trigonometri

TRİGONOMETRİ
Yönlü Açı :
Saat yelkovanının dönme yönünün tersine pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif
yön denir.
Açı Ölçü Birimleri :
Derece : Bir çemberin 360 da 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir.
1 derece 60 dakikadır. 1 dakika 60 saniyedir.
1o = 60 , 1= 60
Radyan : Bir çemberin, yarıçapının uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyandır.
Grad : Bir çemberin 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 grattır.
D
R
G
 
180  200
Esas Ölçü :
Derece cinsinden bir açının 360o ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçü, radyan
cinsinden bir açının 2 ye bölümünden kalan, radyan cinsinden esas ölçü adını alır.
Trigonometrik Fonksiyonlar :
Açının sinüsü ve kosinüsü:
Birim çember üzerinde, AOP açısını gözönüne alalım. P
noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da açının
sinüsü denir.
x0 = cos ,
y0 = sin
Sonuç :
1. P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olduğu için;
-1  cos  1 veya cos : R  [-1,1] dir.
Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. Aynı şekilde;
-1  sin  1 veya sin : R  [-1,1] dir.
Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir.
2. x0 = cos ve y0 = sin olduğuna göre;
cos2 + sin2= 1 dir.
Açının tanjantı ve kotanjantı :
Birim çemberin A noktasındaki teğetini inceleyelim. Bu durumda t bir reel sayı olmak üzere, T(1,t)
noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına AOT açısının tanjantı denir. t = tan dir.
Sonuç :
T(1,t) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, t herhangi bir nokta olabilir. Dolayısıyla;
  T={  IR ve /2 +k, k Z } için tan : T  R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (/2 +k) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R
dir.
  K={  IR ve k, k Z } için cot : K  R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (k) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.
BİRİM ÇEMBER :
Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.
-1
Cos
1
-1
Sin
1
OAP üçgeninde ;
Cos
= |OA| = Cos ( +k2 ) ve Sin
= |AP| =|OB|= Sin ( +k2 )
x ekseni, Cosinüs ekseni
y ekseni , Sinüs eksenidir.
Analitik düzlemde trigonometrik fonksiyonların işaretleri
Peiyodik Fonksiyonlar :
:AB bir fonksiyon olsun. x A için (x+T) =(x) eşitliğini sağlayan bir T gerçek sayısı varsa, 
fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T gerçek sayısına da ’ nin bir periyodu denir. T gerçek
sayısının en küçüğüne ise esas periyodu denir. Buradan hareketle;
k  Z olmak üzere  IR için;
cos( + k.2) = cos ve sin( + k.2) = sin olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının
periyodu k.2 ve esas periyodu 2 dir.
Aynı şekilde;
k  Z olmak üzere /2 +k ve   IR için tan( + k.) = tan
k  Z olmak üzere k ve   IR için cot( + k.) = cot olduğundan tanjant ve kotanjant
fonksiyonlarının periyodu k. ve esas periyodu  dir.
*** f ( x)  sin m ( ax  b)
m tek ise T 
ve
2
a
*** f ( x)  tan m(ax  b)
f ( x)  cos m(ax  b)
m çift ise T 
ve

a
f ( x)  cot m(ax  b) , T 

a
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar:
ABC dik üçgeninde trigonometrik oranlar
Cos =
= Sin
Sin =
= Cos
Tan =
= Cot
Cot =
= Tan
Sec = = Csc
Csc =
= Sec
30o , 45o , 60o nin trigonometrik oranları
ABC eşkenar üçgeninde; IABI=2br. , [AH] yükseklik olmak
üzere ;
AHC üçgeninde;
Cos60o =
= Sin30o
Sin60o =
= Cos30o
Tan60o =
= Cot30o
Cot60o =
=
=Tan30o
ABC ikizkenar dik üçgeninde ;
Sin45o =Cos45o =
=
Tan45o = Cot45o = 1
açı
sin
cos
tan
cot
0
0
1
0
tanımsız
30
1/2
3 /2
1/3
3
45
2 /2
2 /2
1
1
60
3 /2
1/2
3
1/3
90
1
0
tanımsız
0
180
0
-1
0
tanımsız
270
-1
0
tanımsız
0
360
0
1
0
tanımsız
TRİGONOMETRİK FORMÜLLER
Trigonometrik bağıntılar
1) Cos2 +Sin2 = 1
2) Tan
=
3) Cot
=
4) Sec
=
5) Csc
=
6) Tan Cot
=1
7) 1 + Tan2 = Sec2
8) 1 + Cot2 = Csc2
Trigonometrik özdeşlikler
Sin(
- ) = Cos
Sin(
+
) = Cos
Cos(
- ) = Sin
Cos(
+
) = -Sin
Tan(
- ) = Cot
Tan(
+
) = -Cot
Cot(
- ) = Tan
Cot(
+
) = -Tan
Sin(
- ) = -Cos
Sin(
+
) = -Cos
Cos(
- ) = -Sin
Cos(
+
) = Sin
Tan(
- ) = Cot
Tan(
+
) = -Cot
Cot(
- ) = Tan
Cot(
+
) = -Tan
Sin( -
) = Sin
Sin( +
Cos( -
) = -Cos
Tan( -
) = -Tan
Tan( +
) = Tan
Cot( -
) = -Cot
Cot( +
) = Cot
Cos( +
Sin( 2 -
) = Sin(- ) = -Sin
Cos( 2 -
) = Cos(- ) =Cos
Tan( 2 -
) = Tan(- ) = -Tan
Cot( 2 -
) = Cot(- ) = -Cot
) = -Sin
) = -Cos
Cos, Sinüs ve Tanjant teoremleri
de :
Cosinüs teoremi : a2 = b2 + c2 -2bcCosA
Sinüs teoremi :
=
=
BC
bc
2
Tanjant teoremi :

BC
bc
tan
2
tan
A(
)=
A(
) = u.r
A(
)=
dir.
.a.b.SinC
(a+b+c=2u olmak üzere)
Trigonometrik fonksiyonlarin birbiri cinsinden ifadesi :
Cos x, Tan x ve Cot x in, Sin x cinsinden ifadesi :
cos x  1  sin 2 x
tan x 
sin x
1  sin 2 x
cot x 
1  sin 2 x
sin x
Sin x, Tan x ve Cot x in, Cos x cinsinden ifadesi :
sin x  1  cos 2 x
tan x 
1  cos 2 x
cos x
cot x 
cos x
1  cos 2 x
Sin x, Cos x ve Cot x in, Tan x cinsinden ifadesi :
sin x 
tan x
1  tan 2 x
cos x 
1
1  tan 2 x
cot x 
1
tan x
tan x 
1
cot x
Sin x, Cos x ve Tan x in, Cot x cinsinden ifadesi :
sin x 
1
cos x 
1  cot 2 x
cot x
1  cot 2 x
Toplam fark formülleri
1) Sin( + ) = Sin Cos
2) Cos( + ) = Cos Cos
± Sin Cos
± Sin Sin
3) Tan( + ) =
Yarım açı formülleri
1) Sin2
= 2Sin Cos
2) Cos2
= Cos2
3) Tan2
=
- Sin2
= 2Cos2
- 1 = 1 - 2Sin2
Not :
Sin3x  3Sinx  4Sin 3 x
Cos3x  4Cos 3 x  3Cosx
Dönüşüm formülleri
1) Sin
+ Sin
= 2Sin
.Cos
2) Sin
- Sin
= 2Sin
.Cos
3) Cos
+ Cos
= 2Cos
4) Cos
- Cos
= 2Sin
.Cos
.Sin
Bir üçgenin açılarının, sinüslerinin toplamının dönüşüm formülü :
A
B
C
.Cos .Cos
2
2
2
SinA  SinB  SinC  4Cos
Bir üçgenin açılarının, cosinüslerinin toplamının dönüşüm formülü :
CosA  CosB  CosC  4Sin
A
B
C
.Sin .Sin  1
2
2
2
Ters trigonometrik fonksiyonlar :
Arcsin Fonksiyonu :
Sin : R   1,1
y  sin x
Arc sin  sin 1
  
Arc sin   1,1    ,   1.ve
 2 2
4.
bö lg eler 
Arccos Fonksiyonu :
Cos : R   1,1
y  cos x
Arc cos  cos 1
Arc cos   1,1  0,    1.ve
2.
x  arccos y
bö lg eler 
Arctan Fonksiyonu :
Tan : R  R
y  tan x
Arctg  tg 1
  
Arctg  R    ,   1.ve
 2 2
4.
x  arctan y
bö lg eler 
Arccot Fonksiyonu :
Cot : R  R
y  cot x
Arc cot  cot 1
Arc cot  R   0,    1.ve
2.
x  arc cot y
bö lg eler 
Trigonometrik denklemler:
a   1,1 için Cosx  a
denkleminin çözümü

Ç   x x    k.2  x    k.2 , k  Z 

a   1,1
için
x  arcsin y
Sinx  a
Ç   x x    k.2

denkleminin
çözümü
x       k.2 , k  Z 








aR
için
Tanx  a
denkleminin
çözümü
denkleminin
çözümü
Ç   x x    k , k  Z 
aR
için
Cotx  a
Ç   x x    k , k  Z 
Sinx  Sina
denkleminin
Ç   x x  a  k .2
Cosx  Cosa
x    a   k .2 , k  Z 

denkleminin
Ç   x x  a  k .2
Tanx  Tana
çözümü
ve
çözümü
x  a  k .2 , k  Z 

Cotx  Cota
denklemlerinin
çözümü
Ç   x x  a  k . , k  Z 
sin f  x   sin g  x 
denkleminin
f  x   g  x   k.2

cos f  x   cos g  x 
denkleminin
f  x   g  x   k .2

tan f  x   tan g  x 
veya
çözümü
f  x     g  x   k .2 , k  Z
çözümü
f  x    g  x   k .2 , k  Z
cot f  x   cot g  x 
denklemlerinin
çözümü
f  x   g  x   k . , k  Z
Kök formülleri :
Sin  Sin      k 2         k 2
2. Cos  Cos      k 2       k 2
3. Tan  Tan ve Cot  Cot      k
1.
4.


Sin  Cos   Sin  Sin    
2

Sin  Sin  Sin  Sin  
6. Tan  Tan ve Tan  Tan  
7. Cos  Cos ve Cos  Cos     Cos   
5.
Trigonometrik Denklemleri :
a[-1,1] için cosx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü  ise, Ç={xx=+2k veya x= - +2k, kZ} olur.
Örnek:
Cosx=1/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında kosinüsü 1/2 olan gerçek sayılar /3 ve -/3 olduğu hatırlanırsa;

 2k
3

x2 
 2k
3
x1 
Ç={xx=/3+2k veya x=-/3+2k, kZ} olarak bulunur.
Örnek :
Cosx=2/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında kosinüsü 2/2 olan gerçek sayılar /4 ve -/4 olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=/3+2k veya x=-/3+2k, kZ} olarak bulunur.
a[-1,1] için sinx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü  ise, Ç={xx=+2k veya x= ( - ) +2k, kZ} olur.
Örnek:
sinx=3/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında sinüsü 3/2 olan gerçek sayılar /3 ve -/3 olduğu hatırlanırsa;
x1 

 2k
3


x 2     2k 
 (2k  1).
3
3
Ç={xx=/3+2k veya x=-/3+2k, kZ} olarak
bulunur.
Örnek :
sinx=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında sinüsü 0 olan gerçek sayılar 0 ve  olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=k, kZ} olarak bulunur.
aR için tanx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü  ise, Ç={xx=+k, kZ} olur.
Örnek:
tanx=3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2) aralığında sinüsü 3/2 olan gerçek sayılar /3 ve /3 + olduğu hatırlanırsa;
Ç={xx=/3+k, kZ} olarak bulunur.
aR için cotx=a denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) aralığında bir kökü  ise, Ç={xx=+k, kZ} olur.
Örnek :
sin
sin
3
x  cos x denklemini n [0,2 ) aralığında ki çözüm kümesini bulun.
2
3
3

3

5x 


x  cos x  sin x  sin(  x)  x   x 

 x
 Ç { }
2
2
2
2
2
2
2
5
5
Örnek :
cosx+3sinx=0 denklemini çözün.
1 3
sin x
3
 0  1  3 tan x  0  tan x  
cos x
2
Ç={x: 

6
 2k  ( 

6
)  2k , k   }
olur. Buradan çözüm kümesi;