  olsun x bir değişken
olsun.
X kesikli şans değişkeninin beklenen değeri;
E x    x. px  şeklinde tanımlanır.
x
x sürekli şans değişkeninin beklenen değeri;
E ( x)   x. f ( x)dx
R
şeklinde tanımlanır.
39
Örnek: Bir tek zar atılışında x değişkeni zarın üst yüzündeki sayıları gösterirse,
x
1
2
3
4
5
6
P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
x. px 
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
E x    x. px   21  3,5
6
x
şeklinde elde edilir.
Yorumu: Değişkenin lim durumunda alacağı değeri gösterir.
n
Örnek: Belli bir oyun tekrar tekrar oynandığı zaman olanaklı n sayıda meydana

p

gelebilecek sonuçların olasılıkları p1 , p 2 ,..., p n 
i
i

 1 olsun ve karşılıklı

olarak sonuçlara ödenecek tutarlar G1 , G2 ,..., Gn ise bu oyunun beklenen değeri
veya oyunun sayısı  defa tekrarlandığında beklenen G i değeri;
n
E Gi   p1 .G1  p 2 .G 2  ...  p n .G n   p i .Gi dir.
i 1
Böyle bir oyuna örnek olması açısından; kazanma şansı 3/4 olan bir oyunda,
oyuncu kazandığında 1 lira alır ve kaybettiğinde 3 lira verirse,
Oyunun beklenen değeri;
EGi   p1 .G1  p 2 .G2
=
3
1
.1  . 3  0 lira
4
4
Gerçektende her oyuncu açısından adil bir bahis veya beklenen değeri 0 olarak
tanımlanabilir.
Beklenen değerin özellikleri:
c sabit sayı ve x şans değişkeni ise;
i)
Ec.x   c.Ex 
ii)
E c   c
iii)
Ec1 .x  c 2 .x   c1 .Ex  c 2 .Ex 
= c1  c 2 .E x 
40
iv)
Eğer x i ve x j birbirinden bağımsız ise
E ( xi .x j )  E xi .E x j 
i  j dir.
5.10. Varyans
X şans değişkeninin olasılık dağılışı p(x) ve X kesikli bir değişken ise, X
değişkeninin varyansı
Var(x) = E[(x-µ)2] = E[{x – E(x)}2] = E(x2) – [E(x)]2
Burada E(x) = Σ x P(x)
ve
E(x2) = Σ x2 P(x) dir.
x sürekli değişken ise x’in varyansı
var( x)   ( x   )2 f ( x)dx
E ( x 2 )   x 2 f ( x)dx
R
var( x)  E ( x 2 )  [ E ( x)]2
Örnek : Bir tek zar atılışında X değişkeni zarın üst yüzündeki sayıları
göstersin. X’in varyansı aşağıdaki gibi bulunur.
E( x2 ) 
x
1
2
3
4
5
6
x2
1
4
9
16
25
36
p ( x)
1/6 1/6 1/6 1/6
1/6
1/6
x 2 p ( x)
1/6 4/6 9/6 16/6 25/6 36/6
1 4 9 16 25 36 91
    

6 6 16 6 6
6
6
2
91  21 
Var ( x)      15.16  12.25  2.91
6 6
Varyansın Özellikleri :
c : bir sabit
(x ve y bağımsız ise)
Standart Sapma :
Varyansın kareköküdür.