Değişim Ölçüleri Kaynak
advertisement
Değişim Ölçüleri Değişim Genişliği Çeyrek Sapma Mutlak sapma Varyans Standart Sapma Kitle Varyansı Kitle Standart Sapması Örneklem Varyansı Örneklem Standart Sapması Değişim Katsayısı Değişim Ölçüsü Değişim ölçüleri verilerin belli bir konumdan olan uzaklaşmalarını gösterir. Bu iki kitle aynı merkezli ancak farklı değişim ölçülerine sahiptirler. Değişim Ölçüleri Değişim Genişliği Varyans Standart Sapma Kitle Varyansı Kitle Standart Sapması Örneklem Varyansı Örneklem Standart Sapması Çeyrek Sapma Mutlak sapma Değişim Katsayısı DEĞİŞİM GENİŞLİĞİ (RANJ) En basit değişim ölçüsüdür. Verilerin en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki farktır. Kullanılabilmesi için grup ortalamalarının eşit olması gerekir. Genişlik = xen büyük – xen küçük Örnek: 22 23 31 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Genişlik = 44 - 22 = 22 15, 67, 21, 96, 45, 76 puanlarına ait ranj 96-15 = 81 bulunur. 6 Değişim Ölçüleri Değişim Genişliği Varyans Standart Sapma Kitle Varyansı Kitle Standart Sapması Örneklem Varyansı Örneklem Standart Sapması Çeyrek Sapma Mutlak sapma Değişim Katsayısı • Ortalamadan ayrılışların kareleri ortalamasıdır. • Gözlemlerin ortalama etrafından ortalama olarak ne kadar uzaklaştığını gösterir. • Sapma Kareler Ortalaması da denilebilir. Örneklem Varyansı n s2 (x j1 j x) n -1 Kitle Varyansı N 2 σ2 (x j1 2 μ) j N k S2 2 ( s x ) * fi i i 1 n 1 Burada: S 2 : Örneklem varyansı si : i. sınıfın sınıf değeri fi : i. sınıfın sıklığı Değişim Ölçüleri Değişim Genişliği Varyans Standart Sapma Kitle Varyansı Kitle Standart Sapması Örneklem Varyansı Örneklem Standart Sapması Çeyrek Sapma Mutlak sapma Değişim Katsayısı • Bir veri grubunda verilerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığının ölçüsüdür. • Örnek, notların aritmetik ortalamadan farklarının sayısal değeri. 11 • Standart sapma, varyansın kareköküdür. • Standart sapma, dağılımın simetrik bir dağılım olması durumunda ve tek tepe noktası olduğu durumlarda anlamlıdır. Bu nedenle standart sapma aritmetik ortalamanın hesaplandığı, normal ya da normale yakın veri kümelerinde kullanılır. • Orijinal veri ile aynı birime sahiptir (yaş için yıl; kilo için kg birimi gibi) • En sık kullanılan değişim ölçüsüdür. • Ortalamalardan ayrılışları gösterir. • Orijinal verilerle aynı birime sahiptir. Örneklemin standart sapması: Kitlenin standart sapması: n s (x j x) j1 n-1 N 2 σ 2 (x μ) j j1 N 14 k S 2 ( s x ) i * fi i 1 n 1 Standart sapması küçük olan gruplar daha homojen (öğrencilerin öğrenme düzeyleri birbirine yakın), büyük olan gruplar daha heterojendir (öğrenme düzeyleri, notları birbirinden uzak) Ders Ortalama Standart sapma Türkçe 70 3 Matematik 71 4 Coğrafya 70 4 Fizik 80 5 Kimya 75 4 En başarılı ders: ortalamaya bak. En başarısız ders: ortalamalar eşit ise standart sapmaya bakılır. Standart sapması küçük olan ders başarısızdır. En başarılı grup: Standart sapmaya bak, eşitse ortalamaya bak. 16 Aritmetik ortalamaya bağlı olarak verilen kararlar Grubun başarı düzeyi nedir? Grubun mutlak başarı düzeyi nedir? Öğrencilerin ortalama başarı düzeyi nedir? Öğrencilerin öğrenme düzeyi nedir? Standart sapmaya bağlı olarak verilen kararlar Başarılı ve başarısız sınıf (grup) hangisidir? Öğrencileri arasında farklılaşma var mı? ya da öğrencilerin öğrenme düzeyleri benzer mi? Grup ya da dağılım homojen mi, heterojen mi? Grup aritmetik ortalamaya ne kadar uzaktır(heterojen)? Ya da yakındır(homojen)? 17 Veri A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Ort. = 15.5 s = 3.338 20 21 Ort. = 15.5 s = .9258 20 21 Ort. = 15.5 s = 4.57 Veri B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Veri C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 • • • • • Testin ayırt ediciliği yüksektir. Grup heterojendir. Puanlar arasındaki farklar fazladır. Sınıftaki başarı düşüktür. Öğrenci puanlarının sınıf ortalamasından farkı fazladır. 19 • • • • • Testin ayırt ediciliği düşüktür. Grup homojendir. Puanlar arasındaki farklar azdır. Sınıftaki başarı yüksektir. Öğrenci puanlarının sınıf ortalamasından farkı azdır. 20 Değişim Ölçüleri Değişim Genişliği Varyans Standart Sapma Kitle Varyansı Kitle Standart Sapması Örneklem Varyansı Örneklem Standart Sapması Çeyrek Sapma Mutlak sapma Değişim Katsayısı • Göreli değişim ölçüsüdür. • Her zaman yüzde ile ifade edilir. • Standart sapmanın ortalamaya göre % kaç değişim gösterdiğini verir. • Farklı birimlerde ölçülmüş iki yada daha fazla veri kümesinin değişkenliklerini (yaygınlıklarını) kullanılabilmektedir. karşılaştırmak S CV X 100% için de • DK< %5 ise; Veri kümesi homojendir, dar bir yayılma söz konusudur. • %5<DK<%10 ise; normal sayılabilecek bir dağılım söz konusudur. • %10<DK<%20 ise; ortalama etrafındaki yayılma artmaktadır. • DK>%20 ise; veri toplamada aynı türde olmayan verilere rastlanmış olabilir, veri toplamada hata yapılmış olabilir ya da veri kümesi dış etkenlerden etkilenmiş olabilir. Bu durumda verilerin kontrol edilmesinde yarar vardır. Simetrik dağılım Çarpık dağılım n 3 ( x x ) j j1 ÇK n S3 Burada: ÇK: Çarpıklık katsayısı Xj: j inci gözlemin değeri S3: standart sapmanın küpü ÇK=0 ise dağılım simetriktir. ÇK<0 ise dağılım sola(eksi yöne) çarpıktır. ÇK>0 ise dağılım sağa(artı yöne) çarpıktır. Basık dağılım Daha basık dağılım Basıklığın ölçüsü basıklık katsayısı ile belirlenir. n 4 ( x x ) j j1 BK n S4 Burada: BK: Basıklık katsayısı Xj:j inci gözlemin değeri S4: standart sapmanın dördüncü kuvveti BK=3 ise dağılımın basıklığı normal dağılım ile aynıdır. BK>3 ise dağılım normal dağılımdan daha dikdir. BK<3 ise dağılım normal dağılımdan daha basıktır.
