İLKÖĞRETİM 1. KADEME MATEMATİK EĞİTİMİNDE HANGİSİ

İLKÖĞRETİM 1. KADEME MATEMATİK EĞİTİMİNDE HANGİSİ?
KÜTLE Mİ, AĞIRLIK MI?
Murat SÖNMEZ
Orta Doğu Teknik Üniversitesi, MYO, ANKARA
ÖZET: Ülkemizde ilköğretim 1. kademe matematik derslerinde, öğrencilere günlük hayatta alınan, satılan, yenilen,
paylaşılan v.b. şeylerin miktarları ile ilgili hesaplamalar yapma becerilerinin verilmesi amacına yönelik olan, ölçüler
hakkındaki kısımlar, Milli Eğitim Bakanlığı’ ca belirlenmiş olan ders programları gereğince, son yıllarda kütle kavramı
kullanılarak işlenmektedir. Özellikle de ikinci ve üçüncü sınıf öğrencileri için hazırlanan ders kitapları ve notlarında konu
öğretiminde görsellik bir zorunluluk olduğundan, yazılı kısmın yanında söz konusu mal ne ise onu tartı aleti ile miktarı
ölçülürken gösteren bir de resim/ fotoğraf verilmektedir. Ancak, günlük hayatta ve geleneksel mühendislik hesaplamalarında
ağırlık ölçüm birimi olarak, çağdaş bilimsel ve teknolojik hesaplamalarda ise kütle ölçüm birimi olarak aynı birim ifadesinin,
[ kg ], kullanıldığı Türkiye gibi bir ülkede henüz daha kütlenin ne olduğunu, ağırlıkla arasında ne fark bulunduğunu
öğrenmemiş olan 1. kademe öğrencileri için bu çeşit görsel döküman, tartı aletleri ile esasen doğrudan kütle ölçülemeyeceği
için son derece yanıltıcı olmakta ve kütle ile ağırlık kavramlarını karıştırmalarına, birbiri yerine kullanılabilir sanmalarına ve
ileride örneğin mühendislik öğrenimi ve uygulamalarında da kütle olarak verilen değeri ağırlık olarak ele almalarına yol
açabilmektedir. Bu bildiride, gerekli fizik kanunlarını öğrenmemiş 1. kademe öğrencilerinin matematik derslerinde kütle
değil, eskiden olduğu gibi ağırlık kavramının kullanılmasının uygun olacağı vurgulanmaktadır.
1.AĞIRLIK VE KÜTLE KAVRAMLARI
Bir cismin ağırlığı, o cismin her zerresine dünya tarafından uygulanan çekim kuvvetlerinin
bileşkesidir. Ağırlık bir vektördür. Bu bileşke kuvvetin, dünyanın merkezine yönelik bir doğrultusu, ve
cismin sahip olduğu madde miktarı ile orantılı bir büyüklüğü vardır. Ağırlığın ölçme birimi kuvvet
büyüklüklerini ölçme/kıyaslama da kullanılan birimdir. Bu, Uluslararası Birim Sisteminde ( Syste’me
International d’Unites, SI Units) “ Newton” [N], geleneksel Amerikan birimler sisteminde “pound”
[lb], İngiliz birimler sisteminde “ poundal”, geleneksel Türk birimler sisteminde “kilogram” [kg] dır.
Kütle, bir cismin eylemsizliğinin ölçülmesi/kıyaslanmasında kullanılan bir kavramdır.
Eylemsizlik ise, cismin hızındaki değişimlere gösterdiği bir dirençtir. Cismin eylemsizliği onun
özelliklerinden biridir. Bir cismin hızı o cisme dengelenmemiş bir kuvvet uygulanması halinde
değişebilir. Bir cismin eylemsizliği ile o cismin sahip olduğu madde miktarı arasında doğru orantı
olduğu için, bazı yazarlar kütleyi, cismin sahip olduğu madde miktarının bir ölçüsü olarak tanımlarlar.
Einstein’ nın ünlü eşitliği, E= m c2 ifadesine göre ise kütle enerjidir! Kütle için henüz daha pratikte
kullanılabilir atomik bir ölçüm birimi standardı bulunmamaktadır. Günümüzde uluslararası kütle
kıyaslama standardı, kütlesi, +4[0C]da 1 [dm3] suyun kütlesine eşit olan platin-iridyum alaşımından
yapılmış bir silindirin kütlesidir. SI birim sisteminde, kütle temel bir kavramdır ve ölçü birimi
kilogram [kg]dır. İngiliz birimler sisteminde kütlenin standard birimi pound [lb] dur. Geleneksel
Amerikan birimler sisteminde pound kuvvet birimi olduğundan, İngiliz kütle birimi ile Amerikan
kuvvet biriminin karıştırılmaması için bilimsel/ mühendislik hesaplamalarında birim indisli olarak,
lbmass , lbforce şeklinde kullanılır. Amerikan birimler sisteminde, 1[lb]’ luk kuvvetin büyüklüğü, kütlesi
1[lb] olan cisme dünyanın uyguladığı çekim kuvvetinin büyüklüğü olarak alınır. Yani kütlesi 1[lbmass]
olan cismin ağırlığı 1[lbforce] dur. Benzer şekilde, günlük yaşamda hala kullanılan geleneksel Türk
birimler sisteminde kuvvet birimi kilogram [kg] dır. Ağırlık da bir kuvvet olduğu için ağırlığın da
birimi [kg] dır. Bu standard kuvvet birimi, kütlesi 1 [kg] olan bir cismin ağırlığı olarak alınır. Kütle ve
kuvvet birimleri için aynı kelimenin kullanıldığı ülkelerde kütle ve ağırlık kavramlarının karıştırılması
ve birbirinin yerine kullanılabilir zannedilmesi daha olasıdır. Bu yanılgı, bir tartı aletinin doğrudan
kütle ölçüm cihazı olduğu yanlış bilgisi ile yetiştirilme durumunda ( ki şu anda Türkiye’de 1. kademe
matematik dersleri ölçüler kısmında farkında olunmadan bu yapılmaktadır) kaçınılmaz olabilecektir.
1.2 Ağırlık ve Kütle Arasındaki Bağıntı
Newton’un çekim kanununa göre, kütleleri M ve m olan iki cisim birbirlerini karşılıklı olarak zıt
yönlü, F ve -F kuvvetleri ile çekerler. Bu kuvvetlerin eşit olan büyüklükleri, aşağıdaki ifade
kullanılarak bulunabilir:
F= G
Mm
2
r
(1)
Burada, r, cisimlerin kütle merkezleri arasındaki uzaklık, G ise orantı katsayısıdır. Bu kanunun
bir uygulaması olarak, cisimlerden birisi M kütlesinde dünya, diğeri ise hacmi dünyanınkine göre çok
küçük olan ve dünyanın yüzeyi civarında bulunan bir cisim ele alındığında, r uzaklığı dünyanın
yarıçapı olarak alınabilir. Bu durumda yukarıdaki ifadedeki GM/r2 kısmı belirli bir değere eşit olmakta
ve uygulamada bu kısmın değeri yer çekimi ivmesi, g , olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımlama ile
dünyanın cisme etki ettirdiği kuvvetin büyüklüğü mg şeklinde yazılabilmektedir. Literatürde
dünyanın cisimlere uyguladığı çekim kuvveti için W harfi kullanıldığı ve bu kuvvete o cismin ağırlığı
adı verildiğinden, bir cismin ağırlığı ile kütlesi arasındaki ilişki,
W=mg
(2)
olarak yazılmaktadır. Burada g’ nin değeri, ağırlığı söz konusu olan cismin dünyanın yüzeyinden olan
uzaklığına bağlıdır. Eğer cisim dünyanın yüzeyinden, dünyanın yarıçapına göre ihmal edilemeyecek
uzaklıklara hareket ediyorsa bu değer sabit olarak ele alınamaz. Örneğin kütlesi 74 [kg] olan bir
adamın deniz seviyesinde bir tartı aleti üzerinde dururkenki ağırlığı 726 [N] iken, bu adam 6400 [km]
yükseklikte aynı şekilde tartıldığında ağırlığı 181 [N] olmaktadır. Görüldüğü gibi kütlesi değişmeyen
bir cismin böyle bir durumda ağırlığı değişebilmektedir. Bu değişkenlik bir sonraki kısımda başka
durumlar ele alınarak daha ayrıntılı olarak irdelenecektir.
2. AĞIRLIĞIN ÖLÇÜLMESİ
Uygulamada yaygın olarak kullanılan ağırlık ölçme yöntemlerinde tek kefeli mekanik/
elektronik göstergeli tartı aletleri ya da eşit kollu, iki kefeli tartı aletleri kullanılmaktadır. Tartı aletleri,
tartılan cismin kütlesini değil, o cismin üzerinde bulunduğu kefeye uyguladığı kuvvetin büyüklüğünü
algılayabilir. İlk olarak basit bir yaylı tartı aletini ele alalım ( Şekil 1). Bu tür bir tartı aletinin esas
elemanı, ucuna ağırlığı ölçülecek cismin takıldığı bir yaydır. Cismin uyguladığı kuvvetin etkisiyle olan
yayın uzama miktarı, bu kuvvetin büyüklüğü ile orantılı olduğundan, uzamanın ölçülmesi ile cismin
→
→
Fyay
A
yay
mezur
FA
+G
→
Fcisim
→
W
Ağırlığı
ölçülecek
cisim
(a)
(b)
(c)
Şekil 1. (a) Yaylı terazi, (b) ağırlığı ölçülen cismin serbest cisim diyagramı, (c) yayın serbest cisim diyagramı.
(Fyay: yayın cisme uyguladığı kuvvet, W: cisme dünyanın uyguladığı çekim kuvveti, Fcisim: cismin yaya
uyguladığı kuvvet, FA: yayın diğer ucuna, yayın tartı aletinin gövdesine bağlandığı noktada etki eden kuvvet,
G: cismin kütle merkezi)
ağırlığı tespit edilebilmektedir. Cismin, Şekil1b’de verilen serbest-cisim diyagramı için kuvvetlerin
dengesi denklemi, ( ΣF=0), yazılırsa buradan Fyay= W elde edilir. Newton’un 3. kanununa göre, cismin
yaya uyguladığı kuvvet, Fcisim , yayın cisme uyguladığı kuvvete, Fyay , eşittir. Bu kuvvetlerin
doğrultuları aynı, yönleri ise zıttır(etki-tepki kuvvetleri).Yay denge konumuna geldiğinde, Fcisim aynı
zamanda FA kuvvetine de eşit olur. FA ve Fcisim kuvvetlerinin etkisiyle (Şekil 1c), doğrusal karakterli
bir yayın, yüksüz durumundakine göre boyundaki uzama ∆L;
∆L=
Fcisim Fyay
W
mg
=
=
=
k yay k yay k yay k yay
(3)
eşitliğini sağlar. Burada, kyay yay sabitidir. Bu uzama miktarı, görüldüğü gibi kütle ile değil cismin
yaya uyguladığı kuvvetin büyüklüğü ile orantılıdır. Uzama miktarı mezur ile ölçülebilir ve eğer
ölçümün yapıldığı yer için geçerli olan yerçekimi ivmesi biliniyorsa yukarıdaki eşitlikten kütle
dolaylı olarak bulunabilir. Ya da mezur o yörede geçerli olan g’nin değerine göre kalibre edilebilir.
Tartım işlemi yukarıya doğru ivmeli hareket yapan bir ortamda, örneğin bir asansör içinde yapılırsa,
yukarıdaki eşitlikten kütle hesaplanamaz. Bu durumda cismin serbest-cisim diyagramı için hareket
denklemi yazılarak, Fyay= W+ mcisim aG cisim ifadesi elde edilir Yayın serbest-cisim diyagramı için ise
FA=Fcisim+myay aG yay eşitliği yazılabilir.(Burada, aG cisim: cismin kütle merkezinin ivmesi, myay: yayın
kütlesi, aG yay : yayın kütle merkezinin ivmesidir.) Yayın kütlesinin, cismin kütlesine göre ihmal
edilebilir olduğu durumlarda FA , Fcisim ‘e yaklaşık olarak eşit alınabilir ve ∆L için aşağıdaki ifade
yazılabilir:
∆L≅
W + mcisim aGcisim mcisim
=
( g+ aG cisim)
k yay
k yay
(4)
Böyle bir hareket halinde tartı aletinin kalibre edilmiş göstergesinden ya da mezur kullanarak ağırlığın
elde edilmesi mümkün olmamaktadır. Örneğin, kütlesi 74[kg], deniz seviyesindeki ağırlığı ise 726[N]
olan bir insanın 4[m/s2] lik bir ivme ile yükselen bir asansörde tartılması halinde tartı aleti kişinin
ağırlığını 1022[N] olarak gösterecektir. Esasında bu değer kişinin ağırlığı değil, o kişinin tartı aletine
uyguladığı kuvvetin büyüklüğüdür. Tek kefeli elektronik/mekanik göstergeli bir tartı aletinin de
çalışma prensibi aynı şekildedir ve göstergenin kalibrasyon bağıntıları için benzer şeyler söylenebilir.
Şimdi de birçoklarının “ kütle ölçümünde doğrudan kullanılabilir” diye bildiği, Şekil 2a daki
gibi eşit kollu, bıçak sırtı destekli bir tartı aletini, eş kefelerinden birinde ağırlığı ölçülecek cisim
diğerinde ise standard ağırlıkla birlikte ele alalım: Şekil 2 deki kuvvetlerden W dünyanın cisme
uyguladığı bileşke kuvveti (yani ağırlığını); FC, C kefesinin cisme uyguladığı bileşke kuvveti; Fcisim,
cismin C kefesine uyguladığı kuvveti (Newton’un 3. Kanununa göre Fcisim ve FC etki-tepki
kuvvetleridir.); Wkefe C, C kefesinin ağırlığını; FA, terazi kirişinin kefeye A noktasında uyguladığı
kuvveti; FD, D kefesinin standard ağırlığa uyguladığı kuvveti; WSA, standard ağırlığın ağırlığını; Wkefe
D, D kefesinin ağırlığını; FSA, standard ağırlığın kefeye uyguladığı kuvveti ( FD ve FSA etki-tepki
kuvvetleridir); FB, terazi kirişinin sağ kefeye B noktasında uyguladığı kuvveti; Fsol kefe, sol kefenin
terazi kirişine uyguladığı kuvveti; Fsağ kefe, sağ kefenin terazi kirişine uyguladığı kuvveti ( Fsol kefe ile FA
ve Fsağ kefe ile de FB etki-tepki kuvvetleridir); Fo ise terazi gövdesinin kirişe uyguladığı destek kuvvetini
göstermektedir. Şekil 2b ve c deki serbest-cisim diyagramları için kuvvetler denge denklemi yazılarak
sırasıyla FC=W ve FA=Fcisim+Wkefe C eşitlikleri elde edilir. Newton’un 3. Kanununa göre Fcisim=FC
olduğundan FA= W+Wkefe C şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde Şekil 2d ve e deki serbest-cisim
diyagramları için kuvvetlerin dengesi denklemi yazılarak ve FD ile FSA nın, FA ile Fsol kefe nin ve FB ile
de Fsağ kefe nin etki-tepki kuvvetleri olduğunu göz önüne alınarak, Fsol kefe=W+Wkefe c ve Fsağ kefe=
WSA+Wkefe D şeklinde ifade edilebilir.Terazi kirişinin Şekil 2f de gösterilen serbest-cisim diyagramı
için momentlerin dengesi denklemi yazılırsa;
→
Σ M =0
AO Fsol kefe= BO Fsağ kefe ya da AO (W+Wkefe C) = BO (WSA+Wkefe D)
(5)
elde edilir. Kirişin kol uzunlukları eşitse ve kefe ağırlıkları aynı büyüklükte ise, yukarıdaki eşitlikten
W= WSA olarak elde edilir.( Bu durumda kiriş yatay konumda durur.) Yer çekimi ivmesi her iki cisim
için de aynı olduğu için bu eşitliğin her iki tarafı g’ye bölündüğünde kütlelerin eşitliği elde edilir.
Dikkat edilirse yukarıdaki kuvvet analizlerinde terazinin bulunduğu ortamdaki akışkanın
(örneğin atmosferik hava) kaldırma etkisi ihmal edilmiştir. Bir akışkanın, çevrelediği cisme uyguladığı
kuvvet sisteminin, cismin hacim merkezi (sentroid)den geçen ve dünyanın merkezine göre radyal
doğrultulu olan, dünya yüzeyinden yukarıya doğru yönelik bileşkesi, akışkanın kaldırma kuvveti
olarak bilinir. Bu kuvvetin büyüklüğü cismin akışkan içinde kapladığı hacmin, akışkanın yoğunluğu
ve yer çekimi ivmesi ile çarpımına eşittir (Archimedes prensibi). Hassas bir ağırlık ölçümü
gerektiğinde, özellikle standard ağırlığın malzeme yoğunluğunun, tartılan cisminkine göre çok büyük
olduğu durumlarda, ve/ veya ortam akışkanının yoğunluğu büyük olduğunda ( örneğin sıvı suyun
yoğunluğu, ρsu , atmosferik havanın yoğunluğundan yaklaşık olarak 1000 kat daha fazladır) akışkanın
kaldırma kuvvetlerinin de analizde göz önünde bulundurulması gerekir. Bu yapıldığında şu çok
bilinen, “1[kg] demir mi ağırdır yoksa 1[kg] pamuk mu?”sorusunun, cevabı doğru olarak verilecektir.
Eğer hassas bir ölçüm yapılırsa demirden yapılmış standard ağırlığın olduğu kefenin aşağıya indiği
yani demir daha ağırmış gibi sonuç alındığı görülecektir. Bu deney de gösterir ki eşit kollu terazi ile
bile doğrudan kütle ölçümü yapmak mümkün değildir. Teraziler kütleyi değil, duyarlı kısımlarına
etkiyen kuvetin büyüklüğünü göstere -bilirler. Aşağıdaki kuvvet analizi bu gerçeği göstermektedir
(Şekil 3). Bu şekildeki serbest-cisim diyagramlarında görülen, Fkal. 1, ortam akışkanının ağırlığı
ölçülecek cisme uyguladığı kaldırma kuvvetini ( Fkal. 1= ρakışkan g ∀cisim dir. Burada ∀cisim, cismin
hacmidir.) , Fkal. 2 ise ortam akışkanının
→
FA
A
B
o
→
+G
Fcisim
→
W
C
→
D
Ağırlığı
ölçülen
cisim
FC
→
Standard ağırlık
(referans cisim)
Wkefe,C
(c)
(b)
(a )
→
FB
+G
B
A
O
→
WSA
→
FD
→
→
FSA
→
→
Fsolkefe
Fo
Fsagkefe
→
Wkefe, D
(d)
(f)
(e)
Şekil 2. (a) Eşit kollu terazi, (b) ağırlığı ölçülen cismin serbest-cisim diyagramı, (c) C kefesinin serbest-cisim
diyagramı, (d) standard ağırlığın serbest-cisim diyagramı, (e) D kefesinin serbest cisim diyagramı, (f) terazi
kirişinin serbest-cisim diyagramı.
standard ağırlığa uyguladığı kaldırma kuvvetini ( Fkal. 2= ρakışkan g ∀SA ‘dır. Burada ∀SA, standard
ağırlığın hacmidir.) göstermektedir. Bu kuvvetlerin de denge denklemlerinde kullanılmasıyla, standard
→
Styrofoam
blok
Standard
ağırlık
A
O
+
→
WSA
Wcisim
B
ρcisim ,∀cisim
(a)
→
Fkal .2
+G,C
→
D
C
Fkal .1
→
FkefeC
(b)
→
Fkefe, D
(c)
Şekil 3. (a) Eşit kollu terazide yoğunluğu standard ağırlığın malzemesininkine göre çok az olan bir cismin
tartılması, (b) ortam akışkanının kaldırma kuvvetinin de ele alındığı, cismin serbest-cisim diyagramı (buradaki c
harfi cismin hacim sentroidini göstermektedir) , (c) standard ağırlığın serbest-cisim diyagramı.
ağırlıkla kıyaslanan ağırlık arasındaki bağıntı aşağıdaki şekli alır:
Wcisim= WSA+ ρakışkan g (∀cisim - ∀SA)
(6)
Bu ifadeden anlaşılacağı üzere, terazi kirişinin yatay dengelenmiş konumu ağırlıkların eşit olduğunu
gösteremez. Sağ taraftaki ilave kısmın önemi ∀cisim∀SA olduğunda ve/veya ortam akışkanının
yoğunluğunun, ρakışkan, büyük olması halinde artacaktır.(Örneğin kütlesi 1[kg] olan styrofoam blok
atmosferik hava ortamında tartıldığında, cismin ağırlığı yaklaşık 0.5[N] kadar daha az zannedilecektir.
Bu ölçüm sıvı su içinde yapılsaydı ilave terimin değeri 390[N] kadar olacağından teraziyi dengelemek
mümkün bile olmayacaktı.)
3.SORUN VE SONUÇ
Yukarıda anlatılan gerçekler nedeniyle öğrenciye öğretilmesi gereken, tartı aletlerinin doğrudan
kütle ölçmediği, ölçülen şeyin aletin duyarlı kısmına etkiyen kuvvetin büyüklüğü olduğudur. Ancak
maalesef 1998 yılından sonra MEB nca yapılan bir değişiklikle (MEB İlköğ.Mat.Prg.,1998),
matematik derslerinin ölçüler kısmında öğrencilere, alınan, satılan, değiştirilen v.s. şeylerin miktarları
ile ilgili hesaplar yapma becerisi vermeye yönelik işlemlerin gösterildiği kısımlarda bu öğretimin kütle
kavramı kullanılarak yapılması istenmiştir. Özellikle küçük yaş grupları için matematik kitap ve ders
notlarının anlatım ve soru kısımlarında bir şekil ve/veya resim verilmesi bir zorunluluktur.
Alınan/satılan şeyleri tartı aletinde gösteren bu çeşit görsel elemanla ( Bkz. Şekil4.) birlikte sorulan
şey “şekilde görülen cisimlerin kütlesi ne kadardır?” şeklinde olduğunda öğrencilerde, hele özellikle
günlük hayatta ağırlık birimi olarak hala [kg] ın (ki bu 1. kısımda açıklandığı gibi SI sisteminde kütle
birimidir.) kullanıldığı ülkemizde, kütlenin ağırlıkla aynı şey olduğu, ve/veya tartının gösterdiği şeyin
kütlenin değeri olduğu yanılgısı oluşmaktadır. Henüz daha mekaniğin temel kavramlarını öğrenmemiş
1.kademe öğrencileri için matematik ders programlarında, bu nedenlerle kütle kavramı kullanılmamalıdır. Ortam akışkanının kaldırma kuvvetinin etkisinin önemsiz olabileceği durumlarda ya da tek
(a)
(b)
(c)
Şekil 4 İlköğretim Matematik kitaplarından alınmış bazı şekiller. (a) şeklinin sorusu, kişinin kütlesinin ne
kadar olduğu hakkındadır.(b) şeklinin verildiği soruda, terazinin göstergesine bakılarak elmaların kütlesinin ne
kadar olduğu sorulmaktadır.(c) şeklinin verildiği sayfada kişinin kütle ölçmekte olduğu telkin edilmektedir
(Çağlar, Doğancıoğlu, 1999),(Çetin, Cansu, Çalışkan, 1999).
kefeli terazilerde ayrıca ivmeli bir hareket sırasında tartım yapılmaması şartıyla, ancak ağırlığın
doğrudan ölçülmesinin olanaklı olması nedeniyle konularda ağırlık kavramı kullanılmalıdır. Bu
yapılırkende keşke günlük kullanımda da ağırlık birimi olarak [Newton] kullanılmaya başlansa ve
dolayısıyla sorular sorulurken “ kaç [kg]dır?” ibareleri yerine “kaç [N] dur?” denilebilse...
Unutulmamalıdır ki “ağaç yaşken eğilir!”. Çocuklarımıza kavramları doğru öğretelim,
yanılgıların oluşmasına yol açmayalım.
KAYNAKLAR
Ohanian, H.(1989). Physics.(2nd.Ed.,expanded). N.Y.: W.W.Norton&Company
Beer, F., Johnston, E.R. (1984).Vector Mechanics for Engineers.Singapore: McGraw-Hill Book Com.
MEB (1998). İlköğretim Okulu Programı. Ankara: İlköğretim G.M. MEB Yayınları.
ÇağlarM., Doğancıoğlu, Ü. (1999). Matematik Gezegeni, 3.Sınıf 6. sayı, (3. Basım), 5.Sınıf
5.sayı.Ankara: ODTÜ Geliştirme Vakfı Eğitim Yayınları.
Çetin,M., Cansu, Ş., Çalışkan, Z.(1999). İlköğretim Matematik Ders Kitabı, 3.sınıf.İstanbul: Başarı
Yayımcılık.