fonksiyonların limiti 05

Sayfa:2
GERİ
GERİ
Tanım: Bir x0  A = [a,b] alalım. f : A  R ye veya f : A -{x0}  R ye bir Fonksiyon
olsun Terimleri A - {x0} Cümlesine ait ve x0’a yakınsayan her ( xn) dizisi için (f(xn))
fonksiyon değerleri dizisi daima sonlu bir L  R sayısına yakınsıyorsa bu L sayısına f
f ( x)  L şeklinde gösterilir.
fonksiyonunun x0 noktasındaki limiti denir ve lim
xx0
Tanımdan da görüldüğü gibi limit noktasının Fonksiyonunun tanım
cümlesine ait olma zorunluluğu yoktur yani x0 noktasında fonksiyon
tanımsız olsa bile bu noktada limit mevcut ola bilir.
y
1
2
x
Yandaki şekilde x=2 için
fonksiyon tanımsız olmasına
rağmen aynı noktada
fonksiyonun limiti var ve
1’dir.
Örnek:
lim x3
x 2  2 x  15
?
x 3
Çözüm: x = 3 için f(x) tanımlı değildir. Yani x = 3 için kesrin pay ve
paydası sıfır olur ve sıfıt ile bölme tanımlanamaz, bu tanımsızlığı
ortadan kaldırdıktan sonra limite geçilir. x  3, x-3  0 olduğundan
pay ve paydayı x-3 ile bölelim.
x 2  2 x  15
( x  3)( x  5)
lim x3
 lim x3
 lim x3 ( x  5)  3  5  8 bulunur.
x 3
x 3
Sonuç:
Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktada limitinin
olması için o nokta da tanımlı olmak zorunda değildir.
y
f (x )
1.X değişkeni bir c noktasına azalan değerlerle
(yani sağdan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa
bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki sağdan
limiti denir ve lim xc f ( x) şeklinde gösterilir.
2. X değişkeninin c noktasına artan değerlerle (yanı
soldan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu
limite fonksiyonun x = c noktasındaki soldan limiti
denir ve lim xc f ( x) şeklinde gösterilir.

Bir f(x) fonksiyonunun limtinin olabilmesi için sağdan
ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
.
L
.
x
c  x
y
L
f (x )
x  c
x
Sağdan ve soldan limitler her zaman sürekli olmayan aşağıdaki dört çeşit
özel tanımlı fonksiyonlarda uygulanır.
1. Parçalı sürekli fonksiyonlar
2. Mutlak değer fonksiyonlar
3. İşaret fonksiyonlar
4. Tam değer fonksiyomlar
bu fonksiyonların dışındaki sürekli fonksiyonlardan sağdan ve soldan
limitler birbirine eşit olduğundan doğrudan limit alınır.
ÖRNEK1:
f :RR

f ( x)  

x 2  2 , x  3ise
3 x  4 , x  3ise
3- 3 3+
Yukardaki fonksiyonun tanımından da görüldüğü gibi 3’ün sağında
ve solunda fonksiyon değişik değerler almıştır. Bu kritik noktada
limiti bulalım:
lim x3 f ( x)  lim x3 ( x 2  2)  32  2  11
lim x3 f ( x)  lim x3 (3x  4)  3.3  4  5
lim x3 f ( x)  lim x3 f ( x) olduğundan
lim x3 f ( x)' in limiti mevcut değildir.
ÖRNEK2:
f :RR
2 x  1, x  3
f ( x)  
0, x  3
Fonksiyonunun x = 3 ve x = 4 noktalarında limitleri nedir?
ÇÖZÜM:
lim x3 f ( x)  lim x3 f ( x)  lim x3 (2 x  1)  2.3  1  5
lim x4 f ( x)  lim x4 f ( x)  lim x4 (2 x  1)  2.4  1  7
NOT: x’in 3 den farklı bütün değerleri için f(x) = 2x-1 olduğuna ve
limitlerinin bulunduğuna dikkat ediniz.
ÖRNEK1:
f : R  1  R
f ( x) 
1 x
1 x
ÇÖZÜM:
Fonksiyonunun x = 1 noktasında sağdan
ve soldan limitini bulunuz.
x
X
1-x
-
1
+
+
-
1-x
-(1 - x)
lim x1 f ( x)  lim x1 (1  x)  1  1  0
lim x1 f ( x)  lim x1 (1  x)  1  1  2
ÖRNEK2:
f : R  R, f ( x )  x 2  4
Fonksiyonun x = 2 noktasında sağdan ve soldan limiti
bulunuz. Bu noktadaki f(x)’in limiti var mıdır?
ÇÖZÜM:
X
-
x2 - 4
+
-2
2
+
-
+
-x2+4
x2-4
lim x2 f ( x)  lim x2 ( x 2  4)  22  4  0
lim x2 f ( x)  lim x2 ( x 2  4)  22  4  0
lim x2 f ( x)  lim x2 f ( x)  lim x2 f ( x)  0.
Yani x = 2 noktasında f(x)’in limiti vardır ve sıfırdır.
ÖRNEK1:
f : R  R, f ( x)  Sgn( x  3) Fonksiyonunun x = 3 noktasında
limitini araştıralım.
ÇÖZÜM:
X
x-3
-
3
+
-
+
-1
1
lim x3 f ( x)  lim x3 sgn( x  3)  lim x3 (1)  1
lim x3 f ( x)  lim x3 sgn( x  3)  lim x3 (1)  1
NOT: işaret fonksiyonların grafiklerinden de biliyoruz ki fonksiyonlar
işaret değiştirdiği kritik noktalarda soçrama yaptığı için sağdan ve soldan
limitleri farklıdır. Dolayısıyle bu noktada limitleri yoktur.
ÖRNEK2:
f : R   3  R
 x3
f ( x)  sgn 
 x3
Fonksiyonunun x = -3 noktasında
sağdan limitini bulunuz?




ÇÖZÜM:
 x3 
  lim x3 1  1
lim x3 f ( x)  lim x3 sgn 

x

3


X
-
-3
+
x+3
-
+
ÖRNEK3:
lim x0 (sgn x 
x
x
)
Limitini hesaplayınız
ÇÖZÜM:
lim x 0 (sgn x 
x
)  1  (1)  1  1  0 
x
x
lim x 0 (sgn x  )  0 ‘dır.
x
Tam değer fonksiynu  x  R için x’den küçük olan en büyük tam
sayıya tamdeğer x denir ve x sembolüyle gösterilir.
 
Tamdeğer fonksiyonunda limit bulunurken x  x x  1 oldığundan
sağdan yaklaşırken aynı değer alınır.
Soldan yaklaşırken aynı değerin bir eksiği alınır.
NOT: Limit alınıtken önce fonksiyon limit noktasında tanımlanır.
Sonra limite geçirilir. Çünkü tamdeğer fonksiyonu sabit fonksiyondur.
ÖRNEK1:
lim x2 3   3  x   ?
lim x2 3   3  1,99..   lim x2 3  1,1..  
lim x2 3  1  lim x2 2  2
ÖRNEK2:
f ( x)  x 2  4  sgn( 2  x)   x  2   x  lim x2 f ( x)  ?
ÇÖZÜM:
Önce fonksiyonu 2’nin sağ tarafındaki değerini bulalım.
X
-2
2
x2 - 4
+
-
+
2-x
+
+
-
lim f ( x)  lim x 2  ( x 2  4  1  0  x) 
lim x 2  ( x 2  5  x)  2 2  5  2  1dir.
LİMİT TEOREMLERİ: f : A  R, g : A  R Tanımlı iki fonksiyon ve
lim xa f ( x)  P, lim xa g ( x)  q olsun.
1. a)Sabit bir sayının limiti o sayıya eşittir.lim xa c  c
dir.
b)Sabit terim limitin dışına alınabilir.
i) t  R lim xa (txn )  t lim xa x n  ta n
ii) lim xa x n  a n , lim xa ( x n )  a n
n
n
n
iii) lim xa f ( x)  (lim xa f ( x))  p
2. Toplamın limiti, limitlerin toplamına eşittir.
lim xa ( f  g ) ( x )  lim xa f ( x)  g ( x)  lim xa f ( x)  lim xa g ( x)  p  q
ÖRNEKLER:
lim x3 (2 x  5)  2 lim x3 x  lim x3 5  2.3  5  1
lim x2 7 x  7 lim x2 x  7.2  14
lim x3 ( x  3x  1)  lim x3 x  3 lim x3 x  lim x3 1  3  3.3  1  1
2
2
2
 x  1  lim x2 ( x  1) 2  1 3
lim x2 

 3

 x  1  lim x2 ( x  1) 2  1 1
lim x2 20  x  lim x2 (20  x )  20  2  16  4
2
2
2
1.lim xa sin
x  sin a; lim xa cos x  cos a
lim xa tan x  tan a; (cos a  0)
lim xa cot anx  cot ana; (sin a  0)
sin x
x
 lim x 0
1
2. lim x 0
x
sin x
Sonuç:
sin Px p
sin px p
lim x0
 ; lim x0

qx
q
sin qx q
tan x
x
3.lim
 lim x 0
1
x 0
x
tan x
Sonuç:
lim x0
tan p p
tan px p
 ; lim x0

qx
q
sin qx q
ÖRNEKLER:
sin 3x
sin 3x
lim x 0
 3 lim x 0
 3.1  3
x
3x
2
2
2
sin x
sin x 
 sin x  
lim x0
 lim x0 
   lim x0
 1
2
x
x 
 x  
lim x0
3 sin 2 x
sin 2 x 
3 
 sin 2 x 3  
 lim x0 
.
   lim x0
 lim x0
  2.3  6
x. cos 2 x
x 
cos 2 x 
 x cos 2 x  
sin x
 sin x  x. cos x 
 sin x x. cos x 
lim x0 

 lim x0 cos x  1  1  2
  lim x0 
  lim x0
x
x 
x


 x
1) lim x2
2) lim x 1
x2  4
0
( x  2)( x  2)
  lim x2
 lim x2 ( x  2)  2  2  4
x2
0
( x  2)
2( x  1)
0
2( x  1)( x  1)
  lim x1
0
x 1
( x  1)
 lim x1 ( x  1)  2( 1  1).2.2  4
3) lim
x 3
 lim x 3
x 3  27
0
  lim x 3
2
x 9
0
x 3  33
x 2  32
( x  3)( x 2  3 x  9)
32  3.3  9

( x  3)( x  3)
33
27
9 3 2



6
2
2
Bu tür belirsizlikleri dizilerdeki gibi sadeleştirme işlemiyle ortadan
kaldırabileceğimiz gibi aşağıda göstereceğimiz pratik yolları da kullanabiliriz
lim x
a1 x p  a2 x p 1  ....
b1 x q  b2 x q 1  ....
şeklindeki bir limitte
i) Eğer p=q ise yani iki polinomun dereceleri eşitse limitin a1/b1 dir. Başka bir
deyişle limit en büyük dereceli terimlerin önündeki katsayıların oranıdır.
2 x  3x 2
3


ÖRNEK: lim x
2x2  5
2
ii) p<q ise yani paydanın derecesi payın derecesinden büyük ise limit sıfır dır.
ÖRNEK: lim x
3x  1
3x  1

0
,
lim
0
x  
3
2
x  2x
x x
iii) p>q ise yani payın derecesi paydanın derecesinden büyükse limit  veya  
dur. ÖRNEK: lim x
x 3  3x
 ()31  () 2  
x 3
ÖRNEK:
lim x
2 x  3  6 x 2  5x  2
 lim x
3x  4
 lim
x 
5 2
2x  3  x 6   2
x x
3x  4

3
5
2 
x 2   6   2 
x
x
x 

4

x 3  
x

20 600 2 6


30
3
(a  b)( a  b) a 2  b 2

Bu tür belirsizliklerin giderilmesi için a  b 
eşitliğinden
ab
ab
yararlanacağız.
ÖRNEK:

lim x 2 x  2 x  2 x  3
 lim x
2
2
 2x  2x 
 lim x 
2

2 x  3  2 x  2 x 
2
2
2x2  2x  2x2  3
2 x 2  2 x  (2 x 2  3)
2
3 

2
x 2    x 2  2 
x
x 


2
2x  3
2

Devamı:
 lim x 
 lim

x 
2x  3
2
3
x 2  x 2 2
x
x

x

3

x 2  
x

2
3 
2   2  2 
x
x 
20

20  20
2
2
2


2
2 2 2 2
lim x p( x)
İfadesinin limitini araştırırken önce p(x)’in derecesi belirlenir.
i) p(x)’in derecesi çift ise
lim x p( x)  
ii) p(x)’in derecesi tek ise lim x p( x)   lim x p( x)  
lim x (an x n  x n 1  ....  a1  a0 )  lim x an x n dir yani sadece en büyük
üslü terinim limitini almak
yeterlidir.
ÖRNEK:
lim x (3x 5  2 x 3  x 2  4)  lim x 3x 5  
lim x
2 1
4

x  3  2  3  5   .3  
x
x
x 

5
Tanımı: f(x) fonksiyonu x = a noktasında
aşağıdaki 3 şartı sağlıyorsa o noktada
süreklidir.
i) f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı
olması
ii)  lim xa f ( x)  L limiti olmalı
iii) lim xa f ( x)  f (a)  L olmalıdır.
f ve g fonksiyonları x = a noktsında sürekli iki fonksiyon olduğuna göre:
 R
1)
olmak üzere  .f fonksiyonu da x = a noktasında süreklidir.
2) f+g, f-g, f.g fonksiyonlar da x = a noktasında süreklidir.
3) g ( a )  0 olmak üzere: f/g, 1/g, -g fonksiyonları da x = a noktasında
süreklidir.
4) fog, f , n f , f n fonksiyonlarda x = a noktasında süreklidir.
ÖRNEK:
f :R R
fonksiyonu
 x  1, x  0 Şeklinde tanımlanan f(x)
fonksiyonu x = 0

noktasında sürekli olması
f ( x )  a , x  0
için a ne olmalıdır.
 x 3  1, x  0

ÇÖZÜM:
i)
ii)
f ( x), x  0
noktasında tanımlıdır.
lim x0 f ( x)  lim x0 ( x3  1)  1
lim x0 f ( x)  lim x0 ( x  1)  1
f (0)  a  lim x0 f ( x)  1
eşitliğinde a = 1 dir.
SORULAR:
1.
3

lim x  1  5    ?
x

a)2
b)5
c)6
d)8
e)10
2.
 x 2  7 x  10 
  ?
lim x2 
x2


a)-5
b)-3
c)-2
d)3
e)7
x2 

3. lim x 2 
?
 3  2x  5 
a)-3
b)-1
c)0
d)1/2
e)3
x 1
4. lim x 1
?
1 x
a)2
b)1
c)1/2
d)-1
e)-2
x
3 , x 1
5.

f : R  R, f ( x)  0, x  1  lim x1 f ( x)  lim x1 f ( x)  ?
1
 , x 1
3
a)-1/3 b)0 c)1/3 d)2/3 e)1
3  x,2  x  1

 lim x1 f ( x)  lim x1 f ( x)  ?
6. f :  2,3  R, f ( x)  0, x  1
2 x  1,1  x  3

a)3 b)2 c)-1 d)0 e)-2
7.
2 x  1, x  0

f : R  R, f ( x)  0, x  0
 lim x0 f ( x)  ?
 x 2  1, x  0

a)1 b)2 c)1/2 d)0 e)-1
 x2  1
8.
 x  1 , x 1


f ( x )  1, x  1
 x  1, x1



9.
f ( x )  x  x... limh 0
2
İse lim x1 ifadesinin değeri nedir?
a)3 b)2 c)1 d)0 e) 
f ( x  h)  f ( x)
h
İfadesinin eşiti nedir?
a)2 b)x-1 c)2x-n d)-2x+1 e)2x-1
10.
limx 0 
 2x

2 x

x
3x

 ?


a)0 b)3 c)3/5 d)-2 e)-3
11.
lim
2 x   x 
3
x 3
?
a)0 b)3 c)9 d)18 e)27
 4  x 2 sgn( x  2)

2

lim x2

 3x  ?
 x2

x  x 


12.
a)23/3 b)45/3 c)27/16 d)1/3 e)16
13.
lim x 0 

 x
 x



2

 x  2 x2  2   ?




3
a)-4 b)-2 c)-1 d)0 e)2
14.
lim x2
15.
16.
lim x1
sin x  2
?
sin( x  2)
sin  x  1 
?
sin( x  2) 
 1 
lim x1 
?
 x 1 
a)2 b)1 c)0 d)-1/2 e)-2
a)0 b)-1 c)sin1 d)-sin1 e) 
a)-1/2 b)0 c)   d)  e)limit yok
17.
lim x
3  4x
?
2x  7
lim x
x2  2 x  3
?
3
x x4
a)   b)3/2 c)3/7 d)-2 e)-3
18.
a)2 b)1 c)0 d)-1 e) 
3
3

lim x1  5    5 
 53  8
x
(1)

Cevap:D
Geri
lim x2
x 2  7 x  10 2.2  7.2  10
0


x2
22
0
Belirsizlik olduğundan çarpanlara ayırarak belirsizlikten kurtaralım.
( x  2)( x  5)
lim x2
 lim x2 ( x  5)  2  5  3
( x  2)
Cevap:B
Geri
x2
22
0
lim x2


0
3  2 x  5 3  2.2  5
Şeklinde bir belirsizlik vardır. Çarpanlara ayrılmadığından
ifadenin pay ve paydasını 3  2 x  5 ile çarparak bu
belirsizlikten kurtaralım.
lim x2
( x  2)(3  2 x  5 )

(3  2 x  5 )(3  2 x  5
 lim x2
( x  2)(3  2 x  5)
( x  2)(3  2 x  5 )
 lim x2
9  (2 x  5)
 2( x  2)
3  2 x  5 3  2.2  5
 lim x2

 3
2
2
Cevap:A
Geri
x 1
0
lim x1

0
1 x
Belirsizliği var. Çarpanlara ayıralım.
x 1
( x  1)( x  1)
lim x1
 lim x1
1 x
 ( x  1)
 lim x1  ( x  1)  ( 1  1)  2
Cevap: E
Geri
sol  1  sağ
f(x)=x/3
f(x)=1/3
1 1

3 3
lim x1 f ( x)  lim x1
lim x1 f ( x)  lim x1
lim x1 f ( x)  lim x1
x 1

3 3
1 1 2
 
3 3 3
Cevap:D
Geri
1 
-2
3
3
3-x
2x-1
lim x1 f ( x)  lim x1 (2 x  1)  2.1  1  1
lim x1 f ( x)  lim x1 (3  x)  3  1  2
lim x1 f ( x)  lim x1 f ( x)  1  2  1
Cevap:C
Geri
0
f ( x)  2 x  1
0
+
x2  1
lim x0 f ( x)  lim x0 ( x 2  1)  02  1  1
lim x0 f ( x)  lim x0 (2 x  1)  2.0  1  1
X = 0 noktasında sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan
lim x0 f ( x)  1
Cevap:A
Geri
-
1 
x2 1
f ( x) 
x 1
1
+
x 1
lim x1 f ( x)  lim x1 ( x  1)  1  1  2
lim x1 f ( x)  lim x1
( x  1)( x  1)
 11  2
( x  1)
X = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri eşit olduğundan
lim x1 f ( x)  2
Cevap:B
Geri
f ( x)  x  x,
2
f ( x  h)  ( x  h)  ( x  h)
2
lim h0


f ( x  h)  f ( x )
( x  h) 2  ( x  h)  ( x 2  x )
 lim h0

h
h
 lim h0
 h2  2 xh  h 
x 2  2 xh  h2  x  h  x 2  x
  lim h0 (h  2 x  1) 
 lim h0 
h
h


 0  2x 1  2x 1' dir.
Cevap:D
Geri
 2x  x 
2
x

x
  lim 
lim x0 

x0

2 x  3x
 2 x  3x 
3x
 lim x0
 lim x0 (3)  3
x
Cevap:E
Geri
lim x3 (2 x   x )  lim x3 (2 x  3) 
3
3
 (2.3  3)  3  27' dir .
3
3
( x  3 iken x   3

Olduğuna dikkat ediniz.
Cevap:E
Geri
 4  x 2
lim x2 
 x  2


 sgn( x  2)

 3x 2  

x  x 



 4  x 2   1

2
 
 lim x2 
 3x  
 x  2  x  1

 (2  x)( 2  x)
1
2
 lim x2 

 3x  
x 1
 ( x  2)

1
1


 23
2

(
2

2
)


3
.
4

lim x2  x  2 
 3x   
2 1
 3
x 1

 
2’nin sol tarafında özel tanımlı fonksiyonların nasıl tanımlandığına dikkat
ediniz.
Cevap:A
Geri
Sıfırın sol tarafında x   x dir. Buna göre


3
2
 x 
2
lim h0 
 . lim h0 x  2 x  2 
x


2
(1) . 0  2.0  2  1.2  2
3
2
Cevap:B
Geri
lim x 2
Sin x  2
0
 
0
sin( x  2)
 lim x 2
( x  2)
sin x  2
.

x2
sin( x  2)
 lim x 2
sin x  2
. lim x 2
x2
x2

sin( x  2
 sin x  2 
x2


 lim x 2 
. lim x 2
 1. 1  1' dir

sin( x  2)
x2 

sin x
x
(lim x0
 lim x0
 1)
x
sin x
Cevap:B
Geri
sin  x  1 
lim x1
sin( x  1) 
x  1 iken x  1   1  Sin ( 1)   Sin1' dir .
x  1 iken  1  Sin ( x  1)  0
 Sin ( x  1)   1Bunagöre
lim
x 1
Sin  x  1 
 Sin1

 Sin1
 Sin ( x  1) 
1
Cevap:C
Geri
y
f ( x) 
1
x  1 fonksiyonunun grafiği
yanda görülmektedir. Buna göre
lim x1 f ( x)  , lim x1 f ( x)  
olduğundan, yani f(x) fonksiyonun
x = 1 noktasında sağdan ve soldan
limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1
noktasında f(x)’in limiti yoktur.
1
-1
Cevap:E
x
Geri
lim x
3  4x
 lim x
2x  7
II .Yol : n  
3
 3
x  4 
4 4
x


 2
7
7

2
x 2   2 

x

İken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak
limitin değeri ;eşit dereceli terimlerin katsayılarının
oranıdır. Yani -4/2 =-2’dir
Cevap:D
Geri
 2 3
x 1   2  1  2  3
x x 

  
lim x

1 4
1 4
2
x x  2   
 
x x 

1 0  0 1

  0' dir .
00 
2
Cevap: C
Geri