volkan.aslan-53876 (4)

ISI TRANSFERİ-1 DÖNEM SONU
ÖRNEK SORU ÇÖZÜMÜ
Hazırlayan: Volkan ASLAN
Yozgat 2017
Sınır Şartları
1- ISI TAŞINIMLI SINIR ŞARTI:
h0 , T
dT ( r0 )
k
 h0 T ( r0 )  T  (Taşınım Sınır Şartı)
dr
2- IŞINIMLI SINIR ŞARTI:
 , Tçevre
dT ( r0 )
4
 ( Işınım Sınır Şartı)
k
  T ( r0 )4  Tçevre
dr
3- TANIMLI SICAKLIK SINIR ŞARTI
Örneğin r=r0’daki sıcaklık 150 ͦ C verilirse  T ( r0 ) 150 0C olur.
(Tanımlı Sıcaklık Sınır Şartı)
4- TANIMLI ISI AKISI SINIR ŞARTI:
Örneğin; 2 kW’lık ısıtıcı direnç teli ortam ısıtılmasında kullanılmaktadır.
q0 
k
Q0 Eüretim

 106157W / m 2
A0 2 r0 L
dT ( r0 )
 q0  106157W / m2 (Tanımlı Isı Akısı Sınır Şartı)
dr
5- MERKEZDE TERMAL SİMETRİ
Örneğin, havada asılı bir kürenin merkezden yukarıya doğru sıcaklık dağılımı ,
merkezden aşağıya doğru sıcaklık dağılımı ile aynıdır .
dT (0)
 0( MerkezdeTermal Simetri )
dr
6- YALITIM SINIR ŞARTI:

k
dT ( r0 )
 0(Yalıtım Sınır Şartı)
dr
SORU 1: 2-129
CEVAP 1:
Verilenler:
 ktel: 18 W/mºC
,
kplastik: 1.8 W/mºC
 h : 14 W/m2ºC
,
r1: 0.3 cm
 r2-r1: 0.4 cm
,
T∞ = 25 ºC
 ėür: 1.5 W/cm3 = 1.5 x 10 -6 W/m3
Kabuller:
1- Zamanla değişim yok, kararlı hal.
2- Merkez hattının simetri olması ve eksenel yönde bir
değişiklik olmadığından tek yönlüdür. T=T(r)
3- k= sbt ve ısı üretimi telde üniform.
Silindirik Koordinatlar Genel Isı İletim Denklemi
1   T
 kr
r r  r
Tel
 1 T  T    T
k
 k
 2


 r     z  z
T
 .
  eüretim   c
t

1   T  1 T  T    T  .
T
kr

k

k

e


c
üretim






2
r r  r  r     z  z 
t
1 d  dT
r
r dr  dr
.
 eür
 0  Matematiksel Formülasyon

 k
*Sınır Şartları (Tel İçin)*
S .Ş .1  T ( r1 )  T1 (Tanımlı Sıcaklık Sınır Şartı),
S .Ş .2 
dT ( r0  0)
 0 ( Isıl Simetri Sınır Şartı)
dr
(1) denklemini düzenlersek
,
.
d  dT 
eür
x r  İntegre edilirse,
r

dr  dr 
k
.
dT
eür x r 2
r

 C1
dr
2k
(2)
(1)
*S.Ş.2 r=0’da*
.
dT (0)
eür x 02
0x

 C1  C1  0
dr
2k
.
dT
eür x r

 İntegre edilirse,
dr
2k

.
eür x r 2
T (r )  
 C2
4k
(3)
*S.Ş.1 r=r ’de*
1
(3) denkleminde yerine koyarsak,
.
.
eür x r12
eür x r12
T (r1 )  
 C2  C2  T1 
4k
4k
.
Ttel (r )  
2
.
2
1
.
eür x r
eür x r
eür 2 2

 T1  T1 
(r1  r )
4k
4k
4k
Plastik Koruyucu
1   T  1 T  T    T  .
T
kr

k

k

e


c
üretim






2
r r  r  r     z  z 
t
d  dT 
r
  0  Matematiksel Formülasyon
dr  dr 
(4)
*Sınır Şartları (Plastik Koruyucu İçin)*
S .Ş .1  T ( r1 )  T1 (Tanımlı Sıcaklık Sınır Şartı),
S .Ş .2   k
dT ( r2 )
 h T ( r2 )  T   (Taşınım Sınır Şartı)
dr
(4) denklemini düzenlersek,
r
dT
dT C1
 C1 

 İntegre edilirse,
dr
dr
r
T (r )  C1 ln r  C2
(5)
*S.Ş.1 r=r ’de*
1
(5) denkleminde yerine koyarsak,
T1  C1 ln r1  C2  C2  T1  C1 ln r1
*S.Ş.2 r=r ’de*
2
k
C1
 h  C1 ln r2  C2
r2
  T   
C1 
T   T1
r2 k
ln 
r1 hr2
C2
Tplastik (r )  C1 ln r  T1  C1 ln r1 T1 
T  T1
r
ln
r2 k plastik r1
ln 
r1
hr2
 r=r1’de tel ve plastik koruyucunun birleşme noktasıdır ve
burada her iki taraf için ısı iletim denklemi eşitlenir.
dTplastik (r1 )
dTtel (r1 )
ktel
 k plastik
dr
dr
.
eür x r1
T  T1
1
 k plastik
r2 k plastik r1
2
ln 
r1
hr2
.
eür x r12  r2 k plastik
T1 
x  ln 
2k plastik  r1
hr2

  T

1.5 x 106 x 0.0032  0.007
1.8

T1 
x  ln

  25
2 x1.8
 0.003 14 x0.007 
.
Ttel ( r 0)
.
eür
e ür
 T1 
(r12  r 2 )  T1 
r12
4 ktel
4ktel
1.5 x 106 x 0.0032
 97.1 
4 x18
SORU 2: 3-51
CEVAP 2:
Verilenler:
 t12: 0.01 m (Alçıtaşı), t23: 0.08 m, t34: 0.1 m (Tuğla)
 k12 : 0.5 W/mºC , k23a : 0.035 W/mºC (yalıtım),
k23b : 50 W/mºC (çelik), k34 : 1 W/mºC
 LA :0.6 m, LB :0.005 m ,
Kabuller:
1- Sürekli çalışma koşulları vardır.
2- Bu yöntemin kullanımı Q ısı transfer hızı sabit olan,
yani sürekli ısı transferi içeren ve ısı üretimi olmayan
(dirençle ısıtma veya kimyasal reaksiyonlar gibi)
sistemlerle sınırlıdır.
t12
0.01 m
20
R12 


0.02
m
C /W
0
k12 0.5W / m C
R23a
LA
0.6 m
 t23
 0.08m
k23a ( LA  LB )
0.03W / m 0C  0.6m  0.005m 
 2.645 m 2 oC / W
R23b
LB
0.005 m
 t23
 0.08m
k23b ( LA  LB )
50W / m0C  0.6m  0.005m 
 1.32 x105 m2 oC / W
t34
0.1 m
2o
R34 


0.1
m
C /W
0
k34 1W / m C
Rtoplam
 R23a R23b 
 R12  
 R34

 R23a  R23b 
Rtoplam
  2.645 x 1.32 x105  
20
 0.02  

0.1

0.120
m
C /W

5
 2.645  1.32 x10 
T4  T1
(35  20) 0C
2
q


125
W
/
m
Rtop
0.120 m2 0C / W
SORU 3: 4-54
CEVAP 3:
Verilenler:
 Ti: 25 ºC,
T0: 6 ºC,
T∞: 2 ºC
 k: 0.5 W/mºC ,
α: 0.13 x 10-6 m2/s,
 Patates küre biçiminde alınır.
D= 6 cm
hr0 19 x 0.03
Bi 

 1.14
k
0.5
*Bi ≤ 0.1 olduğunda yığık sistem uygulanabilir.
1- Tek Terim Yaklaşımı:
*Tablo 4-2’de küre için Biot sayısına göre iterasyon yapılarak ;
1  1.635
ve
A1  1.302 olarak bulunur.
*Merkez sıcaklığa göre Denklem 4-28’i yazarsak;
62
T0  T
 (1.635)2 
 12

 1.302e
0 
 A1e
25  2
Ti  T
*Her iki tarafın ln değerini alırsak;
  0.753 olarak bulunur.
*Zaman değerini (Merkez sıcaklığın 6 ºC düşeceği zaman) bulmak
için Fourier denklemi kullanılır.
t
 r02
  2 t 
r0

0.753x 0.032  5213 s  1.45 h

0.13x106
*Donma tehlikesini geçirip geçirmeyeceğini bulmak için ise
Denklem 4.25’i kullanılır.
r  r0
 küre
T (r)  T 
 12 Sin  1r / r0 

 A1e
Ti  T 
1r / r0
T0 T
Ti T
T ( r0 )  2  6  2  sin(1.635 rad )
0

T
(
r
)

4.44
C

0

25  2
1.635
 25  2 
2- Heisler Grafik Yöntemi:
*Bu yöntemde küre için Şekil 4-17 kullanılır. Zaman değerini bulmak
için 4-17(a), patateslerin donma tehlikesi için ise 4-17 (b) kullanılır.
Merkez sıcaklığın 6 ºC düşeceği zaman için;
1
k

 0.877
Bi hr0
T0  T
 0.174
Ti  T
0.174
0.75
t
 r02  5192 s  1.44 h
0.75    2  t 
r0

* Patateslerin donma tehlikesi için ise 4-17 (b);
r
1
r0
0.877
1
k

 0.877
Bi hr0
T ( r )  T
 0.6
Ti  T
T ( r )  Tyüzey  T  0.6 T0  T 
 2  0.6  6  2   4.4 0C
!!!Analitik çözüm ile grafik çözüm arasındaki fark grafik okuma hatasındandır!!!
SORU 4: 5-55
CEVAP 4:
Verilenler:
k : 1.4 W/mºC
Tgök: 250K
ε : 0.9
Δx = Δy =10 cm
Ti: 280ºC
T0: 15ºC
hi : 75 W/m2ºC
h0 : 18 W/m2ºC
Kabuller:
1- Baca yüksekliği enine kesite oranla büyük olduğu için
eksenel yönde ısı iletimi ihmal edilir. İki boyutlu ve
sürekli olarak incelenir.
2- Isı üretimi yoktur.
3- k=sbt
4- A=1 m
1. NOKTA
y T2  T1  x T5  T1 
x
.1
h0 .1 T0  T1   k
 k .1
2
x
2
2
y

x  4
4
Tgök  T1  273 

2 
0
Δx = Δy olduğundan Δx = Δy =l diyebiliriz
l T5  T1 
l T2  T1 
l

k
.1

k
.1
h0 .1T0  T1 
2
l
2
l
2

l 4
4
Tgök  T1  273 

2
0
2. NOKTA
h0l  T0  T2 
k l
T6  T2 
l
l T1  T2  l T3  T2 
k
k
2
l
2
l
4
4
 l Tgök
 T2  273 


0
3. NOKTA
T7  T3    l T 4  T  273 4 

l T2  T3  l T4  T3 
 0
k
k l
h0l  T0  T3   k
 gök  3
2
l
l
2
l
4. NOKTA
T T
l T8  T4 
h0l  T0  T4   k l  3 4   k
2
l
2
l
4
4
 l Tgök
 T4  273 


5. NOKTA
0
(1.Noktanın benzeri)
l T1  T5   0
l T6  T5 
l

k
hi Ti  T5   k
2
l
2
l
2
Not: İç kısım olduğundan ışınım yok!!!
6. NOKTA
(2.Noktanın benzeri)
T2  T6   0
l T5  T6  l T7  T6 


k
k
l
hi l Ti  T6   k
2
l
l
2
l
Not: İç kısım olduğundan ışınım yok!!!
7. NOKTA
hi l Ti  T7 
k l
l T9  T7 
l T6  T7 

k
k
2
l
2
l
T3  T7 
l
k l
T8  T7 
l
0
Not: İç kısım olduğundan ışınım yok!!!
8. NOKTA
T7  T8   l T 4  T  273 4 

l T4  T8  l T10  T8 
  0
k
k l
h0l  T0  T8   k
 gök  8
2
l
l
2
l
9. NOKTA
l T10  T9   0
l T7  T9 
l
k
hi Ti  T9   k
2
l
2
l
2
Not: İç kısım olduğundan ışınım yok!!!
10. NOKTA
l T8  T10  l T9  T10   l T 4  T  2734   0
l
k
10
h0 T0  T10  k
 gök

2
l
2
l
2
*c-şıkkı için;
Q  4 Qbacanın 1/4 ' ü  4 Qiç yüzey  4 hi A  Ti  Tm 
 4  hi  l / 2 Ti  T5   hi l Ti  T6   hil Ti  T7   hi  l / 2 Ti  T9  
 3153W
SINAVLARINIZDA BAŞARILAR,
ALLAH YARDIMCINIZ OLSUN
SENEYE BU DERSTE GÖRÜŞMEMEK
DİLEĞİYLE…