dik üçgenlerin iç açılarının trigonometrik oranları

DİK ÜÇGENLERİN İÇ AÇILARININ TRİGONOMETRİK
ORANLARI
Dik Üçgen: Bir açısı dik açı olan üçgene dik üçgen denir.
A
Karşı
dik
kenar b
c
C
Hipotenüs
a
Komşu dik kenar
B
Dik üçgenlerde bir dar açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna
oranına
o dar açının sinüsü denir.
Sin B=
b
karşı dik kenar uzunluğu
=
c
hipotenüs uzunuğu
Dik üçgenlerde bir dar açının bitişiğindeki dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna
oranına o dar açının kosinüsü denir.
Komşu dik kenar uzunluğu
a
Cos B=
=
c
Hipotenüs uzunluğu
Dik üçgenlerde bir dar açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun komşu dik kenarın
uzunluğuna oranına o dar açının tanjantı denir.
karşı dik kenarın uzunluğu
b
Tan B=
=
a
komşu dik kenarın uzunluğu
Dik üçgenlerde bir dar açının bitişiğindeki dik kenarın uzunluğunun karşı dik kenarın uzunluğuna
oranına o dar açının kotanjantı denir.
komşu dik kenarın uzunluğu
Cot B=
Karşı dik kenar uzunluğu
Tümler iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına
eşittir.
Sin300 = Cos600
tan B 
Örnek:1
3
sin B
cos B
tan 20
cot 70
Sin200 = Cos700
cot B 
Cot270 = Tan630
cos B
sin B
ifadesinin değeri nedir?
Tan150 = Cot750
tan B.cot B  1
Örnek:2
sin 20 tan 36

cos 70 cot 54
değeri nedir?
ALIŞTIRMALAR
1.
A

c
b

Sin C = ? ,
Hipotenüs
Karşı
dik
kenar
Cos C =?


Tan C =? ,
B
a
Komşu dik kenar
Cot C =?
C
2.
A
c = 6 cm
C
B
a = 8 cm








Sin C = ? , Cos C =? , Tan C =? , Cot C =? , Tan A =? , Sin A =? , Cos A =? , Cot A =?

3.

s( A ) < 900 ise Sin A =
3
5

ise

Cos A
,

Cot A ve Tan A kaçtır?

4.
5.
6.
7.




15
ve
s( K ) < 900 ise Sin K =? , Cot K =? , Tan K =?
17

5
Tan x =
ve s(x) < 900 ise Sin2x + Cos2x =?
12
Cos K =
A açısı dik olan ABC dik üçgeninde cos B=0,8 ise tan B değerini bulunuz.
3
Sinx - Tanx
8
=?
0 < x < 900 ve Cosx=
olduğuna göre ,
(- )
5
Cosx + 2 . Sinx
33
DEĞERLENDİRME
1.
Sin A=
5
13
ve Cos A= 12 olduğuna göre tan A ve Cot A değerlerini bulunuz.
13
2. ABC dik üçgeninde s(A)  90 0 dir. tanA=
3.
5
2
olduğuna göre Sin A ve Cos A değerlerini bulunuz.
Cos x= 4 ise; sinx, tanx ve cotx değerlerini bulunuz.
5
4.
B açısı dik açı olan ABC dik üçgeninde; tan B= 4 ise sin A+ cos A toplamının değerini bulunuz.
5.
ABC dik üçgeninde s(A)  90 0 dir. tanA=
6.
cos x= 4 ise; sin x, tan x, cot x değerlerini bulunuz.
5
5
5
2
olduğuna göre Sin A ve Cos A değerlerini bulunuz.
ÖZEL AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI
Kenar uzunlukları ikişer birim olan ABC eşkenar üçgenini çizelim. Bu üçgenin iç açılarının
ölçüleri eşit ve her biri 60 0 dir. Üçgenin bir köşesinden geçen yüksekliği, hem kenar ortay hem de
açıortaydır. AD  yüksekliğini çizelim.
A
ABD üçgeninde ;
Pisagor bağıntısına göre,
2
2
2
AD  AB  BD  h 2  2 2  12
h 3
h2  3
birim olur.
B
C
H
ABD dik üçgeninden yararlanarak 30 0 lik ve 60 0 lik açıların trigonometrik oranlarını yazabiliriz.
sin 30 0 = 1
cos 30 0 =
3
2
tan 30 0 =
cos 60 0 = 1
sin 60 0 =
3
2
cot60 0 =
2
2
1
3
1
3
cot 30 0 =
3
tan 60 0 =
3
bulunur.
Ölçüleri 30 0 ve 60 0 olan iki açı tümler açılardır. Bu açılardan birinin sinüsü düğerinin
kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir.
Dik kenarları birer birim olan ikizkenar dik üçgen çizelim. Pisagor bağıntısına göre;
A
AB  12  12
2
AB  2
Buna göre;
1 br
C
B
1 br
sin 45 0 =
1
cos 45 0 =
2
1
tan 45 0 =1
cot45 0 =1
2
Sin, Cos, Tan ve Cot değerlerini bir tablo ile gösterelim.
0
4
1
4
2
4
3
4
4
4
00
0
30 0
1
2
45 0
60 0
2
2
Kosinüs
1
Tanjant
0
3
2
1
2
2
1
3
2
1
2
Sinüs
3
90 0
1
0
Tanımsız
3
Kotanjant
Tanımsız
3
1
1
3
0
Not : Bir dik üçgende 30 0 lik açının karşısında ki dik kenarın uzunluğu hipotenüsün
uzunluğunun yarısına eşittir.
TRİGONOMETRİ CETVELİ
Trigonometrik oranlar cetveli, dar açıların trigonometrik oranlarını gösterir.
Bu cetvelde şu şekilde yararlanılır.
1 den 45 e kadar olan soldan birinci sütundaki açıların trigonometrik oranlarına ,
yukarıdan aşağıya doğru bakılır ve üst satırdaki başlık kullanılır.
Örneğin 21 nin trigonometrik oranlarına bakalım
Açı
....
21
sin
.....
0,3584
cos
......
0,9336
tan
.....
0,3839
cot
.....
2,6051
45 de n 89 a kadar olan sağdan birinci sütundaki açıların trigonometrik oranlarına da
aşağıdan yukarıya doğru bakılır ve en alt satırdaki başlık kullanılır.
Örneğin 65 nin trigonometrik oranlarını yazalım.
0,4226
0,9063
0,4663
2,1445
.........
..........
..........
.........
65
....
cos
açı
sin
cot
tan
Örnek: Güneşli bir günde, 160 cm boyunda olan bir öğrencinin gölgesi 80 cm olarak ölçülüyor. Güneş
ışınlarının geliş açısı ( yerle yaptığı açı) kaç derecedir?
tan C= 160  2 tanjantı 2 olan açı 64 tür. Dolayısıyla güneş ışınlarının geliş açısı 64 tür.
80
Örnek: 8 3 m boyundaki bir direğin gölgesinin uzunluğu 24 m dir. Aynı anda, güneş ışınlarının geliş
açısı kaç derecedir?
tan C  8
3
3

24
3
 30
Örnek: Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını , trigonometrik oranlar tablosundan yararlanarak bulunuz.
a) 2 . sin120 + 3. cos250
b) 3 . tan380 - 2 . sin650
c) sin620 + cot280
d) 2 . cos540 + tan240
Hatırlatma : Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün
uzunluğunun karesine eşittir.
Bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu e  a 2  b2 dir.
Bir eşkenar üçgenin yüksekliği kenarları cinsinden
h
a 3
2
dir.
1. Köşegeninin uzunluğu e=34 cm ve bir kenarının uzunluğu 30 cm olan dikdörtgenin
diğer kenarının uzunluğunu bulunuz.
2. Uzunluğu 15 m olan bir yangın merdiveni, 12m yüksekliğindeki dik bir duvara
dayanıyor.Merdivenin ayağının duvara olan uzaklığı kaç m dir?
3. Aşağıda kenar uzunlukları verilen eşkenar üçgenlerin yüksekliklerini bulunuz.
12
6 2
8 3
4 5
ALIŞTIRMALAR
1.
A
600
Yandaki şekle göre , x ve y
uzunluklarını hesaplayınız. (6,3 3 )
x
3
B
C
y
x
2.
B
Yandaki şekle göre , x ve y
uzunluklarını hesaplayınız.(4 3 , 8)
A
300
4 cm
y
C
3.
K
600
x
y
L
M
5
4.
5.
6.
Yandaki şekle göre , x ve y
uzunluklarını hesaplayınız. (10,5)
3
Sin 30. Cos 60
1
ifadesinin değeri nedir? ( )
2 tan 45
8
sin 45. cos 45
1
tan 30. cot 60
ifadesinin değeri nedir?( )
2
12
2
2
sin 45. cos 45
ifadesinin değeri nedir? (3)
sin 30. cos 60 . tan 2 30
7.
sin300 + cos600 + tan450 =?
8.
coss600 . tan600 + cot300 . sin300 = ?
( 3)
9.
sin2600 + cos2600 + cot450 = ?
(2)
(2)
10.
6. sin 30 0
-1 = ?
3. tan 45 0
(0)
11.
cot600 . cos300 + tan600 . sin600 = ?
(2)
12.
2. sin 30 0 - 3.tan45 0
3. tan 60 0 -
2 . cos45 0
=?
(-1)
ALIŞTIRMALAR
1. 0 < x < 900 ve cosx =
8
17
olduğuna göre , cosx . tanx + sinx . cotx =?
2.
0 < x < 900 ve tanx = 2 ise sinx . cosx + cotx =?
3.
0 < x < 900 ve cotx =
0 < x < 900 ve sinx =
6. 0 < x < 900 ve tanx =
7.
8.
ise
0 < x < 900 ve sinx = 0,6
4. .
5.
2
3
8 . cos60 0 - 3 . cot45 0
4 . sin30 0 -
3 . tan30 0
12 . cos30 0 +
2 . sin45
9.
0
8
17
1
3
(
1 - sinx . cosx
=?
2 + tanx
ise
(
5 . cosx + 20 . tanx
=?
11 + 6 . cotx
olduğuna göre , 30 . tanx - 34 . cosx = ?
olduğuna göre , sinx .cosx - cotx = ?
23
)
17
9
)
10
2
)
13
(1)
(-14)
(-
27
)
10
(1)
=?
3 . cot60 0
+ 4 . cos60
(
0
4
( )
3
=?
C
x
x=? ,
y =?
x=? ,
y =?
12
y
600
300
A
B
D
(6 , 4 3 )
10.
C
y
16
x
45
0
300
A
B
D
(8,8 2 )
11.
C
b=? ,
b
c =?
24
300
A
B
(12,12 3 )
c
12.
2
E
D
2
X
C
x=?
1
A
B
3
13.
A
8
x
600
300
B
C
y
H
AH = x = ?
BH = y = ?
(4,
4. 3
)
3
Hazırlayan
Mustafa GÜDER
(4)