Elektrik Potansiyel

Elektrik Potansiyel

Elektrik potansiyel   E  0 olduğundan Elektrik alan korunumludur. Bir q gibi yükün


F  qE
 
 
yaptığı iş yolda bağımsızdır
W   Fdl  q  Edl


Ayrıca   E  0 olduğuna göre E elektrik alanı bir skaler fonksiyonun gradiyantı olarak yazılabilir
.
E  V
+ +
- - -
+
+
+
- - -

Burdaki V skaler elektrik potansiyel olarak tanımlanır. Ayrıca bir E elektrik alanı içinde
birim test yükünü P1 noktasından P2 noktasına getirmek için elektrik alanına karşı yapılan iş
potansiyel farkı olarak tanımlanır.
P2  
W
   E.dl  V1  V2
P1
q
Bu formül bize birim yük başına düşen elektrik potansiye enerji farkını verir .

P2  
P2
P2
  E.dl    V .dl   dV  V2  V1 .
P1
P1
P1
(Potansiyel fark)
Hatırlatma:


f  an ( lim dlf )  an dfdl
l 0

  E  0 ise

 
(


E
)
ds

E

 .dl  0
Zaten bir noktadan kalkıp aynı noktaya gelindiğinde
yapılan iş sıfır potansiyel farkı da sıfırdır
P noktasının saf Elektrik potansiyeli birm test yükünü sonsuzdan o noktaya getirmesi ile
yapılan iş olarak tanımlanır.
 
Vp    E.dl
b  
V AB    E.dl  V A  VB
A
Noktasal Yükün Elektrik Potansiyeli

EP 
q
4 . 0 . R
R
VR    (

q
4 . 0 . R
2
2

aR




dl  dr.a R  r.d .a  r. sin  .d .a

ar )( dR.aR ) 
Q
4. . 0 R
V
R

1
4 o
VR 

n
q
4. . 0 . R
qk
 RR
k 1
'
k
Birden Fazla Noktasal Yükün Oluşturduğu Potansiyel
V
n
1
4. . o

k 1
qk
R  Rk'
Örnek:
Birbirinden d kadar uzakta Z ekseni üzerinde yerleştirilmiş +q yükünden oluşmuş
elektrik dipolün elektrik potansiyelini ve Elektrik alanını bulunuz.
V
(  )
q
1
4. . 0 r1
1
r2


r1  r.a r  d2 a z


r2  r.a r  d2 a z
r>>l ise r1//r
r1=r-(d/2)cos 
r2=r+(d/2)cos 
V  4.q.0 ( r  d 1cos  r  d 1cos )  r 2k.(qd.d/ .2coscos )
2
2

V  k q.d r.cos
 q
.d  cos

2

Açı
1
r2

Dipol
Momenti Faktörü Uzaklız
Faktörü
V 
küresel koordinatlarda

E
V
R


a R  R1 R a  R sin1
V

 4.1.0

Sabit

a
 V  1 V
E  V  a R
 a
V
R 
qd
a R 2 cos  aa sin  
3
4 o R


qd  a z  p
 
qd  p
olarak bulunur.
( dipol momenti )
Örnek :
Eş potansiyel eğrilerini ve Elektrik alan çizgilerini dipol için çiziniz. ( Birbirine
diktirler ).
V  kqd 
cos
r2
V
cos
 2
kqd
r
0  

2

2
 
sabit V için sabit
cos 
R2
1
cos 
 2
2
Cv
r
=> r  Cv cos
R,   0 ’da max.   90 0 ’da minimumdur.
için V’nin negatif olduğu simetrik görüntüsü oluşur.


dl  kE



a R dR  a R  d  a R sin   d 



k a R E R  a E  a E 
dR R  d R  sin   d


ER
E
E
Elektrik dipolunda  ile değişim yok.
dR R  d
dR 2d (sin  )



ER
E
R
sin 

dR
2d (sin  )

R
sin 

R  C E sin 2 

2
’de R max.
Sürekli Yüklerin Oluşturduğu Elektrik Potansiyeli
V
V
V

1
4o
 R dV
V
1
4o
1
4o
'
[ V ] ( Hacimsel Yük )
'

S'
s
R
l
ds '
 R dl
'
[ V ] ( Yüzeysel Yük )
[ V ] ( Çizgisel Yük )
'
L
Örnek:
V
=
1
4o
s
4o
s

R
S'
2

 0
b
r 0
ds'  r ' dr ' d '
ds '
r ' dr ' d '
z 2  r'2
R  z 2  r'2

1
s  2

2 2


z

b
 z

2 o 

1
 s 
2
2 2  
a
1

z
z

b
 z

 
 2 o 
 
= 

1
 a  s 1  z z 2  b 2  2  

 z 2 

o


 V
E  V  a z
z

Z >> b için z z 2  b



1
2 2
Q
 
 az

 
4 o z 2
E
Q
 a
z

4 o z 2
 b2 
 1  2 
z 


1
2
 1
z0

z0
  b 2  s
b2

E
 az
2z 2
4o z 2
z0
z0
Örnek:
V
=
l
4o
L
2
dz '
 z  z'
R  z  z'
L

2
z  L 
l
2
ln 
4o  z  L 
2

zL
2
l L
 V 
E  a z
 az
2
z
4o  z 2  L 
2 

zL
 
Ödev:
a yarıçaplı çemberin üzerinde düzgün
 
Cm
yük dağılımı varsa merkezinden
dik z-uzaklığında V’yi ve E’yi bul.
V 
a
4 o a 2  z 2

a
E  V 
2
(V/m)
2
 d  4
z
a
2
z

3
2 2

az
2a
o
a2  z2
. D  0
.. E  0
. D  
E  -V
2 V= 0 (Loplaca denklemi)
2V=- (Poission denklemi)
Örnek:
d 2V
0
d y2
sadece y’ ye bağlı
olduğundan
 2V
d 2 dV

 C1
dy dy
y 2
 2V
d 2 dV

 C1 V = C1y+C
dy dy
y 2
V
V0
y olarak bulunur, y ile lineer
d
y = 0’da V = 0 ve
y = d dk V = V0 ise
olarak potansiyelin arttığı görülür.
 dV
 V
E   ay
 ay o (y’den bağımsız) V’nin artış yönüne zıt olduğuna dikkat et.
dy
d
Örnek:
O<R<b  = -0 E = ?
a) elektron bulutunun içinde
O<R<b için
2 V =


 /   , /  0

dV
1 d
(R 2 i )  o
2
dR
to
R dR
R2
dVi  o R 3

 C1
dR
Z o
d  2 dVi   o 2
R
  .R entegre edilir.
dR 
dR  f o
dVi  o R C1


dR
Zt 0 R 2
  
Ei  a R o R
z o
ORb
b) Elektrik bulutunun dışında
 2 Vo  0
(Hat : R  0' da E i  0  C1  0)
R>b
1   2 dVo 
R
 0
dR 
R 2 R 

 dV0
 C
E 0  V0  o R
 o R 2
dR
R2
 dV 
Ei  Vi  o R  i 
 dR 
dVo C 2

dR R 2
R  b’de E0 ve Ei birbirine eşittir.
İletkenlerin statik Elektrik Alanı İçindeki Davranışı
İletkenlerin
İçinde
0
EO
Elektrik alanı iletkenin yüzeyine her zaman diktir. İletkenlerin yüzeyi eş potansiyel yüzey oluşturur.
Bir başka deyişle iletkenin her yerinde elektrik potansiyel aynıdır.

xE  0' dan
 
 E.d.  0 İletken- hava yüzeyi için yazılırsa
c
lim
 
E
 .d   E teg .W  0  E teg  
C
h  O
iletkenin içinde elektrik alan yok.
 
D
 .dS  s .S iletken- hava yüzeyi için yazılırsa

.D   s ' dan
s

 D.ds  t
En 
0
E n .S   s  s
s
o
Not: Demek ki iletkenlerde yükler yüzeyde toplanır. Öyle bir diziliş oluştururlar ki iletkenin içinde
elektrik olan oluşamaz. Sonuç olarak iletken- hava (Serbest Uzay) yüzeyindeki sınır koşulları
Eteğ=0
En=
s
o
Elektrik alanın teğetsel bileşeni yok. Normal bileşeni var. Yani
yüzeye dik elektrik alan mevcut. Elektrik alanının kaynağı ise yüzeyde biriken yüklerdir.
Örnek: İa yarıçapı Re dış çapı Ro olan küresel iletken zırhın merkezinde pozitif Q yükü
(Noktasal) bulunmaktadır. Elektrik alan Eve potansiyeli (V)’yi R’nin fonksiyonu olarak
bulunuz
a) R>Ro
E R1 

Q
2
E
s1 .dS  E R1 .4R  o
Q
V /m
4 0 R 2
(S1 gauss yüzeyinden)
b) Ri<RRo (S2 Gauss yüzeyinden)
ER2= O

D
 .ds  Q

S2

D.ds  Q  Q  
ER2  O
(Not: Ri yüzeyinde –Q, Ro yüzeyinde Q yükü indüklenir. Dolayısıyla S2 Gauss yüzeyinin içindeki net
yük Q-Q=O’dır.)
Bu nedenle de ER2 = O’dur.
V2  V1
R R o

Q
4 o R o
[ V]
c) R<R1 (S3 Gauss Yüzeyi)

D
 .ds  Q
E R3 
S3
V3    E R 3 .dR  C 
Q
4 o R 2
[V1m ]
Q
C
4 0 R
C' yi
R  R İ ' de V3 
bulabiliriz.
C
Q
4 0
 1
1 
Q

  V3 

4 o
 Ro Ri 
1
1
1 
 


 R Ro Ri 
Örnek :
Q11
Q12
V V 


4  R 1 4  R 2
1
1
1
2
Q11  Q12  Q1  Q 2
Q2
R2
R2
 Q12 Q1 Q 2  Q12 
R2
R1  R
Q11 
s 
Q11
4  R 12
V11  V21 
s
Q21
4  R22
Q11
Q1  Q2

4  R1
4  R1  R2 
Q1  Q 2 .R 1
4  R 12 R 1  R 2 
s 
s 
R1
R1  R
Q1  Q 2
4  R
s 
s 
R 2 Q1  Q 2 
R 1  R 2 4  R 22
Q1  Q 2
En 
s
olduğunu hatırla.

Kapasitelerin Paralel ve Seri Bağlanması
Seri Baglama
+Q -Q
+Q -Q +Q -Q
+Q -Q
V=Q/Ceş = Q/C1 + Q/C2+......+Q/Cn
+Q -Q
-------------------------
1/Ceş =1/C1+1/C2+...+Cn
Paralel Bağlama
+Q
-Q
+Q
-Q
+Q
-Q
-------------------------
+Q
-Q
Q= Q1+Q2+..+Qn =C1V+C2V+..+CnV
Q=(C1+C2+..+Cn)*V
Ceş= C1+C2+..+Cn
ELEKTROSTATİK ENERJİ (İŞ)
Vnm :m.yük nedeniyle n.yükte olusan gerilim olmak üzere Uzayda başka hiçbir yük
yoksa Q1 yükünü herhangi bir yere getirmek için herhangi bir iş yapmiş olmalız. Q2 yükünü Q1 in
yanına getirmek için gerekli enerji W =Fdl = qEdl = q Edl = QV Q2 yi yerleştirmek için
yapılan iş = Q2*V21
Benzer sekilde her ilave getirilecekyük için harcanacak enerji:
Q3’ü yerleştirmek için yapılan iş = Q3 V31+Q3 V32
Q4’ü yerleştirmek için yapılan iş = Q4 V41+Q4 V42+Q4 V43
.................................................... = ...............................................
Qn’ü yerleştirmek için yapılan iş = Qn Vn1+Qn Vn2+Qn Vn n-1
Toplam İş =Alanın Elektrostatik enerjisi =We
W=Q2+V21+Q3V31+ Q3V32+ Q4V41+..
olarak yazılabilir.
Q3 V31=Q3 Q1/40R13 = Q1 Q3/40R31
(R13 ve R31 Q1 ve Q3
arasındaki mesafeyi gosterdiğine göre)
Q3 V31 = Q1 V13 yazılabilir.WE’nin içinde QnVnmQmVmn yazılırsa
WE= Q1 V12+Q1 V13+Q2 V23+Q1 V14+...+..
2WE = Q1(V12+V13+V14)+Q2(V21+V23+V24)+Q3(V31+V32+V34)+..+
(V12+V13+V14+..)= V1 (V21+V23+V24+...)= V2
(Vn1+Vn2+Vn3+..) = Vn yazılırsa
WE= ½ (Q1V1+Q2V2+..+QnVn) yazılabilir
WE= ½ k=1N Qk Vk [J] Vk=1/40
N
j=1
Qj/Rjk
Sürekli Yükler İçin Enerji:
WE =1/2V’gVdv
Örnek: b yarıçapında g hacimsel yük dağılımına sahip kürenin enerjisini bulunuz.
WE= g/2 V’V dv =G/2 abV 4R2 dR
V’nin iki ayrı bölgede belirlenmesi lazım
(1) E1 =ar ER1
R=  R=b
ER1 =ar Q/40R2 = ar gb3/30R2
(2) E2 =ar ER2
R=b  R=0
ER2 =ar Q/40R2 = ar gR/30
V= -RE ar dR = -[bER’ dR +bRER2 dR]
= -[ bg b3/30R2 dR +bRgR/30 dR]
=g/30 (b2+b2/2 –R2/2) =g/30(3/2 b2 –R2/2)
WE =g/2 0bg/30 (3/2b2 –R2/2)4R2 dR  WE = 4g2b5/15 0
Alan Büyüklükleri Cinsinden Elektrostatik Enerji :
WE= ½ V’gVdV =1/2 V’(.D)V dV
.(V D) = V .D + D. V 
(.D)V =  .(VD)-D-V
WE=1/2 V’(.VD)dV –1/2 V’D.EdV
E=-V idi
WE=1/2 V’VD.an dS +1/2 V’D.E dV
WE=1/2 V’D.E dV [J]
V1/R D  1/R2
D=E (lineer basit toplam)
Yandaki şekildeki kapasitede depolanan enerjiyi bulun.
E=V/Dd ise C=Q/V= ES/d
E=gs/ =Q/S
V= Q d/ES =Ed
WE=1/2V’(V/d)2.dV=1/2 (V/d)2 Sd =1/2(S/d)V2
[J] ve Q=C  V 
WE 
Q2
2C
[J]
WE 
1
QV
2
[J] ve C=
Q
V
Bu sonuçlar herhangi herhangi iki iletkenli kapasite içinde geçerli-
dir.
 
D
  ds
Q S
   
V  E  dl
C
L


  .E  ds
S


 E  dl
L
+Q
-Q
V1
V2
Kapasitenin enerjisi : WE =
1
V1Q  V2  Q   1 V1  V2 Q  1 VQ
2
2
2
+Q
-Q
Q=CV

i
dQ
dt
i
+
v(t )
i
d CV 
dV
C
dt
dt
Devre teorisinde kullanılan formül.
ÖDEV: ω genişliğinde ve L uzunluğundaki paralel levhalı kapasite kısmen dielektrik sabiti
 r olan malzeme ile doldurulmuştur.Levhalar arasına Vo voltluk gerilim
uygulanmıştır.Levhalar arası mesafe d’dir.
a) Her bir bölgede D,E ve  s ’i
b) Her bir bölgede depolanan enerjiyi eşit yapan x mesafesini bul.
L
ÖDEV: Q yüklü b yarıçaplı iletken kürenin depoladığı enerjiyi bulun.
a) W E 
1
QV ’den
2
b) WE 
1
  E 2 dv ’den hareketle bulun.İki sonucun da aynı

2V'
olduğunu gösterin.
Dielektrik Malzemelerin Statik Elektrik Alandaki Davranışı.
İdeal dielektriklerin içinde serbest yük yoktur. Ama dielektrik malzemenin içinde bağlı
yükler (bound charge) vardır.Bu bağlı yüklerin elektrik alana bir etkisi sözkonusudur. Her molekül
elektron ve delikten oluşur. Elektrik alanı içinde proton ve elektronlar dipol gibi davranır.Zira elektrik
alanı tesiri ile birbirinden kısmen uzaklaşırlar.
Bazı dielektrik malzemede elektrik alanı uygulanmamış
olsada kalıcı dipol momentine sahiptirler.Bu tip
moleküller kutuplu moleküller olarak adlandırılır.Kutuplu
C 
 m 
moleküllerin dipol momentleri 10 30 
seviyesindedir.Dış bir elektrik alanı uygulanmadığı sürece
maddenin içinde mevcut ve rastgele dağılmış
dipoller,makroskobik ölçekte net bir dipol momentine
sahip değildirler.Fakat bu tip malzemeye de elektrik alanı
uygulandığında kutupsuz moleküllerde olduğu gibi
elektrik dipollerinin elektrik alanı etkilemesini bekleriz.
Kutuplanmış(Polarize edilmiş) Dielektriklerdeki Eşdeğer Yük Dağılımı.

İndüklenen dipollerin makroskobik etkisini analiz etmek için Polarizasyaon vektörü P
tanımlayalım.

P  lim
v 0
nv

 pk C / m 2


p  qd (dipol momenti)

k 1
n:birim hacimdeki atom sayısıdır .
dv’ birim diferansiyel hacimdeki diferansiyel dipol momenti
 
dp  Pdv ' .böyle bir dipol momentide aşağıdaki gibi bir diferansiyel potansiyel oluşmasına neden
olur.(dipolün potansiyeline bak)
 
P  aR
Hatırlatma: -(+) q  V 
[V]
4 0 R 2
 
P  aR
dv
dV 
V’ hacmi içinde integrasyon yaparsak polarize edilmiş dielektrik
4 0 R 2
nedeniyle oluşan potansiyeli bulabiliriz.
 
P  aR
V
dv'
40 V' R 2

 1  aR
Hat:    2
R R
1
V 
 


1
P
 ' ( )dv'

4 0
R
1


Hat: ' fA  f' A  A  ' f



A  ' f  ' fA  f' A
 
A  P ve f=1/R yazılırsa


P
1 
'P 
V 
dv'
 ' dv' 
4 0 V'  R 
R

V'
Diverjans teoremi
 
P  aR
1
1
V
ds' 

40 s ' R
40
V 
1
4 0

s'
s
R
ds '
1
4 0

v'

 'P
v' R dv'
v
R
karşılaştır
dv'
Karşılaştırma sonucu polarize edilmiş dielektrik nedeniyle oluşan elektrik potansiyeli meydana getiren
yüzeysel ve hacimsel bağlı yük (serbest yük değil) dağılımı bulunur.
 

ve  p    P
 ps  P  a n
Bunun manası ise alan hesaplamalarında polarize dielektrik malzeme yerine eşdeğer yüzeysel bağlı
yük yoğunluğu
 ps
ve eşdeğer hacimsel bağlı yük yoğunluğu
 1
  E     p 
0


 
  0E  p = 
 p varmış gibi hesap yapılmalıdır.

 p    P



  D   C / m2


 
D  0E  p
[C/ m 3 ]

   Ddv     dv
v

 D  ds  Q

v
[C]
s
Eğer ortam lineer ve izotropik ise



 


P  0 x e E
D   0 E  P   0 E   0 xe E




D   0 1  xe E   0 r E    E C / m 2


bağıl dielektrik sabiti


D  E
Not edelim ki  r uzay koordinatlarınınn fonksiyonu olabilir.Ama  r pozisyondan bağımsızsa ortam
homojen demektir.Lineer ,homojen ve izotropik ortama ise basit ortam denir.
Örnek:
Küresel dielektrik zırhın merkezinde noktasal Q yükü vardır. Dielektrik zırhın



bağıl dielektrik sabiti  r dir.buna gore E , V , D ve P ’yi R’nin fonksiyonu olarak bul.İç
yarıçap Ri ve dış yarıçap da R0 ’dur.
 


P  D   0 E   o  r  1E
Q
Q
E R1 
V1 
2
4 0 R
4 0 R
Q
DR1   0 E R1 
PR1  0
4R 2
(a) R  R0
Q
(b) Ri  R  R0
ER2 

1
PR 2  1 
 r
R0
R

R0
Q
4 0  r R
2

Q
4  R 2
DR 2 
Q
4  R 2
 Q

2
 4R
V2    E R1  dR   E R 2  dR  V1
R
Q
1
dR

4 R0 R 2
R=R 0
V2 =
c)
Q 
1
1 
4 0   r
R< Ri
 1
1 


 [V]
 R0  r  R 
Q
Q
DR 3 
E R3 
2
4  R 2
4 0  R
R
V3  V2

- E R 3 dR 
Rii
Q 
1
1 
4 0   r
PR 3  0
 1 
1

 1 
 R0   r
 1 1
  
 Ri R 
R  Ri




 ps  P  an  P  a R   PR 2
İç yüzeyde :
=  1 

1 Q

 r  4  Ri 2
R  Ri
Dış yüzeyde:
 
 ps  P  a R
= PR 2
R  Ro

= 1 

1 Q

 r  4  R0 2
R  R0

PR
R
R
V
R
Ortamların Sınıflandırılması
I . Sınıflandırma ( Lineerliğe Göre)
1- Lineer ortam : D ile E arasından Lineer bir bağlantı var.
Ör:D
b
D;   E (r ,  )d
= ( x, y, z) E
a
2 – Nonlineer Ortam : D ile
Ör : D  3E 3  5 E
Dile
Eaynı yönde
Ör : D   0 E
2. Anizotropik ortam:
Ör:
D1  E1;
J 1
arasından
Lineer bir bağlantı var.
E
II.Sınıflandırma (İzotropikliğe Göre )
1.İzotropik Ortam :
3
Di ;  E ij E j
D2  Etarzında
2
 D1   11  12  13   E1 
 D   
 
 2   21  22  23   E 2 
 D3   31  32  33   E3 
III. Sınıflandırma ( Belllekli Olup Olmamasına Göre )
1. Bellekli Ortam : D İle E arasındaki bağıntı ortamın daha önceki durumuna bağlı ise
( Yani sistemin geçmişi ortamı belirliyor.)
2. Bellleksiz ortam :
D ile
E arasındaki bağıntı ortamın geçmişine bağlı değil.
IV Sınıflandırma ( Homojenliğe Göre )

1. Homojen ortam :
her yerde aynı ise
2. Homojen Olmayan Ortam :
her yerde aynı değil

Basit Ortam : Lineer, İzotopik ve homojen bir atomdur.
Elektrostatik Alanlarda Sınır Koşulları
lim
   
E
 .d l  E1 .w


 E1 .(w)
h o abcda
=Elt w  E 2 t w  0
E1t=E2t [V/m]
Elektrik alanın teğetsel bileşeni süreklidir.
D1t D 2 t

1
2
Gauss Kanunu uygulanırsa
 

 D.ds  (D .a
1
n2
 
 D 2 .a n1 )S  g s S


a n1  a n 2
s



 a n 2 .(D1  D 2 ) s  g s 5



a n 2 .(D1  D 2 )  g s  Dln  D 2n g s

D vektörünün normal bileşeni süreksizdir. Süreklilik gs’in miktarı kadardır.
Eğer 2 ortam iletken ise D2=0 ve Dln = 1 E ln  g s dir.
Her iki ortamda didektrik ise ara yüzeyde serbest yükler oluşum yapacağından gs=0
Dln=D2n
l E ln 2 E 2n bulunur.
Elektrostatik Alanın sağlaması gereken sınır koşullarını genel olarak yazarsak
Teğetsel Bileşenin E1t = E2t
Örnek: Dielektrik sabitleri 1 ve 2 olan iki ortam aşağıdaki şekildeki gibi üzerinde
yüzeysel yük dağılımı olmayan bir yüzeyle birbirinden ayrılmışlardır.1. ortamdaki P 1
noktasındaki elşektrik alanın genliği E1 ve normalle 1 lik bir açı yapmaktadır.2.
ortamda P2 noktasındaki elektrik alan genişliği E2 ve normalle yaptığı açı 2’yi
bulunuz.
Elektrik alanın teğetsel bileşeninin sürekliliğinden
E2.sin2 = E1 sin1 (1)
Ve s= 0 için elektrik akı youğunluğu vektörü bileşeni de sürekli olur.
2E2 cos2 = 1 E1 cos 1
(2)
1. ve 2 . ifadeler birleştirilirse ; tan2/tan1=2/1
E2 ‘nin
E2 = (e2t)2+(e2n)2 = (e2sin2)2 + (e2 cos 2)2
E2 = [(E1sin1)2+ (1/2 E1cos1)2]1/2
E2 = E1 [ sin21 + (1/2 cos 1)2]1/2
44-2
Hatırlatma: Sonsuz  uzunluğundaki hattın D’sinin bulunması.
D.ds=Q
L
>
D.2rK=.K
r
D= 
2r
İletken bir kürenin yanında bulunan noktasal Q yükünün alanının bulunması
Ödev:Bir noktasal Q yükü topraklanmış a yarıçaplı iletken kürenin merkezinden d uzaklığa
yerleştiriliyor.(d>a)
a)kürenin yüzeyünde endüklenen yük dağılımını (s)
b)kürenin üzerindeki (endüklenen) toplam yük miktarını (Q) bulunuz.
ÖDEV : Aşağıdaki şekildeki iletken materyalin iki yüzeyi arasındaki direnci hesaplayınız.
V=0 Ø=0
V = 0 Ø = Π/2
d²V/d ز = 0
R = Π/2 G h ln(b/a)