genelleştirilmiş iki değişkenli fibonacci ve lucas polinomları
advertisement
T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI Şerife TUNÇEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Danışman Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER Konya–2011 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI Şerife TUNÇEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Danışman Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER Konya–2011 i i iii TEŞEKKÜR Bu çalışma, Yrd. Doç. Dr. Emine Gökçen KOÇER tarafından yönetilerek Selçuk Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur. Bu çalışma süresince bilimsel bilgi, düşünce ve önerilerinden yararlandığım, tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Emine Gökçen KOÇER’e teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca bu çalışma süresince desteğini benden esirgemeyen bütün hocalarıma ve aileme sonsuz teşekkür ederim. Şerife TUNÇEZ KONYA, 2011 iv T. C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ Eğitim Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü Adı Soyadı Şerife TUNÇEZ Numarası 085201011008 Öğrencinin Ana Bilim / Bilim Dalı Programı İlköğretim Matematik Tezli Yüksek Lisans Doktora Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER Tezin Adı Genelleştirilmiş İki Değişkenli Fibonacci ve Lucas Polinomları ÖZET Bu çalışmada, Catalani tarafından tanımlanan İki Değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomlarının genelleştirilmiş hali olan Genelleştirilmiş İki Değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomları tanımlanmıştır. Daha sonra, bu polinomların sağladığı bazı özdeşlikler ve özellikler araştırılmıştır. Anahtar kelimeler: Fibonacci polinomları, Lucas polinomları, Binet formülü, Üreteç fonksiyonu v Öğrencinin T. C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ Eğitim Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü Adı Soyadı Şerife TUNÇEZ Numarası 085201011008 Ana Bilim / Bilim Dalı İlköğretim Matematik Tezli Yüksek Lisans Programı Doktora Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. E. Gökçen KOÇER Tezin İngilizce Adı The Generalized Bivariate Fibonacci and Lucas Polynomials ABSTRACT In this study, we define the generalized bivariate Fibonacci and Lucas polynomials which is generalized of the bivariate Fibonacci and Lucas polynomials are given by Catalani. Afterwards, we investigated the some identities and properties of the Generalized Bivariate Fibonacci and Lucas polynomials. Key words: Fibonacci polynomials, Lucas polynomials, Binet’s formula, Generating function. vi İÇİNDEKİLER 1.GİRİŞ……………………………………………………………………………….2 2. ÖN BİLGİLER……...……………………………………………………………...3 3. GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ POLİNOMLARI….....10 4. GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ LUCAS POLİNOMLARI……..…...22 5.KAYNAKLAR……………………………………………………………………33 1 1.GĠRĠġ Fibonacci polinomları ilk olarak 1883 yılında Belçikalı matematikçi E. Charles Catalan ve Alman matematikçi E. Jacobsthal tarafından çalışılmıştır. Catalan tarafından çalışılan Fibonacci polinomları daha sonra 1966 yılında M. N. S Swamy tarafından geliştirilmiştir. Ayrıca 1963 yılında P. F. Bryd tarafından Fibonacci tipi polinomların bir yenisi literatüre eklenmiştir. P. F. Bryd tarafından tanımlanan polinom bugün Pell polinomu olarak isimlendirilmektedir. Fibonacci polinomu olarak kabul edilen polinom ise Catalan tarafından tanımlanmış olan polinomdur. Daha sonra tüm bu farklı tanımlamalar Fibonacci ve Lucas tipi polinomlar olarak adlandırılmıştır. Catalan tarafından tanımlanan Fibonacci polinomlarının üzerine yapılan çalışmalar sonucunda bu polinomların farklı genelleştirmeleri tanımlanmıştır (Amdberhan 2010, Garth, Mills, Mitchell 2007, Prodinger 2009, Shattuck, Wagner 2007). Fibonacci ve Lucas tipi polinomların çeşitli genelleştirilmelerinden birisi de iki değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomlarıdır. İki değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomları ile ilgili Swamy (1999) ve Catalani (2004) tarafından çalışmalar yapılmıştır. İki değişkenli Fibonacci polinomları Catalan tarafından tanımlanan Fibonacci polinomlarının genelleştirilmiş halidir. Ayrıca iki değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomlarının bazı genelleştirmeleri Tan ve Zhang (2005), MacHenry (2000) tarafından verilmiştir. Zhang ve Ma (2005) genelleştirilmiş Fibonacci polinomları ve Bernoulli sayıları arasındaki ilişkiyi incelemiştir. Bu çalışmada ise iki değişkenli Fibonacci ve Lucas polinomlarının yeni bir genelleştirilmesi tanımlanarak bu polinomların sağladığı özellikler üçüncü ve dördüncü bölümde incelenecektir. Çalışmanın ikinci bölümünde ise daha önce tanımlanmış olan bazı Fibonacci ve Lucas tipi polinomları hakkında bilgi verilecektir. 2 Bu çalışmanın sonucunda elde edilen tüm özdeşlikler Fibonacci ve Lucas tipi olarak adlandırılan tüm polinomlar için geçerlidir. 3 2. ÖN BĠLGĠLER Tanım 2.1: n 2 için Fn x, y xFn1 x, y yFn2 x, y (2.1) rekürans bağıntısı ve F0 x, y 0, F1 x, y 1 (2.2) başlangıç şartları ile tanımlanan polinoma iki değişkenli Fibonacci polinomu denir (Catalani 2004, 16 Jun). İki değişkenli Fibonacci polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo 2.1 n Fn x, y 0 0 1 1 2 x 3 x2 y 4 x3 2 xy 5 x 4 3x 2 y y 2 4 (2.1) bağıntısının karakteristik denklemi 2 x y 0 (2.3) olup (2.3) denkleminin kökleri x x2 4 y x x2 4 y ve 2 2 (2.4) dir. Fn x, y iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere, iki değişkenli Fibonacci polinomu için bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir. 1) y 1 için Fn x,1 iki değişkenli Fibonacci polinomu klasik Fibonacci polinomuna dönüşür. 2) y 1 ve x yerine 2x alınırsa Fn 2 x,1 iki değişkenli Fibonacci polinomu Pell polinomuna dönüşür. 3) x 1 ve y yerine 2 y alınırsa Fn 1, 2 y iki değişkenli Fibonacci polinomu Jacobsthal polinomuna dönüşür. 4) y 1 ve x yerine 2x alınırsa Fn 2 x, 1 iki değişkenli Fibonacci polinomu İkinci çeşit Chebyshev polinomuna dönüşür. 5) y 2 ve x yerine 3x alınırsa Fn 3x, 2 iki değişkenli Fibonacci polinomu Fermat polinomuna dönüşür. Tanım 2.2: a0 , a1, a2 ,... bir reel sayı dizisi olsun. n 0 olmak üzere h t a0 a1t a2t 2 ... ifadesine an dizisinin üreteç fonksiyonu denir (Koshy 2001). (2.5) 5 Teorem 2.1: Fn x, y iki değişkenli Fibonacci polinomunun üreteç fonksiyonu g1 t t 1 xt yt 2 (2.6) dir (Shephard 2009). Catalini tarafından Fn x, y iki değişkenli Fibonacci polinomunun Binet formülü, ve (2.3) karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere Fn x, y n n (2.7) şeklinde verilir. Teorem 2.2: Fn x, y iki değişkenli Fibonacci polinomu ve olmak üzere n 1 F x, y x y 1 F x, y yF x, y 1 k 0 n1 k n dir (Tuglu, Kocer, Stakhov 2011). Teorem 2.3: Fn x, y iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere Fn x, y n1 2 n j 1 n2 j 1 j y x j j 0 dir (Belbachir and Bencherif 2008). İki değişkenli Fibonacci polinomu Fn x, y için Q matrisi x Q x, y y olup 1 0 x y 1 0 6 F x, y Q n x, y n1 yFn x, y Fn x, y yFn1 x, y (2.8) dir. Bu matris yardımı ile bu polinomun birçok özelliği elde edilebilmektedir. Tanım 2.3: n 2 için Ln x, y xLn1 x, y yLn2 x, y (2.9) rekürans bağıntısı ve L0 x, y 2, L1 x, y x (2.10) başlangıç şartları ile tanımlanan polinoma iki değişkenli Lucas polinomu denir (Catalani 2004, 16 Jun). İki değişkenli Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo 2.2 n Ln x, y 0 2 1 x 2 x2 2 y 3 x3 3xy 4 x4 4 x2 y 2 y 2 5 x5 5x3 y 5xy 2 7 İki değişkenli Lucas polinomunun karakteristik denklemi ve kökleri, İki değişkenli Fibonacci polinomun karakteristik denklemi (2.3) ve kökleri (2.4) ile aynı olup Ln x, y iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere, iki değişkenli Lucas polinomu için bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir. 1) y 1 için Ln x,1 iki değişkenli Lucas polinomu klasik Lucas polinomuna dönüşür. 2) y 1 ve x yerine 2x alınırsa Ln 2 x,1 iki değişkenli Lucas polinomu Pell-Lucas polinomuna dönüşür. 3) x 1 ve y yerine 2 y alınırsa Ln 1, 2 y iki değişkenli Lucas polinomu Jacobsthal-Lucas polinomuna dönüşür. 4) y 1 ve x yerine 2x alınırsa Ln 2 x, 1 iki değişkenli Lucas polinomu birinci çeşit Chebyshev polinomuna dönüşür. 5) y 2 ve x yerine 3x alınırsa Ln 3x, 2 iki değişkenli Lucas polinomu Fermat- Lucas polinomuna dönüşür. Teorem 2.4: Ln x, y iki değişkenli Lucas polinomunun üreteç fonksiyonu g2 t 2 xt 1 xt yt 2 (2.11) dir (Catalani 2004, 7 July). Ln x, y iki değişkenli Lucas polinomunun Binet formülü, ve (2.3) karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere Ln x, y n n dir (Catalini 2004, 7 July). (2.12) 8 Teorem 2.5: Ln x, y iki değişkenli Lucas polinomu ve x y 1 0 olmak üzere n 1 L x, y x y 1 L x, y yL x, y x 2 k 0 n1 k n dir (Tuglu, Kocer, Stakhov 2011). Teorem 2.6: Ln x, y iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere n 2 n j 0 n Ln x, y n j n 2 j j x y j j dir (Belbachir and Bencherif 2008). İki değişkenli Lucas polinomu Ln x, y için x2 2 y x P x, y 2 y xy ve x 1 Q x, y y 0 olmak üzere L x, y Ln1 x, y P x, y Q n x , y n 2 yLn1 x, y yLn x, y (2.13) dir. Nalli ve Haukkanen (2009) Fibonacci ve Lucas polinomlarının bir genelleştirmesini, h x reel katsayılı bir polinom ve n 1 olmak üzere 9 Fh,n1 x h x Fh,n x Fh,n1 ; Fh,0 x 0, Fh,1 x 1 (2.14) ve Lh,n1 x h x Lh,n x Lh,n1 ; Lh,0 x 2, Lh,1 x h x şeklinde tanımlamış ve bu polinomların bazı özelliklerini incelemiştir. (2.15) 10 3. GENELLEġTĠRĠLMĠġ ĠKĠ DEĞĠġKENLĠ FĠBONACCĠ POLĠNOMLARI Bu bölümde (2.1) ve (2.14) ile tanımlanan polinomların genel hali olan Genelleştirilmiş İki Değişkenli Fibonacci polinomları incelenecektir. Tanım 3.1: p x, y ve q x, y reel katsayılı polinomlar olmak üzere n 2 için H n x, y p x, y H n1 x, y q x, y H n2 x, y (3.1) rekürans bağıntısı ve H 0 x, y 0, H1 x, y 1 (3.2) başlangıç şartları ile tanımlanan polinoma Genelleştirilmiş İki Değişkenli Fibonacci polinomu denir. Genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo 3.1 n H n x, y 0 0 1 1 2 p x, y 3 p 2 x, y q x, y 4 p3 x, y 2 p x, y q x, y 5 p 4 x, y 3 p 2 x, y q x, y q 2 x, y 11 H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu n nin negatif değerleri için H n x, y 1 n1 q n x, y H n x, y (3.3) şeklindedir. H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun karakteristik denklemi 2 p x, y q x, y 0 (3.4) olup ve (3.4) denkleminin kökleri x, y x, y p x, y p 2 x , y 4q x , y 2 p x , y p x , y 4q x , y (3.5) 2 dir. Eğer p x, y q x, y 1 olursa 2 1 5 olup bu oran Altın Oran olarak 2 isimlendirilir. Eğer p x, y 2 ve q x, y 1 olursa 1 2 olup bu oran Bronz Oran olarak isimlendirilir ( Falcon, Plaza 2008 ). H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu için bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir. 1) p x, y x ve q x, y 1 için H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu klasik Fibonacci polinomuna dönüşür. Klasik Fibonacci polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir. Fn x 0,1, x, x 2 1, x3 2 x, x 4 3x 2 1, x5 4 x3 3x,... 12 2) p x, y x ve q x, y y için H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu İki değişkenli Fibonacci polinomuna dönüşür. İki değişkenli Fibonacci polinomunun ilk birkaç elemanı Tablo 2.1 de verilmiştir. 3) q x, y 1 ve p x, y yerine 2x alınırsa H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu Pell polinomuna dönüşür. Pell polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir. Pn x 0,1,2 x,4 x 2 1,8x3 4 x,16 x 4 12 x 2 1,32 x5 32 x3 6 x,... 4) p x, y 1 ve q x, y yerine 2 y alınırsa H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu Jacobsthal polinomuna dönüşür. Jacobsthal polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir. J n y 0,1,1, 2 y 1, 4 y 1, 4 y 2 6 y 1,12 y 2 8 y 1,... 5) q x, y 1 ve p x, y yerine 2x alınırsa H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu ikinci çeşit Chebyshev polinomuna dönüşür. İkinci Çeşit Chebyshev polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir. U n1 x 1,2 x,4 x 2 1,8x3 4 x,16 x 4 12 x 2 1,32 x5 32 x3 6 x,... 6) q x, y 2 ve p x, y yerine 3x alınırsa H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu Fermat polinomuna dönüşür. Fermat polinomunun ilk birkaç elamanı aşağıdaki şekildedir. Fn x 0,1,3x,9 x 2 2,27 x3 12 x,81x 4 54 x 2 4,243x5 216 x3 36 x,... Teorem 3.1: H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun Binet formülü H n x, y dir. n x, y n x , y x, y x , y (3.6) 13 Ġspat: x, y ve x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun (3.4) karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere (3.1) rekürans bağıntısının genel çözümü n p x, y p 2 x, y 4q x, y p x, y p 2 x, y 4q x, y c2 H n x, y c1 2 2 n dir. (3.2) başlangıç şartları göz önüne alınırsa H 0 x, y c1 c2 0 p x, y p 2 x, y 4q x , y p x, y p 2 x, y 4q x, y c2 1 H1 x, y c1 2 2 lineer denklem sistemi elde edilir. Bu lineer denklem sisteminin çözümünden c1 1 p 2 x, y 4q x, y bulunur. x, y x, y H n x, y ve c2 1 p 2 x, y 4q x, y p 2 x, y 4q x, y olup 1 1 n x, y n x, y x, y x, y x, y x , y dir. Dolayısıyla genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun Binet formülü H n x, y şeklinde elde edilir. n x, y n x , y x, y x , y 14 Teorem 3.2: H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun üreteç fonksiyonu h1 t t 1 p x, y t q x, y t 2 (3.7) dir. Ġspat: Tanım (2.2) den H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu için üreteç fonksiyonu n 0 n 2 h1 t H n x, y t n H 0 x, y H1 x, y t H n x, y t n dir. Başlangıç şartları ve rekürans bağıntısı göz önüne alınırsa n 0 n 2 h1 t H n x, y t n 0 t p x, y H n1 x, y q x, y H n2 x, y t n elde edilir. Buradan H x, y t n 0 n n n2 n2 t p x, y H n1 x, y t n q x, y H n2 x, y t n n2 n2 t p x, y t H n1 x, y t n1 q x, y t 2 H n2 x, y t n2 n1 n 0 t p x, y t H n1 x, y t n1 H 0 x, y q x, y t 2 H n x, y t n n1 n 0 t p x, y t H n1 x, y t n1 q x, y t 2 H n x, y t n n 2 t p x, y t H n x , y t q x , y t H n x , y t n n 0 n 0 olur. Gerekli düzenlemeler yapılırsa n n 2 H x , y t p x , y t H x , y t q x , y t n H n x, y t n t n n 0 n 0 n 0 elde edilir. Dolayısıyla genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun üreteç fonksiyonu h1 t H n x, y t n n 0 dir. t 1 p x, y t q x, y t 2 15 Teorem 3.3: H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu ve p x, y q x, y 1 0 olmak üzere n 1 H x, y p x, y q x, y 1 H x, y q x, y H x, y 1 k 0 n1 k n dir. Ġspat: (3.6) genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun Binet formülü kullanılırsa k x, y k x , y H k x, y k 0 k 0 x, y x , y n n olur. x, y ve x, y olarak alırsak H k x, y n 1 n k k k 0 k 0 1 n1 1 n1 1 1 1 n k 0 n1 n1 1 1 1 1 1 1 1 dir. Buradan n1 n1 n1 n1 1 1 1 H k x, y 1 k 0 n 1 n1 n1 1 n1 n1 1 1 n n n1 n 1 1 1 1 H n x, y H n1 x, y 1 1 elde edilir. x, y x, y q x, y ve x, y x, y p x, y olup q x, y H x , y H x , y 1 H x, y q x, y p x , y 1 n n k 0 k n1 16 bulunur. Dolayısıyla n 1 H x, y p x, y q x, y 1 H x, y q x, y H x, y 1 k 0 n1 k n dir. Teorem 3.4: H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere H n x, y n1 2 n j 1 n2 j 1 x, y q j x , y p j j 0 dir. Ġspat: n üzerinden tümevarım yöntemi kullanılırsa n 2 için 1 H 2 x, y j 0 j 0 j 12 j j p x, y q x, y p x , y dir. n k için H k x, y k 1 2 k j 1 k 2 j 1 x, y q j x , y p j j 0 olduğu kabul edilir. n k 1 için k 2 k j k 2 j H k 1 x, y x, y q j x , y p j j 0 olduğunu göstermeliyiz. p x, y p ve q x, y q olmak üzere (3.1) rekürans bağıntısından 17 k 1 2 k 2 2 k j 1 k 2 j 1 j k j 2 k 2 j 2 j H k 1 x, y p q q q p p j j j 0 j 0 k 1 k 1 2 k 2 k 3 1 k 1 0 p p q p q ... 0 1 k 1 2 0 k 1 p q 2 k 2 k 2 2 k 3 k 2 0 k 4 1 q p q p q ... 0 1 k 2 2 0 k 2 p q 2 olur. Buradan k 1 2 1 k 1 k 1 k 0 k 2 k 2 1 H k 1 x, y p q p q ... pq 2 0 1 k 1 2 k 2 2 0 k k 2 k 2 1 k 3 k 4 2 p q p q ... p q2 0 1 k 2 2 k 2 2 0 k k 1 k 0 k 2 k 2 k 2 1 p q p q ... p q2 0 k 2 0 1 2 n n 1 n 1 elde edilir. bağıntısından k k 1 k k 2 2 0 k k 1 k 0 k 1 k 2 1 k 2 k 4 2 H k 1 x, y p q p q p q ... p q2 0 1 2 k 2 2 olur. Yani k 2 k j k 2 j H k 1 x, y x, y q j x , y p j j 0 dir. 18 Catalani (2004) tarafından İki değişkenli Fibonacci polinomları için Q x, y matrisi x 1 Q x, y y 0 olarak verilmiştir. Nalli ve Haukkanen (2009) tarafından genelleştirilmiş Fibonacci polinomu için Qh x, y matrisi h x 1 Qh x, y 0 1 şeklinde tanımlanmıştır. Genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu H n x, y için bu matrislerin rolünü üstlenen matris p x, y 1 Q p , q x, y q x, y 0 olup H n x, y H n1 x, y Qpn,q x, y q x, y H n x, y q x, y H n1 x, y (3.8) dir. Şimdi bu matris yardımı ile genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomlarının sağladığı bazı özdeşlikleri elde edelim. Teorem 3.7: ( Cassini ÖzdeĢliği ) n 0 ve H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere H n1 x, y H n1 x, y H n 2 x, y 1 q n1 x, y n dir. Ġspat : (3.8) matrisinin determinantı Qpn,q x, y q x, y H n1 x, y H n1 x, y H n 2 x, y olup, ayrıca Qpn,q x, y Qp ,q x, y q x, y n dir. Dolayısıyla n (3.9) 19 H n1 x, y H n1 x, y H n 2 x, y 1 q n1 x, y n elde edilir. Cassini özdeşliğinin genel hali olan Catalan özdeşliğini aşağıdaki teorem ile verebiliriz. Teorem 3.8: ( Catalan ÖzdeĢliği ) n 0, n k ve H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere H nk x, y H nk x, y H n 2 x, y 1 nk 1 q nk x, y H k 2 x, y (3.10) dir. Ġspat: x, y ve x, y olmak üzere H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun Binet formülünü kullanırsak nk nk nk nk H n k x, y H n k x , y H n x , y 2 n n olur. Burada gerekli işlemler yapıldığında H nk x, y H nk x, y H n 2 x, y 2 n n nk nk nk nk 2 n n 2 k k k k 2 k k k k 2 n n 2 n n 2 k k 2 k 2k 2 n k k H k 2 x, y elde edilir. x, y x, y q x, y olduğu için H nk x, y H nk x, y H n 2 x, y 1 dir. nk 1 q nk x, y H k 2 x, y 2 20 Teorem 3.9: ( D’Ocagne’s ÖzdeĢliği ) n 0, m 0 ve H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere H n x, y H m1 x, y H m x, y H n1 x, y q x, y H nm x, y m (3.11) dir. Ġspat: H n x, y H m1 x, y H m x, y H n1 x, y T olsun. Bu takdirde p x, y p ve q x, y q olmak üzere (3.1) rekürans bağıntısından T H n x, y pH m x, y qH m1 x, y H m x, y pH n x, y qH n1 x, y olur. Burada gerekli işlemler yapılırsa T q H m x, y H n1 x, y H n x, y H m1 x, y bulunur. Benzer şekilde H m x, y ve H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomlarının reküransları yerine yazılırsa T q H m1 x, y H n2 x, y H n1 x, y H m2 x, y 2 dir. Bu şekilde işlemleri m kez tekrarlarsak m T q H nm x, y H m m1 x, y H n m1 x, y H mm x, y q H nm x, y H1 x, y H nm1 x, y H 0 x, y m olur. Dolayısıyla H n x, y H m1 x, y H m x, y H n1 x, y q x, y H nm x, y m elde edilir. Teorem 3.10: ( Honsberger ÖzdeĢliği ) n 0, m 0 ve H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere H nm x, y q x, y H n x, y H m1 x, y H m x, y H n1 x, y (3.12) dir. Ġspat: p x, y p ve q x, y q olmak üzere (3.11) D’Ocagne’s özdeşliğinde m yerine m alırsak q m H nm x, y H n x, y H m1 x, y H m x, y H n1 x, y 21 olur. Buradan H nm x, y q H n x, y H m1 x, y H m x, y H n1 x, y m dir. (3.3) ifadesinden H m1 x, y 1 q m1 x, y H m1 x, y m ve H m x, y 1 m1 q m x, y H m x, y olduğu için m m m1 H nm x, y q H n x, y 1 q m1H m1 x, y 1 q m H m x, y H n1 x, y bulunur. Buradan H nm x, y q x, y H n x, y H m1 x, y H m x, y H n1 x, y elde edilir. Sonuç 3.1: H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu olmak üzere H 2n1 x, y H n12 x, y q x, y H n 2 x, y (3.13) dir. Ġspat: p x, y p ve q x, y q olmak üzere ( 3.12 ) Honsberger özdeşliğinde m yerine n 1 alırsak H 2n1 x, y H n n1 x, y qH n1 x, y H n1 x, y H n x, y H n2 x, y elde edilir. Buradan (3.1) rekürans bağıntısından H 2n1 x, y H n1 x, y H n1 x, y pH n x, y H n x, y pH n1 x, y qH n x, y H n12 x, y pH n1 x, y H n x, y pH n1 x, y H n x, y qH n 2 x, y bulunur. Burada gerekli düzenlemeler yapılırsa H 2n1 x, y H n12 x, y q x, y H n 2 x, y elde edilir. 22 4. GENELLEġTĠRĠLMĠġ ĠKĠ DEĞĠġKENLĠ LUCAS POLĠNOMLARI Bu bölümde (2.9) ve (2.15) ile tanımlanan polinomların genel hali olan Genelleştirilmiş İki Değişkenli Lucas polinomları incelenecektir. Tanım 4.1: p x, y ve q x, y reel katsayılı polinomlar olmak üzere n 2 için Kn x, y p x, y Kn1 x, y q x, y Kn2 x, y (4.1) rekürans bağıntısı ve K0 x, y 2, K1 x, y p x, y (4.2) başlangıç şartları ile tanımlanan polinoma Genelleştirilmiş İki Değişkenli Lucas Polinomu denir. Genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablo 4.1 n K n x, y 0 2 1 p x, y 2 p 2 x, y 2q x, y 3 p3 x, y 3 p x, y q x, y 4 p 4 x, y 4 p 2 x, y q x, y 2q 2 x, y 5 p5 x, y 5 p3 x, y q x, y 5 p x, y q 2 x, y 23 K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu n nin negatif değerleri için K n x, y 1 q n x, y K n x, y n (4.3) şeklindedir. K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun karakteristik denklemi 2 p x, y q x, y 0 (4.4) olup ve (4.4) denkleminin kökleri x, y x, y p x, y p 2 x , y 4q x , y 2 p x , y p x , y 4q x , y (4.5) 2 2 dir. K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu için bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir. 1) p x, y x ve q x, y 1 için K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu klasik Lucas polinomuna dönüşür. Klasik Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir. Ln x 2, x, x 2 2, x3 3x, x 4 4 x 2 2, x5 5x3 5x,... 2) p x, y x ve q x, y y için K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu İki değişkenli Lucas polinomuna dönüşür. İki değişkenli Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı Tablo 2.2 de görülmektedir. 24 3) q x, y 1 ve p x, y yerine 2x alınırsa K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu Pell-Lucas polinomuna dönüşür. Pell-Lucas polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir. Qn x 2,2 x,4 x 2 2,8x3 6 x,16 x 4 16 x 2 2,32 x5 40 x3 10 x,... 4) p x, y 1 ve q x, y yerine 2 y alınırsa K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu Jacobsthal-Lucas polinomuna dönüşür. JacobsthalLucas polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir. jn y 2,1, 4 y 1,6 y 1,8 y 2 8 y 1, 20 y 2 10 y 1,... 5) q x, y 1 ve p x, y yerine 2x alınırsa K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu birinci Çeşit Chebyshev polinomuna 2Tn x şeklinde dönüşür. Birinci Çeşit Chebyshev polinomunun ilk birkaç elemanı aşağıdaki şekildedir. Tn x 1, x,2 x 2 1,4 x3 3x,8x 4 8x 2 1,16 x5 20 x3 5x,... 6) q x, y 2 ve p x, y yerine 3x alınırsa K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu Fermat-Lucas polinomuna dönüşür. Fermat-Lucas polinomunun ilk birkaç elamanı aşağıdaki şekildedir. f n x 3x,9 x 2 4,27 x3 18x,81x 4 72 x 2 8,243x5 270 x3 60 x Teorem 4.1: K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun Binet formülü Kn x, y n x, y n x, y (4.6) dir. Ġspat: x, y ve x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun (4.4) karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere (4.1) rekürans bağıntısının genel çözümü 25 n p x, y p 2 x , y 4 q x , y p x, y p 2 x, y 4q x, y c2 K n x, y c1 2 2 dir. (4.2) başlangıç şartları göz önüne alınırsa H 0 x, y c1 c2 2 p x, y p 2 x, y 4 q x, y p x , y p 2 x , y 4q x , y p x, y K1 x, y c1 c 2 2 2 lineer denklem sistemi elde edilir. Bu lineer denklem sistemi çözülürse c1 c2 1 bulunur. Dolayısıyla genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun Binet formülü Kn x, y n x, y n x, y şeklinde elde edilir. Teorem 4.2: K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun üreteç fonksiyonu h2 t 2 p x, y t 1 p x, y t q x, y t 2 (4.7) dir. Ġspat: Tanım (2.2) den K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu için üreteç fonksiyonu n 0 n 2 h2 t K n x, y t n K0 x, y K1 x, y t K n x, y t n dir. Başlangıç şartları ve rekürans bağıntısı göz önüne alınırsa n 26 n 0 n2 h2 t K n x, y t n 2 p x, y t p x, y K n1 x, y q x, y K n2 x, y t n elde edilir. Buradan K x, y t n n n 0 n 2 n 2 2 p x, y t p x, y K n1 x, y t n q x, y K n2 x, y t n n 2 n 2 2 p x, y t p x, y t K n1 x, y t n1 q x, y t 2 K n2 x, y t n2 n1 n 0 n1 n 0 2 p x, y t p x, y t K n1 x, y t n1 K 0 x, y q x, y t 2 K n x, y t n 2 p x, y t p x, y t K n1 x, y t n1 p x, y t q x, y t 2 K n x, y t n 2 p x, y t p x, y t K n x, y t n q x, y t 2 K n x, y t n n 0 n 0 olur. Gerekli düzenlemeler yapılırsa n n 2 K x , y t p x , y t K x , y t q x , y t n K n x, y t n 2 p x , y t n n 0 n 0 n 0 elde edilir. Dolayısıyla genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun üreteç fonksiyonu h2 t K n x, y t n n 0 2 p x, y t 1 p x, y t q x, y t 2 dir. Teorem 4.3: K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu ve p x, y q x, y 1 0 olmak üzere n 1 K x, y p x, y q x, y 1 K x, y q x, y K x, y p x, y 2 m 0 n1 m n dir. Ġspat: (4.6) genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun Binet formülü kullanılırsa Km x, y m x, y m x, y n n m 0 m 0 27 olur. Buradan n n n m 0 m 0 m 0 Km x, y m x, y m x, y n1 x, y 1 n1 x, y 1 x, y 1 x, y 1 n1 x, y 1 x, y 1 n1 x, y 1 x, y 1 x, y 1 x, y 1 dir. x, y ve x, y olmak üzere gerekli işlemler yapılırsa n1 n1 1 n1 n1 1 K m x, y 1 m 0 n n1 n1 1 n1 n1 1 1 n n n1 n1 2 1 1 Kn x, y Kn1 x, y 1 1 elde edilir. x, y x, y q x, y ve x, y x, y p x, y olup q x, y K x, y K x, y p x, y 2 K x, y q x, y p x, y 1 n n1 n m 0 m bulunur. Dolayısıyla n 1 K x, y p x, y q x, y 1 K x, y q x, y K x, y p x, y 2 m 0 n1 m n dir. Teorem 4.4: K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere n 2 n j 0 n K n x, y dir. n j j j n2 j j p x, y q x , y 28 Ġspat: ispat n üzerinden tümevarımla açıktır. Genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu K n x, y için p 2 x, y 2 q x , y p x , y T p , q x, y 2q x , y p x, y q x , y ve p x, y Q p , q x, y q x, y 1 0 olmak üzere K n 2 x, y K n1 x, y Tp ,q x, y Qpn,q x, y q x, y K n1 x, y q x, y K n x, y (4.8) matrisi elde edilir . Bu matris kullanılarak genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomları için bazı özdeşlikler elde edilebilir. Teorem 4.5: ( Cassini ÖzdeĢliği ) n 0 ve K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere Kn x, y Kn2 x, y K n12 x, y 1 q n x, y p 2 x, y 4q x, y n (4.9) dir. Ġspat : (4.8) matrisinin determinantı Tp ,q x, y Qpn,q x, y q x, y K n2 x, y K n x, y K n12 x, y dir. Ayrıca Tp ,q x, y Qpn,q x, y Tp ,q x, y Qpn,q x, y q x, y p 2 x, y 4q x, y q x, y n dir. Buradan q x, y Kn2 x, y Kn x, y K n12 x, y q x, y p 2 x, y 4q x, y q x, y n 29 olur. Dolayısıyla Kn x, y Kn2 x, y K n12 x, y 1 q n x, y p 2 x, y 4q x, y n elde edilir. Cassini özdeşliğinin genel hali olan Catalan özdeşliğini aşağıdaki teorem ile verebiliriz. Teorem 4.6: ( Catalan ÖzdeĢliği ) n 0, n m ve K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere Knm x, y Knm x, y K n 2 x, y q n m x, y K2m x, y 2 q x, y m (4.10) dir. Ġspat: x, y ve x, y olmak üzere K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun Binet formülünü kullanırsak Knm x, y K nm x, y K n 2 x, y nm nm nm nm n n 2 olur. Burada gerekli işlemler yapıldığında Knm Knm x, y Kn 2 x, y 2n nm nm nm nm 2n 2n 2n 2 n n n n m m m m 2 m m m m 2 n n n n 2 m 2 m 2 m m nm m K2 m x, y 2 m m elde edilir. x, y x, y q x, y olduğu için Knm x, y K nm x, y K n 2 x, y 1 dir. n m m q nm x, y K 2m x, y 2 1 q m x, y 30 Teorem 4.7: ( D’Ocagne’s ÖzdeĢliği ) p x, y p, q x, y q olsun. n 0, m 0 ve K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere Kn x, y Km1 x, y Km x, y Kn1 x, y q pK nm x, y 2K nm1 x, y m (4.11) dir. Ġspat: Kn x, y Km1 x, y Km x, y Kn1 x, y T olsun. Bu takdirde (4.1) genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomunun rekürans bağıntısından T Kn x, y pKm x, y qKm1 x, y Km x, y pKn x, y qKn1 x, y olur. Burada gerekli işlemler yapılırsa T q Km x, y Kn1 x, y K n x, y K m1 x, y bulunur. Benzer şekilde K m x, y ve K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomlarının reküransları yerine yazılırsa T q Km1 x, y Kn2 x, y Kn1 x, y Km2 x, y 2 dir. Bu şekilde işlemleri m kez tekrarlarsak m T q Knm x, y Km m1 x, y K n m1 x, y K mm x, y q Knm x, y K1 x, y Knm1 x, y K0 x, y m olur ve (4.2) genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomun başlangıç şartlarından Kn x, y Km1 x, y Km x, y K n1 x, y 1 q m pK nm x, y 2K nm1 x, y m elde edilir. Teorem 4.8: H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci ve K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomları olmak üzere Kn x, y H n1 x, y q x, y H n1 x, y (4.12) dir. Ġspat: x, y ve x, y olmak üzere H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomunun Binet formülünü kullanırsak 31 n1 n1 n1 n1 H n1 x, y q x, y H n1 x, y q x , y olur. Buradan q x, y olduğu için n1 n1 n1 n1 H n1 x, y q x, y H n1 x, y n1 n1 n n n n n n bulunur. Burada gerekli düzenlemeler yapılırsa Kn x, y n n olduğu için Kn x, y H n1 x, y q x, y H n1 x, y dir. Sonuç 4.1: H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci ve K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere H 2n x, y H n x, y K n x, y (4.13) dir. Ġspat: H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomu için (3.12) Honsberger özdeşliğinde m yerine n alırsak H 2n x, y q x, y H n x, y H n1 x, y H n x, y H n1 x, y H n x, y H n1 x, y q x, y H n1 x, y elde edilir. (4.12) ifadesinden H 2n x, y H n x, y K n x, y dir. 32 Teorem 4.9: H n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci ve K n x, y genelleştirilmiş iki değişkenli Lucas polinomu olmak üzere Knm x, y Km1 x, y H n x, y q x, y K m x, y H n1 x, y (4.14) dir. Ġspat: p x, y p , q x, y q olarak kabul edelim. p 2 2q T p , q x, y pq p 2q ve p Qp ,q x, y q 1 0 olmak üzere K x, y Tp ,q x, y Qpn,qm x, y nm2 qK nm1 x, y K nm1 x, y qK nm x, y dir. Ayrıca TQpn,qm x, y TQpn,q x, y Qpm,q x, y olduğundan K x, y K m1 x, y H n1 x, y H n x, y Tp ,q x, y Qpn,q x, y Qpm,q x, y m2 qK m1 x, y qK m x, y qH n x, y qH n1 x, y K x, y H n1 x, y qK m1 x, y H n x, y K m2 x, y H n x, y qK m1 x, y H n1 x, y m 2 2 2 qK m1 x, y H n1 x, y q K m x, y H n x, y qK m1 x, y H n x, y q K m x, y H n1 x, y dir. Buradan elde edilen matrislerin eşitliğinden Knm x, y Km1 x, y H n x, y q x, y K m x, y H n1 x, y elde edilir. 33 KAYNAKLAR Amdeberhan, T., 2010, A note on Fibonacci-Type Polynomials, INTEGER: Electronic Journal of Combinatorical Number Theory, 10, 13-18. Belbachir, H., Bencherif, F., 2008, On Some Properties of Bivariate Fibonacci and Lucas Polynomials, Journal of Integer Sequences 11, Article 08.2.6. Catalani, Mario, 2004, Generalized Bivariate Fibonacci Polynomials, Arxiv: math/0211366v2 [math.CO], 4 Jun. Catalani, Mario, 2004, Identities for Fibonacci and Lucas Polynomials Derived From a Book of Gould, Arxiv: Math/0407015v1 [Math.CO], 7 July. Catalani, Mario, 2004, Some Formulae for Bivariate Fibonacci and Lucas Polynomials, Arxiv: math.CO/0406323v1, 16 Jun. Falcon S., Plaza A., 2008, On The k -Fibonacci hyperbolic functions, Chaos, Solitons&Fractals, 38: 409-420. Garth, D., Mills, D., Mitchell, P., 2007, Polynomials Generated by the Fibonacci Sequence, Journal of Integer Sequences 10, Article 07.6.8. Koshy T., 2001, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, A.WileyInterscience Publication. MacHenry, T., 2000, Generalized Fibonacci and Lucas Polynomials and Multiplicative Arithmetic Functions, The Fibonacci Quarterly, 163-173. Nalli, A., Haukkanen, P., 2009, On Generalizing Fibonacci and Lucas Polynomials, Chaos, Solitions and Fractals 42, 3179-3186, 10 April. Prodinger, H., 2009, On the Expansion of Fibonacci and Lucas Polynomials, Journal of Integer Sequences 12, Article 09.1.6. 34 Shattuck, M.A.,Wagner, C.G, 2007, Some Generalized Fibonacci Polynomials, Journal of Integer Sequences 10, Article 07.5.3. Shephard, S., 2009, Generalising the Fibonacci Numbers, 28 April. Swamy, M.N.S., 1999, Generalized Fibonacci and Lucas Polynomials and Their Associated Diagonal Polynomials, Fibonacci Quart. 37, 213-222. Tan, M., Zhang, Y.A., 2005, Note on Bivariate and Trivariate Fibonacci Polynomials, Southeast Asian Bulletin of Math, 29, 975-990. Tuglu, N., Kocer, E.G., Stakhov, A., 2011, Bivariate Fibonacci Like p- Polynomials, Applied Mathematics and Computations, 217(24),10239-10246. Zhang, T., Ma, Y., 2005, On Generalized Fibonacci Polynomials and Bernoulli Number, Journal of Integer Sequences 8, Article 05.5.3.
