20 1 Çizgisel ve Açısal Momentum 4. Cisme uygulanan itme, hareketine ters yönlü olduğundan işareti (–) alınır. Test 1’in Çözümleri 1. Bir cisme sabit bir kuvvet uygulanırsa cismin hızı düzgün olarak artar. I. bölgede hız parabolik olarak arttığına göre, uygulanan kuvvet artmaktadır. II. bölgede hız düzgün olarak arttığına göre, kuvvet sabittir. III. bölgede hız parabolik olarak azaldığına göre, harekete zıt yönde olan kuvvet artmaktadır. 2F·t F·t 2 3t 4t 5t 0 t 2t –F·t 2 zaman –F·t Nihat Bilgin Yayıncılık© F İtme = m · (v2 – v1) – 36 = 3 (v2 – 8) v2 = –4 m/s 5. Cisim K dan L ye gelirken yatayda vx hızıyla düzgün doğrusal hareket yapar. Düşeyde ise mg kuvvetinin etkisinde düzgün hızlanır. 2. Kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan momentum değişimine eşittir. net kuvvet İtme = m · ∆v Cevap D dir. Cevap B dir. İtme = F · ∆t İtme = mg · ∆t dir. Cismin K dan L ye gelme süresi ∆t, h yüksekliği ile vy hızından etkilenir. Fakat vx hızından etkilenmez. Bu nedenle itme, vx hızına bağlı değildir. Cevap A dır. 6. 4v Ft Ft - Ft 2 2 bulunur . D P = 2 Ft + D P = Ft R v çarpşmadan önce –F P Cevap A dır. Çarpışmadan sonra cisimlerin ortak hızları sıfır olduğundan momentumları da sıfırdır. Buna göre, cisimlerin çarpışmadan önceki momentumları eşit ve zıt yönlü olmalıdır. Cevap B dir. 7. Momentumun korunumunu sisteme uygularsak; 3. Cismin hızındaki değişme şekilde gösterildiği gibi 2 v dir. v1 = v Dv = 2v A İtme = m · ∆v olduğundan İtme = m · Hız değişimi güney yönünde olduğundan itme de güneye doğrudur. 2 v olur. v2 = v Cevap B dir. m 1 v 1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2) · v ortak v 3m·v + 2m·v2 = ( 3m + 2m ) 3 5 3 mv + 2 mv 2 = m · v 3 4 2 mv 2 = - mv 3 2 v 2 = - v bulunur . 3 Cevap C dir. 2 ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM 8. Momentumun korunumundan; 12. Esnek çarpışmalarda kütleler eşitse cisimler hızlarını birbirine aktarır. Yani m2 kütleli cismin hızı v olur ve m1 kütleli cisim durur. Bundan sonra m2 kütleli cisim m3 kütleli cisim ile esnek olmayan çarpışma yaparak, iki kütle yapışık hareket etmeye başlıyor. Buradan; m 1 v 1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2) · v ort 2m· 5 2 v - 3 m v = ( 2 m + 3 m ) · v ort 2 3 3 m · v = 5 m · v ort v ort = 3 v olur . 5 Cevap E dir. 9. Başlangıçta cisim durduğuna göre patlamadan sonraki momentumların vektörel toplamı sıfır olmalıdır. Bir başka ifadeyle; m2v2 + m3v3 = (m2 + m3) · vort m · v + 3m · 0 = (m + 3m) · vort mv = 4m · vort v vort = bulunur. 4 P1 P2 P3 P1 + P2 + P3 = 0 dır. O hâlde III. yargı doğrudur. Hızlar ve kütleler hakkında karar veremeyiz. Cevap B dir. 13. m1 kütleli cisim m2 kütleli cisme hangi hızla çarptıysa, m2 kütleli cisim aynı hızla harekete geçer. Böylece cisim aynı yüksekliğe yani Z noktasına kadar çıkar ve oradan geri döner. Cevap C dir. 10. Bir cisme verilen itme ile o cismin momentumundaki değişme birbirine eşittir. Eğik atış hareketinde sadece düşey bileşende momentum değişimi vardır. Buradan; İtme = mg · ∆t = ∆P 1 · 10 · 5 = ∆P m ∆P = 50 kg s Cevap D dir. Nihat Bilgin Yayıncılık© Cevap C dir. 14. 1 numaralı bilye 2 numaralı bilyeye çarpınca 4 numaralı bilye aynı hızla harekete geçer. Diğer bilyeler sabit kalır. İşlem bu şekilde devam eder. Cevap E dir. 15. Patlamadan önceki momentum patlamadan sonraki momentuma 6mv eşittir. Patlamadan sonraki momentum vektörleri şekildeki gibidir. Şekil incelenirse 11. Düşey yukarı yönde atılan cismin tepe noktasındaki hızı sıfırdır. Bu nedenle tepe noktasında momentum sıfır olur. Patlamadan sonra da toplam momentumun sıfır olabilmesi için sağ yöndeki momentum sol yöndeki momentuma eşit olmalıdır. m1v1 = m2v2 2m · 15 = 3m · v2 60° 6mv 60° P3 P3 = 6m·v olduğu görülür. m3v3 = 6m·v 2m·v3 = 6m·v ⇒ v3 = 3v bulunur. Cevap D dir. olur. Yere çarpan cisimler arasındaki uzaklık; 16. Momentumun korumundan her üç sistemin çarpışmadan sonraki hızları eşit olmalıdır. Kinetik enerjileri potansiyel enerjiye dönüşünceye kadar takozlar yükselir. 1 m · v 2 = m gh 2 v 2 = 2 mgh x1 + x2 = v1t + v2t x1 + x2 = 15 · 3 + 10 · 3 x1 + x2 = 45 + 30 = 75 m bulunur. v2 = 10 m/s bulunur. 30 = g·t t=3s Takozların hızları eşit olduğundan çıkacakları yükseklikler de eşittir. Cevap A dır. Cevap A dır. 3 ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM 5. K noktasındaki m1 kütleli cisim başlangıçta m1gh1 potansiyel enerjisine sahiptir. Cisim serbest bırakıldığında tüm enerjisi L noktasında kinetik enerjiye dönüşür. Bu enerjiyi kullanan ortak kütle h2 yüksekliğine kadar çıkabiliyor. h2 nin büyütülmesi için ortak hızın artması gerekir. Bunun için de tek çare h1 yüksekliğini artırmaktır. Cevap A dır. Test 2’nin Çözümleri 1. 2 numaralı tıpadan akan su vagonun hareket doğrultusuna dik olduğu için vagonun hızını değiştirmez. Cevap B dir. 2. h yükseklikliğinde iken potansiyel enerjiye sahip cisim serbest bırakıldığında enerjisi kinetik enerjiye dönüşür. Çarpışma anında tüm enerji kinetik enerjiye dönüşmüş durumdadır. Ep = Ek 1 mgh = mv 2 2 v = 2 gh h yüksekliğinden serbest bırakılan cisimlerin kütlesi ne olursa olsun çarpışma hızları aynı olur. Ancak çarpışmadan sonraki ortak kütlelerin hızları kütlenin büyüklüğüne bağlıdır. vort1 > vort2 = vort3 olacağından h1 > h2 = h3 olur. Cevap D dir. 3. Cisimlerin patlamadan önceki momentumları sıfır olduğundan patlamadan sonraki momentumları da sıfır olmalıdır. Bu nedenle cisimler patlamadan hemen sonra v1 = 2v, v2 = v hızlarıyla hareket eder. Cisimlerin başlangıç kinetik enerjileri; 1 m(2v)2 = 2mv2 2 1 Ek2 = 2mv2 = mv2 2 olup, büyüklükleri farklı olduğundan X ve Y noktalarındaki potansiyel enerjileri de farklıdır. Nihat Bilgin Yayıncılık© 6. Cisimlerin sahip olduğu potansiyel enerjiler kinetik enerjiye dönüşerek yatay düzleme varırlar. Buna göre, cisimlerin çarpışmadan önceki hızları; v1 = v ise v2 = 3v olur. Esnek çarpışmalarda çarpışan iki cismin ilk momentumlarının bileşkesi sıfır ise, çarpışmadan sonra cisimler geldikleri hızlarla geri dönerler. Bu durumun oluşabilmesi için; m1 = 3m , m2 = m olmalıdır. m2=m 3v m1=3m v çarpşmadan önce m1 m 2 = 3 bulunur. v m1 m2 3v çarpşmadan sonra Cevap D dir. Ek1 = Cevap E dir. v 4. Cisimler K ve L noktala3v rında yalnızca potansiyel 3m m enerjiye sahiptir. Bu enerjiler kinetik enerjiye dönüştüğünde m kütleli cismin hızı, 3m kütleli cismin hızının 3 katı olur. Cisimler çarpışıp yapıştığında hızları sıfır olur. Çünkü çarpışmadan önceki toplam momentum sıfırdır. Çarpışmadan sonraki momentum da sıfır olmak zorundadır. Cevap A dır. 7. Cisim X noktasından Y noktasına çıkarken 3h ve h yollarını 2t sürede alarak çıkar. Cisim Y noktasından serbest düşme yaparak h, 3h, 5h yollarını 3t sürede alır. Bir cisme verilen itme o cisimdeki momentum değişimine eşittir. D P1 = F · D t 1 D P1 = mg ·2 t D P2 = m g ·3 t D P1 DP2 = 2 3 bulunur . Cevap B dir. 4 ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM 8. Hız-zaman grafiğine göre, m1 kütleli cisim v1= 3 m/s lik hızla durmakta olan m2 kütleli cisme çarpmıştır. Çarpışmadan sonra ortak kütle 1 m/s lik hızla hareket etmiştir. v1=3 m/s v2=0 m1 pışma öncesi hız vektörünün (4) numaralı vektör olduğunu buluruz. Cevap D dir. vort=1 m/s m2 m1 m2 çarpşmadan önce çarpşmadan sonra P önce = P sonra m1v1 + m2v2 = (m1+m2) · vort 3m1 = m1+m2 2m1 = m2 m1 1 m2 = 2 Cevap C dir. bulunur . Momentumun korunumundan; P önce = P sonra m1·v0x = (m1+m2)·vort m1·v0cosα = (m1+m2)·vort yazabiliriz. Dikkat edilirse ortak hızın büyüklüğünü bulmak için x uzaklığı gerekli değildir. Nihat Bilgin Yayıncılık© 9. Cismin atılış hızının yatay bileşeni ortak kütlenin hareketini sağlar. 11. Yerden, 2mv momentumu ile atılan 2mv cisim, düzgün yavaşlayarak h yükmv sekliğinden geçerken iç patlama sonucu iki parçaya ayrılıyor. Patlamadan sonra parçaların mv momentum vektörleri şekildeki gibidir. Yani patlamadan sonra bileşke momentum, yukarı doğru mv kadardır. Patlamadan hemen önceki momentum da yukarı doğru mv olmalıdır. Cismin kütlesi 2m olduğuna göre, h yüksekliğine v büyüklüğündeki hızla varmış demektir. 2 v 2 = v 20 – 2 gh v ( ) 2 = v 2 – 2 gh 2 yazabiliriz. v ile g bilindiğine göre buradan h bulunur. 1 h = vt – gt 2 2 Cevap E dir. bağıntısındaki h, g, v bilindiğine göre t bulunur. 1 Kinetik enerjiyi veren bağıntı, E k = mv 2 dir. 2 Bağıntıdaki v biliniyor ancak m, sayısal değer olarak bilinmiyor. Bu nedenle h yüksekliğindeki kinetik enerji bulunmaz. Cevap D dir. 10. P1 3m Port m 2m P2 m kütleli cismin v 1 hız vektörü ile (m+2m) ortak kütlenin v ort hız vektörleri Şekil I de verilmiştir. Çarpışma sonrası v ort hızının büyüklüğü 1 birim olarak verilmiştir. Bu hızı 3m ile çarptığımızda çarpışma sonrası ortak kütlenin momentumu bulunur. P 2 vektöründen yararlanarak 2m kütleli cismin çar- 12. m1, m2 kütleli cisimler t süre sonra A noktasında çarpışıyorlar. m1 kütlesi cismin A noktasına uzaklığı 3 birim, m2 kütleli cismin A noktasına uzaklığı 1 birimdir. Buna göre; v1 = 3v, v2 = v dir. Merkezi esnek çarpışma yapan cisimlerin kütleleri eşit ise, cisimler hızlarını birbirine aktarırlar. Yani çarpışmadan sonra; v1ʹ = v, v2ʹ = 3v olur. Çarpışmadan t süre sonra m1 kütleli cisim 1 birim yol alarak K noktasından, m2 kütleli cismin ise aynı anda 3 birim yol alarak Z den geçer. Cevap C dir. ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM 13. 3v 53° Test 3’ün Çözümleri m2 5v 4v m1 Cismin hız bileşenleri şekildeki gibidir. Düşey bileşenin harekete katkısı yoktur. Açısal momentum bağıntısı L = I·ω dır. Bu bağıntıya göre, hem açısal momentumlar hem de açısal hızlar eşittir. Bu nedenle eylemsiz momentleri de eşit olur. Cisimlerin dönme yarıçapları farklı olduğundan; I = m·r2 bağıntısına göre kütleleri farklıdır. Momentumun korunumundan; P önce = P sonra 1. Sistem bir bütün hâlinde hareket ettiğine göre sistem üzerindeki her noktanın açısal hızı aynıdır. Buna göre m1 ve m2 kütlelerinin açısal hızları aynı olur. v1=v 53° m1v1 – m2v2x = (m1 + m2)vort 4m·v – m.3v = (5m)·vort mv = 5m·vort vort = 1 v 5 5 bulunur. Cevap E dir. 14. Yatay atış yapan bir cismin yatay eksenindeki hızı sabit kalır. Düşey eksende ise cisim serbest düşme yapar. m v v 2m çarpşmadan önce 3m 1v 3 çarpşmadan sonra Yatay eksende çarpışmadan önceki ve çarpışmadan sonraki momentum vektörleri şekildeki gibidir. Cisimler K noktasında çarpıştıklarında bir de aşağı doğru düşey hızlarının etkisindedir. Bu nedenle ortak kütle (2) yönünde pike atışı yapar. Nihat Bilgin Yayıncılık© Cevap C dir. 2. Momentumun korunumu kanununa göre, bir sisteme dışardan tork etki etmedikçe sistemin açısal momentumu değişmez. Yani Dünya Güneş etrafında dönerken Dünya’nın açısal momentumu değişmez. Cevap C dir. 3. Cisim K dan O ya gelirken enerjinin korunumuna göre çizgisel hızı artar. Eylemsizlik momenti kütleye ve yarıçapa bağlıdır. Cisim K dan O ya gelirken kütle ve yarıçap değişmediği için eylemsizlik momenti de değişmez. Yerçekimi kuvvetinin oluşturduğu torktan dolayı açısal momentum artar. Cevap A dır. Cevap D dir. 4. Açısal momentum L = mvr dir. Kütle birimi kg, hız m birimi s , yarıçap birimi m olduğundan açısal momentum birimi; m m2 kg s · m = kg s olur. Buna göre I doğru, II yanlıştır. Yukarıdaki bağıntıyı tekrar yazalım. L = m·v·r = m·at·r = F·t·r olur. Her bir büyüklüğün birimini yazarsak; N·s·m = J·s bulunur. Buna göre, IV doğru, III yanlıştır. Cevap C dir. 6 ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM 9. Ι = mr2 bağıntısına göre yarıçap azaldığı için eylemsizlik momenti de azalır. I. yargı yanlıştır. 5. X ve Z çarklarının çizgisel hızları eşittir. Bu yüzden açısal momentum bağıntısını çizgisel hız cinsinden yazalım. L = m·v·r LX = mX·vX·rX LZ = mZ·vZ·rZ LX LZ Açısal momentum korunumuna göre momentum sabit kalır. II. yargı doğrudur. L = mvr bağıntısında, L ve m değişmiyor, r azalıyorsa; dönme hızı olan v artar. Bu nedenle III. yargı doğrudur. rX 2 bulunur. = r = 3 Z açısal Cevap D dir. Cevap C dir. 6. Açısal momentum bağıntısı, L = I·ω = mr2·ω m3 > m2 > m1 ve r3 > r2 > r1 olduğundan I3 > I2 > I1 olur. Açısal hızlar da eşit olduğuna göre açısal momentumlar arasındaki ilişki L3 > L2 > L1 olur. 10. Öğrenci merkeze doğru yürürken I = mr2 bağıntısana göre r azaldığı için I azalır. O hâlde I. yargı yanlıştır. 7. Momentumun korunumuna göre dış kuvvetler tork oluşturmuyorsa bir sistemin açısal momentumu değişmez. Buna göre III. yargı yanlıştır. I = m·r2 bağıntısına göre yarıçap azaldığı için eylemsizlik momenti de azalır. II. yargı doğrudur. L = I·ω bağıntısında açısal hız değişmez ve eylemsizlik momenti azalırsa açısal hız artar. Yani I. yargı yanlıştır. Cevap B dir. 8. İpin çe­kil­me­siy­le uy­gu­la­nan kuv­vet açı­sal hı­za dik ol­du­ğun­dan tork üret­mez. Bu ne­den­le açı­sal Açısal momentumun korunumuna göre dış kuvvetler tork oluşturmuyorsa açısal momentum sabit kalır. Buna göre II. yargı doğrudur. L = I.ω bağıntısında, L sabit I azalıyorsa ω açısal hızı artar. Bu nedenle III. yargı yanlıştır. Nihat Bilgin Yayıncılık© Cevap E dir. Cevap B dir. 11. I = mr2 bağıntısına göre yarıçap azaldığı için eylemsizlik momenti azalır. O hâlde I. yargı yanlıştır. Dışarıdan tork oluşturulmadığı için açısal momentum değişmez. L = I.ω bağıntısında I eylemsizlik momenti azaldığı, L açısal momentumu değişmediği için ω açısal hızı artar. Buna göre II. yargı doğrudur. Cevap B dir. mo­men­tum ko­ru­nur, ya­ni; Ι1 . ω1 = Ι2 . ω2 dir. İpin kı­sal­ma­sıy­la ya­rı­çap aza­lır ve bu­na bağ­lı ola­rak da ey­lem­siz­lik mo­men­ti ( Ι ) aza­lır, açı­sal hız ( ω ) ar­tar. Ya­ni Ι1 > Ι2 ol­du­ğun­dan ω1 > ω2 olur. v = ω . r ba­ğın­tı­sın­da ω da­ki ar­tış r de­ki ar­tış­tan da­ha bü­yük­tür. Bu ne­den­le v çiz­gi­sel hı­zı ar­tar. Sorumuzun cevabı II ve III olur. Cevap E dir. 12. Eylemsizlik momenti hem kütle ile hem de cismin dönme eksenine olan uzaklığın karesiyle de doğru orantılıdır. Eylemsizlik momenti ayrıca cismin geometrik yapısına da bağlıdır. Cevap E dir. ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM 13. I. tekerlek ters çevrildiğinde dönme yönü değişmiş olur. Toplam açısal momentumun sabit kalması için tabure bisikletin tekerleriyle ters yönde dönmeye başlar. II. Şekil I de gösterilen yönde döndürülen bisiklet tekerinin açısal momentumunun yönü sağ el kuralına göre yukarı yönlüdür. (L1). III. Toplam açısal momentumun sabit kalması için tabure ile bisiklet tekeri zıt yönde döner. Şekil II de tekerleğin negatif olan açısal momentumunun öğrenciden kaynaklanan pozitif açısal momentuma eklenmesi gerekir. Ancak bu şekilde toplam açısal momentumun korunması mümkün olur. Yanıt B dir. 14. Eylemsizlik momenti ipin uzunluğunun karesi ile doğru orantılıdır. Buna göre I1 > I2 > I3 olur. Nihat Bilgin Yayıncılık© Cevap C dir. 7