Hafta3333

TİTREŞİM PROBLEMLERİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI
(KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMELER)
Titreşim problemleri, küçük ötelemeler ve küçük yer dönmeler kabulü ile
doğrusal diferansiyel denklemler ile incelenmektedir. Büyük yer değiştirmeler
söz konusu olduğunda doğru çözüm için diferansiyel denklemlerin nonlinear
formları göz önünde bulundurulmalı ve çözümler bu şekilde yapılmalıdır.

x
k
tan  
x

R
R
sin  x

cos  R
sin 
xR
cos 
Burada sin ifadesi Taylor serisine açılır ise
 <<1 için, küçük açılar için
sin   
cos ifadesi için Taylor serisi yazılır ise
 <<1 için , küçük açılar için
cos   1
1 3 5
sin      
1! 3! 5!
2 4
cos   1 


2! 4!
xR

 R
1
1
Bir nokta etrafında dönüş hareketine sahip kirişler için de
benzer ifadeler geçerlidir.
A
O

xA
xA
sin  
OA
x A  OA sin   OA 
F(t)
HAREKET DENKLEMİ OLUŞTURMA YÖNTEMLERİ
Titreşim analizi yapılacak sistemin matematik
modelinin oluşturulmasını takiben literatürde mevcut
yöntemlerden biri kullanılarak sistemin hareketini
tanımlayan
diferansiyel
denklemler
(hareket
denklemleri)
oluşturulur.
Hareket
denklemleri
oluşturulur iken farklı yöntemler kullanılabilir. Bu
yöntemlerden sık kullanılanları aşağıda verilmiştir.
m
x(t)
g
k
c
1. Newton’un 2. yasası ile: Şekilde görülen sistem tek serbestlik dereceli
sistemdir ve m kütlesinin hareketi x koordinatı ile tanımlanabilir.
Newton’un 2. yasası gereği cisme etkiyen kuvvetlerin toplamı cismin kütlesi
ile ivmesinin çarpımına eşittir.
2
Serbest Cisim Diyagramı
x(t)  x s  x d (t )
x ( t )  x d
F(t)
mg
m
x( t )  x d
x(t)=xs+xd(t)
k(xs+xd)
cx d
xs: m kütlesinin statik çökmesi
xd: m kütlesinin statik çökme sonrasındaki yer değiştirmesi
ewton’un 2. yasası gereği öteleme yapan sistemler için
 F  m x
Dönme hareketi yapan sistemler için

M

I

3
F(t )  mg  k x s  x d   cx d  mx
mg
F( t )  mg  k
 kx d  cx d  mx d
k
mx d  cx d  kx d  F( t )
xd  x
Yer değiştirme statik çökme etrafındaki yer değiştirmedir.
m x  cx  kx  F( t )
d2x
dx
m 2  c  kx  f ( t )
dt
dt
2. Dinamik Denge Yöntemi (d’Alembert Prensibi):
Bu yöntemde cisme etki eden atalet kuvvetleri de serbest cisim diyagramında
gösterilir ve cisim statik dengede kabul edilerek
F  0
veya
M  0
eşitlikleri kullanılır.
4
d’Alembert veya atalet kuvveti
F(t)
mg
mx d
m
x(t)=xs+xd(t)
k(xs+xd)
cx d
mg
F( t )  mg  k
 kx d  cx d  mx d  0
k
yine x=xd ile
m x  cx  kx  F( t )
5
3. Enerji Yöntemi :
Bu
metod
ile
enerjinin
korunumu
prensibi
uygulanır.
Bir
sistemin
toplam
enerjisinin artış hızı sisteme verilen güce eşittir.
dE t
 Pnet
dt
Burada Et sistemin potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplamı, Pnet ise
sisteme verilen net toplam güç olup; dış kuvvetler ve momentlerin sisteme
verdikleri güç + işaretli, sistemin dışarıya verdiği mekanik güç ve
sönümleyici elemanlar tarafından çevreye yayılan ısı gücü – işaretlidir.
Pnet   Pg   Pv   Pd
Sisteme verilen
mekanik güçlerin
toplamı
Sistemin dışarıya
verdiği mekanik
güçlerin toplamı
Sönümleyici
elemanlardan dışa
atılan ısıl
güçlerin toplamı
6
1
E k  mx 2
2
Ep 
1 2
kx
2
Et 
1
1
mx 2  kx 2
2
2
Pnet  F(t )x  cx x
d 1
1 2
2

 mx  kx   F( t ) x  cx x
dt  2
2

m x x  kxx  F( t ) x  cx x
mx  cx  kx  F( t )
4. Lagrange Yöntemi:
Bu yöntemde de incelenen sisteme ait kinetik ve potansiyel enerjiler dikkate
alınır. Ayrıca Sanal İş ilkesi ile dış kuvvetlerin ve sönüm kuvvetlerinin
sistemin genel koordinatlarında gerçekleştirmiş oldukları sanal işler dikkate
alınarak türetilen genel kuvvetler hareket denkleminin türetilmesi için
kullanılır.
Sisteme ait Lagrange ifadesi kinetik enerji ile potansiyel enerji farkına eşittir.
L  Ek  Ep
d  L  L

 
 Qi
dt  q i  q i
7
d  E k E p


dt  q i
q i
 E k E p
 

 Qi
 q i q i
Burada qi bir sistemin i. genel koordinatını, Qi ise bu koordinata etki eden
kuvvetlerin toplamını (Genel Kuvvet) ifade eder. Genel kuvvet ifadesi Sanal İş
ile elde edilir.
Genel olarak kinetik enerjinin genel koordinat hızı ve potansiyel enerjinin
genel koordinat ile ilişkili olduğu düşünüldüğünde Lagrange denklemi
aşağıdaki basit formunu alır.
d  E k

dt  q i
 E p
 
 Qi
 q i
Bununla
birlikte
bazı
mekanik
uygulamalarda
kinetik
enerji
genel
koordinatın bir fonksiyonu olabilir. Bu
durumda
Lagrange
denkleminin
genel
ifadesindeki
3.
terim
dikkate
alınmalıdır.
O
l
g
θ
m
Bu denklem öteleme yapan sistemler için bir kuvvet, dönme yapan sistemler için
8
ise bir moment dengesidir.
Genel kuvveti elde etmek için dış zorlamaların ve sönümleyici kuvvetlerin genel
koordinatlar üzerindeki sanal işleri dikkate alınır. Genel koordinatlarda
zamandan bağımsız olarak küçük değişimler dikkate alınarak () bu kuvvetlerin
yaptığı iş
W  F(t) q i  cq i q i
W  Qi q i
1
E k  mx 2
2
Ep 
1
k x2
2
W  F(t)x  cx x  F(t)  cx x
d   1
   1

  mx 2     kx 2   F( t )  cx
dt  x  2
  x  2

Qx
d
mx   kx  F( t )  cx
dt
 x  mx  kx  F( t )  cx
m
mx  cx  kx  F( t )
9
Örnek: Basit Sarkaç İçin Hareket Denkleminin Elde Edilmesi:
Aşağıda verilen basit sarkaç için hareket denklemini d’Alembert ve Lagrange
yöntemleri ile elde edelim.
Merkezcil ivme
Teğetsel ivme
O noktasına göre
pozitif alınarak
toplam
moment
sıfıra
M
O
eşitlenerek.
0
Saat
ibresi
tersi
yön
10
 m    mg  sin   0
m 2   mg  sin   0
   g sin   0
sin=
  g   0

Basit sarkaç harmonik bir hareket yapmaktadır. Dolayısı ile
( t )   o sin( t )
 ( t )    cos(t )
o
( t )   2  sin( t )
o
g
2


 
 o sin( t )  0
g
 2  0

g

rad / s

Görüldüğü gibi basit sarkaç için salınım hareketi sarkaç boyundan etkilenmektedir.
11
Lagrange yöntemi ile hareket denklemi:
Basit sarkaç probleminde m kütlesinin kinetik enerjisi
Ek 
 
1
2
m 
2
Potansiyel enerji ifadesi
E p  mg (1  cos )
Sarkaç üzerinde dış zorlama veya sönüm yoktur.


d
m 2  mg  sin   0
dt
  g sin   0

sin=

g
rad / s

v   
  g   0

12
Örnek: Şekilde gösterilen sarkaç için (compound pendulum) hareket denklemini
elde ediniz, doğal frekansını belirleyiniz.
Ek 
m, L, IO
L1
g
L
θ
E p  m g L1 (1  cos )
d  E k  E p
 Q


dt    
O
G
1
2
IO
2
I O   mgL 1 sin   0
IO sarkacın dönme noktasına göre kütle
atalet momentidir.
Küçük açısal yer değiştirmeler için
sin θθ
  mgL 1   0
IO
( t )   0 sin n t
n 
 ( t )  n 0 cos n t
mgL 1
rad / s
IO
fn 
( t )  2  sin  t
o
n
1 mgL 1
(Hz )
2
IO
13
Örnek: Şekilde verilen tek serbestlik dereceli sistemin hareket denklemini
yazınız ve doğal frekans ifadesini elde ediniz.
xB  x
3x

2L
xA
L x
 
3 2
2
IO 
2
1
1
L L
mL2  m    mL2
12
9
2 3
2
1
1  3 
1  x 
1
m m
1 5m 2
2


E k  2mx  I O 
x   m    2m   x 2 
x
2
2  2L 
2 2
2
4 4
2 2
2
2
9k
1
1  3x 
1 x
1
k
1  3k 9k 
E p  kx 2  k t    2k   k  2t   x 2    2t  x 2
2
2  2L 
2 2
2
2
2  2 4L  14
4L
W  f ( t ) x
5m
 3k 9k 
x    t  x  f ( t )
2
 2 4L2 
n 
3k 9k t
 2
2 4L
5m
2
rad / s 
Örnek: Şekilde verilen tek serbestlik dereceli sistemin hareket
denklemini elde ediniz.
Newton’un 2. yasasına göre
 cx d  k x s  x d   mg sin   mx d
mg sin 
 cx d  k
 kx d  mg sin   mx d
k
mx  cx  kx  0
15
Örnek: Şekildeki tek serbestlik dereceli sistem için hareket denklemini elde ediniz.
16
Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket
denklemlerini elde ediniz.
1
1
2

E k  mx1  2mx 22
2
2
Ep 
1 2 1
1
kx1  2k x 2  x1 2  kx 22
2
2
2
W  f1x1  cx 2  x 1  x 2  x1 
Çok serbestlik dereceli sistemlerde Lagrange denklemi her bir genel koordinat
için yazılır.
x1 için Lagrange denklemi yazılır ise,
d  E k

dt  x 1
 E p
 
 Qx1
 x1
17
mx1  kx1  2k(x 2  x1 )  f1  c(x 2  x 1 )
mx1  cx 1  cx 2  3kx1  2kx 2  f1
x2 için Lagrange denklemi yazılır ise,
d  E k

dt  x 2
 E p
 
 Qx 2
 x 2
2mx 2  2k(x 2  x1 )  kx 2  c(x 2  x 1 )
2mx 2  cx 1  cx 2  2kx1  3kx 2  0
Hareket denklemleri matris formunda yazılır ise
Lineer sistemler için Kütle, Sönüm ve Direngenlik matrisleri simetriktir.
18
Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız.
 
1
E k  m1 L 1
2
2

1
 m 2 L 2
2

2
1 L
L 
E p  m1gL 1  cos 1   m 2 gL 1  cos  2   k  2  1 
2 2
2 
W  0
2
19
Lagrange denklemi θ1 için uygulanır ise,
m1L2 1  m1gL sin 1  k
m1L2 1
LL
L 
  2  1   0
22
2 
L2
L2
k
1  k
 2  m1gL 1  0
4
4
Lagrange denklemi θ2 için uygulanır ise,
m 2 L2  2  m 2 gL sin  2  k
LL
L 


1   0

2
22
2 
L2
L2
m 2L 2  k
1  k
 2  m 2 gL  2  0
4
4
2 
m1L2

 0
 L2
0   1  k 4  m1gL

2   
L2
m 2 L   2  
  k 4

L2
k
  1  0
4
    
2
0
L
 
k
 m 2 gL   2   
4

20
Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız.
2
1  x 2  x 1 
1  x 2  x 1 
E k  m
  IG 

2  2 
2  L 
1
1
2
E p  k 1 x1  k 2 x 22
2
2
2
 x 2  x1 
W  f 

 2 
21
Lagrange denklemi x1 için uygulanır ise
d  1  x 2  x 1   I G  x 2  x 1 
f


m


k
x







1 1
dt  2 
2   L  L 
2
m
m
1
1
f
2 1
2 1
x1  x 2  mL
x1  mL
x 2  k1x1 
2
2
4
4
12
12
2
L
L
f
m m
m m
  x1    x 2  k1x1 
2
 4 12 
 4 12 
m
m
f
x1  x 2  k 1 x 1 
3
6
2
Lagrange denklemi x2 için uygulanır ise
d  1  x 2  x 1   I G  x 2  x 1 
f


m


k
x







2 2
dt  2 
2   L  L 
2
m
m
1
1
f
2 1
2 1
x1  x 2  mL
x1  mL
x 2  k 2 x 2 
2
2
4
4
12
12
2
L
L
22
f
m m
m m
  x1    x 2  k 2 x 2 
2
 4 12 
 4 12 
m
m
f
x1  x 2  k 2 x 2 
6
3
2
m
3
m

6
m
6   x1   k1 0   x1   1 f 
m  x 2   0 k 2  x 2  2 f 

3
23
Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket
denklemlerini elde ediniz.
Referans
Hız
L cos 
 L sin  
Hız



L sin 
L cos  

1
1
2 1
2
m1x 2  m 2 x  L cos   m 2  L sin 
2
2
2
1
W  f x
E p  k x 2  m 2gL cos 
2
Ek 
24




1
1
2 1
2
m1x 2  m 2 x  L cos   m 2  L sin 
2
2
2
Ek 


1
1
2 1
2
2
2 2




E k  m1x  m 2 x  2xL cos   L cos   m 2 L2 sin 2  2
2
2
2

1
1
m1x 2  m 2 x 2  2 x L cos   L2 2
2
2
1
W  f x
E p  k x 2  m 2gL cos 
2
Ek 

x’e göre Lagrange denklemi
d  E k  E p
 Qx



dt  x  x


d
m1x  m 2 x  m 2 L cos   k x  f
dt
m  m x  m L sin   m L cos   k x  f
1
2
2
2
m1  m2 x  m2L cos    2 sin  k x  f
25
θ’ya göre Lagrange denklemi
E p
d  E k  E k

 Q
  
dt    



1
1
m1x 2  m 2 x 2  2 x L cos   L2 2
2
2
1
E p  k x 2  m 2gL cos 
2
Ek 


d
m 2 x L cos   m 2 L2  m 2 x  L sin   m 2gL sin   0
dt
m2x L cos   m2 x L sin   m2L2  m2 x  L sin   m2gL sin   0
m1  m2 x  m2L cos    2 sin  k x  f
2
m2 Lx cos   m2L   m2gL sin   0
m1  m2 x  m2L   2 k x  f
  x  g   0
L L
  cos  x  g sin   0
L
L
Küçük açılar için
26
Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket
denklemlerini elde ediniz.
O
k
g
l+r
l
θ
m


2
1
1
mg


E k  m r 2    r 2  2 E p  k  r 
  mg     r  cos 
2 
k 
2
2 2
1 2 1
2 2
1
1
m
g
E k  mr  m  r   E p  k r 2  mgr 
 mg   mg   r  cos 
2
2
2
2 k
θ için Lagrange denklemi yazılır ise
d  E k  E p
 Q
  
dt    



d
m  r 2   mg   r sin   0
dt
d
m 2  2mr  mr 2  mg   r sin   0
dt

27


d
m 2  2mr  mr 2  mg   r sin   0
dt
m2  2mr  2mr  2mr r  mr 2  mg  sin   mgr sin   0
r için Lagrange denklemi yazılır ise
d  E k  E k E p

 Qr



dt  r  r
r
1 2 1
E k  mr  m  r 2  2
2
2
1 2
1 m 2g 2
E p  k r  mgr 
 mg   mg   r  cos 
2
2 k
d
mr   m 2  mr  2  kr  mg  mg cos   0
dt
mr  m 2  mr  2  kr  mg  mg cos   0
28