ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
E n DE TERQUEM VE JOACHİMSTHAL TİPİNDEN TEOREMLER
Filiz ERTEM KAYA
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2010
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
E n DE TERQUEM VE JOACHİMSTHAL TİPİNDEN TEOREMLER
Filiz ERTEM KAYA
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU
Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde ileri bölümlerde gerekli olan kavramlar ve tanımlar verilmiştir.
Üçüncü bölümde 3-boyutlu Öklid uzayında Terquem ve Joachimsthal tipinden
teoremler verilmiştir.
Dördüncü bölümde yüzeyler arasındaki uzaklığın sabit olması durumunda küresel
eğrilik şeridleri için bir karakterizasyon incelenmiştir.
Beşinci bölümde küresel eğilim (helis) şeridinden bahsedilmiş ve Terquem ve
Joachimsthal teoremlerinden yararlanarak küresel helis şeridleri için bir karakterizasyon
verilmiştir.
Altıncı bölümde n-boyutlu Öklid uzayında yüksek mertebeden şerid eğrilikleri
incelenmiş ve n-boyutlu Öklid uzayında Terquem ve Joachimsthal tipinden teoremler
verilmiştir.
Son bölümde ise 3-boyutlu Öklid uzayında şeridin harmonik eğriliklerinden bahsedilmiş
ve bazı karakterizasyonlar verilmiştir.
Temmuz 2010, 82 sayfa
Anahtar Kelimeler : Şerid, Yüksek Mertebeden Şerid Eğrilikleri, Küresel Helis,
Küresel Eğilim (Helis) Şeridi, Terquem Teoremi, Joachimsthal Teoremi, Şeridin
Harmonik Eğriliği.
i
ABSTRACT
Ph. D. Thesis
TERQUEM AND JOACHIMSTHAL TYPE THEOREMS IN E n
Filiz ERTEM KAYA
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU
This thesis consists of seven chapters.
The first chapter is devoted to the introduction.
In the second chapter, concepts and definitions which are needed in the further chapters
are given.
In the third chapter, concepts of Terquem and Joachimsthal type theorems in 3dimensional Euclidean Space are given.
In the fourth chapter a characterization for spherical curvature strips have been
examined when the distance is constant.
In the fifth chapter spherical helix strip have been given and a characterization for
spherical helix have been examined by using Terquem and Joachimsthal theorems.
In the sixth chapter higher order curvature of strips have been examined and Terquem
and Joachimsthal types theorems in n-dimensional Euclidean Space are given.
In the last chapter harmonic curvatures of a strip and some characterizations of
harmonic curvatures of a strip in 3-dimensional Euclidean Space have been given.
July 2010, 82 pages
Key Words: Strip, Higher order Curvature of Strip, Spherical Helix, Spherical Helix
Strip, Terquem Theorem, Joachimsthal Theorem, Harmonic Curvature of Strip.
ii
TEŞEKKÜR
Bana araştırma olanağı sağlayan ve çalışmamın her safhasında yakın ilgi ve önerileri ile
beni yönlendiren danışman hocam, Sayın Prof.Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU
(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’na, yardımlarını benden esirgemeyen değerli
hocalarım Sayın Prof.Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)'ya,
Prof.Dr. Erdoğan ESİN (Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi)'e ve her zaman
destek olan, çalışmamın her safhasında yakın ilgi ve önerileriyle yardımlarını
esirgemeyen Sayın Doç.Dr. F. Nejat EKMEKCİ (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)'ye
teşekkürlerimi bir borç bilirim.
Her zaman maddi ve manevi olarak beni destekleyen, yardımlarını esirgemeyen,
sabreden aileme ve kızım Elif Sena KAYA'ya teşekkürlerimi sunarım.
Filiz ERTEM KAYA
Ankara, Temmuz 2010
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET .......................................................................................................................... ..i
ABSTRACT ............................................................................................................... ..ii
TEŞEKKÜR .............................................................................................................. ..iii
SİMGELER DİZİNİ ................................................................................................. ..vi
ŞEKİLLER DİZİNİ ................................................................................................... ...vii
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR ........................................................................................ 2
2.1 Eğriler Teorisi ....................................................................................................... 7
2.1.1 E 3 de eğrinin Frenet vektör alanları ............................................................... 11
2.1.2 Eğilim çizgileri .................................................................................................... 11
2.2 Şeridler Teorisi ...................................................................................................... 13
2.2.2 Şerid vektör alanları .......................................................................................... 13
2.2.3 Şeridin eğrilikleri .............................................................................................. 14
2.2.4 E 3 de bir eğrinin Frenet vektör alanları ile şerid vektör
alanları arasındaki bağıntılar ............................................................................ 15
2.2.4.1 Şeride ait { ξ ,η , ζ } birim vektör alanları ile bu şeridin eğrisine ait
{ t , n, b } Frenet birim vektör alanları arasındaki bağıntılar ......................... 15
2.2.4.2 Frenet vektör alanları cinsinden şerid vektör alanları Lie Grubu ............. 15
2.2.4.3 Şerid vektör alanları cinsinden Frenet vektör alanları ............................... 16
2.2.4.4 Bir Şeride ait a, b, c eğrilik fonksiyonları ile şerid eğrisinin κ ve τ
eğrilik fonksiyonları arasındaki bağıntılar ................................................... 17
3. E 3 DE JOACHIMSTHAL VE TERQUEM TEOREMLERİ ........................... ..19
3.1 E 3 de Joachimsthal Teoremi .............................................................................. ..19
3.2 E 3 de Terquem Teoremi ...................................................................................... ..23
4. KÜRESEL EĞRİLİK ŞERİDLERİ İÇİN BİR KARAKTERİZASYON ......... ..33
5. E 3 DE EĞİLİM (HELİS) ŞERİDLERİ VE KÜRESEL HELİS
iv
ŞERİDLERİ İÇİN BİR KARAKTERİZASYON .............................................. ...41
6. E n ( n > 3 ) DE JOACHIMSTHAL VE TERQUEM TEOREMLERİ ............…..51
6.1 Eğri-Hiperyüzey İkilisinin (Şeridin) Yüksek Mertebeden Eğrilikleri ..........…..51
6.2 E n de Hiperyüzeyler için Eğrilik Şeridi ..........................................................
54
6.3 E n de Hiperyüzeyler için Joachimsthal Teoremi ...........................................
55
6.4 E n de Hiperyüzeyler için Terquem Teoremi ..................................................
65
7. E 3 DE BİR ŞERİDİN HARMONİK EĞRİLİKLERİ .....................................
72
7.1 Birinci Eğrilik Olarak k n = −b Alınması Durumunda Şeridin
Harmonik Eğriliği ..............................................................................................
72
7.1.1 E 3 de birinci eğrilik olarak k n = −b alınması durumunda şeridin
harmonik eğriliği ile eğrinin harmonik eğriliği arasındaki bağıntı ............
72
7.2 Birinci Eğrilik Olarak k g = c Alınması Durumunda Şeridin Harmonik
Eğriliği
............................................................................................................…73
7.2.1 E 3 de birinci eğrilik k g = c olarak alınması durumunda şeridin
harmonik eğriliği ile eğrinin harmonik eğriliği arasındaki bağıntı ............. 73
7.3 E 3 de Total Eğriliğin Şerid Eğrilikleri Cinsinden İfadesi ..............................
74
KAYNAKLAR ........................................................................................................
78
ÖZGEÇMİŞ ..............................................................................................................
80
v
SİMGELERİN DİZİNİ
V
Reel vektör uzayı
boy V
V reel vektör uzayının boyutu
E3
3-boyutlu Öklid uzayı
En
n-boyutlu Öklid uzayı
⟨ ,⟩
Öklid iç çarpım işareti
α
Eğri
M
Yüzey
S2
Küre
t
Eğrinin teğet vektör alanı
n
Eğrinin normal vektör alanı
b
Eğrinin binormal vektör alanı
(α , M )
Şerid (Eğri-yüzey ikilisi)
ξ
Şeridin teğet vektör alanı
η
Şeridin binormal vektör alanı
ζ
M yüzeyinin normal vektör alanı
ε
Tanjant düzlem
ki
i-yinci eğrilik fonksiyonu
k i (s)
i-yinci eğrilik
Rn
n- boyutlu reel vektör uzayı
Vi
i-yinci Serret-Frenet vektör alanı
k1 ( s )
Eğrinin 1. eğriliği
k 2 ( s)
Eğrinin 2. eğriliği (burulması=torsiyon))
a
Şeridin burulma fonksiyonu
b
Şeridin normal eğrilik fonksiyonu
c
Şeridin geodezik eğrilik fonksiyonu
H
Eğrinin harmonik eğrilik fonksiyonu
H
Şeridin harmonik eğrilik fonksiyonu
vi
ŞEKİLLERİN DİZİNİ
Şekil 2.1 Kovaryant Türev ........................................................................................... 6
Şekil 2.2 E n de Eğri .................................................................................................. 7
Şekil 2.3 E 3 de Şerid ................................................................................................. 13
Şekil 2.4 Şerid Vektör Alanları ile Eğri Vektör Alanları ........................................... 15
Şekil 3.1 E 3 de (α , M 1 ) ve (α , M 2 ) Şeridleri ......................................................... 19
Şekil 3.2 E 3 de Farklı İki Yüzey M 1 ve M 2 ............................................................ 24
Şekil 4.1 E 3 de Bir Küre S 2 ve Herhangi Bir Yüzey M ........................................ 33
Şekil 5.1 Küresel Helis Üçlüsü .................................................................................. 43
Şekil 5.2 Küresel Helis üçlüsünün Düzlem Üzerine Dik İzdüşümü .......................... 43
Şekil 5.3 Küresel Helis ve Herhangi Bir M yüzeyi .................................................. 44
vii
1. GI·RI·Ş
Şerid tan¬m¬ Prof. Dr. H. Hilmi Hac¬saliho¼
glu taraf¬ndan ele al¬narak E n de bir
şeridin yüksek mertebeden e¼
grili¼
ginden bahsedilmiş, üç boyutlu ve n-boyutlu uzaylarda Terquem ve Joachimsthal tipinden teoremlerin ispatlar¬bu e¼
grilikler cinsinden
verilmiştir. Ayr¬ca E 3 de küresel e¼
grilik şeridleri için bir karakterizasyon verilmiştir.
Bu çal¬şmada ilk defa bir şeridin Harmonik e¼
grili¼
ginden bahsedilmiştir. Harmonik
e¼
grilikleri şerid e¼
grilikleri cinsinden ifade edilmiştir. Küresel e¼
gilim (helis) şeridleri
tan¬m¬n¬ vererek Terquem ve Joachimsthal teoremleri yard¬m¬yla küresel helis şeridleri ile ilgili önemli bir karakterizasyon verilmiştir.
1
2. TEMEL KAVRAMLAR
Tan¬m 2.1 X boş cümleden farkl¬bir cümle ve X in alt cümlelerinin bir koleksiyonu
olsun.
koleksiyonu, aşa¼
g¬daki önermeleri do¼
grularsa X üzerinde bir topoloji
ad¬n¬al¬r:
8
>
i:X; 2 ;
>
>
<
i:A1 ; A2 2 ) A1 \ A2 2
>
>
>
: iii:Ai 2 ; i 2 I; [ Ai 2
i2I
(Hac¬saliho¼
glu 2000a).
Tan¬m 2.2 Bir X cümlesi ve üzerindeki bir
topolojisinden oluşan (X, ) ikilisine
bir topolojik uzay denir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
Tan¬m 2.3 (X, ) bir topolojik uzay olsun. X in P ve Q gibi farkl¬ tüm noktalar¬için X de, s¬ras¬ile, P ve Q noktalar¬n¬içine alan AP ve AQ aç¬k alt cümleleri
AP \AQ =
olacak biçimde bulunabilirse X topolojik uzay¬na bir Hausdor¤ uzay¬
denir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
Tan¬m 2.4 M bir topolojik uzay olsun. M için aşa¼
g¬daki önermeler do¼
gru ise M
bir n-boyutlu topolojik manifold (veya k¬saca topolojik n-manifold) dur denir:
i. M bir Hausdor¤ uzay¬d¬r.
ii. M nin herbir aç¬k alt cümlesi E n e veya E n in bir aç¬k altcümlesine homeomorftur.
iii. M say¬labilir çoklukta aç¬k cümlelerle örtülebilir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
2
Tan¬m 2.5 M bir topolojik manifold olsun. P 2 M noktas¬n¬n M deki bir V
aç¬k komşulu¼
gu, E n in bir U aç¬k altcümlesine homeomorf olarak al¬nabilir. Bu
homeomor…zmi
:U !V
(2.1)
ile gösterelim. (U; ) ikilisine M nin P noktas¬ndaki bir haritas¬veya koordinat
komşulu¼
gu denir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
Tan¬m 2.6 M bir topolojik n-manifold ve M nin bir aç¬k örtüsü fU g olsun. U
aç¬k cümlelerinin,
indislerinin cümlesi A olmak üzere, fU g örtüsü için fU g j
n
yaz¬l¬r. E de U ya bir
2A
homeomor…zmi alt¬nda homeomorf olan aç¬k cümle U
olsun. Böylece ortaya ç¬kan (
; U ) haritalar¬n¬n
f(
; U )g
(2.2)
2A
koleksiyonuna bir atlas (= koordinat komşulu¼
gu sistemi) denir (Hac¬saliho¼
glu
2000a).
Tan¬m 2.7 n-boyutlu M topolojik manifoldunun C r s¬n¬f¬ndan bir atlas¬var ise M
ye C r s¬n¬f¬ndan diferensiyellenebilir manifold denir (Matsushima 1972).
Tan¬m 2.8 Bir
!
V p : C 1 (M; R) ! R
(2.3)
dönüşümü için
8
!
!
< i. !
V p ( f + g) = V p [f ] + V p [g]; 8 ;
!
!
: ii. !
V [f:g] = V [f ] g(P ) + f (P ) V [g]
p
p
2R
p
!
aksiyomlar¬sa¼
glan¬yorsa, V p fonksiyonuna M nin P noktas¬ndaki bir tanjant vek-
3
törü denir.
M manifoldunun bir P 2 M noktas¬ndaki tanjant vektörlerinin cümlesini
n! !
o
tan jant vektör
1
TM (P ) = V p j V p : C (M; R)
!
R
(2.4)
ile gösterelim. Bu cümlede toplama işlemini
: TM (P ) TM (P ) ! TM (P )
! !
!
!
( V p; W p)
! V p + W p : C 1 (M; R) ! R
(2.5)
!
!
!
!
( V p + W p )[f ] = V p [f ] + W p [f ]; 8f 2 C 1 (M; R)
(2.6)
olarak tan¬mlarsak (TM (P ); +) ikilisi bir Abel grubu olur. Ayr¬ca
TM (P ) ! TM (P )
!
!
( ; V p)
! V p : C 1 (M; R) ! R
: IR
!
!
( V p )[f ] = V p [f ] ; 8f 2 C 1 (M; R)
(2.7)
(2.8)
d¬ş işlemi de bu Abel grubunu R üzerinde bir vektör uzay¬yapar. Bu uzay
fTM (P ); ; R; +; :; g
(2.9)
sisteminden ibaret olup M nin P 2 M noktas¬ndaki tanjant uzay¬ad¬n¬ al¬r ve
k¬saca TM (P ) ile gösterilir (Kobayashi ve Nomizu 1963).
Tan¬m 2.9 (Vektör alan¬) M
E n bir dif.bilir manifold olsun. Bir
X:M
1:1
!
[ TM (P )
o•rten
p2M
(2.10)
operatörüne M üzerinde bir vektör alan¬ denir (Auslander 1963). M üzerinde
tan¬mlanan vektör alanlar¬cümlesi (M ) ile gösterilir. Bu cümle toplama ve skalarla
4
çarpma işlemlerine göre bir reel vektör uzay¬d¬r (Hac¬saliho¼
glu 2000b).
Tan¬m 2.10 (Adi türev) E n de t parametresine göre verilen bir e¼
gri boyunca bir
dY
dt
Y vektör alan¬n¬n adi anlamdaki türevi diye
ye denir.
dY
dt
ile Y nin parametresi
t olan bir e¼
griye göre kovaryant türevi ayn¬şey olup,
dY
=D Y
dt
dir (Boothby 1975), burada
(2.11)
ile e¼
grinin te¼
get vektör alan¬gösterilmektedir.
Tan¬m 2.11 (Yöne göre türev) E n üzerinde bir
C1
f : En ! R
(2.12)
reel dif.bilir fonksiyonu verilmiş olsun. X 2 (E n );
X=
n
X
i=1
vi
@
@xi
(2.13)
olmak üzere f nin X yönündeki türevi,
X [f ] =
n
X
@f
@xi
i=1
vi = hrf; Xi
(2.14)
şeklinde tan¬mlan¬r (Hicks 1974), burada rf , f nin gradientini göstermektedir.
r : C(E n ; R)
f
(E n )
!
! grad f = rf =
n
X
@f @
@xi @xi
(2.15)
i=1
dir (Hac¬saliho¼
glu 2000b).
E n üzerindeki bir C 1 vektör alan¬olan Y nin bir di¼
ger X vektör alan¬yönündeki
5
türevi, Y = (y1 ; y2 ; :::; yn ) olmak üzere,
DX Y = (X [y1 ] ; X [y2 ] ; :::; X [yn ]); yi 2 C(E n ; R)
(2.16)
olarak tan¬mlan¬r (O’Neill 1983).
Tan¬m 2.12 E n de bir manifold M ve M üzerinde bir vektör alan¬Y olsun. Y nin
M üzerindeki bir
e¼
grisi boyunca kovaryant türevi;
n¬n h¬z vektör alan¬ olmak
üzere,
0
(
dY
)=D Y
dt
(2.17)
şeklinde tan¬mlan¬r (Boothby 1975). Burada D ile M deki koneksiyon, D ile E n
deki koneksiyon gösterilmektedir (Şekil 2.1).
Şekil 2.1 M üzerinde bir vektör alan¬Y nin
e¼
grisi boyunca kovaryant türevi
Teorem 2.1 M bir n-manifold olsun. Bu durumda
boy TM (P ) = boy M
dir (Hac¬saliho¼
glu 1980).
6
(2.18)
2.1 E¼
griler Teorisi
Tan¬m 2.1.1 I, R nin bir aç¬k aral¬g¼¬ olmak üzere
s¬n¬f¬ndan bir
: I ! E n biçiminde C 1
dönüşümüne, E n uzay¬içinde bir e¼
gri denir (Sabuncuo¼
glu 2004).
n
Şekil 2.2 E de e¼
gri
Tan¬m 2.1.2 M bir C 1 manifold ve I
R bir aç¬k aral¬k olsun.
:I!M
dönüşümü dif.bilir ise
En
(2.19)
ya M üzerinde dif.bilir bir e¼
gri denir (Matsushima 1972).
Biz bu çal¬şmada hep bu cins e¼
grilerden söz edece¼
gimiz için dif.bilir e¼
gri yerine k¬saca
e¼
gri diyece¼
giz.
Tan¬m 2.1.3 M
E n e¼
grisi (I; ) kooordinat komşulu¼
gu ile verilsin. s 2 I ya
karş¬l¬k gelen (s) noktas¬ndaki Frenet r-ayakl¬s¬
fV1 (s); V2 (s); :::; Vr (s)g
(2.20)
olsun. Buna göre
ki : I ! R
(2.21)
s ! ki (s) = hVi (s); Vi+1 (s)i
şeklinde tan¬ml¬ki fonksiyonuna M e¼
grisinin i-yinci e¼
grilik fonksiyonu ve s 2 I
7
için ki (s) reel say¬s¬na da
(s) noktas¬nda M nin i-yinci e¼
grili¼
gi denir (Hac¬sa-
liho¼
glu 2000a). Frenet vektörlerinin
e¼
grisi boyunca türevleri ile e¼
grilikleri aras¬n-
daki ilgi aşa¼
g¬daki teorem ile verilmiştir.
E n e¼
grisi (I; ) komşulu¼
gu ile verilsin. s 2 I yay parametresi
Teorem 2.1.1 M
olmak üzere (s) noktas¬nda i-yinci e¼
grilik ki (s) Frenet r-ayakl¬s¬
fV1 (s); V2 (s); :::; Vr (s)g
ise
8
>
i: V1 (s) = k1 (s)V2 (s)
>
>
<
ii: Vi (s) =
ki 1 (s)Vi 1 (s) + ki (s)Vi+1 (s); : : : 1hihr;
>
>
>
:
iii: Vr (s) =
kr 1 (s)Vr 1 (s)
(2.22)
dir (Gluck 1966).
fV1 (s); V2 (s); :::; Vr (s)g Frenet r-ayakl¬s¬n¬n Vi (s) Frenet vektörlerinin e¼
gri boyunca
kovaryant türevleri ile ilgili eşitlikler matrislerle
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
V1 (s)
V2 (s)
V3 (s)
..
.
Vr 2 (s)
Vr 1 (s)
Vr (s)
3
2
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
5 4
0
k1
0
0
0
0
0
k1
0
k2 0
0
0
0
0
..
.
k2
..
.
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
kr
0
0
0
0
0
kr
2
0
2
0
kr
32
kr
1
0
1
76
76
76
76
76
76
76
76
76
76
76
76
76
76
76
54
V1 (s)
3
7
7
V2 (s) 7
7
7
V3 (s) 7
7
..
7
7
.
7
7
Vr 2 (s) 7
7
7
Vr 1 (s) 7
5
Vr (s)
(2.1.5)
biçiminde yaz¬labilir. Bu formüllere Frenet formülleri denir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
8
n = 3 özel halinde (2.23) ifadesi
2
V1
3
2
6
7 6
6
7 6
6 V2 7 = 6
4
5 4
V3
0
k1
k1
0
0
k2
32
0
V1
3
76
7
76
7
k2 7 6 V2 7
54
5
0
V3
(2.23)
Bu halde 1-inci e¼
grilik olan k1 (s) de¼
geri sadece e¼
grilik ad¬yla ve 2-inci e¼
grilik olan
k2 (s) de¼
geri de burulma (torsiyon) ad¬yla bilinir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
E 3 deki M e¼
grisinin Frenet vektörleri V1 = t, V2 = n, V3 = b ile gösterilirse k1 =
ve k2 =
olmak üzere, Frenet formülleri,
2
t
3
2
0
0
6 7 6
6 7 6
6 n 7=6
4 5 4
b
0
0
32
t
3
76 7
76 7
76 n 7
54 5
0
b
(2.24)
veya
t =
(2.25)
n
n =
t+ b
b =
n
olarak da yaz¬lmaktad¬r.
Tan¬m 2.1.4 (E n de bir hiperyüzey) M bir C 1 (n
f : M ! En
1)-manifold olsun.
(2.26)
fonksiyonu bir immersiyon ise f (M ) = M manifolduna E n nin bir hiperyüzeyi
denir (Hicks 1974).
9
Tan¬m 2.1.5 (Weingarten dönüşümü) E n nin bir hiperyüzeyi M ve M nin birim
!
normal vektör alan¬ olsun. E n deki kovaryant türev D olmak üzere, 8X 2 (M )
için,
S(X) = DX
!
(2.27)
olarak tan¬mlanan,
S : (M ) ! (M )
(2.28)
lineer dönüşümüne M üzerinde şekil operatörü veya M nin Weingarten dönüşümü
denir (Hicks 1974). Böylece tan¬mlanan S dönüşümü self adjointtir (Hicks 1974).
Tan¬m 2.1.6 (Gauss denklemi) E n de bir hiperyüzey M ve M nin şekil operatörü
S olsun. E n deki kovaryant türev D olmak üzere 8X; Y 2 (M ) için,
DX Y = DX Y + hS(X); Y i
(2.29)
şeklinde tan¬ml¬D operatörüne M üzerinde Gauss anlam¬nda kovaryant türev
operatörü denir ve (30) denklemine de Gauss denklemi denir (Hicks 1974).
Tan¬m 2.1.7 E n nin bir hiperyüzeyi M olsun. p 2 M noktas¬nda M nin şekil
operatörü S olmak üzere,
S = In
1
(2.30)
ise p noktas¬na M nin bir umbilik noktas¬(çukur nokta) denir (Hicks 1974).
Tan¬m 2.1.8 (E¼
grilik çizgisi) E n nin bir hiperyüzeyi M ve M üzerinde tan¬ml¬şekil
operatörü S olsun. E¼
ger bir
:I
e¼
grisinin birim te¼
get vektör alan¬
!
R!M
(2.31)
için
!
!
S( p ) = kp p , 8p 2
10
(2.32)
ise
e¼
grisine M üzerinde bir e¼
grilik çizgisi denir (Hicks 1974).
2.1.1 E 3 de e¼
grinin Frenet vektör alanlar¬(Frenet 3-ayakl¬s¬)
n!
!o
!
3
E de birim h¬zl¬bir e¼
grisi için Frenet 3-ayakl¬s¬ t ; n ; b ve n¬n yay para-
metresi s olmak üzere,
!
t =
0
(2.33)
(s);
00
(s)
!
;
n =
00
k (s)k
!
! !
b = t
n
dir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
2.1.2 E¼
gilim çizgileri
Tan¬m 2.1.2.1 S
E n e¼
grisinin birim te¼
get vektör alan¬V1 ; sabit bir X 2 (E n )
birim vektör alan¬ ile sabit bir aç¬ yap¬yorsa, S ye bir e¼
gilim çizgisi veya genel
helis denir.
hV1 ; Xi = cos ' = sabit; ' 6=
2
(2.34)
dir. ' aç¬s¬na S nin e¼
gilim aç¬s¬ve Sp fXg uzay¬na da S nin e¼
gilim ekseni denir
(Hac¬saliho¼
glu 2000a).
Tan¬m 2.1.2.2 S
E 3 e¼
grisi (I; ) koordinat komşulu¼
gu ile verilsin. 8s 2 I ya
karş¬l¬k gelen (s) 2 S noktas¬nda da e¼
grinin 1. ve 2. e¼
grilikleri, s¬ras¬yla,
ve
ise,
H: I
!R
(2.35)
s ! H(s) =
şeklinde tan¬ml¬ H fonksiyonuna, S nin
(s) noktas¬ndaki 1. harmonik e¼
grili¼
gi
denir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
11
Teorem 2.1.2.3 S
M
E n e¼
grisinin Frenet n-ayakl¬ alan¬ fV1 ; V2 ; :::; Vn g
ve harmonik e¼
grilikleri de H1 ; H2 ; :::; Hn 2 olsun. O zaman, S; M de bir e¼
gilim
nP2
çizgisidir,
Hi2 =sabittir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
i=1
Tan¬m 2.1.2.4 (Yüksek mertebeden harmonik e¼
grilikler) : S
E n e¼
grisi (I; )
atlas¬ile verilsin. s 2 I yay-parametresi ve S nin yüksek mertebeden e¼
gilik fonksiyonlar¬da, s¬ras¬yla, k1 ; k2 ; :::; kn
1
olsun (kn
1
6= 0). S nin birim te¼
get vektör alan¬
V1 olmak üzere,
Hi =
8
>
>
>
<
Hi : I ! R
0; i = 0
k1
; i=1
k2
>
>
>
: V [H ] + H k g 1 ; 1 < i
1
i 1
i 2 i ki+1
n
9
>
>
>
=
>
>
>
2 ;
(2.36)
şeklinde tan¬ml¬Hi fonksiyonuna, S nin i-yinci mertebeden harmonik e¼
grilik
fonksiyonu denir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
12
2.2 Şeridler Teorisi
Tan¬m 2.2.1 E 3 de M bir yüzey, M üzerinde bir e¼
gri
olsun.
e¼
grisi üzerindeki
her noktada M nin bir yüzey elementi diye bu noktan¬n komşulu¼
gundaki tanjant
düzlem parças¬na denir. Bu yüzey elementlerinin
boyunca geometrik yerine de M
üzerinde bir şerid denir ve ( ; M ) ikilisi ile gösterilir.
Şekil 2.3 E 3 de Şerid (Hac¬saliho¼
glu1982)
2.2.2 E 3 de Şerid vektör alanlar¬(şerid üç ayakl¬s¬)
n!
!o
e¼
grisine ait Frenet vektör alanlar¬ t ; !
n ; b olmak üzere şeridin
n!
!o
te¼
get, binormal ve yüzeyin normal vektör alanlar¬
; !;
aşa¼
g¬daki gibidir:
M yüzeyinde bir
(Keleş 1982).
8
! !
>
>
t = ;
>
<
! !
= N (M yüzeyinin birim normal vektör alan¬),
>
>
>
: !=!
13
! ! !
e¼
grisi verilsin. (s) = t ( t = ) ve (s) noktas¬nda M yüzeyinin
!
!
!
birim normal vektör alan¬ ise ! j (s) =
j (s)
j (s) dir (Keleş 1982).
!
!
Böylece ! j (s) vektörü hem
j (s) ya hem de
j (s) ye diktir. Böylece elde edilen
n!
o
!
; !;
ortonormal vektör alanlar¬sistemine şeridin üç ayakl¬alan sistemi
M
E 3 de bir
denir (Keleş 1982).
2.2.3 Şeridin e¼
grilikleri
kn =
b (normal e¼
grilik) asimptotik e¼
grilik de denir.
kg = c (geodezik e¼
grilik)
tr = a (geodezik torsiyon = burulma)
olarak adland¬r¬l¬r (Keleş 1982).
Bir
e¼
grisinin şeridine ait şerid vektör alanlar¬
parametresine göre, türev denklemlerinden
2
6
6
6
4
3
2
7 6
7 6
7=6
5 4
0
c
c
b
32
76
76
a 76
54
0
0
b
n!
!o
; !;
n¬n,
a
3
7
7
7
5
e¼
grisinin s-yay
(2.37)
veya
=c
=
b
c +a
=b
(2.38)
a
yaz¬labilir (Keleş 1982).
Tan¬m 2.2.3.1 E 3 de bir ( ; M ) şeridi verilsin. Bu şeridin geodezik torsiyonu s¬f¬r,
yani a = 0 ise ( ; M ) ye bir e¼
grilik şeridi denir (Blaschke 1930).
14
2.2.4 E 3 de bir e¼
grinin Frenet vektör alanlar¬ ile şerid vektör alanlar¬
aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬lar
n!
!o
!
2.2.4.1 Şeride ait
; ;
birim vektör alanlar¬ile bu şeridin e¼
grisine
n!
o
!
ait t ; !
n ; b Frenet birim vektör alanlar¬aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬lar
Şekil 2.4 Şerid vektör alanlar¬ve e¼
gri vektör alanlar¬
!
!
Şekil 2.4 den görüldü¼
gü gibi !; ; !
n ; b vektörleri ayn¬düzlemdedir. Ayr¬ca,
D! !E
t;
=0
D! E
t ;!
n =0
D! !E
t; b =0
D! E
t ;! = 0
(2.39)
dir.
2.2.4.2 Frenet vektör alanlar¬cinsinden şerid vektör alanlar¬Lie Grubu
n!
n!
!o
!o
!
!
; ;
olmak üzere,
Frenet vektör alanlar¬ t ; n ; b ve şerid vektör alanlar¬
! ve !
n aras¬ndaki aç¬ ' olsun. Şerid vektör alanlar¬n¬n Frenet vektör alanlar¬
cinsinden ifadeleri aşa¼
g¬daki gibidir.
15
Şekil 2.4 yard¬m¬yla,
!
!
= t
! = cos ' !
n + cos( 2 + ')
!
n + cos '
= cos( 2 ') !
!
b
!
b
(2.40)
eşitliklerini düzenlersek,
!
!
= t
! = cos ' !
n sin '
!
= sin ' !
n + cos '
veya matrislerle,
buluruz.
2
!
3
2
1
0
6
7 6
6 ! 7 6
6
7 = 6 0 cos '
4
5 4
!
0 sin '
!
b
!
b
32
3
!
t
76
7
76 ! 7
7
6
sin '
n 7
54
5
!
cos '
b
0
(2.41)
(2.42)
2.2.4.3 Şerid vektör alanlar¬cinsinden Frenet vektör alanlar¬
Frenet vektör alanlar¬n¬n Şerid vektör alanlar¬ cinsinden ifadesi aşa¼
g¬daki gibidir.
Şekil 2.4 yard¬m¬yla,
! !
t =
!
!
n = cos ' ! + cos '( 2 ')
!
!
b = cos( + ') ! + cos '
(2.43)
2
eşitlikleri düzenlenirse,
! !
t =
!
!
n = cos ' ! + sin '
!
b =
sin ' ! + cos '
16
!
(2.44)
veya matrislerle,
buluruz.
3 2
!
t
1
7 6
6
6 ! 7 6
6 n 7=6 0
5 4
4
!
b
0
2
0
0
32
!
3
76
7
76 ! 7
7
cos ' sin ' 7 6
54
5
!
sin ' cos '
2.2.4.4 Bir Şeride ait a, b, c e¼
grilik fonksiyonlar¬ile şerid e¼
grisinin
(2.45)
ve
e¼
grilik fonksiyonlar¬aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬lar
Türev denklemlerinden
=c
ifadesinde,
(2.46)
b
!
!
= t
! = cos ' !
n sin '
!
= sin ' !
n + cos '
!
b
!
b
(2.47)
eşitliklerini yerlerine yazarsak ve
= !
n
(2.48)
eşitli¼
gi ile birbirine eşitlersek,
b =
sin '
c =
cos '
(2.49)
(Hac¬salio¼
glu 1982) eşitlikleri bulunur. Bu eşitliklerden de
2
dir (Keleş 1982). Bu ba¼
g¬nt¬ e¼
grinin
= b2 + c 2
(2.50)
e¼
grili¼
gi ile e¼
griye ait olan şeridin b normal
e¼
grili¼
gi ve c geodezik e¼
grili¼
gi aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬d¬r.
17
Benzer işlemler yap¬larak
=
a+
elde edilir (Keleş 1982). Bu ise e¼
grinin
b c bc
b2 + c 2
(2.51)
burulmas¬ ile şeridinin a, b, c e¼
grilikleri
aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬d¬r. Yine benzer işlemlerle,
a='+
(2.52)
bulunur. Burada ' aç¬s¬n¬n sabit olmas¬ durumunda ' = 0 d¬r. Buradan a =
bulunur. Bu aç¬n¬n sabit olmas¬durumunda, şeridin burulmas¬ile şeridin ait oldu¼
gu
e¼
grinin burulmas¬eşit olacak demektir.
18
3. E 3 DE JOACHI·MSTHAL VE TERQUEM TEOREMLERI·
3.1 E 3 de Joachimsthal Teoremi
Teorem 3.1.1
i. Ayn¬e¼
griden geçen farkl¬iki yüzey üzerinde yatan farkl¬iki e¼
grilik şeridi aras¬ndaki
aç¬sabittir.
ii. Bir e¼
grilik şeridi her noktas¬nda ayn¬bir
(sabit) aç¬s¬kadar döndürülürse yine
bir e¼
grilik şeridi elde edilir.
iii. Ayn¬e¼
griden geçen farkl¬iki yüzey üzerinde yatan farkl¬iki şerid aras¬ndaki aç¬
sabit ise şeridlerin geodezik burulmalar¬her noktada eşittir (Blaschke 1930).
Şekil 3.1 E 3 de ( ; M1 ) ve ( ; M2 ) şeridleri
I·spat E 3 de
e¼
grisi boyunca kesişen M1 ve M2 yüzeyleri verilmiş olsun. M1 ve
!
!
M2 nin birim normal vektör alanlar¬, s¬ras¬ile, 1 ve 2 olsun. Böylece elde edilen
19
( ; M1 ) ve ( ; M2 ) şeridlerinin türev denklemleri, s¬ras¬ile,
2
6
6
6
4
1
1
3
2
7 6
7 6
7=6
5 4
0
c1
c1
0
a1
a1
0
b1
b1
32
76
76
76
54
1
1
3
7
7
7
5
(3.1)
veya
= c1
1
=
1
ve
2
6
6
6
4
veya
2
2
3
2
7 6
7 6
7=6
5 4
= b1
a1
0
c2
c2
0
b2
2
1
32
76
76
a2 7 6
54
0
b2
a2
2
2
3
7
7
7
5
(3.3)
2
c 2 + a2
= b2
(3.2)
1
b2
a2
=
2
1
c 1 + a1
= c2
2
b1
1
2
(3.4)
2
olsun.
i.
e¼
grisinin s-yay parametresiyle verilmiş oldu¼
gunu kabul edelim. ( ; M1 ) ve
( ; M2 ) şeridleri, birer e¼
grilik şeridi oldu¼
gundan
a1 = a2 = 0
(3.5)
d¬r. Buna göre
1
= b1
(3.6)
2
= b2
(3.7)
ve
olur.
1
ve
2
birim normal vektör alanlar¬olduklar¬ndan
h 1;
2i
= cos
20
(3.8)
d¬r. Burada ;
1
ve
2
aras¬ndaki aç¬d¬r. (3.8) eşitli¼
ginin
e¼
grisi boyunca türevini
al¬rsak,
h 1;
2i
olur. (3.6) ve (3.7) ifadelerinden
hb1 ;
2i
0
1
+ h 1;
ve
0
2
2i
=
d(cos )
ds
(3.9)
de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa
+ h 1 ; b2 i =
d
sin
ds
(3.10)
olur. Şerid vektör alan sistemleri ortonormal olduklar¬ndan
d
sin = 0
ds
(3.11)
d
=0
ds
(3.12)
sin = 0
(3.13)
eşitli¼
gi elde edilir.
Bu eşiti¼
gin s¬f¬r olabilmesi için ya
veya
olmal¬d¬r. sin = 0 ise
= 0 veya
=
olur. Bu da ( ; M1 ) ve ( ; M2 ) şeridlerinin
çak¬ş¬k olmas¬demektir. Bu durumda dikkate almak gerekmez. O zaman
d
=0
ds
olmak zorundad¬r. Bu ise
= cte
(3.14)
olmas¬n¬gerektirir (Keleş 1982).
ii. ( ; M1 ) e¼
grilik şeridi ve sabit olsun. ( ; M1 ) şeridinin aç¬s¬kadar döndürülmesinden elde edilen şerid de ( ; M2 ) olsun. M1 ve M2 nin birim normal vektör alanlar¬
1
ve
2
olmak üzere
h 1;
2i
= cos
21
d¬r.
sabit oldu¼
gundan bu eşitli¼
gin
boyunca türevini al¬rsak,
h 1;
2i
+ h 1;
2i
=0
ve ( ; M1 ) e¼
grilik şeridi oldu¼
gundan
h 1;
2
i=0
(3.15)
eşitli¼
gi elde edilir. M1 in te¼
get düzlem tan¬m¬ndan dolay¬(3.15) ifadesi
2
2 TM1 ( (s))
(3.16)
olmas¬n¬gerektirir. Teorem 2.1 den
boy(TM1 ( (s)) \ TM2 ( (s))) = 1
(3.17)
olur. Bu ise arakesit uzay¬n¬n bir tek vektör taraf¬ndan gerildi¼
gini gösterir. Hem
! !
TM1 ( (s)) hem de TM2 ( (s)) uzaylar¬nda ortak olan vektör t =
dir. O halde,
2
yaz¬labilir. Bu ise
2
vektörünün
2
!
=
(3.18)
vektörü üzerindeki izdüşümünün s¬f¬r olmas¬
demektir, yani
a2 = 0
d¬r. Bu da ( ; M2 ) nin e¼
grilik şeridi olmas¬n¬gerektirir.
iii. ( ; M1 ) ve ( ; M2 ) şeridleri aras¬ndaki aç¬ ve
h 1;
eşitli¼
ginin iki taraf¬n¬n
2i
sabit olsun.
= cos
e¼
grisi boyunca türevini al¬rsak,
h 1;
2i
+ h 1;
22
2i
=0
olur. ( ; M1 ) ve ( ; M2 ) şeridlerinin türev denklemlerinden
1
ve
2
in de¼
gerleri
yerlerine yaz¬l¬rsa,
a1
a2
1; 2
2; 1
=0
(3.19)
olur.
1; 2
=
sin
(3.20)
ve
2; 1
= sin
(3.21)
olmas¬nedeniyle (3.19) ifadesinden
a1 = a2
(3.22)
oldu¼
gu kolayca görülür (Keleş 1982).
3.2 E 3 de Terquem Teoremi
Teorem 3.2.1 E 3 de farkl¬iki yüzey M1 ve M2 olsun. M1 de düzlemsel olmayan
bir e¼
gri
i.
ve
ve M2 de bir e¼
gri
olsun.
e¼
grilerinin noktalar¬M1 ve M2 üzerinde yuvarlanan bir " düzlemi ile 1:1
karş¬l¬k gelsinler, öyle ki, karş¬l¬k gelen noktalar aras¬ndaki uzakl¬k sabittir.
ii. ( ; M1 ) e¼
grilik şerididir.
iii.( ; M2 ) e¼
grilik şerididir.
I·ddia: Bu üç önermeden herhangi ikisi üçüncüsünü verir (Keleş 1982).
23
I·spat
Şekil 3.2 E 3 de farkl¬iki yüzey M1 ve M2 nin ortak bir te¼
get düzlemi (")
1) i, ii ) iii
i den (s1 ) sabit ve ii den de ( ; M1 ) e¼
grilik şerididir. Gösterece¼
giz ki ( ; M2 ) de
e¼
grilik şerididir, yani a2 = 0 d¬r:
e¼
grisinin yay parametresi s1 olmak üzere TM1 ( (s1 )) tanjant uzay¬n¬n ortonormal
n! o
!
bir baz¬ 1 ; !1 dir. (s1 ) = P ve (s1 ) = Q olmak üzere P Q vektörü yönündeki
birim vektör !
v (s ) olsun. O zaman,
1
!
!
v (s1 ) = cos ' 1 + sin ' !1
(3.23)
(s2 ) = (s1 ) + (s1 )!
v (s1 )
(3.24)
olur. Şekil 3.2 den,
dir. Burada s2 ile
e¼
grisinin yay parametresi gösterilmiştir. (3.24) eşitli¼
ginin her
24
iki taraf¬n¬n s1 e göre türevi al¬n¬rsa,
d ds2
d
d !
dv
=
+
v (s1 ) + (s1 )
ds2 ds1
ds1 ds1
ds1
(3.25)
olur. Bu ifadede (3.23) dan !
v (s1 ) in de¼
geri yerine yaz¬l¬r ve (s1 ) in sabit oldu¼
gu
düşünülürse,
!
2
ds1
=
ds2
(
!
)
!
!
!
d'
d 1
d'
d
1
sin ' 1 + cos '
+
cos ' !1 + sin '
)
1 + (s1 )(
ds1
ds1
ds1
ds1
(3.26)
eşitli¼
gi elde edilir.
ve
e¼
grileri boyunca M1 ve M2 nin te¼
get düzlemleri ortak yani, " oldu¼
gundan,
!
1 (s1 )
=
!
2 (s2 )
(3.27)
dir. (3.27) ifadesinin her iki taraf¬n¬n s1 e göre türevi al¬n¬rsa,
veya
!
!
d 2 ds2
d 1
=
ds2 ds1
ds1
!
= b1 1
(3.28)
!
d 2
ds1 !
=
b1
ds2
ds2 1
(3.29)
eşitli¼
gi bulunur. ( ; M2 ) nin türev denklemlerinden,
!
!
d 2
= b2 2
ds2
veya
a2 !2
(3.30)
* !
+
d 2 !
a2 =
;
ds2 2
(3.31)
25
elde edilir.
2
=
2
2
olmas¬nedeniyle de,
!
d 2 ! !
; ; )
a2 = det(
ds2 2 2
veya
(3.32)
!
! d 2 !
a2 = det( 2 ;
; )
ds2 2
(3.33)
olur. (3.26),(3.27) ve (3.28) ifadeleri gözönüne al¬n¬rsa, bu son eşitlikten,
ds1 2
a2 = (
)
ds2
1
0
0
1
b1
0
0
d'
( ds
+ c1 ) sin '
1
d'
( ds
+ c1 ) cos '
1
b1 cos '
veya
a2 = (
ds1 2
d'
) b1 (
+ c1 ) cos '
ds2
ds1
(3.34)
eşitli¼
gi elde edilir.
n!
o
!; ! sistemi ortonormal oldu¼
gundan,
;
2
2
2
D ! !E
2; 2 = 0
d¬r.
!
2
ve
!
2
(3.35)
nin (3.26) ve (3.28) ifadelerindeki de¼
gerleri bu özdeşlikte yerlerine
yaz¬l¬rsa,
b1 cos ' = 0
olur. (3.34) ifadesinde b1 cos '=0 oldu¼
gundan,
a2 = 0
d¬r, yani ( ; M2 ) e¼
grilik şerididir (Keleş 1982).
2) ii, iii )i
26
(3.36)
( ; M1 ) ve ( ; M2 ) e¼
grilik şeridi oldu¼
gu zaman (s1 ) sabit oldu¼
gu gösterilecektir.
(s2 ) = (s1 ) + (s1 )!
v (s1 ) ifadesinde, !
v (s1 ) in (3.23) ifadesindeki de¼
gerini yerine
yazarsak,
(s2 ) = (s1 ) + (s1 )(cos '
!
1
+ sin ' !1 )
ve bu eşitli¼
gin iki taraf¬n¬n da s1 e göre türevi al¬n¬rsa,
! d
!
d ds2
= 1+
(cos ' 1 + sin ' !1 ) +
ds2 ds1
ds1
!
!
d'
d 1
d'
d!
(s1 )(
sin ' 1 + cos '
+
cos '!1 + sin ' 1 )
ds1
ds1
ds1
ds1
olur. Ayr¬ca ( ; M1 ) şeridinin türev denklemlerinden
!
d 1
ds1
ve
d!
1
ds1
de¼
gerleri ile a1 = 0
de¼
geri yerlerine yaz¬l¬rsa,
8
9
h
i!
d'
d
<
=
1 + ds1 cos '
( ds1 + c1 ) sin ' 1 +
! ds1
h
i
=
2
! ;
ds2 : d sin ' + ( d' + c1 ) cos ' !
b
cos
'
1
1
1
ds1
ds1
(3.37)
elde edilir.
a2 = 0 oldu¼
gundan (3.29) ve (3.37) ifadeleri,
!
! d 2 !
a2 = det( 2 ;
; )
ds2 2
eşitli¼
gi ile birlikte düşünülürse,
ds1 2
(
)
ds2
1+
d
ds1
cos '
0
0
1
b1
0
0
d'
( ds
+ c1 ) sin '
1
d
ds1
d'
sin ' + ( ds
+ c1 ) cos '
1
=0
b1 cos '
veya
(
d'
ds1 2
) ( b1 cos '(
+ c1 )
ds2
ds1
27
b1
d
sin ' = 0
ds1
(3.38)
olur.
oldu¼
gundan,
!
2
ve
!
2
D ! !E
2; 2 = 0
nin (3.27) ve (3.37) ifadelerindeki de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬r ve
gerekli işlemler yap¬l¬rsa b1 cos ' = 0 elde edilir. Bu de¼
ger (3.38) de yerine yaz¬l¬rsa,
(
bulunur.
ve
ds1 2 d
) b1
sin ' = 0
ds2
ds1
(3.39)
e¼
grileri regüler oldu¼
gundan,
ds1
6= 0
ds2
d¬r. Ayr¬ca
(3.40)
e¼
grisi düzlemsel olmad¬g¼¬ndan b1 6= 0 d¬r. O halde (3.39) ifadesinden,
d
sin ' = 0
ds1
(3.41)
elde edilir. b1 cos ' = 0 eşitli¼
ginden, b1 6= 0 olmas¬nedeniyle cos ' = 0 yaz¬labilir.
Buradan ' =
2
veya ' =
3
2
bulunur. Böylece sin ' =
1 olur. Bu ise,
d
=0
ds1
(3.42)
= cte
(3.43)
veya
olmas¬n¬gerektirir (Keleş 1982).
3) i, iii)ii
i den (s1 ) sabit ve iii den de ( ; M2 ) e¼
grilik şerididir. Gösterece¼
giz ki ( ; M1 ) de
e¼
grilik şerididir, yani a1 = 0 d¬r.
e¼
grisinin yay parametresi s1 olmak üzere TM2 ( (s1 )) tanjant uzay¬n¬n ortonormal
n! o
!
bir baz¬ 2 ; !2 dir. (s1 ) = P ve (s1 ) = Q olmak üzere P Q vektörü yönünde
28
birim vektör !
v (s1 ) olsun. O zaman,
!
!
v (s1 ) = cos ' 2 + sin ' !2
olur. Şekil 3.2 den,
(s2 ) = (s1 ) + (s1 )!
v (s1 )
dir. Burada s2 ile
e¼
grisinin yay parametresi gösterilmiştir. Son eşitli¼
ginin her iki
taraf¬n¬n s1 e göre türevi al¬n¬rsa,
d ds2
d
d !
dv
=
+
v (s1 ) + (s1 )
ds2 ds1
ds1 ds1
ds1
olur. Bu ifadede !
v (s1 ) in de¼
geri yerine yaz¬l¬r ve (s1 ) in sabit oldu¼
gu düşünülürse,
!
1
ds1
=
ds2
(
!
)
!
!
!
d'
d 2
d'
d
2
sin ' 2 + cos '
+
cos ' !2 + sin '
)
2 + (s1 )(
ds1
ds1
ds1
ds1
eşitli¼
gi elde edilir.
ve
e¼
grileri boyunca M1 ve M2 nin te¼
get düzlemleri ortak yani, " oldu¼
gundan,
!
2 (s1 )
=
!
1 (s2 )
dir. Son ifadenin her iki taraf¬n¬n s1 e göre türevi al¬n¬rsa,
!
!
d 1 ds2
d 2
=
ds2 ds1
ds1
!
= b2 2
veya
!
d 2
ds1 !
=
b2
ds2
ds2 2
eşitli¼
gi bulunur. ( ; M1 ) nin türev denklemlerinden,
!
!
d 1
= b1 1
ds2
29
a1 !1
veya
* !
+
d 1 !
a1 =
;
ds2 1
elde edilir.
1
=
1
1
olmas¬nedeniyle de,
!
d 1 ! !
a1 = det(
; ; )
ds2 1 1
veya
!
! d 1 !
a1 = det( 1 ;
; )
ds2 1
olur. Son eşitlikte bulunan
ds1 2
a1 = (
)
ds2
1
!
!
d 1
1 ; ds2 ve ;
!
1
de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa,
0
0
1
b2
0
0
d'
( ds
+ c2 ) sin '
1
d'
( ds
+ c2 ) cos '
1
b2 cos '
veya
a1 = (
ds1 2
d'
) b2 (
+ c2 ) cos '
ds2
ds1
eşitli¼
gi elde edilir.
n!
o
!; ! sistemi ortonormal oldu¼
gundan,
;
1
1
1
D ! !E
1; 1 = 0
d¬r.
!
1
ve
!
1
nin de¼
gerleri bu özdeşlikte yerlerine yaz¬l¬rsa,
b2 cos ' = 0
olur. (3.44) ifadesinde b2 cos ' çarpan¬mevcut oldu¼
gundan,
a1 = 0
d¬r, yani ( ; M1 ) e¼
grilik şerididir.
30
(3.44)
Teorem 3.2.2 E 3 de M1 ve M2 iki yüzey olsun. M1 de bir e¼
gri
de
olsun.
ve
ve M2 de bir e¼
gri
e¼
grilerinin noktalar¬M1 ve M2 üzerinde yuvarlanan bir " düzlemi
ile 1:1 karş¬l¬k gelsinler. E¼
ger ( ; M1 ) ve ( ; M2 ) şeridleri aras¬ndaki uzakl¬k sabit
ise bu iki şeridin geodezik burulmalar¬aras¬nda,
a2 = (
ds1 2
) a1
ds2
ba¼
g¬nt¬s¬vard¬r. Burada s1 ve s2 ; s¬ras¬ile,
(3.45)
ve
e¼
grilerinin yay parametreleridir
(Keleş 1982).
I·spat Şekil 3.2 den,
(s2 ) = (s1 ) + (s1 )!
v (s1 )
oldu¼
gu aç¬kt¬r. !
v (s1 ) birim vektörünün, (3.23) deki de¼
geri bu eşitlikte yerine yaz¬l¬r
ve her iki taraf¬n s1 e göre türevi al¬n¬rsa,
!
!
d ds2
d
d
d(cos ' 1 + sin ' !1 )
!
=
+
(cos ' 1 + sin ' 1 ) + (s1 )
ds2 ds1
ds1 ds1
ds1
olur.
= cte de¼
geri ile
!
d 1
ds1
ve
d!
1
ds1
de¼
gerleri yukar¬daki eşitlikte yerlerine yaz¬l¬r ve
gerekli işlemler yap¬l¬rsa,
bulunur.
9
8
h
i!
d'
=
<
1
(
+
c
)
sin
'
+
1
! ds1
1
ds1
h
i
=
2
ds2 : ( d' + c1 ) cos ' ! + ( b1 cos ' + a1 sin ')! ;
1
1
ds1
!
1 (s1 )
=
!
2 (s2 )
oldu¼
gundan,
!
d 2
ds1 !
=
(b1 1
ds2
ds2
31
a1 !1 )
dir.
D ! !E
!
!
ginde 2 ve 2 nin de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa
2 ; 2 = 0 eşitli¼
ds1
( b1 cos ' + a1 sin ') = 0
ds2
bulunur. Burada
6= 0 ve
ds1
ds2
6= 0 oldu¼
gundan,
(3.46)
b1 cos ' + a1 sin ' = 0
olur.
!
d 2
;
ds2
!
2
ve
!
2
nin de¼
gerleri,
!
! d 2 !
; )
a2 = det( 2 ;
ds2 2
eşitli¼
ginde yerlerine yaz¬l¬rsa;
a2 = (
ds1 2
d'
) a1 + (
+ c1 )(b1 cos '
ds2
ds1
a1 sin ')
elde edilir: Bu son eşitlikte (3.46) ifadesi yerine yaz¬l¬rsa,
a2 = (
ds1 2
) a1
ds2
bulunur (Keleş 1982).
32
(3.47)
¼ I·LI·K ŞERI·DLERI·I·ÇI·N BI·R KARAKTERI·ZASYON
4. KÜRESEL EGR
Tan¬m 4.1
ise
: I ! E 3 bir regüler e¼
gri ve S 2
E 3 de bir 2-küre olsun. E¼
ger
S2
e¼
grisine E 3 ün bir küresel e¼
grisi denir (Özdamar ve Hac¬saliho¼
glu 1974).
Teorem 4.1
: I ! E 3 bir regüler e¼
gri olarak verilsin. Bu takdirde 8s 2 I için
k2 (s) 6= 0 olmak üzere;
e¼
grisinin bir küre üzerinde bulunabilmesi için gerek ve
yeter koşul,
k2
d d 1 1
+ ( ( ) )=0
k1 ds ds k1 k2
(4.1)
olmas¬d¬r (Özdamar ve Hac¬saliho¼
glu 1974).
Teorem 4.2 E 3 de bir küre S 2 ve herhangi bir yüzey de M olarak verilsin. M
yüzeyinin bir
e¼
grisi boyunca te¼
get düzlemleri ayn¬ zamanda S 2 küresinin de bir
e¼
grisi boyunca te¼
get düzlemleri olsunlar. Bu takdirde ( ; M ) e¼
grilik şeridi ise
e¼
grisi küresel bir e¼
gridir (Keleş 1982).
I·spat
Şekil 4.1 E 3 de bir küre S 2 ve herhangi bir yüzey M
33
Şekil 4.1 den,
(s1 ) = !
m +r
1 (s1 )
+ (s1 )!
v (s1 )
(4.2)
yaz¬labilir. Burada,
(s1 ) = !
m +r
1 (s1 )
dir ve ayr¬ca küre sabit oldu¼
gundan !
m sabittir. Kürenin şekil operatörü S ve küre
için,
1
S= I
r
oldu¼
gundan,
!
1!
S( 1 ) =
1
r
dir. Bu ise türev denklemlerinden a1 = 0 olmas¬ demektir. Bu da Tan¬m 2.2.3.1
den ( ; S 2 ) in bir e¼
grilik şeridi olmas¬n¬gerektirir. Bu durumda ( ; S 2 ) ve ( ; M )
şeridleri e¼
grilik şeridi oldu¼
gundan, Teorem 3.2.1 den,
= cte
(4.3)
olmak zorundad¬r.
S 2 küresi birim yar¬çapl¬al¬n¬rsa S( 1 ) =
1
olur. ( ; S 2 ) in türev denklemlerinden,
+
* !
d 1 !
; 1
b1 =
ds1
dir. Bu ba¼
g¬nt¬da,
!
!
d 1
= D!1 1
ds1
!
= S( 1 )
!
=
1
de¼
geri yerine yaz¬l¬rsa,
b1 = 1
34
(4.4)
bulunur. (4.2) ifadesinde,
!
!
v (s1 ) = cos ' 1 + sin ' !1
de¼
geri yerine yaz¬l¬r ve her iki taraf¬n s1 e göre türevi al¬n¬rsa,
!
!
!
d
d!
m d 1
d
d(cos ' 1 + sin ' !1 )
!
=
+
+
(cos ' 1 + sin ' 1 ) + (s1 )
ds1
ds1
ds1
ds1
ds1
olur. !
m vektörü ve
sabit oldu¼
gundan,
!
!
d 1
d(cos ' 1 + sin ' !1 )
d
=
+ (s1 )
ds1
ds1
ds1
veya
!
!
!
d
d 1
d'
d 1
d'
d!
=
+ (s1 )(
sin ' 1 + cos '
)+
cos ' !1 + sin ' 1 )
ds1
ds1
ds1
ds1
ds1
ds1
olur. ( ; S 2 ) şeridinin türev denklemlerinden
!
d 1 d!
; 1
ds1 ds1
ve
!
d 1
ds1
de¼
gerleri yerlerine
yaz¬l¬rsa,
d
= 1
ds1
(
!
d'
d'
+ c1 ) sin '
+ c1 ) cos ' !1
1+ (
ds1
ds1
cos '
!
1
(4.5)
ifadesi elde edilir.
S 2 ve M ,
ve
e¼
grileri boyunca ortak te¼
get düzlemlere sahip olduklar¬ndan,
d !
;
ds1 1
olur.
d
ds1
=0
in (4.3) deki de¼
geri bu eşitlikte yerine yaz¬l¬rsa
cos ' = 0 bulunur: 6= 0
oldu¼
gundan cos ' = 0 olmak zorundad¬r. Buna göre (4.5) ifadesinden,
d
= (1
ds1
eşitli¼
gi bulunur.
35
!
c1 ) 1
(4.6)
e¼
grisinin s1 e göre 2. ve 3. mertebeden türevleri hesaplan¬rsa;
d2
ds21
!
1
+ (1
!0
c1 ) 1
0
!
1
+ (1
c1 )(c1 !1
!
1
c1
=
c1
b1
!
1 );
b1 = 1
!
c1 ) 1
c1 )c1 !1 (1
0 0!
0 !0
0
0
=
c1 1
c1 1
c1 c1 !1 + (1
c1 )c1 !1 + (1
i!
h
h
0 0
0
(1
c1 )c21 (1
c1 )
+
c 1 c1
=
c1
1
0
0 !
+( c1
c1 ) 1
0
=
d3
ds31
0
=
c1
+ (1
d
ds1
0
0
c1 c1 + (1
i
0
c1 )c1 !1
!
= (1
c1 ) 1 oldu¼
gu gözönünde tutularak
!
= (1 + c1 ) 1 için de benzer hesaplamalarla ayn¬sonuca
olur. Bundan sonraki işlemlerimiz
yap¬lacakt¬r. Ayr¬ca
c1 )c1 !1
d
ds1
var¬ld¬g¼¬görülmüştür.
Buna göre,
!
d
= (1
c1 ) 1
ds1
d2
0 !
=
c
1 + (1
1
ds21
h
0 0
d3
=
c
(1
1
ds31
olur.
n
0
;
00
;
000
o
(4.7)
c1 )c1 !1
c1 )c21
!
c1 ) 1
(1
i
i!
h
0 !
0
0
c1 )
3 c 1 c 1 + c 1 !1 + 2 c 1 1
1+
(1
vektör alanlar¬sistemi Gram-Schmidt metoduyla ortogonalleştir-
ilirse (Hac¬saliho¼
glu 2008),
F1 = (1
F2 =
=
00
!
c1 ) 1 ;
D 00
E
; F1
hF1 ; F1 i
0 !
c1 1 + (1
F1 ;
c1 )c1 !1
(1
36
!
c1 ) 1
0
c1 (1
c1 )
(1
2
(1
c1 )
!
c1 ) 1
0
=
c1
000
000
=
veya
F3 =
000
1
!
0 !
c1 ) 1 + c1 1
c1 )c1 !1
+ (1
(1
!
c1 ) 1
D 000
E
; F1
c )c ! (1
D1 0001 1 E
; F2
F2
F1
hF2 ; F2 i
hF1 ; F1 i
0
0
0
( 3 c1 c1 + c1 )c1 2 c1 !
(c1 1
c21 + 1
= (1
F3 =
!
h
!
1)
0 0
c1
(1
c1 )c21
(1
i!
c1 )
1
nün de¼
geri yerine yaz¬l¬rsa;
h
0 0
c1
c1 )c21
(1
0
0
!i
0
0
0 !
c1 ) 1 + ( 3 c1 c1 + c1 )!1 + 2 c1 1
0
h
0 0
2 c1 ! !
(c1 1
)
c
(1
c1 )c21 (1
1
1
(1
( 3 c1 c1 + c1 )c1
c21 + 1
0
0
0
0
0
c21 c1 + c1 c1 !
3 c 1 c1 + c1 + 2 c 1 c1 !
+
=
1
1
c21 + 1
c21 + 1
0
0
(1
c1 )c1 ! (1
c1 )c1 c1 !
=
1 +
1
c21 + 1
c21 + 1
i!
c1 )
1
olur. Ayr¬ca,
2
1
= b21 + c21 ; b1 = 1
ve
2
1
0
0
=
a1 +
(4.8)
b1 c 1 b1 c 1
; a1 = 0
b21 + c21
oldu¼
gundan,
0
1
=
c1
(4.9)
2
1
elde edilir. Bu de¼
ger F3 ün ifadesinde yerine yaz¬l¬rsa,
F3 =
(1
c1 ) 1 !1
ki =
kFi+1 k
;
kFi k kFi k
(1
c1 )c1
!
1 1
(4.10)
bulunur. Ayr¬ca,
37
1
i<r
(4.11)
dir.
(s1 ) in e¼
grilikleri
2
2
ve
olmak üzere,
2
kF2 k
kF1 k kF1 k
p
(1
c1 )2 c21 + (1
p
= p
(1
c1 )2 (1
p
j1
c1 j 1 + c21
=
;
j1
c1 j j1
c1 j
(4.12)
=
c1 )2
c1 )2
2
1
= 1 + c21
1
=
j1
c1 j
ve
2
kF3 k
kF1 k kF2 k
p
(1
c1 )2 21 + (1
c1 )2 c2
p 1
= p
(1
c1 )2 c21 + (1
c1 )2 (1
p
2
2
j1
c1 j
1 (1 + c1 )
p
=
j1
c1 j 1 + c21 j1
c1 j
=
=
bulunur. Böylece,
(4.13)
=
1
j1
1
j1
2
1
c1 )2
1
c1 j
1
c1 j
e¼
grisinin e¼
grilikleri elde edilmiş olur (Keleş 1982).
e¼
grisinin küresel bir e¼
gri olabilmesi için Teorem 4.1 den dolay¬,
2
+
2
d
ds2
d 1 1
( )
ds2 2 2
=0
(4.14)
ba¼
g¬nt¬s¬sa¼
glanmal¬d¬r.
e¼
grisi küre üzerinde bulundu¼
gundan Tan¬m 4.1 den küreseldir, dolay¬s¬yla bu e¼
gri,
1
1
+
d
ds1
d 1 1
( )
ds1 1 1
38
=0
ba¼
g¬nt¬s¬n¬sa¼
glar. Ayr¬ca,
s2
=
Zs1
=
Zs1
0
ds1
0
j1
c1 j ds1
0
oldu¼
gundan,
ds1
1
=
ds2
j1
c1 j
bulunur. Buna göre,
2
+
2
d
ds2
d 1 1
( )
ds2 2 2
=
j1
j1
1
1
c1 j
d
+
c1 j ds1
d j1
(
ds1
c1 j ds1 j1
)
ds2
1
1
c1 j ds1
ds2
veya
2
2
+
d
ds2
d 1 1
( )
ds2 2 2
1
=
d j1
(
ds1
d
ds1
+
1
c1 j 1
)
1
1
j1
1
(4.15)
c1 j
olur. Şimdi eşitli¼
gin sa¼
g taraf¬ndaki
d j1
(
ds1
d
ds1
c1 j 1
)
1
1
ifadesinin de¼
gerini hesaplayal¬m. Burada cebirsel hataya düşmemek için işlemleri
j1
c1 j = 1
c1 için yapaca¼
g¬z. Ancak j1
do¼
gru oldu¼
gu görülmüştür.
h
i
h
1 c1
d
d
1
d
( 1 ) 1 = ds1
ds1
ds1
h
d
= ds1
h
= dsd1
0
c1
2
1
=
0
c1
=
0
0
= (1
1
c1 )
2
1
0
c1
=
1
2
1
(1
0
1
c1 )
4
1
0
1
0
1
2
1
i
00
1
c1 )
1
i
i
i
c1 )
(1
4
1
+ (1
2
1
1
0
1
1
0
1
1
+(1
2
1
1
c1 )
(1
1
0
1
2
1
0
1 c1
1
h
0
1
c1 )
(1
1
c1 j =
00
1
1
c1 )
+
2
39
3
1
;
2
1
1
+
4
1
2
1
00
1
2
1
2
1
0
1
1
1
2
1
1
00
1
+
+
1
0
1
2
1
0
c1
=
(2
1
2
1
0 2
1
1
c1 ) için de sonucun
(1
0
1
2
1
2
2
3
1
1
0 2
1
1
2
1
+
0
1
0
1
1 (1
4 2
1 1
0
1
2
1
+
c1 )
0
1
2
1
0
1
c1 )
)(1
+
;
2
1
1
0
1
(1
4
1
=
c1 )
2
1
0
c1
2
1
0
1
= (1
c1 ) dsd1
h
d
ds1
(
1
1
)
1
1
i
olur (Keleş 1982). (115) de bu de¼
ger yerine yaz¬l¬rsa,
2
2
+
d
d 1 1
(
( ) ) =
ds2 ds2 2 2
=
1
+ (1
1
1
1
+
d
ds1
d
d 1 1
1
(
( ) )
ds1 ds1 1 1 (1
c1 )
d 1 1
( )
ds1 1 1
c1 )
= 0
bulunur ki bu da
e¼
grisinin küresel bir e¼
gri olmas¬demektir. Böylece ( ; M ) küre-
sel e¼
grilik şeridi olur (Keleş 1982).
Sonuç 4.1 Bu teoremle S 2 küresi üzerinde
e¼
grisinin bir noktas¬ ve
bu noktas¬yla 1-1 karş¬l¬k gelen herhangi bir M yüzeyinde bir
e¼
grisinin
e¼
grisinin bir nok-
tas¬aras¬ndaki uzakl¬g¼¬n sabit olmas¬durumunda küresel e¼
grilik şeridi olma özeli¼
gi
karakterize edilmiştir. Bu karakterizasyonla Terquem teoreminin önemi bir kez daha
vurgulanm¬şt¬r.
40
5. E3 DE HELI·S ŞERI·DLERI· VE KÜRESEL HELI·S ŞERI·DLERI· I·ÇI·N
BI·R KARAKTERI·ZASYON
Tan¬m 5.1 E n uzay¬nda birim h¬zl¬bir e¼
gri
olsun.8s 2 I için
vektörü, sabit bir U vektörü ile sabit aç¬teşkil ediyorsa
(helis) denir. Sabit do¼
grultu SpfU g ya
e¼
grisinin (s) h¬z
e¼
grisine bir e¼
gilim çizgisi
e¼
gilim çizgisinin (helisin) e¼
gilim ekseni
denir (Hac¬saliho¼
glu 2000).
Burada yaln¬z, n = 3 özel hali için e¼
gilim çizgisi olma özeli¼
gini karakterize edece¼
giz
(Hac¬saliho¼
glu 2000a).
Tan¬m 5.2
E 3 e¼
grisi verilsin. 8s 2 I ya karş¬l¬k gelen
(s) noktas¬nda
e¼
grisinin 1. ve 2. e¼
grilikleri, s¬ras¬yla, k1 (s) ve k2 (s) ise,
I!R
H:
s ! H(s) =
şeklinde tan¬ml¬ H fonksiyonuna,
e¼
grisinin
k1
k2
(s) noktas¬ndaki 1 inci harmonik
e¼
grili¼
gi denir (Hac¬saliho¼
glu 2000a).
Burada k1 e¼
grili¼
gini ; k2 e¼
grili¼
gini de
ile gösterelim.
Teorem 5.1
E 3 e¼
grisinin bir e¼
gilim çizgisi olmas¬ için gerek ve yeter koşul
8s 2 I için H(s) =
k1
k2
= sabit olmas¬d¬r (Hac¬saliho¼
glu 2000).
I·spat (Hac¬saliho¼
glu 2000a)
())
bir e¼
gilim çizgisi olsun.
n¬n e¼
gilim eksenini SpfU g ile gösterelim. Tan¬m
5.1 gere¼
gince,
(s); U = cos ' = sabit
dir.
(s) noktas¬ndaki Frenet 3-ayakl¬s¬{V1 (s); V2 (s); V3 (s)} ise,
hV1 (s); U i = cos '
41
yaz¬labilir. Buna göre, her iki taraf¬n türevi al¬narak
hk1 (s)V2 (s); U i = 0 ) hV2 (s); U i = 0
yaz¬labilir. O halde,
U 2 SpfV1 (s); V3 (s)g
dir. Bu ise,
U = cos ' V1 (s) + sin ' V3 (s)
demektir. Tekrar hV2 (s); U i = 0 eşitli¼
ginden türev al¬rsak,
h k1 (s)V1 (s) + k2 (s)V3 (s); U i = 0
k1 (s) hV1 (s); U i + k2 (s) hV3 (s); U i = 0
k1 (s) cos ' + k2 (s) sin ' = 0
) H = tan ' ) H = sabit
elde edilir.
(() 8s 2 I için H(s) =
=sabit olsun.
= tan ' olmak üzere,
U = cos ' V1 (s) + sin ' V3 (s);
vektörünü tan¬mlayal¬m.
1) U sabit bir vektördür: Çünkü,
D U = cos ' (k1 (s)V2 (s)) + sin ' (-k2 (s)V2 (s))
D U = (k1 (s) cos '
dir. Halbuki H(s) =
sin ' k2 (s))V2 (s)
= tan ' yaz¬l¬rsa,
k1 (s) cos '
k2 (s) sin ' = 0
42
bulunur. Böylece,
D U = 0 ) U = sabit
elde edilir.
2) ; e¼
gilim ekseni SpfU g olan e¼
gilim çizgisidir. Çünkü,
(s); U
= hV1 (s); cos ' V1 (s) + sin ' V3 (s)i
= cos ' hV1 (s); V1 (s)i + sin ' hV1 (s); V3 (s)i
)
(s); U = cos ' = sabit
dir.
5.3 Tan¬m E 3 uzay¬nda bir S 2 küresi ve bu küre üzerinde de
helis e¼
grisi verilmiş
olsun. Küre üzerindeki helis e¼
grisine küresel helis denir.
Şekil 5:1 Küresel helis üçlüsü (Küre üzerinde üç adet helis e¼
grisi) (Struik 1957)
43
Şekil 5:2 Küresel helis üçlüsünün düzlem üzerine dik izdüşümü (Struik 1957)
5.4 Tan¬m E 3 uzay¬nda bir S 2 küresi ve bu küre üzerinde de
olsun. Bu küre üzerindeki
helis e¼
grisi verilmiş
helis e¼
grisi boyunca yüzey elementleri diye helis e¼
grisi
üzerindeki noktan¬n komşulu¼
gunda tanjant düzlem parçalar¬na denir. Bu yüzey elementlerinin
boyunca geometrik yerine küresel helis üzerinde bir şerid denir ve
küresel e¼
gilim (helis) şeridi diye adland¬r¬l¬r.
5.2 Teorem E 3 de bir küre S 2 ve herhangi bir yüzey de M olarak verilsin. M
e¼
grisi boyunca te¼
get düzlemleri ayn¬zamanda S 2 küresinin de bir
yüzeyinin bir
helis e¼
grisi boyunca te¼
get düzlemleri olsunlar. Bu takdirde ( ; M ) e¼
grilik şeridi ise
e¼
grisi bir helis e¼
grisidir.
I·spat
Şekil 5:3 Küresel helis ve herhangi bir M yüzeyi
e¼
grisi küre üzerinde bir helis e¼
grisi ise küresellik koşulunu ve helis e¼
grisi olma
koşulu olan
1
1
=sbt eşitli¼
gini sa¼
glar. I·ddiam¬z M yüzeyi üzerindeki
bir helis e¼
grisi olmas¬d¬r. Yani
{2
2
e¼
grisinin de
=sbt bulmal¬y¬z.
Şekil 5.3 den,
(s1 ) = !
m +r
1 (s1 )
44
+ (s1 )!
v (s1 )
(5.1)
yaz¬labilir. Burada,
(s1 ) = !
m +r
1 (s1 )
dir ve ayr¬ca küre sabit oldu¼
gundan !
m sabittir. Kürenin şekil operatörü S ve küre
için,
1
S= I
r
oldu¼
gundan,
!
1!
S( 1 ) =
1
r
dir. Bu ise türev denklemlerinden a1 = 0 olmas¬ demektir. Bu da Tan¬m 2.2.3.1
den ( ; S 2 ) in bir e¼
grilik şeridi olmas¬n¬gerektirir. Bu durumda ( ; S 2 ) ve ( ; M )
şeridleri e¼
grilik şeridi oldu¼
gundan, Teorem 3.2.1 den,
= cte
yaz¬labilir.
S 2 küresi birim yar¬çapl¬al¬n¬rsa S( 1 ) =
1
olur. ( ; S 2 ) in türev denklemlerinden,
+
* !
d 1 !
; 1
b1 =
ds1
dir. Bu ba¼
g¬nt¬da,
!
!
d 1
= D!1 1
ds1
!
= S( 1 )
!
=
1
de¼
geri yerine yaz¬l¬rsa,
b1 = 1
bulunur. (5.1) ifadesinde,
!
!
v (s1 ) = cos ' 1 + sin ' !1
45
de¼
geri yerine yaz¬l¬r ve her iki taraf¬n s1 e göre türevi al¬n¬rsa,
!
!
!
d
d!
m d 1
d
d(cos ' 1 + sin ' !1 )
!
=
+
+
(cos ' 1 + sin ' 1 ) + (s1 )
ds1
ds1
ds1
ds1
ds1
olur. !
m vektörü ve
sabit oldu¼
gundan,
!
!
d
d 1
d(cos ' 1 + sin ' !1 )
=
+ (s1 )
ds1
ds1
ds1
veya
!
!
!
d 1
d'
d 1
d'
d!
d
=
+ (s1 )(
sin ' 1 + cos '
)+
cos ' !1 + sin ' 1 )
ds1
ds1
ds1
ds1
ds1
ds1
olur. ( ; S 2 ) şeridinin türev denklemlerinden
!
d 1 d!
; 1
ds1 ds1
ve
!
d 1
ds1
de¼
gerleri yerlerine
yaz¬l¬rsa,
d
= 1
ds1
(
!
d'
d'
+ c1 ) sin '
+ c1 ) cos ' !1
1+ (
ds1
ds1
cos '
!
1
ifadesi elde edilir.
S 2 ve M ,
ve
e¼
grileri boyunca ortak te¼
get düzlemlere sahip olduklar¬ndan,
d !
;
ds1 1
olur.
d
ds1
=0
in de¼
geri bu eşitlikte ve yukar¬daki eşitlikte yerine yaz¬l¬rsa
bulunur: 6= 0 oldu¼
gundan cos ' = 0 olmak zorundad¬r. Buna göre,
d
= (1
ds1
bulunur.
46
!
c1 ) 1
cos ' = 0
e¼
grisinin s1 e göre 2. ve 3. mertebeden türevleri hesaplan¬rsa;
d2
ds21
!
1
+ (1
!0
c1 ) 1
0
!
1
+ (1
c1 )(c1 !1
!
1
c1
=
c1
b1
!
1 );
b1 = 1
!
c1 ) 1
c1 )c1 !1 (1
0 0!
0 !0
0
0
=
c1 1
c1 1
c1 c1 !1 + (1
c1 )c1 !1 + (1
i!
h
h
0 0
0
(1
c1 )c21 (1
c1 )
+
c 1 c1
=
c1
1
0
0 !
+( c1
c1 ) 1
0
=
d3
ds31
0
=
c1
+ (1
c1 )c1 !1
0
0
c1 c1 + (1
i
0
c1 )c1 !1
olur.
Bundan sonraki işlemlerimiz
cakt¬r. Ayr¬ca
d
ds1
d
ds1
= (1
!
c1 ) 1 oldu¼
gu gözönünde tutularak yap¬la-
!
= (1 + c1 ) 1 için de benzer hesaplamalarla ayn¬sonuca var¬ld¬g¼¬
görülmüştür.
Buna göre,
!
d
= (1
c1 ) 1
ds1
d2
0 !
=
c1 1 + (1
2
ds1
h
0 0
d3
=
c1
(1
3
ds1
olur.
n
0
;
00
;
000
o
(5.2)
c1 )c1 !1
c1 )c21
(1
!
c1 ) 1
(1
i
i!
h
0
0
! + 2 c0 !
c1 )
+
c
+
3
c
c
1
1 1
1
1 1
1
vektör alanlar¬sistemi Gram-Schmidt metoduyla ortogonalleşti-
47
rilirse (Hac¬saliho¼
glu 2008),
!
c1 ) 1 ;
D 00
E
; F1
F1 = (1
00
F2 =
=
hF1 ; F1 i
0 !
c1 1 + (1
=
c1
0
000
000
=
veya
F3 =
000
1
F1 ;
c1 )c1 !1
(1
c1 )
c1 (1
(1
2
(1
c1 )
0 !
!
c1 ) 1 + c1
c1 )c1 !1
+ (1
0
!
c1 ) 1
(1
!
c1 ) 1
D 000
E
; F1
c1 )c1 !1 (1
D 000
E
; F2
F2
F1
hF2 ; F2 i
hF1 ; F1 i
0
0
0
( 3 c1 c1 + c1 )c1 2 c1 !
(c1 1
c21 + 1
= (1
F3 =
!
(5.3)
h
!
1)
!
c1 ) 1
1
0 0
(1
c1
c1 )c21
(1
i!
c1 )
1
nün de¼
geri yerine yaz¬l¬rsa;
h
0 0
c1
c1 )c21
(1
0
0
!i
0 !
0
0
(1
c1 ) 1 + ( 3 c1 c1 + c1 )!1 + 2 c1 1
0
h
0 0
2 c1 ! !
(c1 1
)
c1
(1
c1 )c21 (1
1
( 3 c1 c1 + c1 )c1
c21 + 1
0
0
0
0
0
c21 c1 + c1 c1 !
3 c 1 c1 + c1 + 2 c 1 c1 !
=
1 +
1
c21 + 1
c21 + 1
0
0
(1
c1 )c1 ! (1
c1 )c1 c1 !
=
1 +
1
c21 + 1
c21 + 1
i!
c1 )
1
olur. Ayr¬ca,
2
1
= b21 + c21 ; b1 = 1
ve
2
1
0
=
0
b c 1 b1 c 1
; a1 = 0
a1 + 1 2
b1 + c21
oldu¼
gundan,
0
1
=
c1
(5.4)
2
1
elde edilir. Bu de¼
ger F3 ün ifadesinde yerine yaz¬l¬rsa,
F3 =
(1
c1 ) 1 !1
48
(1
c1 )c1
!
1 1
(5.5)
bulunur. Ayr¬ca,
ki =
dir.
(s1 ) in e¼
grilikleri
2
2
2
ve
2
kFi+1 k
;
kFi k kFi k
1
(5.6)
i<r
olmak üzere,
kF2 k
kF1 k kF1 k
p
(1
c1 )2 c21 + (1
p
= p
(1
c1 )2 (1
p
j1
c1 j 1 + c21
=
;
j1
c1 j j1
c1 j
=
=
c1 )2
c1 )2
2
1
= 1 + c21
1
j1
c1 j
ve
2
kF3 k
kF1 k kF2 k
p
(1
c1 )2 21 + (1
c1 )2 c2
p 1
= p
(1
c1 )2 c21 + (1
c1 )2 (1
p
2
2
j1
c1 j
1 (1 + c1 )
p
=
j1
c1 j 1 + c21 j1
c1 j
=
=
2
=
1
j1
j1
1
2
1
c1 )2
1
c1 j
1
c1 j
bulunur. Küresel helisin e¼
grilikleri ile M yüzeyinin e¼
grilikleri aras¬nda bir ba¼
glant¬
bulduk. M yüzeyinin 2. e¼
grili¼
gini 1. e¼
grili¼
gine oranlarsak,
1
2
j1
=
2
2
j1
=
2
ifadesini buluruz.
üzerindeki
1
1
= sbt oldu¼
gundan
1
1
c1 j
(5.7)
c1 j
1
2
2
= sbt olur. Bu durumda M yüzeyi
e¼
grisi bir helis e¼
grisi olur. Bu da ispat¬m¬z¬tamamlar.
49
Sonuç 5.3 Bu teoremle, küresel bir yüzey ve herhangi bir yüzey aras¬nda uzakl¬g¼¬n
sabit olmas¬durumunda e¼
gilim şeridi olma özelli¼
gi karakterize edilmiştir. Böylece,
sabit uzakl¬kl¬yüzeyler için e¼
gilim şeridi karakterizasyonunda Terquem teoreminin
önemi bir kez daha vurgulanm¬şt¬r.
50
6. E n (n>3) DE JOACHIMSTHAL VE TERQUEM TEOREMLERI·
6.1 E¼
gri-Hiperyüzey I·kilisinin (Şeridin) Yüksek Mertebeden E¼
grilikleri
E n de bir hiperyüzey M ve M de bir e¼
gri
:I!M
En
olsun. ( ; M ) e¼
gri-hiperyüzey ikilisine E n de bir şerid denir (Sabuncuo¼
glu ve Hac¬saliho¼
glu 1975).
Yay parametresi ile verilmiş olan bir
e¼
grisinin Frenet n ayakl¬s¬
fV1 ; V2 ; :::; Vn g
ile gösterilsin (Sabuncuo¼
glu ve Hac¬saliho¼
glu 1975).
(s) noktas¬nda birinci vektörü V1 (s) olan ortonormal pozitif yönlü,
e¼
grisinin
?
noktalar¬na oturtulmuş çat¬lar¬n cümlesini f ?
o ile gösterelim. f o in bir eleman¬n¬
öyle seçelim ki;
F = ( (s) ; Z1 ; Z2 ; :::; Zn )
ve
fZ1 ( (s)); Z2 ( (s)); :::; Zn 1 ( (s))g
sistemi TM (( (s)) tanjant uzay¬n¬n ortonormal bir baz¬ ve Zn ( (s)) de,
e¼
grisi
boyunca hiperyüzeyin birim normal vektör alan¬ olsun (Sabuncuo¼
glu ve Hac¬saliho¼
glu 1975). Burada Z1 = V1 dir. Zi ; 1
i
n; vektör alanlar¬,
@
@
@
;
; :::;
@x1 @x2
@xn
ortonormal baz¬cinsinden,
Zi =
n
X
gij
j=1
51
@
@xj
şeklinde yaz¬l¬r.
h
Z1 Z2 ::: Zn
ve
h
h
iT
ve
h
Z1 Z2 ::: Zn
@
@x1
@
@x2
@
@x2
@
@x1
iT
@
@xn
:::
:::
@
@xn
iT
matrisleri de,
=Z
iT
=E
biçiminde gösterilirse;
Z = GE;
olur.
G 2 O(n)
(6.1)
e¼
grisi boyunca bu matrislerin türevleri al¬n¬rsa,
dZ
dG
dE
=
E+G
ds
ds
ds
bulunur. E sabit oldu¼
gundan
dG
dZ
=
E
ds
ds
(6.2)
elde edilir. Ayr¬ca (6.1) ifadesinin her iki taraf¬n¬GT ile çarparsak
E = GT Z
olur. Bulunan E de¼
geri (6.2) de yerine yaz¬l¬rsa;
dZ
dG
= ( GT )Z
ds
ds
elde edilir.
G 2 O(n) oldu¼
gundan
GGT = In
dir. Bu eşitli¼
gin her iki taraf¬n¬n s ye göre türevi al¬n¬rsa
dG T
dGT
G +G
=0
ds
ds
52
(6.3)
bulunur. Burada
dG T
G =
ds
şeklinde gösterirsek,
(
dG T dGT
) =
ds
ds
oldu¼
gundan, (6.3) ifadesi
T
+
=0
biçiminde yaz¬l¬r. Buradan
T
olur. Bu da
(6.4)
=
matrisinin anti-simetrik oldu¼
gunu gösterir. Böylece
dZ
= Z
ds
(6.5)
olur veya matris formunda yaz¬l¬rsa;
2
dZ1
ds
3
2
6
7 6
6 dZ2 7 6
6 ds 7 6
6
7 6
6 .. 7 = 6
6 . 7 6
4
5 4
dZn
ds
0
t 12
t 1n
t 12
..
.
0
..
.
t 2n
..
.
t 1n
t 2n
0
t ij (s); 1
i; j
32
76
76
76
76
76
76
54
Z1
Z2
..
.
Zn
3
7
7
7
7
7
7
5
(6.6)
elde edilir (Keleş 1982).
Tan¬m 6.1.1
t ij : I
s
! IR
!
(6.7)
n;
fonksiyonlar¬na ( ; M ) e¼
gri-hiperyüzey iklisinin(şeridin) yüksek mertebeden e¼
grilik
fonksiyonlar¬ve s 2 I için t ij (s) reel say¬s¬na da (s) noktas¬nda ( ; M ) nin yüksek
mertebeden e¼
grilikleri denir (Keleş 1982).
53
6.2 E n de Hiperyüzeyler için E¼
grilik Şeridi
E n de bir hiperyüzey M ve M de yay parametresi ile verilen bir e¼
gri
:I!M
En
olsun. M üzerinde şekil operatörü S olmak üzere;
n¬n her noktas¬ndaki h¬z vektörü
için,
(6.8)
S(Z1 ) = kZ1
oluyorsa
e¼
grisine M nin bir e¼
grilik çizgisi denir. Buna göre,
S(Z1 ) = DZ1 Zn
= D d Zn
ds
dZn
=
ds
dir. Di¼
ger taraftan (6.5) deki
dZn
=
ds
t 1n Z1
t 2n Z2
:::
t (n
1)n
Zn
1)n
=0
1
ifadesi ile (6.8) ifadesi karş¬laşt¬r¬l¬rsa
t 2n =
olur. Dolay¬s¬yla,
t 3n = ::: =
t (n
matrisinde bu terimlerin simetri¼
gi olan terimler de s¬f¬r olur
(Keleş 1982).
Tan¬m 6.2.1 E n de bir ( ; M ) e¼
gri hiperyüzey ikilisinin(şeridin) e¼
griliklerini veren
= t ij
matrisinin
t 2n ; t 3n ; :::; t (n
54
1)n
bileşenleri s¬f¬r oluyorsa, şeride e¼
grilik şeridi denir (Keleş 1982).
n=3 olmas¬özel halinde, E n de verilen e¼
grilik şeridi kavram¬geçerlidir. Gerçekten;
2
6
6
=6
4
0
t 12
t 13
t 12
0
t 23
t 13
t 23
0
3
7
7
7
5
matrisinde t 23 = a = 0 olmas¬şeridin e¼
grilik şeridi olmas¬n¬gerektirir (Keleş 1982).
6.3 E n de Hiperyüzeyler için Joachimsthal Teoremi
Teorem 6.3.1 E n uzay¬nda arakesitleri en az bir e¼
gri olan iki hiperyüzey M ve
M 0 ve E n de
(L)
M \ M 0 olacak biçimde diferensiyellenebilen bir e¼
gri
(L)
olsun. ( (L); M 0 ) şeridinin (e¼
gri-hiperyüzey ikilisinin) e¼
grilikleri ile ( (L); M ) şeridinin e¼
grilikleri aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬
h
0
tij
i
=H
1
tij H +
t
1 (dh )
d¬r (Sabuncuo¼
glu 1976, Hac¬saliho¼
glu 1980).
I·spat
(L) e¼
grisi üzerinde Frenet vektör alanlar¬sistemi
fX1 ; X2 ; :::; Xn g
olsun (Sabuncuo¼
glu ve Hac¬saliho¼
glu 1975).
(L) e¼
grisi üzerinde ortonormal pozitif yönlü,
X1 ; X2 ; :::; Xn
55
ds
H
(6.9)
vektör alanlar¬sistemini öyle seçelim ki 8s 2 L için,
X1 ( (s)); X 2 ( (s)); :::; X n 1 ( (s))
cümlesi TM ( (s)) uzay¬n¬n bir baz¬olsun. Burada, X1 =
@
( @s
) dir.
(s) e¼
grisi üzerinde ortonormal pozitif yönlü,
o
n
0
0
X1 ; X 2 ; :::; X n
vektör alanlar¬sistemini öyle seçelim ki 8s 2 S için,
n
o
0
0
X1 ( (s)); X 2 ( (s)); :::; X n 1 ( (s))
cümlesi TM 0 ( (s)) uzay¬n¬n bir baz¬olsun.
( (L); M ) e¼
gri-hiperyüzey ikilisi (şeridi)nin e¼
griliklerini
t ij
(i; j = 1; 2; :::; n)
ile ( (L); M 0 ) e¼
gri-hiperyüzey ikilisi (şeridi)nin e¼
griliklerini
0
t ij
(i; j = 1; 2; :::; n)
ile gösterelim (Sabuncuo¼
glu ve Hac¬saliho¼
glu 1975, Hac¬saliho¼
glu 1982).
Xi =
n
X
kji
@
;
@xj
gji
@
;
@xj
j=1
Xi =
n
X
j=1
Xi
0
=
n
X
j=1
56
0
gji
@
@xj
oldu¼
gunu varsayal¬m.
[kji ] h = [gji ] ;
h 0 i
[kji ] h1 = gji
olacak biçimde h; h1 2 O(n) matrisleri vard¬r, öyle ki,
2
1
h = 4
h1
0
0
0 h
2
1
= 4
0
0
0 h1
3
5;
3
0
5
0
h ; h1 2 O(n
1)
dir. Bu durumda,
tij
h
0
tij
i
=h
1
[tij ] h +
= h1 1 [tij ] h1 +
t
1 (dh )
ds
t
1 (dh1 )
ds
(6.10)
h
(6.11)
h1
eşitlikleri yaz¬labilir (Sabuncuo¼
glu ve Hac¬saliho¼
glu 1975). Burada (i; j = 1; 2; :::; n)
say¬lar¬ (L) e¼
grisinin tij e¼
grilikleridir (Sabuncuo¼
glu ve Hac¬saliho¼
glu 1975).
h
0
[kji ] h = [gji ] ve [kji ] h1 = gji
i
h
0
) [gji ] h h1 = gji
dir. h 1 h1 = H diyelim. Burada H, X1 ; X2 ; :::; Xn ve
57
1
i
n
o
0
0
X1 ; X 2 ; :::; X n sistem-
lerini birbirine ba¼
glayan ortonormal matristir. h1 = hH olur. (6.11) eşitli¼
ginden,
h
0
tij
i
= h1 1 [tij ] h1 +
= (hH)
1
t
1 (dh1 )
ds
t
1 (d(hH) )
(hH)
ds
(d(H t ht )
1
h 1 [tij ] hH + 1
(hH)
ds
(dH t ht + H t dht )
1
h 1 [tij ] hH + 1
hH
ds
(dH t )ht + 1 (H t dht )
1
hH
h 1 [tij ] hH + 1
ds
(dht )
(dH t ) t
1
h 1 [tij ] hH + 1
h hH + H t 1
hH
ds
ds
(dht )
(dH t )
1
(h 1 [tij ] h)H + H t ( 1
h)H + 1
H
ds
ds
t
t
1 (dh )
1 (dH )
1
1
(h [tij ] h +
h)H +
H
ds
ds
= H
= H
= H
= H
= H
= H
[tij ] (hH) +
h1
son eşitlikte
tij
1
=h
[tij ] h +
t
1 (dh )
ds
h
eşitli¼
gini yerine yazarsak,
h
0
tij
i
= (H
1
tij H +
t
1 (dh )
ds
H)
elde ederiz. Bu eşitlik ( (L); M 0 ) şeridinin (e¼
gri-hiperyüzey ikilisinin) e¼
grilikleri ile
( (L); M ) şeridinin e¼
grilikleri aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬y¬vermektedir (Sabuncuo¼
glu 1976,
Hac¬saliho¼
glu 1980).
58
Teorem 6.3.2 (E 3 de Hiperyüzeyler için Joachimsthal Teoremi) E 3 de (s) e¼
grisi
boyunca kesişen M ve M 0 yüzeylerini gözönüne alal¬m. ( (s); M 0 ) şeridinin e¼
gri0
0
0
likleri kg (geodezik e¼
grilik); kn (normal e¼
grilik); tr (geodezik burulma) ve ( (s); M )
şeridinin e¼
grilikleri kg ; kn ; tr olsun. Bu durumda ( (s); M ) ve ( (s); M 0 ) şeridlerinin
geodezik burulmalar¬aras¬nda
d
ds
0
tr = tr
(6.12)
eşitli¼
gi mevcuttur. Bu eşitlik E 3 uzay¬nda bilinen Joachimsthal teoremini veren
eşitliktir (Sabuncuo¼
glu 1976, Hac¬saliho¼
glu 1980).
I·spat
X2 ve X 2 vektörlerinin belirtti¼
gi aç¬n¬n ölçüsü
ise,
2
1
0
6
6
h = 6 0 cos
4
0 sin
3
0
7
7
7
5
sin
cos
0
0
gi aç¬n¬n ölçüsü
d¬r. X2 ve X 2 vektörlerinin belirtti¼
2
1
0
6
6
h1 = 6 0 cos
4
0 sin
olur.
olur.
2
0
0
0
0
1
0
6
6
H = h 1 h1 = 6 0 cos(
4
0 sin(
=
0
0
sin
cos
0
ise,
3
7
7
7
5
0
0
)
0
)
0
sin(
cos(
0
)
3
7
7
) 7
5
diyelim. X 3 ve X 3 vektörlerinin belirtti¼
gi aç¬n¬n ölçüsü
59
dir.
1 (dH
t)
ds
H matrisi hesaplan¬rsa,
2
1
6
dH t
6
H=6 0
ds
4
0
0
3
0
7
7
7
5
d
ds
0
d
ds
0
bulunur.
0
0
0
( (s); M 0 ) şeridinin e¼
grilikleri kg (geodezike¼
grilik); kn (normal e¼
grilik); tr (geodezikburulma) ve ( (s); M ) şeridinin e¼
grilikleri kg ; kn ; tr olsun. Bu durumda (6.9)
eşitli¼
ginden
2
0
0
6
6
6
4
0
kg
kg
kn
0
0
0
0
tr
kn
0
3
2
7
6
7
6
tr 7 = H 6
5
4
0
0
kg
kg
0
kn
tr
kn
3
7
7
tr 7 H
5
0
2
1
6
6
1
+6 0
4
0
0
0
d
ds
0
d
ds
0
3
7
7
7
5
ve buradan da
2
6
6
6
4
0
0
0
kg
kn
0
0
0
0
tr
kn
0
kg
3
2
7 6
7 6
tr 7 = 6
5 4
0
0
kg cos
kg cos + kn sin
kg sin
kn sin
kg sin + kn cos
0
kn cos
tr +
d
ds
tr
d
ds
0
3
7
7
7
5
bulunur. Bu matris eşitli¼
ginden elde edilen,
0
tr = tr
d
ds
eşitli¼
gi, E 3 uzay¬nda bilinen Joachimsthal teoremini veren eşitliktir (Sabuncuo¼
glu
1976, Hac¬saliho¼
glu 1980).
Teorem 6.3.3 E n n-boyutlu Öklid uzay¬nda M1 ve M2 hiperyüzeyleri verilsin.
(I)
M1 \ M2 olacak şekilde diferensiyellenebilen bir e¼
gri
olsun.
i) ( ; M1 ) ve ( ; M2 ) e¼
gri-hiperyüzey ikilileri e¼
grilik şeridi iken aralar¬ndaki aç¬
sabittir.
60
ii) ( ; M1 ) e¼
grilik şeridi (n
2) boyutlu bir manifold olan M1 \ M2 üzerinde yat-
maktad¬r. Dolay¬s¬yla bu şeridin döndürülmesini çok çeşitli şekillerde tan¬mlamak
mümkündür. Bunlardan öyle bir tanesini tan¬mlayaca¼
g¬z ki bu cins döndürme
n = 3 halindeki iyi bilinen döndürmeye karş¬l¬k gelecektir. ( ; M1 ) şeridinin şerid
vektör alanlar¬Z1 ; Z2 ; :::; Zn
1
ve döndürmeden sonra meydana gelen ( ; M2 ) şeri-
dinin şerid vektör alanlar¬ da Z1 ; Z2 ; :::; Zn 2 ; Xn
öyle döndürelim ki t j(n
1)
= 0; 2
j
1
olmak üzere ( ; M1 ) şeridini
2) olsun. O zaman meydana gelen
(n
( ; M2 ) şeridi de e¼
grilik şeridi olur.
iii) ( ; M1 ) şeridinin ii) de oldu¼
gu gibi döndürülmesiyle elde edilen şerid ( ; M2 )
olmak üzere; bu şeridlerin geodezik torsiyonlar¬aras¬nda
t (n
1)n
= t(n
1)n ;
t jn = tjn cos ;
2
j
n
2
ba¼
g¬nt¬lar¬vard¬r (Keleş 1982).
I·spat.
i) ( ; M1 ) ve ( ; M2 ) e¼
gri-hiperyüzey ikililerinin şerid vektör alanlar¬ sistemleri,
s¬ras¬ile fZ1 ; Z2 ; :::; Zn 1 g ve fX1 ; X2 ; :::; Xn 1 g olsun.
( ; M1 ) ve ( ; M2 ) e¼
gri-hiperyüzey ikilileri e¼
grilik şeridi kabul edildi¼
ginden,
dZn
=
ds
t1n Z1
(6.13)
dXn
=
ds
t1n X1
(6.14)
ve
dir. Zn ve Xn birim normal vektör alanlar¬oldu¼
gundan,
hZn ; Xn i = cos
61
olur. Bu eşitli¼
gin
e¼
grisi boyunca türevi al¬n¬rsa,
dZn
; Xn
ds
bulunur. (6.13) ve (6.14) den
dZn
ds
+ Zn ;
ve
dXn
ds
dXn
ds
=
d(cos )
ds
de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa,
h t1n Z1 ; Xn i + Zn ; t1n X1 =
d
sin
ds
ve buradan da,
d
sin = 0
ds
elde edilir. Buradan sin = 0 veya
sin
= 0 olabilmesi için
d
ds
= 0 olmak zorundad¬r.
= 0 veya
olmal¬d¬r. Bu ise ( ; M1 ) ve ( ; M2 )
=
şeridlerinin çak¬ş¬k olmas¬demektir. O halde
d
ds
= 0 olmak zorundad¬r. Bu da,
= cte
olmas¬n¬gerektirir (Keleş 1982).
ii) ( ; M1 ) ve ( ; M2 ) şeridlerinin şerid vektör alanlar¬sistemleri aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬
matris formunda,
2
Z1
6
6
6 Z2
6
6 ..
6 .
6
6
6 Zn 2
6
6
6 Xn 1
4
Xn
3
2
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
5 4
1 0
0 0
0
0
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0 0
0 1
0
0
0 0
0 0
cos
sin
0 0
0 0
1
..
.
şeklinde yaz¬labilir.
62
sin
cos
32
Z1
76
76
7 6 Z2
76
7 6 ..
76 .
76
76
7 6 Zn 2
76
76
7 6 Zn 1
54
Zn
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(6.15)
( ; M2 ) şeridi için,
dZj
; Xn ;
ds
tjn =
2
j
n
(6.16)
2
ve
t(n
1)n
dXn 1
; Xn
ds
=
(6.17)
dir. Buna göre ( ; M1 ) şeridinin türev denklemlerinden,
dZj
;
ds
2
j
ile (6.15) den Xn in de¼
geri (6.16) ifadesinde yerine yaz¬l¬rsa,
t jn =
tj(n
1)
sin + tjn cos ;
2
j
bulunur.
( ; M1 ) e¼
grilik şeridi oldu¼
gundan
tjn = 0;
2<j<n
1
dir. Ayr¬ca hipotezden,
tj(n
1)
= 0;
2
j
n
2
oldu¼
gu da gözönüne al¬n¬rsa;
t jn = 0;
2
j
n
2
olur. Benzer şekilde (6.17) ifadesinde,
Xn =
sin Zn
1
+ cos Zn
ve
dXn
ds
1
= cos
dZn
ds
63
1
+ sin
dZn
ds
n
2
n
2; de¼
gerleri
de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa;
t(n
1)n
cos2 + t(n
= t(n
1)n
= t(n
2
1)n (cos
sin2
1)n
+ sin2 )
veya
t(n
= t(n
1)n
1)n
olur.
Böylece, t jn = 0; 2
j
2; ve t(n
n
t jn = 0;
= 0 sonuçlar¬birleştirilirse,
1)n
2
j
n
1
olur. Bu ise ( ; M2 ) nin e¼
grilik şeridi olmas¬n¬gerektirir (Keleş 1982).
iii) ii) de yap¬lan hesaplamalardan,
t jn =
tj(n
1)
sin + tjn cos ;
2
j
ve
t (n
= t(n
1)n
1)n
oldu¼
gu görülür. Hipotezden,
tj(n
1)
= 0;
2
j
n
2
oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa,
t jn = tjn cos ;
2
j
ve
t (n
1)n
= t(n
64
1)n
n
2
n
2
bulunur. Bu ise ispat¬tamamlar (Keleş 1982).
6.4 E n de Hiperyüzeyler için Terquem Teoremi
Teorem 6.4.1 E n de iki hiperyüzey M1 ve M2 olsun. M1 üzerinde düzlemsel olmayan bir e¼
gri
ve M2 üzerinde bir di¼
ger e¼
gri de
olsun.
ve
e¼
grilerinin noktalar¬
M1 ve M2 üzerinde yuvarlanan bir " hiperdüzlemi ile 1:1 karş¬l¬k gelsinler,öyle ki;
i) karş¬l¬k gelen noktalar aras¬ndaki uzakl¬k sabittir.
ii)
n¬n birim te¼
get vektör alan¬ dsd 1 = Z1 olmak üzere ( ; M1 ) bir e¼
grilik şerididir.
iii)
n¬n birim te¼
get vektör alan¬ dsd 2 = X1 olmak üzere ( ; M2 ) bir e¼
grilik şerididir.
I·ddia Bu üç önermeden herhangi ikisi üçüncüsünü verir (Keleş 1982).
I·spat
1) ii), iii))i)
Şekil 3.2 den,
(s2 ) = (s1 ) + (s1 )!
v (s1 )
dir. Burada s1 ve s2 s¬ras¬ile,
ve
(6.18)
e¼
grilerinin yay parametreleridir.
(s1 ) ve (s2 )
noktalar¬ M1 ve M2 nin ortak tanjant uzaylar¬nda bulundu¼
gundan !
v (s1 ) birim
vektörü de bu uzayda bulunur. ( ; M1 ) ve ( ; M2 ) şeridlerinin şerid vektör alan
sistemleri s¬ras¬ile,
fZ1 ; Z2 ; :::; Zn g
ve
fX1 ; X2 ; :::; Xn g
olsun. !
v (s1 ) vektörü TM ( (s1 )) in ortonormal bir baz¬olan fZ1 ; Z2 ; :::; Zn 1 g cinsin65
den ifade edilebilir. Yani,
!
v (s1 ) =
n 1
X
hi Zi
(6.19)
i=1
dir. ( ; M1 ) ve ( ; M2 ) e¼
grilik şeridi oldu¼
gundan Tan¬m 6.2.1 e göre,
dZn
=
ds1
t1n Z1
(6.20)
dXn
=
ds2
t1n X1
(6.21)
ve
dir. M1 ve M2 hiperyüzeyleri
ve
e¼
grileri boyunca ortak tanjant uzaya sahip
olduklar¬ndan Zn (s1 ) = Xn (s2 ) dir. Buna göre (6.20) ve (6.21) eşitliklerinden,
t1n X1 ds2 = t1n Z1 ds1
yaz¬l¬r. Bu eşitli¼
gin her iki taraf¬normlan¬rsa, X1 ve Z1 birim te¼
get vektör alanlar¬
olmalar¬nedeniyle,
t1n
ds1
=
ds2
jt1n j
(6.22)
t1n
=k
jt1n j
(6.23)
olur. Burada
oldu¼
gunu kabul edelim. (6.18) ifadesinin s1 e göre türevi al¬n¬rsa,
d ds2
d d !
d!
v
v (s1 ) + (s1 )
=
ds2 ds1
ds1 ds1
ds1
olur. Bu ifadede (6.22) ve (6.23) ifadeleri gözönüne al¬n¬rsa,
d !
d!
v
X1 = kZ1 + k
v (s1 ) + k (s1 )
ds1
ds1
eşitli¼
gi elde edilir.
66
(6.24)
(6.24) eşitli¼
ginde !
v (s1 ) vektörünün (6.19) ifadesindeki de¼
geri yaz¬l¬rsa,
n 1
d X
hi (s1 )Zi + k (s1 )
X1 = kZ1 + k
ds1 i=1
n 1
X
d hi (s1 )Zi
i=1
ds1
veya
(n 1
n 1
X
d X
hi (s1 )Zi + k (s1 )
X1 = kZ1 + k
ds1 i=1
i=1
n 1
X
dhi
Zi + hi tij Zj
ds1
j=1
!)
eşitli¼
gi elde edilir.
Bulunan bu X1 de¼
geri,
hX1 ; Xn i = 0
eşitli¼
ginde yerine yaz¬l¬r ve Xn = Zn oldu¼
gu gözönünde tutulursa,
n 1
X
hi tin = 0
i=1
olur ve ( ; M1 ) in e¼
grilik şeridi olmas¬sebebiyle de,
t 2n = t 3n = ::: = t (n
1)n
=0
oldu¼
gundan,
h1 t1n = 0
olur.
(6.25)
e¼
grisi düzlemsel olmad¬g¼¬ndan t1n 6= 0 d¬r. O halde
h1 = 0;
yani
hZ1 ; !
v (s1 )i = 0
d¬r.
67
(6.26)
Zn = Xn oldu¼
gundan (6.20) ve (6.21) ifadelerinden X1 ve Z1 in lineer ba¼
g¬ml¬
olduklar¬aç¬kt¬r. Buna göre,
hX1 ; !
v (s1 )i = 0
(6.27)
olur. (6.24) ifadesinin her iki taraf¬ !
v (s1 ) birim vektörü ile iç çarp¬m yap¬l¬rsa,
d !
hX1 ; !
v (s1 )i = k hZ1 ; !
v (s1 )i + k
h v (s1 ); !
v (s1 )i + k (s1 )
ds1
d!
v !
; v (s1 )
ds1
olur. Bu eşitlikte (6.26) ve (6.27) ifadeleri gözönüne al¬n¬rsa,
k
d!
v !
; v (s1 )
ds1
d !
h v (s1 ); !
v (s1 )i + k (s1 )
ds1
=0
bulunur. Ayr¬ca
h!
v (s1 ); !
v (s1 )i = 1
ve
d!
v !
; v (s1 )
ds1
=0
d¬r. O halde
k
olur.
d
=0
ds1
e¼
grisi düzlemsel olmad¬g¼¬ndan k 6= 0 d¬r. Böylece,
d
=0
ds1
yani
= cte
olmak zorundad¬r (Keleş 1982).
2) i), ii))iii)
Z1 ve X1 birim te¼
get vektör alanlar¬, s¬ras¬ ile, M1 ve M2 nin tanjant uzaylar¬
olduklar¬ndan,
hZ1 ; Zn i = 0
68
ve
hX1 ; Xn i = 0
dir. Zn = Xn oldu¼
gundan,
hZ1 + X1 ; Zn i = 0
veya
Z1 [hZ1 + X1 ; Zn i] = 0
veya
hDZ1 Z1 + X1 ; Zn i + hZ1 + X1 ; DZ1 Zn i = 0
veya
hDZ1 Z1 ; Zn i + hDZ1 X1 ; Zn i + hZ1 ; DZ1 Zn i + hX1 ; DZ1 Zn i = 0
(6.28)
bulunur.
Gauss denkleminden
DZ1 Z1 = DZ1 Z1 + hS(Z1 ); Z1 i Zn
ve
DZ1 X1 = DZ1 X1 + hS(Z1 ); X1 i Zn
yaz¬labilir. (6.28) eşitli¼
ginde bu de¼
gerler yerlerine yaz¬l¬rsa,
DZ1 Z1 + hS(Z1 ); Z1 i Zn ; Zn + DZ1 X1 + hS(Z1 ); X1 i Zn ; Zn +hZ1 ; DZ1 Zn i+hX1 ; DZ1 Zn i = 0
olur. DZ1 Z1 ve DZ1 X1 vektör alanlar¬ tanjant uzayda bulunduklar¬ndan Zn ile iç
çarp¬mlar¬s¬f¬rd¬r. O halde,
hS(Z1 ); Z1 i hZn ; Zn i +hS(Z1 ); X1 i hZn ; Zn i +hZ1 ; DZ1 Zn i +hX1 ; DZ1 Zn i = 0 (6.29)
69
olur.
S(Z1 ) = DZ1 Zn
ve ( ; M1 ) e¼
grilik şeridi oldu¼
gundan,
DZ1 Zn =
t1n Z1
dir. Bu de¼
ger (6.29) ifadesinde yerine yaz¬l¬r ve hZn ; Zn i = 1 oldu¼
gu gözönüne
al¬n¬rsa,
t1n
t1n hZ1 ; X1 i
t1n hX1 ; Z1 i = 0
t1n
olur. Buradan da,
hZ1 ; X1 i =
1
eşitli¼
gi elde edilir.
Z1 ve X1 birim te¼
get vektör alanlar¬oldu¼
gundan,
hZ1 ; X1 i = cos
olur. Buna göre,
cos =
yani
=
1
olmak zorundad¬r. Buradan
X1 =
Z1
elde edilir.
( ; M2 ) nin türev denklemleri gere¼
gince,
DX1 Xn =
t1n X1
t2n X2
70
:::
t(n
1)n X(n 1)n
(6.30)
dir. Xn = Zn ve X1 =
Z1 oldu¼
gundan,
DX1 Xn = D
Z1 Z n
=
DZ1 Zn
=
( t1n Z1 )
=
t1n ( Z1 )
veya
DX1 Xn =
t1n X1
(6.31)
bulunur. (6.30) ve (6.31) eşitlikleri karş¬t¬r¬l¬rsa,
t2n = ::: = t(n
1)n
=0
oldu¼
gu görülür. Bu da ( ; M2 ) şeridinin e¼
grilik şeridi olmas¬demektir (Keleş 1982).
71
¼ I·LI·KLERI·
7. E 3 DE BI·R ŞERI·DI·N HARMONI·K EGR
E 3 de bir ( ; M ) şeridinin harmonik e¼
grili¼
gi H veya H olsun. O zaman şeridin harmonik e¼
grili¼
gi s¬ras¬yla şeridin torsiyonunun normal e¼
grili¼
gine veya geodezik e¼
grili¼
gine oranlar¬olacakt¬r.
1. durumda yani,
7.1 Birinci E¼
grilik Olarak kn =
b Al¬nmas¬Durumunda Şeridin Harmonik
E¼
grili¼
gi
H=
a
tr
=
kn
b
(7.1)
şeklindedir.
7.1.1 E 3 de birinci e¼
grilik olarak kn =
b al¬nmas¬ durumunda şeridin
harmonik e¼
grili¼
gi ile e¼
grinin harmonik e¼
grili¼
gi aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬
Bir ( ; M ) şeridinin a; b; c e¼
griliklerinin,
e¼
grisinin
ve
e¼
grilikleri cinsinden
de¼
gerlerini (154) ifadesinde yerlerine yazarsak,
tr
a
'+
=
=
kn
b
sin '
'
H =
+
sin '
sin '
H =
'
H
+
sin ' sin '
(7.2)
bulunur. Son eşitlik E 3 de birinci e¼
grilik olarak kn =
b al¬nmas¬durumunda şeridin
H=
harmonik e¼
grili¼
gi ile e¼
grinin harmonik e¼
grili¼
gi aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬d¬r.
72
Özel Hal:
Teorem 7.1.1.1 ( ; M ) E 3 de bir şerid (e¼
gri-yüzey ikilisi) olmak üzere yüzeyin
normali (şeridin normali) ile e¼
grinin binormali aras¬ndaki ' aç¬s¬ sabit ise E 3 de
birinci e¼
grilik olarak kn =
b al¬nmas¬ durumunda şeridin harmonik e¼
grili¼
gi ile
e¼
grinin harmonik e¼
grili¼
gi aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬:
1.
H
sin '
= H csc '
H =
d¬r.
II. durumda yani,
7.2 Birinci E¼
grilik Olarak kg = c Al¬nmas¬Durumunda Şeridin Harmonik
E¼
grili¼
gi
H=
a
tr
=
kg
c
(7.3)
şeklindedir.
7.2.1 E 3 de birinci e¼
grilik olarak kg = c al¬nmas¬durumunda şeridin harmonik e¼
grili¼
gi ile e¼
grinin harmonik e¼
grili¼
gi aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬
Bir ( ; M ) şeridinin a; b; c e¼
griliklerinin,
e¼
grisinin
de¼
gerlerini (156) ifadesinde yerlerine yazarsak,
73
ve
e¼
grilikleri cinsinden
2.
tr
a
'+
= =
kg
c
cos '
H =
'
+
cos '
H =
cos '
'
H
+
cos ' cos '
H=
(7.4)
şeklinde elde ederiz.
Özel Hal:
Teorem 7.2.1.1 Bir ( ; M ) şeridinin birinci e¼
grili¼
gi olarak kg = c al¬nmas¬durumunda yüzeyin normali (şeridin normali) ile
e¼
grisinin binormali aras¬ndaki aç¬
sabit ise o zaman şeridin harmonik e¼
gri¼
gi ile e¼
grinin harmonik e¼
grili¼
gi aras¬ndaki
ba¼
g¬nt¬:
H
cos '
= H sec '
H =
şeklinde olacakt¬r.
7.3 E 3 de Total E¼
grili¼
gin Şerid E¼
grilikleri Cinsinden I·fadesi
E 3 de bir
e¼
grisi verilsin.
total e¼
grili¼
gi
e¼
grisinin e¼
grilikleri k1 ve k2 olmak üzere
q
Total e¼
grilik = k12 + k22
(7.5)
dir (Hac¬saliho¼
glu 2009).
e¼
grisinin Total e¼
grili¼
ginin, ( ; M ) şeridinin e¼
grilikleri cinsinden ifadesi:
Total e¼
grilik =
r
b2 + c 2 + ( a +
74
e¼
grisinin
b c bc 2
)
b2 + c 2
Burada
b =
sin '
c =
eşitliklerini kullanarak b c
bc ifadesini hesaplarsak,
bc
elde edilir. Böylece
b c bc
b2 +c2
=
bc =
k12 '
' elde edilir. Yani
Total e¼
grilik =
veya
cos '
p
Total e¼
grilik =
dir.
b2 + c2 + ( a + ' )2
p
b2 + c2 + (a + ' )2
Özel hal:
Teorem 7.3.1 Bir M yüzeyinin normali ile bu M yüzeyi üzerindeki
e¼
grisinin
binormali aras¬ndaki ' aç¬s¬sabit ise,
Total e¼
grilik =
p
b 2 + c 2 + a2
Total e¼
grilik =
p
a2 + b 2 + c 2
son eşitli¼
gi düzenlersek,
(7.6)
dir.
Teorem 7.3.2 ( ; M ); E 3 de bir şerid (e¼
gri-yüzey ikilisi) ve H ve H bu şeridin harmonik e¼
grilikleri olsun. Bu durumda yüzeyin normali ile e¼
grinin binormali aras¬ndaki
75
sabit aç¬' olmak üzere ( ; M ) şeridinin e¼
gilim şeridi olmas¬için gerek ve yeter koşul
2
2
H + H = sabit
(7.7)
olmas¬d¬r.
I·spat
2
2
()) ( ; M ) e¼
gilim şeridinin harmonik e¼
grilikleri H ve H olsun. Bu durumda H +H
eşitli¼
ginin sabit oldu¼
gunu göstermeliyiz.
2
tr
kn
=
a
b
2
=
a
b
=
'+
sin '
Şeridin harmonik e¼
griliklerinin H =
2
H +H
tr
kg
ve H =
a
c
+
2
+
=
a
c
olduklar¬n¬biliyoruz.
2
'+
cos '
2
Burada yüzeyin normali ile e¼
grinin binormali aras¬ndaki ' aç¬s¬sabit olarak al¬nd¬g¼¬ndan ' = 0 d¬r.
2
H +H
2
2
=
sin '
2
=
=
=
=
Teorem 5.1 den
2
2
+
cos '
2
+ 2
cos2 '
sin2 '
2
cos2 ' + 2 sin2 '
2 sin2 ' cos2 '
2
(cos2 ' + sin2 ')
2 sin2 ' cos2 '
2
1
(sin ' cos ')2
2
=sabit oldu¼
gunu biliyoruz (Hac¬saliho¼
glu 2000). ' aç¬s¬da sabit
2
oldu¼
gundan H + H eşitli¼
gi sabittir.
2
2
( H + H eşitli¼
gi sabit olsun. Bu durumda ( ; M ) şeridi e¼
gilim şeridi midir?
76
2
2
H + H eşitli¼
gi incelersek
2
2
H +H
2
=
2
+
sin '
cos '
2
=
2
2
sin2 '
+
2
cos2 '
cos2 ' + 2 sin2 '
2 sin2 ' cos2 '
2
(cos2 ' + sin2 ')
2 sin2 ' cos2 '
2
1
(sin ' cos ')2
2
=
=
=
2
2
2
2
H + H eşitli¼
gi sabit al¬nd¬g¼¬ndan H + H =
sabit oldu¼
gundan
1
(sin ' cos ')2
2
1
(sin ' cos ')2
= sabittir. ' aç¬s¬da
eşitli¼
gi sabit olmak zorundad¬r. Dolay¬s¬yla
sabit olmak zorundad¬r. O halde
sabit olur. Bu da
2
de
n¬n helis olmas¬demektir.
( ; M ) şeridi de helis şerididir.
Teorem 7.3.3 ( ; M ); E 3 de bir şerid (e¼
gri-yüzey ikilisi) ve H ve H bu şeridin harmonik e¼
grilikleri olsun.Bu durumda yüzeyin normali ile e¼
grinin binormali aras¬ndaki
sabit aç¬' olmak üzere ( ; M ) şeridinin e¼
gilim şeridi olmas¬için gerek ve yeter koşul
H
= tan ' = sabit
(7.8)
H
olmas¬d¬r.
I·spat
())( ; M ) e¼
gilim şeridinin harmonik e¼
grilikleri H ve H olmak üzere Teorem 7.1.1.1
77
ve Teorem 7.2.1.1 den H =
H
cos '
ve H =
H
H
sin '
=
H
olduklar¬n¬biliyoruz. Bu durumda;
H
cos '
H
sin '
= tan '
olur. ' sabit oldu¼
gundan
H
= sabit olur.
H
(() H = sabit olsun. Bu durumda tan '; dolay¬s¬yla ' sabit olur. Yüzeyin normali
H
ile
e¼
grisinin binormali aras¬ndaki aç¬olan ' sabit oldu¼
gundan ( ; M ) e¼
gilim şeridi
olur.
78
KAYNAKLAR
Auslender, L. 1963, Di¤erential Geometry, A Harper International Edition, Harper
Row. New York, 1963.
Blaschke, W. 1930. “Vorlesungen Über Di¤erential Geometrie I” Band I, Verlag
Von Julius Springer in Berlin.
Boothby, W. M. 1975. “An Introduction to Di¤erentiable Manifolds an Riemannian
Geometry”Academic Press, London.
Gluck, H. 1966. “Higher Curvatures of Curves in Eucliden Space”, Amer. Math.
Montly. 73, pp: 699-704.
Hac¬saliho¼
glu, H. H. 1980. Yüksek Diferensiyel Geometriye Giriş. F¬rat Üniversitesi,
Fen Fakültesi Yay¬nlar¬, Mat-No:2, pp: 129-130 and pp:390-435.
Hac¬saliho¼
glu, H.H. 1982.
“On The Relations between The Higher Curvatures
of A Curve and A strip” Communications de la Faculté des Sciences De L’
Université d’Ankara Série A1, Tome 31, pp: 1-14.
Hac¬saliho¼
glu, H.H. 2000a. Diferensiyel Geometri Cilt I, IV. Bask¬. Özel Yay¬n.
Hac¬saliho¼
glu, H.H. 2000b. Diferensiyel Geometri Cilt II. 3. Bask¬. Özel Yay¬n.
Hac¬saliho¼
glu, H.H. 2008. Lineer Cebir Cilt I, 8. Bask¬, Özel Yay¬n.
Hac¬saliho¼
glu, H.H. 2009. “A New Characterization For Inclined Curves by the
Help of Spherical Representations”, International Electronic Journal of Geometry Volume:2, No:2, Pages : 71-75.
Hicks, N.J. 1974. “Notes on Di¤erential Geometry” Van Nostrand Reinhold Company, London, pp: 1-60.
Keleş, S. 1982. “Manifoldlar için Joachimsthal Teoremleri” (doktora tezi), Ankara
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
Kobayashi, S. and Nomizu, K. 1963. “Foundations of Di¤erential Geometry” Vol.
I, Vol. II. Copyright c by John Wiley sons incs. LCCCN : 63- 19209.
Matsushima, Y. 1972. “Di¤erentiable Manifold” Marcel Dekker, Inc. New York.
(Translated by E .T. Kobayashi). pp : 25-80.
Özdamar, E. and Hac¬saliho¼
glu, H. H. 1974. “Characterizations of Spherical Curves
in Euclidean n- Space”Communications de la Faculté des Sciences de L’Université
d’Ankara Série A1, Tome 23 A, pp:109-125.
79
O’Neill, B. 1966. “Elementary Di¤erential Geometry”Academic Press.
Sabuncuo¼
glu, A. and Hac¬saliho¼
glu, H. H. 1975. “Higher Curvatures of A Strip”
Communications de la Faculté des Sciences De L’Université d’Ankara Série
A1, Tome 24 , pp: 25-33. année: 1975.
Sabuncuo¼
glu, A. and Hac¬saliho¼
glu, H. H. 1975. “On Higher Curvatures of A Curve”
Communications de la Faculté des Sciences De L’Université d’Ankara Série
A1, Tome 24, pp: 33-46.
Sabuncuo¼
glu, A. 1976. “E n de (n-1) manifoldlar için Joachimsthal Teoremi”(doktora
tezi), Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
Sabuncuo¼
glu, A. 2004. Diferensiyel Geometri, 73 s., Nobel Yay¬n No:258,Yenişehir,
Ankara.
Struik, D.J. 1957. Lectures On Classical Di¤erential Geometry, Addison-Wesley
Publishing Company, pp: 35, Massachusetts, U.S.A.
80
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬
: Filiz ERTEM KAYA
Do¼
gum Yeri
: Karaman
Do¼
gum Tarihi : 15:12:1978
Medeni Hali
: Evli
Yabanc¬Dili
: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise
Ni¼
gde Anadolu Lisesi (1996)
Lisans
Ni¼
gde Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi (2000)
Yüksek Lisans
Ni¼
gde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü (2003)
Çal¬şt¬g
¼¬Kurum/Kurumlar ve Y¬l
Aksaray I·ncesu Lisesi (2000
2001)
Ni¼
gde Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi(2001
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi(2003
2003)
...)
Yay¬nlar¬(SCI ve di¼
ger)
1. Ertem Kaya, F., Yayl¬, Y., Hac¬saliho¼
glu, H. H., “A Characterization Of
Cylindrical Helix Strip”(Accepted to publish) Communications de la Faculté
des Sciences De L’Université d’Ankara Série A1, Volume 59 (1), année: 2010.
2. Ertem Kaya, F., Yayl¬, Y., Hac¬saliho¼
glu, H. H.,
“A Characterization Of Spherical Helix Strip”(submitted to publish).
81
3. Ertem Kaya, F., Yayl¬,Y., Hac¬saliho¼
glu, H. H.,“Harmonic Curvature of
A Strip”(submitted to publish).
4. Ertem Kaya, F., Yayl¬,Y., Hac¬saliho¼
glu, H. H., “The Conical Helix Strip”
(submitted to publish).
5. Ertem Kaya, F.and Hac¬saliho¼
glu, H. H. 2009. “Relations between the
harmonic curvature of a curve and harmonic curvature of a strip”VII. Geometri
Sempozyumu, K¬rşehir:
6. Ertem Kaya, F., Yayl¬Y.,Hac¬saliho¼
glu,H.H.2010.“A Characterization
for Helix Strip in E 3 ”, VIII. Geometri Sempozyumu, Antalya.
7. Ertem Kaya, F., Alt¬ntaş, I·.., Hac¬saliho¼
glu, H. H. 2010.“On Seifert
Matrices and Knot Invariants”, VIII. Geometri Sempozyumu, Antalya.
8. Ertem Kaya, F., Yayl¬Y., Hac¬saliho¼
glu, H. H. 2010.“A Characterization
of Spherical Helix Strip”, V.Ankara Matematik Günleri TOBB Üniversitesi, Ankara.
82