Slayt Başlığı Yok

1
İntegral
Belirsiz İntegral
İntegral Alma Kuralları
İntegral Alma Metotları
İntegralde Trigonometrik Dönüşümler
Belirli İntegral
Belirli İntegralin Uygulamaları
Belirsiz İntegral
Belirsiz İntegralin Özellikleri
İntegral Alma Kuralları
slayt1
Belirsiz İntegral
Tanım: f:[a,b]  R , F:[a,b]  R tanımlı iki fonksiyon olsun.
Eğer F(x)’in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x)
fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve
f(x).dx=F(x)+C biçiminde gösterilir.
f(x).dx

F(x)

C

Örnek: F(x) = x2  F’(x) = 2x  F’(x).dx=2x.dx
F’(x).dx = 2x.dx  F(x)=x2 + C  2x.dx = x2 + C dır.
slayt2
Belirsiz İntegralin Özellikleri
1-) Bir belirsiz integralin
türevi,
integrali
alınan
fonksiyona eşittir.


d  f(x).dx  f(x).dx tir.
3-)
Bir
fonksiyonunun
diferansiyelinin
belirsiz
integrali, bu fonksiyon ile bir C
sabitinin toplamına eşittir.
 f(x).dx   F(x)  C  f(x) tir.
'
'
2-) Bir belirsiz integralin
diferansiyeli, integral işaretinin
altındaki ifadeye eşittir.
 d(f(x))  f(x)  C dir.
slayt3
İntegral Alma Kuralları
8. cotx.cosec x.dx  cosecx  C
1 n 1
1. x .dx 
x  C (n  1)
n 1
n
9. sec 2 .dx  tanx  c
1
2. .dx  ln | x | c
x
10. cosec 2 .dx  cotx  C
3. e .dx  e  C
x
x
1 x
4. a .dx 
.a  C (a  0.a  1)
lna
x
5. sinx   cosx  C
6. cosx.dx  sinx  C
7. tanx.secx. dx  secx  C
11.
12.
1
.dx  arctanx  C1  arccotx  C 2
2
1 x
1
1- x
2
.dx  arcsinx  C1  arccosx  C 2
slayt4
Örnek1:  (2x+1).dx belirsiz integralini bulalım.
Örnek2: [(2x3-3x)/(x2)].dx belirsiz integralini bulalım.
Çözüm1:
x2
2
(2x

1).dx

2
x.dx

1.dx

2.

1.x

C

x
 x  C bulunur.



2
Çözüm2:
 2x 3 3x 
2x 3  3x
3
2


.dx


.dx

2x.dx

.dx

x
 3ln | x | C
 x2
  x 2 x 2 

x
Yerine Koyma Metodu
slayt1
İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak
integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir
ifadeye dönüştürülür.
1-)
'
f(x).f
(x) .dx   f(x).d(f(x ))

Örnek:  cos2x.sinx.dx integralini hesaplayalım.
Çözüm: u=cosx diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
du=-sinx.dx  sinx.dx=-du olur. Bu ifadeler integral
de yerine konursa,
3
u
2
2
2
 cosx .sinx.dx   u .(du)   u .du   3  C bulunur.
slayt2
'
n


f(x)
.f
(x)
.dx

f

 (x).d(f(x) )
n
2-)
Örnek:  (3x-1)7 integralini hesaplayalım.
Çözüm: (3x-1)=u diyelim. d(3x-1)=d(u)  3.dx=du olur. Bu
ifadeler integral de yerine konursa,
1
1 8
1
8
(3x
1)
.dx

u
.
.du

u

C

(3x

1)
 C bulunur.

 3 24
24
7
7
slayt3
3-)

'
f ( x).dx
d ( f ( x))

f ( x)
f ( x)
Örnek:  tanx.dx integralini hesaplayalım.
Çözüm: tanx.dx=  (sinx/cosx).dx yazalım:
cosx=u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım.
d(cosx)=d(u)  -sinx.dx=du olur. Bunları yerlerine
yazalım:
sinx
du
 cosx .dx   u  ln | u | C  ln | cosx | C bulunur.
slayt4
a , b  R  {0} olmak üzere

dx
a 2  b 2 .x 2
Örnek:
Çözüm:


1
 bx 
 .arcsin 
  C cir
b
 a 
dx
9  25x
2
integralin i hesaplayal ım.
1
 5x 
 .arcsin    C bulunur.
 3 
9  25x 2 5
dx
slayt5
f(x)
'
a
.f
(x) .dx

4-)
(a  R   {1}
Örnek:  (2tan3x +1).sec2 x .dx integralini hesaplayalım.
Çözüm: tanx=u dersek, 3.sec23x.dx=u olur. Bulunan değerleri
yerlerine yazalım:




1 u
1 1 u 
 2  1 .sec 3x.dx  3  2  1 .du  3 . ln2 .2  u   C
1 tan3x 1
 .2  .tan3x  C bulunur.
ln8
3
tan3x
2
slayt6
m , n  R , m  0 olmak üzere
1 mx  n
1.  e
.dx  .e
 C dir.
m
1
mx  n
mx  n

2.  a
.dx 
.a
 C (a  R  {0}dir.
m.lna
mx  n
m , n  R , m  0 olmak üzere;
1
1.  sin(mx  n).dx   .cos(mx  n)  C dir.
m
1
2.  cos(mx  n).dx 
.sin(mx  n)  C dir.
m
İntegrandında
a 2  x 2 Varsa (a>0)
İntegrandında
x 2  a 2 Varsa (|x/a|>0)
İntegrandında
a 2  x 2 Varsa (a>0)
slayt1
a 2  x 2 Varsa (a>0)
İntegrandında
Örnek:
x .
2
Çözüm:
 9.sin
dx
9  x2
x=3sint dönüşümü yapılırsa; x=3sint  dx=3cost.dt
olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:
3.cost.dt
t. 9  9sin 2 t
elde edilir.
2
integralini hesaplayınız.

x
x  sint  sint  
3
3.cost.dt
27.sin 2 t. 1  sin 2 t
x
1 dt
1


cott  C
2

9 sin t
9
9  x2

 C bulunur.
2
9x
9  9x
dx
2

slayt2
İntegrandında
Örnek:
Çözüm:
dx
 x.
dx
x 2 16
x 2  a 2 Varsa (|x/a|>0)
integralini x>4 için hesaplayınız.
x=4sect dönüşümü yapılırsa; dx=3sect.tant.dt olur.
Bulunan değerleri yerine yazalım:
4.sect.tan t.dt
tant.dt
1
1
 x. x 2  16   4.sect. 16sec 2 t  16   4 tan 2 t  4  dt  4 t  C
1
4
 .arccos   C bulunur.
4
x
slayt3
İntegrandında
Örnek:
Çözüm:
x
dx
2
. x2  4
a 2  x 2 Varsa (a>0)
integralini hesaplayınız.
x=2tant
dönüşümü
yapılırsa;
x=2tant

dx=2.sec2t.dt olur. Bulunan değerler integral de
yerine yazılırsa;
2.sec 2 t.dt
2.sec 2 t.dt
cost.dt



 x 2 x 2  4  4.tan 2 t. 4tan 2 t  4  8.tan 2 t.sect  4.sin 2 t olur.
cost.dt
du
1 1



.
 C elde edilir.
 4.sin 2 t  4.u 2
4 sint
dx
x
dx
2
x 4
2

x2  4
 C bulunur.
4x
slayt1
 u.du  u.v   v.du
Örnek1: x.cosx.dx integralini hesaplayalım
Çözüm1:
Verilen integralde u=x, dv=cosx.dx seçelim. Bu
durumda, du=dx ve v=sinx olur.
 x.cosx.dx
 x.sinx   sinx.dx  x.sinx  cosx  C bulunur.
slayt2
Örnek2: x2.lnx.dx integralini hesaplayalım.
Çözüm2:
u  lnx ve dv  x 2 .dx olsun. Buradan, du 
1
1
.dx ve v  x 3 olur.
x
3
1 3
1 3 1
 x .lnx.dx  3 x lnx  3  x . x .dx
1
1
1
1
 x 3 .lnx   x 2 .dx  x 3lnx  x 3  C bulunur.
3
3
3
9
2
slayt3
Örnek3: arctanx.dx integralini hesaplayalım.
Çözüm3:
1
.dx ve v  x olur.
2
x 1
x
1 2x
 arctanx.dx  x.arctanx   1  x 2 .dx  x.arctanx  2  1  x 2 .dx
1
 x.arctanx  ln(1  x 2 )  C  x.arctanx  ln 1  x 2  C bulunur.
2
u  arctanx ve dv  dx olsun. du 
slayt1
Tanım: Payın derecesi, paydasının derecesinden küçük olan ve
paydası çarpanlarına ayrılabilen bir kesrin, önceden hangi
kesirlerin toplamı olduğunun bulunması işlemine, basit kesirlere
ayırma işlemi denir.
Örnek:

3x - 2
.dx
2
x 4
integralini hesaplayalım
Çözüm:
3x  2
A
B


 A  1, B  2 bulunur.
(x  2).(x  2) x  2 x  2
3x  2
1 
dx
dx
 1
 (x  2).(x  2) .dx    x  2  x  2 .dx   x  2  2. x2


 ln x  2  2ln x  2  C  ln x  1 (x  2) 2  C
slayt2
Payın Derecesi, Paydanın Derecesinden Büyük veya Eşit İse
(P(x)/Q(x)).dx integralinde, P(x)’in derecesi Q(x)’in
derecesinden büyük veya eşit ise; P(x)’in Q(x)’e bölünmesinden
elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) olmak üzere,
P(x)
K(x)
.dx

B(x).dx

 Q(x)

 Q(x) .dx olur.

dx
İNTEGRALİ
2
x  px  q
Paydada <0 olan x2+px+q biçiminde bir ifade varsa; integral,
(du/1+u2) şekline dönüştürülerek hesaplanır.
slayt3
Örnek:

dx
x 2  6x  10
integralini hesaplayalım
Çözüm:
dx
du
integrali
 x 2  6x  10
 u 2  1 şekline getirilir.
x 2  6x  10  x 2  6x  9  1  (x  3) 2  1 şeklinde yazıazılabr.
Buradan integral,
dx
 (x  3) 2  1 şekline dönüşür.
u  x  3  du  dx den
du
 u 2  1  arctanu  C dir.
dx
 (x  3) 2  1  arctan(x  3)  C dir.
slayt4
a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere;
dx
1
 bx 
 a 2  b 2 x 2  a.b .arctan  a   C dir.
Örnek:
dx
 25x 2  16
integralini hesaplayalım
Çözüm:
dx
1
5x
 25x 2  16  5.4 .arctan 4  C
1
5x

.arctan
 C bulunur.
20
4
sinmx.cosnx.dx (m,n  N) Şeklindeki İntegraller
sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx
(a,b  N) Şeklindeki İntegraller
İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller
slayt1
sinmx.cosnx.dx (m,n  N) Şeklindeki İntegraller
A-) m veya n’den biri tek, biri çift ise;
 sin
Örnek:
2
x.cos 3 x.dx
integralini hesaplayalım
Çözüm:
sin2x.cos3x.dx= sin2x.cos2x.cosx.dx şeklinde yazılır. cos2x=1sin2x olduğundan, sin2x.(1-sin2x).cosx.dx olur.
sinx = u  cosx.dx = du dur.
1
1
3
5
u
.(1

u
).du

(u

u
).du

sin
x

sin
x  C bulunur.


3
5
2
2
2
4
slayt2
B-) m ve n ‘nin ikiside tek kuvvet ise;
Örnek:
3
5
sin
x.cos
x.dx

integralini hesaplayalım
Çözüm:
sin3x.cos5x.dx=cos5x.sin2x.sinx.dx=cos5x.(1-cos2x).sinx.dx
olur. cosx = u  sinx.dx = -du dur.
5
2
5
7
u
.(1

u
).(-du)

(u

u
).du 


1
1
cos8 x  cos 6 x  C bulunur.
8
6
slayt3
C-) m ve n ‘nin ikiside çift kuvvet ise;
Örnek:
2
sin
 x.x .dx
integralini hesaplayalım
Çözüm:
1
(1  cos2x) 
2
1
1
2
sin
x.x.dx

(1

cos2x).dx

(1  cos2x).dx

2

2
1
1
1
1

  x  sin2x   C  x  sin2x  C bulunur.
2
2
2
4

sin 2 x 
slayt4
sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx
(a,b  N) Şeklindeki İntegraller
1
sin(a  b)  sin(a  b)
2
1
sina.sinb  cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
cosa.cosb  cos(a  b)  cos(a  b)
2
sina.cosb 
Örnek:
Çözüm:
 sin3x.sin2
x.dx
Bu
tip
integraller
hesaplanırken
ters
dönüşüm
formülleri
kullanılır.
integralini hesaplayalım
1
 sin3x.sin2 x.dx   2 cos(3x - 2x) - cos(3x  2x) .dx
1
1
 sinx  sin5x  C bulunur.
2
10
slayt5
İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller
Bu tip integrallerde, tan(x/2) = u
dönüşümü yapılır. Yandaki dik
üçgen yardımıyla,
2u
sinx 
1 u2
1 u2
cosx 
1 u2
dx 
1+u2
u
2du
1 u2
x
2
1
Örnek:
Çözüm:
dx
 1  cosx
2du
2
dx
x
1

u


tan
 C bulunur.
 1  cosx  2
2
1 u2
slayt1
Belirli İntegral
Tanım: f:[a,b]  R , F:[a,b]  R ve sürekli yada süreksiz
olduğu nokta sayısı sonlu tane olan bir fonksiyon ve [a,b] ‘nin
bir bölüntüsü P olmak üzere:
lim||P||0A(f,P)=lim||P||0Ü(f,P)=S ise, f fonksiyonu, [a,b]
aralığında integrallenebilir bir fonksiyondur, denir. S reel
sayısına da f nin [a,b] aralığındaki belirli integrali denir ve bu,
b
S   f(x) .dx biçiminde gösterilir .
a
slayt2
Teorem1: f:[a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında sürekli ve
F:[a,b]  R fonksiyonu, F(x)  f(t) .dt

ile tanımlanmış olsun.
Bu durumda, F(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve
(a,b) için F’(x)=f(x) tir.
x
a
Örnek1:
x
F(x) 

1  t.cost .dt  F' (x)  ?
3
Çözüm1:
1. teoreme göre;
F' (x)  1  x.cox tir.
slayt3
Örnek2: F(x) 
3x 2
 (2x  1).dx
2x
Fonksiyonu veriliyor. f(x) ‘in
grafiğini
x=1
apsisli
noktasındaki teğetinin eğimi
kaçtır?
Çözüm2:


f ' (x)  2.(3x 2 )  1 .6x   2.(2x)  1.2  36x 3  6x  8x  2
f ' (x)  36x 3  2x  2  m t  f ' (1)  3613  2.1  2  32 bulunur.
slayt4
Teorem2: f:[a,b]  R integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
Eğer f(x).dx=F(x)+C , C  R olacak biçimde f:[a,b]  R ye
F(x) fonksiyonu varsa, b
b
 f(x) .dx  F(x) |  F(b)  F(a)
a
Örnek:
 d x
0  dx  0 sin2t.dt

π/6
a
dır.

.dx  ?


Çözüm:
π/6
π/6
1
1
π
 1
0 sin2x.dx   2 .cos2x 0|   2  cos 3  cos0   4 bulunur.
slayt5
Belirli İntegralin Özellikleri
Tanım: f:[a,b] 
integrallenebilirse,
a
fonksiyonu,
[a,b]
aralığında
a
 f(x).dx
ve
a
1-)
R
 f(x).dx
integrali :
b
a
 f(x).dx
0
a
2-)
b
a
a
b
 f(x).dx   f(x).dx
biçiminde tanımlanır.