fonksıyonlar

Kartezyen çarpım : İlk elemanı birinci kümeden , ikinci elemanı
ikinci kümeden gelen ikililerin oluşturduğu kümeye denir.
Örnek 1: A = {1,2,3} ve B = {a,b} ise
AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} olur.
BxA = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} şeklinde yazılır.
Örnekte görüldüğü gibi
( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ).
Yine örnekte görüldüğü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin
2 elemanı vardır. AxB kümesinin eleman sayısı ise 6 ‘dır.
Böyle olması tesadüf değildir.
Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ;
kartezyen çarpımı oluşturan kümelerin eleman
sayılarının çarpımına eşittir.
Aynı sebeple BxA kümesinin eleman sayısı da 6 ‘dır. Yani
kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği olmamasına
karşılık her kümenin eleman sayıları eşittir ( Denk kümeler ).
( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur )
s(AxB) = s(BxA) = s(A) s(B) ( Denk kümeler )
Bağıntı : Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt
kümesine denir. Eğer bağıntı, AxB ‘nin alt kümesi ise o
bağıntıya A’dan B’ye bir bağıntı denir. Buradaki birinci küme,
bağıntının tanım kümesi ; ikinci küme ise bağıntının değer
kümesi olarak adlandırılır.
“n” elemanlı bir kümenin tüm bağıntılarının sayısı 2n
olduğundan dolayı A’dan B’ye yazılabilecek tüm
bağıntıların sayısı da 2s(A)s(B) ‘ dir.
Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise A’dan B’ye yazılabilecek
tüm bağıntıların sayısı 220 olur. Tabii ki aynı şekilde B’den
A’ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 220 ‘dir.
Örnek 3 : A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere A’dan B’ye
bir bağıntı tanımlayalım :
b ={(1,1),(2,1),(2,2),(3,a) } ise grafik ile gösterimi şöyle olur :
b : A  B olmak üzere tanımlanmış bağıntının tanım
kümesi A,
değer kümesi B, görüntü kümesi ise C ‘dir.
NOT : b : A  B (b A’dan B’ye bir bağıntıdır diye okunur)
C = b (A) = {b (1),b (2),b (3)} = {1,2,a} kümesine görüntü
kümesi denir ve her zaman değer kümesi ile aynı
anlama gelmeyebilir.
Örnek 4 : s(A) = 4 olduğuna göre A’ dan A’ya yazılabilecek
bağıntıların kaç tanesi 3 elemanlıdır ?
Çözüm : s(AxA) = 16 olduğundan ve 16 elemanlı bir
kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı
olur.
Örnek 5 : A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan
b ={(a,a),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d)}bağıntısını grafik ile gösteriniz :
Çözüm :
Bağıntıların özellikleri :
1.
Yansıma özelliği : Bir A kümesi üzerinde
tanımlanan bağıntı , A kümesinin tüm elemanları için
yazılabilecek (x,x) ikililerini içeriyorsa yansıyandır.
2.
Simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken
aynı anda (y,x) ikilisini de içeriyorsa simetriktir.
3.
Ters simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini
içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içermiyorsa ters
simetriktir.
4.
Geçişme özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini ve (y,z)
ikilisini içerirken aynı anda (x,z) ikilisini de içeriyorsa
geçişkendir.
Bağıntı çeşitleri :
1.
Denklik bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, simetri ve
geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya denklik
bağıntısı denir.
2.
Sıralama bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, ters
simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya
sıralama bağıntısı denir.
Örnek 6: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
b = {(1,1),(2,2),(1,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini
inceleyelim :
Çözüm :
A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için
yansıyan,
(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içermediğinden ters
simetrik,
(1,1) ve (1,2) varken (1,2) ikilisini de olduğundan
geçişkendir.
Bu 3 özelliğin sonucu olarak da sıralama bağıntısıdır.
Örnek 7: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
b = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini
inceleyelim :
Çözüm :
A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için
yansıyan,
(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içerdiğinden simetrik,
(2,1) ve (1,2) varken (1,1) ve (2,2) ikilisini de olduğundan
geçişkendir.
Bu 3 özelliğin sonucu olarak da denklik bağıntısıdır.
Örnek 8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
b = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini
inceleyelim :
Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir.
b = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini
inceleyelim :
Çözüm :
Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir.
Tüm özellikleri sağlamasının sonucu olarak da hem
denklik hem de sıralama bağıntısıdır.
Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik
olabilir.
Örnek 9: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
b = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(1,3),(4,4)} bağıntısının
özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
(3,3) ikilisini içermediği için yansıyan değil ;
(1,3) ikilisinin tersi olmadığı için simetrik değil ;
aynı anda hem (1,2) hem de (2,1) ikililerini içerdiği için ters
simetrik değil ; (2,1) ve (1,3) varken (2,3) olmadığından
dolayı da geçişken değildir.
Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik
olmayabilir.
Örnek 10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
b = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} bağıntısının özelliklerini
inceleyelim :
Çözüm :
(3,3) ve (4,4) ikililerini içermediği için yansıyan değil ;fakat
simetrik ve geçişkendir.
b : A ® A ve s(A) = n olmak üzere
Tanımlanabilen bağıntı sayısı
;
Tanımlanabilen yansıyan bağıntı sayısı
Tanımlanabilen simetrik bağıntı sayısı
;
‘ dir.
Fonksiyon :
Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer
kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o
bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon
değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı
daha da açarsak:
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için :
1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması
;
2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir
değerinin olması gerekmektedir.
f(2)=1 ve f(2)=2
olduğundan yani 2
elemanının 1’den
fazla değeri olduğu
için fonksiyon
değildir.
Tanım kümesinde
açıkta eleman
kaldığı için fonksiyon
değildir.
f(2) = tanımsız.
Her iki şartı da
sağladığı için
fonksiyondur.
A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A)
ile hesaplanır.
A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A  B şeklinde
gösterilebilir.
x  A ve y B olmak üzere f : x  y , y = f(x) şeklinde de
ifade edilebilir.
Örnek 11: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre A’dan
B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun :
Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı
yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir.
Örnek 12: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre y =
f(x) = x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema
yöntemiyle gösterin :
Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin
elemanlarını hesaplayalım :
f (1) = 3 ; f(2) = 4 ; f(3) = 5 olduğundan
f (A) = {3,4,5} olur.
Venn şeması ile gösterimi ise şöyledir :
Örnek 13: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduğuna göre
y = f(x) = x2+1 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve
grafik yöntemiyle gösterelim:
Çözüm : f(-1) = 2 ;
f (0) = 1 ;
f( 1) = 2 ;
f( 2) = 5 olduğuna göre :
f(A) = {1,2,5} olur.
Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise şöyledir :
Örnek 14 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda
tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer
kümelerini bulunuz :
Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı
elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki
tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin
elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri
tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen
değerlerini almak gerekir.
Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 }
Değer kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 }
Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }
Örnek 15 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda
tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer
kümelerini bulunuz :
Çözüm : Tanım kümesi = [-1,7] ;
Değer kümesi = [-5,8] ;
Görüntü kümesi = [-5,8] .
Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt
kümesi olabilir.
Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız
ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın
iki şartını da sağlıyor.
Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel
çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların
herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den
az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.
Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada
kestiği için bir fonksiyondur.
Örnek 17: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan
bağıntı fonksiyon mudur ?
Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (- ,-4) aralığındaki
değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir.
Aynı zamanda [-4, ) aralığındaki değerlerinin de birden
fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu
sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için yeterlidir.
Fonksiyon Türleri :
İçine fonksiyon :
Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt
kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım
kümesinde karşılığı yok ) ise bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 18 :
Örten fonksiyon :Eğer fonksiyonun görüntü kümesi ,
değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının
tanım kümesinde karşılığı var ) ise bu tür fonksiyonlara
denir.
Örnek 19 :
Bire-bir (1-1) fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü
kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir
karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 20 :
Sabit fonksiyon : Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki
her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı
eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 21 :
Birim fonksiyon : Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki
her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi
oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 22:
Örnek 23 : Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1-1 ;
hem örten hem de birim fonksiyondur.
Örnek 24: Aşağıdaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : Görüntü kümesinin (- ,-4) arasındaki
değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı için içine
fonksiyondur.
x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa
içine fonksiyondur.
Örnek 25: Aşağıdaki f : R  [-4, ) ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım
kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur.
Örnek 26: Aşağıdaki f : R  R ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine
kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı
zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.
Örnek 27 : Aşağıdaki f : R  R ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep
aynı olduğundan sabit fonksiyondur.
Örnek 28 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1
fonksiyondur ?
Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek
noktada kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 değildir. Bu
nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1-1 ‘
dir.
s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere :
1. A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ;
2. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ;
3. A’dan B’ye tanımlanan 1-1 fonksiyon sayısı P(b,a).
Örnek 29 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane
fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye
tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ?
Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ;
toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43 olduğundan dolayı s(A)
= 3’tür.
Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da
olur.
Örnek 30 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon
tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane
yansıyan bağıntı tanımlanabilir ?
Çözüm : 27 = 33 olduğuna göre s(A) = 3 ‘ tür.
Yansıyan bağıntı sayısı ise 29-3 = 26 = 64 olur.
Örnek 31 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı
tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit
fonksiyon tanımlanabilir ?
Çözüm : olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit
fonksiyon sayısı 6 olur.
Permütasyon fonksiyonu : Sonlu bir A kümesi üzerinde
A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon
fonksiyonu denir.
Örnek 32 :
s(A) = a olmak üzere :
A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı
a ! ‘ dir.
Örnek 33 : A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten
fonksiyon tanımlanabildiğine göre 1-1 ve örten olmayan
fonksiyon sayısı kaç tanedir ?
Çözüm : 24 = 4! olduğundan s(A) =4 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 44 = 256 olur.
Bunların da 24 tanesi 1-1 ve örten olduğundan
geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve örten değildir.
Örnek 35 : A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon
tanımlanabildiğine göre A kümesi üzerinde tanımlanabilen
bağıntıların kaç tanesi yansıyan değildir ?
Çözüm : 6 = 3! olduğundan s(A) = 3 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam bağıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi
yansıyandır. Geriye kalan 29 - 26 =512-64 tanesi yansıyan
değildir.
Örnek 35 : Aşağıda grafiği verilen f : A  B fonksiyonunu
permütasyon fonksiyonu formunda yazalım .
Çözüm : f (1) = 3 ;
f (2) = 1 ;
f (3) = 2 olduğundan f fonksiyonu
şeklinde yazılabilir.
Fonksiyonların toplamı,farkı, çarpımı,bölümü :
f (x) ve g (x) fonksiyonları için
h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam
fonksiyonu ;
h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu
;
h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım
fonksiyonu ;
h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm
fonksiyonu denir.
Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan
birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi
f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim
kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan
işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde
yapılacaktır.
Örnek 36 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = {1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım
ve değer kümelerini bulunuz.
Çözüm : Tanım kümesi = A  B = {-1,2,3} olur.
h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan
h (-1) = -3
h ( 2) = 12
h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde
bulunur.
Örnek 37 : f : A  B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve
g : C  D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre
h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz .
Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları
görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir.
h (1) = 5f (1) = 10 ;
h (2) = 5f (2) = 15 ;
h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20}
olarak bulunur.
Bir Fonksiyonun Tersi :
f:A B, f = {(x,y)| x y B} bire bir örten fonksiyon
olmak üzere ,
f -1:B A, f -1 = {(y,x)| (x,y)  f } fonksiyonunda f’nin ters
fonksiyonu denir.
(X,Y)  f  (y,x) f -1 olduğu için, y = f(x)  x = f -1 (y) dir.
Ayrıca, (f -1 ) -1 = f dir.
UYARI :
f, A dan B ye bire bir ve örten bir fonksiyon değilse f -1, B den A
ya bir fonksiyon olmayıp bir bağıntıdır.
Örnek 38 :A = {a,b,c} dan B = {1,2,3} ye f = {(a,2),(b,3),(c,3)}
fonksiyonunun tersi olup olmadığını araştıralım.
Çözüm :
Fonksiyonu hem bire bir hem de örten olmadığı için tersi yoktur.
Ters Fonksiyonunun Bulunması :
y = f(x)  x = f -1 (y) olduğundan f -1 i bulmak için x,y cinsinden
bulunur ve x ile y nin yerleri değiştirilir.
Örnek 39:
f :R
R, f(x)
F(x)
Olduğuna göre f -1 i bulalım.
y
 3x + 2 = 4y
 3x = 4y - 2
x
f: |R
f(x) =y
 f -1 (x)
olur.
|R
f: x
y
f -1(y) = x
Bileşke Fonksiyon:
f:A
B, g:B
C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C Kümesinin
elemanlarına eşleyen fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu
denir.
SORU 1:
ÇÖZÜM :
SORU 2:
ÇÖZÜM :
SORU 3:
ÇÖZÜM :
SORU 4:
ÇÖZÜM :