Slide 1 - Ninova

Spektral Teori
Spectrum:
Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl
dönüşümlerle ilişkisini inceler.
Sonlu Boyutlu, Normlu Uzaylarda Spektral Teori
X , , dim X  n, T : X  X , T lineer
Bu durumda dönüşümü nasıl
ifade ediyoruz?
Bu ifade neye bağlı?
Sonlu Boyutlu, Normlu Uzayda Lineer Dönüşüm ile Neler Yapılabilir?
http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvector#Examples_in_the_plane
Lineer Operatör
Hatırlatma
T , lineer operatördür (1) D(T ) bir vektör uzayıdır
R (T ) aynı cisim üzerinde tanımlanmış bir
vektör uzayıdır.
(2) x, y  D (T ),   K
T (x  y)  Tx  Ty 
T ( x  y )  Tx  Ty
T (x)  Tx
Teorem Değer Bölgesi ve Sıfır Uzayı
NU12
T , lineer operatördür  (i) R(T ) bir vektör uzayıdır
(ii) dim D(T )  n    dim R(T )  n
(iii) N (T ) bir vektör uzayıdır
Hatırlatma
Teorem Ters Operatör
NU13 T : D(T )  Y ,
lineer operatördür
D(T )  X , R(T )  Y  (i) T 1 : R(T )  D(T )vardır  Tx  0  x  0
(ii) T 1 varsa, lineer operatördür
Sınırlı Lineer Operatör
X , , (Y ,
) D(T )  X T : D(T )  Y lineer operatör
T , sınırlı operatördür c  R, x  D(T ),  Tx  c x
Özdeğer, Özvektör, Karakteristik Uzay, Spektrum, Çözücü Küme
A R
nn
(C
nn
) olmak üzere, Ax  x
(1)
Bu eşitliği daha önce nerede
görmüştünüz? Anlamı nedir?
x  0 olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan  , A matrisine ilişkin özdeğerdir.
x  0 olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan  ‘ya ilişkin x vektörü özvektördür.
özdeğerine ilişkin özvektörler ve sıfır vektörü A ‘nın  özdeğerine ilişkin
karakteristik uzayını oluşturur .
A ‘nın tüm özvdeğerlerinin oluşturduğu  ( ) kümesi A ‘nın spektrumudur.

Spektrumun C ‘ye göre tümleyeni olan  ( ),
A ‘nın çözücü kümesidir.
Bir matrisin özdeğerleri ve özvektörlerini bulmak için ne yapıyorduk?
Ax  x
[ A  I ]x  0
x Hangi uzayın elemanı?
 Karakteristik çok terimlinin sıfırıdır.
p( ) ˆ det[ A  I ]
Bu sonuçları sonlu boyutlu, normlu vektör uzayında tanımlanmış lineer
operatöre nasıl uygulayacağız?
Teorem
ST1
X , , dim X  n, T : X  X , T lineer
X ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris
gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır.
Tanıt
e  e1 , e2 ,..., en 
e~  e~ , e~ ,..., e~ 
1
2
Herhangi iki baz
n
e~k  e1c1k  e2c2 k  ...  en cnk
e~k  e1 e2
 c1k 
 c11
c 
c
2k 
21

~

... en nn
 e  e1 e2 ... en nn
 ... 

 

cnk  n1
cn1
c12 ... c1n 

c22 ... c2 n 

....

cn 2
cnn  nn
e~  e1 e2
 c11
c
... en nn  21


cn1
Nasıl bir matris?
c12 ... c1n 

c22 ... c2 n  e~  eC e~T  C T eT

....

~x  eCx
ex

e
cn 2
cnn  nn
1
2
2
x1  Cx2
n
n
j 1
j 1
~~
~
x  X , x  ex1   j e j e x2   j e j
Tx  y  ey1  e~y2
T
 y1  Cy2
Dönüşümünün her iki baza göre ifade edildiği matrisler T1 , T2 olsun
y1  T1x1
y2  T2 x2
CT2 x2  Cy2  y1  T1x1  T1Cx2
CT2 x2  T1Cx2  CT2  T1C  T2  C 1T1C
Göstermemiz gereken neydi?
X ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris
gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır.
Özdeğerleri hesaplayalım
det(T2  I )  det( C 1T1C  I )
 det(C 1T1C  C 1C )
 det(C 1 (T1  I )C )
 det(C 1 ) det(T1  I ) det(C )
 det (T1  I )
Bu teoremden yararlanarak benzer matrisler için ne diyebiliriz?
????
Teorem
ST2
X , , dim X  n, T : X  X , T Lineer operatörünün en az
bir özdeğeri vardır.
T
Boyut sonlu değilse
X  0, ( X ,
), T : D(T )  X , D(T )  X T lineer
T ̂ T  I
Kompleks bir sayı
T ‘nın tersi varsa
D (T ) ‘de birim operator
R (T ) 
ˆ T
1
 (T  I ) 1
Olağan değer, Çözücü Küme , Spektrum
X  0, ( X ,
), T : D(T )  X , D(T )  X T lineer
T ‘nin olağan değeri 
kompleks bir sayıdır 
R (T ) var
R (T ) sınırlı
R (T ), X ‘de yoğun olan bir kümede tanımlı
‘nın tüm olağan değerlerinin oluşturduğu  (T ) kümesi T ‘nin çözücü kümesidi
ˆ C   (T ),
Çözücü kümenin tümleyeni  (T ) 
T
‘nin spektrumudur.
   (T ), T ‘nin spektral değeridir.
 (T ) spektrum üç ayrık kümeye ayrılır:
 p (T ) ayrık spektrum R (T ) yok ve    p (T ), T‘nin öz değerleridir.
 c (T ) sürekli spektrum R (T ) var ve X ‘de yoğun küme.
 r (T ) artık spektrum R (T ) var ancak X ‘de yoğun küme değil.
C   (T )   (T )
  (T )   p (T )   c (T )   r (T )
Teorem Ters Operatör
NU13 T : D(T )  Y ,
lineer operatördür
Hatırlatma
D(T )  X , R(T )  Y  (i) T 1 : R(T )  D(T )vardır  Tx  0  x  0
(ii) T 1 varsa, lineer operatördür
R (T ) varsa lineerdir
Teorem
ST3
X ilgili cisimin kompleks sayılar olduğu bir Banach Uzayı
T : X  X , T Lineer operatör ve    (T ) T kapalı, T sınırlı
R (T ) tüm X ‘de tanımlı ve sınırlı.
X ,C,  Banach ve T
sınırlı, lineer operatör
T  B(X,X)
Teorem T  B(X,X)
ST4
T  1  ( I  T ) 1 Tüm X ‘de sınırlı, lineer operatör
olarak vardır ve
( I  T ) 1 


T j  I  T  T 2  ...
j 1
Teorem
ST5
T  B(X,X)   (T ) vardır ve açık kümedir
 (T ) vardır ve kapalı kümedir
Teorem
ST6
T  B(X,X) 0   (T ), R (T ) ‘nin gösterimi

R 
j
j 1





R
 0 
0
j 1
Bu gösterim, kompleks düzlemde
  0 
1
R0
Çemberindeki her

için yakınsaktır ve bu çember  (T ) ‘nın alt kümesidir.