3- Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları

3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları
Olasılık, olaylardan meydana gelen kümelerin birbirlerin göre büyüklüklerini gösteren bir
ölçüdür. Bu sebeple kümelerden kısaca bahsedilmesi gereklidir.
3.1.Küme Kavramı Küme, tek bir isim altında toplanabilen veya aynı özelliği gösteren
birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde bulunan birimlere
eleman adı verilmektedir. Mesela, alfabedeki sesli harfler, Sakarya Mühendislik Fakültesi’nde
okuyan öğrenciler, bir işletmedeki üretilen mamul cinsleri, Marmara Bölgesi’ndeki iller,
pozitif tam sayılar, öğrencilerin istatistik dersinden aldığı notlar vs. birer küme olarak
düşünülebilir.
Küme genellikle A, B, C gibi büyük harflerle, elemanlar ise a, b, c, gibi küçük harflerle
gösterilirler. Kümelere, takım sınıf, cümle, küme gibi isimlerde verilmektedir.
3.2.) Küme Aritmetiği
Yukarıdaki küme işlemlerinden faydalanarak küme aritmetiği ile ilgili aşağıdaki kurallara
ulaşmak mümkündür.
Kuralın adı
Bileşim
Yansıma–Eş etkinlik (idempotent) AA=A
Birleşme (associative)
Değişme (commutative)
Kesişim
AA=A
(AB)C=A(BC)
(AB)C=A(BC)
(AB)C =ABC
(AB)C=ABC
AB=BA
AB=BA
Dağılma-dağıtıcılık (distributive) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
Özdeşlik (identity)
A=A
A=
Özdeşlik (identity)
AU=U
AU=A
Tamamlayıcılık (complement)
AAc =U
AAc=
Tamamlayıcılık (complement)
(Ac)c =A
Uc =, c=U
De Morgan
(AB)c=AcBc
(AB)c=AcBc
3.3. Sayma Teknikleri
Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya
sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın olasılığının hesaplanmasında, mümkün haller sayısı
çok büyük ise olayın doğrudan sıralanması veya sayılması uzun zaman alır ve bazı hallerde
doğrudan saymak mümkün olmaz. Bu gibi durumlarda saymayı kolaylaştırıcı bazı tekniklere
ihtiyaç duyulur. Bu tekniklere sayma teknikleri (combinational analysis) adı verilir.
Kural : A 1 , A 2 ,.......,A k kümeleri sırasıyla n1, n2,......., nk eleman içeriyorsa, önce A 1 ’in
sonra A 2 ’nin, sonra A 3 ,........, A k ’nin bir elemanını seçmenin n 1 xn 2 xn 3 x ,......., xnk değişik
yolu vardır. Yani k olay bir arada n1x n2x........x nk farklı şekilde meydana gelir.
Küme sayısı ne olursa olsun kuralın genel niteliği değişmemektedir.
Örnek: Test şeklinde yapılan bir sınavda 5 soru ve 5 cevap şıkkı varsa bir öğrenci bu 5
soruyu 5x5x5x5x5=3125 değişik şekilde işaretleyebilir.
3.3.1. Permütasyon
Yukarıdaki 2. kural aynı kümeden iadesiz olarak çekilen farklı sayıdaki elemanın sırasının
önemli olduğu problemlere de uygulanabilir. Mesela 15 üyeli bir derneğe 1 başkan ve 1 de
başkan yardımcısı seçimi 15x14=210 değişik şekilde mümkün olur.
Eğer bir kümenin elemanlarının bir kısmı veya hepsi belli bir düzen içerisinde sıralanıyorsa
buna permütasyon denir. Yani n elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek belli bir düzen
dahilinde sıralanırsa (sıra önemli) buna permütasyon adı verilir ve şöyle formüle edilir;
nPr
= Prn  n(n-1) (n-2)........[n-(r-1)]
=
n!
(n - r) !
Burada (!) işareti faktöriyel olarak adlandırılır ve bunun altındaki bütün pozitif tam sayıların
çarpılacağı anlamına gelir. n! = n.(n-1).(n-2)......2.1 olarak yazılır
Yukarıdaki dernek örneğinde üye sayısı, n=15 ve bunlardan seçilen eleman sayısı r=2
olduğundan permütasyon sayısı;
15 P 2
n = r özel hali için
r = 0 için
nP 0 =
nPn=
=
15 !
15.14.13!
= 15x14=210 olur.

(15 - 2) !
13!
n!
n! n!
   n! ’e eşittir.
(n  n)! 0! 1
n!
 1 olur.
n!
Permütasyon birçok probleme uygulanabilmekle birlikte, uygulamada dikkat edilmesi gereken
bazı durumlar vardır. Eğer bir problemde şu üç şart gerçekleşiyorsa permütasyon uygulamak
mümkündür.
1- Kümedeki bütün elemanlar birbirinden farklı olmalıdır,
2- Herhangi bir eleman için hiçbir kısıtlama getirilmemelidir,
3- Hiçbir eleman bir defadan fazla kullanılmamalıdır.
Tekrarlı Permütasyon
Buna göre tekrarlı permütasyon için bir genelleme yapılırsa n eleman ihtiva eden bir kümede
r 1 eleman birbirinin aynı, r 2 eleman birbirinin aynı,.......r k eleman birbirinin aynı ise n
elemanın permütasyon sayısı
n!
şeklinde hesaplanır.
r1! r2 !.....rk !
şekilde “İSTATİSTİK” kelimesinin permütasyonunu bulmak için toplam permütasyon
sayısını tekrar edilen (İ, T ve S) harflerin permütasyonuna bölmek gerekir. İ = 3, T = 3, S = 2
defa tekrar edilmiş n = 7 olduğuna göre
7!
 72 bulunur.
3! 3! 2!
Dairesel permütasyon: n farklı eleman bir daire etrafına (n-1)! farklı şekilde dizilebilir.
3.3.2. Kombinasyon
Kombinasyon, n elemanı olan bir kümeden her biri r eleman içeren birbirinden farklı alt
kümelerin kaç sıra önemsiz olmak kaydıyla kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren sayıdır
ve bu sayı;
nC r =
n
n!
  =
formülü ile hesaplanır.
 r  (n  r )! r!
Bu kombinasyon sayısına aynı zamanda binom katsayısı adı da verilmektedir. Özel olarak
n
C 0 =1
nC 1 =
n
nC n
=1 olur.
Örnek: 10 üyesi olan bir dernekte 3 kişilik bir komisyon kaç değişik şekilde teşkil edilebilir.
Çözüm: komisyonda bulunan şahısların seçim sırası önemli olmadığına göre kombinasyon
formülü uygulanır.
10
10 
10!
10! 10.9.8.7!


 120 değişik komisyon kurulabilir.
C 3 =   
7! 3!
 3  (10  3)! 3! 7! 3!
3.4) Olasılık
3.4.1. Olasılık Kavramı
İhtimal objektif ve sübjektif olmak üzere iki yaklaşımla ele alınmaktadır. Bunlardan en yaygın
olarak kullanılanı objektif olasılık olup klasik olasılık ve nispi frekans kavramı olmak üzere
iki şekilde ele alınır.
Klasik olarak olasılık şöyle tarif edilebilir; Eğer bir olay birbirini karşılıklı olarak engelleyen
ve hepsi de eşit şansa sahip olan N mümkün halden sadece a kadar meydana geliyorsa (uygun
hal), bu olayın olasılığı
a
a
olup, P(A) =
şeklinde yazılır. O halde kısaca olasılık, uygun
n
n
haller sayısının mümkün haller sayısına oranı olarak tarif edilebilir.
Yukarıdaki tanımda iki olayın aynı anda meydana gelmesi mümkün değilse, bu iki olay
birbirini karşılıklı olarak engelleyen (bağdaşmaz) olaylardır. Yani olaylardan biri meydana
gelirken, diğerinin meydana gelmesinin imkansız olması hali. Benzer şekilde, iki olaydan
herhangi birinin meydana gelme önceliği yoksa, bu iki olay eşit şansa sahiptir.
Objektif olasılık içinde yer alan ikinci kavram nispi (rölatif - izafi) frekans kavramıdır. Bu
kavram deneylerin tekrarlanabilirliğine ve tekrarlarıma işleminin çok sayıda yapılabileceğine
dayanır. Nispi frekans kavramına göre olasılık şu şekilde tanımlanabilir.
Bir deneyin “N” kez tekrarlamasından sonra (N büyük bir sayı) bir olayın “a” kadar sayıda
ortaya çıktığı gözlenirse, bu olayın olasılığı (meydana gelmesinin nispi frekansı)
P(A) =
a
’dir ve
N
a
şeklinde yazılır. Buna aynı zamanda bir olayın tecrübi olasılığı de denir. Burada N
N
büyük sayıdır demek belirsizlik ifade eder. Onun için olasılık kavramı Kümeler kullanılarak
aksiyomatik bir yaklaşımla ele alınmaktadır.
Nispi frekans yaklaşımı ile bir olayın olasılığı, geçmişte meydana gelen benzer olaylar dikkate
alınarak tahmin edilebilmektedir. Dolayısıyla P(A) =
a
söz konusu olayın gerçek olasılığının
N
bir tahminidir.
3.4.2 Örnek Uzay ve Olay
İstatistikte görülen veya ölçme sürecine deney, deneyden elde edilen sonuçlara mümkün hal,
bu mümkün hallerin meydana getirdiği kümeye o deneyin örnek uzayı adı verilmektedir. S ile
gösterilen örnek uzay, küme teorisindeki U evrensel kümesidir. Örnek uzayın herhangi bir alt
kümesi ise olayın adını alır. Yani örnek uzay her biri bir nokta (örnek noktası) olarak
düşünülebilen basit olaylardan meydana gelir olay A ile gösterilirse A  S’dir. Boş küme
örnek uzayda da birer olay olarak kabul edilir ve imkansızlığı ifade eder, S ise kesinliği
belirtir.
Birden fazla basit olayın bir araya getirilmesi suretiyle bileşik olay teşkil edilebilir. Bunun
için birleşim, kesişim ve tamamlayıcı kümelerden faydalanılır.
Örnek olarak verilen 100 ampulden sağlamları ayrılması istenirse, her deneyin sağlam veya
bozuk olma gibi iki sonucu yani basit olayı vardır. Bunlara A ve B denilirse, örnek uzayı
şöyle tanımlanabilir; S = {A, B}, gözlem sayısı 100’dür.
Örnek uzay sınırlı veya sınırsız olabildiği gibi sürekli veya süreksiz de olabilir. Sınırlı ve
sınırsız kümeden daha önce söz edilmişti. Sınırlı veya sınırsız olmakla birlikte sayılabilir
sayıda olay içeren örnek uzay süreksizdir. Örnek uzaydaki olaylar sayılamayacak sayıda
olursa sürekli örnek uzayı olarak adlandırılır. Bu bölümde sadece süreksiz örnek uzayı ele
alınacaktır.
3.4.3) Olasılık Kuralları
Örnek uzay S olsun. Eğer S süreksiz ise, bütün alt kümeler birer olaya karşılık gelir. Tersine S
sürekli ise, sadece bazı alt kümeler (ölçülebilir olanlar) birer olaya karşılık gelir.
S örnek uzayı süreksiz olduğunda, A alt kümesini ifade eden gerçek bir sayı P(A) şeklinde
yazılabilir ve A olayının olasılığı olarak adlandırılırlar.
S örnek uzayındaki bir A olayının ya da alt kümesinin olasılığı 0  P(A)  1 olur.
Örnek uzayı S nin olasılığı ise P(S) = 1 olur
3.4.3.1) Olasılıkların Toplamı Kuralı
Burada iki farklı durumdan söz edilir.
1) Özel toplama kuralı: Eğer olaylar birbirini karşılıklı olarak engelleyen bağımsız
olaylar ise, bu olayların bileşiminin olasılığı ayrı ayrı olasılıkları toplamına eşit olur ve
buna özel toplama kuralı adı verilir.
P(A 1 A 2 A 3 .....) =P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+.........olur.
Örnek Bir kutuda 80’i beyaz 20’si kırmızı 100 top vardır. Beyaz topların 30’u, kırmızı
topların ise 5’i kusurludur.
a) Kutulardan beyaz bir top çekme olasılığı nedir?
b) Kusurlu bir top çekme olasılığı nedir?
Çözüm a) P(B)=
b) P(K)=
B
80 4


N 100 5
30  5 35
7


100
100 20
2) Genel Toplama kuralı: Olaylar birbirini engellemeyen bağdaşır olaylar ise, yani
birlikte gerçekleşebiliyorlarsa böyle olayların bileşiminin olasılığı genel toplama
kuralı ile ifade edilir. Eğer A ve B olayları bağdaşır olaylar ise,
P(AB)=P(A)+P(B) – P(AB) olur.
A, B, C gibi üç bağdaşır olay için,
P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) – P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) olur.
Örnek: P(A)=0,60, P(B)=0,30 ve P(AB)=0,20 olarak verildiği taktirde aşağıdaki olasılıkları
hesaplayınız.
a) P(AB)
b)P(AcBc)
c) P(ABc)
d) P(AcB)
Çözüm: a)P(AB)=P(A)+P(B) – P(AB)
=0,60+0,30-0,20=0,70
b) P(AcBc) = P(AB)c = 1-P(AB) = 1-0,20=0,80
c)P(A) =P(ABc) + P(AB)
P(ABc)=P(A)P(AB)= 0,60-0,20=0,40
d) P(B) =P(AB)+P(AcB)=P(AcB)=P(B) – P(AB) =0,30-0,20=0,10
3.4.3.2. Şartlı Olasılık ve Olasılıkların çarpım kuralı
Bir olayın olasılığı araştırılırken o olayın içinde bulunduğu örnek uzayının bilinmesi
gerekir.Söz konusu örnek uzay her zaman açık olarak anlaşılamaz. Bu sebeple, veri örnek
uzay (S) içindeki bir olayın (A) olasılığı sorulduğunda
P(A / S) yazılarak, veri örnek uzayı
böylelikle belirlenmiş olan burada P(A / S) sembolü S örnek uzayına göre A olayının şartlı
olasılığını gösterir. Ancak, eğer örnek uzay (S) açıkça belli ise A olayının olasılığı P(A)
şeklinde kısaltılmaktadır. Aslında tüm olasılıklar şartlı olasılık dahilindedir.
S örnek uzayın A ve B olaylarını göz önüne alalım. Eğer P(A)>0 ise, A olayın
gerçekleşmek şartıyla B olayının gerçekleşme olasılığı
P(B/A)=
P( B  A)
şeklinde yazılır. Bu olasılığa şartlı olasılık adı verilir
P( A)
Benzer şekilde B olayı gerçekleşmek şartıyla A olayının gerçekleşme olasılığı de
P(A/B)=
P( A  B)
şeklinde yazılır. P(B)>0
P( B)
S
B
A
1) Genel çarpım kuralı: A ve B olayları bağımlı olaylar ise, bu iki olayın birlikte
gerçekleşme olasılığı genel çarpım kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kurala göre belirlenir.
P(AB)=P(B) . P(A/B) burada P(B) >0
P(AB)=P(A) . P(B/A) burada P(A) >0
2) Özel çarpım kuralı: İki olay bağımsızsa bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı özel
çarpım kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kurala göre bulunur.
P(AB)=P(A) . P(B) yazılır.
Bağımsız olay tanımı: Eğer A1, A 2 ,.......A r olaylarından 2,3,.....,r tanesinin kesiminin
olasılığı (kombinasyon olasılığı) bunların tek tek olasılıklarının çarpımına eşit ise, bu olaylar
bağımsızdır.
3.4.4. Bayes Teoremi
Çoğu zaman son meydana gelen olay, daha önce bazı olayların vuku bulup, bulmamasına
dayanır. Mesela bir hastanın iyileşmesi olayı, hastalığın doğru teşhisi olayı ve uygun
tedavinin tatbiki olayına dayanır. Bir cihazın güvenilir olarak çalışabilir olması, cihazın
dizaynından, mamul
hale
gelene kadar
geçirdiği
safhaların
başarılı
bir şekilde
neticelendirilmiş olmasına bağlıdır. Bu gibi olaylardan son meydana gelen olaya sebep olan
faktörlerin olasılıkları ile ilgilenilebilir. Böyle durumlarda Bayes teoreminden faydalanılır.
Birbirini karşılıklı olarak engelleyen A1,A2,......,Ak olayları bir örnek uzayını oluştursun. Bu
olaylar tarafından ulaşılan bir başka olay ise B olayı olsun. B olayının meydana geldiği
bilindiği takdirde bu olayın Ar olayından kaynaklanmış olma olasılığı Bayes teoremi ile şöyle
ifade edilir.
P( Br / A) 
P ( A  Br )
P( A)
P( A  Br ) ifadesi genel çarpım kuralına göre P( Br ).P( A / Br ) şeklinde yazılabilir.
P(A) olayı ise olasılıkların çarpımlarının toplamı kuralı gereği;
P( A)  P( B1 ).P( A / B1 )  P( B2 ).P( A / B2 )  .......  P( Bn ).P( A / Bn ) şeklinde yazılır.
Buna göre Bayes Teoremi şöyle yazılabilir.
P( Br / A) 
P( Br ).P( A / Br )
P( B1 ).P( A / B1 )  P( B2 ).P( A / B2 )  ...  P( Bk ).P( A / Bk )
veya kısaca
P( Br / A) 
P( Br ).P( A / Br )
k
 P( B ).P( A / B )
i 1
i
olur.
i
Problem: Bir mamul B1,B2 ve B3 gibi 3 makine tarafından üretilmektedir
Üretilen mamullerin %60’ı B1 de
%30’u B2 de
%10’u B3 tezgahında gerçekleşmektedir.
Bu makinaların hatalı üretim oranları ise sırası ile %2,%4,%6 ‘dır. Rastgele seçilen bir
mamulün
a) Bozuk olma olasılığı
b) Sağlam olma olasılığı
c) Bozuk olarak seçilen bu mamulün B3 tezgahında üretilme olasılığı nedir?
Çözüm: A olayı mamulün bozuk olma olasılığı
a) P( A) : 0.6 x0.02  0.3x0.04  0.1x0.06  0.012  0.062  0.006  0.030
b) P( Ac )  1  P( A)  1  0.030  0.97
c) P( B3 / A) 

P( B3 ).P( A / B3 )
P( B1 ).P( A / B1 )  P( B2 ).P( A / B2 )  P( B3 ).P( A / B3 )
0.1x0.06
0.006

 0.2
0.6 x0.02  0.3x0.04  0.1x0.06 0.03
3.5. Olasılık Dağılımları
Tesadüfi değişken: İstatistik ve olasılık hesaplarında bir çok problemde bir deneyin belli bir
yönü veya bir kaç yönü üzerinde durulmaktadır. Mesela bir öğrencinin test usulü ile yapılan
bir imtihanda onun için önemli olan işaretlediği doğru cevapların sayısıdır. Bir yazı-tura
atışında önemli olan husus kaç yazı geldiği olabilir; bunların sıralama şekli önemli
olmayabilir. Tesadüfen seçilen bir tüketici ile yapılan ankette yaşı veya boyu yerine
ailesindeki kişi sayısı veya geliri ile ilgilenilir.
Yukarıda olduğu gibi öğrencinin cevapladığı doğru cevap sayısı, yazı – tura atışındaki gelen
yazı ve tura sayısı, tüketicinin ailesindeki kişi sayısı veya aile geliri her biri birer tesadüfi
değişken olarak adlandırılır. Bir örnek uzayın her noktası bir sayı ile ifade edildiğinde, bu
örnek uzayda tarif edilen bir fonksiyon elde edilmektedir. Bu fonksiyona tesadüfi değişken
adı verilmektedir ve genellikle büyük X ve Y harfi ile gösterilmektedir.
Örnek: Bir paranın 3 kez atılışında örnek uzayını teşkil edelim.
S = { YYY , YYT , YTY , TYY , YTT , TTY , TYT , TTT }
Yazı gelme sayısını X (tesadüfi değişken) ile temsil edersek, aşağıdaki tablodan görüleceği
üzere X için her örnek noktasına ait olan bir sayı yazabiliriz.
Örnek Noktası
S1
YYY
X Yazı Gelme Sayısı 3
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
YY T
YTY
TYY
YTT
TTY
TYT
TTT
2
2
2
1
1
1
0
Görüldüğü gibi x farklı durumlarda farklı değerler almaktadır.{YYY}3 , {YTY}2, {TTT}0
değerlerini almaktadır. Bu sebeple X tesadüfi bir değişkendir.
Kesikli ve Sürekli Tesadüfi Değişkenler
Tesadüfi bir değişkenin içinde bulunduğu örnek uzayı veya başka bir deyişle değişim aralığı
süreksiz ise, yani sonlu sayıda ya da sayılabilir sonsuz sayıda eleman içeriyorsa buna süreksiz
(kesikli ) tesadüfi değişken adı verilir. Diğer taraftan bir değişken sayılamayacak sayıda
sınırsız değerler alırsa bu değişkene sürekli (kesiksiz) tesadüfi değişken adı verilir.
3.5.1. Süreksiz (Kesikli ) Olasılık Dağılımları
X ile gösterilen kesikli tesadüfi bir değişkenin aldığı değerler
x 1 , x 2 , x 3 ............. ise
değişkenin bu değerlerden sadece birini alması olasılığı f(x) = P (X=x) şeklinde yazılabilir ve
X in olasılık yoğunluk veya olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır.
Bir dağılım ya da fonksiyonda aşağıdaki iki şart sağlanıyorsa bu fonksiyonlara olasılık
fonksiyonları adı verilir.
1- f (x)  0
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun alacağı değerler 0 ile 1 arasında değişir.
2-  f ( x )  1
x
Bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanım aralığındaki değerlerinin toplamı 1 olmalıdır.
X
tesadüfi değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu veya diğer bir deyişle kümülatif
(yığılımlı, birikimli) yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde tarif edilir.
F( x )   f ( t ) burada -   x   aralığında değişiyor.
tx
Yukarıdaki eşitliğin sağ tarafına bakılırsa bu dağılım x’e eşit veya x ten küçük t değerlerinin
olasılıklarının toplamının kümülatif (birikimli) dağılımını verdiği görülür. Yani kümülatif
dağılım fonksiyonu x tesadüfi değişkenin belli bir değere eşit veya daha küçük olması
olasılığını gösteren bir fonksiyondu
3.5.1.1. Binom Dağılımı
Olasılık dağılımları içersinde en yaygın olarak kullanılanıdır. Deneylerin tekrarlana bildiği
durumlarda kullanılır. Bir olay n deneyde X defa vuku buluyorsa bu olayın olasılığı Binom
dağılımı yardımı ile bulunur.
Örnek :
- Bir parti malın tesliminde örnek olarak seçilen 50 mamulden ikisinin bozuk
olması olasılığı
- 10 defa atılan bir para atışında üç yazı gelmesi (7 tura ) olasılığı
- 50 test sorusundan 30 nun doğru cevaplandırılması olasılığı
- Kansere yakalanan 30 hastadan 20 sinin kurtulması olasılığı vb.
Bu gibi durumlarda aranan şey n sayıdaki mümkün halden x sayıdaki uygun halin olasılığıdır.
Dolayısıyla binom dağılımında birbirini karşılıklı olarak engelleyen 2 olayda sadece birinin
(bozuk veya sağlam, doğru veya yanlış, kabul veya ret, kusurlu veya kusursuz gibi ) olasılığı
söz konusudur.
Binom dağılımı şu varsayımlara dayanmaktadır.
1- Her deney birbirlerinin karşılıklı önleyen iki mümkün halden sadece birinde vuku bulur.
Mümkün hallerden biri elverişli hal (x) diğeri elverişsiz hal (n-x) olarak ifade edilir.
2- Bir uygun halin olasılığı (p) her deneyde aynıdır. Uygun olmayan halin olasılığı
(q=1-p) içinde aynı durum söz konusudur.(seçim iadeli)
3- Deneyler bağımsızdır. Yani bir deneyde ister uygun ister uygun olmayan hal meydana
gelsin bu durum diğer deneydeki uygun bir halin olasılığına etki etmez.
Binom dağılımının formülü şöyle ifade edilebilir. n Bağımsız deneyden x sayıda uygun halin
gelmesi olasılığı;
n
P( X  x )  f ( x )  b( x ; n ; p )    p x (1  p ) n x burada x  0,1,2,3,....n
 x
Problem: Bir acemi işçinin kusurlu mamul üretme olasılığı %10 dur. Bu işçinin ürettiği
mamullerden rasgele10 tanesi seçildiğinde (kütle sonsuz)
a) Mamullerin en az 2’sinin kusurlu olma olasılığı
b) En çok 3 ünü kusurlu olma olasılığı
c) En az birinin kusurlu olma olasılığını bulunuz.
Çözüm:
a ) P(X  2)  P(x  2)  P(x  3)  ......  P(x  10) 1 - P(x  0)  P(x  1)
10 

10 
P(X  2)  1 -    0,10  0,910     0,11  0,9 9 
1 
 0 

b) P(X  3)  P(x  0)  P(x  1)  P(x  2)  P(x  3)
10 
10 
10 
10 
  0,10  0,910   0,11  0,9 9   0,12  0,98   0,13  0,9 7
0 
1 
2 
3 
10 
c) P( X  9)  1  P( x  0)  1   0,10  0,910
0 
n veya p’nin her farklı değeri farklı bir dağılım gösterdiğinden, binom dağılımı gerçekte bir
dağılımlar gurubu teşkil eder. p=0,5 olduğu zaman dağılım simetrik bir şekil alır. p’nin aldığı
değere göre dağılım şekil alır. p<0,5 olursa dağılım sağa çarpık, p>0,5 olduğunda ise çarpıklık
sola doğru olmaktadır.
3.5.1.2. Hipergeometrik Dağılım
Binom dağılım genellikle yerine koymak suretiyle yapılan deneylere ya da sınırsız bir
kütleden yapılan deneylere uygulanan bir dağılımdır. Örnek, kütleden yerine koymadan
(iadesiz çekim) çekildiği takdirde artık bağımsız olay söz konusu olmadığından binom
dağılım uygulanamaz. Bu gibi durumlarda Hipergeometrik dağılım uygulanır.
İçerisinde a sayıda uygun, b sayıda uygun olmayan eleman bulunan sınırlı bir kütleden n
sayıda örnek iadesiz olarak çekildiğinde, örnekteki elemanların x tanesinin uygun, n-x
tanesinin uygun olmayan elemanlardan oluşma olasılığı hipergeometrik dağılımla aşağıdaki
fonksiyonla belirlenir.
 a  b 
 

x  n  x 

f ( x; n; a; b) 
a  b


 n 
x= 0,1,2,....... n olur.
Dağılımın a, b ve n gibi üç parametresi vardır.
Problem: 20’si sağlam 10’u bozuk toplam 30 parçadan 10 birimlik örnek çekildiğinde 4’ünün
sağlam olma olasılığı nedir?
Çözüm:
x:4
a:20
b:10
n:10
n-x=6
 a  b 
 

n  n  x 

f ( x; n; a; b) 
 f (4,10,20,10) 
a  b


 n 
 20 10 
  
 4  6   1017450  0,03386
30045015
 30 
 
10 
3.5.1.3. Poisson Dağılımı
p  0 , n   ve n.p  Sabit olduğu zaman Binom dağılımı, Poisson dağılımına yaklaşır.
Bir olayın meydana gelme olasılığı (p) sıfıra, dolayısıyla q=1-p, 1’e yaklaşırsa (terside
mümkün ) ve n çok büyük olursa böyle olaylara nadir meydana gelen olaylar denir (n çok
büyüdüğünde kombinasyon hesabı zor yapılır). Pratik olarak eğer bir olaydaki deney sayısı en
az 50 n  50 ve n.p  5 olursa böyle olaylar nadir meydana gelen olaylar olarak düşünülebilir.
Böyle durumlarda Binom dağılımı Poisson dağılımına yaklaşır.
Poisson dağılımı şöyle ifade edilir.
e   x
f(x;  ) 
x!
burada x  0,1,2,........
Dağılımın bağlı olduğu tek parametre  olup =np dir.
Problem: Bir fabrikada imal edilen malların 0,03’ü bozuktur. Muayene için 25 birimlik bir
örnek çekildiğinde;
a) 4 bozuk mal çıkması
b) 3 veya daha fazla bozuk mal çıkması,
c) En fazla 2 bozuk mal çıkması olasılığı nedir?
Çözüm:
a )   n. p
f(x;  ) 
  25.0,03  0,75
x e 
b)   0,75
x!
 f(4 : 0,75) 
x 4
0,75 4 e 0, 75 0,316.0,472

 0,006
4!
4.3.2.1
x3
0,75 0.e 0, 75 0,751.e 0, 75 0,75 2.e 0, 75


0!
1!
2!
 1 - 0,472 - 0,75.0,472 - 0,28.0,472
f(x  3;0,75)  1 -
 1 - 0,472 - 0,3540 - 0,1321
 1 - 0,9601  0,04
0,75 0.e 0, 75 0,751.e 0, 75 0,75 2.e 0, 75


0!
1!
2!
 0,9601 olur.
c) f(x  2) 
3.5.2. Sürekli Olasılık Dağılımları
Daha önce bir değişkenin sayılamayacak sayıda sınırsız değerler alabiliyorsa bu değişkene
‘Sürekli tesadüfi değişken ’adı verildiğini görmüştük. Bu kısımda sürekli tesadüfi değişkenin
olasılık dağılımları üzerinde durulacaktır.
Sürekli tesadüfi bir değişkenin tanım aralığındaki herhangi bir değeri tam olarak alması
imkansızdır. Çünkü gerek sayılar ekseninin her aralığında sonsuz sayı (nokta) mevcuttur.
Sonsuz noktadan birinin çekilmesi olasılığı 1/   0 dır. O halde sürekli tesadüfi bir
değişkenin her hangi bir değeri tam olarak alma olasılığı sıfır olup, her hangi bir olasılığından
bahsedebilmek için belli bir aralığın olasılığının araştırılması gerekir.
X sürekli tesadüfi değişkenin dağılım fonksiyonu F(x) (kümülatif dağılım fonksiyonu) olsun.
Bunun türevi olan F’(x)=f(x) ‘e olasılık fonksiyonu ( olasılık yoğunluk fonksiyonu )
denilebilmesi için şu iki şartın birlikte sağlaması gerekir.

1) f (x)  0
2)
 f ( x ) dx  1 olmalıdır.

Bu fonksiyondan hareketle, a ve b aralığında bulunan X değişkeninin olasılığı şöyle tarif
edilir.
b
F(b)-F(a) = P (a<X<b) =  f ( x )dx
a
3.5.2.1. Bir Örnek (Üniform) Dağılım
Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir.
 1

f ( x)     
0

 x
x0
Burada  ve  dağılımın parametreleri olup gerçek sabitlerdir. ()
Bu dağılımın dağılım fonksiyonu şöyle yazılır.
x 
0

 x 
F ( x )  P( X  x )  
 
1
x
x
Problem: X tesadüfi değişkeni -2  x  2 aralığında üniform olarak dağılmıştır.
1
b)P( x  1  ) yi hesaplayın ız .
2
a) P(x<1)
Çözüm:
1
a) P(x  1) 
1
1
 4 dx  4 x
2
1
2

1 2 3
 
4 4 4
1
b)P( x  1  )  P(2  x  0,5)  P(1,5  x  2)  1  P(0,5  x  1,5)
2
1, 5
1
1
1 3
1, 5
1,5  0,5 
 1   dx 1  ( x ) 0,5  1  
 1 

4
4
4 4
 4 
0,5
3.5.2.2. Üstel Dağılım
Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir.
 1 ( x )
 e
f ( x)   
0

x  0 için
diğiğerhaller
Burada  >0 olup, dağılımın ortalaması ve tek parametresidir.
Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
Üstel dağılımın dağılım fonksiyonu
x


1  e 
F( x )  

0
x0
aksi durum
Olup bunun şekli aşağıda görülmektedir.
Problem: Bir işletmenin üretilmiş olduğu elektronik cihazların arızasız çalışma
sürelerinin (saat cinsinden ) üstel dağılıma uyduğu görülmüştür ve  =24 saat olarak
bulunmuştur. Buna göre;
a )Bir cihazın en az 12 saat arızasız çalışması
b) En fazla 36 saat arızasız çalışması olasılığını bulunuz?
c) Cihazın 30 saatten fazla çalışma olasılığı en az %80 olması için 
olmalıdır.
Çözüm:
en az ne
x
1 24
f (x) 
e
x0
24
f(x)  0 diğer haller

a ) P( x  12) 
x
x

1 
12 24 e 24 dx   e 24
36
x

 e
12
x

1 
b) P(0  x  36)   e 24 dx   e 24
24
0

c) 
30
1

x
( )
e

dx 
1


-e

.(   ).e

x
( )
36
0
12
24
 e 0,5  0,6065
 1  e 1,5  1  0,2231  0,7769


 0,8  - e
x
( )


30
 0,8
30


e

30

 0,8  e

30

 0,8
30
 ln 0,8   134 saat olmalıdır

3.5.2.3. Normal Dağılım
İstatistikte en yaygın kullanılan dağılımdır. Bazı eserlerde Gauss dağılımı, çan eğrisi,
normal eğri vb. gibi isimlerle adlandırılmaktadır.
Normal yoğunluk fonksiyonu şöyledir:
f (x) 
1
2
e -  x - 
2
22
-  x  
Burada   3,14159 ve e  2,71828 dir. Bu dağılım  (ortalama) ve  (standart sapma)
parametrelerine dayanmaktadır. Dolayısıyla normal bir dağılım N(,  2 ) sembolü ile
gösterilir.
Normal dağılım aritmetik ortalama etrafında simetrik bir dağılım olup, ortalama etrafındaki
bazı alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Normal Dağılım ,  ve  parametreleri ile tespit edilmektedir. Fakat her  ve  değeri için
farklı bir normal dağılım elde edilmektedir.  farklı değerler alındığında şekilde görüldüğü
gibi dağılım x ekseni üzerinde kaymaktadır.  ’nın farklı değerler alması ise dağılımın
sivriliğine
veya
basıklığına
tesir
etmektedir
bu
durum
şekilde
gösterilmiştir.
Standart Normal Dağılım
Daha önce belirtildiği gibi  ve  nın her farklı değeri için farklı bir normal dağılım vardır.
Dolayısıyla  ve 
değerlerine dayanan sonsuz sayıda normal dağılım elde etmek
mümkündür. Bu durumu önleyebilmek ve sadece bir tana normal dağılım elde edebilmek için
normal değişken standart hale çevrilir. Böylece farklı ortalama ve varyansa sahip bütün
normal dağılışlar aynı ortalama (0) ve varyansa (1) sahip dağılışlar haline dönüşürler. Böylece
standart normal değişkene ait dağılıma standart normal dağılım adı verilir.
Standart değişkene dönüştürme işlemi şöyle yapılır
Z
X X

Bu Z değişkeninin dağılımının aritmetik ortalaması 0 ve varyansı 1 dir. Standart Normal
Dağılımın yoğunluk fonksiyonu normal yoğunluk fonksiyonundaki  yerine 0 ve  yerine
1 koymak suretiyle;
f ( z) 
1
2
e

z2
2
   z   elde edilir.
Standart normal dağılımın alanları için olasılık değerlerini veren tablolar hazırlanmıştır. Bu
tablolardan faydalanarak alanlara ait olasılıkları kolaylıkla hesaplamak mümkün olmaktadır.
Problem: Bir fabrikada üretilen cıvataların çapları 2cm. ortalama ve 0,1 cm. standart sapma
ile normal dağılıma uymaktadır. Bu cıvataların çapı 1,8 ile 2,15cm. dışına düşerse bozuk
sayılmaktadır. Bu verilere göre üretimin kusurlu oranını bulunuz.
Çözüm: P(X<1,8 ; X>2,15)=?

Z1 
X1  X

1,8  2

 Z1  2
0,1
_
Z2 
X2  X


2,15  2
 Z 2  1,5
0,1
P(Z1<-2 veya Z2>1,5) =?
1, 5
1,5

0

1    f ( z )d z   1    f ( z )d z   f ( z )d z   1  0,4772  0,4332  0,0896
0
2

2

Problem: Bir final sınavında notların dağılımı   60 ve   10 olan normal dağılıma
uymaktadır. Sınava giren öğrenciler 300 kişi olduğuna göre bunun 250’sinin geçmesi
istenmektedir. Geçmek için gerekli en düşük not nedir?
Çözüm:
Geçmesi istenen öğrencilerin oranı,
250
 0,833
300
1  0,833  0,167 kalması gereken öğrencilerin oranıdır.
Z1
0
-
z1
 f ( z)dz  0,167   f ( z )dz ise Z
z1
x

1
 0,965 olur .
 x    z1    x  60  0.965  10  x  50,35 bulunur .
3.5.2.4. Gamma Dağılımı
Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir.
  1  x

x e
f ( x )     ( )

0

x0

diger haller
Burada   0,   0 ve ( ) ise gamma fonksiyonu dur.

()   y  1 e  y dy
x  0 için
0
Gamma fonksiyonuna kısmi integrasyon ard arda uygulanarak;
( )  (  1)! olarak elde edilir.
burada  pozitif bir tam sayıdır. Eğer  pozitif tam sayı değilse ( ) nın değeri gamma
fonksiyonunun değerlerini veren tablodan bulunur. Gamma dağılımı  ve  parametrelerine
dayanmaktadır. Farklı her  ve  değerleri için farklı bir gamma dağılımı elde edilmektedir.
Mesela  =1 ve  =1,  =2,  =3,  =4 değerleri için gamma dağılımı aşağıdaki gibi olur.
 ve  nın bazı değerleri için özel dağılımlar elde edilir.
Mesela   1 için üstel dağılım
n
 = ,   2 için Ki-kare dağılımı elde edilir.
2
_
Dağılım ortalaması x  
Varyansı = s 2  2
olup buna bağlı olarak dağılımın  ve  parametreleri şöyle yazılır.
_ 2

x
s2

s2
_
olur.
x
Örnek 8) Bir işletmenin günlük elektrik enerjisi talebinin (bin kilovat/saat cinsinden)
  2 ,   3 olan gamma dağılımına göre değiştiği kabul edilmektedir. İşletme elektriğini
kendi üretmektedir. İşletmenin elektrik tesisinin günlük kapasitesinin 10 bin kilovat/saat
olduğu bilindiğine göre, her hangi bir günde talebin kapasiteyi aşması olasılığını bulunuz?
Çözüm
f ( x) 
2 1

x
3
x .e
32. (2)
x


3
x

e

f ( x)  
9

0
( )  ( - 1)!  (2 - 1)!  1
x0

diger haller

1
f ( x )   x e - x/3 dx
9 10
ux
du  dx
dv  e - x/3 dx
v  -3e - x/3
buradan


1
p( X  10)   x e
9 10
- x/ 3
1
dx 
9
x
x
 


1
3
3

3
x
e


3
e
dx



9

10

x
x
x
- 
 1 - x3
1
3
3
  3x e  9 e     x e  e 3
9 
 10  3
10

10
10





10
10

  10

10  3
13

e  e 3  e 3   1  e 3 .
3
3
3

 4,33.e 3,33  4,33 . 0,035794  0,154588
3.5.2.5. Weibull Dağılımı
Bu dağılım güvenilirlik analizlerinde geniş kullanım yeri olan bir dağılımdır. Dağılımın
olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle yazılır.

f ( x) 

x
 
 
 1
e

x
 
 
x0
Burada  0 olup ölçek parametresi ve  0 olup şekil parametresidir. Dağılımın ortalama ve
varyansı şöyle yazılır.

   1 
1

 

2
 

2
1 
2
2
   1    1   
     
 
Weibull dağılımı oldukça esnek bir dağılım olup  ve  parametrelerinin değişen değerlerine
göre farklı şekiller gösterir.  =1 için Weibull dağılımı 1/ ortalaması ile Üstel dağılıma
dönüşür.
Weibull dağılımının olasılık dağılım fonksiyonu ( Kümülatif yoğunluk fonksiyonu) şöyle
yazılır.
  x  
F ( x )  1  exp    
    
Örnek: Bir elektronik cihazın arızalanma süresinin dağılımının =1/2 ve =500 olan Weibull
dağılımına uyduğu bildirilmiştir.
a) Arızalar arası sürenin ortalamasını bulunuz.
b) Bu cihazın en az 8000 saat arızasız çalışma olasılığını (güvenilirliğini) bulunuz.
Çözüm:
1
1
a)   (1  )  500(1 
)  500(5)  500(4! )  500(24)  12000

0,25
0 , 25

x
 8000 

  


0 , 25
b) P( X  8000)  1  F ( X  8000)  1  1  e      e  500   e 16  e 2  0,135



