İtme ve Çizgisel Momentum

11. SINIF
KONU ANLATIMLI
1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET
7. Konu
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ
7 İtme ve Çizgisel Momentum
2
1. Ünite 7. Konu
(İtme ve Çizgisel Momentum)
3. a.Çarpışma sırasında cisimlerin momentumları korunacağından;
A’nın Çözümleri
Pönce= Psonra
1. Eğik atılan bir cismin hareketi boyunca yatay doğrultudaki hızı değişmez. Bu nedenle eğik atışta yatay doğrultuda momentum değişmez. Momentum
değişimi yalnızca düşey doğrultudadır. Atılış anında top mermisinin düşey hızı;
m1 . v1 – m2 . v2= (m1 + m2). vortak
vy = v0 . sin37°
vy = 20 . 0,6 = 12 m/s dir.
1 . 3 – 2 . 6= 3 . vortak
–9= 3 . vortak
vortak= – 3 m/s
bulunur. O halde cisim (–) yönde 3 m/s hızla hareket eder.
b. Çarpışmada kaybedilen kinetik enerji;
vy=0
vx
v0
vy1
hmax
vx
37°
vy2
v0
E ilk =
1
1
· 1· 9 + · 2 · 36 = 40, 5 J
2
2
E son =
ΔP = m(vy – vy )
ΔP = 4(–12 – 12) = –96 kg m/s bulunur.
1
1
1
( m 1 + m 2) · v 2ortak = · 3 · 3 2
2
2
E son = 13, 5 J
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Top mermisi atılırken düşey hızı vy = 12 m/s dir.
1
Top mermisi yere düşerken düşey hızı vy = –12
2
m/s olduğundan momentum değişimi;
2
1
1
m · v2 + m · v2
2 1 1 2 2 2
37°
vx
E ilk =
E kay ı p = 40, 5 – 13, 5 = 27 J bulunur .
4.
2.
P2
A
B
C
vortak
Portak(x)
çarpışmadan sonra
37°
Portak
Çarpışmadan önceki momentumların vektörel toplamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel
toplamına eşittir. Momentumun korunumundan;
P önce = P sonra
P1
Portak(y)
Hem yatay eksende hem de düşey eksende momentum korunur. Yatay momentum korunumundan;
P ortak(x)= P 1
m1 v 1 + m2 v 2 + m3 v 3 = (m1 + m2 + m3) v ortak
m · vortak · cos37°= m1 · v1
1 . 30 + 1 . 10 + 2 . 10 = (1+1+2) · vortak
(3
vortak = 15 m/s bulunur.
4
= 2 · 4
5
vortak= 2 m/s
+ 2) · vortak ·
3
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
5.
Pönce= Psonra
y
P1 = 12 kg.m/s
m1 . v1 – m2 . v2= (M + m1 + m2) . vortak
0,1 . 300 – 0,4 . 50= (500 + 100 + 400).10–3. vortak
30 – 20= 1 . vortak
vortak= 10 m/s
P2 =
P 12 + P 2
P2 =
12 2 + 16 2 = 20 kg.m/s
P2 = m2 . v2
20 = 2 . v2 ⇒ v2 = 10 m/s
bulunur. O halde m2 kütleli cisim güneydoğu yönünde 10 m/s hızla hareket eder.
m1 . v1
60°
m2 . v2y
Pönce = Psonra
m1 . v1 – m2 . v2x = (m1 + m2) .vortak
Nihat Bilgin Yayıncılık©
6. Balmumunun düşey momentum bileşeni araba yardımıyla yola aktarılır. Yataydaki momentumun korunumundan;
m2 . v2x
P2
dir. P1 > P2 olduğundan cisim (+) yönde ve 10 m/s
lik hızla hareket eder.
x
Pönce = 16 kg.m/s
α
9 . 8 – 1 . 4 . cos 60°= 10 . vortak
72 – 2 = 10 . vortak
vortak = 7 m/s bulunur.
8. Cismin patlamadan önceki momentumu;
Pönce = m . v = 6 . 5 = 30 kg.m/s
dir. Patlamadan sonraki v1, v2 hızlı cisimlerin momentumları;
y
7. Cismin parçalanmadan önce toplam momentumu
yatay eksen üzerinde ve doğu yönündedir.
Pönce = m . v
Pönce = 8 . 2 = 16 kg . m/s
dir. Patlamadan sonra m1 kütleli cismin momentumu;
P1 = m1 . v1 = 12 kg . m/s
dir. Momentumun korunması için P2 nin düşey bileşeni 12 kg.m/s, yatay ekseni ise 16 kg.m/s olmalıdır.
P1 = 2 . 5 = 10 kg.m/s
Pönce
60°
60°
|P1 + P2| = 10 kg.m/s
x
P2 = 2 . 5 = 10 kg.m/s
1 ve 2 numaralı parçaların momentumlarının bileşkesinin büyüklüğü 10 kg.m/s dir. Patlamadan sonraki momentumun +x yönünde 30 kg.m/s çıkması
için üçüncü parça +x yönünde ve 10 m/s hızla hareket etmelidir.
4
Ünite 2
Kuvvet ve Hareket
9. Cisim tepe noktasında 30 m/s yatay hıza ve
Pilk = m . v0x = 3 . 30 = 90 kg.m/s
lik momentuma sahiptir. Patlamadan sonra bileşke
momentum aynı yönde ve 90 kg.m/s olmalıdır. Patlamadan sonra hareketli iki cismin yatay momentumlarının toplamı 90 kg.m/s olduğundan 3. parça
düşey aşağı doğru 30 m/s hızla hareket etmelidir.
12.a. Tahta bloktaki yükselmeye cisimlerin yatay momentumları neden olur. Momentumun korunumundan;
Pönce= Psonra
m1 . v1 – m3 . v3 . cos 37°= mortak . vortak
10.10–3.160 – 5.10–3. 400 . 0,8= 500 . 10–3 . vortak
1600 – 1600= 500 . vortak
vortak= 0
bulunur. Yani tahta blok hareket etmez.
b. İpteki gerilmeyi yatay hızın oluşturduğu itme ve cisimlerin toplam ağırlıkları meydana getirir.
10.Kuvvet - zaman grafiklerinin altında kalan alan momentum değişimini verir. O hâlde;
Fnet (N)
15
A1
0
A2
5
35 + 15
· 5 = 125 N.s
2
A2 = 15 · 5 = 75 N.s
t(s)
10
A1 =
Nihat Bilgin Yayıncılık©
35
F . Δt = ΔP
F . 0,1 = m3 . v3 . sin 37°
F . 0,1 = 5 . 10–3 . 400 .
T=F+G
T = 12 + (m1 + m2 + m3) . g
T = 12 + (485 + 5 + 10) . 10–3 . 10
T = 17 N bulunur.
3
⇒ F = 12 N
5
13.a. P = m . v0x
60 = 2 . v0x
∆P = A1 + A2 = 200 N.s
Yatayda alınan yol;
∆P = m(vson – v1)
x = v0x . t
200 = 10(vson – 0) ⇒ vs = 20 m/s
240 = 30 . t ⇒ t = 8 s bulunur.
Ek =
1
m · v 2son
2
1
Ek =
· 10 · (20)2 = 2000 J bulunur.
2
Cisme uygulanan itme;
I = F . Δt = mg . Δt
I = 2 . 10 . 8 = 160 N . s bulunur.
b. tuçuş = 2
11.Momentumun korunumundan;
m1 · v = (m1 + m2) · vortak
50 · 10–3 · v = 1000 · 10–3 · 2
⇒ v = 40 m/s
⇒
v0x = 30 m/s
v0y
8=2·
g
v0y
⇒ v0y = 40 m/s
10
Cismin yere çarpma hızı ve momentumu;
v0 =
v 20 x + v 20 y
v0 =
30 2 + 40 2 = 50 m/s
P = m . v0 = 2 . 50 = 100 kg.m/s bulunur.
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
14.Mermi silindire çarptığında ona bir itme uygular.
F . Δt = ΔP = m . (v1 – v′1)
F . 2 . 10–2 = 10 . 10–3 . 80
F = 40 N bulunur.
c.
v1x
–x
v2x
m1
5
+x
m2
Pönce= Psonra
m1 · v1x – m2 · v2x= (m1 + m2) · vortak
m · 30 – 3m · 40= 4m · vortak
r
F
G
h
vortak= –22,5 m/s
bulunur. O halde cisim 22,5 m/s hızla –x yönünde yatay atış hareketi yapar.
L
Sistem dengede olduğuna göre L noktasına göre
moment alınırsa;
F.h=G.r
40 . 50 = G . 20
G = 100 N bulunur.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
16.m1 = 2m2 olduğundan m1 ve m2 kütleli cisimlerin A
noktasındaki momentumlarının eşit olması için bu
noktadaki hızları v2 = 2v1 olmalıdır. Serbest düşme
hareketi kurallarına göre h1 = h ve h2 = 5h olur. O
hâlde;
h1
h2
=
1
bulunur.
5
15.a. Cisimler t süre sonra çarpışsınlar. O halde;
v1x . t + v2x . t = 280
50 · cos 53° · t + 40 2 · cos 45° · t = 280
70t = 280
bulunur. Cisimlerin hızlarının düşey bileşenleri
v1y = v2y = 40 m/s olduğundan bu süre cisimlerin
maksimum yüksekliğe çıkma zamanıdır. Bu nedenle cisimler yörüngenin tepe noktasında çarpışır.
b. hmax =
t = 4 s
( v 1 y) 2
2g
=
( v 2 y) 2
2g
( 50 · sin 53 ° ) 2
hmax =
= 80 m bulunur.
2 · 10
17.a.m1 kütleli cisim a = g . sin 37° ivmesiyle yavaşlar,
m2 kütleli cisim ise a = g . sin 37° ivmesiyle hızlanır.
Çarpışmadan önceki hızları;
v1 = v0 – g . sin 37° . t
v1 = 36 – 10 . 0,6 . 2 = 24 m/s
v2 = g . sin 37° . t
v2 = 10 . 0,6 . 2 = 12 m/s
bulunur. Momentumun korunumundan;
m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . vortak
2 . 24 – 1 . 12 = 3 . vortak
36 = 3vortak
vortak = 12 m/s
6
Ünite 2
Kuvvet ve Hareket
b. vs son hız, vi ilk hız alınarak;
vs = vi – a . t
0 = vortak – g . sin 37° . t
vortak = g . sin 37° . t
12 = 10 . 0,6 . t
⇒ t=2s
bulunur. O hâlde ortak kütle çarpışmadan 2 saniye sonra durur ve yön değiştirir.
c. Ei =
1
1
m · v 2 + m2 · v 22
2 1 1
2
1
1
· 2 · (24)2 +
· 1 · (12)2
2
2
Ei = 576 + 72 = 648 J
Es =
Es =
–h = v0y . t – 5t2
–35 = 30 . t – 5t2
1
(m1 + m2) · v 2ortak
2
1
· 3 · (12)2 = 216 J
2
Kaybolan kinetik enerji;
E = Ei – Es = 648 – 216 = 432 J bulunur.
ç. m1 , m2 kütleli cisimlerin hız-zaman grafiği şekildeki gibidir. m1 kütleli cismin aldığı yol x1 , m2
kütleli cismin aldığı yol x2 kadardır.
v (m/s)
x1
0
12
|AB| = x1 + x2
t (s)
x2
x1 =
36 + 24
· 2 = 60 m
2
x2 =
12 · 2
= 12 m
2
|AB| = 60 + 12 = 72 m
v0x = 40 m/s
m = 2 kg
t2 – 6t – 7 = 0
(t – 7) (t + 1) = 0
bulunur. Bu süre içinde cisme uygulanan itme, momentum değişimine eşit olacağından;
ΔP = F . Δt = mg . Δt
ΔP = 2 . 10 . 7 = 140 kg . m/s bulunur.
19.a.
⇒
t=7s
40 m/s
40 m/s
30 m/s
30 m/s
x = 60 m
atay hızları 30 m/s olan iki cisim arasındaki
Y
uzaklık 60 m dir. İki cisim birbirine yaklaştığı için
1 saniye sonra çarpışırlar. Yani t1 = 1 saniyedir.
36
24
v0y = 30 m/s
Ei =
Nihat Bilgin Yayıncılık©
18.Cismin yere göre sahip
olduğu hız bileşenleri
v0x = 40 m/s ve v0y = 30
m/s dir. Cismin havada
kalma süresi;
b. Cisimlerin çarpışma anında yatay momentumları eşit ve zıt yönlüdür. Bu nedenle yatayda
momentum sıfır olur. Yatay momentum sıfır olduğundan ortak kütle düşeyde 40 m/s hızla hareket eder. Cisimler atıldıkları noktadan sonra;
v0y
2 · 40
=
=8 s
2
10
havada kalırlar. Bunun 1 saniyesi çarpışma öncesinde geçtiği için çarpışmadan 7 saniye sonra atıldıkları noktaya gelirler.
t=2·
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
20.
v0y
v0
45°
–h
45°
h
L
dir. Cisim hareketi sırasında yatayda ve düşeyde
eşit h yollarını almaktadır.
h = v0 · cos 45° · t = v0
–h = v0 · sin 45° · t –
–v0 ·
5t2 = 2(
2
v )·t
2 0
5·2=
2 · v0 ⇒ v0 = 5 2 m/s
PK = m · v0 =
Cisimlerin çarpışmadan sonraki ortak hızı;
m1v1 + 0 = (m1 + m2)vortak
100 . 10 = (250) . vortak
vortak = 4 m/s
bulunur. Çarpışmadan önceki kinetik enerjileri;
Ek =
Ek
Ek(top) = Ek + Ek = 5000 J
Çarpışmadan sonra sistemin toplam kinetik enerjisi
ise;
Eʹk =
1
1
m v 2 = 100(10)2 = 5000 J
2 1 1
2
= 0 dır.
1
2
1
(m + m2) v 2ortak
2 1
1
Eʹk = (250)42 = 2000 J
2
olur. Kaybolan kinetik enerji;
m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) · vort
4000 · 10 + 0 = (10000) · vort
Nihat Bilgin Yayıncılık©
2 · 5 2 = 10 kg.m/s
/ P önce = / P sonra
2
t – 5t2
2
21.Çarpışmadan önceki momentumların vektörel toplamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel
toplamına eşittir.
2
ΔEk = 3000 J olur.
2
· t ................. (1)
2
1 2
gt ..................... (2)
2
(1) denklemi (2) denkleminde yerine yazılırsa;
1
22.m1 kütleli vagon, yaya dokunduğu andan itibaren bir
kuvvet uygulayarak m2 kütleli vagonu harekete geçirir. Bu etkileşim iki vagonun hızı eşit oluncaya kadar
devam eder. Vagonların hızları eşit olduğu andan itibaren birbirinden ayrılırlar. Yaydaki en büyük sıkışma iki vagonun hızlarının eşit olduğu andır. Momentumun korunumundan;
K noktasından atılan cisim L noktasına düşmekte-
2
t = v0 ·
2
ΔEk = Ek – Eʹk = 5000 – 2000
v0x
K
7
vort = 4 m/s
bulunur. Sürtünmeler önemsenmediğine göre mekanik enerji korunur. Çarpışmadan önce yalnız m1
kütleli vagonun kinetik enerjisi vardır. Çarpışmadan
sonra ise toplam kütlenin kinetik enerjisi ve yayın
potansiyel enerjisi vardır. O hâlde;
/ Eilk = / Eson
1
1
1
· m1 · v 21 =
· (m1 + m2) · v 2ort +
· k · x2
2
2
2
1
1
1
· 4 · 103 · 100 =
· (1 · 104) · 16 +
· 12 · 104 · x2
2
2
2
2 · 105 = 8 · 104 + 6 · 104 · x2
x=
2 m bulunur.
8
Ünite 2
Kuvvet ve Hareket
3. Önce momentum vektörlerinin yatay ve düşey bile-
Test 1 in Çözümleri
şenlerini alalım.
4 mv
1. Soruda verilen ivme-zaman grafiğinden yararlanarak hız-zaman grafiğini aşağıdaki gibi çizebiliriz.
3 mv
hz
2 mv
t
0
2t
I
II
3t
2 mv
A
mv
zaman
III
–v
Şekil I
Şekil II
Birim karelerin kenarları 1 birim alındığında çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin bileşenleri
–2v
Şekil I deki gibidir. Cisimler çarpıştıktan sonra Şekil II
de gösterilen yönde hareket eder.
Verilen hız-zaman grafiğinden yararlanarak I ve
II aralıklarında hızın arttığını III. aralıkta ise hızın
azaldığını söyleyebiliriz. Hangi aralıkta hız azalıyorsa aynı aralıkta momentum da azalır.
Yanıt B dir.
Yanıt E dir.
2. Momentum, P = m v bağıntısı ile bulunan vektö-
Nihat Bilgin Yayıncılık©
rel bir büyüklüktür. P ile v vektörleri birbirinin varlık
nedenidir. Bu nedenle momentum - zaman grafikleri
ile hız-zaman grafikleri birbirine çok benzer. Aradaki
tek fark m çarpanıdır. Momentum-zaman grafiği verilen cismin hız-zaman grafiği aşağıdaki gibidir.
4. Soruda verilen şekil incelendiğinde v1 = 1 birim alı2 birim, v3 =
nırsa v2 =
hız
2 birim olduğu görülür.
4v
3v
P3 = 2 mv
2v
45°
I
P2 = 2 2 mv
45°
P1 = mv
v
0
IV
3 mv
II
t
III
2t
3t
zaman
Şekil I
2 mv
Şekil II
Bilindiği gibi hız-zaman grafiklerinde eğim ivmeyi
verir. Şekilden a1 = 0, a2 nin artan, a3 ün sabit olduğu görülür. F = ma olduğuna göre I. aralıkta kuvvet
sıfır, II. aralıkta artan, III. aralıkta sabittir.
Çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin büyüklükleri Şekil I deki gibidir. Bu vektörler sadeleşince Şekil II deki durum ortaya çıkar. Bir başka ifadeyle, cisimler birbirine yapıştıktan sonra IV numaralı yolu izler.
Yanıt E dir.
Yanıt D dir.
9
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
5. Soruda verilen şekil incelendiğinde v1 = 2v ,
2 v olduğu görülür. Çarpışmadan önceki mo-
v2 =
v
7.
120°
v
P1 = 2m1.v
–x
P2x
A noktasında iç patlama sonucu üç eşit parçaya ay-
+x
rılan cismin patlama sonrası momentumu sıfırdır. O
hâlde patlama olmadan önceki momentum da sıfır-
P2y
dır. Bunun böyle olması için cismin tepe noktasına
P2 = 2 m2.v
Ortak kütlenin (–x) yönünde hareket edebilmesi
için;
P1 = P2y
P1 =
2m1v =
2m1 = m2
2 m2v · sin 45°
2 m2v ·
varmış olması gerekir. Buradan;
v 20
60 2
=
hmax =
2g
20
hmax = 180 m bulunur.
Yanıt D dir.
2
2
m1
1
m 2 = 2 bulunur.
Yanıt C dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
v
Psonra = 0
45°
120°
120°
mentum vektörleri şekildeki gibidir.
6.
a
m2 = 1,5 kg
8.
(–)
m1 = 0,5 kg
m2.g = 15 N
v1
m1.g = 5 N
lik ivmeyle hızlanır. İki cisim aynı ipe bağlı olduğun-
m1 · v
= m ·v
P2
2
P1
P2
=
P1
0, 5
1
=
bulunur .
1, 5
3
Yanıt C dir.
ip
m2 = 400 kg
v2
İp kesilmeden önce cisimler durgun olduğundan
momentumları sıfırdır. İp koptuğunda momentumların vektörel toplamı yine sıfır olacağından;
Destek çekildiğinde sistem ok yönünde a = 5 m/s2
dan hızları her zaman eşit olur. Bu nedenle;
m1 = 300 kg
(+)
Pönce = Psonra
0 = 400 · v2 + 300 · (–v1)
4 · v2 = 3 · v1
v1
4
v 2 = 3 bulunur.
Yanıt A dır.
Ünite 2
Kuvvet ve Hareket
9. B noktası yörüngenin tepe noktası olup bu noktada
yalnızca yatay hız vardır. B noktasında cismin yatay hızı vx = v0 . cos 60° = 15 m/s dir. Yani patlama
olmadan önce cismin momentumu;
11.
v2=15 2 m/s
v1y=15 m/s v1=25 m/s
Px = m · vx = 2 · 15 = 30 kg.m/s
A
dir. Patlamadan sonra da bu momentumun korunması gerekir.
37°
v1x=20 m/s
C
60 m
v2y=15 m/s
10
45°
v2x=15 m/s B
45 m
Şekil I
v2 = 30 2 m/s
v2y = 30 m/s
45°
1 kg
B
1 kg
v1 = 30 m/s
m1, m2 kütleli cisimlerin atılma anındaki hızlarının
yatay ve düşey bileşenleri Şekil I deki gibidir. Her iki
cismin düşey hızları eşit olduğundan, cisimler, aynı
yükseklikten geçer. Cisimlerin düşey hızları 15 m/s
olduğundan, her iki cismin de uçuş süresi 3 s dir.
Bu nedenle A noktasından atılan m1 kütleli cisim,
3 s de yatayda 60 m yol alarak C noktasına varır.
Benzer biçimde B noktasından atılan m2 kütleli cisim de aynı sürede 45 m yol alarak C noktasına varır. C noktasında hız vektörlerinin düşey bileşenleri
yer tarafından dengelenir.
v2x = 30 m/s
Bu nedenle patlamadan sonra diğer parça yatayla
45° lik açı yapacak biçimde v2 = 30 2 m/s ilk hızla eğik atış yapar.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Yanıt B dir.
v1x = 20 m/s
v2x = 15 m/s
m m
vort = 2,5 m/s
m m
Şekil II
C noktasında cisimlerin hız vektörlerinin yatay bileşenlerinin etkileşimi Şekil II deki gibi olur. Ortak kütle ise sağa doğru 2,5 m/s lik hızla yatay yüzeyde
düzgün doğrusal hareket yapar.
Yanıt B dir.
10.Eğik atış hareketinde yatay eksende hız değişimi
olmadığından momentum değişimi de yoktur. Düşey eksende ise momentum değişimi vardır.
vilk = v
T
C
B
vson = –v
Cismin B den C ye varıncaya kadarki momentum
değişimi;
Δ P = m . Δ v = m . ( v son – v ilk)
ΔP = m (–v – v) = –2mv bulunur.
Yanıt E dir.
11
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
12.
14.m2 kütleli cisim arabadan atılmadan önce, arabanın, +x doğrultusunda bir momentumu vardır. Atıldıktan sonra cismin y doğrultusunda bir momentumu oluşacak ancak bu momentumun arabanın hız
vektörüne bir katkısı olmayacaktır. +x yönündeki
momentumun korunumundan;
30 m/s
yatay
2 kg
v0 = 40 m/s
h = 80 m
Balondan atılan cismin yere düşme süresi;
t2 – 6t – 16 = 0
/ Pönce ( x ) = / Psonra ( x )
(m1 + m2)v1 = m1vʹ1 + m2v2x
(t – 8) · (t + 2) = 0 ⇒ t1 = 8 s, t2 = –2 s olur.
Zaman negatif değer almayacağına göre t = 8 s dir.
Cismin uçuş süresi 8 s olduğuna göre bu cisme uygulanan itme;
itme = F . Δt
bulunur. Buradan v2 hızı;
itme = mg . Δt
itme = 2 . 10 . 8 = 160 N.s olur.
v2x = v2 . cos 60°
m1 = 4 kg
v1 = 4 m/s
a = 2 m/s2
10 · 4 = 8 · 4 + 2 · v2x
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Yanıt C dir.
13.
v2x
–80 = 30 · t – 5t2
60°
m2
1
–h = v0y · t –
· g · t2
2
v2
v2y
yer
8 = 2v2x ⇒ v2x = 4 m/s
4 = v2 ·
1
2
⇒ v2 = 8 m/s bulunur.
Yanıt C dir.
m2 = 1 kg
m2.g = 10 N
Şekildeki sürtünmesiz sistem serbest bırakıldığında ok yönünde a = 2 m/s2 lik ivme ile hızlanır. Sistemin, dolayısıyla m2 kütleli cismin hızı arttıkça potansiyel enerjisi azalır. m2 kütleli cismin potansiyel
enerjisi 360 J azaldığında
∆Ep = ∆Ek
1
· (m1 + m2) · v2
2
1
360 =
· 5 · v2 ⇒ v = 12 m/s
2
bulunur. Bu hız, her iki kütlenin ortak hızıdır. m1 kütleli cismin ilk hızı sıfır, son hızı 12 m/s olduğundan
momentumundaki değişme;
15. v1 = 14 m/s
ΔP = m1 . Δv = 4 . (vson – vilk)
ΔP = 48 kg m/s bulunur.
m1 = 4 kg
v2
m2 = 3 kg
m1
m2
ç. önce
ç. sonra
Şekil I
Şekil II
Hızı v1 = 14 m/s olan m1 kütleli cisim, durgun hâldeki m2 kütleli cisme merkezi esnek olarak çarpıyor
(Şekil I). Cisimlerin çarpışmadan sonraki hızları v′1,
v′2 olsun.
vʹ2 = (
2m1
) · v1
m1 + m2
vʹ2 = (
8
) · 14 = 16 m/s olur.
7
Yanıt D dir.
v1
∆Ep =
v2 = 0
Yanıt C dir.
12
Ünite 2
Kuvvet ve Hareket
16.Momentumun korunumundan çarpışmadan sonraki
ortak hızı bulalım.
/ Pönce = / Psonra
m1v1 + m2 · 0 = (m1 + m2) · vort
0,1 · 300 + 0 = 1 · vort
vort = 30 m/s
v1 = 300 m/s
v2 = 0
vort
m1
m2
m1 + m2
ç. önce
ç. sonra
Ortak kütle, sahip olduğu kinetik enerjiyi potansiyel
enerjiye dönüştürerek yükselir. Yükselme miktarı;
Ek = Ep
1
· mv2 = mgh
2
v 2ort
900
=
2g
20
h = 45 m bulunur.
h=
Yanıt A dır.
17.Merkezi esnek çarpışma yapan iki cismin ilk momentumlarının bileşkesi sıfır ise, çarpışmadan sonra, cisimler geldikleri hızlarla geri dönerler.
Pönce = 2m . 3v + 3m (–2v) = 0
olduğundan, Psonra = 0 olmalıdır. Bu nedenle;
v′1 = –3v
v′2 = 2v olur.
(–)
v1 = 3v
m1 = 2m
(+)
v2 = 2v
m2 = 3m
Yanıt E dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
13
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
4. • Kuvvet-ivme grafiğinin eğimi cismin kütlesini verir.
Test 2 nin Çözümleri
• Cisim başlangıçta durmakta olduğundan kuvvet
zaman grafiğinin altında kalan alan momentumu
verir.
1. Bir cismin kinetik enerjisiyle momentumu arasında
P2
bağıntısı vardı. Grafik incelendiğinde;
2m
P = 5 kg.m/s
iken Ek = 5 J olduğu görülür. Buradan;
Ek =
• Momentum P = m . v olduğundan P ve m bilinenleriyle v hızı bulunur.
Yanıt D dir.
52
2m
2m = 5
5=
m=
5
2
bulunur.
Yanıt A dır.
2.
kuvvet
F
+
0
t
3t
2t
4t
zaman
–
–F
Nihat Bilgin Yayıncılık©
5.
hz
v
II
I
0
t
III
2t
3t
zaman
Momentum-zaman grafiği ile hız-zaman grafiği birbirine benzer grafiklerdir. Şekildeki grafiğe göre cisim I. aralıkta a ivmesiyle hızlanmış II. aralıkta a = 0
ivmesiyle sabit hızlı III. aralıkta a ivmesiyle yavaşlamıştır. Yani cisme II. aralıkta kuvvet etki etmez.
Kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan momentum
değişimini verir. Buradan 4t anında momentumun
sıfır olduğu görülür.
Yanıt E dir.
Yanıt D dir.
3. ivme-zaman grafiğinden cismin 2 s sonraki hızı
1. s için; v1 = 10 – 2 . 1 = 8 m/s
2. s için; v2 = v1 + 2 . 1 = 10 m/s
dir. Momentum değişimi;
6. itme = ∆P
ΔP = m . (v2 – v1)
itme = m(vs – vi)
ΔP = 2 . (10 – 10) = 0 bulunur.
itme = m(–
Pratik Çözüm: İvme-zaman grafiğine göre ilk 2 saniyede hızdaki değişim sıfırdır.
Yanıt C dir.
3m · v
v
– v) = –
2
2
bulunur. (–) işareti itmenin azaldığını gösterir.
Yanıt B dir.
14
Ünite 2
Kuvvet ve Hareket
7. Cismin 50 m yükseklikten 10 m yüksekliğe ininceye
kadar geçen zaman;
h = 5t2
40 = 5 . t2
10.m1 ve m2 kütleli cisimlerin A noktasındaki hızı;
v1 = 2 2 · g · h
v2 =
olur. Cisimler çarpıştıktan sonra durduklarına göre
ilk momentumları birbirine eşit ve zıt yönlüdür. O
hâlde;
t=2 2 s
bulunur. Bu sürede cismin kazanacağı hız ve momentum;
v=g.t
v = 10 . 2 2 = 20 2 m/s
P=m.v
P=
2·g·h
P1 = P2
m1 · 2 2 gh = m2 ·
m1
1
m2 = 2
2 gh
bulunur.
Yanıt B dir.
2 · 20 2 = 40 kg . m/s
8. Grafikte cismin ilk hızı 10 m/s, son hızı –10 m/s olarak verilmiştir. Momentumdaki değişim;
ΔP = m (vs – vi)
ΔP = 2 . (–10 – 10)
ΔP = 2 . (–20) = –40 kg . m/s
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Yanıt C dir.
11.m kütleli K cismi duran m kütleli L cismine çarptığında
hızını ona aktarır ve kendisi hareketsiz kalır. O hâlde K
1
cisminin kinetik enerjisi,
mv2 kadar azalır.
2
Yanıt C dir.
Yanıt C dir.
12.
y
P = 6 kg.m/s
P2 = 6 kg.m/s
60°
60°
A
P1 = 6 kg.m/s
x
30°
9. Momentumun korunumu ilkesinden, Pilk = Pson
olmak zorundadır ve momentum vektörel bir büyük→
→
lük olduğundan P2 ve P1 momentumlarının vektörel
→
toplamı P momentumunu vermelidir. Bunu sağla→
yan P1 momentumu Şekil II de kesikli çizgilerden IV
ile ifade edilmiştir.
Yanıt D dir.
Şekil incelendiğinde ortak kütlenin momentumu
P = 6 kg . m/s olduğu görülür. O hâlde ortak kütlenin hızı;
P = (m1 + m2) . vortak
6 = (3 + 2) . vortak
vortak = 1,2 m/s
Yanıt D dir.
15
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
13.
15.
y
P
P2 = 2 · 8 = 16 kg.m/s
P=
10 .
10–3
x
P1 = 1 · 12 = 12 kg.m/s
( 12 ) 2 + ( 16 ) 2 = 20 kg.m/s
P = (m1 + m2) · vortak
20 = (2 + 1) · vortak
vortak =
m . v = (M + m) . vortak
A
Pönce = Psonra
. 400 = (990 + 10) . 10–3 . vortak
vortak = 4 m/s
bulunur. Ortak kütlenin yükselme miktarı;
h=
h=
v 2ortak
2g
(4)2
4
=
m bulunur.
5
2 · 10
Yanıt C dir.
20
m/s
3
Yanıt A dır.
16.m kütleli cismin L noktasındaki hızı;
1
m · v2
2
1
10 · 1,8 = v2 ⇒ v = 6 m/s
2
bulunur. Momentumun korunumundan;
Pönce = Psonra
m . v = (m + 2m) . v′
m . 6 = 3m . v′
bulunur. Çarpışmadan sonra cisimler;
h=
Nihat Bilgin Yayıncılık©
14.Sistemin ilk kinetik enerjisi;
v
1
1
mv2 +
· 2m( )2
2
2
2
Ek1 =
3
m · v2 .............................................. (1)
4
bulunur. Cisimlerin çarpışma sonrası sahip oldukları kinetik enerji;
m · v + 2m ·
v
= 3m · vʹ
2
2mv = 3m · vʹ ⇒ vʹ =
Ek2 =
Ek2 =
⇒
v′ = 2 m/s
vl 2
2g
4
1
h=
=
m
5
20
yüksekliğe çıkar.
Yanıt B dir.
Ek1 =
mgh =
17.
2
v
3
2
1
· 3m · ( v)2
3
2
2
mv2 ............................................... (2)
3
bulunur. (1) ve (2) denklemi oranlanırsa;
2
m · v2
3
8
=
=
E k1
3
9
2
m· v
4
Yanıt B dir.
m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) · vortak
m1 · v = (m1 + m2) ·
m1 · v = m1 ·
E k2
Pönce = Psonra
2
· m1 · v =
3
m1
m2 =
v
3
v
v
+ m2 ·
3
3
1
· m2 · v
3
1
2
Yanıt B dir.
16
Ünite 2
Kuvvet ve Hareket
18.Çarpışmadan sonra;
20.
Pönce = Psonra
m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) . vortak
1 · 20 = (1 + 3) · vortak
vortak = 5 m/s
h = 5 t 2u ç
20 = 5 t 2u ç
Fx
9m
Dinamiğin temel prensibinden;
Fnet = F . cos 37° = m . a
60 . 0,8 = 6 . a
a = 8 m/s2 bulunur.
⇒ tuç = 2 s
x = vortak · tuç = 5 · 2 = 10 m bulunur.
F
37°
hızla ortak kütle yatay atış hareketi yapar. O hâlde;
Fy
Yanıt D dir.
1
a · t2
2
x=
3
1
· 8 · t2 ⇒ t =
s
2
2
I = Fnet · ∆t
I = 60 · cos 37° ·
I = 60 ·
9=
3
2
4 3
·
= 72 N.s bulunur.
5 2
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Yanıt A dır.
21.Cismin momentumdaki değişimi;
19.Momentumun korunumundan;
→
→
→
Δ P = Ps – Pö
dir. O hâlde;
mv
m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . v
380 . 20 – 20 . 100 = 400 . v
5600 = 400 . v
60°
60°
mv
30
°
30°
Pönce = Psonra
v = 14 cm/s
mv
bulunur ve P1 > P2 olduğundan cisim +x yönünde
hareket eder.
Yanıt D dir.
bulunur.
Yanıt A dır.
17
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
3.
Test 3 ün Çözümleri
2P
1. Balmumu sahip olduğu düşey momentumu araba
yardımıyla yere aktarır. Yatayda momentumun korunumu göz önüne alınıldığında;
P1
m
P2
1 br
Pönce= Psonra
vortak= 8 m/s bulunur.
Yanıt C dir.
P1 = m1 . 2 br = P ............................................ (1)
P2 = m2 . 1 br = 2P .......................................... (2)
elde edilir. (1) ve (2) denklemleri oranlanırsa;
2. A noktasındaki cismin K noktasında sahip olduğu
hız ve kinetik enerji;
1
m · v2
2
1
10 · 20 =
· v2 ⇒ v = 20 m/s
2
1
1
Ek(önce) = m · v2 =
· 1 · (20)2 = 200 J
2
2
bulunur. Çarpışma sonrası hızı ve kinetik enerjisi;
Pönce = Psonra
m · v = (m + m) · vortak
1 · 20 = (1 + 1) · vortak ⇒ vortak = 10 m/s
Ek(sonra) =
mgh =
1
1
· 2m · v 2ortak =
· 2 · (10)2 = 100 J
2
2
Çarpışma sırasında ısıya dönüşen enerji;
E1 = Ek(önce) – Ek(sonra) = 200 – 100 = 100 J
bulunur. Enerjinin korunumundan;
Ek(sonra) = E2 + mgh
100 = E2 + 2 . 10 . 2,5
bulunur. O hâlde;
E1
E2
=
⇒
Yanıt E dir.
m 2 · 1 br
=
P
2P
m
& m1 = 1
4
2
Yanıt E dir.
4. 3m kütleli cismin iç patlama sonucu parçalanmadan
önceki düşey momentumu sıfırdır. Bu nedenle parçaların da düşey momentumlarının bileşkesi sıfır
olur. Böyle olması için m kütlesi cismin hızı 2v olur.
Her birinin momentumu 2mv olan parçalar arasındaki açı 120° olduğundan bileşkeleri +x yönünde
2mv olur.
Momentumun korunması için 3m kütleli cismin par2
çalanmadan önceki hızının v olması gerekir.
3
Yanıt B dir.
E2 = 50 J
100
= 2 bulunur.
50
m 1 · 2 br
Nihat Bilgin Yayıncılık©
2
Şekle bakıldığında;
4 . 10= (4 + 1) . vortak
m
1 br
m1 . v= (m1 + m2) . vortak
P
1
18
Ünite 2
Kuvvet ve Hareket
5. Cisimler 3h yüksekliğinden bırakıldıklarından P
noktasında kazanacakları hız değeri v =
Momentumun korunumundan;
2m ·
6 gh dır.
6 gh – m ·
6 gh = 3m · vortak
m·
6 gh = 3m · vortak
7. Cisim maksimum yükseklikte patladığı için ilk momentumu sıfırdır. Patlamadan sonra üç parçanın
momentumlarının bileşkesi yine sıfır olur.
6 gh
3
bulunur. Bu hızla ortak kütlenin çıkabileceği maksimum yükseklik;
vortak =
| P 1 + P 2 + P 3| = 0
P 3 = – ( P 1 + P 2)
olmalıdır. O hâlde;
|P1| = 20 kg.m/s
60°
60°
1
mgh′ = m · (vortak)2
2
gh′ =
1d
2
|P1 + P2| = 20 kg.m/s
60°
|P2| = 20 kg.m/s
2
6 gh
n
3
|P3| = 20 kg.m/s
1 6g · h
h
⇒ h′ =
·
3
2
9
bulunur. 2m kütleli cismin momentumu m kütleli cismin momentumundan büyüktür. Bu nedenle ortak
kütle PS arasında bir noktaya çıkar.
gh′ =
P3 = m . v3
20 = 2 . v3
v3 = 10 m/s bulunur.
Yanıt B dir.
6. Çarpışmadan hemen önce m kütleli cismin kazandığı hız v1 , 2m kütleli cismin kazandığı hız v2 olsun. Şimdi bu hızları bulalım.
1
mgh = m · v 21
2
10 · 0,8 =
2mgh =
10 · 3,2 =
Yanıt A dır.
1
· 2m · v 22
2
1
· v 22
2
v2 = 8 m/s bulunur.
9. I. h max =
Çarpışmadan sonra momentumun korunumundan;
2m . v2 – m . v1 = (m + 2m + 3m) . vortak
2m . 8 – m . 4 = 6m . vortak
12m = 6m . vortak
vortak = 2 m/s
8. Cisimlerin çarpışma öncesi momentumları eşit ve
zıt yönlü olduğundan çarpışma sonrasında geldikleri hızın tersi ile hareket ederler.
v1 = 4 m/s
1
· v 21
2
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Yanıt D dir.
v 2ortak
2g
bağıntısı ile bulunur. g, iki gezegende farklı olduğundan çıkabilecekleri h yükseklikleri farklı
olur.
II. m . v = (m + 2m) . vortak
bağıntısına göre sarkacın ortak hızları her iki
yerde de aynıdır.
bulunur. 2m kütleli cismin momentumu m kütleli cismin momentumundan büyük olduğundan (b) yönünde hareket eder.
III. Her iki gezegende sarkacın çıkabileceği h yüksekliği farklı olduğundan düşeyle yaptığı α açısı
da farklı olur.
Yanıt A dır.
Yanıt B dir.
19
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
10.m kütleli cisim 4h yüksekliğinden bırakıldığından
B noktasındaki hızı v = 2 2 gh olur. Çarpışmadan
sonra momentumun korunumundan;
13.Çarpışma sonrası kütleler +x yönünde hareket ettiğine göre düşeydeki momentum sıfır olmalıdır. O
halde;
m · 2 2 gh = 2m · vortak
P1y = P2y
m1 · v · cos 37° = m2 · v · sin 37°
vortak =
bulunur. Ortak kütlenin çıkabileceği yükseklik;
hl =
hl =
2 gh
m1
sin 37 °
3
m 2 = cos 37 ° = 4
v 2ortak
bulunur.
Yanıt D dir.
2g
2 gh
=h
2g
bulunur. O hâlde ortak kütle C noktasına çıkar.
Yanıt C dir.
14.Pönce = Psonra
m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . vortak
90 . 10 – 10 . 30 = (90 + 10) . vortak
600 = 100 . vortak
11.Patlamadan önceki momentum +x yönünde ve
Pönce = 8 · 12 = 96 kg.m/s dir.
Patlamadan sonra m1 ve m2 kütleli parçaların momentumlarının bileşkesi +x yönünde 6 kg.m/s dir.
Momentumun korunması için m3 kütleli parçanın
momentumu +x yönünde 90 kg.m/s olması gerekir.
m3 = 2 kg olduğundan v3 hızı +x yönünde 45 m/s
olur.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
vortak = 6 cm/s
bulunur. m1 kütleli cismin momentumu daha büyük
olduğundan cisim v1 yönünde hareket eder.
Yanıt A dır.
15.Momentum vektörel bir büyüklük olduğundan;
y
Yanıt A dır.
|P2| = 2 2 kg.br
P3
|P1 + P2| = 4 kg.br
x
1 br
12.
Pönce = Psonra
(m1 + m2) . v2 = m2 . v2′ – m1 . v1 . cos 60°
(m + 2m) · 15 = 2m · v2′ – m · 30 ·
1
2
45m = 2m · v2′ – 15m
2mv2′ = 60
v2′ = 30 m/s bulunur.
Yanıt C dir.
|P1| = 2 2 kg.br
1 br
| P 1 + P 2 < P 3|
4 kg.br < m3 . 1 br
4 kg < m3
olmalıdır. Sistemin –x yönünde hareket edebilmesi
için m3 kütlesi 5 kg olabilir.
Yanıt A dır.
20
Ünite 2
Kuvvet ve Hareket
16.Parçalanma olmadan önce momentum +x yönündedir. Parçalanmadan sonra eşit kütleli dört parçanın momentumlarının bileşkesi +x yönünde olmalıdır.
Parçalanmadan sonra v1 ile v3 hız vektörlerinin
düşey bileşenleri eşit olduğundan düşey momentum sıfırdır. Bu nedenle dördüncü parçanın hız vektörü v2 ile birlikte +x yönündedir.
Yanıt B dir.
17.Momentumun korunumundan;
Pönce = Psonra
m1 · 2v = (m1 – m2) · vʹ
2m1
vʹ = m – m · v
1
2
bulunur.
Yanıt E dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©