İÇ KUVVETLER Amaçlar: • Bir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması • Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi Yapısal elemanlarda oluşan iç kuvvetler Bir yapısal veya mekanik elemanın tasarımı, dış yükleri dengelemede gerekli olan, eleman içine etkiyen yüklerin incelenmesini gerektirir. Başka bir deyişle, sözkonusu elemanın yapıldığı malzemenin, uygulanan kuvvetlere karşı dayanımını koruyup koruyamayacağının ortaya konması gerekir. Kesit yöntemi bu amaç için kullanılabilir. Şekildeki P1 ve P2 kuvvetlerine maruz konsol kirişi ele alalım. Eğer B noktasında oluşan iç kuvvetleri bulmak istiyorsak kiriş eksenine dik hayali bir a-a kesiti geçirmek gerekir, bu kesit ile kiriş iki parçaya ayrılır. Kirişi B noktasından kestiğimizde, iç kuvvetler her bir parçanın serbest cisim diyagramında dış kuvvet olarak gösterilir. Bu kuvvetler kesitin her iki tarafında büyüklükçe eşit ve zıt yönlü olmalıdır (Newton’un üçüncü kanunu). Bu kuvvetler, parçaların birbirine göre relatif hareketini engellemektedir. NB= kesite dik olarak etkiyen NORMAL KUVVET (eksenel kuvvet) VB= kesite teğet olarak etkiyen KESME KUVVETİ MB= kesite etkiyen EĞİLME MOMENTİ B kesitindeki iç kuvvetler, parçalardan herhangi birine üç denge denkleminin uygulanmasıyla belirlenebilir. Sağ parçanın serbest cisim diyagramını kullanalım: NB VB MB Fx 0 Fy 0 M 0 B İki boyutlu problemlerde, kesitte üç adet iç kuvvet oluşmaktadır. Üç boyutta ise kesitte, genel bileşke iç kuvvet ve kuvvet çifti momenti etki edecektir. Bu kuvvetlerin x, y, z bileşenleri şekilde gösterilmektedir. 3 boyutlu 2 boyutlu Bir çok uygulamada, bu bileşke kuvvetler kesitin enkesit alanının geometrik merkezi veya ağırlık merkezinde etki edecektir. Her bir kuvvetin büyüklüğü, elemanın ekseni boyunca çeşitli noktalarda farklı olacaktır. Bu nedenle, kesit yöntemi bir elemana birden fazla kez uygulanacaktır. İŞARET KABULLERİ Mühendislerin genellikle kullandığı N,V, M kuvvetlerinin pozitif yönleri aşağıda gösterilmiştir : Pozitif kesme kuvveti Pozitif moment Pozitif normal kuvvet - Normal kuvvet elemanda çekme etkisi yaratıyorsa, yönü pozitiftir. - Kesme kuvveti elemanı saat yönünde döndürüyorsa, yönü pozitiftir. - Moment, elemanı aşağı doğru konkav şekle sokuyorsa, yönü pozitiftir. Bu yönlerin tersi yönünde etki eden kuvvetler negatif olarak ele alınacaktır. ANALİZDE İZLENECEK YOL Bir eleman içinde belirli bir yerdeki iç kuvvetleri belirlemek için kesit yönteminin uygulanması aşağıdaki prosedür izlenerek yapılabilir. Mesnet Tepkileri: eleman parçalara ayrıldığı zaman, denge denklemlerinin sadece iç kuvvetleri bulmak için kullanılabilmesi için, kesilmeden önce mesnet tepkilerini belirlemek gerekebilir. Serbest Cisim Diyagramı: eleman üzerine etkiyen bütün dış kuvvetler (mesnet tepkileri dahil) eleman üzerinde etkidikleri yerler değiştirilmeden gösterilir. İç kuvvetlerin belirleneceği noktada eksene dik hayali bir kesit geçirilir. Parçalardan üzerinde en az kuvvet olan parçanın serbest cisim diyagramı çizilir. Kesitteki iç kuvvetler pozitif yönleriyle serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilir. Denge Denklemleri: bilinmeyen iç kuvvetlerin bulunması için denge denklemleri uygulanır. Normal ve Kesme kuvvetlerini elimine etmek için, Moment denge denklemi kesite göre alınmalıdır. Denge denklemlerinin çözümü negatif bir sayı verirse, seçilmiş olan yön yanlıştır, kuvvetin yönü serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilene terstir. İÇ TESİRLERİN KAYNAĞI DIŞ KUVVETLERDİR ! N, M, T DİYAGRAMLARI DIŞ KUVVETLER İÇ TESİRLER HESAPLANIR ÇEŞİTLİ HESAPLAMA YÖNTEMLERİ TASARIM BOYUTLANDIRMA Kesme Kuvveti ve Moment Diyagramları Ekonomik ve yapısal açıdan efektif bir tasarım yapılabilmesi için şekilde görülen kirişler açıklık boyunca farklı kesitlerde üretilmiştir. Çünkü kirişin ortasına kıyasla mesnetlerinde oluşan moment değeri daha büyük olacaktır. Kirişler, eksenlerine dik uygulanan yükleri taşımak için tasarlanan elemanlardır. Genelde, kirişler sabit enkesit alanına sahip uzun, doğrusal çubuklardır. Mesnetlenme durumlarına göre sınıflandırılırlar. Örn: basit mesnetli kiriş ( bir ucunda pimli diğerine kayar mesnet), ankastre kiriş (bir ucundan ankastre mesnetle sabitlenmiş, diğer ucu serbest) vb. Bir kirişin tasarımı, kirişin ekseni boyunca her bir noktada etkiyen iç kesme kuvvetinin (V) ve eğilme momentinin (M) değişiminin detaylı olarak bilinmesini gerektirir. Normal kuvvetin değişimi kirişlerin tasarımında dikkate alınmaz. Çünkü, genelde kuvvetler kiriş eksenlerine dik doğrultuda etkir ve bu kuvvetler sadece kesme kuvveti ve moment oluşturur. Ve tasarım açısından kirişlerin kesmeye ve eğilmeye karşı dayanımları eksenel yüke dayanımından çok daha önemlidir. Kuvvet ve eğilme momenti analizi tamamlandıktan sonra, kirişin gerekli enkesit alanını belirlemek için malzeme mekaniği teorisi ve uygun bir mühendislik tasarım standardı kullanılabilir. Kirişin ekseni boyunca x konumunun fonksiyonu olarak V ve M’nin değişimleri kesit yöntemi kullanılarak ele edilebilir. Bununla birlikte, kirişi belirli bir noktadan kesmek yerine bir uçtan keyfi bir uzaklıktan (x1, x2, x3 gibi) kesmek gerekir. x’in fonksiyonu olarak V ve M’nin değişimlerini gösteren grafiklere, kesme kuvveti diyagramı ve eğilme momenti diyagramı denir. Genelde, yayılı yüklerin değiştiği ya da tekil kuvvet veya momentlerin uygulandığı noktalarda, iç kesme kuvveti ve eğilme momenti fonksiyonları veya bunların eğimleri süreksizdir. Bu nedenle, bu fonksiyonlar kirişin herhangi iki yükleme süreksizliği arasında yer alan her bir parçası için belirlenmelidir. Örn: şekildeki (Oa), (ab), (bL) parçaları için V ve M fonksiyonları için ayrı ayrı hesaplanmalıdır. V(x1) M(x1) V(x2) M(x2) V(x3) M(x3) 0 x1 a a x2 b b x3 L a-) Yukarı yönlenmiş kuvvetler yukarı doğru ve aşağıya doğru yönlenmiş kuvvetler aşağı doğru çizilir. b-)Kuvvetlerin bulunmadığı aralıklarda kesme kuvveti x eksenine paralel bir doğru, düzgün yayılı yük için lineer bir doğru ve üçgen yayılı yük için ikinci dereceden bir eğridir. c-)Bir noktadaki eğilme momenti, kendisinden bir önceki eğilme momentinden, bu iki nokta arasındaki kesme kuvvetinin alanın toplanması veya çıkarılmasıyla elde edilir. d-) Eğilme momenti diyagramının derecesi kesme kuvvetinin derecesinden bir fazladır. N, M, T DİYAGRAMLARININ ÇİZİLMESİ (KESME YÖNTEMİ) K q B A K x1 L x2 - Öncelikle N, M, T diyagramı çizilecek kiriş üzerinde açıklık sayısı kadar kesim yapılır. Kesme yapılacak açıklık sayısını tekil yük ve momentler de etkiler. - Sonrasında kesim yapılan noktaya soldan ya da sağdan yaklaşarak, kesim yapılan noktadaki 3 iç tesirine ait fonksiyonlar elde edilir (Denge denklemleri yazılarak hesap yapılır). - Elde edilen fonksiyonların belli noktalar için aldığı değerler hesaplanır ve fonksiyon derecelerine bağlı olarak N, M, T diyagramları çizilir. K q B A K x1 L x2 KESİM NOKTASINA SOLDAN YAKLAŞIM: Denge denklemleri kesit için aşağıdaki gibi yazılır. Bu denklemler 0<x1<L arasında geçerlidir. q M K AX x1 Ay N T Ax+N=0 T+q*x1=Ay q*x12/2+T*x1=M K q B A K L x1 x2 KESİM NOKTASINA SAĞDAN YAKLAŞIM: q M T N K B Denge denklemleri kesit için aşağıdaki gibi yazılır. Bu denklemler 0<x2<L arasında geçerlidir. N=0 q*x2=By+T x2 q*x22/2=M+T*x2 By K NK TK MK Fx 0 Fy 0 M 0 q B A K A x1 NK TK MK L M AX x1 q M N T B x2 q K Fx 0 Fy 0 M 0 T N K B x2 Ay By Kesitteki iç kuvvetler, parçalardan herhangi birine üç denge denkleminin uygulanmasıyla belirlenebilir. İŞARET KABULLERİ M M N N T Sol uç Sağ uç T ÖRNEK 109 5t Şekildeki basit mesnetli kirişin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz. C A B 2m 2m Tüm kirişin serbest cisim diyagramından mesnet kuvvetlerini bulalım: 5t Ax Ay Cy Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaç kesim yapılacağına karar verilmelidir. Açıklıkta 1 adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükün solunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir. 5t C A AX B Ay 2m 2m Ax 0 Ay C y 5 Ay 2.5t C y 2.5t Cy Kesim A mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağ uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir: M A 2.5t + + + F 0 F 0 M 0 N T x1 0<x1<2m arasında geçerli bağıntılar: x N 0 y 2.5 T 0 T 2.5t B 0-2 metre arasında sabit M 2.5 x1 0 M 2.5 x1 x1 0 M A 0 tm x1 2 M B 5 tm İkinci kesim B mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sol uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir: M C N T 2.5t x2 0<x2<2.5m arasında geçerli bağıntılar: + + + Fx 0 N 0 0-2 metre arasında sabit F 0 T 2.5 0 T 2.5t M 0 2.5x M 0 M 2.5x x2 0 M C 0 y B 2 2 x2 2 M B 5 tm 5t C A Diyagramların çiziminde elde edilen bağıntılardan yararlanılır. Basit yükleme durumlarında mesnet tepkileri ve yükleme durumuna bakılarak diyagramlar doğrudan çizilebilir. Kesme kuvveti düşey yük ve tepkiler kullanılarak diyagrama işlenir. Kiriş üzerinde yük olmayan bölgelerde kesme kuvveti sabittir. Yük etkiyen noktalarda ani kesme kuvveti değişimi gözlenir. Moment diyagramı kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir. B 2m 2m 2.5t 2.5t N (ton) + - 2.5 T (ton) + - 2.5 + 2.5 2.5 M (tm) + + 5 + İkinci bir alternatif olarak sağdaki parçanın hesaplamaları soldan “x” kadar kesilerek de yapılabilir. (5 kN’luk kuvveti de içeriyor) ÖRNEK 110 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 5t 2t 4 A B 3 3m 2m 3m 2t 5t 4 AX A B 3 C 3m D 2m 3m Ay By Ax 3t Ay By 6 MA=0 2 * 3 4 * 5 8 * By 0 By 3.25t Ay 2.75t İlk kesim: 3t M A N T 2.75t x1 (A-C) 0<x1<3m arasında geçerli bağıntılar: + + + F 0 F 0 M 0 x 3 N 0 N 3t y 2.75 T 0 T 2.75t M 2.75 x1 0 M 2.75 x1 x1 0 M A 0 tm x1 3 M C 8.25 tm 2t İkinci kesim: M 3t A N C 3m T x2 (C-D) 2.75t 0<x2<2m arasında geçerli bağıntılar: F 0 + F 0 + M 0 x 3 N 0 N 3t y 2.75 2 T 0 T 0.75t + M 2 * x2 2.75 * (3 x2 ) 0 M 8.25 0.75 x2 x2 0 M C 8.25 tm x2 2 M D 9.75 tm Son kesim: Kolaylık olması açısından diğer taraftan kesim yapılabilir. M D N T x3 (B-D) 3.25t 0<x3<3m arasında geçerli bağıntılar: F 0 N 0 + F 0 T 3.25 0 T 3.25t + M 0 3.25 x M 0 M 3.25 x + x y B 3 3 x3 0 M D 0 tm x3 3 M B 9.75 tm 4t 2t 5t 4 3t A 2.75t N (ton) + - 3 2m 3m 0.75 + + 3.25t 0.75 + - 3.25 M (tm) 3m 3 2.75 T (ton) B - - 3 + - 3t + 8.25 + + 9.75 3.25 ÖRNEK 111 6kN A B 9kNm C 6 kN’luk kuvvetin hemen solundaki ve hemen sağında oluşan Normal kuvvet, Kesme kuvveti ve Eğilme momentini belirleyiniz. ÇÖZÜM 2 Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaç kesim yapılacağına karar verilmelidir. Açıklıkta 1 adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükün solunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir. 6kN AX A B 9kN m C 3m 6m Ay By Ax 0 Ay By 6 6 * 3 9 9 * By 0 By 1kN Ay 5kN Kesim A mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağ uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir: M A N T 5t x1 0<x1<3m arasında geçerli bağıntılar: + + + F 0 F 0 M 0 x N 0 y 5 T 0 T 5kN 0-3 metre arasında sabit M 5 x1 0 M 5 x1 x1 0 M A 0 kNm x1 3 M C 15 kNm İkinci kesim B mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sol uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir: M B N 9kN m T x2 1kN 0<x2<6m arasında geçerli bağıntılar: F 0 + F 0 + M 0 + x N 0 y T 1 0 T 1kN 0-3 metre arasında sabit x2 0 M B 9 kNm 9 1.x2 M 0 M x2 9 x2 6 M C 15 kNm Kiriş B noktasından ve C noktasından kesilir, serbest cisim diyagramı çizilir. AB parçası AB parçası AC parçası AC parçası Diyagramların çizim-inde elde edilen bağıntılardan yararlanılır. Basit yükleme du-rumlarında mesnet tepkileri ve yükleme durumuna bakılarak diyagramlar doğrudan çizilebilir. 9kNm 6kN A AX=0 B C 5kN Kesme kuvveti düşey yük ve tepkiler kullanılarak diyagrama işlenir. Kiriş üzerinde yük olmayan bölgelerde kesme N (kN) kuvveti sabittir. Yük etkiyen noktalarda ani kesme kuvveti değişimi gözlenir. Moment diyagramı kesme kuvveti diyagramı altında kalan T (kN) alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir. Tekil moment olan noktalarda moment diyagramında ani değişim olur. 6m 3m 1kN + - 5 + - M (kNm) + 5 + - 1 + 15 + 1 9 ÖRNEK 112 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 4t 3 t/m A C B 3m 2m 5m 4t 3 t/m Ax A C B Ay 3m + Fx 0 + Fy 0 + Ax=0 Ay+Cy-4t-(3t/m*5)=0 M A 0 -4t*3m-(3t/m*5)*2.5m+5*C =0 y 2m Cy 5m Ay + Cy = 19t Cy = 9.9t ( ) Ay = 9.1t ( ) 4t Kiriş B noktasındaki tekil kuvvet nedeniyle iki bölgeden oluşmaktadır. 3 t/m A C B 9.1 t 3m 9.9 t 2m 5m (A-B) (B-C) 0<x1<3m arası: 0<x2<2m arası: 3 t/m 3 t/m A N T 9.1 t M M x1 C N T x2 9.9 t 3 t/m M A N (A-B) T 0<x1<3m arası: + + + F F 9.1 t x1 x1 0 TA 9.1t x 0 N 0 y 0 9.1 3 * x1 T 0 T 9.1 3x1 M 0 x1 3 TB 0.1t x1 2 9.1x1 3x1 M 0 M 9.1x1 1.5 x1 2 2.derece x1 0 M A 0 tm x1 3 M B 13.8 tm 3 t/m M C N (B-C) T x2 0<x2<2m arası: + + + F F 9.9 t x2 0 TA 9.9 t x 0 N 0 y 0 9.9 3 * x2 T 0 T 3x2 9.9 M B 0 9.9 x2 3x2 x2 2 TB 3.9 t x2 2 M 0 M 9.9 x2 1.5 x2 2 2.derece x2 0 M C 0 tm x2 2 M B 13.8 tm 4t 3 t/m Yayılı yüklerin bulunduğu kiriş diyagramlarında yayılı yük alanı (şerit yük*etkidiği mesafe) kesme kuvvetindeki mesafe boyunca doğrusal değişimi gösterir. Moment diyagramı da kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir. Kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği noktada eğilme momenti maksimum değerini alır. A C B 9.1 t 3m 2m 9.9 t N (ton) + - 9.1 T (ton) 0.1 + + - - 3.9 9.9 M (tm) + + 2o + 13.8 2o ÖRNEK 113 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 8 t/m A C B 3m 1.5m 3t 8 t/m Ax A C B Cy Ay + Fx 0 Ax-3=0 + Fy 0 Ay+Cy- (8t/m*3)=0 + MA 0 3m 1.5m Ax=3t Ay + Cy = 24t -(8t/m*3)*1.5m+4.5*Cy=0 Cy = 8t ( ) Ay = 16t ( ) 3t 8 t/m 3t M A N (A-B) 0<x1<3m arası: + + + F F T 16 t x1 x1 0 TA 16 t x 0 3 N 0 N 3t y 0 16 8 * x1 T 0 T 16 8 x1 M 0 x1 3 TB 8 t x1 2 16 x1 8 x1 M 0 M 16 x1 4 x1 2 2.derece x1 0 M A 0 tm x1 3 M B 12 tm Kolaylık olması açısından diğer taraftan (sağdan) kesim yapılabilir. M 3t C N T x2 (B-C) 8t 0<x2<1.5m arasında geçerli bağıntılar: + + + F 0 N 3 0 N 3t F 0 T 8 0 T 8t M 0 8x M 0 M 8x x x2 0 M C 0 tm y B 2 2 x2 1.5 M B 12 tm 8 t/m A 3t 3t C B 16t N (ton) + - - - 3 Üçgen benzerliğinden kuvveti diyagramında sıfır kuvveti noktası bulunur. Bu 2m Moment denkleminde konulursa: M 16 x1 4 x1 kesme kesme soruda yerine 3 16 T (ton) + + - 8 2m 8 2 x1 2 M 16tm 8t 1.5m 3m M (tm) + + + + 12 2o 16 ÖRNEK 114 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 2 t/m 3tm A B 3m 6tm 2 t/m 3tm A B Ax Ay Fx 0 3m Ax=0 + Fy 0 Ay+By- (2t/m*3)=0 Ay + Cy =6t + MA 0 + -(2t/m*3)*1.5m+3*By+3-6=0 By = 4t ( ) Ay = 2t ( ) By 6tm 2 t/m 3tm M A N (A-B) T 0<x<3m arası: + + + F F 2t x x1 0 TA 2 t x 0 N 0 y 0 2 2 * x T 0 T 2 2x x1 3 TB 4 t x 2 M 0 3 2 x M 2 x 0 M 3 2 x x 2 2.derece x1 0 M A 3 tm x1 3 M B 6 tm 2 t/m 3tm A B 2t Üçgen benzerliğinden kuvveti diyagramında sıfır kuvveti noktası bulunur. Bu 1m Moment denkleminde konulursa: M 3 2 x x kesme kesme soruda yerine 4t 3m N (ton) + - 2 T (ton) + - + - 1m 4 2 2o 3 x1 1 M 2tm M (tm) + 6 2o - 2 - 6tm ÖRNEK 115 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 2 t/m 5t 4 3 A B 2m C 1m 2tm 2 t/m 5t 4t 4 Ax MA 3 3t A B Ay 2m Fx 0 Ax-3=0 C 1m Ax=3t + Fy 0 Ay- (2t/m*2)-4=0 Ay =8t + MA 0 + -(2t/m*2)*1m-4*3m-2+MA=0 MA= 18tm ( ) 2tm 2 t/m 3t (A-B) 18tm M 8t F + F + T x1 0<x1<2m arası: + N A x1 0 TA 8 t x 0 3 N 0 N 3t y 0 8 2 * x1 T 0 T 8 2 x1 x1 2 TB 4 t x1 2 M 0 18 2 x 8 x M 0 M 18 8 x x 1 1 1 1 2 2.derece x1 0 M A 18 tm x1 2 M B 6 tm 4t M N (A-B) T + + B 2tm C x2 0<x2<1m arası: + 3t F 0 N 3 0 N 3t F 0 T 4 0 T 4t M 0 4 x M 2 0 M 2 4 x x y B 2 x2 0 M C 2 tm 2 x2 1 M B 6 tm 2 t/m 4t 3t 18tm 3t A B 8t N (ton) + - C 2m 1m - - 3 3 8 T (ton) 4 + + - 4 + 2o 18 6 M (tm) + - 2 2tm ÖRNEK 116 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 2t 5t D B A C 2m 3m 2m 3tm 2t 5t tm D Dx 3 B A C 2m Fx 0 By 3m 2m Dx=0 + Fy 0 By+Dy-2-5=0 By + Dy =7t + MB 0 + 2*2m-5*3m-3+Dy*5m=0 Dy = 2.8t ( ) By = 4.2t ( ) Dy 2t M A N T (A-B) x1 0<x1<2m arası: + + + F 0 F 0 M 0 x N 0 y 2 T 0 T 2t B 2 x1 M 0 M 2 x1 x1 0 M A 0 x1 2 M B 4tm 2t M B A (B-C) N T 4.2 t 2m 0<x2<3m arası: + + + F 0 F 0 M 0 x2 x N 0 y 2 4.2 T 0 T 2.2t B 2 * 2 M T * x2 0 M 2.2 x2 4 x2 0 M B 4tm x2 3 M C 2.6tm M D N T (C-D) x3 0<x3<2m arası: + + + F 0 N 0 F 0 T 2.8 0 M 0 3 2.8x 3tm 2.8 t x y C 3 T 2.8t M 0 M 3 2.8 x3 x3 0 M D 3 tm x3 2 M C 2.6 tm 2t 5t D B A C 4.2 t 2.8 t 2m 3m 2m N (ton) + - 2.2 2.2 T (ton) + - 2 + - - 2 2.8 2.8 4 M (tm) + - 3 - + + 2.6 3tm ÖRNEK 117 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 2 t/m 10tm A 5t C B 10t 5m 5m 2m 6m 2m ödev 2 t/m Ax 10tm A 10t Ay Fx 0 Ax-10+5=0 B By 5m 5m 2m 5t C 6m 2m Ax=5t + Fy 0 Ay+By-10=0 Ay + By =10t + MA 0 + -(2*5)*2.5m-10tm+By*10m=0 By = 3.5t ( ) Ay = 6.5t ( ) 2 t/m 10tm Keserek diyagramı kontrol ediniz. A 5t B 10t 3.5t 6.5t 5 5m 5m 2m N (ton) + - 5t C 3m 3m + + 5 - 5 2m 5 6.5 T (ton) M (tm) + + + 3.25 3.5 + - 3.5 7.5 10.56 17.5 + ÖRNEK 118 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 2 t/m 50tm A 20t B 5m 5m 2m 10t C 6m 2m 2 t/m 50tm A Ax 20t Ay Fx 0 B Ax-20+10=0 Ax=10t Ay+By-10=0 Ay + By =10t 6m + Fy 0 + MA 0 + -(2*5)*2.5m-50tm+By*10m=0 By 5m 5m 2m 10t C By = 7.5t ( ) Ay = 2.5t ( ) 2m 2 t/m 50tm A 10t 7.5t 2.5t 10 5m 5m 2m N (ton) + - B 20t 10 - 10t C 3m 3m + 2m 10 + 10 2.5 T (ton) + - + - 1.25 7.5 7.5 12.5 M (tm) + + 1.56 + 37.5 ÖRNEK 119 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 200 kg/m 25 kgm A B 0.2m C 0.3m D 0.5m 200 kg/m 25 kgm Ax A MA Fx 0 Ay B 0.2m C 0.3m 0.5m Ax=0 + Fy 0 Ay- (200kg/m*0.5)=0 Ay =100kg + MA 0 + 25+MA-100*0.75=0 MA= 50kgm ( D ) 200 kg/m 50 kgm 25 kgm A B 100kg 0.5m + - 100 100 T (kg) D 0.3m 0.2m N (kg) C + - + + 55 50 M (kgm) + + 30 - 25 - 2o ÖRNEK 120 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 10 t/m 20t 20tm C B D A 1m 4m 1m 10 t/m 20t 20tm C B D A 1m Fx 0 4m 1m Bx=0 + Fy 0 By+Cy-20-40=0 By + Cy =60t + MB 0 + -(4*10)*2m-20tm+Cy*4m+20t*1m=0 Cy = 20t ( ) By = 40t ( ) 10 t/m 20t 20tm C B D A 40t 1m 4m 20t 1m N (t) + - 20 + T (t) + - 2m - - 20 20 20 M (tm) + - 20 - 0 20 - ÖRNEK 121 Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz. 3 t/m 4t B A 30o C D 2m 3m 1m 3 t/m 2t B A 30o C D Ax Ay 2m Fx 0 Ax-3.46=0 3m Cy 1m Ax=3.46t + Fy 0 Ay+Cy-6-2=0 Ay + Cy =8t + MA 0 + -(3*2)*1m+Cy*5m-2t*6m=0 4t Cy = 3.6t ( ) Ay = 4.4t ( ) 3.46t 2t 3 t/m B A 3.46 4.4 1.6 x 2 x N (t) + - x 1.47m 3.6 3m - - 2 + 1.47m 1.6 + 1.6 20 M (tm) + + 3.23 + 2.80 1m - 4.4 T (t) + - 30o C D 4.4 2m 2 - 4t - 2 3.46t ÖRNEK 122 Şekildeki kirişin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz.
