b y=f(x)

BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK
TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİK
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
SÜREKLİLİĞİ
SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ
FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ
ÇÖZÜMLÜ TEST
BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
Tanım: A  R , a  A olmak üzere f : A  R ye tanımlanan f(x)
fonksiyonunda, lim x a f(x)  f(a) ise, f fonksiyonu x=a noktasında
süreklidir, denir.
Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için:
1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır.
2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır.
3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a
noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.
Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında
süreksizdir denir.
ANA MENÜ
y
f(x)
y
y
f(a)
L
L=f(a)
0
a
x
0
1. f(a)=L
2. lim x a f(x)  f(a)  L
olduğundan, x=a
noktasında f fonksiyonu
süreklidir.
L
a
x
• x = a’da tanımsızdır.
Çünkü a’nın görüntüsü
yoktur. Bunun için f
fonksiyonu x=a
noktasında süreksizdir.
0
a
x
lim x a f(x)  L
lim x a f(x)  f(a)
için f, x=a noktasında
süreksizdir.
ÖRNEK
f(x)  x 
x x
Fonksiyonu x=1’de sürekl midir?
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
limx1- f(x)  limx1- ( x  x  x )  0  1- 0  1
  limx1f(x) 1
limx1 f(x)  limx1 ( x  x - x )  1 11  1
f fonksiyonu x=1’de süreklidir.
ANA MENÜ
SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK
Tanım: A  R , a  A olmak üzere f : A  R
fonksiyonunda:
1. lim x a - f(x)  f(a) ise f fonksiyonu x= a noktasında soldan
süreklidir, denir.
2. lim x a  f(x)  f(a)
süreklidir, denir.
ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan
ANA MENÜ
Tanımı aşağıdaki grafiklerle inceleyiniz.
y
y
f
L=f(a)
L=f(a)
0
a
0
x
f fonksiyonu a noktasında
soldan süreklidir.
a
x
f fonksiyonu a noktasında
sağdan süreklidir.
ÖRNEK
x 2  1, x 1
f : R  R, f(x)  
2x - 1, x  1
fonksiyonunun x=1’de soldan ve
sağdan sürekliliğini inceleyelim.
ÇÖZÜM
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
2

lim x  1 f(x) lim x  1 ( x  1)  2  1. lim x 1 f(x)  f(1) olduğundan,
 fonksiyon x=1de soldan sürekli
lim x  1 f(x)  lim x  1 ( 2 x - 1)  1  değildir.

f(1)  ( 2.1) - 1  1
 lim
f(x)  f(1)  1
2.
x 1
olduğundan, fonksiyon x=1de
sağdan süreklidir.
-

-

ANA MENÜ
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK
 
Tanım: f : a, b  R fonksiyonu x  a, b için sürekli ise f
fonksiyonu a, b kapalı aralığında süreklidir, denir.
Bu tanımı aşağıdaki grafiğe göre inceleyelim.
y=f(x)
y
K=f(b)
f(x)0
L=f(a)
ÖRNEK
0
a
x0
b
x
f : - 1, 3 R, f(x)  x 2  4 fonksiyonunun - 1,3 kapalı
aralığında sürekli olduğunu gösterelim.
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
x 0   1, 3 için olduğundan, f fonksiyonu  1, 3 kapalı
aralığında süreklidir. y
2
f(x)  x  4
5
-1
x
2
0
3
-3
-4
ANA MENÜ
TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİK
Tanım: A  R, f : A  R fonksiyonu A tanım kümesinin
her noktasında sürekli ise f, tanım kümesinde süreklidir, denir.
ÖRNEK
a n , a n-1 ,.....a1 , a0 birer reel sayı n  R olmak üzere
n
n-1
f(x) anx an-1x ....a1x a0 ile tanımlı f : R  R
fonksiyonunun R’de sürekli olduğunu gösterelim.
Teorem 1
Teorem 2
ANA MENÜ
Teorem 3
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
x 0  R
limx x 0 f(x)  a n x 0n  a n -1x 0n -1  ...  a1x 0  a 0  f(x 0 )
için olduğundan f fonksiyonu Rde süreklidir.
NOT: R Rye polinom fonksiyonları sürekli olup grafikleri
devamlı çizgi çizer.
y
y
y
c
0
f(x)= ax+b
f(x)= c
x
f(x)  ax2 bx  c
0
x
ANA MENÜ
0
x
Teorem1:A  R , a  A olmak üzere; Adan Rye tanımlı f ve g
fonksiyonları x=a noktasında sürekli iseler;
1. k  R için k .f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.
2. f + g ve f - g fonksiyonları x = a noktasında süreklidir.
3. f . g fonksiyonu x=a noktasında süreklidir.
4. g(a)  0 olmak üzere, f/g fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.
ÖRNEK
f(x)  (x - 2) 2 . x 2  1
fonksiyonunun x=2 noktasında sürekli olup olmadığını araştıralım.
ÇÖZÜM
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
f(x)  (x - 2) 2 ve
olur.
g(x) x2 1 olmak üzere, h(x)=f(x).g(x)
lim x 2 f(x)  f(2)  0 ve lim x  2 g(x)  g(2)  3
olduğundan; f ve g, x=2 noktasında süreklidir. Teoreme göre
f ve g’nin çarpımından oluşan h=f.g fonksiyonu da x=2
nokasında süreklidir.
ANA MENÜ
Teorem 2 (Bileşke fonksiyonunun sürekliliği):
f : A  B , g : B  R fonksiyonları ile a  A , f(a)  B
olmak üzere, f fonksiyonu a noktasında ve g fonksiyonu da
f(a)nokasında sürekli ise gof bileşke fonksiyonu a noktasında
süreklidir.
ÖRNEK
3ax  2, x  2 ise

f(x)  3x  8, x  2 ise
bx  a, x  2 ise

Fonksiyonu x  R için sürekli ise (a,b)ilişkisi ne olmalıdır?
ÇÖZÜM
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
f1 (x)  3ax  2, f 2 (x)  3x  8, f 3 (x)  bx  a fonksiyonları x  R
için süreklidir. O halde f fonksiyonu eğer x=2’de sürekli olursa, f
fonksiyonu x  R için sürekli olur. Buna göre, lim x 2 f ( x )  f (2)
olmalıdır.
lim x 2 (3ax  2)  6a  2
 6a  2  14  a  2
lim x 2 (bx  a )  2b  a 
 2b  a  14  2b  2  14  b  6
f (2)  3(2)  8  14

O halde (a,b)=(2,6) bulunur.
ANA MENÜ
Teorem 3 (Ters fonksiyonun sürekliliği)
f : A  B ve f -1 : B  A birbirlerinin tersi olan iki fonksiyon
olsun. Eğer f fonksiyonu A kümesinde sürekli ise, f -1 fonksiyonu da
B kümesinde süreklidir.
y
İspat: Bir fonksiyonla bunun tersinin
grafiği y=x doğrusuna göre simetriktir.
f’in grafiği devamlı bir eğri ise f -1
grafiği de devamlı bir eğri olacaktır.
-1
Bunun için f sürekli ise f de sürekli
olur.
b
f -1
d
a
f
c
c
ANA MENÜ
a
d
b x
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ
1. f(x) = sinx
y
için;
lim x a f (x)  lim x a sin x  f (a )  sin a
olduğundan, sinx fonksiyonu
R’de süreklidir. Yandaki grafiğin
hiçbir noktada kesilme ve sıçrama
yapmadığı görülmektedir.
1


f(x) = sinx

2

0
x

2
-1
2. f(x) = cosx  x  R için;
y
olduğundan, cosx fonksiyonu
R’de süreklidir. Grafiği inceleyiniz.
1




2
0
x

2
f(x) =cosx
ANA MENÜ
sinx


f(x)
tanx
3.
cosx olduğundan, tanx
fonksiyonu paydayı 0 yapan eğerlerde tanımsız
olduğu için bu noktalarda süreksizdir.
cos x  0  Ç  {x x  (2k - 1) 2 , k  Z}
kümesinde tanımsız olup, bu nedenle
süreksizdir. Bu durum grafikten de görülebilir.
f(x)=tanx fonksiyonunun sürekli olduğu küme:
R - {x x  (2k - 1) 2 , k  Z}


cosx
3




f(x)
cotx
4.
olduğundan, cotx
2
2
sinx
fonksiyonu paydayı 0 yapan değerlerde
tanımsız olduğu için bu noktalarda süreksizdir.
y
x

2

3
2
sinx  0  Ç{x x  k , k  Z}
kümesinde tanımsız olup, bu nedenle
süreksizdir. f(x)=cotx fonksiyonunun sürekli
olduğu küme:
R - {x x  k , k  Z}
ANA MENÜ
ÖRNEK
ÖRNEK
sinx
cos x
f(x) 

1 - cosx 2  sinx
Fonksiyonunun sürekliliğini hesaplayınız.
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
f(x) fonksiyonunda paydaları 0 yapan noktalarda fonksiyon
süreksizdir.
1  cosx  0  cosx  1  Ç1  {x : x  2k , k  Z}
2  sinx  0  sinx  -2  Ç 2  0
Ç  Ç1  Ç 2 olduğundan Ç  {x : x  2k , k  Z} kümesinde
fonksiyon süreksizdir.
O halde R süreksizdir.
{x : x  2k , k  Z}
kümesinde fonksiyon
ANA MENÜ
SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ
Tanım 1: f : A  R fonksiyonu için a  A
olmak üzere f(a)
tanımlı lim x a f(x)  L ve f(a)  L ise f fonksiyonunun x=a’da
kaldırılabilir süreksizliği vardır, denir.
Eğer f(a)  L olarak tanımlanırsa bu şekilde elde edilen yeni
fonksiyon x=a’da sürekli olur.
ÖRNEK
x 2  2 x, x  2

f : R  R, f(x)  1
,x 2
x - 2 , x  2

Fonksiyonunun x=2 noktasında kaldırılabilir süreksizliği olduğunu
gösterelim.
ÇÖZÜM
Tanım 2
Tanım 3
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
f(2)  1
lim x 2- f(x)  lim x 2- ( x 2  2x)  0
lim x 2 f(x)  0
lim x 2 f(x)  lim x 2 ( x - 2)  0 
lim x 2f(x)  f(2) olduğundan x=2’de kaldırılabilir süreksizlik
vardır. f(2)=1 yerine f(2)=0 olarak tanımlanırsa elde edilen
x 2  2 x x  2

f(x)  0
x2
x - 2
x2

fonksiyonu sürekli olur.
ANA MENÜ
Tanım2:f : A  R fonksiyonu için a  A olmak üzere f(a) tanımlı
lim x a - f(x)  L1  R, lim x a  f(x)  L 2  R fakat L1  L2 ise,
x=a’da sıçrama süreksizliği vardır, denir.
ÖRNEK
x 2
x 1

f : R  R, f(x)  2
x 1
- x  4 x  1

Fonksiyonu x=1’de hangi tür süreksizliğe sahiptir?
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
f(1)  2


  lim x 1- f(x)  lim x 1 f(x)
lim x 1 f(x)  lim x 1 (-x  4)  3

lim x 1- f(x)  lim x 1- x 2  2
f fonksiyonu x=1’de soldan ve sağdan limitleri farklı olduğu için
bu noktada sıçrama süreksizliği vardır. Bu durumu grafikten
inceleyelim.
y
3
y=f(x)
2
1
0
x
1
ANA MENÜ
Tanım3: f : A  R fonksiyonu için a  A olmak üzere x=a’daki
soldan ve sağdan limitlerinden en az biri   veya   ise
fonksiyonun x=a’da sonsuz süreksizliği vardır, denir.
ÖRNEK
1
x

f : R  R, f(x)  2
x  1


x0
x0
x0
Fonksiyonu x=0’da hangi tür
süreksizliğe sahiptir?
ÇÖZÜM
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
1
lim x 0- f(x)  lim x 0- ( )  
x
olduğundan, f fonksiyonu x=0’da sonsuz süreksizliğe sahiptir.
Bu durumu grafikten inceleyiniz.
2
y
1
0
x
ANA MENÜ
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN
ÖZELLİKLERİ
Tanım:
A R f :AR
fonksiyonunda
1. Eğer  x  A için m  f(x) olacak biçimde en az bir m  R sayısı
varsa f fonksiyonu alttan sınırlıdır. Bu sayılarının
en büyüğüne f
m R
fonksiyonunun en büyük alt sınırı denir.
2. Eğer  x  A için f(x)  M olacak biçimde en az bir M  Rsayısı
varsa f fonksiyonu üstten sınırlıdır. Bu M  R sayılarının en
küçüğüne f fonksiyonunun en küçük üst sınır denir.
3. Eğer  x  A için m  f(x)  M olacak biçimde m ve M reel
sayıları varsa f fonksiyonu sınırlıdır.
Teorem1
Teorem2
Teorem3
ANA MENÜ
Teorem1: Kapalı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon sınırlıdır.
•Teoreme göre f : a, b  R fonksiyonu sürekli ise  x a, b için
f(x)  M  R olacak biçimde bir M  R sayısı vardır. Bu
teoremin karşıtı doğru değildir. Kapalı bir aralıkta sınırlı olan
fonksiyon bu aralıkta sürekli olmayabilir.
ÖRNEK
f : R  R f(x)= 2cosx+3 fonksiyonu sınırlıdır? Sınırlı ise
fonksiyonun en büyük alt ve en küçük üst sınırını bulalım.
ÇÖZÜM
f : R  R f(x)=2cosx+3 fonksiyonu sürekli olduğundan sınırlı
bir fonksiyondur.
x  R için - 1  cosx  1  -2  2cosx  2  1  2cosx  3  4
 1  f(x)  4
O halde f fonksiyonun en alt sınırı 1, en küçük üst sınırı 4’tür.
ANA MENÜ
Teorem 2: (Ekstremum Değer Teoremi
f : a, b  R fonksiyonu sürekli ise f fonksiyonunun bu aralıkta
bir en küçük (minimum), bir en büyük (maksimum) değeri vardır.
•Teoreme göre f( a, b)  m, M olacak biçimde m ve M sayıları
vardır. F fonksiyonunun a, b aralığında aldığı en küçük
(minimum) değer m, en büyük (maksimum) değer M’dir. m ve M
değerlerine, fonksiyonun a, b aralığında ekstremum değerleri
denir.
y
max
M
f(a)
f(b)
m
0
min
a
x1
x2
ANA MENÜ
x
b
Teorem 3: (Ara Değer Teoremi)
f : a, b  R fonksiyonu a, b aralığında sürekli ve a  x1  x 2  b
ise f fonksiyonu, f(x 1 ) ile f(x 2 ) arasındaki her değeri en az bir kez
alır.
Eğer f(x 1 )  0  f(x 2 ) ise  c  (x1, x 2 ) değeri vardır ki f(c)=0’dır.
Yani fonksiyonun grafiği Ox eksenin bir noktada keser.
ANA MENÜ
ÇÖZÜMLÜ TEST
3x  7
ÇÖZÜM
1. f(x)  2
fonksiyonunun x=1 için limiti nedir?
x x4
2.
x 2  x  2 x  -1 f’in R’de sürekli olması için a+b ne

olmalıdır.
ÇÖZÜM
f(x)  a
x  -1
bx  4
x  -1

3.
f fonksiyonu için lim x3f(x) değeri
3  x
f(x)   2
x  x - 1
4.
 2x  3

f(x)   x - 3
3x - 1
 3x  1
5.

f(x)  2x - 5
x 2  2

x  3 nedir?
x3
x4
ÇÖZÜM
f fonksiyonun sürekli olduğu küme
nedir?
ÇÖZÜM
x4
x 1
x 1
x 1
lim x1f(x) değeri nedir?
ÇÖZÜM
ANA MENÜ
x3  2
6. f(x) 
x x -5 6
f fonksiyonu x’in kaç reel
değeri için süreksizdir?
ÇÖZÜM
7. f(x)  sgn(x 2  3x - 4)  x 2  2
lim x4- f(x) değeri nedir?
ÇÖZÜM
8. f(x)  2x  3  sgn(x 2  4x  4)
lim x2f(x)
değeri nedir?
ÇÖZÜM
9. f(x)  sgn(cosx)  sgn(sinx)  2x - 
nedir?
10.
f(x)  sgn
11.
3- x
x-4
-
sgn(9 - x 2 )
x 9
2
x

f(x) değeri
2
f’in süreksiz olduğu x değerlerinin
kümesi nedir?
f(x)’in değeri nedir?
5 - 3x
f(x) 
2
12. lim x 3
lim
değeri nedir?
ANA MENÜ
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM

sgn(mx - 3)


f(x)  1
 mx


 3
13.
x2
x2
x2
f’in x=2’de sürekli olması için
ÇÖZÜM
m ne olmalıdır?
sin 2 x  sinx 2
14. lim x 0
x2
değeri nedir?
15. 0,2  aralığında f(x) 
olduğu x değerleri nedir?
sin5x  cos3x
fonksiyonunun süreksiz
2 sin x  1
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ANA MENÜ
ÇÖZÜM 1
lim x 1 (3x  7)
3x  7
3 7
5
lim x 1 2



2
x  x  4 lim x 1 (x  x  4) 1  1  4 2
ÇÖZÜM 2
x  -1 için
f(x)  x 2  x  2 polinom fonksiyon olduğundan
süreklidir.
x  -1 için f(x)  bx  4 polinom fonksiyon olduğundan
süreklidir. f’nin R’de sürekli olması için x=-1’de de sürekli
olması gerekir.
Buna göre:
lim x 1 f(x)  lim x 1 f(x)  f(-1)
 -b  4  1-1  2  a  a  2
a b  22  4
b2
ÇÖZÜM 3
x=3 fonksiyonunun kritik noktası olduğundan bu noktada soldan
ve sağdan limit alınır.
lim x 3 f(x)  lim x 3 (3  x)  3  3  6
lim x3 f(x)  lim x3 (x 2  x -1)  9  3 -1  11
lim x 3 f(x)  lim x 3 f(x)  lim x 3f(x)
ÇÖZÜM 4
2x  3 8  3
lim x 4 f(x)  lim x 4

 11
x -3
43
lim x 4 f(x)  lim x 4 (3x - 1)  12 - 1  11
f(4)  12 - 1  11
lim x 4 f(x)  lim x 4 f(x)  11 olduğundan x=4 için f fonksiyonu
süreklidir.
x  4 için f(x)=3x-1 polinom fonksiyonu olduğundan süreklidir.
2x  3
fonksiyonu x=3 için tanımsızdır. Ancak x=3 değeri
f(x) 
x -3
x  4 aralığında olmadığından f fonksiyonu x  4 içinde
süreklidir. Buna göre f fonksiyonu R’de süreklidir.
ÇÖZÜM 5
lim x 1 f(x)  lim x 1 3x  1  4  2
lim x 1 f(x)  lim x 1 ( x 2  x)  1  1  2
lim x 1 f(x)  lim x 1 f(x)  2
lim x 1f(x)  2
ÇÖZÜM 6
Pay ve payda her x  R için sürekli olduğundan f fonksiyonu yalnızca
paydayı 0 yapan değerler için tanımsız ve süreksizdir.
x x - 5  6  0 denklemini çözelim
x5
x 2  5x - 6  0  x  6, x  -1
x=-1 kökü x  5 koşuluna uymadığından kök değildir.
x<5 için
x(-x  5) - 6  0  x 2  5x  6  0
 x  3, x  2
Süreksiz olduğu x değerleri 6,3,2’dir.
ÇÖZÜM 7
x -
x 2  3x - 4
-1
+

4
-
+
4’ün solunda x  3x - 4  0 ve sgn(x 2  3x - 4)  -1 olduğu
görülüyor. Buna göre lim x 4 f(x)  -1 16  2  17 olur.
2
ÇÖZÜM 8
x
x 2  4x  4
sgn(x 2  4x  4)
x2
2
+
+
1
1
2
2
için x  4x  4  0 ve sgn(x  4x  4)  1 olduğu görülüyor.
lim x 2 f(x)  4  3  1  8
  lim x 2 f(x)  8
lim x 2 f(x)  4  3  1  8
ÇÖZÜM 9
x

2
x

olduğundan x 2. bölgededir. Bu bölgede
2
sinx>0 ve cosx<0 ve sgn(sinx)=1, sgn(cosx)=-1’dir.
Buna göre;
2
1
lim
3
4

f(x)

-1

1

2.
0

2
x
2
ÇÖZÜM 10
x-4=0
x=4 için tanımsızdır.
x
lim
lim
x 3 
x 3 
f(x)  1
3-x
x -4
f(x)  -1 sgn 3-x
x -4
3
4
-
+
-
-1
1
-1
lim x 3f(x) yoktur ve x=3 için fonksiyon süreksizdir. Bu iki değerin
dışında fonksiyon süreklidir.
ÇÖZÜM 11
lim
x 3
f(x)  lim h  0f(3  h)  lim h  0
 lim h  0
 43h
3h
 lim h  0  2
2
2
3h
 lim h  0 (2   )  2 1  3
2
53(3 h)
2
ÇÖZÜM 12
x  3-  x  -3  x  4
x 2  9  x 2  9
 9 - x 2  0  sgn(9 - x 2 )  1
lim
sgn(9- x 2 )
x  3
1
1
1



2
2
(4) 9 169 7
x 9
ÇÖZÜM 13
x=2’de sürekli olması için
lim
x 2
f(x)  lim
x 2
f(x)  f(2) olmalıdır.
f(2) 1
lim
f(x)  sgn(2m - 3) 1

x 2
2m
1
x 2
3
2m
 2m - 3  0 ve 1
2
3
3
3
 m  ve  m  3
2
2
3
  m3
2
lim
f(x) 

ÇÖZÜM 14
sin 2 x sin x 2 sin 2 x sin x 2
lim x  0
( 2  2 )
2
x
x
x
sin x 2
sin x 2
lim x  0 (
)  lim x 0 2  11  2
x
x
ÇÖZÜM 15
Pay ve payda daima süreklidir. Paydanın 0 olduğu x değerleri için f
fonksiyonu süreksiz olur.
2sin x 1  0
1
 sinx  2
için f süreksizdir.
1
Sinüsü - olan x reel sayıları 3. bölge ile 4. bölgededir. Buradan;
2
x  1800  300 veya x  3600  300
 x  2100 veya x  3300