Nash dengesi mi?
advertisement
Oyun Kuramına Giriş Oyun Kuramı ► Oyun kuramı, kendi davranışlarının diğerlerinin davranışlarını etkilediğinin farkında olan iktisadi birimlerin stratejik davranışlarını modellemekte kullanılır. Bazı oyun kuramı uygulamaları ► Oligopol piyasaları, ► Karteller, ör. OPEC, ► Dışsallıklar, ör. Balık avlanma sahaları gibi ortak kaynakların kullanımı, ► Askeri stratejiler. Oyun nedir? ► Bir oyun, Bir oyuncular kümesinden Her bir oyuncu için bir stratejiler kümesinden Oyuncuların seçtiği her bir olası stratejiler listesi için her birinin kayıp-kazançlarından oluşur. İki kişilik oyunlar ► İki oyuncunun bulunduğu oyunlar çok yaygındır. ► İki kişilik oyunları çalışmak kolaydır, Kartezyen düzlemde gösterilebilir. İki kişilik oyun örneği ► Oyuncular A ve B olsun. ► Oyuncu A’nın iki stratejisi var: “Yukarı” ve “Aşağı”. ► Oyuncu B’nin de iki stratejisi var: “Sola” ve “Sağa”. ► Toplam (olası) dört strateji kombinasyonu için her bir oyuncunun kayıp-kazançlarını gösteren tabloya ödemeler ya da kayıp kazanç matrisi denir. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Sol Sağ Y (3,9) (1,8) A (0,0) (2,1) Oyuncu A Ödemeler matrisi Oyuncu A’nın kayıp kazançları önce, Oyuncu B’ninkiler sonra gösterilir. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Sol Sağ Y (3,9) (1,8) A (0,0) (2,1) Oyuncu A Örneğin, eğer oyuncu A Yukarı ve B Sağa oynarsa A’nın kazancı 1, B’ninki 8 olmaktadır. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Sol Sağ Y (3,9) (1,8) A (0,0) (2,1) Oyuncu A Örneğin, eğer oyuncu A Aşağı ve B Sağa oynarsa A’nın kazancı 2, B’ninki 1 olmaktadır. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Sol Sağ Y (3,9) (1,8) A (0,0) (2,1) Oyuncu A Oyunda bir hamle, (yukarı, sol) gibi bir ikilidir, burada ilk eleman A’nın seçtiği stratejiyi, ikinci eleman B’nin seçtiği stratejiyi gösterir. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Sol Sağ Y (3,9) (1,8) A (0,0) (2,1) Oyuncu A Bu oyunda hangi hamlenin oynanması daha olasıdır? İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Sol Sağ Y (3,9) (1,8) A (0,0) (2,1) Oyuncu A (Yukarı, Sağ) oynanabilir bir strateji midir? İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Sol Sağ Y (3,9) (1,8) A (0,0) (2,1) Oyuncu A B Sağ’a oynarsa A’nın en iyi yanıtı Aşağı oynamaktır, çünkü böylece kazancı 1 değil 2 olacaktır. A yukarı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Sol’a oynamaktır çünkü böylece kazancı 8 değil 9 olacaktır. Dolayısıyla (Yukarı, Sağ) oynanabilir bir strateji değildir. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Sol Sağ Y (3,9) (1,8) A (0,0) (2,1) Oyuncu A (Aşağı, Sağ) oynanabilir bir strateji midir? İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A (D,R) olası bir sonuç mu? B Sağa oynarsa A’nın en iyi yanıtı Aşağıdır. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A (D,R) olası bir sonuç mu? B Sağa oynarsa A’nın en iyi yanıtı Aşağıdır. A Aşağı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Sağ’adır. Dolayısıyla (D,R) oynanabilirdir. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A (D,L) olası bir sonuç mu? İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A (D,L) olası bir sonuç mu? A Aşağı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Sağ’dır, dolayısıyla (D,L) oynanabilir değildir. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A (U,L) olası bir sonuç mu? İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A (U,L) olası bir sonuç mu? A Yukarı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Soldur. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A (U,L) olası bir sonuç mu? A Yukarı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Soldur. B Sola oynarsa A’nın en iyi yanıtı Yukarıdır. Dolayısıyla (U,L) olası bir sonuçtur. Nash Dengesi ► Bir oyunun oynanışında her bir oyuncunun stratejisi diğerininkine en iyi yanıt ise Nash dengesi vardır. ► Örneğimizde iki Nash dengesi vardır; (U,L) ve (D,R). İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A (U,L) ve (D,R) oyunun Nash dengeleridir. İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A (U,L) ve (D,R) oyunun Nash dengeleridir. Fakat hangisi oyunun sonucu olarak ortaya çıkar? Bir çok oyuncu (U,L)’yi (D,R)’ye tercih edecektir. Sadece (U,L)’yi mi kabul etmeliyiz? Tutuklunun Açmazı ► Oyunun oynanışı sonucu ortaya çıkan sonucun Pareto-etkin olup olmadığını görmek için ünlü bir iki kişilik oyun örneğine bakacağız: Tutuklunun açmazı. Tutuklunun Açmazı Clyde Sessiz kalmak Konuşmak S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Bu oyunun oynanmasıyla ortaya çıkabilecek olası sonuç nedir? Tutuklunun Açmazı Clyde S S K (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Bonnie sessiz kalırsa Clyde’ın en iyi yanıtı suçunu itiraf etmektir. Mahkum Açmazı Clyde S S K (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Bonnie sessiz kalırsa Clyde’ın en iyi yanıtı suçunu itiraf etmektir. Bonnie itiraf ederse Clyde’ın en iyi yanıtı suçunu itiraf etmektir. Tutuklunun Açmazı Clyde S S K (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Dolayısıyla Bonnie ne oynarsa oynasın, Clyde’ın en iyi yanıtı her zaman konuşmaktır. İtiraf etmek Clyde için her zaman baskın stratejidir. Tutuklunun Açmazı Clyde S S K (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Benzer biçimde, Clyde ne oynarsa oynasın, Bonnie’nin en iyi yanıtı her zaman konuşmaktır. Konuşmak Bonnie için de baskın stratejidir. Tutuklunun Açmazı Clyde S S K (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Böylece bu oyundaki tek Nash dengesi (K,K) olmaktadır; (S,S) sonucu her ikisi için de daha iyi kazanç anlamına gelse de. Tek Nash dengesi etkin değildir. Kim ne zaman oynar? Sıralama ► Önceki örneklerde oyuncular stratejilerini eşzamanlı olarak seçiyorlardı. ► Bu tür oyunlara eşanlı (eşzamanlı) oynanan oyunlar denir. Kim ne zaman oynar? Sıralama ► Fakat, bir oyuncunun diğerinden önce hamle yaptığı oyunlar da vardır. ► Bu tür oyunlara ise ardışık sıralı (sequential) oynanan oyunlar denir. ► İlk hamleyi yapan oyuncuya lider, ilk oyuncudan sonra hamle yapan oyuncuya ise takipçi denir. Ardışık sıralı oyun örneği ► Bazen bir oyunda birden fazla Nash dengesi bulunur ve hangisinin sonuç olarak ortaya çıkacağını saptamak zor olabilir. ► Böyle bir oyun ardışık sıralı ise bu Nash dengelerinden birinin ortaya çıkmasının daha olası olduğunu söyleyebiliriz. Ardışık sıralı oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A (U,L) ve (D,R) bu oyun eş zamanlı oynandığında Nash dengeleridir ve hangisinin daha büyük olasılıkla seçileceği hakkında fikrimiz yoktur. Ardışık sıralı oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A Şimdi oyunun ardışık sıralı oynandığını varsayalım, A lider B ise takipçi olsun. Bu oyunu extensive formda yazabiliriz. Ardışık sıralı oyun örneği A U D B L (3,9) A önce oynar B sonra oynar. B R L (1,8) (0,0) R (2,1) Ardışık sıralı oyun örneği A U D B L (3,9) A önce oynar B sonra oynar. B R L (1,8) (0,0) (U,L) Nash dengesidir. R (2,1) Ardışık sıralı oyun örneği A U D B L (3,9) A önce oynar B sonra oynar. B R L (1,8) (0,0) R (2,1) (U,L) Nash dengesidir. (D,R) Nash dengesidir. Hangisi oyunun sonucu olarak ortaya çıkar? Ardışık sıralı oyun örneği A U D B L (3,9) A önce oynar B sonra oynar. B R L (1,8) (0,0) R (2,1) Eğer A U’ya oynarsa B L’ye oynar; A 3 alır. Ardışık sıralı oyun örneği A U D B L (3,9) A önce oynar B sonra oynar. B R L (1,8) (0,0) R (2,1) Eğer A U’ya oynarsa B L’ye oynar; A 3 alır. Eğer A D’ye oynarsa B R’ye oynar; A 2 alır. Ardışık sıralı oyun örneği A U D B L (3,9) A önce oynar B sonra oynar. B R L (1,8) (0,0) R (2,1) Eğer A U’ya oynarsa B L’ye oynar; A 3 alır. Eğer A D’ye oynarsa B R’ye oynar; A 2 alır. Dolayısıyla (U,L) olası Nash dengesidir. Pür Stratejiler Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A İlk örneğimize geri dönelim. Oyun yine eş zamanlı oynansın. Oyunun iki Nash dengesi olduğunu bulmuştuk: (U,L) ve (D,R). Pür Stratejiler Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A Oyuncu A’nın U ya da D’den birini seçmesi gerektiğini kabul etmiştik, bunların bir tür bileşimini değil; yani, pür olarak U ya da D seçmelidir. U ve D oyuncu A’nın pür stratejileridir. Pür Stratejiler Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A Benzer biçimde, L ve R de oyuncu B’nin pür stratejileridir. Pür Stratejiler Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) D (0,0) (2,1) Oyuncu A Bu kavramsallaştırmaya göre, (U,L) ve (D,R) pür strateji Nash dengeleridir. Her oyunun en az bir pür strateji Nash dengesi bulunmak zorunda mıdır? Pür Stratejiler Oyuncu B L R U Oyuncu A D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Yeni bir örnek alalım. Burada pür strateji Nash dengesi var mıdır? Pür Stratejiler Oyuncu B L R U Oyuncu A D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) (U,L) Nash dengesi mi? Pür Stratejiler Oyuncu B L R U Oyuncu A D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) (U,L) Nash dengesi mi? Hayır. (U,R) Nash dengesi mi? Pür Stratejiler Oyuncu B L R U Oyuncu A D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) (U,L) Nash dengesi mi? Hayır. (U,R) Nash dengesi mi? Hayır. (D,L) Nash dengesi mi? Pür Stratejiler Oyuncu B L R U Oyuncu A D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) (U,L) Nash dengesi mi? Hayır. (U,R) Nash dengesi mi? Hayır. (D,L) Nash dengesi mi? Hayır. (D,R) Nash dengesi mi? Pür Stratejiler Oyuncu B L R U Oyuncu A D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) (U,L) Nash dengesi mi? Hayır. (U,R) Nash dengesi mi? Hayır. (D,L) Nash dengesi mi? Hayır. (D,R) Nash dengesi mi? Hayır. Pür Stratejiler Oyuncu B L R U Oyuncu A D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Dolayısıyla oyunun pür strateji Nash dengesi bulunmamaktadır. Bu durumda bile oyunun bir Nash dengesi olabilir, ancak karma strateji Nash dengesi adını alacaktır. Karma Stratejiler ► Pür olarak yukarı (U) ya da aşağı (D) oynamak yerine, oyuncu A bir olasılık dağılımı (pU,1-pU) seçer; buna göre oyuncu A pU olasılığıyla yukarı (U) ve 1-pU olasılığıyla aşağı (D) oynar. ► Oyuncu A pür stratejileri U ve D’nin bileşiminden bir karma strateji oluşturmaktadır. ► Olasılık dağılımı (pU,1-pU) oyuncu A için karma bir stratejidir. Karma Stratejiler ► Benzer biçimde, oyuncu B bir olasılık dağılımı (pL,1-pL) seçer; buna göre, pL olasılıkla sola (L) ve 1-pL olasılıkla sağa (R) oynayacaktır. ► Oyuncu B pür stratejileri L ve R’nin bileşiminden bir karma strateji oluşturmaktadır. ► Olasılık dağılımı (pL,1-pL) oyuncu B için karma bir stratejidir. Karma Stratejiler Oyuncu B U Oyuncu A D L R (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Bu oyunda pür strateji Nash dengesi bulunmamakla birlikte bir karma strateji Nash dengesi vardır. Peki nasıl hesaplayacağız? Karma Stratejiler Oyuncu B U,pU Oyuncu A D,1-pU L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Karma Stratejiler Oyuncu B U,pU Oyuncu A D,1-pU L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) B sola (L) oynarsa beklenen kazancı 2pU 5(1 pU ) Karma Stratejiler Oyuncu B U,pU Oyuncu A D,1-pU L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) B sola (L) oynarsa beklenen kazancı 2pU 5(1 pU ). B sağa (R) oynarsa beklenen kazancı 4pU 2(1 pU ). Karma Stratejiler Oyuncu B U,pU Oyuncu A D,1-pU L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) 2pU 5(1 pU ) 4pU 2(1 pU ) ise B sadece sola (L) oynar. Fakat B sadece sola oynarsa Nash dengesi bulunmamaktadır. Karma Stratejiler Oyuncu B U,pU Oyuncu A D,1-pU L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) 2pU 5(1 pU ) 4pU 2(1 pU ) ise B sadece sağa (R) oynar. Fakat B sadece sağa oynarsa Nash dengesi bulunmamaktadır. Karma Stratejiler Oyuncu B U,pU Oyuncu A D,1-pU L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, B sola ya da sağa oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani, 2pU 5(1 pU ) 4p U 2(1 pU ) Karma Stratejiler Oyuncu B U,pU Oyuncu A D,1-pU L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, B sola ya da sağa oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani, 2p U 5(1 p U ) 4 p U 2(1 p U ) p U 3 / 5. Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, B sola ya da sağa oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani, 2p U 5(1 p U ) 4 p U 2(1 p U ) p U 3 / 5. Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) A yukarı (U) oynarsa beklenen kazancı 1 pL 0 (1 pL ) pL . Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) A yukarı (U) oynarsa beklenen kazancı 1 pL 0 (1 pL ) pL . A aşağı (D) oynarsa beklenen kazancı 0 pL 3 (1 pL ) 3(1 pL ). Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) p L 3(1 p L ) ise A sadece yukarı oynar. Fakat A sadece yukarı oynarsa Nash dengesi bulunmamaktadır. Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) p L 3(1 p L ) ise A sadece aşağı oynar Fakat A sadece aşağı oynarsa Nash dengesi bulunmamaktadır. Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, A yukarı ya da aşağı oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani, p L 3(1 p L ) Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 L,pL R,1-pL (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, A yukarı ya da aşağı oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani, p L 3(1 p L ) p L 3 / 4. Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 3 L, 4 1 R, 4 (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, A yukarı ya da aşağı oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani, p L 3(1 p L ) p L 3 / 4. Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 3 L, 4 1 R, 4 (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Sonuç olarak oyunun tek Nash dengesinde oyuncu A karma strateji (3/5, 2/5) ve oyuncu B karma strateji (3/4, 1/4) oynamaktadır. Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 3 L, 4 1 R, 4 (1,2) 9/20 (0,4) (0,5) (3,2) Kayıp kazanç matrisinde (1,2) olasılığı 3 3 9 5 4 20 Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 3 L, 4 1 R, 4 (1,2) 9/20 (0,4) 3/20 (0,5) (3,2) Kayıp kazanç matrisinde (0,4) olasılığı 3 1 3 5 4 20 Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 3 L, 4 1 R, 4 (1,2) 9/20 (0,5) 6/20 (0,4) 3/20 (3,2) Kayıp kazanç matrisinde (0,5) olasılığı 2 3 6 5 4 20 Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 3 L, 4 1 R, 4 (1,2) 9/20 (0,5) 6/20 (0,4) 3/20 (3,2) 2/20 Kayıp kazanç matrisinde (3,2) olasılığı 2 1 2 5 4 20 Karma Stratejiler Oyuncu B 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 3 L, 4 1 R, 4 (1,2) 9/20 (0,5) 6/20 (0,4) 3/20 (3,2) 2/20 Karma Stratejiler Oyuncu B 3 L, 4 1 R, 4 (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20 A’nın beklenen Nash dengesi kazancı 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 9 1 20 3 0 20 6 0 20 2 3 20 3 . 4 Karma Stratejiler Oyuncu B 3 L, 4 1 R, 4 (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20 A’nın beklenen Nash dengesi kazancı 3 U, 5 Oyuncu A 2 D, 5 9 1 20 3 0 20 6 0 20 2 3 20 B’nin beklenen Nash dengesi kazancı 9 2 20 3 4 20 6 5 20 2 2 20 3 . 4 16 . 5 Kaç tane Nash dengesi? ► Sonlu sayıda oyuncudan oluşan bir oyunda, oyunculardan her birinin sonlu sayıda pür stratejisinin olması durumunda en azından bir Nash dengesi bulunmaktadır. ► Ayrıca oyunda bir pür strateji Nash dengesi yoksa en azından bir karma strateji Nash dengesi bulunmalıdır.
